EKSAMENSOPPGAVE. Mat-1060 Beregningsorientert programmering og statistikk

Transkript

1 Fakultet for aturviteskap og tekologi EKSAMENSOPPGAVE Eksame i: (Kode og av) Dato: Klokkeslett: 09:00-13:00 Sted: Åsgårdv 9 Mat-1060 Beregigsorietert programmerig og statistikk Tillatte hjelpemidler: Rottma matematisk formelsamlig Formelsamlig i matematikk for videregåede skole Gyldedal eller Aktiv ark med ege hådskreve otater (totalt 4 sider) Godkjet kalkulator Type iførigsark (rute/lije): Atall sider ikl. forside: Kotaktperso uder eksame: rute 19 Ida Friestad Pederse Oddmar Eiksud Telefo/mobil: Ida Friestad Pederse: Oddmar Eiksud: NB! Det er ikke tillatt å levere i kladd samme med besvarelse Postboks 6050 Lages N-9037 Tromsø / / postmottak@uit.o / uit.o

2 Oppgave 1 (4 % + 4 % + 4 % = 1 %) Fuksjoe f(x) = 5 x 3 har et ullpukt i itervallet [0 ]. Vi øsker å fie dette ullpuktet ved hjelp av halverigsmetode og skriver følgede program: a = 0; b = ; for i = 1:3 % 1 til 3 c = (a+b)/; if (5-c^3)<0 b = c; else a = c; ed ed ullpukt = (a+b)/ maksfeil = (b-a)/ a) Hvilke tilærmigsverdi for ullpuktet har vi fuet etter de tre iterasjoee? b) Beskriv maksfeile som e tallfølge e der er atall repetisjoer i for-løkke. Hvor mage repetisjoer tregs for at feile skal bli midre e c) Vi vil erstatte for-løkke med e while-løkke som stopper år feile er midre e Gjør de ødvedige edrigee i programmet for å få til dette. Oppgave (4 % +4 % + 5 % = 13 %) Gitt fuksjoe g(x) = x cos x x [0 π ]. Vi øsker å berege arealet avgreset av fuksjoe og x-akse. π A = g(x)dx Vi får oppgitt at de adrederiverte til dee fuksjoe er 0 g (x) = ( x ) cos x 4x si x a) Bruk overslagsregig og bestem e øvre grese M for absoluttverdie til de adrederiverte på itervallet [0 π ]. Vis at dee ka velges til å være M 1 4 π + π + b) Bruk M til å aslå et miste atall delitervaller vi må bruke for at feile ved trapesmetode skal bli midre e c) Skisser e algoritme som bereger dette arealet ved hjelp av trapesmetode. Bruk Pseudo- eller MATLAB-kode. Feilestimat i trapesmetode: E M (b a)3 1

3 Oppgave 3 (5 % + 4 % + 8 % = 17 %) I følge Atidopig Norge er bruk av prestasjosfremmede midler («dopig») et problem også blat mosjoister på treigssetre. Basert på tidligere irapporterte data aslås det at 4 % av de som treer på treigssetre bruker e viss type dopig. Treigssetre ka kreve at medlemmer tar e dopigtest. Dee dopigteste påviser det forbudte stoffet (positiv test) i 95 % av tilfellee der e perso er dopet me de påviser det også feilaktig i 10 % av tilfellee der persoe ikke er dopet. a) Hva er sasylighete for at e tilfeldig valgt mosjoist på et treigsseter avlegger e positiv dopigtest? b) Gitt at e slik mosjoist avlegger positiv dopigtest hva er sasylighete for at ha eller hu virkelig er dopet? E persolig treer (PT) gjeomfører e udersøkelse for å kartlegge ulike gruppers bruk av bevegelighetstreig. Av et tilfeldig utvalg på 150 styrkeløftere oppgir 111 at de treer bevegelighet uketlig mes i et tilfeldig utvalg på 00 løpere oppgir 160 at de treer bevegelighet uketlig. Ige av de spurte drev med både styrkeløft og løpig. c) Er det oe forskjell i adel styrkeløftere og adel løpere som treer bevegelighet uketlig? Gjeomfør e hypotesetest og bruk sigifikasivå på 5 %. Oppgave 4 (6 % + 6 % + 4 % + 6 % = %) Fra tidligere udersøkelser er det kjet at 15 % av alle oppdrettslaks har e bestemt geetisk mutasjo. a) Som e del av et forskigsprosjekt blir 0 oppdrettslaks tilfeldig valgt ut for å slaktes. 1) Fi sasylighete for at ige av dem har de geetiske mutasjoe. ) Fi sasylighete for at mist av dem har de geetiske mutasjoe. b) Forskigsprosjektet blir utvidet og i este dataisamligsrude blir 300 tilfeldig valgte oppdrettslaks slaktet og udersøkt. Bruk ormaltilærmig for å fie e tilærmet verdi for sasylighete for at mist 40 av disse har mutasjoe. Udersøk også om forutsetigee for bruk av ormaltilærmig er oppfylt. Oppdrettsalegg er ofte plaget med lakselus. Det atas her at atall lus per laks er Poisso-fordelt med forvetigsverdi 1.. c) Hva er sasylighete for at e tilfeldig valgt laks skal være fri for lus? Oppdrettsærige har fått e del kritikk blat aet på gru av spredig av lakselus til villfisk. Et meigsmåligsistitutt fikk derfor i oppdrag å kartlegge befolkiges holdig til fiskeoppdrett. I Troms og Fimark ble et tilfeldig utvalg på 1 spurt og 391 persoer svarte atallet oppdrettsalegg i ladsdele bør reduseres d) Fi et 95 % kofidesitervall for adele som øsker e reduksjo i oppdrettsærige i ladsdele.

