NÆRINGSSTRUKTUR, INTERNASJONAL HANDEL OG VEKST 1

Transkript

1 0 NÆRINGSSTRUKTUR, INTERNASJONAL HANDEL OG VEKST av Kåre Bævre og Jon Vsle Økonomsk nsttutt, Unverstetet OSLO Revdert utgave, oktober 007 Innholdsfortegnelse. Innlednng. Om produsentene 6. Representatve bedrfter. Produktfunksjonen. 6. Kostnadsmnmerng 9.3 Betnget faktoretterspørsel.4 Kostnadsfunksjonen.5 Shephards lemma 6.6 Egenskaper ved betngete etterspørselsfunksjoner 7.7 Konsekvenser av konstant skalautbytte 0.8 Bedrftenes produksjon.9 Dualtet 4 3. Lkevekt en lten åpen økonom 6 3. Lkevektsbetngelsene 6 3. Handelsteoremene for en lten åpen økonom Økonomens tlbudssde Lkevekt under autark (lukket økonom) 5 4. Etterspørselssden økonomen 5 4. Full karakterserng av lkevekt under autark Komparatve fortrnn og relatv faktorrkelghet Opptakt tl en dynamsk analyse 6 A. Appendks 6 A. Homogene funksjoner. Eulers setnng 6 A. Teknsk komplementartet 63 A.3 Konkavteten tl kostnadsfunksjonen 64 A.4 Kostnadsfunksjonen ved konstant skalautbytte 65 A.5 Homotetske preferanser 66 Dette er en revsjon av et notat med samme tttel, fra september 005. V takker Fredrk A. Gregersen, Sgbjørn Hjelmbrekke og Sven Longva for nnsktsfulle merknader tl forrge versjon av notatet.

2 . INNLEDNING Postv økonomsk teor søker gjennom ulke mekansmer å forklare hva som kan skje med ressursbruk ( sn almnnelghet) ulke deler av økonomen om denne utsettes for eksogene eller ytre sjokk. For eksempel er v nteressert å kunne klarlegge kortsktge vrknnger på sektor eller bransjesysselsettng et land om prsene på varer landet eksporterer skulle øke. Hvlke faktorer vrker tl å forklare hvorfor sysselsettngen (eller bruk av andre produksjonsfaktorer) er akkurat hva den er en bestemt nærng et år? Hvorfor brukes akkurat en bestemt mengde arbedskraft, energ og realkaptal norsk alumnumssektor? Hvorfor endrer sysselsettngen seg over td mellom nærnger? Fra Norge vet v at sysselsettngsandelen prmærnærngene (jordbruk, skogbruk, fske og fangst) har sunket dramatsk fra 900 og gjennom hele det 0.århundre, mens ndustrens andel først vokste kraftg for deretter å avta, samtdg som de tjenesteytende nærnger har vokst jevnt og trutt, og ganske kraftg sste halvdel av århundret? Dersom v grovt deler nn nærngsstrukturen tre hovedgrupper; prmærnærnger (jordbruk, skogbruk, fske og fangst), sekundærnærnger (ndustr, bergverk, bygg og anlegg, kraft og vannforsynng og oljevrksomhet) og tertærnærnger (varehandel, tjenesteytng, samferdsel, fnans og forskrng og offentlg forvaltnng), vl v for Norges vedkommende ha en utvklng sysselsettngens relatve fordelng mellom dsse nærngene fra 865 tl 990 tabellen under: (At tallene kke summerer seg tl 00, skyldes at v også opererer med uoppgtte nærnger.) Prmær 59,8 49, 39,0 35,8 5,9 9,5,6 8,4 6,3 4, Sekundær 3,6,9 5,0 6,5 36,5 36,5 34,7 9,3 4,0,4

3 Tertær 0,5 7,5 3,3 37,4 37, 43,6 5,7 6,4 69,6 74,4 (Klde: Statstsk sentralbyrå) Hva kan forklare slke dramatske strukturendrnger fra slutten av 800 tallet (tdlg ndustralserng og deretter overgang mot det tjenesteytende samfunn)? Hvordan forskyves ressursbruken mellom forskjellge konkurranseutsatte sektorer som følge av økt konkurranse fra utenlandske bedrfter? Hvlken effekt har globalserng på lønnsstrukturen en åpen økonom? Hvlke grupper vl tape; hvlke grupper vl vnne? Dette er bare et knppe spørsmål som ansees som vktge av økonomer. For å få nnskt hvlke faktorer som kan ha bdratt tl å forklare slke endrnger eller forskyvnnger, må v lage oss en modellramme der nærngseller bransjestruktur står sentralt. Én slk modellramme kan være en generell lkevektsmodell der nærngene (bestående av forskjellge produksjonsenheter eller bedrfter, der bedrfter tlhørende en bransje produserer varer med svært lke egenskaper) konkurrerer dels om knappe produksjonsressurser og dels om plass på husholdnngenes budsjetter. Produksjonsressursene som v det etterfølgende skal tenke oss som arbedskraft og realkaptal kan allokeres eller fordeles mellom ulke anvendelser på forskjellge måter; enten som et resultat av sentralserte beslutnnger (slk v hadde det såkalte planøkonomer fram tl 990) eller som et resultat av desentralserte beslutnnger, som markedsmekansmen er et eksempel på. Den norske økonomen er nærmest å oppfatte som en blandngsøkonom, der en stor offentlg sektor hvlket også vser seg tabellen over gjennom den sterke veksten tertærnærngene opererer ved sden av prvate aktører på svært mange arenaer. For å gjøre det hele så oversktelg som mulg, skal v tenke oss at både arbedskraft og realkaptal omsettes på vanlge konkurransemarkeder der prsene bestemmes. V neglsjerer den rolle organsasjonene spller arbedsmarkedet, og speselt den rolle de spller ved

4 3 forhandlnger om lønn. I det følgende tenker v oss at lønna bestemmes som en lkevektslønn. Dette er speselt og antakelg for enkelt. Så vel produksjonsfaktorer som ferdgvarer skal v tenke oss omsettes på markeder hvor brukerne møtes for å konkurrere om knappe ressurser. På denne måten vl rene markedsparametere som prser og nntekter være med å bestemme hva som blr produsert og konsumert, noe som på sn sde gjen bestemmer hvordan knappe produksjonsressurser blr anvendt og fordelt mellom ulke bransjer. V starter med å presentere en enkel generell lkevektsmodell der v begrenser oss tl å se på ferdgvarer, produsenter (hver oppfattet som en samlng av mange lke bedrfter) og produksjonsfaktorer som forelgger gtte mengder. V neglsjerer varennsats levert fra en bransje og brukt en annen. De fleste produksjonssektorer gjør bruk kke bare av prmære produksjonsfaktorer som arbedskraft og realkaptal men også av varennsats levert fra andre sektorer. Slke mellomsektorelle forhold kunne v ha fått brakt eksplstt nn gjennom det som kalles en kryssløpsmodell. Den modellrammen v skal se nærmere på dette notatet har en årrekke vært en arbedshest teor for nternasjonal handel og nærngssammensetnng, slk noen kjenner den gjen som Heckscher Ohln Samuelson modellen fra lærebøker nternasjonal handel. 3 V skal gjøre detaljert rede for denne modellen, først den speselle versjonen som kalles en lten åpen økonom, der ferdgvarene frtt kan byttes på verdensmarkeder tl (for den llle åpne økonomen) gtte prser. Denne modellen kan benyttes tl å se hvordan nærngssammensetnngen påvrkes enten som følge av endrnger eksogene prser eller av endrnger tlgangen på produksjonsfaktorer når dsse er fullt moble mellom sektorene nnen et land, men mmoble mellom land. Etter å 3 Se R.W.Jones (965), The Structure of Smple General Equlbrum Models, Journal of Poltcal Economy 73, pp

5 4 ha sett på de vktgste sammenhengene nnenfor denne modellen, skal v fra synspunktet teknkk og metode, se på en lukket økonom (autark). I motsetnng tl hva tlfellet er for en lten åpen økonom, blr ferdgvareprsene under autark bestemt modellen. Rendyrkngen under autark av at ferdgvarer og produksjonsfaktorer er mmoble mellom land, gjør at v ledes fram tl en generell lkevekt med bestemte egenskaper, avledet av underlggende produksjons og etterspørselsforhold, samt faktortlgang. (Uansett hva slags økonom v ser på, er produksjonsfaktorene moble kun mellom nnenlandske sektorer; kke mellom land. V utelukker et stort og vktg felt, nemlg nternasjonale faktorbevegelser.) På denne måten kan v få klarlagt en vktg begrunnelse for hvorfor et land eksporterer vsse varer. Overgangen fra en lukket tl en åpen økonom gjør det også mulg å få et nnblkk spørsmålet om hvlke grupper (eere av produksjonsfaktorer) som vl tjene og hvlke grupper som vl tape på nternasjonalt varebytte. Modellene som presenteres det følgende representerer statske lkevektsmodeller ( motsetnng tl dynamske modeller der tden nngår på en essensell måte). Utgangspunktet er en tlstand der økonomen er ro; dvs. alle ytre sjokk har lagt seg og alle tlpasnnger er gjennomført. Fra en slk stuasjon utsettes økonomen for et ytre sjokk (endrng en av modellens eksogene varable). Vår metode er nå å se hvordan den nye lkevektsstuasjonen skller seg fra den v hadde utgangspunktet. Dette er en øvelse komparatv statkk; en metode som går ut på å sammenlkne en lkevektsstuasjon med en annen uten å se nærmere på selve overgangen mellom de to lkevektene. En slk enkel, men grov representasjon av en økonom, vl kunne kaste noe lys over noen underlggende mekansmer som v kan gjøre bruk av når v skal se hva som skjer over td; dvs. selve fasen mellom to lkevekter. Det er heller kke alltd slk at v nødvendgvs tl slutt ender opp en tlstand av full ro.

6 5 Økonomen utsettes kontnuerlg for nye sjokk, samtdg som det er boende krefter aktørenes egen atferd som hele tden vrker forstyrrende nn. Det kan være ulk produktvtetsvekst de forskjellge nærngene; for eksempel ved at vsse sektorer utsettes kontnuerlg for teknske forbedrnger, mens andre sektorer, særlg deler av den personlge tjenesteytngen, har ngen eller svært små mulgheter for produktvtetsforbedrnger, eller at det er egenskaper ved etterspørselen etter vsse varer som påvrkes sterkere av nntektsendrnger. Et eksempel kan kanskje llustrere poenget: Noen varer som konsumentene etterspør er vsse peroder luksusvarer den forstand at varenes nntektselaststeter er større enn én. Om det kontnuerlg skjer en bedrng produktvteten denne økonomen, vl realnntekten øke. Økt realnntekt vl føre tl en vrdnng sammensetnngen av husholdnngenes etterspørsel, med en relatvt sterkere forskyvnng mot luksusvarer som nå vl få høyere budsjettandeler. Denne vrdnngen, som bl.a. er typsk for en rekke tjenester (som ferereser), vl føre tl at ressursbruken vrs fra produksjon av kke luksusvarer og over mot luksusvarer. Så lenge noen varer har nntektselaststeter større enn én, og slke egenskaper vl selv endres over td bare tenk på bl og frtdsbåt som typske luksusgoder 950 årene Norge, men neppe dag vl produktvtetsfremgang eller realnntektsvekst kunne føre tl slke vrdnnger som nevnt her. Slke dynamske forhold vl bl kort ntrodusert sste del av notatet, der v skal forsøke å få formdlet sentrale faktorer bak nærngsutvklngen slk v kjenner den fra Norge; se også Rødseth (993). 4 Gjennom slke dynamske modeller kan v få en forklarng på den hstorske overgangen Norge v har observert gjennom hele det 0. århundre, fra et typsk jordbruks og fskesamfunn tl et moderne ndustr og tjenestesamfunn; jfr. tabellen over. 4 Se A. Rødseth (993), Nærngsstruktur og vekst, seren for studenter nr. 7.

