Eksamen REA3028 S2, Våren 2010

Transkript

1 Eksame REA308 S, Våre 010 Del 1 Tid: timer Hjelpemidler: Valige skrivesaker, passer, lijal med cetimetermål og vikelmåler er tillatt. Oppgave 1 (6 poeg) a) Deriver fuksjoee: 1) f x x lx f x x lx x x f x x x x l l 1 f x x x 1 ) gx 3 e x g x 3e x 6x e x x b) Gitt de uedelige rekke Avgjør om rekke kovergerer, og bestem evetuelt summe av rekke Forholdet mellom to etterfølgede ledd er 1. Rekka er da geometrisk med 1 k. Side k 1,1, er rekka koverget og har summe a S 1 k Eksame REA 308 Matematikk S, Våre 010 Side 1

2 c) Sasylighetsfordelige til e stokastisk variabel X er gitt ved x B P X x 0, 0,1 A 0,3 Du får opplyst at B 1 1) Bestem A og P X 1. Summe av sasylighetee i tabelle skal være 1. Verdie av A blir dermed 10, 0,1 0,3 0,4 P X 1 P X 3 P X 0 0, 0,1 0,3 ) Bestem B år du får opplyst at E X 1,0. Vi setter opp et uttrykk for E X og fier B. Det gir EX 30, 00,110,4 B0,3 0,6 0,4 0,3B 0, 0,3 B 0, 0,3B 1,0 0,3B 1, B 4 3) Vis at variase er Var X 6,0. Var X 31 0, 0 1 0,1 11 0, ,3 160, 10,100,4 90,3 3, 0,1,7 6,0 Eksame REA 308 Matematikk S, Våre 010 Side

3 d) Vi har gitt fuksjoe 3 1. Vis at f f x 3x 6x 3x 6 f x er delelig med x 1 3 f x er delelig med x Løs likige fx 0 Pukt 1 viser at fx ka deles med 3 3x 3x x 1 3 3x 6x 3x 6 : x 1 3x 3x 6 3x 3x6 3x 3 x 6X 6 6X 6 0 Dette betyr at f x 3x 3x 6x 1 f x x x x x x x 6 39 x 6 x 1 x Eksame REA 308 Matematikk S, Våre 010 Side 3

4 e) E polyomfuksjo f av adre grad er gitt ved f x ax bx c Du får oppgitt at: f f f 4, 0 og 8 1) Bestem fuksjosuttrykket til f. f x ax bx c f x ax b og f x a f a a f 0 a b 0 4 b 0 b 16 f 4 a b c c 4 c 1 Fuksjosuttrykket er f x 4x 16x 1 ) Fi ullpuktee til f og evetuelle topp- og bupukter på grafe til f. f x 0 4x 16x1 0 : 4 x 4x x 1 4 x x 1 x 3 I evetuelle topp- eller bupukter på grafe til f er f x 0 fx ax b 8x 16 8x 16 0 f 8x 16 x 0 16 og f 3 4. Det betyr at grafe til f syker for x og stiger for x. Vi har dermed et bupukt i,, 4 f. Alterativt ka vi løse dee oppgave ut fra de opplysiger som er gitt. Vi har oppgitt at f 8. Det betyr at grafe veder si hule side opp for x. Videre er det opplyst at f 0. Da har grafe et bupukt for x. Eksame REA 308 Matematikk S, Våre 010 Side 4

5 f) E stabel med alumiiumsrør ligger delvis skjult bak e murvegg. 1) La atall rør i rad ummer ovefra være a. Ta utgagspukt i tegige og forklar at a 3 år 1 Atall rør øker med ett rør for hver rad edover i stabele. Vi har dermed e aritmetisk rekke med differase d 1 og a1 4. Atall rør Da er a i rekke ummer er gitt ved a a d a a ) Vis at atall rør til samme i de øverste radee er gitt ved S 7 Sumformele for e aritmetisk rekke er gitt ved S a a 1. S S S ) Hvor mage rader tregs for å få plass til 5 rør? (Du ka få bruk for at ) Eksame REA 308 Matematikk S, Våre 010 Side 5

