ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren Kontinuerlige tilfeldige variable, intro. Kontinuerlige tilfeldige variable, intro.
|
|
- Ann Bø
- 4 år siden
- Visninger:
Transkript
1 ÅMA Sasylighetsregig med statistikk, våre Kp. 4 Kotiuerlige tilfeldige variable; Normalfordelig Kotiuerlige tilfeldige variable, itro. (eller: Kotiuerlige sasylighetsfordeliger) Vi har til å sett på diskrete fordeliger - mulige verdier er atskilte pukter på tallije, feks f.eks.,,, 3,... Kotiuerlige tilfeldige variable, itro. (eller: Kotiuerlige sasylighetsfordeliger) Vi har til å sett på diskrete fordeliger - mulige verdier er atskilte pukter på tallije, feks f.eks.,,, 3,... I mage situasjoer er det aturlig at alle verdier på tallije (muliges e del av de) er mulige utfall. 3
2 7) 5) 3) ) 9) 7) 5) 3) ) 9) 7) 5) 3) ) 9) 7) 5) Kotiuerlige tilfeldige variable, itro. Eks.: X=høyde til tilfeldig valgt kvielig UiSstudet.,,,8 I prisippet er ehver verdi i f.eks. itervallet [.5m,.m], et mulig utfall.,6, [53, 5 [55, 5 [57, 5 [59, 6 [6, 6 [63, 6 [65, 6 [67, 6 [69, 7 [7, 7 [73, 7 [75, 7 [77, 7 [79, 8 [8, 8 [83, 8 [85, 8.5m.m Vi ka ikke liste opp alle mulige utfall i e slik situasjo og kytte sasylighet til hvert av dem! 4 Kotiuerlige tilfeldige variable, itro. Vi sier at X er e kotiuerlig tilfeldig variabel, eller at X har kotiuerlig sasylighetsfordelig., For å beskrive fordelig av sasylighet på de forskjellige utfallee, f(x),,8,6, brukes e kurve, f(x): x 5 Kotiuerlige tilfeldige variable, itro. Kurve beskriver fordelige av sasylighet på de forskjellige utfallee, ved at: sasylighete er stor for verdier x der f(x) er stor. Vi ka ikke betrakte ekeltverdier, me et itervall, [a, b], av verdier.,,,8 f(x),6, x 6
3 Kotiuerlige tilfeldige variable, itro. Kurve beskriver fordelige av sasylighet på de forskjellige utfallee, ved at: sasylighete er stor for verdier x der f(x) er stor. Vi ka ikke betrakte ekeltverdier, me et itervall, [a, b], av verdier., P(X [a,b]) = P(a X b) f(x),,8,6 b = f(x)dx a, a b 7 x Kotiuerlige tilfeldige variable, itro. Def.: Kurve f(x) kalles sasylighetstetthetsfuksjoe til X. For tetthetsfuksjoe f(x) må vi ha at : ) f(x) ) for to tall a og b der a < b, P(a X b) = f(x) dx 3) f(x) dx = - b a er 8 Kotiuerlige tilfeldige variable, itro. Def.: For e tilfeldig variabel Y sier vi at fuksjoe F defiert ved F(y) = P(Y y), er fordeligsfuksjoe til Y. Dersom Y er kotiuerlig fordelt, så F(y) = P(Y y) = f(x) dx y - 9 3
4 Kotiuerlige tilfeldige variable, itro. Forvetig og varias for kotiuerlige variable: Def.: Dersom X er e kotiuerlig tilfeldig variabel med tetthet f(x), så E(X) = xf(x)dx = μ - Var(X) = (x - μ) f(x)dx - ( = E{ ( X μ) }) Kotiuerlige tilfeldige variable, itro. Forvetig og varias for kotiuerlige variable: Obs.: har samme fortolkig som for diskrete variable - setrum, beliggehet - spredig Def.: Dersom X er tetthet f(x), så E(X) Var(X) = xf(x)dx = - = - e kotiuerlig tilfeldig variabel med μ (x - μ) f(x)dx ( = E{ ( X μ) }) Kotiuerlige tilfeldige variable Viktige klasser av kotiuerlige fordeliger som vi skal se på: Ekspoesialfordelige (kp. 4.) Normalfordelige (kp. 4.3) Seiere: Studet s t-fordelig (kp. 6.6) 4
5 Kotiuerlige tilfeldige variable Viktige klasser av kotiuerlige fordeliger som vi skal se på: Ekspoesialfordelige (kp. 4.) Normalfordelige (kp. 4.3) Seiere: Studet s t-fordelig (kp. 6.6) 3 Ekspoesialfordelige (kp. 4.) Def.: Vi sier X er ekspoesialfordelt med parameter λ dersom X har tetthet f(x) gitt ved : λx λe, for x > f(x) =, for x λ Skrivemåte: X~eksp.( ) 4 Ekspoesialfordelige (kp. 4.) Def.: Vi sier X er ekspoesialfordelt med parameter λ dersom X har tetthet f(x) gitt ved : λx λe, for x > f(x) =, for x, λ = : x e, f(x) =, for x > for x f(x),5, x 5 5
6 f(x) f(x) f(x),,5, x,,5, x,,5, x Ekspoesialfordelige E viktig type (kotiuerlig) fordelig. Def.: Vi sier X er ekspoesialfordelt med parameter λ dersom X har tetthet f(x) gitt ved : λx λe, for x > f(x) =, for x Obs.: ) kotiuerlig vetetidsfordelig; jf. geometrisk fordelig; ) svært mye brukt til modellerig og aalyse av pålitelighet til systemer 6 Ekspoesialfordelige E viktig type (kotiuerlig) fordelig. Def.: Vi sier X er ekspoesialfordelt med parameter λ dersom X har tetthet f(x) gitt ved : λx λe, for x > f(x) =, for x Eksempel: Modell for edbørsmegde et døg. ( Vetetid til reget er slutt.) Histogram over døgedbør i februarmåeder åree (Døg med <.7mm er utelatt.) Rød kurve er tilpasset ekspoesialtetthet. Gjeomsitt:.87mm 7 Ekspoesialfordelige Def.: Vi sier X er ekspoesialfordelt med parameter λ dersom X har tetthet f(x) gitt ved : λx λe, for x > f(x) =, for x Setig : Dersom X er ekspoesialfordelt med parameter λ, så E(X) = og Var(X) = λ λ 8 6
7 f(x),, x Ekspoesialfordelige Setig : Dersom parameter λ, så E(X) = λ og X er ekspoesialfordelt med Var(X) = λ For edbørsdataee: E(X) estimeres med gj.s. Dvs.: /λ estimeres til.87, og dermed: λ estimeres til /.87 = Ekspoesialfordelige Eksp.-tettheter med ulike parametere: Forv. = Parameter λ = ; E(X) = = x e, f(x) =, for x > for x,,5, Forv. =.x.e, for x > Parameter λ =.; f(x) =, for x E(X) = =.,,5, Ekspoesialfordelige Setig : Dersom X er ekspoesialfordelt med Def.: Vi sier X er ekspoesialfordelt med parameter λ dersom X har tetthet f(x) gitt ved : parameter λ, så λx λe, for x >, E(X) = og Var(X) = f(x) = λ λ, for x Obs.: - λx E(X) = xf(x)dx = xλe dx = L = - λ Forvetige (og varias) fies vha. itegrasjo. (Det er ikke pesum i dette kurset.) 7
