EKSAMEN Løsningsforslag

Transkript

1 . desember 6 EKSAMEN Løsnngsorslag Emnekode: ITD Emnenavn: Matematkk ørste deleksamen Dato:. desember 6 Hjelpemdler: - To A-ark med valgrtt nnold på begge sder. - Formelete. - Kalkulator som deles ut samtdg med oppgaven. Eksamenstd: 9.. Faglærer: Crstan F Hede Om eksamensoppgaven og poengberegnng: Oppgavesettet består av sder nklusv denne orsden og et vedlegg på én sde. Kontroller at oppgavesettet er komplett ør du begynner å besvare spørsmålene. Oppgavesettet består av oppgaver. Ved sensur vl alle oppgaver telle lke mye. Der det er mulg skal du: vse utregnnger og vordan du kommer ram tl svarene begrunne dne svar Sensurrst:. januar 7 Karakterene er tlgjengelge or studenter på Studentweb senest vrkedager etter oppgtt sensurrst.

2 Oppgave Løs ølgende trgonometrske lgnng or, : cos sn cos Denne løser v lettest ved å benytte at cos sn. Benytter v dette år v cos som etter ordnng gr og altså cos cos cos Oppgave Gtt to vektorer det eukldske rommet R : v = j + k w = j + k Fnn vnkelen mellom dsse vektorene. Oppg vnkelen grader. Her kan v bruke skalarproduktet prkkproduktet tl å nne dette: v w = + + = = Lengdene av vektorene er v 9 w Vdere ar v densjonen av skalarprodukt: ITD Matematkk, ørste deleksamen, desember 6 løsnngsorslag Sde av

3 v w = v w cos vor er vnkelen mellom vektorene. Løser v denne med ensyn på cos, år v cos = v w / v w Dette gr cos.6 og ølgelg cos Oppgave Gtt lgnngen Benytt skjærngssetnngen tl å vse at lgnngen ar mnst én løsnng ntervallet [, ]. V kan kalle venstresden lgnngen or, altså V kan da skrve lgnngen som V kan nå regne ut unksjonsverdene endepunktene av ntervallet: V ser at og ar ulke ortegn. Sden er en kontnuerlg unksjon ser skjærngssetnngen at da må det nnes en -verd ntervallet [, ] vor =, altså en løsnng av lgnngen. Lgnngen ar nøyaktg én løsnng ntervallet [, ]. Benytt Newtons metode med to terasjoner tl å nne en tlnærmet verd or denne løsnngen. Benytt startverden. Newtons metode kan beskrves slk ITD Matematkk, ørste deleksamen, desember 6 løsnngsorslag Sde av

4 ITD Matematkk, ørste deleksamen, desember 6 løsnngsorslag Sde av n n n n Her er V år da. 7 og Oppgave Fnn realdel og magnærdel tl det komplekse tallet z For å nne dette, må v skrve tallet på rektangulær kartessk orm. Dette kser v ved å multplsere teller og nevner med den komplekskonjugerte av nevneren: z Av dette ser v at Re z og Im z

5 Oppgave Bruk logartmsk dervasjon tl å nne den derverte av ølgende unksjon: sn cos e V tar ørst logartmen tl begge sder av uttrykket: som gr og ln ln ln sn cos e lnsn ln lncos ln ln lnsn lncos Derverer v så begge sder, år v ln e og sn sn cos sn cos cos sn cos Ganger v så med på begge sder, år v cos sn sn cos cos sn sn cos sn cos e Hvs v vl kan v benytte at skrves sn tan og ølgelg at cos cos tan. Uttrykket kan da tan tan tan tan tan sn cos e ITD Matematkk, ørste deleksamen, desember 6 løsnngsorslag Sde av

6 Oppgave 6 Fnn ølgende grenseverd dersom den ekssterer: lm Forsøker v å sette nn =, ser v at v år V år altså et ubestemt uttrykk. V kan da bruke l Hôptals regel or å nne grenseverden. Regelen ser at v kan dervere teller og nevner ver or seg or å nne grenseverden: lm lm lm lm lm lm Oppgave 7 Gtt en kontnuerlg unksjon som er denert på det åpne ntervallet D,. Funksjonen er ukjent, men v kjenner graen tl unksjonens derverte, altså graen tl, og denne graen er vst guren nedenor. Ang vlke ntervaller unksjonen er voksende og avtagende. ITD Matematkk, ørste deleksamen, desember 6 løsnngsorslag Sde 6 av

