Oppgaven består av 9 delspørsmål, A,B,C,., som anbefales å veie like mye, Kommentarer og tallsvar er skrevet inn mellom <<.. >>.

Transkript

1 ECON 130 EKSAMEN 008 VÅR - UTSATT PRØVE SENSORVEILEDNING Oppgave består av 9 delspørsmål, A,B,C,., som abefales å veie like mye, Kommetarer og tallsvar er skrevet i mellom <<.. >>. Oppgave 1 Ved e spørreudersøkelse blat økoomistudeter som skal opp i statistikk ved e høyskole ble studetee spurt om hvilke karakter de forvetet ved de foreståede eksame. I tillegg ble de spurt om de hadde reget ekstra oppgaver utover dem som var satt opp på oppgavesemiaret (svaralterativer ja eller ei ). Basert på resultatee fra spørreudersøkelse er det satt opp e tabell over atatte sasyligheter for de 8 svarkombiasjoee som er agitt i tabell 1. For eksempel atas at e tilfeldig valgt studet har e sasylighet på 0,06 for både å svare ja på spørsmålet om ekstra oppgaver og forvete e B til eksame. Merk at de 8 sasylighetee i tabelle summerer seg til 1. Tabell 1. Har reget ekstra oppgaver Forvetet karakter til eksame D eller A B C dårligere Ja 0,1 0,06 0,1 0,0 Nei 0,13 0,1 0,6 0,08 A. (i) Fi sasylighete for at e tilfeldig valgt studethar reget ekstraoppgaver utover oppgavesemiaret (dvs. svarer ja på spørsmålet om ekstraoppgaver). (ii) Fi sasylighete for at e tilfeldig valgt studet forveter mist B (dvs. A eller B) til eksame. << (i) P(ja) = 0,3. (ii) P(mist B) = 0,5 >> B. (i) Fi sasylighete for at e vilkårlig studet som har reget ekstraoppgaver utover oppgavesemiaret forveter mist B til eksame. (ii) La X være e stokastisk variabel som idikerer forvetet karakter til eksame (for eksempel X =1 for A, X = for B, X = 3 for C og X = 4 for D eller dårligere),

2 og Y som idikerer svaret på spørsmålet om ekstraoppgaver ( Y = 1 for ja og Y = 0 for ei ). Er X og Y stokastisk uavhegige? Begru svaret. << (i) P(mist B ja) = 0,1 + 0,06 = 9 = 0,563. 0,3 16 (ii) Nei. F.eks PX ( = 1) PY ( = 1) = (0, 5)(0,3) = 0,08 ` PX ( = 1 Y= 1) = 0,1. >> Oppgave E jury på 1 medlemmer skal velges ved loddtrekig fra et pael beståede av 8 kvier og 8 me. A. Vis at det er 180 mulige juryer som ka daes ut fra paelet. << = = = >> B. (i) Fi sasylighete for at det er like mage me som kvier i de uttruke jurye. (ii) Fi sasylighete for at det blir flertall me i jurye. [Hit: Merk at dee sasylighete må på gru av symmetrie være lik sasylighete for flertall kvier.] << (i) La X være atall me i jurye. Dermed PX ( = 6) =. Side = = = 8, får vi PX= ( 6) = = = 0, (ii) La q være s.hete for flertall me. Vi har q + 0,431 = 1, hvorav 1 0,431 q = = 0,85 >>