8 Ekspoesialfordelige Eks.: Vi atar at levetide til e tilfeldig valgt lyspære er eksposialfordelt med forvetig 5 timer. Hva er sasylighete for at de svikter før timer? Hva er sasylighete for at de virker mist 3 timer? Ekspoesialfordelige Eks.: Vi atar at levetide til e tilfeldig valgt lyspære er eksposialfordelt med forvetig 5 timer. La T = levetide til lyspære. Vi har : T er ekspoesialfordelt med parameter λ = ; 5 tetthet : f(t) = 5 e 5, x, for t > for t 3 Ekspoesialfordelige Geerelt : t λt -λt P(T t) = λe dt = e 4 8
9 Ekspoesialfordelige Geerelt : t λt -λt P(T t) = λe dt = e P(T < ) = e = e 5 = Ekspoesialfordelige Geerelt : t λt -λt P(T t) = λe dt = e P(T < ) = e = e 5 =.33. P(T 3 ) = P(T < 3 ) - = e 5 3 =.3 6 Kotiuerlige tilfeldige variable, geerelt Obs.: Dersom X er kotiuerlig fordelt, så a P(X = a) = f(x)dx = a Derfor : P(X a) = P(X < a) 7 9
10 Kotiuerlige tilfeldige variable Obs.: Dersom X er kotiuerlig fordelt, så,, P(a X b) : f(x),8,6, 55 6 a 65 b 7 x ,,,8 P(X = a) = P(a X a) = f(x),6, a 7 x Kotiuerlige tilfeldige variable Viktige klasser av kotiuerlige fordeliger som vi skal se på: Ekspoesialfordelige (kp. 4.) Normalfordelige (kp. 4.3) Seiere: Studet s t-fordelig (kp. 6.6) 9 Normalfordelige (kp. 4.3) Dette er de viktigste fordelige i de forstad at ige adre fordeliger er mer brukt i statistiske aalyser e ormalfordelige! 3
11 Normalfordelige Defiisjo: Dersom X er e tilfeldig variabel med tetthet : f ( x ) = e πσ ( x μ) σ, < x <, sier vi at X er ormalfordelt med forvetig μ og varias σ. Skriver : X ~ N( μ, σ ) 3 Normalfordelige N(,),5,4,3, N(,),, -4, -,,, 4, 6, 8,, 3 Normalfordelige,5,4,3, N(,) N(5,),, -4, -,,, 4, 6, 8,, 33
12 Normalfordelige,5,4,3, N(,) N(5,) N(,,5),, -5,, 5,, 34 Normalfordelige Normalfordelige er spesielt viktig fordi mage datasett ser ut til å være ormalfordelte mage aalysemetoder bygger på ormalfordelige 35 Normalfordelige, Stadardormal Defiisjo: Normalfordelig med forvetig og varias kalles stadardormalfordelige. Tabeller over sasyligheter i N(,)-fordelige: 36
13 Normalfordelige, sasyligheter La Z~N(, ).,5 P(Z ) = f(x)dx = -,4,3,,, -4, -,,, 4, -,... tabell 37 Normalfordelige, sasyligheter La Z~N(, ).,5 P(Z ) = f(x)dx = -,4,3,,, -4, -,,, 4, -, = Normalfordelige, sasyligheter,5 P( Z>.5 ) =,4,3, = -P( Z<.5 ),, -4, -,,, 4, -, = =.385 Vi har tabell ku for N(,)-fordelige. 39 3
14 Normalfordelige Eks.: La de tilfeldige variabele X være megde melk i e tilfeldig valgt -literskartog. Vi atar at X~N(,. ) (X er ormalfordelt med forvetig og varias.. Hva er sasylighete for at det er midre e.95 liter i e tilfeldig valgt kartog? 4 Normalfordelige Eks.: La de tilfeldige variabele X være megde melk i e tilfeldig valgt -literskartog. Vi atar at X~N(,. ) (X er ormalfordelt med forvetig og varias.. Hva er sasylighete for at det er midre e.95 liter i e tilfeldig valgt kartog? Dvs.: vi vil fie P( X<.95 ).... tabeller...? 4 Normalfordelige Obs. : Y = a + bx er også ormalfordelt Obs. : X μ μ X Z = = + X = a σ X σ X σ 3 { X X + a b bx..., og derfor er Z defiert som over, også ormalfordelt 4 4
15 Normalfordelige Obs. : Y = a + bx er også ormalfordelt Obs. : X μ μ X Z = = + X = a σ X σ X σ 3 { X X + a b bx..., og derfor er Z defiert som over, også ormalfordelt, og... Z har forvetig og varias (SJEKK DETTE!). Dvs.: Z~N(, ). 43 Normalfordelige Eks.: X~N(,. ). Vi vil fie P( X<.95 ). X <.95 Derfor : X.95 Z = <.. X μ X Z = σ X.95 }..95 P( X <.95) = P Z < = P( Z <.5) = Normalfordelige, resultater Setig: Dersom X,..., X er uavhegige, ormalfordelte tilfeldige variable (og a, a,..., a er kostater), så er Y = a + a X a X e ormalfordelt tilfeldig variabel. 45 5
16 Normalfordelige Obs.: Resultatet i setige gjelder ikke geerelt (for adre typer fordeliger) Dersom X ~ekspo.() og X ~ekspo.(), så har vi ikke at X +X ~ekspo.() Dersom X ~B(,.5) og X ~B(,.), så har vi ikke at X +X ~B(); Heller ikke er f.eks. X biomisk fordelt! 46 Normalfordelige Setig: Dersom X,..., X er uavhegige, ormalfordelte tilfeldige variable (og a, a,..., a er kostater), så er Y = a + a X a X e ormalfordelt tilfeldig variabel. Forvetig: E(Y) = E(a +a X a X ) = a + a E(X )+...+ a E( X ) Varias: Var(Y) = Var(a +a X a X ) =a Var(X )+...+ a Var( X ) 47 Statistiske egeskaper til gjeomsittet Statistiske egeskaper til gjeomsittet Hvorfor?? Eks.: Data: ( måliger av e persos blodsukkerivå; tatt på samme tidspukt.) Vi vil typisk bruke gjeomsitt, som her er 4.35, i diverse videre aalyser. 48 6
17 ,8,8 Statistiske egeskaper til gjeomsittet Eks.: Data: Gjeomsitt er 4.35; Prikkdiagram: 3 3, 35 3,5 4 4, 45 4,5 5 5, 55 5,5 Hva er virkelig ivå? (4.35 eller 3.6 eller 5....) Vi treger å vite oe om de statistiske usikkerhete i aslaget 4.35!! 49 Statistiske egeskaper til gjeomsittet Eks.: Data: Gjeomsitt er 4.35; Statistisk takegag: Vi oppfatter de måligee som utfall av e (kotiuerlig) fordelig: 3, 3,5 4, 4,5 5, 5,5 3, 3,5 4, 4,5 5, 5,5 5 Statistiske egeskaper til gjeomsittet Eks.: Data: Gjeomsitt er 4.35; Statistisk takegag: Vi oppfatter de måligee som utfall av e (kotiuerlig) fordelig: 3, 3,5 4, 4,5 5, 5,5 3, 3,5 4, 4,5 5, 5,5 Jf. også: resultat av terigkast, 3, 6,,...: utfall av fordelige y P(Y=y) /6 /6 /6 /6 /6 /6 5 7
