Konfidensintervall. Notat til STK1110. Ørnulf Borgan, Ingrid K. Glad og Anders Rygh Swensen Matematisk institutt, Universitetet i Oslo.

Transkript

1 Kofidesitervall Notat til STK1110 Ørulf Borga, Igrid K. Glad og Aders Rygh Swese Matematisk istitutt, Uiversitetet i Oslo August 2007 Formål E valig metode for å agi usikkerhete til et estimat er å berege et kofidesitervall. Hvorda dette gjøres er beskrevet på sidee i læreboka til Rice. Side dette er midt i et kapittel om utvalgsteori, som ikke er pesum i STK1110, tar vi opp kofidesitervall i dette otatet. Geerelt Ata at e ukjet parameter θ blir estimert med estimatore θ. Et kofidesitervall er et stokastisk itervall [ θ L, θ U ], bereget på grulag av de samme observasjoee som θ, som ieholder parametere med gitt sasylighet: θ L θ θ U = 1 α. Sasylighete 1 α kalles kofideskoeffisiete til itervallet. Vi sier også at itervallet [ θ L, θ U ] er et 1001 α% kofidesitervall. Valige valg av α er 0.10, 0.05 og 0.01 svarede til kofidesitervall med kofideskoeffisiet 90%, 95% og 99%. Vi vil se hvorda vi ka lage kofidesitervall for oe valige fordeliger. oisso fordelige Ata at X 1,..., X er uavhegige og oissofordelte med parameter λ. Da er e forvetigsrett estimator for λ med stadardfeil λ = X = 1 X i 1 σˆλ = λ og estimert stadardfeil = λ 2 1

2 jfr. eksempel A i avsitt 8.4 i læreboka. Hvis λ er stor i praksis mist 15, vil X i λ λ = λ λ σˆλ være tilærmet stadard ormalfordelt jfr. eksempel A i avsitt 5.3 i læreboka. E ka vise at også λ λ 3 er tilærmet stadard ormalfordelt. Vi vil bruke 3 til å bestemme et tilærmet 1001 α% kofidesitervall for λ. Dette ka gjøres på følgede måte. La z p være p-fraktile i stadard ormalfordelige. Side z α/2 = z 1 α/2 har vi at Ved å løse ulikhetee ser vi at begivehete z 1 α/2 λ λ z 1 α/2 1 α. 4 z 1 α/2 λ λ z 1 α/2 er de samme som λ z 1 α/2 λ λ + z 1 α/2. Dermed gir 4 at λ z 1 α/2 λ λ + z 1 α/2 1 α. Ved å velge λ L = λ z 1 α/2 λ U = λ + z 1 α/2 ser vi at [ λ L, λ U ] er et stokastisk itervall som med sasylighet tilærmet lik 1 α ieholder λ. Vi har altså fuet at λ ± z 1 α/2 5 er et tilærmet 1001 α% kofidesitervall for λ. Merk 1 α/2-fraktile i stadard ormalfordelige ekelte gager skrives som zα/2 i boka til Rice. Altså har vi zα/2 = z 1 α/2. Aecefali er e medfødt, sjelde misdaelse med maglede utviklig av hjere. Bar som har dee misdaelse er oftest dødfødt eller dør kort etter fødsele. I tabelle edefor har vi gitt forekomste av aecefali i Ediburgh hver måed i periode Atall tilfeller x Atall måeder med x tilfeller

3 Av tabelle ser vi at det i 18 av de 132 måedee var ige tilfeller av aecefali, i 42 av måedee var det ett tilfelle, osv. Side aecefali er e sjelde misdaelse, er det rimelig å ata at atall tilfeller av aecefali i løpet av e måed er oisso fordelt med parameter λ = det forvetede atall tilfeller per måed. Ved å bruke 1 fier vi estimatet λ = = 1.97 for det forvetede atall tilfeller av aecefali per måed. Estimatet 2 for stadardfeile er 1.97/132 = Ved å sette disse estimatee i i 5 får vi at et 95% kofidesitervall blir 1.97 ± , det vil si fra 1.73 til 2.21 tilfeller per måed. Normalfordelige La å X 1,..., X være uavhegige og ormalfordelte Nµ, σ 2. Da er µ = X = 1 X i e forvetigsrett estimator for µ med stadardfeil σˆµ = σ. Hvis variase σ 2 hadde vært kjet, kue vi brukt at µ µ σˆµ = X µ σ/ er stadard ormalfordelt og fuet et 1001 α% kofidesitervall for µ fra z 1 α/2 X µ σ/ z 1 α/2 = 1 α, jfr. 4 i eksempelet ovefor. Itervallet blir da X ± z 1 α/2 σ. Variase er imidlertid som oftest ukjet og må estimeres fra observasjoee med S 2 = 1 1 X i X 2, se avsitt 6.3 i boke til Rice. Fra korollar B s. 198 i Rice har vi at X µ S/ er t-fordelt med 1 frihetsgrader. La å t 1,p være p-fraktile i e t-fordelig med 1 frihetsgrader. Vi har, tilsvarede som i ormalfordelige, at t 1,α/2 = t 1,1 α/2 og ka derfor skrive t 1,1 α/2 X µ S/ t 1,1 α/2 = 1 α. 6 3

