Analyse av sammenhenger

Transkript

1 Kapttel : Aalyse av sammeheger Korrelasjo og regresjo E vktg avedelse av statstkk er å studere sammeheger mellom varabler: Avgjøre om det er sammeheger. Beskrve hvorda evetuelle sammeheger er. Eksempler: -Er det sammeheg mellom atall kroer brukt på markedsførg og overskudd? -Er det sammeheg mellom prse på strøm og prse på olje? -Hvorda er sammehege mellom atall år med utdag og løsvå? -Hvorda er sammeheg mellom temperatur og skremsalg? -Hvorda er sammehege mellom høyde og skoummer? Eksempel: I kapttel så v på følgede data over målg av = atall år med utdag og y= tekt ( 000 kr for =0 persoer: y

2 V bør alltd starte e aalyse av sammeheger mellom varabler med å lage et spredgsplott som vst for utdag/lø på forrge sde. V skal å vdere lære hvorda v ka avgjøre om det er e sammeheg og hvorda e evetuell sammeheg ka beskrves. To typer aalyser: Korrelasjo: Udersøker om det er e leær sammeheg mellom to varabler, og gr et mål på hvor sterk og hvlke retg dee sammehege går. Regresjosaalyse: Udersøker om det er sammeheg mellom varabler og beskrver sammehege med e lje. Korrelasjo I kap. 4 lærte v om teoretsk korrelasjo: Cov( X, Y Corr ( X, Y, - X For å rege ut de teoretske korrelasjoe må v kjee de øyaktge smultafordelge tl X og Y oe v sjelde gjør. Y Me ut fra observerte data ka v rege ut estmert korrelasjo (utvalgskorrelasjo, emprsk korrelasjo. Naturlg estmator for kovarase: S X X Y XY Y Stadardavvkee X og Y estmeres tlsvarede med utvalgsstadardavvkee S X og S Y og v får estmatore for korrelasjo: R S S X XY S Y X X Y Y X X Y Y 4 3

3 Isatt observerte tall får v estmatet r, som agr grad av leær sammeheg de observerte dataee: r = - r = -0.8 r = -0.6 r = -0.4 r = 0 r = 0.4 r = 0.6 r = 0.8 r = Tolkg: Korrelasjo = grad av leær sammeheg - Eksempel: Utdag versus tekt y s s s r og XY y X Y y ( 4.5( 0 0 ( ( y

4 Eksempel: Klometerstad versus prs for Golf 00-modell tl salgs på f.o Korrelasjo: r = klometerstad ( tuse km Eksempel: Iskremsalg versus temperatur. r = 0.7 Det fes tester for å avgjøre om e korrelasjo er sgfkat forskjellg fra ull, dvs for teste: H 0 : = 0 mot H : Dette er ekvvalet med e test for sammeheg mellom varabler regresjosmodeller som v sart skal se på. 8 7 prs ( tuse kr

5 Eksempel: Regresjo Ka v s mer om sammehege mellom temperatur og skremsalg e bare e korrelasjosverd? Ved å fe e regresjoslje ka v: Avgjøre om det er e reell sammeheg Beskrve hvorda salget edrer seg med temperature. Beskrve hvor mye salget varerer ved e bestemt temperatur. V skal bare se på leær regresjo hvor v beskrver sammehege mellom varablee med e rett lje: I eksemplet på forrge sde er utetemperatur og y solgt smegde. - ser oe om solgt smegde ved 0 grader - oe om hvor mye solgt smegde edrer seg år temperature edrer seg grad. 0 9

6 Modell: Y e -e ser v på som kke-stokastsk. Felleddet eller støyleddet e represeterer de tlfeldge varasjoe rudt regresjoslja. V atar at felleddee for ulke målger er uavhegge og at: e ~ N(0, V har da: E( Y Var( Y Illustrasjo: Eksempel: Besforbruk bl versus motorstørrelse. Hvorda fe e lje som passer best mulg tl dataee?

7 Prsppet som brukes er å velge de lja som mmerer summe av de kvadrerte avstadee mellom puktee og lja. Kalles mste kvadraters metoder. Illustrert for besdataee: 3 Ved å ta utgagspukt at v altså øsker å mmere K ( Y ( får ma etter ltt regg følgede estmatorer: ˆ ˆ Y ( ˆ ( ( Y Y Ved å sette tall dsse uttrykkee fer v de estmerte regresjoslja y ˆ ˆ ˆ 4

8 Eksempel: Besdataee: Motorstørrelse, Besforbruk, y Eksempel: Iskremsalg y ˆ ˆ ˆ Y ( ˆ ( ( y 0.77 y Dette betyr at følge regresjoslje så: Øker estmert forvetet skremsalg med 0.5 to år temperature øker med grad. Estmert forvetet skremsalg ved 0 grader er 9.6. Estmert forvetet skremsalg ved 0 grader er =