18 Statistiske egeskaper til gjeomsittet Dvs.: vi oppfatter måligee x, x, K, x tilfeldige variable X, X, K, X aktuelle fordelige. som utfall av som alle har de Gjeomsittet av måligee, x = ( x + x + L+ x ) oppfattes som utfall av gjemosittet X = ( X + X + L+ X ) av de tilfeldige variable: 5 Statistiske egeskaper til gjeomsittet Eks.: Data: Gjeomsitt er 4.35; Prikkdiagram: 3, 3,5 4, 4,5 5, 5,5 Hva er virkelig ivå? (4.35 eller 3.6 eller 5....) Vi treger å vite oe om de statistiske usikkerhete i aslaget 4.35!! De statistiske egeskapee til X = L+ vil kue fortelle oss mye om de statistiske ( X + X + X ), usikkerhete!! Dette er e typisk situasjo! 53 Statistiske egeskaper til gjeomsittet Geerelt : måliger x, x, K, x ; oppfattes som utfall av tilfeldige variable X, X, K, X. Mage gager er det rimelig å ata at X, X, K, X ) uavhegige og idetisk fordelte tilfeldige variable, og ) ormalfordelte. er Hva er da egeskapee til X = L ( X + X + + X )? 54 8
19 Statistiske egeskaper til gjeomsittet Setig : Dersom X,X, K,X er uavhegige tilfeldige variable som alle er ormalfordelte med forvetig μ og varias σ, så er X = L ( X + X + + X ) + ormalfordelt med forvetig μ og varias σ. 55 Statistiske egeskaper til gjeomsittet Setig : Dersom X,X, K,X tilfeldige variable som alle er ormalfordelte med forvetig μ og varias σ, er uavhegige så er X = ( X + X + L+ X ) ormalfordelt med forvetig μ og varias Bevis :... vha.: σ.. Setig: Dersom X,..., X er uavhegige, ormalfordelte tilfeldige variable (og a,..., a er kostater), så er Y = a X a X e ormalfordelt tilfeldig variabel.. Regeregler for forvetig og varias. 56 Statistiske egeskaper til gjeomsittet X = X + X + L+ X = li.komb. av uavh. orm.ford. tilf. var. E( X ) = E ( X + L+ X ) = E( X + L+ X ) = { E( X) + L + E( X )} = ( μ + + μ) = μ 4 L 43 μ Setig : Dersom tilfeldige variable X,X som forvetig μ og varias, K,X alle X = ( X + X + L+ X ) ormalfordelt med forvetig μ og varias σ er, er uavhegige ormalfordelte med så er σ. 57 9
20 Statistiske egeskaper til gjeomsittet X = X + X + L+ X = li.komb. av uavh. orm.ford. tilf. var. E( X ) = E ( X + L+ X ) = E( X + L+ X ) = { E( X) + L + E( X )} = ( μ + + μ) = μ 4 L 43 μ Setig : Dersom tilfeldige variable X,X som forvetig μ og varias, K,X alle X = ( X + X + L+ X ) ormalfordelt med forvetig μ og varias σ er, er uavhegige ormalfordelte med så er σ. Var(X ) = Var ( X + L+ X ) = Var( X + L+ X ) = { Var( X ) + L+ Var( X )} σ 4 σ = ( σ + L+ σ ) = 58 Statistiske egeskaper til gjeomsittet E del gager er det ikke rimelig å bruke ormalatakelse (ata at måligee er utfall fra e ormalfordelig). (F.eks. dersom dataee har e tydelig flertoppet eller usymmetrisk fordelig.) Hva ka vi da si om: Statistiske egeskaper til gjeomsittet? 59 Setralgresesetige Setralgresesetige : Dersom X,X, uavhegige og idetisk fordelte tilfeldige variable med forvetig μ og varias σ, så er X = L K ( X + X + X ) +,X er tilærmet ormalfordelt med σ forvetig μ og varias, år er stor. Bevis:
21 Setralgresesetige Obs : Setralgresesetige : Dersom X, X, K,X er uavhegige og idetisk fordelte tilfeldige variable med forvetig μ og varias σ, så er ( X + X + + X ) Y = L tilærmet ormalfordelt med forvetig μ og varias σ, år er stor. Videre : Y - E(Y) SD(Y) er tilærmet ormalfordelt med forvetig og varias. 6 Setralgresesetige... år er stor...?? Tommelfigerregel: mist 3 for god tilærmig. Eks.: Y = sum av 3 kast med e terig. Fordelig til Y? P(Y<) =? 6 Setralgresesetige Eks.: Y = sum av 3 kast med e terig. La X i = resultat i kast r i, i=,,..., 3. Vi ka fie at E(X i )=3.5 og Var(X i )=.9, og vi har her at Y = X X 3 (Alle X i ee er uavhegige og idetisk fordelte!) Y si fordelig er tilærmet ormal med forvetig = 5 og varias 3.9 =
22 Setralgresesetige Y si fordelig er tilærmet ormal med forvetig = 5 og varias 3.9 = 87.6,5,3,, Setralgresesetige Y si fordelig er tilærmet ormal med forvetig = 5 og varias 3.9 = 87.6,5 Y 5 5 P(Y < ) = P < ,3,, P(Z < -.53) =.98, ( her er Z ~ N(,) ) fra tabell.,5,3,, Normaltilærmig, biomisk De biomiske fordelige ka tilærmes med ormalfordelig i e del tilfeller: Dersom Y~B(, p) og p(-p) p) mist, så ka fordelige til Y tilærmes med fordelige til X, der X er ormalfordelt med forvetig p og varias p(-p); X~N( p, p(-p) ) Gir betydelig foreklig ved utregig av sasyligheter. 66
23 Normaltilærmig, biomisk Altså: Y ~ B(, p ). p( p), så har vi med god tilærmig : P(Y y) P(X y), der X ~ N( p, p(- p) ) 67 Normaltilærmig, biomisk Eks.: Y=at. kro i kast med et pegestykke ~ B(,.5 ) P(Y 4) P(X 4), der X ~ N( 5, 5 ) ( E(Y) = 5 og Var(Y) =.5 (-.5) = 5) P X ( X 4) = P = P( Z -) =.8 68 Normaltilærmig, biomisk P(Y 4) P = P ( X 4) X = P 5 5 ( Z -) =.8,,6,8,6 B(,.5) B(,.5) P(Y<= 4) N(5, 5), P(Y<= 4) N(5, 5),, ,
24 Normaltilærmig, biomisk Det må åpebart være bedre med: ( X 4.5) P(Y 4) P +,,6,8,6 B(,.5) B(,.5) P(Y<= 4) N(5, 5), P(Y<= 4) N(5, 5),, , Normaltilærmig, biomisk Da får vi: P(Y 4) X P( X 4 +.5) = P 5 5 = P Z -.9 =.87 (eksakt : ( ).84),6,6 B(,.5) B(,.5) P(Y<= 4) P(Y<= 4), N(5, 5), N(5, 5),, Normaltilærmig, heltallskorreksjo Heltallskorreksjo ved ormaltilærmig av fordeliger som tar verdier på heltallee: X: tilfeldig variabel med fordelig som ka tilærmes med ormalfordelige; Y: Normalfordelt tilf.var. med forv. E(X) og varias Var(X). Da: ( X x) P( Y x.5) P + 7 4
25 Normaltilærmig, heltallskorreksjo ( X x) P( Y x.5) P + Gjelder altså bl.a. ved ormaltilærmig av biomisk fordelig Hypergeometrisk fordelig Poissofordelig 73 Normaltilærmig Hypergeometrisk modell dersom <. N, så tilærmig til biomisk modell, og dersom biomisk modell ka tilærmes med ormalfordelig,... Poissomodell Dersom Y ~ Poisso ( λt) og λt, så P(Y y) P(X y), der X ~ N( { λt, { λt ) E(Y) Var(Y) 74 5
ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren Kontinuerlige tilfeldige variable, intro. Kontinuerlige tilfeldige variable, intro.
