KLMED8004 Medisinsk statistikk. Del I, høst Estimering. Tidligere sett på. Eksempel hypertensjon

Transkript

1 Tidligere sett på KLMED8004 Medisisk statistikk Del I, høst 008 Estimerig Hvorda kjete sasylighetsfordeliger (biomialfordelig, ormalfordelig) med kjete populasjosparametrer (forvetig, varias osv.) ka gi svar på spørsmål som for eksempel Gitt =0 fødsler og sasylighet for lav fødselsvekt p=0.1, hva er sasylighete for at mist 3 fødte med lav vekt? Modell: X ~ bi(, p ). Diskret fordelig. Gitt at fødselsvekt X er ormalfordelt med forvetig μ = 3750 g og stadardavvik = 500 g. Hva er sasylighete for at e yfødt skal veie mist 54 gram? Modell: N ~ N( μ, ) = N( 3750, 500 ). Kotiuerlig fordelig. Harald Johse, sept Eksempel hypertesjo Ata at diastolisk blodtrykk X hos år gamle me er ormalfordelt med forvetig μ = 80 og varias = 1. Hvor stor adel av år gamle me har diastolisk blodtrykk mellom xmi = 56 og xmax = 104? Beytter at X ~ N( μ, ) Z ~ N(1,0 ) x μ z mi (1) mi = = =. x μ z max () mi = = =. 95% av arealet uder stadard ormalfordelig ligger iefor ±SD (mer presist iefor ± 196SD). fra forvetige, dvs. P( < Z 1. 96) = medfører P( 56 < X 140) = Dette er også referaseområdet, ormalverdier 3 4

2 Nye spørsmål Hvorda ka et utvalg (sample) brukes til å estimere parametrer i e sasylighetsfordelig Hvorda estimere setral beliggehet (forvetig, media, modalverdi) Hvorda estimere variabilitet (varias, kvartiler, variasjosbredde) Hvorda plassere et itervall rudt et estimat for å uttrykke hvor sikkert et estimat er Hvilke er best av alle mål på setral beliggehet og på variabilitet Populasjo og utvalg E populasjo er de komplette megde av de objekter (eheter) det er mulig å gjøre observasjoer på Et utvalg er e begreset udermegde fra e populasjo valgt ut på e slik måte at det er mulig å dra koklusjoer som ka geeraliseres til hele populasjoe. Essesielle spørsmål: Hva er populasjoe? Hvorda er utvalget foretatt? Gitt utvalg, hvilke populasjo ka det geeraliseres til? 5 6 Noe utvalgstyper Ekelt, tilfeldig utvalg (simple radom sample) medlemmer (objekter) trekkes ut fra populasjoe på e slik måte at alle har samme sasylighet for å bli trukket ut Stratifisert utvalg populasjoe deles i i homogee udergrupper (strata) basert på e eller ae egeskap ved medlemmee (kjø, alder, osv.). Deretter tilfeldig utvalg fra hver gruppe. Klygeutvalg (cluster sample) populasjoe deles i i grupper (clusters), grupper trekkes tilfeldig, alle medlemmer eller tilfeldig utvalg fra gruppee aalyseres Systematisk utvalg Puktestimerig Har e populasjo og et utvalg. Skal på grulag av observasjoer på medlemmee i utvalget estimere (aslå) ukjete størrelser (parametrer) i populasjoe eller i populasjosfordelige. E parameter er et fast, valigvis ukjet tall og er følgelig ikke stokastisk. Eksempler: I biomialfordelige X ~ bi(, p )er parametere p I e ormalfordelig X ~N( μ, ) er parametree μ og I Poissofordelige X~Po( λ ) er parametere λ I det geerelle tilfelle brukes valigvis θ (theta) som symbol for e parameter. 7 8

3 Puktestimerig forts. Atar det skal foretas et tilfeldig utvalg på observasjoer fra e uedelig stor populasjo med populasjosforvetig μ og varias. Får da idetisk fordelte stokastiske variabler X 1,X,...,X (ikke ødvedigvis ormalfordelte). E estimator for e parameter er e matematisk fuksjo av de stokastiske variablee og derfor selv e stokastisk variabel, og de uttrykkes som de aktuelle parametere med hatt over: Parameter θ, estimator ˆθ, (leses theta hatt) De aritmetiske middelverde i utvalget er e ituitiv og aturlig estimator for populasjosforvetige μ : μˆ X + X X 1 = = X Estimatores egeskaper Forvetig: ˆ X + X X 1 1 E( μ) = EX ( ) = E = μ = μ Estimatore er forvetigsrett (ubiased) god egeskap Varias (forutsatt uavhegige observasjoer): X + X X 1 ˆ = = = = 1 Var( μ) Var( X ) Var Ser at Var( μˆ ) 0år også e god egeskap 9 10 Estimator forts. For e og samme parameter ka det fies flere forvetigsrette estimatorer. For symmetriske fordeliger med é modalverdi er middelverdie mediae modalverdie m.fl. alle forvetigsrette for populasjosforvetige, me de ka ha ulik varias. Da velges de estimator som har mist varias. For ormalfordelte observasjoer vil det være utvalgets aritmetiske middelverdi Middelverdies sasylighetsfordelig Det ka vises at dersom X 1, X,..., X er uavhegige og ormalfordelte med forvetig μ og varias, vil X være ormalfordelt med forvetig μ og varias selv om 1 X, X,..., X ikke er ormalfordelte, vil X være tilærmet ormalfordelt å er stor ok. Dersom fordelige til X-ee ikke er altfor spesiell (svært skjev, flere topper, osv.), vil i praksis dee setige gjelde allerede fra >

