UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT. Innleveringssted: Ekspedisjonen i 12. etasje (mellom ) OG Fronter (innen klokken 15).

Transkript

1 Øvelsesoppgave : ECON3 Statstkk Dato for utleverg: UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT Dato for leverg: e kl. 5. Ilevergssted: Ekspedsjoe. etasje (mellom.5-5.) OG Froter (e klokke 5). Øvrg formasjo: Dee øvelsesoppgave er oblgatorsk. Kaddater som har fått de oblgatorske øvelsesoppgave godkjet et tdlgere semester skal kke levere på ytt. Dette gjelder også tlfeller der kaddate kke har bestått eksame. Øvelsesoppgave skal leveres e frste. Oppgaver levert etter frste vl kke bl rettet.* Øvelsesoppgave skal leveres på levergsstedet som er agtt over. Du skal kke levere øvelsesoppgave drekte tl emelærere eller med e-post. Dee oppgave vl kke bl gtt e tellede karakter. E evetuell karakter er ku veledede. Det skal leveres dvduelle besvarelser. Det er tllatt å samarbede, me detske besvarelser (drekte avskrft) vl kke bl godkjet. Iformasjo om levergsoppgaver og kldebruk: Iformasjo om kosekveser ved fusk her: Dersom besvarelse d kke blr godkjet, vl du få e mulghet tl å levere e y besvarelse. Det vl da være e kortere levergsfrst. (Merk: Å levere «blakt» gr kke rett tl ytt forsøk.) Dersom heller kke dette forsøket lykkes, vl du kke få aledg tl å avlegge eksame dette emet. Du vl da bl trukket fra eksame, slk at det kke vl bl et tellede forsøk. *Dersom e studet meer at ha eller hu har e gyldg gru for kke å levere oppgave e frste bør ha/hu søke om utsettelse. Normalt vl utsettelse ku bl vlget dersom det er e dokumetert gru (for eksempel legeerklærg). Les mer om dette her:

2 ECON 3: Oblgatorsk semesteroppgave 7 vår Merk: Det er lov å samarbede, me hver skal levere ege rapport. Plagater vl kke bl godkjet (dette gjelder også de som har latt e ae skrve av s besvarelse). Det er kke mege at alt skal løses på PC. Bruk PC der det er hesktsmessg. Merk også at vedlagte PC utskrfter bør redgeres og kommeteres. Ta kke med alt som kommer ut av maske, bare det som er av betydg/teresse for besvarelse! For eksempel er det kke ødvedg å rapportere de fem datasettee du lager pukt 5 oppgave, eller datasettet du bruker oppgave. E besvarelse som bare består av e buke ukommeterte utskrfter blr høyst sasylg kke godkjet. Skrv e rapport som du selv vlle lkt å lese. OPPGAVE. Ata v kaster e rettferdg terg gager. La X være atall øye som er resultatet av første kast og Z atall øye det adre kastet. V ka dermed ata at X og Z er to uavhegge stokastske varable med samme fordelg gtt ved P( X ),,,,6 for X, og P( Z z), z,,,6 for Z. 6 6 () Forklar hvorfor de smultae fordelge for X og Z er gtt ved f (, z) P( X Z z),, z,,,6 36 () F sasylghete P( X Z). [Ht. Merk at P( X Z) f (,) f (,) f (6,6) ] () Vs at E( X ) E( Z), E( X ) E( Z ), var( X ) var( Z) 6 [Ht. Merk at det er ok å berege dsse tre størrelsee for bare e av varablee X og Z, sde de har samme fordelg.]. La Y Z X, dvs. edrge resultatet fra første tl aet kast med terge. () () Forklar, ved bruk av relevate regler, hvorfor 35 E( Y ) og var( Y ) var( X ) Vs at E( XY ) og at korrelasjoskoeffsete mellom X og Y er ( XY, ) [Ht. Bruk at jfr regel 4. XY XZ - X E( XY ) E( XZ) E( X ) (sett regel 4. X XZ, X X, a, a og b ). Beytt så at X og Z er uavhegge og regel 4.8.]

