Løsning TALM1005 (statistikkdel) juni 2017

Transkript

1 Løsig TALM1005 statistikkdel jui 2017 Oppgave 1 a Har oppgitt at sasyligte for at é harddisk svikter er p = 0, 037. Ifører hedelsee A : harddisk 1 svikter B : harddisk 2 svikter C : harddisk 3 svikter Datatap itreer dersom alle 3 harddiskee svikter samtidig, og år disse svikter uavhegig av hveradre, blir dee lik: P datatap = P A B C = P A P B P C = p 3 = 0, = 5, b Vi skal bestemme sasylighete for at mist é av 0 datamaski med e slik harddisk-kogurasjo opplever datatap. Hvis X agir atallet datamaskier som opplever datatap, er X biomisk fordelt med X bi, p bi 0, 5, , slik at Det gir: c P X = x = 0 x 5, x 1 5, x. P X 1 = 1 P X = 0 0 = 1 5, , = 7, i Vi skal bestemme atallet måter å sette samme 3 harddisker fra to produseter A og B, slik at rekkefølge spiller e rolle. Vi har da 2 valgmuligheter for hver harddisk, og multiplikasjosprisippet gir at det er i alt 2 3 = 8 forskjellige måter å gjøre dette på. Vi ka raskt sjekke at dette stemmer: vi får kogurasjoee AAA, AAB, ABA, ABB, BBB, BBA, BAB, BAA ii Dersom rekkefølge ikke spiller oe rolle, skiller vi ikke mellom f.eks. opplistig ser vi at vi får følgede muligheter: AAA, BBB, AAB to fra A; é fra B, BBA é fra A, to fra B, dvs. atallet forskjellige måter er 4. AAB og ABA. Med ekel Oppgave 2 a La R agi adele eheter i e dagsproduksjo som må repareres, og K adele eheter som må kasseres. Hvis X agir bedriftes tap på e tilfeldig ehet, så er tapet gitt ved slik at forvetigsverdie i kroer blir X = 200R K, µ = E X = E 200R K = 200E R E K = 200 0, , 03 = 44 1

2 Variase σ 2 i kroer 2 ka vi berege som σ 2 = E X µ 2 = E X 2 µ 2 = x 2 P X = x µ 2 alle x = 0 2 P X = P X = P X = 1000 µ 2 = 0 2 0, , , = b La S agi bedriftes tap på e hel dagsproduksjo på 300 eheter. Dersom X 1, X 2, X 3,..., X 300 agir tapet på é ehet, så er det totale tapet gitt ved S = X 1 + X X 300. Ettersom alle ehetee atas å være uavhegige av hveradre, er S altså e sum av 300 uavhegige variable med samme fordelig. Da ka S atas ormalfordelt med forvetigsverdi µ S = 300µ = = og varias σ 2 S = 300σ2 = = c Vi skal berege sasylighete for at S blir større e kr, dvs. P S > = 1 P S S µs = 1 P σ = 1 P Z 1, 05 = 1 1 P Z 1, 05 = P Z 1, 05 = 0, Her er det brukt tabellverdier for stadard ormalfordelig, me vi kue også brukt de kumulative ormalfordelige på kalkulator. Oppgave 3 a La X agi atall ikome telefosamtaler i løpet av e time, med et oppgitt gjeomsitt på 10 samtaler per time. Betigelsee for at X skal være e Poisso-fordelt variabel: i X har ku diskrete verdier åpebart sat, ettersom X agir et atall ii Hvorvidt hedelse itreer, dvs. at oe riger, er uavhegig av tidligere hedelser også e grei atakakelse her iii Hedelsee er jevt spredd over tidsrommet kaskje de mest tvilsomme betigelse, ettersom telefoer ka ha e tedes til å hope seg opp dersom det oppstår f.eks. dataproblemer e.l. som mage riger i om samtidig iv To hedelser ka ikke itree samtidig, dvs. ma ka ikke ha ere samtidige irigere. Selv om Orakeltjeeste har ere igåede lijer, er det rimelig å ata at sasylighete for ere riger i samtidig, er lite med midre det er telefostorm - se over. Alt i alt er Poisso-fordelig e gaske rimelig atakelse. b Med X atatt Poisso-fordelt med λ = 10, skal vi berege P X > 10 = 1 P X 10 = 1 0, 5830 = 0, 4170 Her har vi brukt tabellverdi fra de kumulative Poisso-fordelige på formelarket, me vi ka også berege dette på kalkulator. 2