7 6 Notatet er dsponert som følger: I kapttel har v en grundg gjennomgang av produsenttlpasnng der v legger særlg vekt på å utlede sentrale egenskaper ved en produsents kostnadsfunksjon. I kapttel 3 ser v nærmere på egenkaper ved lkevekten en lten åpen økonom. Med utgangspunkt denne lkevekten utleder v en del vktge sammenhenger som v betegner som handelsteoremer. I kapttel 4 karakterserer v lkevekten under autark (ngen handel med andre land). Gtt en sere forutsetnnger mer eller mndre restrktve kan v fastlegge et lands komparatve fortrnn med bakgrunn relatv faktorrkelghet, slk v vser kapttel 5, mens det kapttel 6 pekes på en del momenter som knytter forbndelsen mellom dette notatet og en dynamsk analyse som kan forklare utvklngen nærngssammensetnngen over td.. OM PRODUSENTENE. Representatve bedrfter. Produktfunksjonen. V har en økonom med to sektorer (bransjer, nærng). I hver sektor skal v la alle bedrftene sum opptre som én representatv bedrft. Slk v behandler det nnebærer dette en mplstt antagelse om at alle bedrftene en sektor er helt lke. I hver sektor/representatv bedrft produseres kun én vare ved hjelp av to prmære produksjonsfaktorer. V kunne ha tatt med flere bransjer og produksjonsfaktorer, men av pedagogske grunner er det hensktmessg å begrense dsse tl to. For å gjøre dskusjonen mer konkret vl v kalle de to nnsatsfaktorene arbedskraft og realkaptal og tolke modellen deretter. Men den teoretske modellens resultater vl også kunne tolkes lys av andre todelte gruppernger av nnsatsfaktorene, for eksempel høyt utdannet og lavt utdannet arbedskraft. Merk mdlertd at for at resultatene fortsatt skal ha gyldghet må man godtgjøre at en slk nndelng er overensstemmelse med

8 7 modellens grunnleggende antagelser, speselt vl dette gjelde de som angår teknologen. V tenker oss at tlgangen av hver produksjonsfaktor forelgger en gtt mengde for hvert land, bestemt av forhold utenfor modellen. Dsse produksjonsfaktorene er fullt moble mellom sektorene; dette betyr bl.a. at det vl være ett og bare ett marked for hver av de to produksjonsfaktorene vår K 0 tk 0 K ty = F ( tl, tk ) 0 Y = F ( L, K ) 0 0 L 0 tl L Fgur Isokvanter ved konstant skalautbytte økonom. V vl blant annet se på stuasjoner der produsentene opptrer som aktører en lten åpen økonom. V vl da anta at nnsatsfaktorene bare kan flytte seg frtt mellom sektorer nnen det enkelte land; kke mellom land. Dette tl forskjell fra ferdgvarene som v under antagelsen om en lten åpen økonom antar kan byttes frtt mellom land, det vl s uten handelshndrnger av noe slag og uten at det påløper transportkostnader. La produksjonen sektor ( =, ) være angtt med Y (kvantum produsert av vare ). Teknologen hver sektor er representert ved en produktfunksjon F ( L, K ), der L og K er henholdsvs mengden arbedskraft og realkaptal brukt

9 8 sektor, så Y F ( L, K ). Teknologen vl være forskjellg de to sektorene, så de = har hver sn produktfunksjon. For begge sektorer forutsetter v mdlertd at produktfunksjonen har følgende (neoklassske) egenskaper: )Isokvanter krummet mot orgo. Produktfunksjonens nvålnjer eller sokvanter (som med våre antakelser er fallende faktordagrammet) er kjennetegnet ved (strengt) avtakende margnal teknsk substtusjonsbrøk sokvantene er krummet mot orgo, slk som Fgur. ) Konstant skalautbytte. Dette betyr at en proporsjonal øknng faktormengdene fører tl en lke stor øknng produktmengden, eller mer formelt () F ( tl, tk ) = tf ( L, K ) for alle t > 0. V ser gjerne at produktfunksjonen er homogen av grad nnsatsfaktorene (se appendks A. for noen vktge egenskaper ved homogene funksjoner). Når v beveger oss langs en faktorstråle (langs hvlken v har et gtt faktorforhold), vl sokvanten for Y = F ( L, K ) 0 og den for c lgge samme avstand fra hverandre uansett langs hvlken faktorståle v beveger oss. Dette nnebærer at helnngen tl sokvantene vl være konstant langs en faktorstråle, slk v har llustrert det Fgur. V pleer også ofte å anta at produktfunksjonen F ( L, K ) at den er overalt og tlstrekkelg mange ganger derverbar hver faktor. Når dsse derverte ekssterer oversetter antagelsen om krumme sokvanter seg tl at hver grenseproduktvtet er postv, men strengt avtakende. Dette betyr at de partelt derverte F F ( L, K ) : = > 0 L L og F F ( L, K ) : = > 0, mens K K

10 9 F LL F ( L, K ) F ( L, K ) : = < 0, : = < 0. Det er også vanlg å anta at hver F KK L K produksjonsfaktor er essensell: For å få en postv produktmengde, må det brukes noe av begge faktorer; med andre ord har v F (0, K ) = 0 = F ( L,0). Når v bare har to nnsatsfaktorer vl konstant skalautbytte og avtagende margnalprodukt også mplsere at nnsatsfaktorene er teknsk komplementære, eller F ( L, K) () > 0. L K Det vl s at margnalproduktet tl hver nnsatsfaktor øker når v bruker mer av den andre nnsatsfaktoren. Bevset for dette er lagt tl Appendks A... Kostnadsmnmerng Produksjonsfaktorene kjøpes faktormarkeder tl de nomnelle prsene w (lønn per enhet arbedskraft) og q (prs per enhet realkaptal). V antar at bedrften opptrer som prsfast kvantumstlpasser alle markeder, og hvert marked oppfattes som vanlge konkurransemarkeder, uten at noen aktører kan utøve noe markedsmakt. Ferdgvaren selges også tl en for produsenten eksogent gtt prs, nemlg p, gtt som antall kroner per fyssk enhet av ferdgvaren. V antar rasjonelle aktører, noe som første omgang betyr at produsenten ønsker å frembrnge enhver mengde av ferdgvaren tl så lave kostnader som mulg. Det vl s, for gtte nnsatsfaktorprser q og w skal v fnne den kombnasjonen av nnsatsfaktorene ( K, L ), som bllgst mulg produserer

11 0 kvantum 0 Y. Dette kostnadsmnmerngsproblemet kan formuleres mer formelt som: 0 (3) Mn {, } wl (, ) + qk L K gtt Y = F K L Lagrangefunksjonen tlordnet dette problemet er gtt som: 0 0 Λ ( L, K, Y, λ) = wl + qk λ F ( L, K) Y med λ som en postv Lagrangemultplkator. En ndre løsnng (det vl s en kostnadsmnmerende faktorkombnasjon 0 0 ( L, K ), begge strengt postve per 0 0 forutsetnng) må oppfylle bbetngelsen Y F ( L, K ) der er et gtt tall (gtt produksjonsnvå), samt de to førsteordensbetngelsene = Y og Λ Λ ( L, K, Y, λ) F ( L, K ) L = w λ = 0 L ( L, K, Y, λ) F ( L, K ) K = q λ = 0. K Ved å elmnere multplkatoren λ får v at tlpasnngen kan skrves: (4) 0 0 F ( L, K ) 0 0 L w MTSB( L, K ): = 0 0 = F ( L, K ) q K Y = F ( L, K ) Den første betngelsen ser oss at den margnale teknske substtusjonsbrøk (MTSB) må være lk faktorprsforholdet. Dette er den såkalte

12 tangerngsbetngelsen som ser at (for en ndre løsnng) skal den gtte sokvanten tlpasnngspunktet tangere en sokostlnje. I Fgur er en sokostlnje gtt ved den fallende rette lnjen. For et gtt budsjett B, vl samlngen av alle faktorkombnasjoner hvs totale utlegg er lk dette dk budsjettet, være kjennetegnet ved wl + qk = B, med stgnngstall dl w =.) q K 0 K F ( L, K ) = Y 0 0 L L Fgur Kostnadsmnmerng for gtt 0 Y.3 Betnget faktoretterspørsel De to betngelsene (4) gr oss derfor to lknnger som v prnsppet kan bruke tl å uttrykke faktornnsatsene som funksjoner av faktorprsene (egentlg faktorprsforholdet) og av det gtte produksjonskravet. For gtt produktmengde og gtte prser, vl v få bestemt et entydg kostnadsmnmerende faktorpunkt, slk som 0 0 ( L, K ) Fgur. Når den eksogent gtte produksjonen endres (tlpasnngen er på en annen sokvant), eller når faktorprsforholdet endrer seg, vl betngelsene (4) g et nytt kostnadsmnmerende faktorpunkt. Dermed leder de to betngelsene (4), for en vlkårlg, gtt produksjon Y av ferdgvaren, tl faktorfunksjonene eller de

13 betngede faktoretterspørselsfunksjonene. Betngngen er altså knyttet tl et gtt kvantum av ferdgvaren, Y. Dsse funksjonene kan v skrve som L( w, q, Y) og K ( w, q, Y)..4 Kostnadsfunksjonen Når v ser på bedrfters tlpasnng lys av kostnadsmnmerng er det ofte av sentral nteresse å kjenne egenskaper ved den såkalte kostnadsfunksjonen. Denne er defnert ved (5) C( w, q, Y) = Mn wl + qk F ( L, K) Y {, }{ = L K } eller som det mnmale faktorutlegget (kostnadene) man må ut med for å produsere Y når prsene er q og w. V ser at kostnadsfunksjonen er verdfunksjonen tl kostnadsmnmerngsproblemet, det vl s den angr verden på kostnadene (målfunksjonen) når dsse er mnmert. Over fant v 0 0 ( L, K ) som løsnnga på kostnadsmnmernga når Y = Y 0. Dermed følger det at C ( w, q, Y ) = wl + qk. For en vlkårlg kan v sette nn de betngede 0 faktoretterspørselsfunksjonene L( w, q, Y ) og K ( w, q, Y) stedet for og og v får derfor Y L 0 K (6) C ( w, qy, ) = wl( w, qy, ) + qk ( w, q, Y) Egenskaper ved kostnadsfunksjonen er helt sentrale vår analyse av to sektor modellen, så dsse vl bl behandlet her.

14 3.4. Generelle egenskaper ved kostnadsfunksjonen La oss først se på noen egenskaper som er tlfredsstlt av alle kostnadsfunksjoner. Dsse egenskapene følger av kostnadsmnmerng alene, og har således kke noe med de teknologske forhold å gjøre. C ( w, q, Y) er kke-avtagende Y (7) C ( tw, tq, Y) = tc ( w, q, Y) for alle t > 0 C ( w, q, Y) er konkav wog q Den første egenskapen er åpenbar, det kan aldr være bllgere å produsere et høyere kvantum. Den andre betngelsen er nesten lke åpenbar. En proporsjonal øknng av begge nnsatsfaktorprsene vl kke påvrke den kostnadsmnmerende tlpasnng og bare g en øknng faktorutlegget med samme proporsjonaltetsfaktor. Mer formelt følger resultatet av følgende manpulerng av kostnadsfunksjonen C ( tw, tq, Y ) Mn twl tqk F ( L, K ) Y Mn t( wl qk ) F ( L, K ) Y = { }{ + = } =, {, }{ + = L } K L K {, }{ (, ) } (,, ) L K = t Mn wl + qk F L K = Y = tc w q Y V ser at kostnadsfunksjonen er homogen av grad nnsatsfaktorprsene. At kostnadsfunksjonen er konkav nnsatsfaktorprsene nnebærer (8) C ( λw' + ( λ) w'', λq' + ( λ) q'', Y) λc ( w', q', Y) + ( λ) C ( w'', q'', Y) for alle 0< λ <.

15 4 Dette er kke lke lett å vse formelt. Ford det formelle bevset kanskje framstår noe formelt og fremmed legges det tl Appendks A.3. Her vl v nøye oss med å se at kostnadsfunksjonen er konkav hver enkelt faktorprs, det vl s bare betrakte konkavteten partelt som Fgur 3. La prsen på kaptal være konstant q = q. C A wl C ( w, q, Y ) + qk w w Fgur 3 Kostnadsfunksjonens konkavtet lønna Punktet A Fgur 3 angr de mnmerte kostnaden når lønna er w= w. Tl denne tlpasnngen og dette prsparet svarer faktorbruken L = L( w, q, Y) og K = K ( w, q, Y). Om lønna skulle endre seg er det klart at bedrften fortsatt kan produsere Y ved å bruke nnsatsfaktorkombnasjonen ( L, K ). Dette vl g kostnader wl + qk, det vl s at kostnadene da vl vokse lneært lønna slk som vst ved den rette lnja fguren. De kan altså aldr gjøre det dårlgere enn dette, så de mnmerte kostnadene kostnadsfunksjonen kan aldr lgge

16 5 over denne lnja. Men dersom det er mulg å substtuere arbedskraft (som nå er dyrere) med kaptal produksjonen, vl de som regel kunne gjøre det bedre ved å endre på faktorsammensetnngen, så v kan vente at de mnmerte kostnadene, C( w, q, Y ), lgger strengt under denne lnja. De mnmerte kostnadene må selvsagt stge lønna w når denne stger over w, men stgnngen vl altså regelen være slakkere enn helnngen tl den lneære kurva. Et helt symmetrsk argument gjelder dersom lønna blr lavere enn w. Dermed får v at kostnadsfunksjonen er konkav lønna slk som tegnet Fgur 3. For at v skal ha streng konkavtet, og dermed at C( w, q, Y ) er krum slk som den er tegnet Fgur 3, må det altså være substtuerbarhet mellom nnsatsfaktorene. Graden av substtuerbarhet vl altså bestemme graden av krummng. Argumentasjonen for at kostnadsfunksjonen er konkav begge faktorprsene er essenselt den samme. Men det er en vktg forskjell. Mens substtusjonsmulgheter mellom nnsatsfaktorene og ndre løsnng var nok tl å skre at kostnadsfunksjonen var strengt konkav nnsatsfaktorprsene hver for seg, vl v aldr ha at den er strengt konkav begge faktorprsene samlet, det vl s at ulkheten (8) aldr kan gjelde strengt for alle prspar. For å se dette er det nok å betrakte stuasjonen hvor prsene er proporsjonale, det vl s ( w'', q '') = ( kw', kq '). Da har v selvsagt C ( w, q, Y) = C ( kw, kq, Y). Men sden kostnadsfunksjonen er homogen av grad én prsene, må v ha at C ( w, q, Y) = k C ( w, q, Y). Som vst appendkset bygger selve konkavtetsegenskapen (8) bare på konsekvenser av kostnadsmnmerng og det faktum at kostnadene er lneære prsene, det vl s at den er uavhengg av teknologen (produktfunksjonen). Hvorvdt nnsatsfaktorene er substtuerbare (et teknsk forhold), vl mdlertd påvrke graden av