3 3 Oppgave 3 8% av befolkige i e større by lider av e viss sykdom, S. E rimelig og rask diagostisk test har følgede egeskap: Bruke av teste har to mulige utfall, positivt eller egativt utslag. 80% av dem som lider av S vil få et positivt utslag ved bruk av teste, mes 80% av dem som ikke lider av S vil få et egativt utslag. Gitt at e perso har fått et positivt utslag på teste. Hva er sasylighete for at vedkommede lider av S? << La P være begivehete av positivt utslag. Vi har oppgitt: PS ( ) = 0,08, PP ( S ) = 0,8 og PP ( S ) = 0,8. Vi får: PP ( ) = PSPP ( ) ( S) + PS ( ) PP ( S) = (0,08)(0,8) + (1 0,08)(1 0,8) = 0, 48 PSPP ( ) ( S) (0.08)(0,8) Dermed PS ( P) = = = 0, 58 >> PP ( ) 0,48 Oppgave 4 E skatteispektør øsker å aslå adele, p, av feilfrie regskap i e gitt brasje. Feilee som ka forekomme i et regskap deles i i to kategorier, alvorlige feil og midre alvorlige feil. I et ret tilfeldig utvalg på = 60 regskap fra brasje fier ispektøre at 6 regskap hadde mist e alvorlig feil, mes 14 regskap hadde mist e midre alvorlig feil. Blat de regskapee som hadde feil i det hele tatt var det to som hadde mist e alvorlig og mist e midre alvorlig feil. A. Sett opp e forvetigsrett estimator for p og bereg estimatet. << La A bety at det bare er alvorlige feil i regskapet, B bare midre alvorlige feil og C både alvorlige og midre alvorlige feil. La # bety atall. Vi har: #( A C) = 6, #( B C) = 14 og #( C ) =. Dermed #( A ) = 4, #( B ) = 1 og #(regskap med feil) = 4+1+ = 18. Hvis X er atall feilfrie regskap, blir X observert = = 4 og estimatet X 4 pˆ = = = 0,7 >> 60 B. La X betege atall feilfrie regskap i utvalget. Ata at brasje er så stor at X ka atas å være biomisk fordelt ( p., ) (i) Bereg et tilærmet 95% kofidesitervall for p dersom ˆp i pukt A hadde fått verdie 0,7 (og = 60 ). (ii) Hvor mage regskap måtte ispektøre udersøke dersom hu ville være helt sikker på at legde av kofidesitervallet ikke ble større e 0,1 uasett hvilke verdi ˆp måtte få i det større utvalget?

4 4 << (i) (0,3)(0,7) 0, 70 ± 1.96 = 0, 70 ± 0,1 = [0,58, 0,8] 60 pˆ(1 pˆ) (ii) (1,96) 0,1 4(1,96) pˆ(1 pˆ) / 0, 01. Side pˆ(1 pˆ) 1 4, er dette helt sikkert oppfylt hvis (1,96) / 0, 01 = 384, eller 385. >> C. Ata fremdeles at = 60 og at de observerte verdie av ˆp er 0,7. Tyder dette resultatet på at p < 0,8? Sett opp passede hypoteser og bereg p-verdie (tilærmet). Formuler e koklusjo. H : p 0,8 H : p< 0,8. Testobservator: Z = pˆ 0,8. pˆ(1 pˆ) 0,1 Observert: Z obs = = 1, 69. P-verdi: 0, 059 P 0,8 ( 1,69) 0,0455 Forkast H 0 på 5% ivå. >> << 0 1 Oppgave 5 Ata at X er biomisk fordelt ( p, ) der er atall forsøk og p suksess-sasylighete. E X( X) = ( 1) p(1 p). [Hit: Husk at formele (i) Vis at [ ] E Y = var( Y) + [ EY ( )] gjelder geerelt for e stokastisk variabel Y] p(1 p) (ii) De valige estimatore ˆp = X har varias σ = var( pˆ ) =. Bruk (i) til å p(1 p) kostruere e forvetigsrett estimator for σ =. Er de valige estimatore pˆ(1 pˆ) for σ, emlig, forvetigsrett? << (i) : E [ X ( X )] = E( X ) E X = p ( p(1 p) + p ) = = p p + p p = ( ) p + ( ) p = = ( )( p p) = ( 1) p(1 p) [ ] (ii) (i) E X ( X ) X ( X ) p ˆ(1 p ˆ) p (1 p ) = E E σ ( 1) ( 1) = = = 1, hvorav

5 5 X( X) pˆ(1 pˆ) ˆ σ = = er forvetigsrett. De valige estimatore ( 1) 1 uderestimerer σ litt. >>