Det ble orientert i plenum under eksamensdagen om følgende endringer i forhold til oppgaven:

Transkript

1 LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN 4 MAI 007 MET00 STATISTIKK GRUNNKURS Det ble oretert pleum uder eksamesdage om følgede edrger forhold tl oppgave: Oppgave b går ut. Det vl da bl 9 oppgaver og alle oppgaver teller /9. Oppgave 3 e sste setg edres tl: "Estmer sasylghete for eller færre oppgager løpet av e 0 års perode. Det ags vdere e setg over tabell med følgede tekst: "Bruk av bomsk fordelg dee sammeheg vl ebære e sterk foreklg av egeskapee tl aksjeavkastge" Her ble det oretert om at oppgave 4 e sste setg edres tl: "Sett også opp et 9% predksjostervall for de predkerte verde."

2 Oppgave a) Atall dager Oljefat Frekves 0,00 % 8,00 % 6,00 % 4,00 %,00 % 0,00 % 8,00 % 6,00 % 4,00 %,00 % 0,00 % Oljefat Oljefat Dager Frekves Kum. Dager Kum. Frekves ,8 % 3 0,8 % 0 8,9 % 3,0 % 0 4, % 6 7, % 03 6,8 % 3,97 % ,96 % 9 4,93 % 0 7,6 % 48 40, % ,8 % 3 8,36 % , % 66 7,88 % ,9 % 30 8,47 % ,30 % 34 88,77 % 0 4, % 339 9,88 % 3 3,6 % 3 96,44 % 8,9 % ,63 % 3 3 0,8 % ,4 % 4 0, % 36 00,00 % SUM 36 00,00 % Fgure dkerer e okså symmetrsk fordelg ute speselt lage haler, dvs. lger på tetthetsfuksjoe tl e ormalfordelg. b) Medae = Mdterste tallet stgede rekkefølge (sde 36 er et odde tall). Dette tallet er 06. Gjeomsttet er gtt ved: = (3*00+8*0+...+*4) = 06, Høyere gjeomstt e meda dkerer geerelt sett at fordelge er skjev mot vestre. Tallforskjellee er mdlertd små, oe som tyder på e symmetrsk fordelg. c) Varas og stadardavvk er gtt ved: VAR = 364 STD( ) = VAR( ) = 6,88 =,6 ( ) [3*(00-06,) +8*(0-06,) +...+*(4-06,) ] = 6,88. d) Nedre kvartl: Sorter data etter stgede rekkefølge. Teller fremover på observasjoee tl % av edre data.

3 Sklle går på observasjo Q = (+)/4 = 9,. Vekter da observasjoee 9 og 9 med 0% og fer edre kvartl: 04*0.+0*0.=04, Øvre kvartl: Teller fremover på observasjoee tl 7% av data edefra. Sklle går på observasjo Q 3 = 3*(+)/4 = 73,. Vekter da observasjoee 73 og 74 med 0% og fer edre kvartl: 08*0.+08*0.=08 Observasjosbredde 08-04, = 3, e) Meda, Q,Q3 og QB påvrkes kke, mes gjeomsttet går margalt opp (fra 06,97 tl 06,36). Stadardavvk går oe ed, da data setreres mer (fra,6 tl,). Kaddate treger kke her å rege ut alle størrelser på ytt, me kort kommetere hvorda utreggee påvrkes. Oppgave (Her ble det oretert om at oppgave b gkk ut). a) G: Markedet for produktet blr godt. D: Markedet for produktet blr dårlg. EG: Ekspert hevder markedet blr godt. ED: Ekspert hevder markedet blr dårlg. c) Fra oppgave ka v lese følgede sasylgheter: P(G)=0.6 P(D)=0.3 P(EG G)=0.70 P(ED D)=0.80 Lov om komplmetær sasylgheter mplserer at: P(EG D)=0.0 P(ED G)=0.30 Bruker vdere her lov om total sasylghet. Eksperte ka hevde at markedet blr godt år det er det og eksperte ka hevde at markedet blr godt år det kke er det: P(EG) = P(EG G) + P(EG D) = P(G)*P(EG G)+P(D)*P(EG D) =0.6* *0.0=0, Vdere ka eksperte hevde at markedet blr dårlg år det er det og eksperte ka hevde at markedet blr dårlg år det kke er det: 3

4 P(ED) = P(ED D) + P(ED G) = P(D)*P(ED D)+P(G)*P(ED G) =0.3* *0.30=0,47 d) Her spørres det om P(G EG). Dee fes ved Bayes formel: PG ( ) * PEG ( G) 0.6*0.70 PG ( EG) = = = PEG ( ) 0. e) Her spørres det om P(D ED). Dee fes ved Bayes formel: PD ( ) * PED ( D) 0.3*0.80 PD ( ED) = = = 0.89 PED ( ) 0.47 Oppgave 3 Her ble det oretert om at Oppgave 3 e sste setg edres tl: "Estmer sasylghete for eller færre oppgager løpet av e 0 års perode. Det ags vdere e setg over tabell med følgede tekst: "Bruk av bomsk fordelg dee sammeheg vl ebære e sterk foreklg av egeskapee tl aksjeavkastge". a) Defer hedelse : Atall gager aksjemarkedet går opp peroder. Det er ku mulgheter: oppgag eller edgag. V har her samme suksess sasylghet p hver perode for oppgag (p=0,60) og tlsvarede samme kke suksess sasylghet for edgag hver perode ((-p)=0,40 ). Det er her også e edelg atall peroder/forsøk (=0). Forsøkee atas uavhegg av hveradre. Det er derfor rmelg å legge tl gru e bomalfordelg for de stokastske varabele. ~B(=0, p=0.6) b) E() = p = 0*0,60 = 6. VAR() = p(-p) = 0*0,60*0,40 =,40. STD() =,40 =, 4

