Oppgave 1 Hardheten til en bestemt legering er undersøkt med åtte målinger og resultatene ble (i kg/mm 2 ) som i tabellen til høyre.

Transkript

1 EKSAMEN I: ÅMA110 SANNSYNLIGHETSREGNING MED STATISTIKK VARIGHET: 4 TIMER DATO: 28. AUGUST 2010 BOKMÅL TILLATTE HJELPEMIDLER: KALKULATOR: HP30S, Casio FX82 eller TI-30 OPPGAVESETTET BESTÅR AV 3 OPPGAVER PÅ 5 SIDER INKL. VEDLEGG MERK: For å få bestått må også mist to av de -merkede puktee 1c), 1d) og 1f) være bra besvart. Oppgave 1 Hardhete til e bestemt legerig er udersøkt med åtte måliger og resultatee ble (i kg/mm 2 ) som i tabelle til høyre. La i være resultat r. i, i = For disse dataee er: = 1 8i=1 8 i = 191.3, og 1 8i=1 ( 7 i ) 2 = Vi betrakter resultatee som utfall av 8 tilfeldige variable X 1,..., X 8, og vi atar at resultatee for ulike måliger er statistisk uavhegige a) Dersom X i ee er ormalfordelte med forvetig µ = 200 og stadardavvik σ = 30, fi P (X 1 < 170) og fi P (X > 260). Fi stadardavviket til X = 1 ) (X X 8, og fi sasylighete for at gjeomsittet, X, blir midre e b) Estimer virkelig hardhet for legerige, µ, og σ med dataee gitt i tabelle. Hva mees med at det er statistisk usikkerhet i estimatet av µ? Hvorda ka størrelse av dee usikkerhete aslås? For pukt c, d) og e), ata at X 1,..., X 8 er ormalfordelte tilfeldige variable med ukjet forvetig, µ, og kjet stadardavvik, σ = 30. c ) Lag et 90% kofidesitervall for µ. d ) Test om det er gru til å hevde at hardhete er midre e 200; dvs. test H 0 : µ = 200 mot H 1 : µ < 200. Bruk sigifikasivå Gjør klart hva som er teststørrelse (testobservator), ullfordelig og forkastigsområde. e) Hvorda er p-verdi defiert? Fi p-verdie til resultatet. f ) Gjeta pukt c) og d) dersom også σ er ukjet. 1

2 Oppgave 2 For to begiveheter A og B har vi: P (A) = 0.4, P (B) = 0.5 og P (A B) = 0.1. a) Teg et Vediagram som illustrer situasjoe. Fi P (A B). Hva mees med komplemetet til A. Fi sasylighete for at A ikke itreffer. b) Fi sasylighete for at ku A (og ikke B) itreffer. Fi sasylighete for at hverke A eller B itreffer. Hit: Bruk Vediagrammet! c) Fi de betigede sasylighete for at A itreffer gitt B. Er A og B uavhegige begiveheter? (Begru svaret.) Gi e forklarig til defiisjoe av uavhegige begiveheter. d) Dersom begivehete C som har sasylighete 0.1, er slik at P (A C) = 0 og P (B C) = 0, teg dee i i Vediagrammet samme med A og B på riktig måte. Er C statistisk avhegig av A og B? Oppgave 3 Ata at Y er biomisk fordelt med = 300 og suksessasylighet p = 0.6 (Y B(300, 0.6)). a) Hva er forutsetigee for at Y skal være biomisk fordelt? Fi et uttrykk for de eksakte sasylighete P (Y = 175) (treger ikke tallsvar). Hva er forvetig og stadardavvik til Y? Fi tilærmet sasylighete P (Y 170). Hva er et kriterium for ormaltilærmig til biomisk fordelig skal være bra? Et utvalg på = 200 av ibyggere i bye, ble spurt om de hadde vært iom ONS. Av de 200 svarte 28 persoer ja. Vi er iteressert i de virkelige adele av byes ibyggere som har vært iom ONS. b) Lag et tilærmet 90% kofidesitervall for virkelig adel som har vært iom ONS. 2

3 3 Formelark, vedlegg til eksamesoppgavee i ÅMA110 For dataee 1,..., er empirisk varias deert ved s 2 = 1 (i ) 2 1 i=1 E oppgave består av d deler og det er m1 ulike måter å utføre del 1 på, m2 ulike måter å utføre del 2, m3 ulike måter å utføre del 3 på o.s.v.; Det er da i alt m1 m2 md ulike måter å utføre hele oppgave på. Atall permutasjoer av s objekt tatt fra N ulike er: N (N 1) (N s +1) }{{} s faktorer Atall uordede utvalg av s objekt tatt fra N ulike er: ( ) N s = N (N 1) (N s +1) s! De betigede sasylighete for A gitt B er deert ved: P (A B) P (A B) = P (B) For e tilfeldig variabel X er variase til X deert ved: Var(X) =E{(X μ) 2 } = E(X 2 ) μ 2, der μ = E(X). For to tilfeldige variable X og Y er kovariase til X og Y deert ved: Cov(X, Y )=E{(X μx)(y μy )} = E(XY ) μxμy, der μx = E(X) og μy = E(Y ). For vilkårlige kostater a, b og c og to tilfeldige variable X og Y gjelder: Var(a + bx + cy ) = b 2 Var(X)+c 2 Var(Y )+2bcCov(X, Y ) E(a + bx + cy ) = a + be(x)+ce(y ) For vilkårlige kostater a, b, c og d og to tilfeldige variable X og Y gjelder: Cov(a + bx, c + dy )=bdcov(x, Y ) Dersom de tilfeldige variabele X er biomisk fordelt (, p), så har vi at ( ) P (X = ) = p (1 p), =0, 1,...,, E(X) =p og Var(X) =p(1 p). Dersom de tilfeldige variabele X er hypergeometrisk fordelt (N,M,), der N = populasjosstørrelse, M = atall defekte"og = utvalgsstørrelse, så har vi at P (X = ) = ( M )( ( N N M ) ), =0, 1,..., E(X) = M N og Var(X) = N N 1 M N (1 M N ). Dersom de tilfeldige variabele X er geometrisk fordelt med suksess-sasylighet p, så har vi at P (X = ) =(1 p) 1 p =1, 2,..., E(X) =1/p og Var(X) =(1 p)/p 2. Dersom de tilfeldige variabele X er Poissofordelt med parameter λt, så har vi at P (X = ) = (λt) e λt, =0, 1,...,! E(X) =λt og Var(X) =λt. De tilfelidige variabele T er ekspoesialfordelt med parameter λ dersom de har tetthete: f(t) = { λe λt, for >0 0, for 0 Vi har da:e(t )= 1,Var(T )= 1 t λ λ 2 og P (T <t)= λe λu du =1 e λt. 0 La X1,...,X være uavhegige variable med samme fordelig og E(Xi) =μ og Var(Xi) = σ 2 for alle i. LaX = 1 i=1 Xi = 1 (X X). Setralgreseteoremet gir da at år er tilstrekkelig stor ( 30 ofte ok) vil tilærmet Z = X E(X) Var(X) = σ X μ N(0, 1) 2 / Dersom X1,...,X er uavhegige og idetisk ormalfordelte med forvetig μ er T = X μ S 2 / t 1

4 Tabell over sasyligheter i stadardormalfordelige. Tabelle viser P (Z z), der Z N (0, 1). z

5 Tabell over Studet-t-fordelige. Tabelle viser t α,ν som er slik at P (T t α,ν ) = α, der T t(ν) (T er Studet-t-fordelt med ν frihetsgrader). α ν