3 3 3. () Bruk Ecel (Mey: Data-> Data Aalyss -> Radom Number geerato) tl å smulere (trekke) =3 sammehørede observasjoer av X og Z: (, z), (, z),..., (, z). Dette svarer tl å smulere utfallet av å gjeta ekspermetet 3 gager der terge kastes to gager hvert ekspermet. Ekspermet r. gr altså e observasjo, av X og e observasjo, z, av Z, for,,,3 -ee og z-ee legges ved sde av hveradre to koloer. [Ht: For å få tl dette må du først spesfsere de dskrete fordelge som du skal trekke observasjoer fra, emlg fordelge for X (som er lk fordelge for Z): Legg de mulge observasjoee som X ka få,,,3,4,5,6, e koloe og de tlhørede sasylghetee (som alle er /6) ved sde av este koloe. Dee tabelle agr fordelge tl X. Deretter klkk på «Radom Number Geerato». I meye som kommer fram, velg «Number of varables», «Number of Radom Numbers» 3. Deretter velger du «Dstrbuto» Dscrete. Så markerer du området der fordelge for X lgger «Value ad Probablty Iput Rage». Tl slutt velger du «Output Rage» og spesfserer celle tl første observasjo. Skrv X over de første koloe av smulerte observasjoer og Z over de adre.] () Plott først Z mot X (dvs. lag et spredgsplott. egelsk: scatter plot, jfr fg..8 boka). [Ht: Du fer scatter plot Ecel meye «Isert -> Chart». Marker først området der observasjoee lgger.]. I plottet vl altså hvert observasjospar, (, z ) svare tl et pukt. X og Z bør etter s kostruksjo være uavhegge. Gr plottet trykk av dette? Bereg deretter Y (dvs. y z for,,,3 ) og plott Y mot X (husk at X og Y må lgge to koloer ved sde av hveradre for å få tl plottet). Gr plottet trykk av avhegghet mellom X og Y? Postv eller egatv avhegghet? Teg plottet mstekvadraters tredlje (dvs. høyreklkk på et av puktee grafe og velg tredle (leær)). 4. La X og Z være som ovefor resultatet av to kast med e rettferdg terg, me sett å Y Z ax der a er e kostat som å skal velges slk at X og Y får korrelasjo lk.9. Som ovefor er X og Z stokastsk uavhegge mes det vl bl avhegghet mellom X og Y. () (Algebra). Sett E( X ) E( Z) og var( X ) var( Z). Vs (som ovefor) a at cov( X, Y ) a og korrelasjoe ( X, Y ) a [Ht. Bruk bl.a. EX ( ) (jfr. (4.6) boka) og E( XZ) (jfr. regel 4.8 boka) ] () Velg a. og sjekk at da blr ca..9. Smuler som ovefor 3 Hvs Data Aalyss kke lgger på Data-meye, må de lastes Ecel som beskrevet Eceltutoral på kurssde på ettet. «Data-aalyss» (orsk: «aalyseverktøy») eholder e del statstske ruter som du treger.

4 4 sammehørede observasjoer av X og Y og lag et spredgsdagram med teget leær tredlje. 5. Det abefales å lese avstt 6. boka om puktestmerg før de følgede puktee besvares. I dette puktet foregrper v oe av stoffet avstt 6.. I eksemplee ovefor er de teoretske korrelasjoskoeffsete, ρ, kjet. I prakss, med data fra vrkelghete, vl populasjosstørrelsee var( X ), var( Y) og cov( X, Y) og dermed også ρ være ukjete og må estmeres. Hvs (, y),(, y),,(, y ) er sammehørede observasjoer av X og Y, er aturlge estmatorer (tutvt begruet ut fra de store talls lov) for var(x), var(y), og cov(x, Y) basert på utvalget heholdsvs: S ( X X ) E[( X E X ) ] var( X ) S ( Y Y ) E[( Y E Y) ] var( Y) y S ( X X )( Y Y ) E[( X E X )( Y E Y)] cov( X, Y) y der betyr tlærmet lk. Uttrykkee tl vestre for er estmatorer (dvs. stokastske varable bak estmatee) for de ukjete populasjosstørrelsee tl høyre. Merkad. Estmatoree ka som sagt begrues ut fra de store talls lov (bevses Stat ) som ser at hvs,,, er uavhegge observasjoer av e stokastsk varabel, X, vl gjeomsttetet,, ærme seg forvetet X, EX ( ), år øker. Det ka også vses at estmatoree har e tedes tl å produsere 3 bedre estmater (aslagsverder) for estmadee (uttrykkee tl høyre) dess større er. Dette uttrykkes matematsk mer presst ved å betrakte de tallee (, y ), (, y ),, (, y ), som observerte verder av stokastske varable, ( X, Y ), ( X, Y ),, ( X, Y ), der hvert par ( X, Y ) har samme (smultae) sasylghetefordelg som ( XY, ), og der to forskjellge par er stokastsk uavhegge av hveradre. 3 Med uttrykket produsere meer v at de stokastske varablee ( X, Y ) estmatoree erstattes med de observerte verdee (, y ), som er kokrete tall. Dette betyr for eksempel at de observerte verde av de stokastske varabele S (estmatore) er tallet s ( ) (som blr estmatet for var( X ) ) der de store X-ee er erstattet av de respektve observerte verdee (beteget med små -er).