3 c Vi får oppgitt at i sommerferie er X Poisso-fordelt med e itesitet α = 2 samtaler per time, dvs α = 2 60 samtaler per miutt. La Y agi atallet ikome telefosamtaler i løpet e periode luchpause med varighet t =20 miutter. Dee vil være Poisso-fordelt med λ = α t = = 2 3 Sasylighete for at ige riger i løpet av dette tidsrommet blir altså P Y = 0 = λ0 e λ 0! = e λ = e 2 3 = 0, 513 Oppgave 4 a Vi får oppgitt at X 1, X 2,..., X 200 er kaemegde som e tilfeldig gjest fyller i koppe si. De samlede kaemegde som 200 gjester fyller, er da summe av disse: S = X 1 + X X 200, og ettersom X 1, X 2,..., X 200 er ormalfordelt med µ = 0, 25 og σ = 0, 10, blir S via setralgreseteoremet også ormalfordelt med forvetigsverdi µ S = 200µ = 200 0, 25 = 50 og varias σ 2 S = 200σ 2 = 200 0, 10 2 = 2, 0 b Vi skal e sasylighete for at de 50-liters kaebeholdere er tom etter at 200 gjester har forsyt seg med é kopp hver, dvs. vi skal e P S > 50 = 1 P S 50 S µs = 1 P σ S 2, 0 = 1 P Z 0 = = 1 2 Her har vi brukt tabelle for kumulativ fordelig av stadard ormalfordelig, me vi ka også berege dette fra kalkulator. c Vi skal bestemme atall gjester som må forsye seg for at det skal være 99 % sasylig at beholdere er tom, dvs. vi skal bestemme e som er slik at P S > 50 = 0, 99 Ved å omgjøre til stadard ormalfordelig, får vi følgede likig: S µs P σ S P S > 50 = 0, 99 1 P S 50 = 0, 99 P S 50 = 0, µ S = 0, 01 σ S 3

4 Her få vi bruk for å bestemme forvetigsverdie µ S og stadardavviket σ S for de samlede kaemegde til de gjestee. I fra setralgreseteoremet får vi µ S = µ = 0, 25 = 0, 25 Likige for å bestemme blir da S µs P σ S P Z σ 2 S = σ 2 = 0, 10 2 σ S = 0, 10 2 = 0, , 25 0, , 25 0, 10 = 0, 01 = 0, 01 Vi skal å bestemme verdie av størrelse 50 0,25 0,10, slik at de kumulative sasylighete blir lik 0,01. Her ka vi så klart prøve oss frem på kalkulator ved å e på e verdi for f.eks. 250 gjester, berege, og så sjekke om de kumulative sasylighete blir lik 0,01. Hvis vi istedet øsker å rege ut svaret, ka det være greit å mie seg på hvorda stadard ormalfordelig ser ut: størrelse 50 0,25 0,10 Uheldigvis står ikke P Z z = 0, 01 tabulert direkte, så vi må beytte oss symmetrie til stadard ormalfordelig for å kue bruke de tabulerte verdiee. Størrelse 50 0,25 0,10 er åpebart egativ - la oss kalle de z. Grafe viser at problemet vårt tilsvarer å e e z som er slik at P Z z = 0, 99, og dee er vi i tabelle: P Z z = 0, 99 z = 2, 33 Likige for å bestemme blir altså 50 0, 25 0, 10 = z = 2, , 25 = 2, 33 0, , , 33 0, 10 = 0 Dette er e brysom likig å løse ved regig må kvadrere for å fjere rota osv., derfor plotter vi vestreside på e grask kalkulator, og leser av ullpuktee: Vi leser av løsige = 214 Oppgave 5 a Vi skal gjeomføre e hypotesetest med sigikasivå α = 0, 05 på 3 forskjellige måter for å teste ullhypotese H 0 mot mothypotese H 1, der H 0 : µ = 1, 50 H 1 :µ < 1, 50 4