4 Middelverdies varias Ikke-ormalfordelte data Fig. 3: De lave kurve viser e ormalfordelig med forvetig 3 og varias 1.44, (SD=1.). Hvis e tar 16 observasjoer fra dee fordelige og bereger gjeomsittet, vil det ha e ormalfordelig med forvetig 3 og varias 1.44/16=0.09, (SD=0.3). Dette er de høye, smale fordelige. 13 Fig. 3: Reisetider (fra populasjo) hjemmefra til studiestedet. 300 tilfeldige utvalg av størrelse 1, 4, 9 og 16. (Fra Aale 1998) 14 Itervallestimerig Et puktestimat er basert på isatte verdier for stokastiske variabler. Hvor sikkert er estimatet? Ka det bereges et itervall som med stor sasylighet omslutter de ukjete parametere? Svaret er NEI! o Det ka lages e oppskrift på hvorda et slikt itervall, kofidesitervall, ka kostrueres, me år observerte verdier settes i, ka itervallet ikke leger tolkes med sasylighetsbegrep Kostruksjo av kofidesitervall Ata at X 1,X,...,X er uavhegige og ormalforelte med forvetig μ og varias. Har tidligere fuet estimatore ˆμ = X med variase. ˆ μ μ Dette gir Z = ~N(1,0) og medfører ( ) P z Z z 1 α/< 1 α/ = α der α er et lite tall, valigvis 0.05 Med litt regig fås ettersom, zα / = z1 α /, P ˆ μ z1 α/ < μ ˆ μ + z1 α/ = 1 α Dette er oppskrifte på et (1 α )-kofidesitervall for parametere μ, populasjosforvetige

5 Velges α = 0.05 og erstattes ˆμ med X, fås P X 1.96 < μ X = = 0.95 På kompakt form blir itervallet X ± 1.96 Legde på itervallet blir 1.96 Ata gjetatte utvag av størrelse. Får hver gag et ytt estimat for μ, ˆμ = x, og hver gag bereges et ytt kofidesitervall. Ettersom μ er og forblir ukjet, vil vi aldri kue få rede på hvilke itervaller som faktisk ieholder μ!!! Kofidesitervall, ormalfordelig med ukjet varias Samme resoemet som ovefor, me populasjosvariase estimeres med utvalgsvariase 1 s = (Xi X ) 1 i= 1 og vi kommer over i t-fordelige med -1 frihetsgrader og får s s P ˆ μ t 1,1 α/ < μ ˆ μ + t 1,1 α/ = 1 α 0.95-kofidesitervallet blir da på kompakt form: X ± t 1,0.975 s Legde s t 1,0.975, som er stokastisk fordi s er det 19 0

6 Tilærmig til ormalfordelig ved ikkeormalfordelte observasjoer Ata biomisk forsøksrekke (diskret fordelig) i) Forsøket er (ka tekes) sammesatt av uavhegige ekeltforsøk ii) I hvert ekeltforsøk registreres hvorvidt é bestemt hedelse A opptrer eller ikke iii) P(A)=p i alle ekeltforsøk (iebærer at P( A*) = 1 p= q iv) Observerer X= atall gager A opptrer i de ekeltforsøk k P( X = k ) = p (1 p) k Bestemme kofidesitervall for parametere p: k X p(1 p ) Tidligere vist: ˆp =, E( p) ˆ = p, Var( p ˆ ) = Stadardiserer ˆp ved å trekke fra forvetige og dividere på stadardavviket: Defierer Da vil pˆ p pˆ p Z = = SD( p ˆ ) p(1 p ) 1ved utfall A, P( A) = p I = 0 ved ufall A*, P( A*) = 1 p = q i 1 i= 1 X = I = I + I I X I1 + I I Merk at ˆp = = er e sum av mage uavhegige hedelser, hver ute domias på X. Setralgreseteoremet iebærer å at år vokser, vil Z ærme seg e stadard ormalfordelig. Tilærmige gjelder spesielt godt dersom p(1 ˆ p ˆ ) > 5 1 Når kravet ovefor er oppfylt, vil (1 α ) kofidesitervallet for p bli tilærmet p(1 ˆ p ˆ ) = = 38.4 > 5, tilærmig til ormalfordelig holder ˆp± z p(1 p) / 1 α / Et umerisk resultat fås ved å erstatte p med et estimat x, observert). Eksempel 6.44, prevales av brystcacer: =10000, x (observert atall cacer) = 400 x ˆp = (merk lite Itervallestimat: p ˆ z p(1 ˆ p) ˆ /, p ˆ + z p(1 ˆ p) ˆ / ( ) =( / 10000, / ) = ( , ) = ( 0.036,0.044) At at prevalese i befolkige (populasjoe) var 0.0. Hvorda tolke svaree ovefor? Skal fie et pukt- og 0.95-itervallestimat for prevalese p 400 Puktestimat: ˆp = = (estimert prevales) Dersom ikke er stor ok til at setralgreseteoremet gjelder, må ete tilærmige til ormalfordelige justeres, eller så må det beyttes eksakte metoder, som er det beste. 4