5 5 Sde cov( X, Y) / var( X ) var( Y), er Sy cov( XY, ) r r( X, Y) SS var( X) var( Y) y e aturlg estmator for (de klassske Pearso s produkt-momet korr.koeff.). Ecel bereger estmatet r ved fuksjoe CORREL (uder statstcal fuctos). Ta utgagspukt dataee fra pukt 3, der altså / er kjet. V later som v kke kjeer og estmerer de ut fra data ( 3 observasjospar) ved r. Gjør det og rapporter hvor stor estmergsfele, r, ble år /. Gjeta dette for 4 ye datasett som pukt 3 (hvert beståede av 3 observasjospar) og rapporter estmergsfele hvert tlfelle. Bereg også gjeomsttlg estmergsfel basert på de fem verdee du har fått av r. Merkad. Merk at dette gjeomsttet ka tolkes som et estmat for forvetet estmergsfel, E( r ), som ka tas som et uttrykk for estmatore r s geerelle egeskaper år 3 og som kke er kyttet tl et bestemt datasett. OPPGAVE I perode -3 ble det på forelesgee Eco 3 samlet kvehøyder fra studetee. Hver ble bedt om også å oppg mors høyde. La betege mors høyde og y datters høyde. V øsker bl.a. å udersøke hvlke grad datters høyde ka forklares av mors høyde ( gjeomstt) og om det er oe evdes data for at gjeomsttshøyde for kvepopulasjoe edrer seg fra e geerasjo tl de este. V øsker også å kombere formasjoe fra de fre åree -3 tl ett datasett tl samme 6 observsjospar.. () Last ed kvehøydedataee e Ecel-fl fra fra (og -> Eco 3). Lag et ytt datasett Ecel-fla der alle dataee fra -3 er slått samme. Skrv over koloe med mors høyder og y over koloe med datters høyder. For hvert par,, bereg dfferese mellom datters og mors høyde, d y,,,,, 6. Skrv d over koloe av dffereser (som du har lagt ved sde av koloe for y). () Bereg deskrptve størrelser (med Descrptve Statstcs fra Data aalyss ) for både, y og d, og sjekk at gjeomsttee ( meas) oppfyller d y. [Ht. Markerer du hele området (3 koloer det er ok å markere første og sste celle området samtdg som du holder shft-kappe ede) med data Descrptve Statstcs - meye, ta med første rad der varabelavee står og marker Label meye. Da får

6 6 du ut alle tre tabellee på e gag.] () Lag et spredgsdagram for y med hesy på og teg mste kvadraters leære tredlje ved å høyreklkke på et pukt. Tyder plottet på e postve sammeheg mellom og y? Bereg (de emprske) korrelasjoskoeffsete, r, mellom og y ved, f. eks., CORREL fuksjoe. Hvor mage % av de totale varasjoe y -ee blr forklart av mste kvadraters regresjoslje (tredlje)? (v) Det er gru tl (som v kke skal komme på her) å ata at d tallee ka atas å være uavhegge observasjoer trukket fra e ormalfordelg. Lag et hstogram for d tallee med bs, -6, -3, -,., 4, 7,. Sys du (ok med sysg her) at ormalforutsetge vrker realstsk?. Bereg y s s s [de fre første fås fra Descrptve Statstcs Data aalyss.,,, y, y Utvalgs-kovarase s y (jfr formel (7.) boka) ka bereges på flere måter, f.eks. s rs s eller ved Ecel-fuksjoe COVARIANCE.S ]. y y () Når dsse fem størrelsee er bereget, er det ekelt å berege med kalkulator relevate størrelser for ekel leær regresjo av y med hesy på (jfr. formler reglee,3,4 «Notat tl kapttel 4 om regresjo» på ettet). Et problem med kalkulator er hvor mage desmalers øyaktghet ma bør bruke for de fem størrelsee,, y, s, s, s, for å få påltelge verder for regresjosstørrelsee. Bruk Ecel-fuksjoe ROUND tl å ag de fem størrelsee,,,, y, y y y y s s s, både med desmalers øyaktghet 4 (sett dgts= ROUND) og med 4 desmalers øyaktghet. I begge tlfeller, med utgagspukt de avrudete tallee, bereg regresjosstørrelsee, a, b (der regresjoslje er ŷ a b ), r, SST, SSE og SS R ut fra formlee reglee,3,4 «Notat tl kapttel 4 om regresjo». () Ecel bruker valgvs 3 desmaler se beregger. Bereg regresjoe Ecel av y med hesy på ved å bruke rute Regresso Data Aalyss. Sammelg resultatee for a, b, r, SST, SSE og SS 5 R fra Ecel-utskrfte med resultatee du fkk () basert på de avrudete tallee. 3. Bereg atall par der datter er høyere e mor (dvs. atall der y, eller atall der d ). [Ht. Lag e y koloe med -er og -ere der det står for hvert par der d og ellers. For å få tl dette er det raskest å bruke IF-fuksjoe Ecel. Bruk IF på e celle først og koper så dee tl de øvrge aktuelle cellee etterpå. Tl slutt f summe av koloe med -er og -ere.] 4 F.eks. tallet med to desmalers øyaktghet er og med 4 desmalers øyaktghet, Merk at SS-størrelsee fes ANOVA-tabelle utskrfte.

