Eksamen ECON 2200, Sensorveiledning Våren Deriver følgende funksjoner. Deriver med hensyn på begge argumenter i e) og f).

Transkript

1 Eksamen ECON 00, Sensorvelednng Våren 0 Oppgave (8 poeng ) Derver følgende funksjoner. Derver med hensyn på begge argumenter e) og f). (Ett poeng per dervasjon, dvs, poeng e og f) a) f( x) = 3x x + ln x Svar f( x) = 6x+ x + x b) f( x) x x + 3 = Svar: x( x + 3) ( x ( ) x ) + 6x+ x 3+ 6x x f( x) = = = x + 3 x + 3 x + 3 ( ) ( ) ( ) c) f( x) g( x) = e Svar: f x = e g x g( x) ( ) '( ) d) f x ( ) = xgx ( ) Svar f x xg x x g x ( ) = ( ) + '( ) e) f) Fxy (, ) ( ) y = x Svar: f(,) st = ( s t) ( s+ t) F' x( xy, ) = ( x ) og F' y( xy, ) = ( x ) y y y Svar: f' ( st, ) = ( s t) + ( s+ t) og f( st, ) = ( s t) + ( s+ t) s 3 3 Oppgave (5 poeng) Sant eller galt? For hver av dsse påstandene, avgjør om de er sanne eller gale a) 5 8 (3 + ) = = = 4 Sant b) 3 ln(3 ) = ln( ) + ln xy x y Usant ln(3 xy ) = ln(3 x ) + ln y = ln 3 + ln x + ln y c) x + 6 = x + 3 Sant d) e ln x = x Usant e = x ln x e) ln x ln = ln x Sant

2 Oppgave 3 (7 poeng). Betrakt funksjonen f( x) = e x. a) Fnn stasjonærpunktet tl funksjonen Derverer og fnner nullpunkt f '( x) = xe x = 0 gr x = 0 b) Tlfredsstller funksjonen andreordensbetngelsen for et globalt maksmum eller mnmum? Den andrederverte er x x x f''( x) = e + 4 xe = (4x ) e. Her er f ''(0) = < 0 og løsnngen er faktsk et maksmum, men det spørres etter andreordensbetngelse for globalt maksmum, som er at f ''( x) 0 for alle x. Men v ser at så snart (4x ) > 0 blr den andrederverte posttv. F.eks: f ''() (4 ) e 0 = > Betngelsen er derfor kke oppfylt. Oppgave 4 (5 poeng). En monopolst selger to markeder. Han selger et kvantum q marked og et kvantum q marked. Etterspørselen er D( p) = A p marked og D( p) = B p marked, der p, p er prsene hhv marked og marked. Produsentens kostnader er C( q + q ) = ( q + q ) a) Sett opp et uttrykk for produsentens proftt. Sett opp førsteordenbetngelsene for produsentens profttmaksmerng, og fnn optmalt kvantum og prs begge markedene. (Anta at A og B er slk at v har ndre løsnng.) Svar: Kanddaten må her først nvertere etterspørselen tl p = A q og p = B q, som gr proftten π = ( A q) q+ ( B q) q ( q+ q) Førsteordensbetngelsen blr da

3 3 ( A q ) = ( q + q ) og ( B q ) = ( q + q ) det gr A q = B q eller q = ( A B) + q Innsatt FOB for q: ( B q ) = (( A B) + q + q ) 3B A Samler ledd med q: 8q = 3B A eller q = 8 4( A B) 3B A A B Satt nn uttrykket for q: q = ( A B) + q = + = b) Sett opp de tlstrekkelge betngelsene for et maksmum og sjekk om de er tlfredsstlt. π ' = A q ( q + q ) π ' = B q ( q + q ) π '' = = 3 så betngelsen π '' < 0 er oppfylt. π '' = = 4 så betngelsen π '' < 0 er oppfylt. π '' = ( ) Altså er π '' π '' π '' = ( 3)( 4) ( ) = 4 = 8 > 0 ( ) Dermed er også den sste betngelsen π '' π '' π '' > 0 oppfylt Oppgave 5 (5 poeng). Sant eller usant? Begrunn svaret a) Når prsen på en vare synker, vl samlet utlegg tl varen øke hvs etterspørselen er uelastsk. Svar: Samlet utlegg tl en vare, uttrykt som pc, varere med prsen etter El pc e, der e 0, som det normale; er den drekte Cournot-elaststet. V har p at dersom 0e (uelastsk etterspørsel), vl endrngen prs og endrng utlegg gå samme retnng. Når prsen synker, vl samlet utlegg gå ned for en vare som er uelastsk etterspørselen. Med andre ord: Påstanden er usann. b) Den drekte substtusjonseffekten av en prsøknng vl kunne være postv hvs varen er mndreverdg etterspørselen. Svar: Den drekte substtusjonseffekten er alltd negatv når ndfferenskurvene er krummet mot orgo, eller om nyttefunksjonen er strengt kvaskonkav (kan kke vente at de svarer dette), eller at MSB er strengt avtakende. Påstanden er usann. c) En vares budsjettandel vl alltd øke når nntekten øker. Svar: En vares budsjettandel pc :, oppvser følgende sammenheng med nntekten: El E, der E er m m varens nntekts- eller Engelelaststet. Budsjettandelen vl øke med nntekten bare