6 S Det er ku de positive løsige som er iteressat i dee oppgave. Det tregs 18 rader for å få plass til 5 rør. Eksame REA 308 Matematikk S, Våre 010 Side 6

7 Del Tid: 3 timer Hjelpemidler: Alle hjelpemidler er tillatt, med utak av Iterett og adre verktøy som tillater kommuikasjo. Oppgave Sige bestemmer seg for å spare peger. Hu vil sette i kroer på e bakkoto i begyelse av hvert år. Det første beløpet skal settes i om ett år. Rete er 4 % per år i hele spareperiode. a) Hvor mye peger har Sige på kotoe rett etter at hu har satt i det åttede beløpet? Nå 1. år. år 3. år 8. år 9. år , , ,04 Figure viser at samlet iskudd rett etter det åttede iskuddet er summe av e geometrisk rekke. Summe er 8 1,04 1 S kr 1,04 1 b) Fi ved regig hvor lege Sige må spare for at det skal stå kroer på kotoe. Det står kr på kotoe år GeoGebra gir løsige Sige må spare i 11 år før det står kroer på kotoe. Eksame REA 308 Matematikk S, Våre 010 Side 7

8 c) Sige øsker å ha kroer på kotoe like etter at hu har satt i det åttede beløpet. Fi ved regig hvor mye Sige i så fall må sette i på kotoe hvert år. Jeg lar x stå for det beløpet Sige må sette i på kotoe hvert år for å ha kr på kotoe rett etter at det åttede beløpet er satt i. Det gir likige GeoGebra gir løsige Hu må sette i kroer hvert år. Eksame REA 308 Matematikk S, Våre 010 Side 8

9 Oppgave 3 E stokastisk variabel X er ormalfordelt med 30 og,5. a) Bestem P X 31 Sasylighetskalkulatore i GeoGebra gir at PX31 0,6554 b) Bestem P X 8 Sasylighetskalkulatore i GeoGebra gir at PX8 0,7881 Eksame REA 308 Matematikk S, Våre 010 Side 9

10 Oppgave 4 E grossist som selger jordbær, har over tid registrert at 10 % av jordbærkassee ieholder bær som er ødelagt. E dag mottar grossiste 50 kasser. Vi atar at 10 % av kassee ieholder bær som er ødelagt. a) Hva er sasylighete for at akkurat 5 av kassee har ødelagte bær? La X være atall kasser med ødelagt bær. Atar at X er biomisk fordelt med p 0,10. Sasylighete for at akkurat 5 av 50 kasser har ødelagt bær blir ,10 1 0,10 50 P X 5 0,185 5 Det er 18,5 % sasylighet for at akkurat 5 av de 50 kassee med jordbær ieholder ødelagte bær. Vi ka også løse oppgave ved å bruke sasylighetskalkulatore i GeoGebra. b) Fi sasylighete for at mist 5 kasser ieholder ødelagte bær. Sasylighete for at mist 5 av 50 kasser har ødelagt bær blir k4 50 k 50k P X 5 1P X 5 1 0,10 1 0,10 0,569 k0 k Det er 56,9 % sasylighet for at mist 5 av de 50 kassee med jordbær ieholder ødelagte bær. Eksame REA 308 Matematikk S, Våre 010 Side 10