7 7 4. V er teressert fordelge for de stokastske varabele U = atall par der dattere er høyere e more. Grulaget for dee fordelge er følgede modell: d -ee oppfattes som observasjoer av stokastske varable, D Y X,,,, som atas å være uavhegge og detsk ormalfordelte, D ~ N(, ),,,,, der E( D ) E( Y ) E( X ) og var( D ), og der 5 (etter å ha fjeret alle de observasjosparee som ga d D. Se merkad.). Merkad. På gru av ltt upresse høydeagvelser vl oe av d -ee bl lk. Slke observasjoer ka oppfattes som ufullstedge med hesy på forteg sde det er ukjet om d egetlg blr > eller < med mer øyaktge høydemålger. Det ka vses (som v kke skal komme på) at det kke medfører formasjostap for fordelge tl U dersom dsse ufullstedge observasjosparee med d fjeres fra dataee, og de ye utvalgsstørrelse ( 5) oppfattes som et fast (kke-stokastsk) tall. D () Forklar hvorfor U (atall D ) er bomsk fordelt, U ~ b(, p ), der suksesssasylghete, p, forsøk r. er p P( D ),,,,. () Ata at gjeomsttshøyde datter-populasjoe er lk gjeomsttshøyde mor-populasjoe (dvs. E( Y) E( X), eller ). Vs at dette mplserer p. Vs også at dersom E( Y) E( X) (dvs. ) så må p. [Ht. Utytt at ormalfordelge, N(, D), er symmetrsk om forvetgsverde, ED ( ).] 5. Det er velkjet at gjeomsttshøyde for meesker har økt jevelg opp gjeom hstore. For eksempel gjeomstthøyde for me har økt aslagsvs 8-9 cm fra ca 9. Er det evdes data som tyder på at gjeomsttshøyde kve-populasjoe fortsetter å øke vår td? Eller sagt på e ae måte, er det evdes data som gr gru tl å tvle på at E( Y) E( X) (dvs. p.5)? For å besvare dette spørsmålet treger v egetlg hypoteseprøvgsteor som er trodusert kapttel 6. V skal kke forutsette dee teore kjet, me bare bygge tutvt på e av grudeee. Hypotese, E( Y ) E( X ), som v spør om data eholder evdes mot, kalles ullhypotese (og beteges med H ). E mulghet er å se på U = atall D. Hvs de observerte verde av U (som v ka kalle u og som du fat pukt 3) er tlstrekkelg usasylg uder atakelse om at H er sa, så tolkes dette som evdes mot H. E lste over mulge sasylge verder av U hvs H er sa, er gtt ved et passede spredgstervall for U bereget uder H, f.eks. et 95% spredgstervall for U

8 8 (uder H ) er et tervall ( c, c ) som oppfyller PH ( c U c).95 (der dekse H dkerer at sasylghete er bereget uder H ). Kovesjoelt, hvs de observerte verde av U lgger utefor dette 95% spredgstervallet, tolkes dette som sterk evdes mot H. På de ae sde, hvs u er med spredgstervallet tolkes dette valgvs, e vteskapelg kotekst, kke som sterk ok evdes for å forkaste hypotese H. () Hvs H er sa, er U ~ b(, p.5). Bereg et spredgstervall uder H for U med sasylghet ærhete av 95% (du vl atakelg kke få eksakt 95% sde U har e dskret fordelg, me f oe ærhete). Bruk Ecel-fuksjoe BINOM.DIST tl å berege de kumulatve fordelgsfuksjoe for U. F så tall c slk at P( U c).5 og c slk at P( U c ).5 (dvs. P( U c ).975. Forklar hvorfor dette bestemmer, c c slk at PH ( c U c).95. () E ae, og tlærmet måte å bestemme c, c på, er å bruke regel 5. boka som ser at hvs U ~ b(5,.5), er U tlærmet ormalfordelt, tlærmet U ~ N E( U), var( U) N (.5) 5, 5 (.5), sde var( U) 5. Bruk dee ormalfordelgstlærmelse tl å bestemme verder av c, c (som å vl være tlærmete verder) slk at P( c U c).95 der altså U å reges som ormalfordelt. Sammelg de ye verdee for c, c med verdee du fat () basert på de eksakte fordelge for U. [Ht. Bruk at U E( U) Z ~ N (,), og P(.96 Z.96).95 ] var( U)