EKSAMEN I TMA4245 Statistikk

Transkript

1 Noregs tekisk aturvitskaplege uiversitet Istitutt for matematiske fag Side 1 av 5 Fagleg kotakt uder eksame: Turid Follestad ( / ) Hugo Hammer ( / ) Eirik Mo ( / ) Heig Omre ( / ) EKSAMEN I TMA4245 Statistikk Torsdag 7. jui 2007 Tid: 09:00 13:00 Tillate hjelpemiddel: Gult A5-ark med eige hadskrive otatar (stempla ved Istitutt for matematiske fag) Tabeller og formler i statistikk (Tapir forlag) K. Rottma: Matematisk formelsamlig Kalkulator: HP30S NYNORSK Sesur: 28. jui 2007 Oppgåve 1 Pegespelet I eit TV-program får eit visst atal deltakarar sjase til å vie eit større pegebeløp. For kvar deltakar består spelet av ei serie påfølgjade ruder, der deltakare i kvar rude får presetert ei oppgåve. For kvar oppgåve deltakare klarer, får ha/ho eit gitt beløp. Spelet blir avslutta år deltakare første gog ikkje klarer oppgåva, og deltakare får då med seg beløpet vue i dei øvrige rudee. Vi føreset at ige deltakar trekker seg frivillig udervegs. La p vere sasyet for IKKJE å klare oppgåva i kvar ekelt rude, og la vidare X vere talet på ruder for ei tilfeldig valt deltakar. Talet på ruder X blir her defiert slik at deltakare går ut etter å ha klart oppgåvee i dei X 1 første rudee, me ikke oppgåva i rude X. Vi føreset at sasyet p er lik for kvar rude og for kvar deltakar, og at resultata for kvar rude er uavhegige.

2 Side 2 av 5 I dee situasjoe er X geometrisk fordelt med parameter p, slik at puktsasyet f(x; p) og de kumulative fordeligsfuksjoe F (x; p) = P (X x) for X er f(x; p) = p(1 p) x 1, x = 1, 2,... F (x; p) = 1 (1 p) x, x = 1, 2,... a) Føreset berre i dette puktet at p = Forklar kvifor X er geometrisk fordelt med parameter p i dee situasjoe. Rek ut sasyet for at deltakare går ut i første rude. Rek ut sasyet for at deltakare er med i spelet år det er gått fem ruder. Kva er sasyet for at ha/ho kjem vidare til iade rude me ikkje klarer oppgåva i iade rude, gitt at deltakare var med i spelet år det var gått fem ruder? Det viser seg at deltakarae jamt over heg med leger e forveta, og det begyer å bli dyrt for TV-selskapet. Dei vil udersøke om dei har feilvurdert vaskegrade, og vil bereke eit aslag for p, som vi o ser på som ukjet. La X 1, X 2,..., X vere talet på ruder for kvar av tilfeldig valde deltakarar, der X i, i = 1,..., er uavhegige og geometrisk fordelte med same parameter p. b) Utlei eit uttrykk for sasysmaksimerigsestimatore (maximum likelihood estimator) for p basert på det tilfeldige utvalet. Kva blir estimatet dersom = 8, og talet på ruder for dei 8 deltakare er 4, 22, 9, 11, 15, 5, 26 og 17? TV-selskapet bruker to persoar, A og B, til å lage oppgåvee. Selskapet øskjer å udersøke om vaskegrade er avhegig av kve av dei som lagar oppgåvee. Dei ser på resultata frå 1 tilfeldig valde deltakarar som har oppgåver frå oppgåvelagar A, og 2 frå oppgåvelagar B. La Z 1 og Z 2 vere talet på deltakarar blat desse som klarer færre e fem oppgåver frå høvesvis oppgåvelagar A og B. Vi føreset at Z 1 og Z 2 er uavhegige. c) Forklar kvifor Z 1 og Z 2 er biomisk fordelte med parametrar ( 1, q 1 ) og ( 2, q 2 ), der q 1 og q 2 er sasyet for å klare færre e fem oppgåver i dei to gruppee. Som estimatorar for q 1 og q 2 skal vi bruke ˆq 1 = Z 1 1 og ˆq 2 = Z 2 2.

