Veiledning til obligatorisk oppgave i ECON 3610/4610 høsten N. Vi skal bestemme den fordeling av denne gitte arbeidsstyrken som

Transkript

1 Jon sle; oktober 07 Ogave a. elednng tl oblgatorsk ogave ECO 60/60 høsten 07 har nå at samlet arbedskraftmengde er gtt lk, slk at ressurskravet er. skal bestemme den fordelng av denne gtte arbedsstyrken som maksmerer tlgangen av konsumvaren, gtt ressurskravet og gtt roduktfunksonene rmærsektorene. antar at roduktfunksonene er tlstrekkelg derverbare; strengt voksende hvert argument (ostve grenseroduktvteter), men med dsse strengt avtakende; med negatve drekte andrederverte (avtakende grenseroduktvterer). Det vrker også rmelg å anta at F(0) f (0). (Jeg regner kke med at noen gør ekslstte antakelser om skalaegenskaene tl -funksonen avtakende eller konstant skalautbytte vrker dog rmelg.) Problemet, som har frhetsgrader, kan løses ved agrange eller ved nnsettng. Med agrange har v Max (, F( ), f( )) (,, ). øsnngen må ofylle, når v antar at FOB (førsteordensbetnglsene) er tlstrekkelge, med en agrangefunkson (, F( ), f( )) : Den konsumvaremaksmerende fordelngen av arbedskraften er gtt ved: df df d d. Tolknng: ansett om v bruker arbedskraften drekte konsumvaresektoren eller, ndrekte, som nnsatsfaktor rmærsektorene som leverer varennsats konsumvaresektoren, skal det antall enheter av -varen som den margnale tmen gr, være den samme uansett hvordan denne tmen anvendes. agrangemultlkatoren eller skyggersen vser den margnale gevnsten. ed nnsettng for, ser v den konkurrerende bruken av den gtte arbedskraften mer drekte: Max (, F( ), f( )), med (, )

2 førsteordenbetngelser, når v kaller den funksonen v skal maksmere for g(, ), og v antar ndre løsnng: g ( ) F ( ) 0 g ( ) f ( ) 0 I den første av dsse betngelsene holder v fast (lk dens otmale verd). Da vl økt bruk av arbedskraft rmærsektor, med én enhet, g en drekte gevnst form av F ( ) mer varennsats. Sden hver margnale enhet varennsats gr flere enheter av konsumvaren, vl den totale bruttogevnsten av å øke med én enhet være F ( ) flere enheter av konsumvaren. Alternatv eller konkurrerende anvendelse av denne tmen er drekte bruk konsumvaresektoren selv, der en margnal tme har en avkastnng lk enheter av konsumvaren. Dette er da å ofatte som margnal alternatvkostnad av å bruke en tme rmærsektor. På margnen, dvs. for den konsumvaremaksmerende allokerngen, må dsse være lke. Hvs kke, vl det være mulg, gennom omfordelng, å få flere enheter av konsumvaren. Tlsvarende tolknng av den andre betngelsen, der holdes fast, mens økt fortrenger arbedskraft brukt drekte konsumvaresektoren. ( kan også uttrykke dsse betngelsene som:, F ( ) MTSB (margnal teknsk substtusonsbrøk konsumvaresektoren mellom arbedskraft og varennsats, lk grenseroduktvteten rmærsektor ), og, f ( ) MTSB. For en tolknng se f.eks. (0) sde ka.. sle et al. En annen måte å uttrykke dsse betngelsene å er:

3 MTB(, ) F ( ) (margnal transformasonsbrøk mellom konsumvaren og varennsats ); og tlsvarende f ( ) MTB(, ). Dsse vser den kostnadseffektve allokerngen; dvs. den fordelng av arbedskraften som mnmerer samlet bruk av arbedskraft for å fremstlle en gtt mengde av konsumvarer. Sden v ber ekslstt om den allokerngen som maksmerer tlgangen å konsumvaren, er det nok å ha med den første. Ogave b. Markedslkevekt Innfør nå rser som skrer lkevekt, dvs. at tlbud er lk ettersørsel for alle varer (nok med lkevekt alle mnus ett marked Walras lov). Jeg synes det er unødvendg å lne o hele maskneret av tlbuds- og ettersørselsfunksoner her. Krever at de skal forstå hva lkevektsrsene er og hvlke»ogaver» dsse rsene løser. a w være lønn er enhet arbedskraft (arbedstme), q er rs er enhet av varennsats nr. (=,) og la være rs er enhet av konsumvaren. For rmærsektor har v roftten q w og for konsumvaresektoren er roftten w q q. år alle maksmerer roftt tl gtte lkevekts(real)rser, har v følgende betngelser ofylt (som v antar er tlstrekkelge), når v setter nn for roduktfunksonene: d d d d q F ( ) w 0 q f ( ) w 0 q 0 (,) w 0