4 4 E ; dvs. varen er et «luksusgode». Sden budsjettandelen synker med nntekten om E, er påstanden usann. d) En vares budsjettandel vl øke når prsen på varen øker, bare hvs etterspørselen er uelastsk. Svar: V har nå at El e som er postv om e ; uelastsk etterspørsel. Påstanden er sann. p e) I to-godetlfellet vl v kunne ha at en øknng prsen på en vare vl lede tl økt etterspørsel etter begge varer. Svar: Dette er den mest krevende denne oppgaven. Fra budsjettbetngelsen (,, ) c pc p p m m, følger: c p 0 j for p j,. Under forutsetnng av ndre løsnng på nyttemaksmerngsproblemet, fnner c v dermed p c 0, hvlket nnebærer at mnst en av de derverte j p j summen på venstre sde må være negatv. Påstanden er dermed usann. j Oppgave 6 (0 poeng). En konsument/arbedstaker har preferanser over konsum angtt med symbolet c, og frtd (angtt med symboletf ), gtt ved nyttefunksjonen UcF (, ) c F, der er en postv konstant. Denne nyttefunksjonen ønskes maksmert, hensyn tatt tl et tdsbudsjett ( T F N) og et økonomsk budsjett c wn S. T er tlgjengelg td den peroden v betrakter, N er arbedstd, og hver tdsenhet betales med en lønn på w kroner. S er en stønad, målt kroner. Så vel stønad som lønn tas som gtt av konsumenten. (Prsen på konsum er satt lk én.). Formuler konsumentens nyttemaksmerng ved hjelp av Lagranges metode, når du setter nn fra tdsbudsjettet det økonomske budsjettet. Anta ndre løsnng. Svar: L c F c wf R der R : wt S. (Her skal det være rett frem: Fra c wn S w( T F) S c wf wt S : R.. Utled den nyttemaksmerende kombnasjonen av goder og frtd. Svar: Den ndre nyttemaksmerende tlpasnngen er kjennetegnet ved at v leter opp stasjonærpunktene tl Lagrangfunksjonen: En optmal (ndre) løsnng må oppfylle: L 0 og L F w 0. Fra den første fnner v at c F, som nn den andre gr: w F F F w w, med

5 5 N T F T w og c wn S wt S. V har at 4w etterspørselsfunksjonen for frtd er Fw ( ) w, mens tlbudsfunksjonen for arbed er Nw ( ) T w. 3. Hva er betngelsen for at konsumenten ønsker å arbede? Ang med andre ord en betngelse for at problemet kke skal ha hjørneløsnng. Svar: Det spørres med andre ord om når Nw ( ) 0 T 0 w eller 4w T kke holder, vl F T, og v har hjørneløsnng.. Hvs denne betngeslen 4. Anta ndre løsnng. Hvordan påvrkes arbedstlbudet av Økt lønn. Svar: Økt lønn fører tl økt tlbud av arbed, sden v har 0 4 N( w) w 4w 8w w N Høyere stønad. Svar: Nw ( ) avhenger kke av S; slk at 0 S 5. Hvordan påvrkes konsumet c av de samme endrngene som punkt d? Kommenter dne funn lys av generell økonomsk teor. Svar: Fra punkt har v at c c( w, S) wt S. Fra denne fnner v: og 4w S c 04 T T 0. At frtdsetterspørselen kun avhenger av (real)- w 6w 4w lønn, og uavhengg av nntekt, er en følge av den speselle nyttefunksjonen som er valgt. Det normale er at hver vare avhenger av realnntekt og reallønn. Også fortegnene på de partelel derverte av c-funksjonen følger av den speselle nyttefunksjonen. Oppgave 7 (30 poeng). En bedrft produserer en vare mengde x ved bruk av energ (angtt ved E ) som eneste varable produksjonsfaktor på kort skt, sammen med en gtt mengde realkaptal. På kort skt gjelder produktfunksjonen x fe ( ; k), der k er den gtte mengden realkaptal. Anta at