9 Egeskaper tl estmatoree: ˆ og E( ˆ ˆ er ormalfordelte og E( ˆ Var( ˆ og Var( ˆ ( ( Varase omkrg regresjoslja er også ukjet og estmeres valgvs med: S ( Y ˆ ˆ SS E Dette gr for eksempel at: T S / ˆ ˆ ~ t ( SE ( ˆ ( 7 Er det vrkelg sammeheg mellom og y? Fra modelle Y ser v at det er sammeheg dersom 0. V tester derfor om det er sammeheg ved teste: e H 0 : = 0 mot H : Teste baseres på testobservatore: ˆ 0 T ~ t ( SE ( ˆ Evetuelt ka v lage kof. t. for : ˆ ˆ, ˆ ˆ SE ( t ( t /, /, SE

10 Eksempel: Besdataee 9 Eksempel: Iskremsalg For større datamegder bruker v programvare tl å rege ut ødvedg formasjo. F.eks er det på sde forklart hvorda v ka bruke Ecel. 0

11 Kofdestervall for regresjoslja Eksempel: Iskremsalg Hva er forvetet skremsalg ved e bestemt temperatur? y ˆ Estmert forvetet skremsalg ved grader er y ˆ ˆ ˆ me det er uskkerhet dette estmatet. V ka for hver verd laget et kofdestervall for det sae forvetede skremsalget E( Y Ved valg fremgagsmåte for å lage kofdestervall får v: T ˆ ˆ E( ˆ ˆ ˆ ˆ ( ~ t ( Var( ˆ ˆ ( S ( S / SE ( ˆ og dette gr kofdestervallet for E(Y = + : ˆ ˆ t /, S ( ( S / SE ( ˆ

12 Eksempel: Iskremsalg F et 95% kofdestervall for forvetet skremsalg ved 0 grader: 3 Eksempel: Iskremsalg 4

13 Predksjostervall Eksempel: Iskremsalg Hvor mye varerer skremsalget ved e bestemt temperatur? y ˆ Regresjoslja gr et estmat på forvetet skremsalg, me v har tlfeldg varasjo rudt dee forvetgsverde. Ka v ag et tervall som med stor skkerhet eholder de fleste salgsverdee v vl oppleve ved e bestemt temperatur? Ja, og det kalles et predksjostervall. 5 Et predksjostervall er et tervall som vl eholde ca (-00% av Y-verdee v får ved e bestemt -verd. For å lage et predksjostervall må v tllegg tl uskkerhete lja ta med varase Y-verdee, og uttrykket for predksjostervallet blr: ˆ ˆ t /, S ( ( S / SE ( ˆ 6

14 Eksempel: Iskremsalg F et 95% predksjostervall for skremsalget ved 0 grader: 7 Eksempel: Iskremsalg 8

15 Merk: Kofdestervall for regresjoslja eholder med stor skkerhet de korrekte forvetgsverde for e gtt -verd. Predksjostervall eholder e stor adel av alle y-verder v vl oppleve for e gtt -verd. Fra predksjostervallet ka v predkere hvor ye målger vl falle ca (-00% av dem vl falle efor predksjostervallet. 9 Hvor mye forklarer modelle? Det ka vses at det totale varasjoe Y-ee ka deles opp e del forklart av regresjoslja og e del som er tlfeldg varasjo rudt regresjoslja: Y ( ˆ ˆ Y ( Y ˆ ˆ ( Y Et ekelt mål på hvor mye av varasjoe Y-ee som regresjosmodelle forklarer (adel forklart varasjo er: R SS SS R T ( ˆ ˆ ( Y Y Y 30

16 Eksempel: Besdataee. 3 Eksempel: Iskremsalg 3

17 R versus korrelasjo: Det ka vses at: R =korrelasjo Dvs, dersom v tar korrelasjosmålet på sde 4 og opphøyer adre får v R. Dette gr følgede tolkg av korrelasjo: Forteget agr retg ( postv eller egatv sammeheg. Korrelasjo agr adel forklart varasjo (hvor mye av varasjoe som er forklart ved e leær sammeheg. 33 Er modellatagelsee oppfylte? Når v tlpasser regresjosmodelle atar v at: Y. E(Y=+, dvs leær sammeheg.. Var(Y=, dvs kostat varas, uavhegg av. 3. Felleddet e er ormalfordelt. 4. Felleddee e,,e for ulke målger er uavhegge. Dsse atagelsee ka og bør sjekkes. Atagelsee ka sjekkes ved å lage ulke plott av resdualee: y ( ˆ ˆ for,, Resdual = y-verd mus estmert regresjoslje 34 e