17 6 konkavtet som v så det partelle tlfellet. (Graden av substtuerbarhet vl selvsagt varere mellom bransjer som tar bruk svært forskjellge teknologer. I noen bransjer, som for eksempel kjemsk prosessndustr blr produktene ofte tl ved at produksjonsfaktorene nngår helt bestemte forhold, og dermed lten grad av substtusjon. I andre bransjer kan arbedskraft lettere erstattes av maskner, slk v ser det vsse tjenesteytende aktvteter.).5 Shephards lemma Hva er vrknngen på kostnadsfunksjonen av en endrng faktorprsene? Ved å dervere kostnadsfunksjonen (6) med hensyn på lønna w, får v (9) C( wqy,, ) L( wqy,, ) K( wqy,, ) = L( w, q, Y) + w + q w w w F L( w, q, Y) F K( w, q, Y) = L( wqy,, ) + λ + = L( wqy,, ) L w K w Den andre lkheten (9) følger av førsteordensbetngelsene for kostnadsmnmerng som v fant over ( λ er Lagrange multplkatoren). Den sste lkheten grunngs med følgende resonnement: Sden Y F L F K Y er gtt og uavhengg av faktorprsene, må = 0 = + w L w K w. Men da må nnholdet klammeparentesen (9) være lk null. Helt tlsvarende vl v fnne at C( w, q, Y) = K( w, q, Y). Så v kan oppsummere Shephards q lemma som: C( w, q, Y) C( w, q, Y) (0) = L( w, q, Y) 0, = K( w, q, Y) 0 w q

18 7 Det vl s at den derverte av kostnadsfunksjonen med hensyn på en faktorprs er lk verden tl den betngede faktoretterspørselsfunksjonen for den faktor som får endret prs. (Merk at Shephards lemma er et eksempel på en vktg egenskap ved såkalte verdfunksjoner, nemlg det mer generelle omhyllngsteoremet.).6. Egenskaper ved betngete etterspørselsfunksjoner Shephards lemma forteller oss hvordan de betngete etterspørselsfunksjonene forholder seg tl kostnadsfunksjonen. Basert på denne sammenhengen kan v oversette egenskapene ved kostnadsfunksjonen tl tlhørende egenskaper ved de betngete etterspørselsfunksjonene..6. Homogentet: Det følger av Eulers setnng om homogene funksjoner (se Appendks A.) at sden kostnadsfunksjonen er homogen av grad, vl dens derverte av.orden være homogene av grad 0. Det vl s () C( tw, tq, Y) C( w, q, Y) = ( tw) w (Tlsvarende for q.) Ved Shephards lemma vet v at de derverte av kostnadsfunksjonen med hensyn på nnsatsfaktorprsene er lk de betngede faktoretterspørselsfunksjonene. Dermed må også de betngede faktoretterspørselsfunksjonene være homogene av grad 0. V har altså () L( tw, tq, Y) = L( w, q, Y) og K ( tw, tq, Y) = K ( w, q, Y) eller med andre ord, at faktoretterspørselen er upåvrket av proporsjonale endrnger faktorprsene. Dette bør kke være overraskende, v husker fra

19 8 løsnngen av kostnadsmnmerngsproblemet at det er de relatve faktorprsene (helnngen tl sokost lnja) som bestemmer tlpasnngen. (Tenk på følgende eksempel: Det bør være lkegyldg for tlpasnngen om v måler alle prser kroner eller øre. Dette tlsvarer t = 00.) For å få fram dette poenget mer eksplstt kan v sette t = / q, da får v () w (,, ) (,, ) : w L w q Y = L Y = L(, Y ) q q der den sste lkhetstegnet defnerer funksjonen L ( w/ q, Y ) som en alternatv formulerng av betnget faktoretterspørsel. Tlsvarende kan v defnere K ( w / q, Y )..6. Effekt av prsendrnger: Som v så forbndelse med Fgur 3 nnebærer kostnadsfunksjonens konkavtet at C( w, q, Y) L( w, q, Y) (3 ) = 0 w w Dersom det fnnes rom for substtusjon mellom nnsatsfaktorene, vl ulkheten være streng, hvlket betyr at kostnaden kke er lneær lønna. Jo lettere bedrften kan erstatte den dyrere faktoren med den relatvt bllgere, jo større er tallverden av (3). Om det kke skulle være noen substtusjonsmulgheter, vl v ha lkhet (3), og hele øknngen w slår ut økte kostnader. 5 5 Et eksempel på en produktfunksjon uten substtusjonsmulgheter er en med faste koeffsenter (proporsjonal lmtasjon), der Y = Mn[ αl, βk ]. Denne funksjonen vl ha K α rettvnklede sokvanter på faktorstrålen =, hvlket betyr at en øknng L β produktmengden bare er mulg om en øker faktorene proporsjonalt.

20 9 Effekten på L( w, q, Y ) av en endrng q kan v fnne ved først å dervere begge sder () med hensyn på t. Dette gr C( tw, tq, Y) d( tw) C( tw, tq, Y) d( tq) + ( tw) dt ( tw) ( tq) dt C( tw, tqy, ) C( tw, tqy, ) (3 ) = w + q ( tw) ( tw) ( tq) C( w, qy, ) C( w, qy, ) = w + q = 0 w w q Først har v dervert venstresden () med hensyn på t. Det andre lkhetstegnet følger av at de derverte er homogene av grad 0. Det sste lkhetstegnet følger ved at v setter den derverte av venstresden () lk den derverte av høyresden, som jo er null ford den er uavhengg av t. Oppsummert har v C( w, q, Y) C( w, q, Y) (4) w+ q= 0 w w q Med ndre løsnng følger det da fra (0 og (3 ) at (,, ) (,, ) (,, ) (5) C w q Y C w q Y L w q Y = = 0 wq q w q Igjen vl ulkheten gjelde postvt dersom v har vsse (men dog kke perfekte) substtusjonsmulgheter. Helt tlsvarende egenskaper vl gjelde for den betngede etterspørselen etter kaptal, så oppsummert har v

21 0 L( w, q, Y) 0 w L( w, q, Y) 0 q og og K( w, q, Y) 0 q K( w, q, Y) 0 w Dsse egenskapene er kke særlg overraskende, men det er vel verdt å kjenne tl de formelle argumentene som lgger tl grunn for dem. Merk også at v har utledet alle egenskapene fra egenskaper ved kostnadsfunksjonen alene..7 Konsekvenser av konstant skalautbytte Ved konstant skalautbytte er kostnadsfunksjonen lneær produksjonen. V kan altså dette tlfellet skrve kostnadsfunksjonen som (6) C( w, q, Y) = c( w, q) Y der c ( w, q) er enhetskostnaden, det vl s hvor mye det koster å produsere hver enhet av Y (når hele veen K og L er valgt optmalt). Dette er et svært vktg resultat for vår analyse. Igjen er et formelt bevs noe omstendelg og legges tl Appendks A.4. Den ntutve deen er svært enkel. Å produsere Y enheter er ved konstant skalautbytte løst sagt det samme som å produsere enhet Y ganger, hvlket forklarer at enhetskostnadene er konstante. Eller noe mer utbrodert: Betrakt en vlkårlg faktornnsats som gr oss en enhet av vare c. La være kostnadene ved å produsere en enhet på denne måten. Om v skal produsere to enheter kan v gjøre dette tl kostnad c ved å bruke dobbelt så mye av hver produksjonsfaktor. Derfor: dersom c ( w, q) er det mnmale faktorutlegget om v skal produsere én enhet, vl laveste faktorutlegget v kan produsere to enheter tl. c ( w, q) være det

22 V husker fra Shephards lemma at de betngede faktoretterspørselsfunksjonene fremkom som de derverte av kostnadsfunksjonen med hensyn på de respektve faktorprsene. Sden kostnadsfunksjonen er lneær Y vl derfor også de betngede faktoretterspørselsfunksjonene være det, så v kan skrve: (7) L( w, q, Y) = l( w, q) Y, K( w, q, Y) = k( w, q) Y der l ( w, q ) og k ( w, q) er den bruken av henholdsvs arbedskraft og kaptal som produserer enhet tl mnmerte kostnader. Som vst Appendks A.4 følger dette også mer drekte fra nøyaktg samme type argumentasjon som at kostnadsfunksjonen er lneær Y. I den alternatve formulerngen med relatve prser har v. (8) L ( /, ) ( / ), w qy = l w q Y K( w/ qy, ) = k ( w/ q) Y Implstt denne argumentasjonen lgger det også at v aldr vl ønske å endre det kostnadsmnmerende faktorforholdet. Dette ser v også av Fgur 4. Når v har konstant skalautbytte, vl helnngen tl sokvantene være konstante langs en faktorstråle. Når faktorprsforholdet gr oss tangerng for et bestemt nvå på produksjonen, vl det være klart at v for et annet produksjonsnvå også må fnne tangerngspunktet langs denne faktorstrålen (dvs. for samme faktorprsforhold). Men dette betyr at substtumalen (de optmale faktorkombnasjonene for forskjellge produserte kvanta, men samme faktorprsforhold) da blr en rett lnje gjennom orgo, slk en fnner det Fgur 4 under.

23 K 0 tk 0 K ty = F ( tl, tk ) 0 Y = F ( L, K ) 0 0 L 0 tl L Fgur 4 Kostnadsmnmerng ved konstant skalautbytte Med konstant skalautbytte vl derfor det kostnadsmnmerende faktorforholdet bare være en funksjon av faktorprsforholdet; dvs. K L w = φ ( ). Dette følger også drekte av (8). q Oppsummerng: Konsekvenser av konstant skalautbytte. V kan nå oppsummere de vktgste konsekvensene av konstant skalautbytte: F ( tl, tk ) = tf ( L, K ) for t > 0 C ( w, q, Y) = c ( w, q) Y L( wqy,, ) = l( wq, ) Y, K( wqy,, ) = k( wq, ) Y K w = φ( ), for alle Y L q.8 Bedrftenes produksjon Så langt har v bare sett på de representatve produsentenes tlpasnng for gtte nvåer på etterspørselen. Hva er det som bestemmer selve nvået på produksjonen? V tar utgangspunkt den vanlge antagelsen om at eerne av

24 3 bedrftene ønsker så godt resultat som mulg. Dette nnebærer at de hele tden vl vurdere mer eller grensenntekten ved å endre produksjonen opp mot mer eller grensekostnaden. Vanlgvs vl v formulere dette som et profttmaksmerngsproblem. Men med konstant skalautbytte er kke dette et veldefnert problem, og v vl kke få en ndre løsnng. Dette er en av hovedgrunnene tl at v har fokusert så sterkt på bedrftenes tlpasnng lys av kostnadsmnmerng. Dette såkalte duale problemet er veldefnert også for konstant skalautbytte. Det komplserende forholdet er at ved konstant skalautbytte blr tlbudsfunksjonen for en vare fullkomment elastsk egen prs. Denne tlbudssammenhengen kan avledes på følgende måte: Anta at prsen på vare, her lk grensenntekten og med at prsen er upåvrket av den enkelte produsents dspossjoner, er ltt høyere enn den produksjonsuavhengge grensekostnaden nærng, c ( w, q). I denne stuasjonen vl man selge hver enhet med postv proftt, og klen vl være konstant. Da vl en enkelt bedrft ønske å utvde produksjonen over alle grenser sden proftten da vl bl større sden begge størrelsene er konstante og uavhengge av produksjonen. Og motsatt, om p < c ( w, q), vl bedrften velge kke å produsere noe det hele tatt. Ethvert postvt kvantum vl nå gå med tap. Ved å redusere produksjonen fra et (hypotetsk) postvt nvå, vl proftten øke; den vl være negatv, men med lavere tallverd når produksjonen nnskrenkes. Derfor, den eneste mulgheten som da er forenlg med at det er en lkevekt markedet for vare der denne varen produseres endelge kvanta, er at prsen er lk enhetskostnaden eller (9) c ( w, q) = p

25 4 Merk at (9) alene kke kan sees på som en karakterserng av lkevekt markedet for vare. Ford v har mer enn en sektor som påvrker hverandre (begge etterspør begge nnsatsfaktorene), vl en beskrvelse av lkevekt måtte nvolvere hele økonomen sett under ett. Men v har etablert at for at en lkevekt skal ha postv og endelg produksjon av vare, må v sørge for at (9) holder. 6.9 Dualtet Shephards lemma ser oss to tng: ) Kostnadene er kke avtagende faktorprsene. ) V kan fnne de betngede etterspørselsfunksjonene ved å dervere kostnadsfunksjonen. Det første er langt fra overraskende. Så lenge v bruker noe av den faktoren som er bltt dyrere, vl kostnaden helt skkert gå opp. Det sste resultatet er på mange måter mye mer nteressant. I forrge avsntt fant v de betngede faktoretterspørselsfunksjonene ved å ta utgangspunkt produktfunksjonen, løse kostnadsmnmerngsproblemet, for deretter å fnne de kostnadsmnmerende faktorkombnasjonene. Shephards lemma gr oss nå en alternatv måte å gå fram på. V kan ta utgangspunkt kostnadsfunksjonen og fnne de betngede faktoretterspørselsfunksjonene ved å dervere med hensyn på de respektve faktorprsene. Dersom v kjenner kostnadsfunksjonen, trenger v kke bry oss om produktfunksjonen det hele tatt for å karaktersere bedrftenes tlpasnng. Dette er et eksempel på en mer generell egenskap, nemlg at all den nformasjonen som lgger produktfunksjonen og som har økonomsk relevans vl v også gjenfnne den tlhørende kostnadsfunksjonen. Dette kaller v dualtet. Både det forgående og senere avsntt gjør v utstrakt bruk av denne dualtetsegenskapen. Hele vår analyse kommer tl å ta utgangspunkt 6 For å få bestemt hvor mye som vl bl produsert av vare, må v også trekke nn en etterspørselssammenheng for ferdgvaren.