6 6 denne funksjonen er tlstrekkelg derverbar med bruk at f k 0. f 0, f 0 og anta for senere a) Forklar hva dsse antakelsene om produktfunksjonen betyr. Svar: Grenseproduktvteten for energ er postv og avtakende, samtdg som grenseproduktvten skfter oppover (postvt skft) av mer realkaptal; faktorene er teknsk komplementære. Anta at denne bedrften ønsker å maksmere overskuddet når den står overfor gtte prser som prsfast kvantumstlpasser, med P som produktprs og q som prs på energ. b) Hva kjennetegner en profttmaksmerende tlpasnng? Forklar hvorfor v kan skrve bedrftens kortsktge etterspørselsfunksjon for energ som E (, qpk, )? Svar: Proftten tl bedrften kan skrves som: ( E ; k) Pf( E, k) qe. Under forutsetnng av ndre løsnng, vl den profttmaksmerende bruk av energ være f bestemt av P q 0. Hvs det nå fnnes en slk energbruk, må dette f være et maksmum all den td v har P 0. Gtt at dsse betngelsene er oppfylt, vl førsteordensbetngelsen; verd av grenseproduktvtet lk faktorprs, g som løsnng E (, qpk ; ). Dette er bedrftens etterspørselsfunksjon for energ, skrevet som en funksjon av de for bedrftens eksogene varable. c) Hvordan varerer bedrftens kortsktge etterspørsel etter energ med hhv. qp, og k? Svar: Fra førsteordensbetngelsen får v rett frem: Vrknng på bedrftens etterspørsel (lk bruk) av energ når eneegprsen selv øker, fnner v fra: f P 0 0. Høyere faktorprs leder tl mndre bruk q q f P E av energ. f f Høyere produktprs: P 0 0. Høyere P P f ) P( produktprs leder tl økt bruk av energ. f

7 7 Tlslutt: Hvordan påvrkes energbruken av at bedrften er utstyrt med mer kaptal? f V fnner nå: P P k k k leder tl økt bruk av energ med våre antakelser. f k f 0 0. Mer realkpatal f ( ) En typsk konsument har preferanser over to goder; vanlg konsum ( c ) og energ ( E ). Konsumenten maksmerer denne nyttefunksjonen med budsjettbetngelsen pc qe m, der p er prs per enhet av c, m er nntekt, og q er prs på energ. Prser og nntekt er eksogene størrelser, og konsumenten opptrer som prsfast kvantumstlpasser alle markeder. d) Forklar hvorfor konsumentens etterspørsel etter energ kan skrves som E(, qpm, ). Svar: Med nyttefunksjon UcE (, ), som antas å ha standard egenskaper, og med en Uc p slk nyttefunksjon, vl vanlg nyttemaksmerng kreve at MSB og at U q budsjettbetngeslen er oppfylt. Dette gr oss alt to betngelser tl å uttrykke de endogene varable (, ce ) som funksjoner av de for konsumenten eksogene varable; (, qpm, ). Denne løsnngen uttrykkes generelt ved etterspørselsfunksjonene E (, qpm, ) og cq (, pm, ). e) Anta at energ er et fullverdg (normalt) gode. Hva er da vrknngen på etterspørselen etter energ hos konsumenten når q øker, og når m øker? Svar: Når q øker, samtdg som energ er fullverdg etterspørselen, vet v at etterspørselseffekten kan uttrykkes ved Cournotelaststeten; e S, der S er den drekte Slutskyelaststeten (negatv), som angr den drekte substtusjonseffekten (og som er negatv Eq Eq E E Eq med strengt avtakende MSB), mens det andre leddet, som med forutsetnngen om fullverdghet, og dermed postv nntektselasttet, vl g en nntektseffekt som E også går negatv retnng. Dermed vet v at etterspørselen etter energ helt skkert vl gå ned når q øker. Vrknngen av en høyere nntekt, kan angs ved nntekts- eller Engelelaststeten. Sden denne per forutsaetnng er postv, vl etterspørselen etter energ gå opp når nntekten øker. E E La det nå være N slke bedrfter som beskrevet første del av oppgaven, og M slke konsumenter som beskrevet over, denne økonomen. f) Forklar hvorfor samlet etterspørsel etter energ nå kan skrves som N(, qpk, ) M E(, qpm, ). Svar: Samlet etterspørsel etter energ fra de N lke bedrftene, følger ved horsontal summerng. For gtte verder på ( Pk, ), kan v ved

