TALLSVAR. Det anbefales at de 9 deloppgavene merket med A, B, teller likt uansett variasjon i vanskelighetsgrad. Svarene er gitt i << >>.

Transkript

1 1 ECON130: EKSAMEN 013 VÅR - UTSATT PRØVE TALLSVAR. Det abefales at de 9 deloppgavee merket med A, B, teller likt uasett variasjo i vaskelighetsgrad. Svaree er gitt i <<. Oppgave 1 Tabell 1 viser atall talegebesøk i løpet av et år for et utvalg av persoer. Tabelle viser for eksempel at 444 persoer ikke hadde oe besøk hos talege mes 67 hadde mer e 4 besøk. Utvalget besto av 1018 persoer i alt. (Tallee stammer fra e udersøkelse fra Nederlad fra 1988.) Tabell 1 Atall besøk Atall persoer i ett år > 4 67 Sum 1018 A. Skisser et histogram for fordelige av atall talegebesøk basert på tallee i tabell 1. For ekelthets skyld ka du ata at de 67 persoee som hadde mer e 4 besøk, fordelte seg jevt på 5, 6 og 7 besøk, dvs. med like mage på hver. Svar: Frekvestabelle blir Atall besøk i ett år Atall persoer Relativ frekves Sum 1018 Histogram =.

2 B. La X betege atall talegebesøk i løpet av et år for e tilfeldig valgt perso. Ata at sasylighetsfordelige for X er gitt ved f( x ) i tabell. (Merk at tallee i tabell ikke ødvedigvis er de samme som i histogrammet i pukt A.) Tabell x f( x ) Bereg sasylighetee i) PX ( 4) ii) PX ( 4) iii) P( X ) ( X 4) iv) P( X 4) ( X 4) i) PX ( 4) 0.0 ii) PX ( 4) 0.05 P ( X ) ( X 4) P( X ) P( X 4) 0.58 iii) iv) P ( X 4) ( X 4) P( X 4) P( X 4) 0.4 C. Bereg forvetige og variase til X. E( X ) xf ( x) 1.6 ( ) x f ( x) 3.4 x E X x var( X ) 3.4 (1.6) D. Ata at atall talegebesøk i året, X, for e tilfeldig perso har forvetig 1.6 og stadardavvik Tek deg at vi observerer X for et tilfeldig utvalg på persoer. Hva er sasylighete, tilærmet, for at gjeomsittet av disse observasjoee skal falle mellom 1.5 og 1.7? Regel 5.18 (setralgreseteoremet) medfører at X er tilærmet ~ 1.35 X 1.6 N 1.6, N(1.6, ) Z ~ N(0,1)

3 3 Hvorav P(1.5 X 1.7) P Z P( 0.74 Z 0.74) PZ ( 0.74) 1 (0.96) E. La X og Y betege atall talegebesøk i løpet av et år for to tilfeldig valgte persoer. Ata at begge følger fordelige i tabell. Side populasjoe er stor ka vi ata at X og Y er stokastisk uavhegige. Fi sasylighetee i) P( X ) ( Y ) ii) P( X Y) Hit: Begivehete ( X Y) ka skje ved at både X og Y blir lik 0 eller ved at begge blir lik 1 eller ved at begge blir lik eller osv. i) X og Y uavhegige og idetisk fordelte impliserer Dermed P( X ) P( Y ) og P ( X ) ( Y ) P( X ) P( Y ) P( X ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) P X P X Y P X P Y P X Y P( X ) ( ) (0.55) (0.55) ii) P( X j) ( Y j) P( X j) P( Y j) P( X j) medfører 7 7 ( ) ( ) ( ) ( ) P X Y P X j Y j f j j0 j0

4 4 Oppgave A. La X1, X,, X være uavhegige og Poisso-fordelte med parameter. i) Vis at gjeomsittet, ˆ X, er e forvetigsrett estimator for. ii) Hva blir variase til ˆ uttrykt ved? iii) Vi går tilbake til situasjoe i oppgave 1A. Ata at atall talegebesøk for e tilfeldig valgt perso er Poisso-fordelt med parameter. Estimer ut fra tallee i tabell 1. Som i oppgave 1A, ka du ata at de med mer e 4 besøk fordeler seg jevt på 5, 6 og 7 besøk. i) ii) iii) Regel E( X ) E( X i) i1 i1 Regel var( X ) var( ) X i i1 i1 67 fordelt likt på 5, 6 og 7 gir 89 på hver. X (5 6 7) i ˆ X B. La situasjoe fortsatt være som beskrevet i pukt A iii). i) Bereg et (tilærmet) 90% kofidesitervall for basert på tallee i tabell 1. ˆ [Hit. Det ka vises (du behøver ikke gjøre det her) at er tilærmet stadard ˆ ormalfordelt ( ~ N (0, 1) ) uasett hva er. Utytt dette resultatet til å lage kofidesitervallet. ] ii) Vi øsker å teste hypotese H : 1. mot 0 H : Sett opp et testkriterium med vilkårlig sigifikasivå. Bereg p-verdie (sigifikassasylighete) for teste di basert på tallee i tabell 1 og kommeter svaret. [Hit. Velg for eksempel mulig.] ˆ 1. Z som testobservator. Adre forslag er også ˆ