26 5 kostnadsfunksjonen, mens v aldr gjør bruk av produktfunksjonen for å beskrve lkevekten. Dette gr en mye mer hensktsmessg og enklere ramme for å studere lkevekt. Tanken om dualtet kan kanskje lkevel vrke noe fremmed. V brukte jo tross alt produktfunksjonen for å fnne de betngede faktoretterspørselsfunksjonene, og først når v hadde dsse kunne v bestemme kostnadsfunksjonen! Det er rktg at v trenger å gå gjennom dsse stegene for å fnne den kostnadsfunksjonen som hører tl en spesell produktfunksjon. Men poenget med den duale tlnærmngen er at v helt hopper over dette problemet. For v er jo kke nteressert produktfunksjonen seg selv. Vanlgvs vl v bare ha noen generelle (og kanskje vage) deer om hva som kvaltatvt kjennetegner de teknske forhold (slk som avtagende margnalprodukt, delvs substtuerbare nnsatsfaktorer, konstant skalautbytte for eksempel). V vl typsk bare fokusere på de forholdene som har økonomsk relevans. Dsse deene søker v å brnge nn analysen ved å anta at produktfunksjonen tlfredsstller noen speselle, men ganske svake antagelser om dens kvaltatve form. Men basert på teoretsk analyse kan v også se på hvordan deene om de teknologske forhold oversettes tl bestemte kvaltatve egenskaper ved kostnadsfunksjonen. Et vktg eksempel er når v vser at med konstant skalautbytte vl v alltd ha en kostnadsfunksjon som er lneær produsert kvantum. I stedet for å starte analysen med å sette opp antagelser for formen tl produktfunksjonen (for eksempel konstant skalautbytte), og så bruke denne som analysens utgangspunkt, kan v stedet sette opp som vårt utgangspunkt, en kostnadsfunksjon som har egenskaper overensstemmelse med de deene v har om de teknologske forhold (slk som konstant skalutbytte).

27 6 3. LIKEVEKT I EN LITEN ÅPEN ØKONOMI La oss se nærmere på hvordan de gtte faktortlgangene vl bl brukt eller allokert vår llle åpne økonom som står overfor gtte prser bestemt på verdensmarkedet. En lkevekt må en slk stuasjon bety at samlet etterspørsel etter de to produksjonsfaktorene, arbedskraft og realkaptal, må være lk samlet tlgang. La L ang den totale tlgangen eller tlbudet av arbedskraft, mens K er tlbudet av realkaptal. Begge dsse størrelsene er eksogent gtt; dvs. bestemt av forhold utenfor modellen. V skal tenke oss at alt det som tlbys av en produksjonsfaktor faktsk anvendes lkevekt Lkevektsbetngelsene V husker fra avsntt.8 at en nødvendg betngelse for lkevekt med endelg postv produksjon var at prs var lk enhetskostnaden. Men da vl proftten bl lk null uansett hvor mye eller hvor lte bedrften produserer. Tlbudt kvantum fra den enkelte produsent er således ubestemt den kan være hva den vl. Men da oppstår tlsynelatende et nytt problem som kke nødvendgvs behøver å bry oss når v har konstant skalautbytte produksjonen: Hvs hver bedrfts tlbud av vare er ubestemt når v har p = c ( w, q), hvordan vl da samlet etterspørsel eller totalproduksjon av varen bl fordelt mellom alle bedrftene bransjen? Dette spørsmålet lar seg kke besvare nnenfor denne modellrammen. V har ngen forklarng på hvordan samlet bransjeprodukt blr fordelt mellom produsentene bransjen, men v 7 En lkevekt kan kke være kjennetegnet ved et etterspørselsoverskudd for noen faktor eller vare. Hvs det skulle være et etterspørselsoverskudd av en produksjonsfaktor, kan v tenke oss en justerngsmekansme som nnebærer at prsen på vedkommende faktor blr bydd opp. På den annen sde kan v ha en lkevekt med tlbudsoverskudd for en vare eller faktor, men da må vedkommende prs være lk null. Imdlertd, v utelukker en slk stuasjon smpelthen ved å anta at dersom en vare eller faktor skulle ha nullprs, vl det være et etterspørselsoverskudd etter vedkommende gjenstand. Dermed, alle prser vl være postve lkevekt.

28 7 trenger strengt tatt kke å besvare dette spørsmålet for å gå vdere. Det eneste v trenger å ha klart for oss er at selve lkevekten har menng eller kan bestemmes på tross av at fordelngen av produksjonen mellom bedrftene kke kan bestemmes. Og med p = c ( w, q) for =,, og med endelg etterspørsel når prsen er endelg, har v en menngsfull lkevekt. Det er alt v trenger her! I lkevekt må derfor følgende betngelser holde: (9) p = c( w, q) p = c( w, q) I dsse lkevektsbetngelsene er produktprsene ( p, p ) eksogent gtte størrelser; bestemt på verdensmarkedet. Sden tlbudet av hver vare er fullkomment elastsk med hensyn på egen prs, vl kvantum omsatt av hver vare være bestemt ene og alene av nvået på den totale etterspørselen etter varen for alle land under ett. Hvor mye av varene som produseres vår llle åpne økonom, vl nå også avhenge av faktortlgangen landet; se (0) under. Lkevekt de to faktormarkedene nntreffer når tlbud er lk etterspørsel for hver faktor. I lkevekt må v ha at samlet anvendelse er lk samlet tlgang av hver faktor. Dermed må v ha: Lkevekt faktormarkedene: L + L = L K + K = K Dsse lkevektsbetngelsene kan uttrykkes ved hjelp av de betngede faktoretterspørselsfunksjonene, nemlg som:

29 8 (0) L( wqy,, ) + L( wqy,, ) = L K( w, qy, ) + K( w, qy, ) = K Men nå kommer da gevnsten av de våre anstrengelser kapttel : Bruk Shephards lemma (6). Da kan våre lkevektsbetngelser faktormarkedene skrves som: cw( wqy, ) + cw( wqy, ) = L (0) cq( wqy, ) + cq( wqy, ) = K (Her har v benyttet sammenhengen mellom kostnadsfunksjon og (betnget) faktoretterspørsel: For eksempel har v C( w, qy, ) c( w, q) L( w, qy, ) = = Y = cw( w, q) Y w w. Venstre sde (0) vser at samlet etterspørsel for hver faktor, der etterspørselen kommer fra de to bransjene, er lk samlet tlbud, gtt på høyre sde av, der L og K er gtte eksogene tlganger. Lkevekten for vår llle åpne økonom er dermed kjennetegnet ved følgende fre relasjoner mellom følgende fre varable, der v har: Endogene eller modellbestemte varable: wqy,,, Y Eksogene varable (bestemt utenfor modellen): p, p, L, K bundet sammen følgende lknngssystem

30 9 (9 ) p = c ( w, q) (9 ) p = c ( w, q) (0 ) c ( wq, ) Y + c ( wq, ) Y = L w w (0 ) c ( w, q) Y + c ( w, q) Y = K q q Her har v fre uavhengge lknnger tl å bestemme fre ukjente størrelser; modellen er determnert. Imdlertd ser v at de to prslknngene (9) nngår kun de endogene faktorprsene, sammen med de to eksogene ferdgvareprsene, og uten at samlet faktortlgang, L og K, nngår. Dette betyr at de to lknngene (9) utgjør en determnert delmodell, der v kan s at ( wq, ) begge blr bestemt av hvlke verder de to ferdgvareprsene tar. Sden dsse ferdgvareprsene normalt vl kunne endre seg, lar v løsnngen av lknngssystemet (9) bl skrevet som funksjoner. De nnenlandske faktorprsene som bestemmes (9), vl derfor kun avhenge av de eksogent gtte ferdgvareprsene ( p, p ), men vl være uavhengg av nnenlandsk faktortlgang! På generell form, vl faktorprsene lkevekt kunne skrves som: (9)' w= w( p, p) q = q( p, p) V er særlg opptatt av hvordan dsse faktorprsene varerer med prsene på verdensmarkedet. Før v etablerer slke sammenhenger, kan v sette løsnngen (9) nn de to markedsklarerngsbetngelsene (0). Dsse betngelsene vl dermed bestemme hvor mye som vl bl produsert av de to varene. Hvor mye som vl bl produsert, vl tllegg tl de to ferdgvareprsene, også være

31 30 påvrket av samlet faktortlgang. 8 Setter v løsnngen (9) nn (0), har v to lknnger tl å fastlegge de to gjenværende ukjente og Y : Y c w( w( p, p), q( p, p)) Y + c w( w( p, p), q( p, p)) Y = L (0) c q( w( p, p), q( p, p)) Y + c q( w( p, p), q( p, p)) Y = K Dette nnebærer at kvantum produsert av hver vare er bestemt av prsene på verdensmarkedet ( p, p ) og størrelsen på landets tlgjengelge produksjonsressurser ( LK, ). Løsnngen er dermed lkevektskvanta av de to ferdgvarene, uttrykt ved funksjonene: Y = Y( p, p, L, K) (0) Y = Y( p, p, L, K) Egenskaper ved dsse funksjonene vl stå sentralt det etterfølgende. 3.. Handelsteoremene for en lten åpen økonom La oss anta, på samme måte som for ferdgvarer, at nformasjon eller kjennskap om produksjonsteknolog flyter frtt mellom land; v snakker så fall om fr teknologflyt. Dermed vl hver vare bl produseret ved hjelp av den mest effektve teknologen alle de land der varen produseres. Dette nnebærer at uansett hvor en vare blr produsert, vl teknologen være den samme og gtt ved en produktfunksjon som er uavhengg hvor den anvendes. Men dette må gjen nnebære at alle produsenter av samme vare vl operere med samme kostnadsfunksjon. (Dette kan synes som en streng antakelse. Imdlertd ønsker v å begrense forskjeller mellom land tl kun å gjelde relatv 8 Legg merke tl at denne modellen er rekursv følgende forstand: Først løser v ut faktorprsene fra delmodellen (9). Løsnngen fra denne modellen, dvs. faktorprssammenhengene (9), benyttes så den gjenværende del av modellen; dvs. de to lknngene (0), der kun kvanta av de to ferdgvarene nå gjenstår å få bestemt.