11 Vi ka også løse oppgave ved å bruke sasylighetskalkulatore i GeoGebra Grossiste får mistake om at mer e 10 % av kassee ieholder ødelagte bær. For å udersøke forholdet ærmere kotrollerer ha 90 kasser. Ved dee kotrolle viser det seg at 15 av de 90 kassee ieholder bær som er ødelagt. Vi lar p være sasylighete for at e tilfeldig valgt kasse ieholder ødelagte bær. c) Sett opp e ullhypotese og e alterativ hypotese som passer til dee problemstillige. Forklar hvorda du har tekt. Utgagspuktet er at 10 % av kassee ieholder ødelagte bær. Vi vil sjekke om dee prosetadele har økt. Kotrolle grossiste foretar viser at 15, dvs. 16,7 % av kassee 90 ieholder ødelagte bær. Vi skal udersøke om dee kotrolle gir grulag for å si at det geerelt er mer e 10 % av jordbærkassee som ieholder ødelagte bær. Det ka jo være tilfeldig at det akkurat var så mage som 15 av de 90 kotrollerte kassee som ieholdt ødelagte bær. Jeg setter opp e ullhypotese H 0 der jeg atar at prosetadele på 10 % ødelagte bær fortsatt gjelder, og e alterativ hypotese H 1 der jeg atar at prosetadele har økt. H Adel jordbærkasser med ødelagte bær er 10 %, dvs. p 0,10. 0 : H Adel jordbærkasser med ødelagte bær er mer e 10 %, dvs. p 0,10. 1 : d) Udersøk om resultatet av kotrolle gir grulag for å si at kvalitete på jordbæree har blitt dårligere. Velg et sigifikasivå på 5 %. Eksame REA 308 Matematikk S, Våre 010 Side 11

12 Sasylighetskalkulatore i GeoGebra viser at det er 3,3 % sasylighet for at 15 kasser eller flere i e stikkprøve på 90 kasser vil ieholde ødelagte bær hvis ullhypotese gjelder. Vi satt et sigifikasivå på 5 %. Det betyr at vi forkaster ullhypotese H 0 og godtar de alterative hypotese H 1. Eksame REA 308 Matematikk S, Våre 010 Side 1

13 Oppgave 5 Vi har gitt adregradsfuksjoe f x 10x 000 x a) Bestem f x. Reg ut f 0, f 1, f og f 3 f x 0x 000 f f f f b) Forklar at rekke f0 f1 f f3 a1 000 og differase er d 0. er e aritmetisk rekke der første ledd er Hvert ledd i rekke er lik leddet fora pluss 0. Det første leddet er a1 f c) Vis at summe av de første leddee er gitt ved uttrykket S Sumformele for e aritmetisk rekke er gitt ved S a a 1. a a1 d 1 a a S I et lad ble det født bar. Etter x år er atall gjelevede i dette kullet gitt ved modelle f x 10x 000 x år x 0, 100 d) Reg ut S f f f f Tolk svaret du kommer fram til. S S De deriverte for et bestemt år viser e tilærmet verdi for edgage dette året. Summe av rekke viser da e tilærmet verdi for samlet edgag over 100 år. Dee tilærmede verdie ka avvike fra de eksakte verdie som aturlig ok ikke ka overskride e samlet edgag på Eksame REA 308 Matematikk S, Våre 010 Side 13

14 Oppgave 6 Du skal besvare ete alterativ I eller alterativ II. De to alterativee er likeverdige ved vurderige. (Dersom besvarelse ieholder deler av begge, vil bare det du har skrevet på alterativ I, bli vurdert.) Alterativ 1 Ved produksjo av e vare er etterspørsele Prise p per ehet er gitt i kroer. ep eheter per uke uttrykt ved 0, ,70 e p p p Itektee per uke ka uttrykkes ved fuksjoe Ip. Produksjoe legges opp slik at det produseres like mage eheter som det selges. Kostadee kyttet til produksjoe er gitt ved K x 8x 100x der x e p er atall produserte og solgte eheter. a) Vis at fuksjosuttrykkee Ip og Kp er gitt ved Ip 0,5p 80p K p p 40p 800 Jeg defierer fuksjoee ep, Kx og Ip i GeoGebra GeoGebra gir da følgede uttrykk for Ip og Kp : Vi ser at dette er de fuksjosuttrykkee vi skulle vise at Ip og Kp kue skrives som. Eksame REA 308 Matematikk S, Våre 010 Side 14