5 5 i): ˆ ˆ P gir kof. itervallet, ˆ 1.645, som observert ˆ blir [1.170, 1.06] 1018 ii): To alterative valg som begge godkjees: ˆ 1. (1) Testobservator Z1, som i følge hitet i i), er tilærmet ~ N (0,1) hvis 1.. ˆ Testkriterium: Forkast H 0 hvis Z1 z (= - kvatile i N(0,1) -fordelige). ˆ 1. () Testobservator Z, som, i følge setralgreseteoremet (som i oppgave 1D), er 1. tilærmet ~ N (0,1) hvis 1.. Testkriterium: Forkast H 0 hvis Z z Observert: Z1, z og Z, z obs 1. j j 1. j P-verdie for de tosidige teste (jfr. test-oversikte på ettet) ˆ P ( Z z ) P ( Z 1.11) 0.67 for begge variater. Altså ikkesigifikat resultat på alle valige ivåer. obs C. Det ka vises (du treger ikke å gjøre det her) at forutsetige i pukt A iii) at observasjoee i tabell 1 er trukket fra e Poisso-fordelig, er urealistisk. Dette reduserer troverdighete av resultatee i pukt B. Som ledd i et forsøk på å forbedre modelle foreslås følgede: Betrakt å utelukkede dem som har 4 eller flere talegebesøk i løpet av et år. La U være atall talegebesøk i et år for e tilfeldig valgt perso fra dee gruppe. Ata at U 4 Y der Y er Poisso-fordelt med parameter. i) Er det, etter di meig, oe som taler for og/eller i mot e slik atakelse? ii) Hva blir forvetige og stadardavviket til U, uttrykt ved? iii) Vis at P( U 4) e og P( U 4) 1 e. i): Y er lik atallet i et stort utvalg ( = 10 18) som har 4 eller flere talegebesøk og ka aturlig oppfattes som e biomisk fordelt variabel med stor og lite p. E slik biomisk fordelig er godt approksimert med e Poisso-fordelig. ii): E( U) E(4 Y) 4 E( Y) 4 SD( U) var(4 Y) var( Y)

6 6 iii): P( U 4) P(4 Y 4) P( Y 0) e P( U 4) 1 P( U 4) 1 e D. i) Forklar (ituitivt) hvorfor ˆ ka være et rimelig aslag på ved å sammelige sasylighetee i pukt C iii) med tilsvarede relative frekveser bereget på grulag av tabell 1. ii) I oppgave 1A fordelte vi de 67 persoee, som hadde mer e 4 talegebesøk, likt på 5, 6 og 7 besøk. Gjør rede for hvorda modelle i pukt C ka gi grulag for e ae fordelig av de 67 persoee på 5, 6, 7, 8, besøk. Agi de beregete (estimerte) atall persoer blat de 67 som hadde heholdsvis 5, 6 og 7 besøk hos talege, med utgagspukt i estimatet i pukt i). [Hit. Et uttrykk, h( ), som avheger av de ukjete, ka du her estimere ved rett og slett å erstatte med ˆ i uttrykket, h( ˆ ). Dette treger du ikke å begrue. ] i): Vi fier: Kategori Atall Relativ frekves X = Estimat ˆ ˆ e 0.40 X > Sum 457 ˆ 1e Estimatee passer godt til de observerte relative frekvesee. ii): Gruppe består av persoer. Atallet persoer som faller i e uderkategori bestemt ved ( U j Y j 4) er biomisk fordelt med j 4 suksess-sasylighet P( U j) P( Y j 4) e ( j 4)! ved å erstatte med ˆ., som estimeres Atallet av som faller i kategorie U j estimeres dermed ved å estimere forvetige i e biomisk fordelig, emlig 1 Resultatet er gitt i følgede tabell: p.

7 7 Kategori Estimert ved U j Y j 4 P( U j) ˆ 1 P( U j) 5 1 e e e e osv. osv. osv. osv. osv.