ÅMA0 Sasylighetsregig med statistikk, våre 008 Kp. 4 Kotiuerlige tilfeldige variable; Normalfordelig Kotiuerlige tilfeldige variable, itro. (eller: Kotiuerlige sasylighetsfordeliger) Vi har til å sett
DetaljerÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2007
ÅMA0 Sasylighetsregig med statistikk, våre 007 Kp. 4 Kotiuerlige tilfeldige variable; Normalfordelig Kotiuerlige tilfeldige variable, itro. (eller: Kotiuerlige sasylighetsfordeliger) Vi har til å sett
DetaljerÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2011
ÅMA0 Sasylighetsregig statistikk våre 0 Kp. 4 Kotiulige tilfeldige variable; Normalfordelig Kotiulige tilfeldige variable itro. (ell: Kotiulige sasylighetsfordelig Vi har til å sett på diskrete fordelig
DetaljerÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren Kontinuerlige tilfeldige variable, intro. Kontinuerlige tilfeldige variable, intro.
ÅMA Sasylighetsregig med statistikk, våre 6 Kp. 4 Kotiuerlige tilfeldige variable og ormaldelige Kotiuerlige tilfeldige variable, itro. (eller: Kotiuerlige sasylighetsdeliger) Vi har til å sett på diskrete
DetaljerEcon 2130 Forelesning uke 11 (HG)
Eco 130 Forelesig uke 11 (HG) Mer om ormalfordelige og setralgreseteoremet Uke 1 1 Fra forrige gag ~ betyr er fordelt som. ~ N( µσ, ) E( ) = µ, og var( ) = σ Normalfordelige er symmetrisk om μ og kotiuerlig
DetaljerOppgave 1 Hardheten til en bestemt legering er undersøkt med åtte målinger og resultatene ble (i kg/mm 2 ) som i tabellen til høyre.
EKSAMEN I: ÅMA110 SANNSYNLIGHETSREGNING MED STATISTIKK VARIGHET: 4 TIMER DATO: 28. AUGUST 2010 BOKMÅL TILLATTE HJELPEMIDLER: KALKULATOR: HP30S, Casio FX82 eller TI-30 OPPGAVESETTET BESTÅR AV 3 OPPGAVER
DetaljerÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2007 Oppsummering
ÅMA110 Sasylighetsregig med statistikk, våre 2007 Oppsummerig Bjør H. Auestad Istitutt for matematikk og aturviteskap Uiversitetet i Stavager 19. april Bjør H. Auestad Oppsummerig våre 2006 1 / 37 Oversikt
DetaljerÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2008 Kp. 6, del 5
ÅMA110 Sasylighetsregig med statistikk, våre 2008 Kp. 6, del 5 Bjør H. Auestad Istitutt for matematikk og aturviteskap Uiversitetet i Stavager 26. mars Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetestig del 5 1/ 53
DetaljerÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren Kp. 5 Estimering. Målemodellen.
ÅMA0 Sasylighetsregig med statistikk, våre 0 Kp. 5 Estimerig. Målemodelle. Estimerig. Målemodelle. Ihold:. (Pukt)Estimerig i biomisk modell (kp. 5.). Målemodelle... (kp. 5.). (Pukt)Estimerig i målemodelle
DetaljerRepetisjon; 9.1, 9.2, 9.3, 9.4, 9.5, og Repetisjon; 9.1, 9.2, 9.3, 9.4, 9.5, og 9.10
Repetisjo; 9.1, 9.2, 9.3, 9.4, 9.5, og 9.10 og Geerell defiisjo av : Situasjo: Data x 1,...,x ;utfallav:x 1,...,X ; u.i.f. tilfeldige variable Ukjet parameter i fordelige til X i ee: θ Dersom L og U L
DetaljerMOT310 Statistiske metoder 1, høsten 2011
MOT310 Statistiske metoder 1, høste 2011 Bjør H. Auestad Istitutt for matematikk og aturviteskap Uiversitetet i Stavager 24. august, 2011 Bjør H. Auestad Itroduksjo og repetisjo 1 / 32 Repetisjo; 9.1,
DetaljerÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren Estimering. Målemodellen. Konfidensintervall, innledning. Kp. 5 Estimering.
ÅMA0 Sasylighetsregig med statistikk våre 006 Kp. 5 Estimerig Estimerig. Målemodelle. Ihold:. (Pukt)Estimerig i biomisk modell (kp. 5.). Målemodelle... (kp. 5.3) 3. (Pukt)Estimerig i målemodelle (kp. 5.3)
DetaljerLøsningsforslag ST1101/ST6101 kontinuasjonseksamen 2018
Løsigsforslag ST/ST6 kotiuasjoseksame Oppgave a Defier hedelsee R, B, B rød kule i første trekig, blå kule i adre trekig, blå kule i tredje trekig. Vi skal fie PR B B for to ulike situasjoer. Geerelt vet
DetaljerÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2007
ÅMA Sasylighetsregig med statistikk, våre 27 Kp. 6 (kp. 6) Tre deler av faget/kurset:. Beskrivede statistikk 2. Sasylighetsteori, sasylighetsregig 3. Statistisk iferes estimerig kofidesitervall hypotesetestig
DetaljerÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2010 Kp. 6, del 4
ÅMA11 Sasylighetsregig med statistikk, våre 21 Kp. 6, del 4 Bjør H. Auestad Istitutt for matematikk og aturviteskap Uiversitetet i Stavager 22. mars Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetestig del 4 1/ 29 Bjør
DetaljerÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren Estimering. Målemodellen. Sannsynlighetsregning med statistikk. Kp. 5 Estimering.
