TMA4240/4245 Statistikk Eksamen august 2016

Transkript

1 Norges teknsk-naturvtenskapelge unverstet Insttutt for matematske fag TMA44/445 Statstkk Eksamen august 6 Løsnngssksse Oppgave a) Ved kast av to ternnger er det 36 mulge utfall: (, ),..., (6, 6). La Y X + X. P (Y ) /36. Det er 6 gunstge utfall med sum eller større: (4, 6), (6, 4), (5, 6), (6, 5), (5, 5), (6, 6). P (Y ) E(Y ) E(X ) + E(X ) E(X ) 6 6 l l b) E(Z ) 5 6 l l E(Z k Z k 3) 5 6 l (3 + l) ( ) Anta at en person har score s etter kast k. Forventet score etter neste kast er da (fra forrge svar): E(Z k Z k s) s Dersom denne forventnngen er større enn nåværende score s, så lønner det seg å fortsette kastng. s > s,.5 > s 6, 5 > s Oppgave a) La X være prs Euro. Da er Y 9.X prs kroner. En lneærkombnasjon av normalfordelte varable er normalfordelt. E(Y ) 9.E(X) V ar(y ) 9. V ar(x) P (Y > ) P (Z > 9 84 ) P (Z >.43) P (Z <.43).33 P (Y > Y > ) P (Y > Y >) P (Y >) P (Y >).33 Her er: P (Y > ) P (Z > 9 84 ) P (Z >.97).6 Da er P (Y > Y > ) b) H : µ, H : µ >. X N(µ, /n), og her er n. Forkaster H dersom Z X / >.645. V observerer z 4.5. Da forkastes H. eksaug6-lsf-b 4. januar 7 Sde

2 TMA44/445 Statstkk Eksamen august 6 c) Teststyrken er sannsynlgheten for å forkaste H gtt at H er sann (µ ) dette tlfellet: P ( X / >.64 µ ) P ( X + / >.645 µ ) P (Z >.645 / ) P (Z >.59).7 Kravet er at teststyrken skal være mnst.95. P ( X / n P (Z >.645 / n ).95. Kravet for n blr da:.645 / n n/ n (.645) Antall data n må være mnst 44 for å oppnå så høy teststyrke. >.64 µ ).95 Oppgave 3 a) Et normalsannsynlghetsplott benyttes tl å vurdere om det er rmelg å anta at et gtt datasett er normalfordelt. Dersom punktene normalsannsynlghetsplottet lgger tlnærmet på et rett lnje er det rmelg å anta at observasjonene er fra en normalfordelng. I resdualplottet sees ngen speselle strukturer. Speselt ser man ngen speselle sammenhanger mellom x og estmert resdual, og varansen tl estmert resdual synes kke å varere med x. Punktene normalsannsynlghetsplottet lgger tlnærmet på en rett lnje. At punktene for de mnste og største x-verdene avvker noe fra den rette lnja er som man kan forvente et slkt plott. Det er dermed kke noe de to plottene som ndkerer at den spesfserte modellen kke er rmelg for dette datasettet. b) Man skal foretrekke en estmator som er forventngsrett. Hvs flere estmatorer er forventngsrette skal man foretrekke den som har mnst varans. Starter med å sjekke om b og b er forventnngsrette. Ved å benytte regneregler for forventngsverd og antagelsen E[Y bx får v E [ b E [ Y x E [Y x E [ Y x bx x b x x b, og E [ b [ [ E Y n n E Y E [Y bx b n n n x b x. eksaug6-lsf-b 4. januar 7 Sde

3 TMA44/445 Statstkk Eksamen august 6 V ser at b er forventngsrett, mens b er forventngsskjev. Sden det er oppgtt at b er forventnngsrett skal v derfor foretrekke b eller b. For å velge mellom dsse må v regne ut varansen tl b. Ved å benytte regneregler for varans, at Y -ene er uavhengge og at Var[Y for alle,,..., n får v Var [ b Var [ Y x ( x ) n ( x ). [ ( x ) Var Y Var [Y ( x ) Setter v nn oppgtte tall for n og x -ene, og for får v følgende varanser for de to forventnngsrette estmatorene, [ b Var [ b.3,, Var Sden Var [ b < Var [ b er estmatoren b å foretrekke. c) Rmelghetsfunksjonen for b blr her L(b) f(y, y,..., y n ; b) n n f(y ; b) [ { π exp (y bx ) { ( ) n π n exp } (y bx ) }. For å fnne SME danner v først log-rmelghetsfunksjonen og beregner deretter den dervere av denne med hensyn på b, ( ) l(b) ln L(b) n ln π n ln (y bx ) l (b) [ (y bx ) ( x ) (x y bx ) [ x y b Bestemmer så for hvlken verd av b rmelghetsfunksjonen l(b) har stt maksmum ved å løse l (b) med hensyn på b, l (b) xy b x b x y n. eksaug6-lsf-b 4. januar 7 Sde 3 x.

