Forventningsverdi. MAT0100V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk

Transkript

1 MAT0100V Sasylighetsregig og kombiatorikk Forvetigsverdi Sasylighetsfordelige til e tilfeldig variabel X gir sasylighete for de ulike verdiee X ka ata Forvetig, varias og stadardavvik Tilærmig av biomiske sasyligheter Kofidesitervall og hypotesetestig Vi øsker i tillegg et summarisk mål som forteller oss hvor fordelige er «plassert» på tallija Forvetigsverdie er et slikt summarisk mål Ørulf Borga Matematisk istitutt Uiversitetet i Oslo 1 Vi vil bruke rulett som motivasjo (avsitt 8.1) 2 Ruletthjulet har 37 felt som er ummerert fra 0 til 36 Når ruletthjulet surrer slippes e lite kule oppi Kula blir liggede på ett av de 37 ummererte feltee år hjulet stopper Feltee 1-36 er røde eller sorte, mes 0 er grøt 3 Spillere setter si isats på grupper av felt (det er ikke lov å satse på 0) Hvis e spiller satser et beløp på k felt og kula stopper på et av dem, vier spillere og hu får utbetalt 36/k gager isatse 4

2 Vi ser på e «forsiktig» spiller som satser 10 euro på 18 felt (f. eks. de røde) Spillere får 20 euro hvis hu vier og igetig hvis hu taper. Uasett beholder kasioet isatse på 10 euro Spilleres ettogevist i e spilleomgag er 10 euro hvis hu vier, og de er -10 euro hvis hu taper Kvie spiller tre omgager på dee måte La Y være hees samlede ettogevist i de tre omgagee 5 Sasylighetsfordelige til Y : P( Y = 30) P( Y = 10) P( Y = 10) P( Y = 30) 19 ( ) 3 = = ( ) = 3 = ( ) 2 19 = 3 = ( ) = = (taper 3 gager) (vier 1 gag og taper 2 gager) (vier 2 gager og taper 1 gag) (vier 3 gager ) 6 Ata at kvie kveld etter kveld spiller tre omgager rulett Etter N kvelder er hees gjeomsittlig ettogevist: 30 r ( 30) 10 r ( 10) + 10 r ( 10) + 30 r ( 30) N N N N Ruletteksempelet motiverer defiisjoe: E tilfeldig variabel X har mulige verdier x 1, x 2,, x m. Da er forvetigsverdie E( X ) = x P( X = x ) x P( X = x ) 1 1 m m Relative frekveser av de mulige verdiee av ettogeviste Når N øker vil gjeomsittet vil ærme seg 30 P( Y = 30) 10 P( Y = 10) + 10 P( Y = 10) + 30 P( Y = 30) = 0.81 Dette er forvetigsverdie E(Y) 7 Vi sier ofte forvetig i stedet for forvetigsverdi De greske bokstave µ («my») brukes for å betege forvetigsverdi Forvetige er «tygdepuktet» i fordelige 8

3 Store talls lov Ruletteksemplet motiverer også store talls lov: Vi har et forsøk med e tilfeldig variabel X. Hvis vi gjetar forsøket mage gager, vil gjeomsittet av verdiee til X ærme seg forvetigsverdie E(X) To resultater om forvetig Hvis X er biomisk fordelt, er E(X) = p E(a+bX) = a + b E(X) Store talls lov er blat aet grulaget for kasiodrift og forsikrigsvirksomhet 9 10 Varias Forvetigsverdie til e tilfeldig variabel X forteller oss hva gjeomsittlig X-verdi vil bli i det lage løp Vi øsker oss også et summarisk mål som sier oe om hvor mye verdie til e tilfeldig variabel vil variere fra forsøk til forsøk Vi ser på de «forsiktige» spillere som tre gager satser 10 euro på 18 felt og på e ae litt «dristigere» spiller som tre gager satser 10 euro på 6 felt Figure viser fordelige for ettogeviste for de to spillere: «Forsiktig» spiller (Y) Variase er et slikt mål Vi bruker igje rulett som motivasjo «Dristig» spiller (Z) 11 12