5 c) P( P( 0 = = 3) = = ) = P( = 8) + P( = 9) + P( = 0) = 0.67 d) Et estmat på p vl være å teller opp atall oppgager og dvdere med totall atall år: p = 9/0=0,8. Her her * p =0*0,8=9>0 og p (- p )=0*0,8*0,4=,8>0. Det betyr at er tlærmet ormalfordelt med forvetg p og varas p (- p ). ~ N(9,3.49 ) p vl da (pga av setralgreseteoremet) være ormalfordelt med forvetg p og varas p (- p )/. Dvs. p ~ N[ p, p (- p )/] p ~ N(0.8, ) e) Et 9% kofdestervall rudt p er gtt ved: α/ p α/ p( p) p( p) [ p - Z, + Z ] 0.8( 0.8) 0.8( 0.8) [0.8 - Z 0.0,0.8 + Z 0.0 ] ( 0.8) 0.8( 0.8) [ , ] 0 0 [ *0.0698, *0.0698] [ *0.4, *0.4] [0.44, 0,7] Sasylghete for eller færre oppgager løpet av e 0 års perode ved å bruke ormalfordelg er gtt ved:

6 ~ N[ pp, ( p)] = N(0* 0.8, 0*0.8*(-0,8))=N(9,.8) -9 P( )=G( ) = G( 4.0) = G(4.0) = 0.8 Her ka ma også utføre heltallskorreksjo hvs ma øsker. Oppgave 4 Her ble det oretert om at oppgave 4 e sste setg edres tl: "Sett også opp et 9% predksjostervall for de predkerte verde." a) Plottet uder dkerer at det er e postv sammeheg mellom oljeprsedrg og økoomsk vekst. b) Korrelasjoskoeffsete reges ut som: S = R = = S S ( ) ( ) = = ( )( ) Utreggee blr som følger: Reger først ut sttet av og sttet av : 6

7 = = t= t= (,6+,9+3,+,6+3,) =, (,9+4,3+8,+3,9+7,8) = 9,60 Setter så opp følgede tabell med utregger ( og er oppgtt %): ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ),6,9-0,9-7,7,93 0,8 33,9,9 4,3-0,6 -,3 3,8 0,36 8,09 3, 8, 0,7 8,,9 0,49 7,,6 3,9 0, 6,3,63 0,0 6,69 3, 7,8 0,7 -,8 -,6 0,49 3,4 Deretter reger v ut følgede størrelser: = ( ) =,6 = = ( )( ) =,43 ( ) = 68,6 Edelg ka korrelasjoe reges ut som: R = S S S = ( ( )( ) ) ( ).43 = = = = =.6* Korrelasjoskoeffsete på bekrefter at v har e leær postv sammeheg mellom eergprser og økoomsk vekst. Når vekste går opp, går også eergprsee opp. c) = ( ) = 0 ( )( ),43 β = = =,8,6 β = 9,6,8*, = 9,8 Regresjoslgge blr følgelg: 7

8 = β 0+ β = 9,8 +,8 d) β på,8 tlser at år vekste økoome går opp %, går oljeprse opp,8%. I det tlfelle hvor det er 0% økoome, tlser β0 på -9,833 at oljeprse vl falle med 9,833%. E bør her være varsom med tolkge det =0 kke er dekt datagrulaget. Kaddate ka bemerke at det geerelt er et problem å tolke kostatleddet e regresjosmodell. e) predkert = 4% gr predkert = -9,833 +,773*4 = 37,6. 9% predksjostervall er gtt ved: predkert predkert ( x ) ( x ) [ t S + +, + t S + + ] Der α /, α /, ( ) ( ) = = S er ( ( )) ( ) β 0+ β = - = - = Utreggee for S blr som følger: ( ) ( ),60,90 9,00-7,0 0,47,90 4,30,4,76 3, 3,0 8,0 7,84 0,6 0,07,60 3,90 0,78, 8,70 3,0 7,80 7,84-0,04 00,83 ( ) = 383,7 = - S = *383,7 7,7 = S = 383,7 =,30 Fra før har v at: ( ) =.6 = 8

9 Av tabell fer v t 0.0,3 = 3.8 Setter da følgede: (4.) [37.6 ± t0.0,3 *.30* + + ].6 (4.) [37.6 ± 3.8*.30* + + ].6 [37.6 ± 3,8] [ 6.4, 9.06] Det store tervallet (uskkerhete) er et først og fremst et resultat av svært få observasjoer samt stor spredg observasjoee. Kaddate ka også bemerke at verde 4 som de skal sette modelle er utefor verdområdet for. Det skaper ytterlgere uskkerhet tllegg tl at v har speselt få målger. 9