3 Side 3 av 5 Utlei eit tilærma 95% kofidesitervall for q 1 q 2 basert på ormaltilærmig til biomisk fordelig. Rek ut itervallet umerisk år 1 = 2 = 64, og observerte verdiar for Z 1 og Z 2 er z 1 = 34 og z 2 = 18. Gir det estimerte kofidesitervallet TV-selskapet grulag for å seie at oppgåvee frå A og B har ulik vaskegrad? Grugi svaret. Oppgåve 2 Radar Ei hameby observerer skip som kjem i mot hama ved å bruke radar. Vi føreset for ekelheits skuld at skipa alltid kjem frå ord. Radare er plassert 1 kilometer vest for hama. Det er øskjeleg å oppdage skip som kjem i mot hama så tidleg som mogleg av praktiske og tryggleiksmessige årsaker. Når skipet første gog blir faga i på radare, observerer Båt X Y Nord Radar 1 km Ham Figur 1: Illustrasjo til oppgave 2. radare vikele Y [0, π/2), som vist i Figur 1. Radare observerer ku vikele Y, og ikkje avstade til skipet. Vikele Y varierer frå skip til skip av mage årsaker. La de kumulative fordeligsfuksjoe til Y vere F (y; β) = P (Y y) = 1 exp { y/β}, y [0, π/2), 1 exp { π/(2β)}

4 Side 4 av 5 der β > 0 er ei parameter. a) Føreset berre i dette puktet at β = π/8. ( Rek ut P Y > π ) ( π, P 4 4 < Y < π ) ( og P Y > π 3 4 Y < π ). 3 b) Vis at sasystettleike f(y; β) til Y er f(y; β) = 1 exp { y/β}, β β exp { π/(2β)} y [0, π/2). Hamebye er meir iteressert i avstade til hama år skipet først blir oppdaga e vikele Y som radare observerer. La X vere dee avstade, som vist i Figur 1. Utlei eit uttrykk for sasystettleike til X. Det blir oppgitt at d dx (ta(x)) = 1 cos 2 (x) og d d (arc ta(x)) = dx dx (ta 1 (x)) = x. 2 Oppgåve 3 Ultralydavbildig med kotrastmiddel Ei måte å oppdage tidleg utviklig av kreftceller i levra på er å studere tettleike av blodkar. Mikroskopiske gassbobler blir tilsett blodet, og blir sett ved å sede ultralyd mot forskjellige delar av levra. Mage gassbobler ei stad gir kraftig høgfrekvet (adreharmoisk) ekko, som idikerer mage blodkar og mogleg kreft. La Y i, i = 1,..., vere styrke på det høgfrekvete ekkoet i desibel (20 log 10 av amplitude) som apparatet registrerer for måligar. Vi vil føresette at måligae Y i er uavhegige og idetisk ormalfordelte, med varias σ 2. a) Føreset berre i dette puktet at σ 2 = og at alle ekkodataee blir skalerte slik at forvetigsverdie til Y i er eksakt 1.0. Rek ut sasyet for at ei ekelt ultralydmålig er større e 1.0. Rek ut sasyet for at avviket i absoluttverdi frå 1.0 i ei ekelt målig er større e Dersom ei tar to uavhegige måligar frå same stad i levra, kva er då sasyet for at gjeomsittet avviker i absoluttverdi meir e 0.02 frå 1.0? Absorbsjo og spreiiig gjer ultralydsigalet svakare frå pukt i levra lagt frå måleapparatet. Vi set opp ei lieær regresjosmodell Y = α + βx + E, med par av måligar (x i, Y i ), i = 1,...,, der Y i er målt som før, og x i er ei kjet forklarigsvariabel basert på djupa i

5 Side 5 av 5 kroppe ekkoet kjem frå. Feila E i er uavhegig ormalfordelte med forvetigsverdi 0.0 og ukjet varias σ 2. Parametrae α og β avheger av fysiologie til pasiete, og er ukjete. Vi vil bruke følgjade estimatorar for α og β: A = α = Ȳ B x, B = β = (x i x)y i (x i x) 2, der Ȳ = 1 Y i og x = 1 x i. Det blir oppgitt at E(B) = β og Var(B) = σ 2 (x i x) 2. b) Utlei uttrykk for E(A), Var(A) og Cov(A, B). Ta med mellomrekig/omformigar du bruker for å kome fram til svara på eklaste form og bruk uta bevis at B og Ȳ er uavhegige. Sasysmaksimerigsestimatore (maximum likelihood estimator) for σ 2 basert på måligar med forskjellige x i er σ 2 = 1 (Y i A Bx i ) 2. Metode er på prøvestadiet og blir berre testa på friske testpersoar. For ei frisk pasiet, skal variase ikkje overstige (For desse persoae er fordeliga av blodkar jam/homoge, og variase i måligae skuldast då berre tilfeldig variasjo i tettleike av gassbobler i blodet.) Dersom resultatet av = 30 uavhegige måligar på ei testperso gir grulag for å forkaste hypotese om at σ 2 = og hevde at σ 2 > , blir testpersoe sedt til ei dyr kreftudersøkig. c) Utlei eit uttrykk for forvetigsverdie til σ 2. Formulér problemstilliga over som ei hypotesetest, og berek kritisk område (forkastigsområde) for σ 2 for teste. La sigifikasivået vere 0.01.