4 Ved å løse ulikhete på samme måte som ovefor, gir 6 S S X t 1,1 α/2 µ X + t 1,1 α/2 = 1 α slik at X ± t 1,1 α/2 S 7 er et 1001 α% kofidesitervall for µ. Merk 1 α/2-fraktile i t-fordelige med 1 frihetsgrader ekelte gager skrives som t 1 α/2 i boka til Rice. Altså har vi t 1 α/2 = t 1,1 α/2. I forbidelse med produksjo av e spesiell type latex-malig, måles tørketide til malige i timer i = 15 forsøk: å bakgru av disse måligee øsker vi å fie et 90% kofidesitervall for forvetet tørketid for dee maligstype. Det er rimelig å ata at måligee er ormalfordelte. For et 90% kofidesitervall er α = 0.10 og vi treger derfor fraktile t 14,0.95 = fra tabell 4 appediks B i Rice. Ved å bruke MATLAB eller e lommereger fier vi at X = timer og S 2 = Et 90% kofidesitervall for forvetet tørketid for latex-malige blir da ved ± 1.761, 15 som blir fra 3.16 til 3.61 timer. I de to eksemplee ovefor har kofidesitervallee 5 og 7 forme estimator ± fraktil estimator av stadardfeile Slik vil det være i mage adre situasjoer der vi har symmetriske fordeliger. Me som det este eksemplet viser, er det ikke alltid slik. Ekspoesialfordelige Ata at T 1,..., T er uavhegige og ekspoesialfordelte med forvetig τ. sasylighetstetthete De har da ft = { 1 τ e t/τ for t > 0, 0 ellers. Side ET i = τ, er τ = T = 1 T i 8 4

5 e forvetigsrett estimator for τ. Vi øsker å bestemme et 1001 α% kofidesitervall for τ. For å kue gjøre det må vi først bestemme fordelige til e fuksjo av τ. Det er lett å vise at 2T i /τ er gammafordelt med formparameter 1 og skalaparameter 1/2. Gjør det! Det følger at 2T i τ = 2T τ = 2 τ τ 9 er gammafordelt med formparameter og skalaparameter 1/2 jfr. eksempel F i avsitt 4.5 i læreboka. Dee fordelige kalles kjikvadratfordelige med 2 frihetsgrader. La x 2 p være p-fraktile i kjikvadratfordelige med 2 frihetsgrader. Da gir 9 at x 2 α/2 2 τ τ x2 1 α/2 = 1 α. Ved å omforme ulikhetee har vi ekvivalet at 2 τ x 2 τ 2 τ 1 α/2 x 2 = 1 α. α/2 Dette betyr at [ 2 τ x 2 1 α/2, 2 τ ] x 2 α/2 10 er et 1001 α% kofidesitervall for τ. Kreftpasieter som gjeomgår behadlig strålig eller kjemoterapi ka mage gager oppå symptomfrihet ute at sykdomme helbredes. De ka da seere få tilbakefall slik at symptomee igje blir maifeste. I tabelle edefor er det gitt tid til tilbakefall i uker for 21 pasieter med akutt leukemi. Tallee er fra 1960-tallet og er ikke represetative for dages leukemibehadlig For disse dataee og i mage adre tilfeller ka tid til tilbakefall beskrives godt ved ekspoesialfordelige. Vi ka derfor betrakte tidee i tabelle som realisasjoer av 21 uavhegige ekspoesialtfordelte T i -er. Av 8 er et estimat for forvetet tid til tilbakefall τ = = La oss også bestemme et 90% kofidesitervall. Vi ser av 10 at vi da treger 5% og 95% fraktilee i kjikvadratfordelige med 2 21 = 42 frihetsgrader. Av MATLAB fier vi at disse fraktilee er heholdsvis 28.1 og Tabell 3 i appediks B i læreboka gir fraktiler i kjikvadratfordelige for utvalgte atall frihetsgrader. Dermed blir et 90% kofidesitervall for forvetet tid til tilbakefall [ ] ,, det vil si fra 6.27 til 12.9 uker. 5

6 Oppsummerig La oss til slutt oppsummere oe egeskaper ved kofidesitervall som det er verd å merke seg: i Et kofidesitervall [ θ L, θ U ] er et itervall med greser som er stokastiske variable. Det er kostruert for å ieholde e ukjete parameter θ. ii Sasylighete θ L θ θ U = 1 α. evetuelt 1 α ka tolkes som e relativ frekves av et stort atall forsøk. De gir adele av forsøkee der itervallet ieholder θ. iii Etter at itervallgresee er reget ut på grulag av faktiske observasjoer, er det beregede itervallet e realisasjo av det stokastiske itervallet. Det har da ige meig å sakke om sasylighete for at itervallet ieholder θ. For ete ligger θ i itervallet eller så gjør de ikke det selv om vi ikke ka vite hva som er tilfellet. Dette er som for adre sasylighetsutsag så lege vi holder oss til et frekvesbasert sasylighetsbegrep. Det er for eksempel ikke meigsfylt å sakke om sasylighete for at vi fikk sekser etter at vi har kastet e terig. For ete fikk vi e sekser eller så fikk vi ikke det. 6