32 3 faktortlgang. På denne måten får v derfor rendyrket en begrunnelse for et lands komparatve fortrnn; se avsntt 5.) Det er vktg å ha pressert modellens antakelser, slk at en kan forstå modellens mekansmer og dens mplkasjoner. V skal nå bruke modellen tl å besvare følgende spørsmål: Spørsmål : Hvordan forholder faktorprsene et land seg tl faktorprsene andre land? Spørsmål : Hva er sammenhengen mellom faktorprser og ferdgvareprser? Spørsmål 3: Hvordan påvrkes produksjonssammensetnngen av endrnger faktortlgang? (Svarene på dsse spørsmålene vl v senere bruke tl å karaktersere egenskaper ved en lkevekt for en lukket økonom (autarklkevekt) avsntt 5. Den nnskten gr oss dermed en mulghet tl å forklare nternasjonalt varebytte på grunnlag av et lands komparatve fortrnn, og også komme opp med testbare hypoteser om hvlke grupper som vl tjene eller tape på nternasjonalt varebytte.) Spørsmål : Hva er sammenhengen mellom faktorprsene mellom land? Et resultat v nå skal utlede er det som ltteraturen omtales som Faktorprsutjevnngsteoremet. I modellen blr faktorprsene for en lten åpen økonom bestemt fra delmodellen (9), med generell løsnng (9). Denne løsnngen gr oss en entydg sammenheng mellom de eksogent gtte ferdgvareprsene og faktorprsene det landet v ser på og som er avledet av de bakenforlggende kostnadsfunksjonene. Dersom det er fr flyt av teknolog mellom land den forstand at hver vare produseres med samme teknolog de land der den produseres, det er ngen handelshndrnger, samtdg som begge varer produseres, vl avlønnngen av én produksjonsfaktor som brukes tl å

33 3 produsere samme vare flere land, være den samme og uavhengg av hvor den brukes. Det er dette resultatet som omtales som Faktorprsutjevnngsteoremet. 9 Tl tross for at produksjonsfaktorene er mmoble mellom land, vl de oppnå lk avlønnng som andre land, så lenge landene står overfor de samme verdensmarkedsprsene på ferdgvarene. V får samme resultat gjennom frtt varebytte som v vlle ha fått om faktorene skulle ha vært fullt moble mellom land! Frtt varebytte er nnenfor dette modelloppsettet et perfekt substtutt for full faktormobltet mellom land. At fullstendg faktorprsutjevnng kke er oppfylt prakss, kan ha sammenheng med at land kke nødvendgvs produserer alle varer (antakelg det normale), at det kke er fr nternasjonal flyt av teknolog, at transportkostnader eller andre handelskostnader skaper forskjeller nettoprs mellom produsentene de enkelte land, osv. Antakelg produseres det flere varer enn det antall produksjonsfaktorer som er tlgjengelg et land. I en slk stuasjon vl et land spesalsere seg ved kun å produsere et begrenset antall varetyper lk det antall produksjonsfaktorer landet har tlgang tl. Ved delvs eller full spesalserng, vl betngelser av typen (9) og (0) gjelde bare for undergrupper av produserte varer. I det stlserte tlfellet v har sett på, med kun to varer som produseres hvert land, ved hjelp av to produksjonsfaktorer som er moble nnen hvert land, men mmoble mellom land, ved bruk av samme produksjonsteknolog, har v med andre ord at faktoravlønnngen for en lten åpen økonom kun avhenger av de eksogent gtte prsene på verdensmarkedet, og kke av nnenlandsk 9 Dette resultatet msforstås av dem som hevder at teoren påstår at alle produksjonsfaktorer vl tjene nøyaktg det samme. Hvs de to produksjonsfaktorene tolkes som faglært og ufaglært arbedskraft (og kke arbedskraft og realkaptal) ser teoren at avlønnngen tl faglært arbedskraft små åpne økonomer vl bl den samme, gtt de antakelsene som modellen bygger på. (Tlsvarende for den andre faktoren ufaglært arbedskraft.) Det blr selvsagt helt galt å påstå, som noen gjør, at faglært og ufaglært arbedskraft vl ha lk avlønnng!

34 33 faktortlgang. Gtt at to land står overfor samme prser på verdensmarkedet og produserer de samme varene med samme produksjonsteknolog, da vl avlønnngen av produksjonsfaktorene være den samme de to landene! Spørsmål : Hva er sammenhengen mellom faktorprser og ferdgvareprser? Hvs en lten åpen økonom produserer begge varer (kke full spesalserng), vl de to betngelsene (9) ha løsnng slk v har antydet (9). Foreløpg har v bare slått fast at en slk løsnng fnnes, men heller kke noe mer. Imdlertd ønsker v et mer presst utsagn om hvordan, for eksempel, lønna w endres når prsen på vare øker. Med andre ord, hvlket fortegn har hver av de partelle derverte av de to funksjonene (9)? (V antar at de underlggende funksjoner er slk at begge funksjonene (9) er tlstrekkelg derverbare for alle kke negatve ferdgvareprser.) For å komme noen ve, må v gjøre noen antakelser som gjen krever noen defnsjoner. En slk defnsjon er knyttet tl det v kaller faktorntenstet: Defnsjon : Faktorntenstet V ser at produksjonen av vare j er relatvt mer kaptalntensv enn produksjonen av en annen vare, dersom antall enheter realkaptal per arbedstme er større fremstllngen av vare j enn vare, uansett hva faktorprsene er. I den forbndelse nnfører v følgende antakelse: k( w, q) k( w, q) Antakelse : Vare kaptalntensv, det v antar at > for alle (w,q) l ( w, q) l ( w, q) Fra (0) og (7) har v at antall arbedstmer per produsert enhet av vare j er gtt ved Lj( w, q, Yj) cj( w, q) lj( w, q): = = : = cjw( w, q), som pga. konstant Y w j

35 34 skalautbytte er uavhengg av produksjonsskalaen, samtdg som antall enheter realkaptal per produsert enhet er gtt ved K j( w, q, Yj) cj( w, q) kj( w, q): = = : = cjq ( w, q) Y q j, som også er uavhengg av Y j. Hvs produksjonen av vare er relatvt mer ntensv bruken av realkaptal enn produksjonen av vare, vl substtumalen eller den kostnadsmnmerende faktorstrålen, for et gtt faktorprsforhold, være brattere sektor enn den sektor. Dette kan v vse følgende fgur. Tegn nn enhets sokvanten for hver vare ett faktordagram. (En enhets sokvant vser alle de faktorkombnasjoner som gr en produktmengde akkurat lk én enhet; dvs. den vser alle kombnasjoner j av ( L, K ) som gr F ( L, K ) =.) Tegn dsse enhets sokvantene slk at j j j j uansett hva faktorprsforholdet er, så bruker sektor mer realkaptal per arbedstme enn sektor. Dette gr oss følgende fgur: K, K F L K = (, ) k k l l F L K = (, ) L, L Fgur 5 Beskrvelse av faktorntenstet

36 35 For et gtt faktorprsforhold (svarende tl helnngen på den fallende rettlnjede sokostlnjen Fgur 5), vl sektor, uansett hvor mye som skal produseres, velge faktorforholdet gtt ved den bratteste av de to faktorstrålene tegnet nn Fgur 5 nemlg den som er markert med k l K Y L Y =, mens kostnadsmnmerng sektor vl g en tlpasnng langs faktorstrålen merket k l. Vår antakelse om at sektor er overalt relatvt mer kaptalntensv, eller k( w, q) k( w, q) bare kaptalntensv, betyr at > for alle produserte kvanta av l ( w, q) l ( w, q) nteresse for oss. Dette betyr gjen at sokvantene krysser hverandre kun én gang; slk som Fgur 5. Fra tdlgere vet v at kun faktorprsforholdet er av betydnng for valg av kostnadsmnmerende faktorkombnasjon, og fastlagt slk at nnsatsen av realkaptal per arbedstme er stgende w q. Dette følger drekte fra at det er substtusjonsmulgheter produksjonen av hver vare. (Når lønna øker forhold tl kaptalprsen, vl bruken av arbedskraft gå ned, mens bruken av realkaptal vl øke, for gtt produktmengde. Med andre ord, k ( w, q) j j l ( w, q) er selv voksende w q.) Antakelse betyr, som vst Fgur 6, at tl ethvert faktorprsforhold, må v ha k( w, q) k( w, q) ulkheten > oppfylt, og med hver faktorntenstet som en l ( w, q) l ( w, q) stgende funksjon av faktorprsforholdet w q.

37 36 k ( w, q ) (, ), k w q l ( w, q) l ( w, q) Sektor Sektor w q Fgur 6 Sammenhengen mellom faktorntenstet og relatv faktorprs Om faktorprsforholdet w q øker, vl begge faktorntenstetene, slk de er defnert over, øke, men uansett faktorprsforhold, vl den, per antakelse, være størst sektor. 0 V skal bruke delmodellen (9) (0) tl å etablere en forbndelse mellom de eksogent gtte produktprsene på verdensmarkedet og de endogene 0 Antakelsen om at sektor er overalt mer kaptalntensv enn sektor, er langt fra uskyldg. Den nnebærer bl.a. at såkalte faktorntenstetsreversernger kke kan nntreffe. Slke reversernger kan oppstå om sokvantene krysser hverandre mer enn én gang, hvlket vl kunne skje om substtusjonsmulghetene mellom de to produksjonsfaktorene er svært forskjellg mellom de to sektorene. For eksempel kan v tenke oss at en sektor er det begrensede substtusjonsmulgheter representert ved sterkt krummede sokvanter mens det er svært gode substtusjonsmulgheter den andre sektoren med svakt krummede sokvanter. Slke faktorntenstetsreversernger kan (mulgens) forklare det som ltteraturen kalles Leontef paradokset. Dette paradokset eller resultatet som ble påvst et arbed fra 953 av den amerkanske økonomen Wassly Leontef (tldelt Nobelprsen økonom 973), vste at eksporten fra det kaptalrkelge USA hadde lavere kaptalntenstet enn mporten. Det handelsmønsteret som Leontef avdekket motser hva Heckscher Ohln Samuelson teoremet forteller; se avsntt 5.

38 37 faktorprsene, når v hele tden antar at sektor er relatvt mest ntensv bruken av realkaptal, slk som defnert over. Anta at prsen på vare øker, mens prsen på vare holder seg uendret. Høyere prs på vare vl nå føre tl at flere bedrfter vl ønske å produsere vare stedet for vare. En slk produktprsøknng vl nnebære at bedrftene sektor vl øke etterspørselen etter begge produksjonsfaktorer, samtdg som lavere produksjon sektor vl frgjøre noe av begge produksjonsfaktorene. (For å få sektor tl å produsere mndre og dermed bruke mndre av de to produksjonsfaktorene, må det skje noe med faktorprsene.) Ford produksjonen av vare per forutsetnng er kaptalntensv, vl det skje en relatvt sterkere øknng etterspørselen etter realkaptal enn etter arbedskraft. På den annen sde vl det kunne frgjøres relatvt mer arbedskraft enn realkaptal når bedrftene den arbedsntensve sektor reduserer produksjonen. Holdes faktorprsene uendret en slk stuasjon, vl v ha en ubalanse som må rettes opp gjennom etterfølgende endrnger faktorprsene. V skal se hva som vl skje. Når prsene på verdensmarkedet forandrer seg, vl prslknngene eller lknngssystemet (9) bl forstyrret, og dermed vl løsnngen (9) også endres. En øknng p, vl normalt påvrke begge faktorprsene, gjennom de generelle sammenhengene (9). Hvordan dsse faktorprsene påvrkes av en partell øknng, fnner v ved å dervere betngelsene (9) partelt mhp. p p, når v samtdg bruker at begge faktorprsene avhenger av p :

39 38 () c( w, q) w c( w, q) q w q = + = l( w, q) + k( w, q) w p q p p p c( w, q) w c( w, q) q w q 0 = + = l( w, q) + k( w, q) w p q p p p w k( w, q) q Fra den andre av dsse betngelsene fnner v: =, som v kan p l( w, q) p w k( w, q) q sette nn den første. Fra sammenhengen = p l( w, q) p kan v trekke følgende konklusjon, nemlg at: Konklusjon Når en ferdgvareprs øker, vl faktorprsene endres; de vl bevege seg motsatt retnng; én må øke, mens én må gå ned. Setter v nn for w p den første av betngelsene (), fnner v: k( w, q) q k k q ()' k( w, q) l( w, q) = l( w, q) = l( w, q) p l l p k k Gtt Antakelse, dvs. at > uansett hva faktorprsene er, ser v at q vl l l øke og w dermed vl gå ned, når p øker. Sammenhengen mellom faktorprsene og verdensmarkedsprsen på vare, er dermed med våre forutsetnnger, gtt ved: w k = q q = l > w < l l () & 0 0 p l p k p k p

40 39 V har dermed følgende resultat som går under betegnelsen Stolper Samuelson teoremet. Det lyder som følger: Konklusjon : Stolper Samuelson teoremet En øknng en prs på en ferdgvare, vl øke avlønnngen tl den faktor som brukes ntensvt produksjonen av denne varen. Når v har to produksjonsfaktorer, vl prsen på den andre faktoren (som brukes ntensvt produksjonen av den andre varen) gå ned. Dette teoremet vser hvlke eere av produksjonsfaktorer som tjener eller taper på at ferdgvareprsene på verdensmarkedet endrer seg. Hvordan fungerer dette teoremet prakss? Gr teoremet noe nnskt? La oss se på Knas nntreden på verdensmarkedet. Som følge av at Kna har økt sn eksport av klær og tekstler, særlg tl Vesten, har prsen på klær og andre tekstlvarer gått betydelg ned på verdensmarkedet. Interesseorgansasjoner tlknyttet tekstlbransjen USA og EU, mslker den nye stuasjonen, sden avlønnngen tl produksjonsfaktorer som brukes ntensvt denne sektoren, faller. Det fremmes krav om beskyttelse av nnenlandsk produksjon, nettopp med det for øye å begrense, for dem, negatve vrknnger av prsnedgang. Tlsvarende motstand mot ytterlgere lberalserng av handelen med landbruksprodukter, slk v ser det blant bønder Norge og Frankrke, kan forstås med bakgrunn dette resultatet. Derfor, når verdensmarkedsprsen på den kaptalntensve varen øker, vl en tlpasnng mot høyere nasjonalnntekt føre tl en vrdnng produksjonssammensetnngen, retnng av høyere produksjon av den vare som oppnår en relatvt høyere prs på verdensmarkedet. For å få realsert Se W.F.Stolper & P.A. Samuelson (94), Protecton and real wages, Revew of Economc Studes 9, pp