15 b) Hvilke pris gir størst overskudd? Jeg defierer fuksjoee Kp, I p og Op i GeoGebra Så fier jeg toppuktet på overskuddsfuksjoe De deriverte til overskuddsfuksjoe er ull for p 4. De deriverte er positiv for p 4 og egativ for p 4. Det betyr at e pris på 4 kroer per ehet gir størst overskudd. c) Hvor mage eheter per uke produseres det år overskuddet er størst? e p 0,5p 80 e 4 0, Etterspørselsfuksjoe viser at det produseres 68 eheter per uke år overskuddet er størst. Eksame REA 308 Matematikk S, Våre 010 Side 15

16 Ved produksjo av e ae vare er etterspørsele per uke gitt ved 0,0x 00 1,6 g x e x x 1 betyr uke r 1, x betyr uke r i produksjostide osv. Også for dee vare produseres det like mage eheter per uke som det selges. d) Teg grafe til g. I hvilke uke er etterspørsele 70 eheter? Fi svaret både grafisk og med regig. Jeg fier skjærigspuktet mellom lije y 70 og grafe til g i GeoGebra. Koordiatee til skjærigspuktet viser at etterspørsele er 70 eheter i uke 15. Jeg løser likige gx 70 ved regig i GeoGebra og får her samme resultat. Etterspørsele er på 70 eheter i uke 15. e) Hvor mage eheter produseres det i løpet av det halve året? Det bestemte itegralet av g fra 1 til 7, tallet b, viser tilærmet samlet produksjo fra og med uke 1 til og med uke 6. Samlet produksjo er 6958 eheter Eksame REA 308 Matematikk S, Våre 010 Side 16

17 Alterativ E bedrift produserer x eheter per dag av e vare. De samlede kostadee per dag ka beskrives ved fuksjoe Kostadee er gitt i kroer. a) Teg grafe til K , x 60 x 170e 0,15 K x b) Vis ved regig at uttrykket for gresekostade ka skrives K x K x K K K x x x e 170e 0,15 x 0,15 x , x 60 0,15x 1 70e 0,15x 0,15x e e 0,15x 1 70e 0,15x e 0,15x 1 70e , e 1 70e 0,15x 0,15x Eksame REA 308 Matematikk S, Våre 010 Side 17

18 c) Bestem K 0 og forklar hva dette tallet forteller. Jeg defierer Kx ( ) i GeoGebra og reger ut Det betyr at det koster 08 kroer å øke produksjoe med e ehet per dag år produksjoe er 0 eheter per dag. d) Udersøk hvilke produksjosmegde som gir størst gresekostad. Fi de største gresekostade. Jeg teger grafe til K og fier toppuktet på grafe ved kommadoe «Ekstremalpukt». E produksjosmegde på 8 eheter gir størst gresekostad. Eksame REA 308 Matematikk S, Våre 010 Side 18

19 Vi går ut fra at hele produksjoe blir solgt, og at samlet itekt ved salg av x eheter er 0 I x x x e) Teg grafe til I i samme koordiatsystem som grafe til K. Hvor mage eheter må bedrifte produsere og selge per dag for at overskuddet skal bli størst mulig? Jeg teger også grafe til overskuddsfuksjoe Ox Ix K x og fier toppuktet på grafe ved kommadoe «Ekstremalpukt». Maksimalt overskudd per dag er kr 136 Da må bedrifte produsere og selge 19 eheter per dag. Eksame REA 308 Matematikk S, Våre 010 Side 19

20 Bedrifte eksperimeterer med ulike modeller for itektsfuksjoe. De teker seg at samlet itekt ved salg av x eheter alltid ka beskrives ved et uttrykk på forme hx ax x, der a er e positiv kostat. f) Er det mulig å oppå overskudd hvis a 10? Jeg ifører glidere a i GeoGebra og omdefierer itektsfuksjoe til Ix a x x. Grafe viser at det ikke oppås overskudd år a 10 Hva er de miste verdie a ka ha dersom bedrifte skal gå med overskudd? Grafe viser at år a 145 går bedrifte akkurat i balase. For alle verdier av a større e 145 går bedrifte med overskudd. De miste verdie a ka ha for at bedrifte skal gå med overskudd blir da 146. Eksame REA 308 Matematikk S, Våre 010 Side 0