8 8 horsontal summerng, fnne den totale etterspørselen etter energ fra bedrftene for en hvlken som helst prs på energ. Denne er gtt ved det første leddet N E(, qpk, ) som, med våre antakelser, er fallende q. Tlsvarende er det andre leddet den samlede etterspørsel etter energ fra konsumentene. For fastholdte verder på ( pm, ), vl v ved å varere q få husholdnngsetterspørelskurven for energ, gtt som M E(, qpm, ) som v også har vst må være fallende q. Sammenhengen mellom samlet etterspørsel og prsen på energ er en bevegelse langs kurven, mens endrnger de øvrge varable gr et skft. g) Anta at samlet tlbud av energ er gtt og lk Y. G en begrunnelse for at den prsen som skrer lkevekt energmarkedet kan uttrykkes som qy (, pp,, k, m, N, M ). Svar: Lkevekt krever at v har N(, qpk, ) M(, qpm, ) Y. (Få vl ta opp mulgheten av tlbudsoverskudd, som det kan være naturlg å utelukke.) Med lkhet, * * * vl det fnnes en prs, q, slk at N( q, Pk, ) M( q, pm, ) Y. Denne stuasjonen kan enkelt llustreres med en fallende etterspørselssammenheng og et gtt tlbud. Sden den prsen som skrer lkevekt også avhenger av de varablene som påvrker belggenheten av etterspørselskurven, vl lkevektsprsen, som er endogen dette problemet, bl en funksjon av de øvrge eksogene varable. Det forklarer * sammenhengen q qy (, pp,, k, m, N, M). h) Hvordan påvrkes lkevekten av at tlbudet av energ øker? Hva blr vrknngen om antall konsumenter øker? Svar: Når tlbudet øker, gjetter v at lkevektsprsen går ned. Dette ser v ved å dervere mplstt med hensyn på Y, gjennom lkevektsbetngelsen, når v samtdg bruker den sammenhengen v generelt har for lkevektsprsen. V fnner da: q q q N M 0, der v har benyttet hva q Y q Y Y N M q q v vet fra tdlgere. Økt tlbud vl føre tl lavere prs. For å få brukerene tl å kjøpe mer, må prsen ned. Når antall konsumenter M øker, og M oppfattes som en kontnuerlg varabel, vl det fnne sted et skfte etterspørselsfunksjonen. Dette * gjetter v på leder tl en høyere q. Fra lkevektssammenhengen har v da: ( q, pm, ) N ( q, pm, ) M 0 0. Flere q M q M M N M * q * q q q q kjøpere konkurrerer om en gtt mengde; dermed må prsen opp lkevekt. (Her skal kanddatene testes om de har forstått hva en lkevektssammenheng nnebærer, og mplstt dervasjon.)

9 9 ) Det nnføres nå en stykkavgft på energ. Hva blr vrknngen av en slk avgft på den prsen konsumentene betaler? Svar: Sden det kke skjer noe med etterspørselens belggenhet, vl den prsen kjøperne betaler kke, påvrkes av avgften. Hele avgften betales av tlbyderene. (Kan lett vses en fgur.) Med andre ord: Konsumentprsen er upåvrket sden tlbudet er gtt. j) Anta tlslutt at tlbudet av energ selv varerer postvt med prsen q, dvs. at v har at markedstlbudsfunksjonen for energ kan skrves som Yq (). Samtdg avvkles avgften. Hva blr vrknngen på lkevektsprsen nå om antall konsumenter øker? Svar: Lkevektssammenhengen vl nå kunne uttrykkes som N(, qpk, ) M(, qpm, ) Yq (), med en prs som skrer at tlbud er lk 0 etterspørsel skrevet som q qppk (,,, mnm,, ). Med stgende tlbudskurve kan stuasjonen enkelt llustreres. Når antall konsumenter nå øker, vl v kunne fnne 0 q 0 vrknngen på q fra: (,, ) q () q N q p m M Y q, fra q M q M M 0 q ( q, pm, ) hvlken v fnner 0, sden både teller og nevner M M M Y() q q q er negatv. V ser at prsvrknngen avhenger av brattheten på etterspørselssammenhengen og tlbudssammenhengen. Dette vl kanskje bl påpekt av noen av de flnkeste.