ÅMA asylighetsregig med statistikk våre 008 Kp. 5 Estimerig Estimerig. Målemodelle. Ihold:. (ukt)estimerig i biomisk modell (kp. 5.). Målemodelle... (kp. 5.3) 3. (ukt)estimerig i målemodelle (kp. 5.3)
DetaljerKapittel 7: Noen viktige sannsynlighetsfordelinger
Kapittel 7: Noe viktige sasylighetsfordeliger I mage situasjoer ka feomeet vi ser på beskrives med e bestemt type sasylighetsfordelig e sasylighetsfordelig gitt ved e bestemt formel. Vi skal se på oe av
DetaljerEstimering 1 -Punktestimering
Estimerig 1 -Puktestimerig Dekkes av kap. 8, 9.1-9.3 og 9.15/9.14. Vi har til å settpå e rekke forskjellige sasylighetsfordeliger og sett hvorda disse ka brukes til å modellere mage forskjellige typer
DetaljerEstimering 1 -Punktestimering
Estimerig 1 -Puktestimerig Dekkes av kap. 8, 9.1-9.3 og 9.15/9.14. Vi har til å settpå e rekke forskjellige sasylighetsfordeliger og sett hvorda disse ka brukes til å modellere mage forskjellige typer
DetaljerEmnenavn: Metode 1, statistikk deleksamen. Eksamenstid: 4 timer. Faglærer: Bjørnar Karlsen Kivedal
EKSAMEN Emekode: SFB10711 Emeav: Metode 1, statistikk deleksame Dato: 10. oktober 2018 Hjelpemidler: Godkjet kalkulator og vedlagt formelsamlig m/tabeller Eksamestid: 4 timer Faglærer: Bjørar Karlse Kivedal
DetaljerKapittel 7: Noen viktige sannsynlighetsfordelinger
Kapittel 7: Noe viktige sasylighetsfordeliger I mage situasjoer ka feomeet vi ser på beskrives med e bestemt type sasylighetsfordelig (e sasylighetsfordelig gitt ved e bestemt formel. Vi skal se på oe
DetaljerHypotesetesting, del 4
Oversikt, del 4 t-fordelig t-test t-itervall Del 5 Kofidesitervall vs. test p-verdi t-fordelig Rett på defiisjo: Utgagspuktet er målemodelle med ormalatakelse: X 1,...,X,u.i.f.tilf.var.derX i Nμ, σ 2 ).La
DetaljerÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2006 Kp. 6, del 5
ÅMA110 Sasylighetsregig med statistikk, våre 2006 Kp. 6, del 5 Bjør H. Auestad Istitutt for matematikk og aturviteskap Uiversitetet i Stavager 3. april Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetestig del 5 1 / 56
DetaljerÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2008 Kp. 6, del 5
ÅMA110 Sasylighetsregig med statistikk, våre 2008 Kp. 6, del 5 Bjør H. Auestad Istitutt for matematikk og aturviteskap Uiversitetet i Stavager 3. april Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetestig del 5 1/ 56
Detaljer5 y y! e 5 = = y=0 P (Y < 5) = P (Y 4) = 0.44,
Norges tekisk-aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag Abefalte oppgaver 9, blokk II Løsigsskisse Oppgave a) Vi lar her Y være atall fugler som kolliderer med vidmølla i løpet av de gitte
DetaljerHØGSKOLEN I SØR-TRØNDELAG Avdeling for teknologi
HØGSKOLEN I SØR-TRØNDELAG Avdelig for tekologi Målform: Bokmål Eksamesdato: 19 des. 2014 Varighet/eksamestid: Emekode: 3 timer TALM1005 Emeav: Statistikk og Økoomi statistikkdele Klasser: Logistikk 1 Kjemi
DetaljerÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2007 Kp. 6, del 2
ÅMA11 Sasylighetsregig med statistikk, våre 27 Kp. 6, del 2 Bjør H. Auestad Istitutt for matematikk og aturviteskap 5. mars 21 Bjør H. Auestad Kp. 6: del 1/2 1/ 42 Bjør H. Auestad Kp. 6: del 1/2 2/ 42
DetaljerÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2010. Noen viktige sannsynlighetsmodeller. Binomisk modell. Kp. 3 Diskrete tilfeldige variable
ÅMA Saslighetsregig med statistikk, våre K. 3 Diskrete tilfeldige variable Noe viktige saslighetsmodeller Noe viktige saslighetsmodeller ( Sas.modell : å betr det klasse/te sas.fordelig.) Biomisk modell
DetaljerÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2007 Kp. 6, del 5. Hypotesetesting, del 5
ÅMA11 Sasylighetsregig med statistikk, våre 7 Kp. 6, del 5 Bjør H. Auestad Istitutt for matematikk og aturviteskap Uiversitetet i Stavager 26. mars Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetestig del 5 1/ 59 Bjør
DetaljerHØGSKOLEN I SØR-TRØNDELAG Avdeling for teknologi
HØGSKOLEN I SØR-TRØNDELAG Avdelig for tekologi Målform: Bokmål Eksamesdato: 5 jui 2015 Varighet/eksamestid: Emekode: 3 timer TALM1005 Emeav: Statistikk og Økoomi statistikkdele Klasser: Logistikk 1 Kjemi
DetaljerEmnenavn: Eksamenstid: 4 timer. Faglærer: Hans Kristian Bekkevard
EKSAMEN Emekode: SFB107111 Emeav: Metode 1, statistikk deleksame Dato: 7. mai 2018 Hjelpemidler: Godkjet kalkulator og vedlagt formelsamlig m/tabeller Eksamestid: 4 timer Faglærer: Has Kristia Bekkevard
DetaljerNoen vanlige. Indikatorfordeling: 1, dersom suksess. I mange situasjoner kan fenomenet vi ser på. 0, dersom ikke suksess
Kapittel 5: Noe valige sasylighetsfordeliger I mage situasjoer ka feomeet vi ser på beskrives med e bestemt type sasylighets- fordelig (e sasylighetsfordelig gitt ved e bestemt formel. Vi skal se på oe
Detaljer2. Hypotesetesting i ulike sitausjoner: i. for forventingen, μ, i målemodellen med normalantakelse og kjent varians, σ 2.
Oversikt 1. Hva er hypotesetestig? 2. i ulike sitausjoer: i. for forvetige, μ, med ormalatakelse og kjet varias, σ 2. ii. for forvetige, μ, med stor og ormaltilærmig (variase, σ 2, ukjet). iii. for suksessasylighete,
DetaljerEstimering 2. -Konfidensintervall
Estimerig 2 -Kofidesitervall Dekkes av kap. 9.4-9.5, 9.10, 9.12 og forelesigsotatee. Dersom forsøket gjetas mage gager vil (1 α)100% av itervallee [ ˆΘ L, ˆΘ U ] ieholde de ukjete parametere θ (som er
DetaljerKapittel 5: Tilfeldige variable, forventning og varians.
Kapittel 5: Tilfeldige variable, forvetig og varias. Tilfeldige variable Tilfeldige variable kalles også stokastiske variable. Defiisjo: E tilfeldig variabel er e variabel som får si umeriske verdi bestemt
DetaljerForelesning Moment og Momentgenererende funksjoner
ushu.li@uib.o Forelesig + 3 Momet og Mometgeererede fuksjoer 1. Oppsummerig til Forelesig 1 1.1) Fuksjoe av S.V: hvis variabele er e fuksjo (trasformasjo) av S.V. : g( ), da er også e S.V.: til ethvert
DetaljerÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2006
ÅMA110 Sasylighetsregig med statistikk, våre 2006 Kp. 6, del 2 Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesig del 2 1/ 38 Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesig del 2 2/ 38 Oversikt 1. Hva er hypotesetestig? 2. Hypotesetestig
DetaljerLØSNINGSFORSLAG TILEKSAMEN I FAG TMA4240/TMA4245 STATISTIKK 10. august 2005
Norges tekisk aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag Side av 8 LØSNINGSFORSLAG TILEKSAMEN I FAG TMA440/TMA445 STATISTIKK 0. august 005 Oppgave Smeltepuktsbestemmelse a) Vi jobber i dette
DetaljerTMA4240 Statistikk Høst 2016
Norges tekisk-aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag Abefalt øvig 8 Løsigsskisse Oppgave 1 a) Simuler 1000 datasett i MATLAB. Hvert datasett skal bestå av 100 utfall fra e ormalfordelig
DetaljerLøsningsforslag for andre obligatoriske oppgave i STK1100 Våren 2007 Av Ingunn Fride Tvete og Ørnulf Borgan
Løsigsforslag for adre obligatoriske oppgave i STK11 Våre 27 Av Igu Fride Tvete (ift@math..uio.o) og Ørulf Borga (borga@math.uio.o). NB! Feil ka forekomme. NB! Sed gjere e mail hvis du fier e feil! Oppgave
DetaljerKapittel 8: Estimering
Kaittel 8: Estimerig Estimerig hadler kort sagt om hvorda å aslå verdie å arametre som,, og dersom disse er ukjete. like arametre sier oss oe om oulasjoe vi studerer (dvs om alle måliger av feomeet som
DetaljerKonfidensintervall. Notat til STK1110. Ørnulf Borgan, Ingrid K. Glad og Anders Rygh Swensen Matematisk institutt, Universitetet i Oslo.