18 Dersom atagelsee -4 er oppfylte skal:. Resdualee plottet mot kke vse oe bestemt møster.. Resdualee plottet mot skal ha kostat varasjo. 3. Hstogram eller ormalplott av resdualee skal dkere ormalfordelg. 4. Resdualee skal være uavhegge for eksempel skal plott av resdualee mot samlgsrekkefølge kke vse oe bestemt møster. 35 Eksempel: Iskremsalg 36

19 Eksempel: Iskremsalg 37 Hvorda velge og Y? Sett som : «Årsaksvarabele» dersom v har et aturlg årsak-/vrkgsforhold. F.eks. temperatur år v ser på sammehege mellom temperatur og skremsalg. De kke-stokastske varabele dersom e av varablee er kke-stokastske. F.eks. reklamevesterg e stude av reklamevesterg versus salgstall. De kke-ormalfordelte varabele dersom e varabel kke er ormalfordelt. F.eks. skoummer dersom v ser på skoummer versus høyde. 38

20 Noe begresger V ka kke stole på e leær sammeheg utefor det området v har observasjoer. E sammeheg er kke ødvedgvs det samme som e årsakssammeheg. Adre faktorer som kke er tatt med ka ha vktg flytelse på resultatee. 39 Eksempel: Råoljeprs (dollar per fat versus verd på Statol-aksje ( dollar på NYSE. Måedlge data fra (Datasettet Oljedata på ItsLearg 40

21 Regresso Statstcs Multple R 0,845 R Square 0,74 Adjusted R Square 0,7 Stadard Error 4,373 Observatos 0 Lower 95% Upper 95% Coeffcets Stadard Error t Stat P-value Itercept 5,64 0,969 5,43 0, ,345 7,83 Crude Ol 0,36 0,04 7,4 0, ,08 0,63 4 Kofdestervall for lja: 4

22 Predksjostervall for lja: 43 Resdualer: 44

23 Korrelasjo og regresjo Ecel Ecel ka rege ut korrelasjoer mellom målger og gjøre mage av de setrale bereggee forbdelse med regresjosaalyse. Korrelasjo fer v uder Data -> Data Aalyss og velg så Correlato: 45 Marker dataee (må stå koloer ved sde av hveradre uder Iput Rage og hvor utskrfte skal skrves uder Output Rage og trykk OK: Gr svaret: Temperatur Issalg (to Temperatur Issalg (to 0,7 46

24 For regresjosaalyse, velg Regresso Data Aalyss bokse: 47 Marker dataee for y og varabele. Huk av for Labels dersom du har med overskrfte markerge av dataee (abefalt. Velg Cofdece level dersom du øsker oe aet e 95% kofdestervall. Marker hvor utskrfte skal skrves uder Output Rage. 48

25 Formater utskrfte tl å et passe atall desmaler ved å markere e eller flere celler, høyreklkk og velg Formater Celler. Velg deretter Tall uder Format og velg så et passe atall desmaler. 49 Ved å huke av de ulke valgee uder Resduals og får ma ulke plott av resdualee og plot av dataee med lagt regresjoslje. NB! Valget Normal Probablty Plots gr kke et ormalplott av dataee eller resdualee så kke huk av dette. (E måte å lage ormalplott Ecel er forklar vdoe: 50

26 Ma får å to plott og e utskrft av predkerte verder og resdualee sortert etter observasjosummer: 5 Plottee må ma flytte og dra ltt på for å få tl å se pee ut: Plottet av dataee blr peere dersom ma bytter ut de predkerte verdee med hele regresjoslje. Trykk på de predkerte verdee og slett dsse, trykk så på et datapukt og høyreklkk og velg Legg tl tredlje. 5

27 Oppsummerg Korrelasjo grad av leær sammeheg: R S S X XY S Y X X Y Y X X Y Y Regresjosmodelle: der: e ~ N(0, Y og dermed : E( Y og Var( Y e Test og kof.t. for følger fra at: T S / ˆ ˆ ~ t ( SE ( ˆ ( Kofdestervallet for E(Y = + : ˆ ˆ t /, S ( ( S / SE ( ˆ 53 Predksjostervall: ˆ ˆ t /, S ( ( S / SE ( ˆ Adel forklart varasjo ( = korrelasjo : R SS SS R T ( ˆ ˆ ( Y Y Y Modellatagelsee. Leær sammeheg, E(Y=+. Kostat varas, Var(Y=, uavhegg av. 3. Felleddet e er ormalfordelt. 4. Felleddee e,,e er uavhegge. ka sjekkes ved ulke plott av resdualee: y ˆ ˆ ( for,, 54