4 Nettogeviste Y for de «forsiktige» spillere og ettogeviste Z for de «dristige» spillere har begge forvetigsverdi µ = 30 / 37 = 0.81 Me fordelige til Z er mer «spredt ut» e fordelige til Y For å få et mål på hvor mye fordelige til Y er «spredt ut» tar vi utgagspukt i kvadratavvikee mellom Y-verdiee og forvetigsverdie Hvis Y får verdie -30 er kvadratavviket µ ( 30 ) = ( / 37) = Kvie spiller kveld etter kveld tre omgager rulett. Etter N kvelder er det gjeomsittlige kvadratavviket ( 30 µ ) rn ( 30) + ( 10 µ ) rn ( 10) + (10 µ ) rn ( 10) + (30 µ ) rn ( 30) Relative frekveser av de mulige verdiee av ettogeviste Når N øker, ærmer dette seg µ P Y µ ( 30 ) ( = 30) + ( 10 ) ( = 10) + (10 µ ) P( Y = 10) + (30 µ ) P( Y = 30) = P Y Dee summe kaller vi variase til Y De skriver vi Var(Y). Altså Var(Y)=300 For de «dristige» spillere får vi tilsvarede at Var(Z)=1467 Ruletteksempelet motiverer defiisjoe: E tilfeldig variabel X har mulige verdier x 1, x 2,, x m og forvetigsverdi Da er variase µ Eksempel 9.1: Vi kaster to teriger, og lar X være summe av atall øye Vi har fuet E(X) = 7 Var( X ) = ( x µ ) P( X = x ) ( x µ ) P( X = x ) 1 1 m 2 Ofte bruker e σ for å betege varias m 15 Variase blir: Var( X ) (2 7) (3 7) (4 7) 2 = (11 7) (12 7) = =

5 Stadardavvik Nettogeviste til de «forsiktige» spillere har varias 300 Beevige for variase er «kvadrateuro» Et mål for spredig som har «riktig» beevig er stadardavvik: Stadardavviket til e tilfeldig variabel X er gitt ved SD( X ) = Var( X ) Ofte bruker e σ for å betege stadardavvik Nettogeviste til de «forsiktige» spillere har stadardavvik euro 17 Varias for biomisk fordelig Eksempel 9.2: I e søskeflokk er det fire bar X = «atall gutter i søskeflokke» er biomisk fordelt med =4 og p=0.514 Har fra før at P( X = 0) = P( X = 1) = P( X = 2) = P( X = 3) = P( X = 4) = µ = E( X ) = 2.06 Variase blir X µ µ µ 2 Var( ) = (0 ) (1 ) (2 ) (3 ) (4 ) µ + µ = I eksemplet fat vi (avrudet) Var(X) = 1.00 Merk at ( ) = 1.00 (avrudet) Ka vise at vi har geerelt: Hvis X er biomisk fordelt, er Var(X) = p(1-p) Eksempel 9.3. E bestemt type frø spirer med 70% sasylighet. Vi sår 20 frø Variase til atall frø som spirer er = Variase til a + bx La X være e tilfeldig variabel med forvetigsverdi µ X Y = a + bx har forvetigsverdi µ = a + bµ Y Kvadratavviket for Y blir ( Y µ Y ) 2 Det motiverer resultatet: X = ( a + bx { a + bµ X }) Var(a+bX) = b 2 Var(X) 2 = b ( X µ X ) 20

6 Eksempel 9.4: Vi ser på de «forsiktige» rulettspillere som tre gager satser 10 euro på 18 felt La X være atall gager hu vier X er biomisk fordelt med = 3 og p = 18/ Var( X ) = 3 = Samlet ettogevist: Y = X Tilærmig av biomiske sasyligheter Tidligere var det vaskelig å bruke formele for biomisk fordelig til å rege ut sasyligheter år er stor Alt i 1733 viste Abraham de Moivre hvorda e ka fie tilærmigsverdier for biomiske sasyligheter ( Dermed: Var( Y ) = Var( X ) 2 = 20 Var( X ) = = Selv om det å er eklere å bestemme biomiske sasyligheter, er dee tilærmelse fortsatt viktig 22 Biomisk fordelig for p = 0.25 og = 10, 25, 50, 100 For å fie e tilærmig «forskyver» vi fordeligee slik at de får "tygdepuktet" i origo, og vi «skalerer» dem slik at de får samme spredig Vi ser derfor på de stadardiserte variabele Z X E( X ) X p = = SD( X ) p(1 p) Vi har at E(Z) = 0 og SD(Z) = 1 Fordelige forskyves mot høyre og blir mer «spredt ut» år øker 23 Vi merker oss at hvis X = k så er Z = k p p(1 p) Vi får derfor fordelige til Z av fordelige til X 24

7 Stolpediagram for fordelige til Z Arealet av e stolpe svarer til sasylighete for at Z får de aktuelle verdie Stolpediagrammee ærmer seg stadardormalfordeligsfuksjoe f ( x) = 1 2π e x 2 / 2 25 Vil bruke de Moivres tilærmig til å fie P( X 33) år = 100 og p = 0.25 Vi merker oss at P( X 33) Vi skal egetlig summere arealee av alle søylee til vestre for ( ) = P Z = P ( Z 1.85) Summe av arealee av søylee er omtret like stor som arealet uder f(x) til vestre for Arealet uder stadardormalfordeligsfuksjoe til vestre for 1.85 fier vi av tabelle bak i kompediet: Vil så bruke de Moivres tilærmig til å fie P( X 19) år = 100 og p = 0.25 Vi merker oss at ( ) P( X 19) = P Z = P( Z 1.39) De Moivres tilærmig gir at P( X 33) ( 1.85) Vi skal egetlig summere arealee av alle søylee til høyre for Summe av arealee av søylee er omtret like stor som arealet uder f(x) til høyre for = P Z 27 28

