Oppgaver fra boka: X 2 X n 1

Transkript

1 MOT30 Statistiske metoder, høste 00 Løsiger til regeøvig r 3 (s ) Oppgaver fra boka: 94 (99:7) X,, X uif N(µ, σ ) og X,, X uif N(µ, σ ) og alle variable er uavhegige Atar videre at σ = σ = σ og ukjet Kodesitervall for µ µ : ˆµ ˆµ = X X Z = X X (µ µ ) σ N(0, ) ( σ er ukjet, estimeres ved S p = )S ( )S Har da fra pesum at T = X X (µ µ ) S p t som gir: P ( t α/, T t α/, ) = α P ( t α/, X X (µ µ ) S p t α/, ) = α ( P X X t α/, S p µ µ X X t α/, S p ) = α Observert: = 4, = 6, x = 7, x = 9 s = 5 og s = 8 Dette gir: s p = (4 )5(6 )8 = α = 00 t α/, = t 0005,8 = 763 Isatt gir dette 99% kodesitervall for µ µ : , = [070, 330] (99:9) Dekkslitasje I X,, X uif N(µ, σ ) og X,, X uif N(µ, σ ) og alle variable er uavhegige Atar videre at σ σ og ukjete Kodesitervall for µ µ : Z = X X (µ µ ) N(0, ) σ σ σ og σ er ukjete og må estimeres Har fra pesum at T = X X (µ µ ) S S t ν

2 MOT30 Statistiske metoder, høste 00 Løsiger til regeøvig r 3 (s ) der ν = (s /s / ) Tilsvarede regig som i 94 på forrige øvig gir å at et ( α)00% (s / ) (s / ) kodesitervall for µ µ er gitt ved: X X S t α/,ν S, X X S t α/,ν S, Observert: =, =, x = 36300, x = 3800, s = 5000 og s = 600 Dette gir: ν = (5000 /600 /) = 8 (5000 /) (600 /) α = 005 t α/,ν = t 005, = 080 Isatt gir dette 95% kodesitervall for µ µ : , = [ 6536, 936] 600 Kodesitervallet ieholder 0, dvs ikke gru til å påstå at det er forskjell mellom de to dekktypee 944 (99:) Dekkslitasje II Parpla, begge dekktyper på samme bil, måler direkte dierase i slitasje D,, D uif N(µ D, σd) der D i = X i X i og µ D = E(D i ) = E(X i ) E(X i ) = µ µ Kodesitervall for µ D : µ ˆ D = D T = D µ D S D / t Observert: P ( t α/, T t α/, ) = α P ( D t α/, S D µ D t α/, S D ) = α d = = 300 d 8 = = 400 Gir d = 8i= d 8 i = 5 og s D = 8i= (d 8 i d) = 8 ( 8 i= d i d ) = 4545 α = 00 t α/, = t 0005,7 = 3499 Isatt gir dette 99% kodesitervall for µ D : [ , ] = [ 9, 687]

3 MOT30 Statistiske metoder, høste 00 Løsiger til regeøvig r 3 (s 3) L {}}{ ˆP p {}}{ p ˆP Kodesitervallet ieholder 0, dvs ikke gru til å påstå at det er forskjell mellom de to dekktypee Me merk: I dee oppgave har vi færre observasjoer og lavere α e i 98:9, likevel blir kodesitervallet smalere! Illustrerer hvor eektiv forsøksmetode parpla ka være 960 (9:0) Det er 99% sasylighet for at ˆP ˆP ( p < L/ = z ˆP ) α/ Problemet er at vi ikke vet hvilke verdi estimatore ˆP vil få før etter at forsøket er gjeomført Vi ka imidlertid sette i estimatet ˆp = 08 fra oppgave 9:3 som et rimelig aslag og rege ut fra det (Alterativt ka vi bruke grese ˆp( ˆp) /4) Dvs L/ z ˆp( ˆp) α/ < e = 005 gir > z α/ˆp( ˆp) e = = 4668 Dvs vi treger mist 467 observasjoer for å være (omtret) 99% sikre på at estimatorem ˆP vil gi et estimat ˆp som er maksimalt 005 fra de sae ukjete verdie p Eller sagt på ae måte, med mist 467 observasjoer vil legde på kodesitervallet (trolig) ikke overskride (9:5) X =atall me bi(, p ) og X =atall kvier bi(, p ) og uavhegige Kodesitervall for p p : Z = ˆP ˆP (p p ) p ( p ) p ( p ) ˆP ˆP = X X P P (p p ) ˆP ( ˆP ) ˆP ( ˆP N(0, ), ) tilærmet P ( z α/ ˆP ˆP (p p ) z α/) α ˆP ( ˆP ) ˆP ( ˆP ) P ˆP ˆP z ˆP ( ˆP ) α/ ˆP ( ˆP ) p p ˆP ˆP z ˆP ( ˆP ) α/ ˆP ( ˆP ) α

