TMA4265 Stokastiske prosesser

Transkript

1 Norges teknsk-naturvtenskapelge unverstet Insttutt for matematske fag TMA65 Stokastske prosesser Våren Løsnngsforslag - Øvng Oppgaver fra læreboka.6 P er dobbelt stokastsk P j j La en slk kjede være rredusbel, aperodsk og bestå av M+ tlstander,,,...,m Vs at grensesannsynlgheten er gtt ved: π j M + j,..., M () Sden kjeden er aperodsk og rredusbel, er grensesannsynlgheten dentsk med stasjonærfordelng som oppfyller: ) π j π P j ) π V ser at ved å sette π j ) π j M+ j, får v at: π P j M + P j M + P j M + ) M π M + (M + ) M + Altså er (??) grensefordelngen tl Markovkjeden. 6. januar Sde

2 TMA65 Stokastske prosesser,. La X n være antall par sko ved frontdøren ved td n. Har at: < < k P P (X n X n ) P (Går fra bakdøren,kommer tl frontdøren X n ) P P P kk P, P (Går fra bakdøren,kommer tl frontdøren X n ) P, P (Går fra frontdøren,kommer tl bakdøren X n ) P ( + ) Overgangsmatrsen blr da: P Denne er dobbelt stokastsk(se oppgave.6), og dermed er π j k+ j (P er både rredusbel og aperodsk) V har at: P (løper barfot) P (X n frontdør) P (frontdør) + P (X n k bakdør) P (bakdør) π + π k k + + k + k januar Sde

3 TMA65 Stokastske prosesser, Hver person har en av tre stllnger,, og skfter stllng henhold tl en Markov-kjede med overgangssannsynlgheter:.7.. P Stasjonærfordelngen er gtt ved ) π j π P j P T π π π ) j π j ) gr at (P T I) π π.5 π π.75 π ) gr at π.5 π.5 π. Dermed får v- sden grensefordelngen forteller hvor stor andel td hver person vl bl hver stllng- at prosentandelen av ansatte hver stllng er: Stllng : 5.% Stllng :.% Stllng :.5% π π π.8 Se fast boken. Se fast boken Eks. Aug. 98, oppg. Tre ekvvalensklasser: {,},{},{,,5} 6. januar Sde

4 TMA65 Stokastske prosesser, Tlstand og er rekurrente ford kjeden aldr vl kunne forlate denne ekvvalensklassen Tlstand er transent sden man umddelbart vl forlate tlstanden og aldr vl kunne komme tlbake. Tlstandene, og 5 er transente sden man alltd har en vss rsko for å gå tl eller, og så fall aldr vl kunne komme tlbake. for,,,5 ford dsse er transente lm P (X n X 5) n lm n P (X n X 5) for, ford [ er dobbelt stokastsk. Eks. Jan. 98, oppg. ] a) Når X n må X n+ bn(,.6) det vl s P (X n+ X n ) (.8 ).6.9 tlsvarende P (X n+ X n ) (.5 ) (.6.9 ).5.5 La A n være antall medlemmer som både dsponerer bl på dag n og ønsker bl på dag n+. P (X n+ X n ) P (X n+ X n, A n ) P (A n X n ) +P (X n+ X n, A n ) P (A n X n ) ( ) ( ) januar Sde

5 TMA65 Stokastske prosesser, b) W n : beløp betalt av medlemmene på dag n. { Xn 5 hvs X W n n 5 hvs X n I det lang løp: E[W n ] π + 5 π + 5 π + 5 π 6.5 Antall bler utled pr. dag det lange løp er: π + π + π + π.9 Per vl benytte sn del av dette, dvs. andel dager per dsponerer bl blr:.9.98p(per dsponerer) P(Per dsponerer Per ønsker) Trenger P(Per ønsker)! P (P er dsp. P er ønsker) P (P er ønsker) P (P er dsp.) P (P er ønsker) P (Per ønsker på dag n) P (Per ønsker på dag n Per dsp. på dag n ) P (Per dsp. på dag n ) +P (Per ønsker på dag n Per dsp. kke på dag n ) P (Per dsp. kke på dag n ) ( ). slk at: P (P er dsponerer P er ønsker) c) Nå blr medlemmenes oppførsel uavhengg av hverandre. Innfører: { hvs bestemt medlem ønsker/dsp. bl U n ellers 6. januar Sde 5

6 TMA65 Stokastske prosesser, Dette blr en Markov-kjede med overgangsmatrse P [ ] Grensefordelngen blr gtt av: π.9 π +.5 π π.6 π +.5 π π + π π.899 π.7 6. januar Sde 6

7 TMA65 Stokastske prosesser, La Y n være antall medlemmer som ønsker bl på dag n. I det lange løp blr da: Y n bn(,.7) slk at: P(Y n ).568 P(Y n ).697 P(Y n ).9 P(Y n ).97 La: V n : netto-nntekt på dag n, dvs. { 5 Yn hvs Y V n n 5 Y n 5 (Y n ) hvs Y n { 5 Yn hvs Y n 5 5 Y n hvs Y n I det lange løp: E[V n ] 5 P (Y n ) + 5 P (Y n ) + (5 5 ) P (Y n ) 5 P (Y n ) + 5 P (Y n ) +5 P (Y n ) 5 P (Y n ) }{{} E[Y n] P (Y n) P (Y n) ( ) januar Sde 7