8 Arealet uder stadardormalfordeligsfuksjoe til vestre for fier vi av tabelle bak i kompediet: Eksempel 10.3: Vi teker oss at Arbeiderpartiet på et tidspukt har oppslutig av 32.0% av velgere Et meigsmåligsistitutt spør et tilfeldig utvalg på 1000 persoer over 18 år hvilket parti de ville stemt på hvis det hadde vært valg Arealet til høyre for er lik é mius arealet til vestre for Derfor P( X 19) = P( Z 1.39) = Hva er sasylighete for at mellom 300 og 340 av dem ville ha stemt på Arbeiderpartiet? Med adre ord: hva er sasylighete for at Arbeiderpartiets oppslutig på meigsmålige vil bli mellom 30.0% og 34.0%? 30 La X være atallet av de spurte som ville ha stemt på Arbeiderpartiet Side det trekkes ute tilbakeleggig, er stregt tatt X hypergeometrisk fordelt Me da atallet som trekkes ut er lite i forhold til atall over 18 år i hele befolkige, ka vi rege som om X er biomisk fordelt med = 1000 og p = Nå har vi at P(300 X 340) ( Z ) = P ( 1.36 Z 1.36) = P Arealet uder stadardormalfordeligsfuksjoe mellom og 1.36 er lik arealet til vestre for 1.36 mius arealet til vestre for

9 Sasylighetsregig og statistikk Vi har sett på tilfeldige variabler og deres sasylighetsfordeliger. Det er e del av sasylighetsregige Vi vil å se på hvorda sasylighetsregige daer grulaget for statistiske metoder Vi øyer oss med å se på biomiske situasjoer I sasylighetsregige kjeer vi verdie til p De Moivres tilærmig gir at P (300 X 340) = P ( 1.36 Z 1.36 ) = Geerelt ser vi på e stor populasjo der e ukjet adel p har et bestemt "kjeeteg" Estimerig og kofidesitervall Vi er ofte iteressert i å aslå («estimere») verdie av p ut fra resultatet av et forsøk, og også å si oe om hvor presist aslaget er I eksemplet er populasjoe alle over 18 år som ville ha stemt hvis det var valg, og kjeeteget er at e perso ville stemt på Ap Eksempel 11.1: Av 1001 persoer som ble itervjuet, ville 411 ha stemt på Arbeiderpartiet hvis det hadde vært valg Arbeiderpartiets oppslutig er 411/1001=0.411, dvs 41.1%. Hvor sikkert er dette aslaget? I statistikke gjør vi ikke det. Der er poeget ettopp å kue si oe om verdie til p år vi har observert X Vi trekker et tilfeldig utvalg på idivider fra populasjoe. Størrelse av utvalget er lite i forhold til størrelse av hele populasjoe La X være atall i utvalget som har kjeeteget 35 Vi ka rege som om X er biomisk fordelt med p lik de ukjete adele i populasjoe som har kjeeteget 36

10 Til å aslå («estimere») p bruker vi adele i utvalget som har kjeeteget, dvs. Av de Moivres resultat fier vi at X pˆ = Merk at ˆp («p hatt») er e tilfeldig variabel I eksempelet fikk ˆp verdie X p P p(1 p) Nå er X p pˆ p = p(1 p) p p (1 ) 2.5% % 2.5% For å kue si oe om hvor presist et aslag er, må vi ta hesy til hvor mye verdie av ˆp vil variere fra udersøkelse til udersøkelse bare på gru av tilfeldige variasjoer 37 Dermed pˆ p P p(1 p) 38 Ka vise at vi ka erstatte p med ˆp i evere: 1.96 pˆ p P pˆ (1 pˆ ) Ulikhetee ka omformes slik at vi får p alee i midte: ˆ ˆ ˆ ˆ ( ˆ ) p(1 p) ˆ p(1 p) P p 1.96 p p Det er altså tilærmet 95% sasylig at udersøkelse vil gi et resultat som er slik at p blir liggede i itervallet pˆ p ˆ (1 p ˆ ) ˆ (1 ˆ ), ˆ p p p Dette itervallet kaller vi et (tilærmet) 95% kofidesitervall for p 39 40

11 Eksempel 11.2: Vi ser igje på meigsmålige Vårt estimat for Aps oppslutig er pˆ = = % kofidesitervall: Dvs.: ( ) 1001 [ 0.381, ] 41, ( ) 1001 (dette gir e «feilmargi») 41