4 TMA44/445 Statstkk Eksamen august 6 SME for b er dermed b x Y n. d) Estmatoren b er en lneærkombnasjon av Y -ene som er antatt uavhengge og normalfordelte. Sden v vet at enhver lneærkombnasjon av uavhengge normalfordelte varabler er normalfordelt, er derfor b normalfordelt. For å utlede et ( α) % konfdensntervall for b tar v utgangspunkt en standardsert versjon av b som v vet er standard-normalfordelt, Z b b n(z;, ). V får dermed at P z α b b z α α. Løser så hver av de to ulkhetene over med hensyn på b. Venstre ulkhet gr z α b b b z α n b b + z α x n b, og høyre ulkhet gr b b z α b b + z α b b z α Hvs v så skrver dsse to ulkhetene sammen gjen med b mdten får v at ( ) P b z α n b b + z α x n α. Et ( α) % konfdensntervall for b er dermed [ b z α n, b + z α x n Med α. fnner v tabell at z α z.5.645, og nnsatt observerte tall får v b Et 9% konfdensntervall for b blr dermed [ , [.97, eksaug6-lsf-b 4. januar 7 Sde 4

5 TMA44/445 Statstkk Eksamen august 6 e) La x være dosen med medsn som gs tl denne nye pasenten og la Y være tlhørende målt konsentrasjon etter et døgn. Kravet som er verbalt formulert oppgaven kan da matematsk uttrykkes som at man ønsker å bestemme den høyeste dosen x slk at P (Y ).95. (3.) V vet at Y n(y ; bx, ), men man må huske at verden tl b er ukjent slk at b kke kan nngå svaret. La derfor, tlsvarende som det er vanlg å gjøre når man utleder predksjonsntervaller, Ŷ bx være predkert verd for Y. V vl da ha at Y Ŷ er normalfordelt ford det er en lneærkombnasjon av de uavhengge og normalfordelte varablene Y og b. Forventnngsverd og varans for Y Ŷ blr E [Y Ŷ E [Y bx E [Y E [ b x bx bx, Var [Y Ŷ Var [Y bx Var [Y + Var [ b ( x ) Dermed har man at + x ( + x ) n Z Y Ŷ ( ) + x n n(z;, ). Ved å standardsere Y (3.) ved å trekke fra Ŷ og dele på begge sder av ulkhetstegnet får v dermed kravet P Y Ŷ ( + x n som alternatvt kan uttrykkes som ) Ŷ ( + x P Z Ŷ ( ).95, + x n Dette betyr at man skal sette x høyest mulg slk at ( ) + x n ).95, på Ŷ ( ) z.95 z.5. + x n eksaug6-lsf-b 4. januar 7 Sde 5

6 TMA44/445 Statstkk Eksamen august 6 Setter derfor nn Ŷ bx dette uttrykket, og ønsker å løse denne ulkheten med hensyn på x, bx z.5 ( x ) +. (3.) Sden v vet at høyresden er postv må verden tl x være slk at også venstresden blr postv, og sden estmatet for b er b 33.65/ må v hvert fall ha at.783x > x < (3.3).783 Når x < vl begge sdene (3.) være postve og v kan kvadrere på begge sdene av ulkhetstegnet uten at ulkhetstegnet endres, slk at v får kravet ( bx ) (z.5 ( + bx + b x z.5 ( + x ) ) n x ) n Hvs v setter nn observerte tall for b og, verder for og z., og samler konstanter, lneære og kvadratske ledd x får v kravet x x. (3.4) Løser man den tlsvarende andregradslgnngen får man at denne har løsnngene x og x Sden koeffsenten foran andregradsleddet (3.4) er postv er ulkheten (3.4) oppfylt dersom x eller x (3.5) V skal følgelg velge dosen x så høy som mulg slk at begge kravene (3.3) og (3.5) er oppfylt samtdg. Ved å vsualsere de to kravene på en tallnje ser man da at v skal velge x eksaug6-lsf-b 4. januar 7 Sde 6