4 MOT30 Statistiske metoder, høste 00 Løsiger til regeøvig r 3 (s 4) Observert: = =, x = 50 og x = 75 gir ˆp = 50 = 05 og ˆp = 75 = 075 α = 005 z α/ = z 005 = 96 Isatt gir dette 95% kodesitervall for p p : , = [ 00636, 0036] er iehold i kodesitervallet, dvs det er ikke sigikat forskjell mellom adel me og adel kvier som har blodforstyrrelse Alterativt: Kodesitervall for p p : [ 0036, 00636] 853 (88:5) α 0 f α,ν,ν a) f 005,7,5 = 7 b) f 005,5,7 = 35 c) f 00,4,9 = 9 d) f 095,9,4 = f 005,4,9 = = 047 e) f 099,8, = f 00,,8 = 90 = (93:8) X,, X uif N(µ, σ) og X,, X uif N(µ, σ) og alle variable er uavhegige Kodesitervall for σ : σ Estimator: ˆσ ˆσ = S S Teorem 88/tabell s 8 gir at: F = ( )S /σ ( )S /σ = σ S σ S F (, ) P (f α/,, σ S σs f α/,, ) = α S P (f α/,, S σ σ f α/,, S S ) = α P ( S /S f α/,, σ σ S /S f α/,, ) = α

5 MOT30 Statistiske metoder, høste 00 Løsiger til regeøvig r 3 (s 5) P ( S /S f α/,, σ σ S /S f α/,, ) = α P ( S /S f α/,, σ σ S f S α/,, ) = α Observert: = =, s = 5000 og s = 600 α = 0 f 005,, = 8 Isatt gir dette 90% kodesitervall for σ : σ [ 5000 /600 ], = [038, 895] Vi ser at σ = er ieholdt i kodesitervallet, dvs vi ka ikke utelukke at e atagelse om σ lik varias, σ = σ, er korrekt Oppgave : a) Biomisk fordelig fordi: Gjør = uavhegige ekeltforsøk, spørr uavhegige velgere I hvert forsøk registrerer vi om velgere vil stemme på parti P eller ikke 3 Sasylighete for at e tilfeldig valgt velger er e velger som vil stemme på P er kostat lik p for alle velger Disse tre betigelsee gjør at X = atall velgere som vil stemme P er biomisk fordelt med parametre = og p X bi(, p) b) Side p = 50 > 5 og ( p) = 750 > 5 ka vi bruke tilærmig til ormalfordelig (Merk at for biomisk fordelig er E(X) = p = 50 og Var(X) = p( p) = = 875): P (X > 70) = P (X 70) X p = P ( = P (Z p( p) = P (Z 46) 0979 = ) 70 p p( p) )

6 MOT30 Statistiske metoder, høste 00 Løsiger til regeøvig r 3 (s 6) c) Forvetigsrett estimator for p: ˆP = X dvs forvetigsrett d) ˆp = 63 E( ˆP ) = E( X ) = E(X) = p = p Var( ˆP ) = Var( X ) = Var(X) = p( p) p( p) = = 063 Samme ressoemet som i 9:3 gir kodesitervallet [ ˆP z α/ ˆP ( ˆP ) ˆP p ˆP ( ˆP ) z α/ ] Isatt ˆp = 063 og z α/ = z 005 = 96 gir dette 95% kodesitervall for p: [063 96, ] = [036, 090] Legde på itervallet er =0054 E edriger i målt oppslutig, ˆp, på feks ±00 (eller prosetpoeg) er med god margi iefor dette itervallet Dette illustrerer mao at e slik edrig med stor sasylighet skyldes aturlig tilfeldig variasjo i utvalget og ikke reelle edriger i oppslutige p La X =atall velgere som stemmer på P ved første målig bi(, p ) og X =atall velgere som stemmer på P ved adre målig bi(, p ) e) Samme resoemet som i oppgave 9:5 gir at et kodesitervall for p p er gitt ved: ˆP ˆP z ˆP ( ˆP ) α/ ˆP ( ˆP ), ˆP ˆP z ˆP ( ˆP ) α/ ˆP ( ˆP ) Isatt ˆp = 63 = 063, ˆp = 7 = 07 og z 005 = 96 gir dette 95% kodesitervall for p p : , = [ 000, 0074] Side kodesitervallet krysser 0 ka vi ikke påstå at det har vært e reell edrig i oppslutig om partiet p p Edrige på =0036=36 prosetpoeg i estimert oppslutig ka meget godt skyldes aturlig tilfeldig variasjo i utvalget

7 MOT30 Statistiske metoder, høste 00 Løsiger til regeøvig r 3 (s 7) f) Med ˆp = 63 = 0063 og ˆp = 7 = 007 blir 95% kodesitervall for p p for dette partiet: , = [008, 0054] Dette kodesitervallet ieholder ikke 0 dvs vi ka påstå at det har vært e reell edrig i oppslutig om partiet, p p > 0 Sammeliger vi med pukt e) ser vi at edrige i oppslutig målt i atall velgere har vært øyaktig like store i de to tilfellee, 36 velger, me koklusjoe blir i e) at dette skyldes tilfeldige variasjo mes koklusjoe i f) er at det fakisk har vært e reell edrig i oppslutige Forklarige på dette tilsyelatede paradokset er at variase er større i e) Husk at i biomisk fordelig er variase p( p) og dette betyr at variase er størst år p er rudt 05 og avtar år p blir lite eller stor I vårt eksempel har parti P betydelig større oppslutig e parti Q, og det betyr at variase i hvor mage P-velger som blir trukket ut er betydelig større e variase i hvor mage Q-velgere som blir trukket ut i meigsmåligee Dette medfører at e edrig på 36 velgere for parti P er iefor rammee av aturlig tilfeldig variasjo i hvor mage P velgere som trekkes ut, mes e slik edrig for parti Q, hvor de aturlige variasjoe er mye midre pga at oppslutige i utgagspuktet er lav, må forklares med e reell edrige i hvor stor adel av populasjoe (hele befolkige) som støtter parti Q