4 Oppgave 5 (10 %) E studie øsket å udersøke effekte av et ytt medikamet på kolesterol. Som et iledede forsøk ble medikametet testet på 10 tilfeldig valgte persoer. Kolesterolkosetrasjoe i blodet deres ble målt i starte av prosjektet samt etter at de hadde brukt medikametet i 4 uker. Tabelle edefor viser kolesterolkosetrasjoe før og etter behadligsperiode for de 10 deltakere. Kolesterol før (x i ) Kolesterol etter (y i ) Tyder dataee på at dette medikametet seker gjeomsittlig kolesterolkosetrasjo? Utfør e hypotesetest med 5 % sigifikasivå. Oppgave 6 (8 % + 5 % + 5 % + 8 % = 6 %) Datasettet i tabelle edefor viser målte verdier av materialtetthete (X) og elastisitete (Y) til 10 staver av e viss type plast. Materialtetthet X Elastisitet Y Det oppgis at x i = 1.1 x i = y i = y i = og x i y i = a) Fi korrelasjoskoeffisiete r. Er det grulag for å si at det er e lieær sammeheg mellom X og Y? b) Fi de estimerte regresjoslije. c) I følge dee modelle hva vil forvetet elastisitet til e plaststav med materialtetthet 0.60 være? Er svaret realistisk? Forklar. d) Fi et 90 % kofidesitervall for de forvetede elastisitete til e plaststav med materialtetthet 1.5.

5 Normalfordelige X μ Z = σ er N(01) Setralgreseteoremet: For stor ( > 30) gjelder σ X er tilærmet N (μ ) Deskriptiv statistikk Middelverdi Gruppert middelverdi Varias s = 1 1 (x i x ) Gruppert varias x = 1 x i k x = 1 x imf i k = 1 1 ( x i s = 1 1 (x im x ) f i Stadardavvik s = s Sasylighet og kombiatorikk P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) P(A B) = P(A) P(B A) P(A ) = 1 P(A) P(A) = P(A B) P(B) + P(A B ) P(B ) Bayes regel P(A) P(B A) P(A B) = P(B) Uavhegige hedelser P(A B) = P(A) P(B) P(A B) = 1 P(A ) P(B )! Pr = P( r) = ( r)! Cr = C( r) = ( r ) =! ( r)! r! x ) Hypergeometrisk fordelig Poissofordelig P(X = x) = (M x ) (N M x ) ( N ) E(X) = p p = M N N Var(X) = p(1 p) N 1 P(X = x) = λx x! e λ E(X) = λ Var(X) = λ Estimerig og hypotesetestig Forvetigsverdi μ eller [X zα σ X + zα σ ] Z = X μ 0 σ/ [X tα S X + tα med df = ν = 1 Varias σ χ α med df = ν = 1. Adel p [p zα S ] T = X μ 0 S/ ( 1)S ( 1)S [ p (1 p ) Z = ] χ 1 α p (1 p ) p + zα ] p p 0 p 0(1 p 0 ) Diskrete sasylighetsfordeliger μ = E(X) = x P(X = x) σ = Var(X) = (x μ) P(X = x) = E(X ) μ = (x P(X = x)) μ Biomisk fordelig P(X = x) = ( x ) px (1 p) x E(X) = p Var(X) = p (1 p)

6 Kofidesitervall/T-test for μ 1 μ [X Y zα σ 1 + σ X Y + zα 1 eller + σ ] 1 σ 1 [X Y tα S p X Y + tα S 1 p ] 1 der X Y T = S p S p = ( 1 1)S 1 + ( 1)S 1 + og df = ν = 1 + Paret T-test to populasjoer [D tα S D D + tα S D ] T = D S D der D i = X i Y i og S D = 1 1 ( D i D ) Kofidesitervall for p 1 p [p 1 p zα p 1(1 p 1) + p (1 p ) 1 p 1 p + zα p 1(1 p 1) + p (1 p ) ] 1 H 0 : p 1 p = Δ 0 Z Δ = H 0 : p 1 p = 0 Z 0 = der p 1 p Δ 0 p 1(1 p 1) + p (1 p ) 1 p 1 p p (1 p ) X + Y p = 1 + Modelltest k χ = (X i E i ) df = ν = k c 1 E i der c er atall estimerte parameter. Kotigestabell / krysstabell lijesum i koloesum j E ij = totalsum χ = (X ij E ij ) E ij Hvis r er atall rader og c er atall koloer er df = ν = (r 1) (c 1) Korrelasjo og regresjo S xx = x i x der β = S xy S xx S yy = y i y S xy = x i y i x y S xy r = S xx S yy y = α + β x og α = y β x s = S EE = S yy β S xx Kofidesitervall for E(Y) [α + β x tα s 1 (x x ) + S xx α + β x + tα s 1 (x x ) + ] S xx der df = ν =