TMA4245 Statistikk Eksamen august 2015

Transkript

1 Eksame august 15 Norges tekisk-aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag Løsigsskisse Oppgave 1 a asylighetee blir og X > Z > 1 1 Z 1 Φ.3,.5 W > 5 X + Y > 5 b Forvetet samfuskostad blir Z > 5 Z > Φ EgW EaW aew avarw + EW aσ X + σ Y + µ. E halverig av µ og σ Y vil iebære at samfuskostadee reduseres med aσ X + σ Y + µ aσ X + σ Y / + µ/ 3 4 aσ Y + µ UD. varet er uavhegig av σ X og de evetuelle forvetede løsomhete av CO - utslippsreduserede tiltak er dermed, gitt modelle, ikke avhegig av størrelse på aturlige klimasvigiger. Oppgave a For at X skal være biomisk fordelt må sasylighete Z i > Y i for å gå raskest i siste ytre være lik p for alle løpere i 1,...,, og vi må ha uavhegighet mellom hedelsee Z i > Y i for ulike løpere. Gitt at og p.7 blir X 1.48 tabell og X 8 X 1 8 X 1 X 1 X 1 X 7 X eksaug15-lsf-b 8. april 16 ide 1

2 Eksame august 15 b Likelihoodfuksjoe blir og log-likelihoodfuksjoe lp l Lp p 1 p, + l p + l1 p. Dee har sitt maksimum der dl dp p 1 p p. ME for p er dermed ˆp X/. Dee er forvetigsrett side X E 1 EX 1 p p. Variase blir X Varˆp Var 1 VarX 1 p1 p p1 p. c Vi skal teste om det er e fordel å gå siste ytre. Dette vil i så fall iebære at parametere p > 1/. Vi lar dette være vår alterative hypotese H 1. Nullhypotese H blir at p 1/. ide vi ikke har tabell over biomisk fordelig for 39 bruker vi testobservatore Z ˆp 1/ 1/1 1//39 som er tilærmet stadard ormalfordelt uder H. Vi forkaster H hvis Z > z Observert verdi av Z blir Z 4/39 1/ 1/1 1// Vi beholder dermed H. Testes p-verdi blir tilærmet Z > d Vi atar at differasee D 1, D,..., D mellom løpstid med og ute siste ytre til hver ekelt løper er uavhegig Nµ, σ. Vi øsker å udersøke om siste ytre gir e fordel, altså at EY i < EZ i, som vil iebære at parametere µ EY i EX i < alterativ hypotese H 1. Nullhypotese H 1 blir µ. eksaug15-lsf-b 8. april 16 ide

3 Eksame august 15 Vi lar D i1 D i D. Ved å bruke at D Nµ, σd / og at D 1/σ D er kji-kvadrat med 1 frihetsgrader, følger det at T D σ D / 1 / 1 σd D / uder H er t-fordelt med frihetsgrader. Vi forkaster dermed H hvis T < t.5, Gitt dataee i oppgave får vi d.654/37.717, d i d d i d 1.36, s D d i d/ 1.378, og t / Basert på testatakelsee ka vi dermed forkaste H og kokludere med at siste ytre gir e lite fordel H 1. e For test 1 blir teststyrke for p.64 ˆp p Z > z α p 1 p / > z α ˆp > p + z α p 1 p / 1 φ p p + z α p 1 p / p1 p/ φ p p z α p 1 p / p1 p/ φ / / Test 1, hvor vi ku beyttet biær iformasjo om hvorvidt siste ytre ga beste tid for hver ekelt løper, ga hverke forkastig eller størst teststyrke sammeliget med Test. Dette er forvetet ut i fra at Test er basert på all iformasjo om de observerte løpstidee i motsetig til Test 1. å de ae side bygger Test på et skjevt utvalg side de to løpere som falt er tatt ut av dataee. Dette vil forskyve D mot mer positive verdier egative verdier gir støtte for H 1. At vi da likevel får forkastig tyder da på at det er e reell forskjell. De skjeve utvalget med lage løpstider i siste idre tatt ut av dataee vil kue gjøre at atakelse om ormalfordelig ikke er oppfylt. Me dette vil i eda større grad kue gjelde også før sesurerig. Ut i fra histogrammet av observerte d i ka det vaskelig kokluderes med at dataee avviker fra atakelse om ormalfordelig side utvalgsstørrelse i dette heseede er lite. Fordele med Test 1 er at dee ikke forutsetter ormalfordelig. Totalt sett gir dataee gru for å kokludere med at siste ytre gir e fordel. eksaug15-lsf-b 8. april 16 ide 3

4 Eksame august 15 Oppgave 3 a ide 1/σ er kji-kvadrat er χ 1 α/, 1 < 1 σ < χ α/, 1 1 α. Løser så hver ulikhet i uttrykket over og setter deretter de to ulikhetee samme igje med σ i midte, 1 χ < σ < 1 α/, 1 χ 1 α α/, 1 som betyr at er et 1 α-kofidesitervall for σ. Fra 3.1 følger det at 1 χ α/, 1 1 χ, 1 α/, 1 χ 1 α/, 1 < σ < 1 χ 1 α/, 1 slik at 1 1 χ, α/, 1 blir et 1 α-kofidesitervall for σ. χ 1 α/, 1 1 α b etig om forvetig til fuksjoer av stokastiske variable gir at E Y y 1/ fydy v v Γ v y 1 e y dy y 1/ 1 1 v Γ v 1 e y dy y Γ 1 v Γ v Γ Γ v Γ y 1 e y dy side itegrade i est siste uttrykk ovefor er e sasylighetstetthet til e kjikvadratfordelt variabel med v + 1 frihetsgrader. c Bruker vi resultatet i forrige pukt med v 1 følger det at E 1 1 Γ σ E σ Γ 1. eksaug15-lsf-b 8. april 16 ide 4

5 Eksame august 15 Altså er σ Γ E 1 Γ 1 slik at ikke er forvetigsrett for σ. E forvetigsfeilkorrigert, forvetigsrett estimator av σ er dermed ˆσ 1 1 Γ Γ Γ 1 Γ X i X. å tilsvarede måte som i pukt a ka e mediarett estimator for σ utledes med utgagspukt i samme pivotale størrelse. Vi vet at 1 < χ 1/, 1 1/. σ i1 Omskrivig av ulikhete gir at 1 χ 1/, 1 < σ 1/, som i følge defiisjo av mediaretthet betyr at 1 σ χ 1 1/, 1 χ 1/, 1 er mediarett for σ. X i X i1 eksaug15-lsf-b 8. april 16 ide 5