41 40 denne produksjonsendrngen, må det skje noe med faktorprsene hjemme. Hvorfor? Jo, bedrftene sektor (som første omgang kke opplever noen endrnger), må motveres tl å redusere produksjonen for å kunne frgjøre produksjonsressurser tl sektor. Dette kan nnenfor denne modellen kun skje ved at faktorprsene endres. Den ønskede reallokerngen av ressurser, mot høyere produksjon av den kaptalntensve varen, realseres ved at kaptalprsen q øker, mens lønna w går ned; jfr. (). V kan llustrere sammenhengen mellom w q og prsforholdet p, slk v har p gjort det Fgur 7, der v avsetter faktorprsforholdet langs den vannrette aksen og produktprsforholdet langs den loddrette, av grunner som v kommer tlbake tl. I denne fguren fremkommer den fallende kurven drekte fra (). p p w q Fgur 7 Sammenhengen mellom faktorprsforhold og produktprsforhold

42 4 Ved å bruke Fgur 6, ser v at en nedgang faktorprsforholdet w q, vl føre tl at hver sektor velger en lavere kaptalntenstet enn hva tlfellet var forut for prsøknngen på vare. Hva nnebærer dette? Sden samlet tlgang av de to produksjonsfaktorene er gtt, lk hhv. K og L, vl v, når v bruker at K L j j K j Yj j = L = k og når v defnerer sysselsettngsandelen j Y l j j L sektor som μ =, fra (0), ha: L K K + K K K K L K L = = + = + L L L L L L L L (3) K K Y L Y L L k k k k k = + = μ+ ( μ) = + μ( ) L L L L l l l l Y Y l Når prsen på vare (den kaptalntensve varen) øker, vl q øke og w vl gå k ned, med den konsekvens at både l k og l første omgang går ned. Kaptalntensteten går ned begge sektorer. Som følge av Antakelse, samtdg som K L er konstant, må sysselsettngsandelen sektor,, μ dermed øke. Det må med andre ord skje en overførng av arbedskraft fra sektor tl sektor, slk v har redgjort for tdlgere. Spørsmål 3: Hva er sammenhengen mellom faktortlgang og produktsammensetnng? Hvordan påvrkes produksjonssammensetnngen (0) av tlgangen på de to produksjonsfaktorene L og K? Kan v på grunnlag av det v har antatt påstå noe om hvordan bransjesammensetnngen påvrkes av økt tlgang på en produksjonsfaktor? Slke endrnger kan skje ved økt nnvandrng, avslutnng eller gjennomførng av nvesterngsprosjekter som øker tlgangen av realkaptal, gjennom økt yrkesdeltakelse eller økt pensjonsalder.

43 4 V har tdlgere slått fast at faktorprsene er uavhengg av faktortlgang. Dette betyr at så lenge produktprsene holder seg konstante, vl faktorprsene også holde seg konstante. Men om tlgangen av en produksjonsfaktor skulle øke, synes det nærlggende å tro at produktsammensetnngen endres slk det kommer tl uttrykk løsnngen (0). Men v er nteressert å vte mer eksakt hva som vl skje modellen ved en utvdelse av ressursgrunnlaget. Det resultatet v skal vse kalles Rybczynsk teoremet som vser nnenlandske sektorforskyvnnger som følge av endrnger tlgangen på prmære produksjonsfaktorer. Teoremet gr oss svar på følgende spørsmål: Hva skjer vår llle økonom om det skjer en eksogen øknng for eksempel tlgangen på arbedskraft L? Ta utgangspunkt lkevektssammenhengene (0). En partell øknng L vl, for konstante faktorprser husk at løsnngen (9) er uavhengg av størrelsen på L og K g oss følgende vrknnger på og Y, når v bruker (0) og (7): Y (4) Y Y Y Y = cw( wq, ) + cw( wq, ) = l( wq, ) + l( wq, ) L L L L Y Y Y Y 0 = c q( wq, ) + cq( wq, ) = k( wq, ) + k( wq, ) L L L L Y k Y Fra den andre av dsse betngelsene får v at =, som vser vårt L k L tredje resultat nemlg: Se T.M.Rybczynsk (954), Factor endowment and relatve commodty prces, Economca, pp

44 43 Konklusjon 3 Om produksjonen en sektor øker når L øker, må produksjonen den andre sektoren gå ned. Y k Y Setter v = L k L nn første lnje (4) får v: k k Y Y l l l = = = = k k k L L l l l l l k k l k l( ) k l (5) ( ) k Gtt Antakelse er sektor kaptalntensv, har v at l k >. Dermed følger l Y det at > 0 L Y k Y = < 0. V kan dermed etablere følgende vktge L k L og resultat som knytter sammen vekst og nærngsstruktur: Konklusjon 4: Rybczynsk teoremet Øker tlgangen på arbedskraft vår to faktor to vare økonom, vl produksjonen av den vare som er arbedsntensv, øke, mens produksjonen av den andre varen vl gå ned. Mer generelt ( varer og faktorer): Om tlgangen på en produksjonsfaktor øker, vl produksjonen av den vare som er ntensv vedkommende faktor gå opp, mens produksjonen av den andre varen vl gå ned. Sden faktorprsene er upåvrket, vl produksjonen hver sektor foregå med uendret faktorntenstet. V kan derfor llustrere en bytteboks hva som skjer med sektor eller produksjonssammensetnngen når tlgangen på arbedskraft øker. I Fgur 8 lar v nå bredden bytteboksen øke sden tlgangen på

45 44 arbedskraft øker med ΔL, samtdg som sektor s hjørne flyttes mot høyre slk som antydet Fgur 4. L O* O A S K K O S L B ΔL Fgur 8 Illustrasjon av Rybczynsk teoremet Start med en bytteboks med stplet høyrevegg som gjelder før den økte tlgangen på arbedskraft. Nedre venstre hjørne, merket O, angr orgo for sektor s sokvantkart, mens øvre høyre hjørne, merket O*, er orgo for sektor s sokvantkart. (V har kke tegnet nn sokvantene.) For gtte prser på verdensmarkedet vl v ha et entydg nnenlandsk faktorprsforhold som bedrftene tlpasser seg tl når kostnadene mnmeres. Tl det gtte faktorprsforholdet, vl bedrftene sektor tlpasse seg på substtumalen merket OS (langs hvlken den margnale teknske substtusjonsbrøk sektor er konstant), mens bedrftene sektor vl tlpasse seg langs substtumalen * OS. Pga. av Antakelse er substtumalen eller strålen OS brattere enn * strålen OS ; sden v for alle faktorprsforhold har K Y L Y K k k K = = > = L l l L.

46 45 Alle tlgjengelge produksjonsfaktorer vl bl benyttet. Derfor må lkevekten utgangspunktet være kjennetegnet ved en fordelng av de gtte produksjonsressurstlgangene (og med en tlhørende sammensetnng av produksjonen), gtt ved skjærngspunktet merket A, der to sokvanter tangerer hverandre. (Gtt det faktorprsforholdet som gjelder, kan kke noe annet punkt være forenlg med full utnyttelse av de gtte produksjonsressursene.) Fra et slkt utgangspunkt utsettes denne økonomen for et postvt sjokk, ved at samlet tlgang av arbedskraft øker med en størrelse bredden bytteboksen, slk som antydet Fgur 8. Δ L. Dermed øker Hva skjer? Sden faktorprsene er upåvrket av dette sjokket, vl faktorntensteten være uendret. Det som skjer er at den opprnnelge stuasjonen koperes, men nå med den forskjell at orgo for sektor flyttes tl det nye høyre hjørne, merket O. Fra dette punktet kan v gjen tegne en substtumal, parallell med * OS. Ford faktorprsene er uendret, produseres det med samme faktorntenstet som før øknngen L. Lkevekt den nye stuasjonen vl derfor måtte fnne sted skjærngspunktet * mellom 0S og OS, merket B. Sden det nye punktet B lgger nærmere orgo O på strålen OS enn punktet A, vl det være ensbetydende med at det produseres et mndre kvantum av den kaptalntensve vare enn hva tlfellet var før øknngen L. Men det må gjen bety at produksjonen av den arbedsntensve vare alt alt øker. Denne sammenhengen kan llustreres, gtt Antakelse. V kan se hvordan Y forholdet Y varerer med K L som v kan s gr et mål for landets relatve kaptalrkelghet. Ford vare er kaptalntensv, forteller Rybczynsk teoremet

47 46 Y oss, gtt Antakelse, at det er en postv sammenheng mellom Y og K L, slk v har skssert den Fgur 9. Y Y K L Fgur 9 Rybczynsk sammenhengen med vare som kaptalntensv Rybczynsk teoremet forteller oss at økt tlgang på en produksjonsfaktor best møtes ved å endre produksjons eller sektorsammensetnngen. V kunne alternatvt ha tenkt oss at det økte tlbudet av arbedskraft ble tatt bruk hele økonomen, med den konsekvens at begge sektorer ble mer arbedsntensve, slk at grenseproduktvteten av arbedskraft vlle gå ned begge sektorer. Dermed vl også arbedskraftens samlede gjennomsnttsproduktvtet gå ned. Ved å følge teoremet, slk at produksjonsressurser overføres fra kaptalntensv tl arbedsntensv vrksomhet når tlgangen på arbedskraft øker, unngår en nettopp ette fallet gjennomsnttsproduktvtet. På den måten

48 47 får v større øknng nasjonalnntekten enn om v skulle la den økte tlgangen på arbedskraft bl smørt tynt utover. 3 Går v tlbake tl sammenhengen (3), ser v (3)' K L K + K L = = k k k + μ( ) l l l der v fra tdlgere har at kaptalntenstet sektor j er K L j j k j = og l j L sysselsettngsandelen sektor defnert som μ =, og den sektor som L L L μ =. Fra (3) legger v merke tl at når L øker, vl venstre sde (3), K L, gå ned. For å få høyre sde tl å gå ned med konstante faktorntensteter, må sysselsettngsandelen sektor,, gå ned, så lenge v har μ k l k >. l 3.3. Økonomens tlbudssde Produksjonssden vår økonom er fullt ut beskrevet ved modellen: (9 ) p = c ( w, q) (9 ) p = c ( w, q) (0 ) c ( wq, ) Y + c ( wq, ) Y = L w w (0 ) c ( w, q) Y + c ( w, q) Y = K q q 3 Se kap. 5 Vctor D. Norman (993), Nærngsstruktur og utenrkshandel, Unverstetsforlaget, Oslo.

49 48 Fra denne har v utledet alle sammenhengene presentert foregående avsntt. V skal vse at denne modellen kan hjelpe oss tl å fastlegge en Y tlbudsfunksjon for økonomen; dvs. en sammenheng mellom Y p prsforholdet p. V har så langt etablert sammenhenger mellom w q og p p og på den ene sden (Stolper Samuelson teoremet); jfr. Fgur 7, og på den annen sde, fra (0), Rybczynsk sammenhengen, som gr oss en sammenheng mellom relatv Y produksjon Y og relatv faktorrkelghet K L, når v antok at vare var kaptalntensv; se Fgur 9. I de to lkevektsbetngelsene faktormarkedene holder v nå faktortlgang fast. Da vl dsse betngelsen kunne g svar på følgende spørsmål: Ta utgangspunkt et vlkårlg faktorprsforhold. Hvlken produktsammensetnng vl da, tl dette faktorprsforholdet, være forenlg med lkevekt faktormarkedene? Eller sagt på en annen måte; hvlket faktorprsforhold er forenlg med en bestemt produktsammensetnng? Og hvordan må faktorprsforholdet endre seg om produktsammensetnngen endres, for eksempel favør av vare (den kaptalntensve varen)? Om Y Y skal øke (slk at Y øker), vl, for uendret faktorprsforhold, den økte etterspørselen etter realkaptal fra bransje overstge den mengde realkaptal som frgjøres fra bransje, samtdg som det motsatte vl være tlfelle for arbedskraft. (Relatvt mye arbedskraft frgjøres per enhets redusert produksjon bransje.) Uten endrng faktorprsforholdet, vl v få etterspørselsoverskudd for realkaptal. Lkevekt vl bl gjenopprettet om w

50 49 synker forhold tl q. Dermed har v: En høyere relatv produktmengde av den kaptalntensve varen er bare forenlg med et lavere faktorprsforhold w q. Lkevekt faktormarkedene nnebærer med andre ord en fallende Y sammenheng mellom Y og w q, slk som llustrert Fgur 0, så lenge vare er kaptalntensv. (Dersom vare var kaptalntensv, vl v ha en postv sammenheng mellom relatv produktsammensetnng og faktorprsforhold. Vs det!) Y Y w q Fgur 0 Sammenhengen mellom relatv produksjon og relatv faktorprs På bakgrunn av prslknngene (9) slk dsse er presentert Fgur 7, lkevektsbetngelsene faktormarkedene (0) slk de er presentert Fgur 0, med den antakelse at vare er overalt kaptalntensv, kan v nå utlede en

