Løsningsforslag ST1101/ST6101 kontinuasjonseksamen 2018

Transkript

1 Løsigsforslag ST/ST6 kotiuasjoseksame Oppgave a Defier hedelsee R, B, B rød kule i første trekig, blå kule i adre trekig, blå kule i tredje trekig. Vi skal fie PR B B for to ulike situasjoer. Geerelt vet vi at PR B B PB R B PB R PR. Når vi trekker med tilbakeleggig så treger vi ikke ta hesy til tidligere trekiger. Da er PR, og PB R, og PB B R, og PR B B.97. Når vi trekker ute tilbakeleggig så er PR, PB R 7 og PB B R 7 PR B B Vi skal trekke kuler ute tilbakeleggig og fie sasylighete for at vi trekker mist røde kuler. Da spiller ikke rekkefølge på trekigee oe rolle. Hedelse mist røde kuler tilsvarer uioe av de tre ekeltutfallee røde kuler, 9 røde kuler og røde kuler. Side ekeltutfall er disjukte hedelser, så er P mist røde kuler P røde kuler 9 røde kuler røde kuler P røde kuler + P 9 røde kuler + P røde kuler 6. La oss se først på P røde kuler. Det fies m 475 mulige utfall. For å fie atall gustige utfall ser vi på situasjo der vi trekker røde kuler. Dette utfallet ka oppstå på g ulike måter. P røde kuler g m. Tilsvarede ka hedelse 9 røde kuler oppstå på g 9 9 ulike måter, og røde kuler på g ulike måter. P mist røde kuler g m + g 9 m + g m

2 Oppgave a PX Y < PX Y PY PY X PY X PX Margiale puktsasyligheter for X: PX PX Margiale puktsasyligheter for Y : PY. +.. PY. +.. PY X og Y er ikke uavhgegige, da for eksempel PX PY.6.. P X,Y,.. b Vi fier først EX og EY. EX PX + PX.4 EY PY + PY + PY. EX + Y EX + EY 4.. Side X og Y ikke er uavhegige, så er VarX + Y VarX + VarY + CovarX, Y Vi fier varias til X og Y samt kovariase. VarX EX EX PX + PX VarY EY EY PY + PY + PY CovarX, Y EXY EXEY x y PX x, Y y EXEY x y PX, Y + PX, Y.4..4 VarX + Y

3 Oppgave a PX F X ; P < X 4 F X 4;.5 F X ;.5 PX > 4 X > PX > 4 X > PX > PX > 4 PX > b Sasylighetstetthetsfuksjoe f X x; α fier vi ved å derivere de kumulative fordeligsfuksjoe med hesy på x. { f X x; α d α x α+ dx F Xx; α for x for x < Vi atar først at vi har observasjoer x,..., x av det tilfeldige utvalget X,..., X. Sasylighetsmaksimerigsestimatet fier vi ved å fie α som maksimerer rimelighetsfuksjoe α xi α+ Lα; x,..., x f X x i ; α. i I dette tilfellet er det eklere å maksimere logaritme til rimelighetsfuksjoe Vi løser lα; x,..., x i i xi logα log α + log. d dα lα; x,..., x α xi log med hesy på α og fier sasylighetsmaksimerigsestimatet α log x i i. Ved å sette i tilfeldige variabler X,..., X fier vi sasylighetsmaksimerigsestimatore α. i log Xi i c Ved å bruke mometmetode så løser vi ligige X i X EX i med hesy på α, og fier estimatore α X X. α α

4 Oppgave 4 a La X være tide i miutter fra klokka 7: til Grete akommer fabrikker. Vi vet at X er ekspoesialfordelt med parameter λ. Sasylighete for at Grete kommer til fabrikke før klokka 7: er PX e x dx e + e e.6. La X,..., X være stokastiske variabler uavhegige som måler tid til akomst for asatte, slik at X i er ekspoesialfordelt med parameter λ for i,...,. Da er PX X PX PX.6. Dersom vi repeterer et målbart eksperimet her Gretes akomsttid X mage gager, vil gjeomsittsverdie over alle eksperimeter ærme seg forvetigsverdie til eksperimetet. Side EX miutter, så burde Gretes gjeomsittlige akomstid være omtret klokka 7:. b Atall desiliter iskaffe ka represeteres med de stokastiske variabele V X + Y. Side X og Y er uavhegige og ormalfordelte, så er V ormalfordelt med forvetigsverdi µ + µ dl og stadardavvik σ dl. Grete ser på et tilfeldig utvalg at kartoger; V,..., V. Da vet vi at i V i V N µ + µ, σ. Fra dette ka vi sette opp ligige P z α/ V µ + µ σ/ z α/ α, der z α/ er e kritisk verdi i stadard ormalfordelige. For å fie et 95% kofidesitervall setter vi α.5, slik at z α/ z Nå gjør vi de samme matematiske operasjoee på alle sidee av ulikhetstegee slik at vi eder opp med µ + µ i midte. P.95 P.96 V µ + µ σ/.96 P.96 σ V µ + µ.96 σ µ + µ V +.96 σ V.96 σ P V +.96 σ µ + µ V.96 σ P V.96 σ µ + µ V +.96 σ 4

5 Vi setter i tallverdier for σ og observert gjeomsitt v itervallet [4.76, 5.7]. i v i 5.65 og fier Dersom vi ser på veldig mage tilfeldige utvalg av kartoger og reger ut et slikt itervall hver gag, så vil 95% av disse itervallee ieholde de sae verdie for µ + µ. I dette tilfellet ieholder itervallet tallet 5 og det er rimelig å ata at maskioperatøre sakker sat me vi er ikke % sikre. Vi ville fått et smalere itervall bedre presisjo dersom Grete så på flere kartoger. c PA PV 4.5 P Z PZ W ka atas å være biomisk fordelt med parametere p.949 og 5 dersom Maskies istillig er det samme hele tide µ + µ 5, slik at p PA er lik for alle iskaffekartogee. Mege iskaffe i e gitt kartog er uavhegig av megde som har blitt fylt i adre kartoger. De 5 kartogee ka atas å være tilfeldig valgt studetee eller butikke har ikke valgt ut kartoger med oe spesiell hesikt eller sorterig Dersom vi atar at W er biomisk fordelt så er PW > PW + PW + PW d Atall desiliter melk Y er å e kostat; Y. Det vil si at V X + Y Nµ +, σ. Hedelse A itreffer å dersom V < 4.5 dl. Vi løser PV 4.5 PZ 4.5 µ.5..5 Ved å slå opp i tabeller fier vi at 4.5 µ.5.96 oppfyller kravet. Dette gir abefalige µ