5 y y! e 5 = = y=0 P (Y < 5) = P (Y 4) = 0.44,

Transkript

1 Norges tekisk-aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag Abefalte oppgaver 9, blokk II Løsigsskisse Oppgave a) Vi lar her Y være atall fugler som kolliderer med vidmølla i løpet av de gitte periode på t uker. Side Y er poissofordelt med itesitet λ fugl/uke, har Y puktsasylighet P (Y y) (λt)y e λt y y! y! e, y 0,, 2,.... Figur illustrerer dee puktsasylighete for verdier av y mellom 0 og 4. Sasylighete for at mer e 0 fugler kolliderer i løpet av vedkommede periode er da P (Y > 0) P (Y 0) 0 Sasylighete for at færre e fem fugler kolliderer er P (Y < ) P (Y 4) 0.44, y y! e og de betigede sasylighete for at ige fugler kolliderer, gitt at færre e fem gjør det, er P (Y 0 Y < ) P (Y 0 Y < ) P (Y < ) P (Y 0) P (Y < ) e b) Rimelighetsfuksjoe er sasylighete for å få Y 26 med parameter 4 2λ 208λ. Rimelighetsfuksjoe er e fuksjo av parametere λ. Vi tar logaritme til rimelighetsfuksjoe for å forekle utregigee, l(λ) log P (Y 26; λ) 26 log(208λ) log(26!) 208λ Vi fier maksimum ved å derivere med hesy på λ, Dette gir ˆλ 26/ l (λ) 26 λ λ ab9-lsf-b 7. mars 206 Side

2 0.2 P(Y y) y Figur : Puktsasylighete til de stokastiske variabele Y, som er poissofordelt med forvetigsverdi µ λ t. c) Mometgeererede fuksjo til e sum av to uavhegige variabler er produktet av de mometgeererede fuksjoee for de to variablee. Momegeererede fuksjo for e Poisso-fordelt variabel er M X (t) ty λy e y! e λ (e t λ) y e λ e λ(et ) (e t λ) y e etλ e λ(et ) y! y! hvor de siste summe er fordi det er e sum over e Poisso-fordelt variabel med parameter e t λ. Da er M Z (t) M X (t)m Y (t) e λ(et ) e ν(et ) e (λ+ν)(et ) Vi kjeer igje forme på fuksjoe som e mometgeererede fuksjo. Dette er mometgeererede fuksjo til e Poisso-fordelt tilfeldig variabel med parameter λ + ν. Oppgave 2 a) Sasylighete for at vetetide er leger e 2 uker: P (X > 2) P (X 2) F (2) ( exp( )) exp( 0.6) Sasylighete for at du må vete mist uker, gitt at du må vete i mist 2 uker: P (X > X > 2) P (X > X > 2) P (X > 2) P (X > ) P (X ) P (X > 2) P (X > 2) F () P (X > 2) ( exp( )) Sasylighetstetthete til X for x 0 fier vi ved å derivere F (x): f(x) df (x) dx 0 ( 2αx exp( αx 2 )) 2αx exp( αx 2 ), for x 0. ab9-lsf-b 7. mars 206 Side 2

3 b) SME for α: Fier først rimelighetsfuksjoe, som er simultafordelige for X, X 2,..., X sett på som fuksjo av x i ee og α: L(x, x 2,..., x ; α) f(x, x 2,..., x ; α) Tar logaritme: f(x i ; α) i 2αx i exp( αx 2 i ) 2 α ( x i ) exp( α i l(x, x 2,..., x ; α) l L(x, x 2,..., x ; α) l2 + lα + Deriverer med hesy på α og setter lik 0: i x 2 i ). i lx i α i x 2 i. i l(x, x 2,..., x ; α) α 0 + α + 0 x 2 i 0 i α α i x 2 i. i x2 i Dvs. SME for α er α, som er ulik ˆα. ˆα er dermed ikke SME for α. i x2 i Estimator ˆµ for µ: ˆµ π π 2 ˆα i X2 i 2. Isatt verdier blir ˆα og estimatet for µ blir ˆµ π 2 ˆα π 2.2 uker c) Sasylighetsfordelige for Y X 2 fier vi ved å bruke trasformasjosformele. La Y u(x) X 2 slik at X w(y ) Y (har at X > 0). Dermed er f Y (y) f X (w(y)) w (y) 2α y exp( α( y) 2 ) 2 y α exp( αy). Dette er sasylighetstetthete i ekspoesialfordelige med forvetig /α, og dermed har vi vist at Y er ekspoesialfordelt. Forvetigsverdi for ˆα: ( ) ( E(ˆα) E ( ) E i X2 i i X2 i Her har vi brukt resultatet oppgitt i oppgavetekste. Side E(ˆα) α, er ˆα forvetigsrett. ) ( ) (/α)( ) α α. ab9-lsf-b 7. mars 206 Side 3