51 50 Y tlbudssammenheng for denne økonomen; dvs. en sammenheng mellom Y p og produktprsforholdet p. Dette skal v gjøre en fgur med fre kvadranter. Tlbudssammenhengen, som vl fremtre.kvadrant, skal v konstruere oss fram tl, ved hjelp av Fgur 7 og Fgur 0. Tegn nn sammenhengen fra Fgur 7 4. kvadrant og sammenhengen fra Fgur 0. kvadrant, når v gjen mnner om at vare er kaptalntensv, hvlket gr helnngen på dsse kurvene. 4 I 3. kvadrant tegner v nn en hjelpelnje som tlordner faktorprsforholdet tl seg selv va en 45 graderslnje. Y Y T α β w q β α p p w q Fgur Utlednng av tlbudssammenhengen 4 Legg merke tl at Rybczynsk sammenhengen fremkommer som et vertkalt skft kurven. kvadrant. Sden vare er kaptalntensv, vl en øknng K L oppover, for ethvert faktorprsforhold. skfte denne kurven vertkalt

52 5 Ta utgangspunkt et vlkårlg produktprsforhold på den vannrette aksen mellom.og 4. kvadrant; la oss s det v har merket med α på denne aksen. Fra dette prsforholdet går v nedover 4. kvadrant tl v fnner det tlhørende faktorprsforhold fra (9). Gå deretter horsontalt tl hjelpelnjen 3. kvadrant og avsett så dette faktorprsforholdet langs den vannrette aksen mellom. og 3. kvadrant. Gtt dette faktorprsforholdet, og gtt relatv faktortlgang, vl v ha lkevekt faktormarkedene tl relatv produktmengde gtt ved det tlordnede punktet på kurven. kvadrant. Går v nå horsontal retnng mot.kvadrant fra dette punktet, samtdg som v går vertkalt opp fra punktet α, fnner v nå punktet α ; se. kvadrant Fgur. Dette gr oss nå ett punkt på tlbudskurven. Gjenta prosedyren for et annet produktprsforhold; for eksempel det som er merket β, ogv kommer va samme prosedyre tl punktet β. kvadrant. V kan gjøre dette for alle tenkelge prsforhold og på den måten komme fram tl en kurve v har merket T. kvadrant. Dette er tlbudssammenhengen som p her vser en stgende sammenheng mellom prsforholdet p Y produktsammensetnngen Y. og 4. LIKEVEKT UNDER AUTARKI (LUKKET ØKONOMI) La oss nå se på lkevekten en økonom som er fullstendg lukket for økonomsk samkvem med andre land, et såkalt autark. Å betrakte lkevekt en slk lukket økonom har nteresse først og fremst som en vktg referansetlstand, altså som en tenkt stuasjon. Speselt vl sammenlgnngen av forskjellge lands hypotetske autarklkevekt være sentral for å forstå handel mellom land.

53 5 For en lten åpen økonom var prsene eksogene og bestemt på verdensmarkedet. I en autarkløsnng vl v ha at alt som produseres nnenlands også konsumeres nnenlands, eller lkhet mellom nnenlandsk tlbud av konsumgodene og nnenlandsk etterspørsel etter dsse. Lkevekten vl være kjennetegnet ved at konsumentene tlpasser seg slk at deres margnale substtusjonsbrøker mellom de to varene er lk prsforholdet mellom de to varene (som også vl være lk margnal transformasjonsbrøk på produksjonssden). Dette vl tur føre tl at prsene blr endogent bestemt. Det v mangler for å karaktersere autarkløsnngen er derfor en etterspørselssde. 4.. Etterspørselssden økonomen La konsumet av de to varene være X og X. Anta at husholdnngssektoren (oppfattet som en homogen gruppe) har preferanser gtt ved nyttefunksjonen U( X, X ). V antar at denne har de vanlge egenskapene: Strengt voksende hvert argument og med avtakende margnal substtusjonsbrøk. La R være deres dsponble nntekt, og med en budsjettbetngelse som R = px + px. Gtt preferansene, vl derfor de tre varablene p, p og R unkt bestemme tlpasnngen tl de nyttemaksmerende konsumentene, så etterspørselen kan generelt skrves: (5) X( p, p, R ) og X ( p, p, R ) Fra standard konsumentteor, vet v at en øknng av prsen p vl ha to effekter på etterspørselen: For det første vl en øknng lede tl et endret prsforhold, vare er bltt dyrere relatvt tl vare. Denne endrngen vl solert sett bdra tl en vrdnng av konsumet bort fra vare mot vare. Dernest vl prsøknngen ha en nntektseffekt, som v kke uten vdere kan s noe om retnngen av. Tlstedeværelsen av nntektseffekten vl derfor betydelg

54 53 komplsere en analyse som bygger på de generelle etterspørselsfunksjonene (5), dette også ford nntekten R vl være endogen generell lkevekt. For å forenkle vl v det meste av vår analyse derfor bare karaktersere etterspørselsden ved følgende antagelse om forholdet mellom den relatve X etterspørselen etter de to varene ( X ), og de relatve prsene: X p = D med D < 0 X p (6) ( ) Når prsen på vare stger relatvt tl prsen på vare, vl etterspørselen etter vare synke relatvt tl etterspørselen etter vare. Husk at endrnger prsforholdet er det samme som endret helnng på budsjettbetngelsen, så slk sett er vrknngen helt samsvar med det v forventer som et resultat av substtusjonseffekten. Implstt formulerngen (6) har v også antatt at nntektseffektene for de to varene oppveer hverandre når v betrakter vrknngen på relatv etterspørsel. (En mer formell rettferdggjørng for denne formulerngen basert på homotetske preferanser, er gtt Appendks A.5.) Tegner v nn etterspørselssammenhengen (6). kvadrant Fgur, vl autarklkevekten være kjennetegnet ved et produktprsforhold lk α.

55 54 Y Y T D ( ) p p w q α p p w q Fgur Etablerng av autarklkevekten Lkevekten under autark fnner v der etterspørselskurven skjærer den konstruerte tlbudskurven. Lkevekt vl da være beskrevet ved et produktprsforhold, et faktorprsforhold og en produktsammensetnng. 4.. Full karakterserng av lkevekt autark Ved å nkludere den forenklende spesfkasjonen av etterspørselssden (6) fkk v Fgur bestemt autarkløsnngen form av de relatve størrelsene Y/ Y, p / p og w/ q. Dette vl holde for all skftanalyse v skal gjøre med modellen. Men det er vel verdt å se også på en full karakterserng av lkevekten autark. V vl la denne bygge på de mer generelle etterspørselsfunksjonene (5).

56 55 Konsumentsden eer produksjonsfaktorene og begge bedrftene. 5 Husholdnngssektoren mottar dermed all faktornntekt og renproftt (som med konstant skalautbytte er lk null), slk at nomnell faktornntekt R fremkommer da som (7) R = wl + qk V kan samle sammen alle de sammenhengene som gjelder den lukkede økonomen: (9 ) p = c ( w, q) (9 ) p = c ( w, q) (0 ) c ( wq, ) Y + c ( wq, ) Y = L w w (0 ) c ( w, q) Y + c ( w, q) Y = K q q (7) R = wl + qk (8 ) Y = X ( p, p, R) (8 ) Y = X ( p, p, R) Lknngene (8 ) krever lkevekt de to ferdgvaremarkedene under autark. Dette systemet består kun av seks uavhengge lknnger tl å bestemme seks varable. Grunnen er at én av dem kan avledes av de seks øvrge (Walras lov). Dette ser v av følgende resonnement: Fra budsjettbetngelsen tl husholdnngssektoren (og som lgger nnbakt etterspørselsfunksjonene), samtdg som v utnytter det v har utledet tdlgere, fnner v at: 5 V holder offentlg sektor utenfor.

57 56 px = wl+ qk= w c w wq Y + cw wq Y + q c q wq Y + c q wq Y ( (, ) (, ) ) ( (, ) (, ) ) = ( wc + qc ) X + ( wc + qc ) X = c X + c X w q w q der sste lkhet følger av det faktum at enhetskostnadsfunksjonen c( w, q) er homogen av grad én prsene. Bruker v her (9 ), da følger (9 ). Men dette betyr gjen at v frtt kan velge målestokk, f.eks at prser og nntekt måles enheter av vare, slk at v kan sette dermed følgende realstørrelser bestemt: p = wqp,,, RY,, Y, og autarklkevekten blr. Alle dsse endogene varable er funksjoner av de eksogene størrelsene ( L, K ) og bakenforlggende teknologer. V har en determnert modell for vår autarklkevekt. 5. KOMPARATIVT FORTRINN OG FAKTORRIKELIGHET V skal nå tl slutt knytte en vktg forbndelse mellom relatv faktorrkelghet et land og komparatvt fortrnn. Hvs et land har lavere relatv autarkprs på p vare (dvs. lavere p ) enn andre land, da har dette landet et komparatvt fortrnn produksjonen av vare. Grunnen er at relatv autarkprs gjenspeler realøkonomsk bytteforhold på margnen, margnal transformasjonsbrøk mellom de to varene eller samfunnsøkonomsk grensekostnad for en vare. Sden det landet som har lavest margnalkostnad for en vare produserer denne varen relatvt mer effektvt enn hva andre land gjør, ser v at et land har komparatvt fortrnn produksjonen av en vare (vare ) dersom det antall enheter av andre varer (vare ) landet må g opp per enhets øknng produksjonen av vare er lavere enn andre land. Det kan være gret å vte hvorfor slke forskjeller kan oppstå. La oss nå tråd med HOS teoren betrakte to land som er lke alle henseender bortsett fra at det ene landet har relatvt mer arbedskraft; dvs. L K er størst her. Teknologer og preferanser er for øvrg

58 57 lke. Hvordan vl forskjeller relatv faktortlgang påvrke relatv autarkprs? I utgangspunktet handler kke landene med hverandre. Pga. av relatve ressursforskjeller, vl autarkprsene bl forskjellge, og mulgheten for gjensdg fordelaktg varebytte oppstår. Husk at ved å varere relatv faktortlgang, vl kurven 3. kvadrant utsettes for vertkale skft, med konsekvens for belggenheten av tlbudskurven. kvadrant. (Stuasjonen etter at varebytte er kommet stand, er allerede beskrevet første del av notatet.) V tenker oss at kun ferdgvarer kan bevege seg mellom land, uten transportkostnader, samtdg som produksjonsfaktorer er mmoble mellom land, men moble mellom sektorene nnen et land. Anta at vare fremdeles er kaptalntensv og anta at landene v ser på utgangspunktet er helt lke, også relatv faktorrkelghet. (Da er autarkprsforholdet det samme de to landene, og det er selvsagt kke noen gevnster som kan høstes ved varebytte eller arbedsdelng.) Så skjer det en solert øknng arbedsstyrken ett av landene. Hva skjer med autarkprsforholdet dette landet? For å svare på dette spørsmålet, kan v utnytte Rybczynsk sammenhengen for å se hva som skjer med autarklkevekten og hva som forårsaker endrnger de kurvene som lgger bak denne lkevekten Fgur. V vl vente at kun tlbudskurven blr påvrket av endrngen vårt lands arbedsstyrke. Men hvordan? Sden det fnner sted en øknng arbedsstyrken, vl produksjonen av vare øke og produksjonen av vare gå ned for uendret faktorprsforhold. Dermed Y for ethvert produktprsforhold, vl en øknng L føre tl at Y går ned; dvs. tlbudskurven får et vertkalt skft nedover. kvadrant. Når L øker, vl lkevektsbetngelsene to faktormarkedene, beskrevet ved kurven.

59 58 kvadrant, bl påvrket. 6 Med et større arbedstlbud, vl en gtt Y produktsammensetnng Y, nå bare kunne opprettholde en lkevekt faktormarkedene tl en lavere w q. Kurven. kvadrant vl også skfte nedover. Y Y T D ( ) p p w q α β p p w q Fgur 3 Vrknng på autarklkevekten av endret relatv ressurstlgang Det vktgste for oss denne omgang er å slå fast at en tlvekst arbedstlbudet fører tl høyere relatv prs under autark på den kaptalntensve varen eller lavere relatv prs på den arbedsntensve varen det landet v betrakter. For å få avsatt denne nye produktsammensetnngen ferdgvaremarkedene under autark, må prsene justeres. For uendret 6 I en lukket økonom vl alle de varable som blr bestemt avhenge av de eksogent gtte faktortlgangene.

60 59 produktprsforhold svarende tl α Fgur 3, vl v ha et tlbudsoverskudd av vare og et etterspørselsoverskudd av vare, sden konsumsammensetnngen er uendret med konstant prsforholdet. For å få etablert en ny lkevekt der kun prsforholdet betyr noe for relatv etterspørsel, må p p øke, tl β slk som antydet Fgur 3. Men dette må bety følgende: Fra det utgangspunktet v startet ut med, nemlg at landene var helt lke, vl en økt tlvekst arbedstlbudet ett av landene føre tl høyere relatv autarkprs på vare. Dermed vl utlandet det landet som kke opplevde noen endrng ressurstlgang ha komparatvt fortrnn produksjonen av den kaptalntensve varen, mens vårt land vl ha komparatvt fortrnn den arbedsntensve varen; dvs. den vare som bruker ntensvt den produksjonsfaktor vårt land er relatvt rkelg utstyrt med. Generelt har v, med de forutsetnnger vår modellsksse bygger på, følgende resultat: Konklusjon 5: HOS teoremet Et land har komparatvt fortrnn produksjonen av den vare som bruker landets relatvt rkelge produksjonsfaktor ntensvt produksjonen. Går v tlbake tl Fgur 3, ser v at ford den økte tlgangen på arbedskraft vårt land førte tl at autarkprsen økte tl β > α, vl det andre landet nå kunne produsere vare relatvt mer effektvt enn vårt land som på sn sde kan produsere vare relatvt mer effektvt enn det andre landet. Landene kan nå vnne på å bytte tl en relatv prs på vare som lgger mellom α og β. Ved en slk nternasjonal arbedsdelng, vl begge land kunne vnne, selv om enkeltgrupper hvert land vl kunne tape; jfr. Stolper Samuleson.teoremet.