4 a alle rser måles enheter av konsumvaren (numérare med ). Da ser v drekte fra rofttmaksmerngsbetngelsene at otmum er realsert som en markedslkevekt. df df d d ; dvs. Ogave c. nnfører nå referanser for en homogen befolknng, med en nyttefunkson gtt ved (, ), strengt voksende og strengt avtakende. å skal også samlet d tlbud av arbedskraft bestemmes. har at 0, som vser MSB d mellom konsum og arbed, og forteller hvor mange enheter av konsumvaren som arbedstakeren det mnste må ha for å arbede en tme tl, uten at nyttenvået går ned. Indfferenskurven er stgende ( )-lanet., Anta vdere at MSB selv er voksende med økende : En må ha mer komensason for å obbe en tme tl o mer en obber utgangsunktet. kan fnne den nyttemaksmerende allokerngen, med som endogen varabel, som: konst Max ( (, F( ), f( )), ) (,,, ) agrangefunksonen er nå: F f og den otmale allokerngen, ndre ( (, ( ), ( )), ) løsnng, må ofylle: F ( ) 0 f ( ) 0 0 Dsse reduserer seg tl betngelsene for den konsumvaremaksmerende allokerngen fra tdlgere for gtt, med x, som «felles faktor», som da svarer tl den tdlgere

5 5 - denne; dvs. ( ) uttrykker nytte er tme dvdert med nytte er enhet konsumvare; dvs. som antall enheter konsumvare er margnale tme som også var måleenheten tl. Samlet tlbud av arbedskraft bestemmes nå som: df df 0 d d Tolknng: I tllegg tl de betngelsene v har fra tdlgere; vl samlet tlbud av arbed nå fastlegges slk at det antall enheter av konsumvaren, som rent nyttemessg må komensere for ytterlgere arbedstd, akkurat svarer tl hva denne tmen kaster av seg, enten drekte konsumvaresektoren eller ndrekte gennom leveranser av varennsats fra rmærsektorene tl konsumvaresektoren. Ogave d. krever at rsene skrer lkevekt varemarkedene og arbedsmarkedet. I tllegg tl de betngelsene v har fra tdlgere, vl v nå også måtte ta med konsumenttlasnngen, når v tar hensyn tl at (maksmert) roftt tlfaller husholdnngssektoren som lumsum-nntekt tl de «endelge eere». Husholdnngene mottar roftt og lønnsnntekt, som brukes tl kø av konsumvaren. Budsettbetngelsen er derfor: w. ar v alle rser måles enheter av konsumvaren, har v tlasnngsbetngelsen fra roblemet: Max (, ) gtt w. ed nnsettng fnner v da: (, ) Max ( w, ), med en førsteordensbetngelse: 0 w w ; MSB lk reallønna; dvs. det antall konsumvareenheter eg må ha som arbedstaker for å obbe en tme tl, er akkurat lk reallønna som forteller hvor mange enheter av konsumvaren markedslønna gr meg tlgang tl. Sammenholder v denne betngelsen med dem v har fra tdlgere, ser v at den otmale eller effektve allokerngen realseres som en markedslkevekt.

6 6 Ogave a. Med lønn satt lk én, er roftten de to bedrftene: som er maksmert for førsteordenbetngelsen: kvantum av vare som ( ). og med maksmal roftt (følger drekte fra ( ) og tlbudt I sektor, har v at [ ], med den eneste rsen som er a forenlg med lkevekt gtt ved a og med ( a ) 0 ; ettersørselen bestemmer kvantum, mens rsen er gtt fra kostnadssden. Konsumentene maksmerer nyttefunksonen gtt en budsettbetngelse: C C R, der R er bestemt som summen av lønnsnntekt og eernntekt; dvs. verden av deres eerrettgheter som lkevekt er gtt ved R ( ), men R tas som gtt tlasnngen. Med den ogtte nyttefunksonen har v da følgende agrangefunkson: ln( C ) lnc C C R. Den nyttemaksmerende tlasnnger må da ofylle følgende betngelser: C C 0 ( C ) 0 C C C C C som nn den første gr: ( C ) C ( C ) C C Bruker v denne budsettbetngelsen, fnner v: C C R C C R C R som gr R ettersørselsfunksonene C og C C R R som gr C R C (, R).

7 7 I lkevekt må v da ha, når v setter nn for vare må være lk ˆ, slk at: R ( ), at rsen å ( ˆ ) C ( ˆ, R( ˆ )) ˆ ˆ ˆ Denne betngelsen fastlegger hva rsen å vare må være for at v skal ha lkevekt. (Det er ngen særlg grunn tl å løse ut for rsen løse en annengradslknng.) Ogave b. Hva sker når tlbudet av arbed går ned? får nå et negatvt skft ettersørselsfunksonen. Resonnere enkelt som følger: For uendret rs, vl v da få et tlbudsoverskudd; venstre sde vl overstge høyre sde lkevektsbetngelsen over. For å få dette tlbudsoverskuddet «elmnert», slk at lkevekt genorettes, må rsen ned. Ogave c. år nødvendg mnstekonsum av vare, gtt ved, øker, vl ettersørselen, for uendret rs, gå o (et ostvt skft). har at ettersørselen kan skrves som C (, R) R R, som solert sett vl øke når øker. For uendret rs, vl vda ha at høyre sde overstger venstre sde; et ettersørselsoverskudd for vare og som kan elmneres ved at rsen å vare øker.