4 Oppgave 3 Scriptet ru cofds.m simulerer data x,..., x fra e ormalfordelig med forvetigsverdi µ og varias σ ved å trekke gager fra e stadard ormalfordelig y i N(0, ) og utføre lieærtrasformasjoe x i µ + σ y i, i,..., Fra uttrykket ka vi greit rege på at da vil x i N(µ, σ 2 ). (I Matlab trekker ma fra e stadard ormalfordelig med fuksjoe rad ). Kjører vi scriptet får vi et histogram av 0000 simulerte data x,..., x, som f.eks. ka se slik ut Figur 2: Histogram av 0000 simulerte data fra N(, 2 2 ) Histogrammet til høyre er stadardisert, altså trasformert slik at areal uder histogramsøylee blir. I plottet er det i grøt også teget i kurve for ormalfordelige med forvetig og stadardavvik 2. Vi ser at de simulerte dataee overlapper ormalfordelige de kommer fra veldig bra. Dette side vi simulerer såpass mage datapukter. Det resulterede gjeomsittet ˆµ i x i.0047 er veldig ærme de sae forvetigsverdie som også ligger iefor det estimerte kofidesitervalet [ ]. Trekker vi stedet data (setter altså parametere i scriptet til 00000) ka histogrammet f.eks. se ut som i Fig.2 med estimert forvetigsverdi ˆµ og estimert 9% kofidesiterval [0.989,.007]. Igje er estimatet tilærmet likt sa forvetigsverdi, som ligger iefor kofidesitervalet, og overlappe mellom dataee og ormalkurve er eda bedre. Trekker vi 000 data (setter altså parametere i scriptet til 000) ka histogrammet f.eks. se ut som i Fig.3. med estimert forvetigsverdi ˆµ og estimert 9% kofidesiterval [ ]. Estimatet er fortsatt bra, me ikke like ærme som i tilfellee med høyere. Vi ser også at estimert kofidesiterval er litt bredere, og at overlappe mellom dataee og ormalkurve er dårligere (dette er også fordi vi har så lite oppløsig på histogrammet). ab9-lsf-b 7. mars 206 Side 4

5 Figur 3: Histogram av simulerte data fra N(, 2 2 ) Figur 4: Histogram av 000 simulerte data fra N(, 2 2 ) Det estimerte kofidesitervalet er bereget som [ ˆµ.96 ˆσ, ˆµ +.96 ] ˆσ Når datamegde vokser og estimatet på stadardaviket ikke varierer mye ser vi at faktore ˆσ går mot 0, altså blir kofidesitervalet smalere jo større datamegde er. Vi merker oss også at vi her har brukt kvatile z fra e ormalfordelig selv om vi her bruker estimert varias. Med ukjet varias burde vi egetlig brukt kvatiler fra t-fordelig, me side datamagde er så stor ( 000) vil t-fordelig med frihetsgrader være tilærmet lik stadard ormalfordelig. Oppgave 4 a) I dette puktet lar vi X være e bestemt ph-målig, og atar at X er ormalfordelt med forvetigsverdi µ 6.8 og varias σ Sasylighete for at resultatet ab9-lsf-b 7. mars 206 Side

6 av målige er uder 6.74 er da P (X < 6.74) P ( X < ) Φ( ) Φ() Videre er sasylighete for at resultatet av målige ligger mellom 6.74 og 6.86 lik P (6.74 < X < 6.86) P (X < 6.86) P (X < 6.74) P ( X < ) Φ() Sasylighete for at avviket X µ overstiger 0.06 er P ( X µ ) > 0.06) P (X µ < 0.06) + P (X µ > 0.06) P ( X µ µ < ) + P (X > ) Φ( ) + Φ() 2( Φ()) De samme sasylighete ka også reges ut som følger: P ( X µ ) > 0.06) P (6.74 < X < 6.86) b) Her er Y gjeomsittet av de fem uavhegige måligee X, X 2,..., X, som alle er ormalfordelte med forvetigsverdi µ og varias σ 2. Side Y er e lieærkombiasjo av ormalfordelte tilfeldige variable, vet vi at Y selv er ormalfordelt. Forvetigsverdie og variase til Y er heholdsvis ( ) E(Y ) E X i E(X i ) µ µ og Var(Y ) Var ( i i i ) X i 2 Var(X i ) 2 σ2 σ2, slik at Y N(µ, σ 2 /). Sasylighete for at Y avviker mer e 0.06 fra µ er P ( Y µ > 0.06) P ({Y µ < 0.06} {Y µ > 0.06}) i 2P (Y µ > 0.06) ( ( Y µ 2 P 0.06 )) () De tilfeldige variabele Z Y E(Y ) Var(Y ) Y µ σ 2 / ab9-lsf-b 7. mars 206 Side 6

7 φ(z) % 9% 2.% 0 z 0.02 z z 0.02 Figur : Sasylighetstetthete φ(z) til de stadard ormalfordelte stokastiske variabele Z. Kvatilee ±z 0.02 ±.96 er markert. er stadard ormalfordelt, Z N(0, ). Et 9% kofidesitervall for µ ka kostrueres ved å ta utgagspukt i et tilsvarede kofidesitervall for Z (se figur ), og så maipulere dette slik at µ isoleres, P ( z 0.02 Z z 0.02 ) ( ) P z 0.02 Y µ σ 2 / z 0.02 ( ) σ 2 σ P Y z 0.02 µ Y + z Setter vi i de observerte verdie y 6.76, variase σ , og 0.02-kvatile til stadard ormalfordelige z , får vi itervallet [ ] [ ] σ 2 σ y z 0.02, y + z , [6.707, 6.83]. ab9-lsf-b 7. mars 206 Side 7