Kofidesitervall Notat til STK1110 Ørulf Borga, Igrid K. Glad og Aders Rygh Swese Matematisk istitutt, Uiversitetet i Oslo August 2007 Formål E valig metode for å agi usikkerhete til et estimat er å berege
DetaljerMOT310 Statistiske metoder 1, høsten 2012
MOT310 Statistiske metoder 1, høste 2012 Bjør H. Auestad Istitutt for matematikk og aturviteskap Uiversitetet i Stavager 20. august, 2012 Bjør H. Auestad Itroduksjo og repetisjo 1 / 57 Iformasjo Litt om
DetaljerTMA4240 Statistikk Høst 2009
TMA440 Statistikk Høst 009 Norges tekisk-aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag Øvig ummer b4 Løsigsskisse Oppgave Øsker å fie 99% kofidesitervall for µ µ år vi atar ormalfordeliger
DetaljerTMA4240/4245 Statistikk 11. august 2012
Norges tekisk-aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag TMA424/4245 Statistikk. august 22 Eksame - løsigsforslag Oppgave Vi har N Nµ,σ 2, µ 85 og X > 88. a X µ X > 88 σ > 88 µ Z > 88 85
Detaljer) = P(Z > 0.555) = > ) = P(Z > 2.22) = 0.013
TMA4240 Statistikk Vår 2008 Norges tekisk-aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag Øvig ummer b5 Løsigsskisse Oppgave 1 a) X 1,...,X 16 er u.i.f. N(80,18 2 ). Setter Y = X. i) P(X 1 >
Detaljer211.7% 2.2% 53.0% 160.5% 30.8% 46.8% 17.2% 11.3% 38.7% 0.8%
Prøve-eksame II MET 1190 Statistikk Dato 31. mai 2019 kl 1100-1400 Alle svar skal begrues. Når besvarelse evalueres, blir det lagt vekt på at framgagsmåte og resultat preseteres så klart, presist og kortfattet
DetaljerH 1 : µ 1 µ 2 > 0. t = ( x 1 x 2 ) (µ 1 µ 2 ) s p. s 2 p = s2 1 (n 1 1) + s 2 2 (n 2 1) n 1 + n 2 2
TMA4245 Statistikk Norges tekisk-aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag Øvig ummer b4 Løsigsskisse Oppgave 1 Vi øsker å fie ut om et ytt serum ka stase leukemi. 5 mus får serumet, 4
DetaljerX = 1 5. X i, i=1. som vil være normalfordelt med forventningsverdi E( X) = µ og varians Var( X) = σ 2 /5. En rimelig estimator for variansen er
Norges tekisk-aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag Abefalte oppgaver 11, blokk II Løsigsskisse Oppgave 1 a) E rimelig estimator for forvetigsverdie µ er gjeomsittet X = 1 X i, som
DetaljerTALLSVAR. Det anbefales at de 9 deloppgavene merket med A, B, teller likt uansett variasjon i vanskelighetsgrad. Svarene er gitt i << >>.
1 ECON130: EKSAMEN 013 VÅR - UTSATT PRØVE TALLSVAR. Det abefales at de 9 deloppgavee merket med A, B, teller likt uasett variasjo i vaskelighetsgrad. Svaree er gitt i
DetaljerÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2007 Kp. 6, del 4. Hypotesetesting, del 4
ÅMA11 Sasylighetsregig med statistikk, våre 27 Kp. 6, del 4 Bjør H. Auestad Istitutt for matematikk og aturviteskap Uiversitetet i Stavager 19. mars Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetestig del 4 1/ 27 Bjør
DetaljerKLMED8004 Medisinsk statistikk. Del I, høst Estimering. Tidligere sett på. Eksempel hypertensjon
Tidligere sett på KLMED8004 Medisisk statistikk Del I, høst 008 Estimerig Hvorda kjete sasylighetsfordeliger (biomialfordelig, ormalfordelig) med kjete populasjosparametrer (forvetig, varias osv.) ka gi
DetaljerTMA4245 Statistikk Eksamen mai 2017
TMA445 Statistikk Eksame mai 07 Norges tekisk-aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag Løsigsskisse Oppgave a Når vi reger ut disse tre sasylighetee må ma huske på at de mulige verdiee
DetaljerTMA4240 Statistikk Eksamen desember 2015
Norges tekisk-aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag TMA20 Statistikk Eksame desember 205 Løsigsskisse Oppgave a) De kumulative fordeligsfuksjoe til X, F (x) P (X x): F (x) P (X x) x
DetaljerLØSNING, EKSAMEN I STATISTIKK, TMA4240, DESEMBER Anta at sann porøsitet er r. Måling med utstyret gir da X n(x; r, 0,03).