5 i Berege kritisk verdi: vi skal bestemme e kritisk verdi k som er slik at sasylighete for å forkaste ullhypotese selv om H 0 er riktig, er lik sigikasivået α, dvs. P X k H0 = 0, 05 Dersom ullhypotese er riktig, er µ = µ 0 = 1, 50. Når vi skal omforme til stadard ormalfordelig, må vi huske at stadardavviket til de = måligee er gitt ved σ. Vi får: X µ0 P σ k µ 0 σ = 0, 05 k 1, 50 P Z = 0, 05 Via symmetrie til stadard ormalfordelig, får vi her at k 1, 50 = U α = 1, 645 k = 1, 645 k =1, 479 0, , 50 Ettersom det målte gjeomsittet er x = 1, 467 < k, vil vi altså forkaste ullhypotese, og kokludere med at kaeautomate gir ut for lite kae. ii Vi bereger testobservatore Ettersom testobservatore har e verdi vil vi også her forkaste ullhypotese. U 0 = X µ 0 σ 1, 467 1, 50 = = 2, 56 U 0 = 2, 56 > U a = 1, 645, iii Vi bereger sigikassasylighete p, som er sasylighete for å få e mist like ekstrem verdi for kaemegde som de faktisk observerte x = 1, 467, gitt at ullhypotese er riktig. Altså: p = P X x H0 X µ0 = P σ x µ 0 σ = P Z = P Z 2, 56 1, 467 1, 50 Dersom vi skal beytte oss av ormalfordeligstabelle, må vi her bruke at P Z 2, 56 = 1 P Z 2, 56 = 1 0, 9948 = 0, 0052 Ettersom sigikassasylighete p = 0, 0052 er midre e sigikasivået α = 0, 05, kokluderer vi med at det er svært usasylig å få så lite kae som vi faktisk kk, dersom produsetes påstad om at gjeomsittlig kaemegde er 1,50 dl er riktig. Vi forkaster derfor også her ullhypotese. 5

6 b Vi skal berege styrkefuksjoe β µ = 1, 40 = P H 1 µ = 1, 40 Styrkefuksjoe agir altså sasylighete for at vi forkaster ullhypotese, dvs. påstår mothypotese H 1, dersom det faktiske gjeomsittet av kaemegde er 1,40 dl. Ettersom produsete hardakket hevder at sittet er 1,50 dl, er vi i dette sceariet iteressert i at hypoteseteste forkaster ullhypotese for de er beviselig feil i dette tilfellet - styrkefuksjoe agir derfor styrke eller følsomhete til hypoteseteste for de gitte verdie av µ. Vi ka berege styrkefuksjoe ved å støtte oss til de tidligere beregede kritiske verdie: det å forkaste ullhypotese og påstå H 1 tilsvarer at vi får et sitt på de måligee midre e k = 1, 479. Dee sasylighete er P X µ X k µ = 1, 40 = P σ k µ σ 1, 479 1, 40 = P Z = P Z 6, 1 1 Det er altså essesielt helt garatert at vi kommer til å forkaste H 0 dersom de faktiske kaemegde er 1,40 dl produsete på si side har hele tide hevdet et sitt på 1,50 dl. I så måte har hypotese god styrke, dvs. de er tilstrekkelig følsom. 6