61 60 Anta tl slutt at vårt land er et lte land, som under autark produserer vare (den arbedsntensve varen) relatvt mer effektvt enn hva utlandet gjør. Hvs relatv prs på vare på verdensmarkedet er som utlandet, og gtt som α, mens autarkprsforholdet vårt land er høyere, da vl v ha en stuasjon som vst Fgur 4. Y Y T D ( ) p p w q α p p w q Fgur 4 Handelsmønsteret for en lten åpen økonom Tl verdensmarkedets prsforhold, har v at α X Y > (relatvt konsum av X Y vare større enn relatv produksjon). Dette er ensbetydende med at vårt land vl mportere vare og eksportere vare. Gtt at vårt land er en lten åpen økonom, vl de øvrge vrknngene følge drekte fra det v har vst tdlgere;

62 6 bl.a. hvordan faktorprsene nnenlands vl bl påvrket av at landet vårt kan handle tl gtte prser svarende tl prsforholdet α. 6. OPPTAKT TIL EN DYNAMISK ANALYSE Det modelloppsettet v har presentert foregående avsntt kan, ganske uproblematsk, brnges over en dynamsk versjon, der tden selv nngår på en essensell måte. Anta at v har en lukket økonom og at det på hvert tdspunkt er lkevekt markedene for de to ferdgvarene og de to produksjonsfaktorene. Anta tllegg at det er en underlggende produktvtetsvekst begge produksjonssektorer dsemboded techncal progress en produktvtetsvekst som kommer uavhengg av nvesternger nytt kaptalutstyr og som kommer som manna fra hmmelen, kort og godt som en følge av at v lærer og kan produsere enhver mengde av alle varer med mndre faktornnsats. V blr med andre ord rkere over td; vår realnntekt vokser. Hvs det tllegg også skjer en vekst (som v kke forklarer) produksjonsressursene arbedskraft og realkaptal, vl v på ethvert tdspunkt t kunne uttrykke alle varable økonomen som funksjon av tden t selv. Dermed kan v studere tdsutvklngen, for eksempel sysselsettngen en sektor, og forsøke å fnne ut hvlke faktorer som kan forklare hvorfor tjenesteytende nærnger (tertærnærnger) har tatt en voksende andel av sysselsettngen et land som Norge. Hvlke forhold på produksjonssden har betydd noe? Hva betyr etterspørselen, for eksempel gjennom det faktum (som er utelukket modellen foregående avsntt) at nntektsvekst vl ha ulk vrknng på etterspørselssammensetnngen gjennom forskjeller varenes nntektselaststeter. Slke spørsmål er tema notatet tl Rødseth om Nærngsstruktur og Vekst.

63 6 APPENDIKS A. A.. Homogene funksjoner. Eulers setnng. Homogene funksjoner: En funksjon F( X, Y) ses å være homogen av grad n dersom n ( A ) F( tx, ty) = t F( X, Y) for alle t > 0. Av nteresse for oss er først og fremst funksjoner som er homogene av grad, dvs: ( A ) FtXtY (, ) = t FXY (, ) og funksjoner som er homogene av grad 0, dvs: ( A 3) FtXtY (, ) = FXY (, ). Eulers setnng om homogene funksjoner: Homogentetsegenskapene tl F( X, Y) har konsekvenser også for de derverte av funksjonen. Speselt følger det at dersom F( X, Y) er homogen av grad er de derverte homogene av grad 0. For å se dette derverer v begge sder av (A ) mhp. X (Du kan selv utlede et tlsvarende resultat om du derverer mhp. Y.) V får da FtXtY (, ) ( ) (, ) (, ) tx = FtXtY t = t FXY ( tx ) X ( tx ) X der første lkhet følger drekte ved å bruke kjerneregelen, mens andre lkhet følger ved å sette den derverte av venstre sden av (A ) lk den derverte av høyresden (A 9). Dermed har v vst at FtXtY (, ) FXY (, ) ( A 4) = ( tx ) X det vl s at den derverte av F( X, Y) er en funksjon som er homogen av grad 0.

64 63 Et annet nteressant resultat følger dersom v derverer (A 9) mhp t. Ved bruk av kjerneregelen blr den derverte av venstresden: FtXtY (, ) dtx ( ) FtXtY (, ) dty ( ) FtXtY (, ) FtXtY (, ) + = X + Y ( tx ) dt ( ty ) dt ( tx ) ( ty ) Dersom v så bruker (A 4) og setter det hele lkt med den derverte av høyresden (som blr F( X, Y) ), får v F( X, Y) F( X, Y) ( A 5) X + Y = F( X, Y) X Y Dette ser oss at for funksjoner som er homogene av grad, er summen av de partellderverte vektet med verden av det tlhørende argumentet lk verden på funksjonen. (Oppgave: Hva nnebærer (A 5) for renproftten en frkonkurranselkevekt ved konstant skalautbytte?) A.. Teknsk komplementartet. V ser at de to nnsatsfaktorene og L er teknsk komplementære dersom > ( A 6) F ( L, K ) L K 0 K At den kryssderverte er postv nnebærer at grenseproduktvteten av en faktor får et postvt skft om nnsatsen av den andre faktoren øker. V skal nå vse at teknsk komplementartet følger av at konstant skalutbytte og avtagende margnalavkastnng. F ( L, K ) har Funksjonen F ( L, K ) er altså homogen av grad, så fra resultatet (A 4) følger det at F ( tl, tk) F ( K, L) ( A 7) = ( tl ) L Den derverte av venstre sden av (A 7) mhp. t er: F ( tl, tk ) ( tl) F ( tl, tk ) ( tk ) + ( tl) t ( tl) ( tk) t

65 64 Høyresden (A 7) er uavhengg av t, så den derverte mhp. t må her være lk null. Derfor må v ha F ( L, K ) F ( L, K ) ( A 8) + = 0 L K L L K Her har v på venstresden benyttet oss av at de derverte er homogen av grad 0. Det følger da at om arbedskraftens grenseproduktvtet er strengt avtakende faktoren selv; dvs. at F L < 0, da må F L K > 0 for at lkheten kan være oppfylt. Dermed må nnsatsfaktorene være teknsk komplementære. Merk at dette resultatet bare gjelder tofaktor tlfellet, med flere nnsatsfaktorer blr sammenhengene mer komplserte. A.3. Konkavteten tl kostnadsfunksjonen. At C ( w, q, Y) er konkav w og q betyr at ( A 9) C ( λw' + ( λ) w'', λq' + ( λ) q'', Y) λc ( w', q', Y) + ( λ) C ( w'', q'', Y) for alle 0< λ <. Hvorfor? Sden kostnadsfunksjonen er defnert ved at kostnadene er mnmert må v ha ( A 0) C ( w', q', Y) w' L q' + K og C( w '', q'', Y) w'' L+ q'' K for vlkårlg valgt og K. L Defner prsene w''' = λw' + ( λ) w'' og q''' = λq' + ( λ) q''. Merk at prsparet ( w''', q ''') er et ved gjennomsntt av prsparene ( w', q ') og ( w'', q'') (Med λ = 0.5 er det et vanlg gjennomsntt). La ''' L og ''' K betegne de verdene på og K som er kostnadsmnmerende for prsene ( w''', q'''). Da er C ( w''', q''', Y) = w''' L + q''' K = ( λw' + ( λ) w'') L + ( λq' + ( λ) q'') K ''' ''' ''' ''' = λ( wl ' + qk ' ) + ( λ)( w'' L+ q'' K) ''' ''' ''' ''' L Dette uttrykker at kostnadene ved å produsere Y når v står overfor gjennomsnttsprsene ( w''', q''') er de same som gjennomsnttet av de kostnadene v vlle hatt om v, med samme faktorbruk ''' L og ''' K, produserte

66 65 Y når v sto overfor henholdsvs prsene ( w', q ') og ( w'', q'') (dette følger ene og alene fra at kostnadene er lneære prsene). V kan altså gjennomsntt gjøre det lke bra når v står overfor henholdsvs ( w', q ') og ( w'', q'') bare ved å gjøre det samme som før. Men generelt vl v kunne gjøre det bedre begge dsse stuasjonene, for ''' L og ''' K er kke lenger nødvendgvs optmale. V kan altså utnytte eventuelle substtusjonsmulgheter tl å tlpasse oss mer fornuftg tl henholdsvs ( w', q ') og ( w'', q''). For å se dette formelt, kan v bruke (A 8) som leder tl λ( wl ' + qk ' ) + ( λ)( w'' L+ q'' K) λc( w', q', Y) + ( λ) C( w'', q'', Y ) ''' ''' ''' ''' Dermed har v bevst (A 9), og at kostnadsfunksjonen er konkav w og q. V kan aldr ha streng konkavtet, altså at ulkheten (A 9) gjelder strengt for alle prspar. For å se dette er det nok å betrakte stuasjonen hvor prsene er proporsjonale, dvs ( w'', q '') = ( kw', kq '). Men v kan ha at kostnadsfunksjonen er strengt konkav en og en prs. Generelt vl dette være tlfellet dersom v har en ndre løsnng og noen grad av substtusjonsmulgheter. A.4. Kostnadsfunksjonen ved konstant skalautbytte V skal her vse at kostnadsfunksjonen er lneær produksjonen ved konstant skalautbytte. La k( w, q): = K( w, q,) og l( w, q): = L( w, q,) være den optmale bruken av nnsatsfaktorene for å produsere Y = bllgst mulg. Det følger da at c( w, q) = w l( w, q) + q k( w, q). Sden bruk av l og k må g oss en enhet av Y, må v ha Fl (, k ) =. Med da må konstant skalautbytte g F ( Y l, Y k ) = Y F ( l, k ) = Y = Y for en vlkårlg valgt. V kan altså produsere ved å bruke Y Y nnsatsfaktorene K = ky og 0 L = ly. Det bør være gret å se at dette vl 0

67 66 koste wly + qky = ( wl + qk ) Y = c( wq, ) Y V kan kke gjøre det dårlgere enn dette, så ( A ) C ( w, q, Y ) c ( w, q) Y. 0 0 Men kan v gjøre det bedre (det vl s produsere bllgere, slk at ulkheten er streng)? Svaret er ne, og kan vses som følger. La 0 K og 0 L være den optmale bruken av nnsatsfaktorene for å produsere 0 Y bllgst mulg. Dersom v nå nedskalerer bruken av begge nnsatsfaktorene med en felles faktor t = følger det fra (A 6) at Y 0 F ( L, K ) = F ( L, K ) = Y = Y Y Y Y dvs at produksjonen er. Kostnadene ved å produsere på denne måten er w L + q K = ( w L + q K ) = C ( w, q, Y ) Y Y Y Y Dersom v hadde streng ulkhet (A 7) vlle v da ha at kostnadene ved å produsere Y = ved bruk av L L = og 0 0 Y K K = vlle da være mndre enn 0 0 Y c ( w, q), noe som kke kan forekomme sden kostnadene ved å produsere enhet aldr kan være mndre enn c ( w, q). Følgelg må v ha lkhet (A ). 0 0 Merk at dette resonnementet også gr oss at 0 den optmale faktorbruken er lneær Y. L = l Y og K = k Y, så også 0 0 A.5. Homotetske preferanser Homotetske preferanser nnebærer at dersom to godekombnasjoner X = ( X, X ) og X = ( X, X ) er nyttemessg lkeverdge (eller ndfferente, uttrykt som X : X ), med U( X, X ) = U( X, X ), da vl v også for alle postve tall α, ha at ndfferensen bevares; dvs. at αx : αx. Egenskapen om homotetske preferanser mplserer at de ordnære

68 67 etterspørselsfunksjonene, med R = px + px som vser anvendelse av dsponbel nntekt R, med p som nomnell prs per enhet av vare, kan skrves som: p p A X = X p p R = R x ;=, X Rx ( p ) p p p : D ( ) X = Rx ( ) = p ( ) (,, ) ( ) p V har at etterspurt mengde av hver vare er proporsjonal med dsponbel nntekt. Hver vares nntektselaststet er derfor én. Dette har gjen den mplkasjonen at dersom R øker, vl relatv øknng etterspurt mengde for hver av de to varene være lk relatv øknng nntekten. (Hver vares X budsjettandel er upåvrket av nntektsøknngen.) Relatv etterspørsel X er p dermed uavhengg av R, og kun (negatvt) avhengg av prsforholdet p. (Jo X dyrere vare er relatvt tl vare, jo lavere er relatv etterspørsel X p har negatv dervert av D funksjonen; D ( ) < 0.) p ; dvs. v