LØSNING, EKSAMEN I STATISTIKK, TMA440, DESEMBER 006 OPPGAVE 1 Ata at sa porøsitet er r. Målig med utstyret gir da X (x; r, 0,03). a) ( ) X r P(X > r) P 0,03 > 0 P(Z > 0) 0,5. ( X r P(X r > 0,05) P 0,03
DetaljerStatistikk og økonomi, våren 2017
Statistikk og økoomi, våre 07 Obligatorisk oppgave 6 Løsigsforslag Oppgave E terig kastes 0 gager, og det registreres hvor mage 6-ere som oppås i løpet av disse 0 kastee. Vi ka kalle atall 6-ere i løpet
DetaljerRep.: generelle begrep og definisjoner Kp. 10.1, 10.2 og 10.3
Kp. 1, oversikt ; oversikt, t- ; oversikt ; stor ; Hypoteseig; ett- og to-utvalg Rep.: geerelle begrep og defiisjoer Kp. 1.1, 1.2 og 1.3 Rep.: ett-utvalgser for μ (...), p Kp. 1 og 1.8 Nytt: ett-utvalgs
DetaljerForelesning 4 og 5 Transformasjon, Weibull-, lognormal, beta-, kji-kvadrat -, t-, F- fordeling
STAT (V6) Statistikk Metoder Yushu.Li@uib.o Forelesig 4 og 5 Trasformasjo, Weibull-, logormal, beta-, kji-kvadrat -, t-, F- fordelig. Oppsummerig til Forelesig og..) Momet (momet about 0) og setral momet
DetaljerLØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I FAG TMA4240 STATISTIKK 5.august 2004
Norges tekisk aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag Side av 0 LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I FAG TMA4240 STATISTIKK 5.august 2004 Oppgave Foruresig X er e stokastisk variabel som agir
DetaljerIntroduksjon. Hypotesetesting / inferens (kap 3) Populasjon og utvalg. Populasjon og utvalg. Populasjonsvarians
Hypotesetestig / iferes (kap ) Itroduksjo Populasjo og utvalg Statistisk iferes Utvalgsfordelig (samplig distributio) Utvalgsfordelige til gjeomsittet Itroduksjo Vi øsker å få iformasjo om størrelsee i
DetaljerEcon 2130 uke 15 (HG) Poissonfordelingen og innføring i estimering
Eco 130 uke 15 (HG) Poissofordelige og iførig i estimerig 1 Poissofordelige (i) Tilærmig til biomialfordelige. Regel. ( Poissotilærmelse ) Ata Y ~ bi(, p) E( Y ) = p og var( Y ) = p(1 p). Hvis er stor
DetaljerForventningsverdi. MAT0100V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk
MAT0100V Sasylighetsregig og kombiatorikk Forvetigsverdi Sasylighetsfordelige til e tilfeldig variabel X gir sasylighete for de ulike verdiee X ka ata Forvetig, varias og stadardavvik Tilærmig av biomiske
DetaljerEKSAMENSOPPGAVE. Mat-1060 Beregningsorientert programmering og statistikk
Fakultet for aturviteskap og tekologi EKSAMENSOPPGAVE Eksame i: (Kode og av) Dato: 05.1.017 Klokkeslett: 09:00-13:00 Sted: Åsgårdv 9 Mat-1060 Beregigsorietert programmerig og statistikk Tillatte hjelpemidler:
DetaljerTMA4240 Statistikk Høst 2015
Høst 205 Norges tekisk-aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag Øvig ummer, blokk II Løsigsskisse Oppgave a) X bi(, p) fordi: Udersøker uavhegige delar av DNA-strukture. Fi for kvar del
DetaljerLøsningsforsalg til første sett med obligatoriske oppgaver i STK1110 høsten 2015
Løsigsforsalg til første sett med obligatoriske oppgaver i STK1110 høste 2015 Oppgave 1 (a Et 100(1 α% kofidesitervall for forvetigsverdie µ er gitt ved formel (8.15 på side 403 i læreboka. For situasjoe
DetaljerLøsningsforsalg til første sett med obligatoriske oppgaver i STK1110 høsten 2018
Løsigsforsalg til første sett med obligatoriske oppgaver i STK1110 høste 2018 Oppgave 1 (a Et 100(1 α% kofidesitervall for forvetigsverdie µ er gitt ved formel (8.15 på side 403 i læreboka. For situasjoe
DetaljerOppgave 1. (i) Hva er sannsynligheten for at det øverste kortet i bunken er et JA-kort?
ECON EKSAMEN 8 VÅR TALLSVAR Oppgave Vi har e kortstokk beståede av 6 kort. På av disse står det skrevet JA på forside mes det står NEI på forside av de adre kortee. Hvis ma får se kortet med bakside vedt
DetaljerOppgaver fra boka: Med lik men ukjent varians antatt har vi fra pensum at. t n1 +n 2 2 under H 0 (12 1) (12 1)
MOT30 Statistiske metoder, høste00 Løsiger til regeøvig r. 5 (s. ) Oppgaver fra boka: Oppgave 0.36 (0.0:8) Dekkslitasje X,..., X u.i.f. N(µ, σ ) og X,..., X u.i.f. N(µ, σ ) og alle variable er uavhegige.
DetaljerTMA4240 Statistikk Høst 2016
Norges tekisk-aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag Abefalt øvig 11 Løsigsskisse Oppgave 1 a) E rimelig estimator for forvetigsverdie µ er gjeomsittet X = 1 X i, som vil være ormalfordelt
DetaljerÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2010 Kp. 6, del 5
ÅMA110 Sasylighetsregig med statistikk, våre 2010 Kp. 6, del 5 Bjør H. Auestad Istitutt for matematikk og aturviteskap Uiversitetet i Stavager 12. april Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetestig del 4 1/ 59
DetaljerLØSNING: Eksamen 28. mai 2015
LØSNING: Eksame 28. mai 2015 MAT110 Statistikk 1, vår 2015 Oppgave 1: revisjo ) a) Situasjoe som beskrives i oppgave ka modelleres med e ure. I dee ure er fordelige kjet, M atall bilag med feil og N 100
DetaljerOppgaver fra boka: X 2 X n 1
MOT30 Statistiske metoder, høste 00 Løsiger til regeøvig r 3 (s ) Oppgaver fra boka: 94 (99:7) X,, X uif N(µ, σ ) og X,, X uif N(µ, σ ) og alle variable er uavhegige Atar videre at σ = σ = σ og ukjet Kodesitervall
DetaljerKap. 9: Inferens om én populasjon. Egenskaper ved t-fordelingen. ST0202 Statistikk for samfunnsvitere. I Kapittel 8 brukte vi observatoren
2 Kap. 9: Iferes om é populasjo I Kapittel 8 brukte vi observatore z = x μ σ/ for å trekke koklusjoer om μ. Dette krever kjet σ (urealistisk). ST0202 Statistikk for samfusvitere Bo Lidqvist Istitutt for
DetaljerHypotesetesting, del 5
Oversikt, del 5 Kofidesitervall p-verdi Kofidesitervall E (tosidig test ka gjeomføres vha. av et kofidesitervall. For eksempel, dersom vi i målemodell 1 vil teste: H 0 : μ = μ 0 mot H 1 : μ μ 0, ka vi
DetaljerKap. 9: Inferens om én populasjon
2 ST0202 Statistikk for samfusvitere Bo Lidqvist Istitutt for matematiske fag Ka. 9: Iferes om é oulasjo Hvis σ er ukjet bytter vi ut σ med s i Ny observator blir t = x μ s/ z = x μ σ/ der s = Σx 2 (Σx)
Detaljer0.5 (6x 6x2 ) dx = [3x 2 2x 3 ] 0.9. n n. = n. ln x i + (β 1) i=1. n i=1
Norges tekisk-aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag Øvig ummer 9, blokk II Løsigsskisse Oppgave a The probability is.9.5 6x( x dx.9.5 (6x 6x dx [3x x 3 ].9.5.47. b The likelihood fuctio
DetaljerOversikt, del 5. Vi har sett på styrkefunksjon for ensidige tester. Eksempler (styrke, dimensjonering,...) Eksempler fra slutten av forrige uke
Hypotesetestig, del 4 oppsummerig fra Hypotesetestig, del 5 Kofidesitervall dimesjoerig Oversikt, del 5 Eksempler fra slutte av forrige uke Kofidesitervall p-verdi Eksempler Eksempler styrke, dimesjoerig,...
Detaljerf(x)dx = F(x) = f(u)du. 1 (4u + 1) du = 3 0 for x < 0, 2 + for x [0,1], 1 for x > 1. = 1 F 4 = P ( X > 1 2 X > 1 ) 4 X > 1 ) =
TMA Statistikk Norges tekisk-aturviteskapelige uiversitet Istitutt for ateatiske fag Løsigsforslag - Eksae deseber 9 Oppgave a Besteer k ved å kreve fxdx =, fxdx = De kuulative fordeligsfuksjoe Fx er gitt
DetaljerLØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I FAG TMA4245 STATISTIKK 6.august 2004
Norges tekisk aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag Side av 0 LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I FAG TMA4245 STATISTIKK 6.august 2004 Oppgave Midtveiseksame a) X er e stokastisk variabel
Detaljerbetegne begivenheten at det trekkes et billedkort i trekning j (for j=1,2,3), og komplementet til
1 ECON1: EKSAMEN 17v SENSORVEILEDNING. Det abefales at de 9 deloppgavee merket med A, B, teller likt uasett variaso i vaskelighetsgrad. Svaree er gitt i
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT
Eksame i: ECON130 Statistikk 1 UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT Eksamesdag: 6.05.017 Sesur kugøres: 16.06.017 Tid for eksame: kl. 14:30 17:30 Oppgavesettet er på 6 sider Tillatte helpemidler: Alle
DetaljerMer om utvalgsundersøkelser
Mer om utvalgsudersøkelser I uderkapittel 3.6 i læreboka gir vi e kort iførig i takegage ved utvalgsudersøkelser. Vi gir her e grudigere framstillig av temaet. Populasjo og utvalg Ved e utvalgsudersøkelse
DetaljerUkeoppgaver i BtG207 Statistikk, uke 4 : Binomisk fordeling. 1
Ukeoppgaver i BtG20 Statistikk, uke 4 : Biomisk fordelig. 1 Høgskole i Gjøvik Avdelig for tekologi, økoomi og ledelse. Statistikk Ukeoppgaver uke 4 Biomisk fordelig. Oppgave 1 La de stokastiske variable
DetaljerOppgaven består av 9 delspørsmål, A,B,C,., som anbefales å veie like mye, Kommentarer og tallsvar er skrevet inn mellom <<.. >>.
ECON 130 EKSAMEN 008 VÅR - UTSATT PRØVE SENSORVEILEDNING Oppgave består av 9 delspørsmål, A,B,C,., som abefales å veie like mye, Kommetarer og tallsvar er skrevet i mellom . Oppgave 1 Ved e spørreudersøkelse
DetaljerKap. 9: Inferens om én populasjon
2 ST0202 Statistikk for samfusvitere Bo Lidqvist Istitutt for matematiske fag Ka. 9: Iferes om é oulasjo Hvis σ er ukjet bytter vi ut σ med s i Ny observator blir t = x μ s/ z = x μ σ/ der s = Σx 2 (Σx)
DetaljerUlike typer utvalg. MAT0100V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk. Ordnet utvalg uten tilbakelegging. Ordnet utvalg med tilbakelegging.
MAT0100V Sasylighetsregig og kombiatorikk Ordet utvalg med og ute tilbakeleggig (repetisjo) Uordet utvalg ute tilbakeleggig (repetisjo) Tilfeldige variabler og sasylighetsfordeliger Hypergeometrisk fordelig
DetaljerLøsningsforslag Oppgave 1
Løsigsforslag Oppgave 1 a X i µ 0 σ X i µ 0 2 σ 2, i 1,..., er uavhegige og stadard N0, 1 fordelte. Da er, i 1,..., uavhegige og χ 2 -fordelte med e frihetsgrad. Da er summe χ 2 -fordelt med atall frihetsgrader
DetaljerOppgave 1 a) Minste kvadraters metode tilpasser en linje til punktene ved å velge den linja som minimerer kvadratsummen. x i (y i α βx i ) = 0, SSE =
Norges tekisk-aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag Abefalte oppgaver 2, blokk II Løsigsskisse Oppgave a Miste kvadraters metode tilpasser e lije til puktee ved å velge de lija som
DetaljerLøsning TALM1005 (statistikkdel) juni 2017
Løsig TALM1005 statistikkdel jui 2017 Oppgave 1 a Har oppgitt at sasyligte for at é harddisk svikter er p = 0, 037. Ifører hedelsee A : harddisk 1 svikter B : harddisk 2 svikter C : harddisk 3 svikter
DetaljerSTK1100 våren 2017 Estimering
STK1100 våre 017 Estimerig Svarer til sidee 331-339 i læreboka Ørulf Borga Matematisk istitutt Uiversitetet i Oslo 1 Politisk meigsmålig Spør et tilfeldig utvalg på 1000 persoer hva de ville ha stemt hvis
DetaljerSkrivne og trykte hjelpemiddel samt kalkulator er tillate. Ta med all mellomrekning som trengst for å grunngje svaret.
Eksame 11. mai 2015 Eksamestid 4 timar IR201812 Statistikk og Simulerig Skrive og trykte hjelpemiddel samt kalkulator er tillate. Ta med all mellomrekig som tregst for å grugje svaret. Oppgåve 1......................................................................................
DetaljerKapittel 5: Diskrete sannsynsfordelingar TMA4245 Statistikk. 5.2 Diskret uniform fordeling NTNU NTNU NTNU
Kapittel 5: Disrete sasysfordeligar TMA4245 Statisti Rep.: Forvetig, varias og ovarias Forvetig (tygdeput, geeraliserig av empiris gjeomsitt): < P x µ = E(X) = R xf(x) (Xdisret) : xf(x)dx (Xotiuerlig)
DetaljerHØGSKOLEN I SØR-TRØNDELAG Avdeling for teknologi
HØGSKOLEN I SØR-TRØNDELAG Avdelig for tekologi Målform: Bokmål Eksamesdato: Tirsdag 3. desember 03 Varighet/eksamestid: 5 timer Emekode: TALM005-A Emeav: Statistikk og Økoomi Klasse(r): Kjemi, Material,
DetaljerModeller og parametre. STK Punktestimering - Kap 7. Eksempel støtfangere. Statistisk inferens. Binomisk fordeling. p X (x) = p x (1 p) n x
STK1100 - Puktestimerig - Kap 7 Geir Storvik Modeller og parametre Biomisk fordelig ( ) p X (x) = p x (1 p) x x Parameter: p Normalfordelig f X (x) = 1 2πσ e 1 2σ 2 (x µ) 2 11. april 2016 Parametre: µ,
DetaljerECON240 Statistikk og økonometri
ECON240 Statistikk og økoometri Arild Aakvik, Istitutt for økoomi 1 Mellomregig MKM Model: Y i = a i + bx i + e i MKM-estimator for b: b = = Xi Y i 1 Xi Yi Xi 1 ( X i ) 2 (Xi X)(Y i Ȳi) (Xi X) 2 hvor vi
DetaljerÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2011
ÅMA110 asylighetsregig med statistikk våre 011 Kp. 5 Estimerig 1 Estimerig. Målemodelle. Ihold: 1. (ukt)estimerig i biomisk modell (kp. 5.). Målemodelle... (kp. 5.3) 3. (ukt)estimerig i målemodelle (kp.
DetaljerTMA4245 Statistikk Eksamen 9. desember 2013
Norges tekisk-aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag TMA4245 Statistikk Eksame 9. desember 2013 Oppgave 1 I kortspillet Blackjack får ma de høyeste geviste hvis de to første kortee ma
DetaljerKort repetisjon fra kapittel 4. Oppsummering kapittel ST0202 Statistikk for samfunnsvitere. Betinget sannsynlighet og trediagram
2 Kort reetisjo fra kaittel 4 Betiget sasylighet og trediagram Eksemel: Fra e oulasjo av idrettsfolk trekkes e erso tilfeldig og testes for doig. De iteressate hedelsee er D=ersoe er doet, A=teste er ositiv.
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-aturviteskapelige fakultet Eksame i STK2120 Statistiske metoder og dataaalyse 2 Eksamesdag: Madag 6. jui 2011. Tid for eksame: 09.00 13.00. Oppgavesettet er på 5 sider.
DetaljerSammendrag i statistikk
Sammedrag i statistikk Sammedrag Dette dokumetet er et sammedrag av pesum i faget ST0103 ved NTNU høste 2014. Notatet er derfor ikke tekt å være komplett eller spesielt grudig gjeomlest for feil, me det
Detaljer