7 Funksjonen er voksende der den derverte er postv, altså ntervallet,.. Funksjonen er avtagende der den derverte er negatv, altså ntervallene.,, og For vlken eller vlke -verder ar unksjonen sne maksmums- og mnmumsverder? Forklar og begrunn dtt svar. Funksjonen kan a sne ekstremalverder der den derverte er null eller kke ekssterer, men er ekssterer den overalt densjonsområdet og/eller densjonsområdets endepunkter. Sden densjonsområdet er åpent, altså at det kke ar noen endepunkter, er det kun de krtske punktene unksjonen kan a sne ekstremalverder. Av graen tl den derverte ser v at unksjonen ar et lokalt mnmum or = og et lokalt maksmum or =.. Oppgave 8 Følgende lgnng beskrver en kurve planet: y ye y e Fnn lgnngen tl kurvens tangent punktet,. Sden det kke er mulg å skrve y som en eksplstt unksjon av, må gjøre en mplstt dervasjon or å nne stgnngskoesenten tl tangenten punktet: y y y y ye y ye y ye y y y y y ye y V lytter så alt som kke nneolder y over på øyre sde: Trekker ut y y y y y y y e ye y som elles aktor på venstre sde: y y y e ye y y Så deler v begge sder på uttrykket parentesen, og år y y y e y ye y Ved jelp av dette uttrykket kan v nå nne stgnngskoesenten tl tangenten punktet, : ITD Matematkk, ørste deleksamen, desember 6 løsnngsorslag Sde 7 av

8 y, e e e e Ved jelp av den såkalt ettpunktsormelen kan v nå nne lgnngen tl tangenten punktet, : y y a vor, er et kjent punkt på lnja og a er lnjas stgnngskoesent. Dette gr y og altså dvs. y y y Oppgave 9 Et mål or overvekt os mennesker er BMI body mass nde. En persons BMI er denert som v B v, der v er personens vekt klo og er personens øyde meter. En ungdom måles og vees, og man nner at v = 7 kg og =.7 m. Dette gr en BMI på B =.9. Benytt lneær approksmasjon tl å estmere endrngen BMI dersom vekten øker ra 7 kg tl 77 kg og øyden øker ra.7 m tl.7 m. Her ar v altså en unksjon B av to varable. Lneær approksmasjon omkrng punktet a, b or en unksjon, y av to varable, skrves ote slk: a, b k a, b a, b a, b k Her eter unksjonen B v,. Sden er navnet på en av varablene, kaller v endrngene v og or å unngå å rote det tl. V skrver da B v v, B v, B v, v B v, v y ITD Matematkk, ørste deleksamen, desember 6 løsnngsorslag Sde 8 av

9 Sden det er endrngen BMI v skal nne, lytter v leddet år B v v, B v, B v, v B v, v B a, b over på venstre sde, og V må nå partelldervere v B v, v : B v B v, v, v v V kan så regne ut verdene punktet 7,.7: B 7 7, B v B 7, ,.7..7 Vdere er altså v og. B 7,.7. B7,.7. V år da ølgende approksmasjon or endrngen BMI: Oppgave Bestem ølgende ntegral cos d Selve ntegrerngen er er «rett ram», men det kan være lurt å gjøre om på det ene leddet ntegranden: cos d sn ln ln C ITD Matematkk, ørste deleksamen, desember 6 løsnngsorslag Sde 9 av

10 sn ln C ln Oppgave Bestem ølgende ntegral ln d Hnt: bruk substtusjon Her kan v orsøke å kalle uttrykket parentesen or u og se om det ører ram: Dette gr som gr u ln du d d du Setter v så dette nn ntegralet, år v ln d u du u du du u C u u C u ln C C ln C Oppgave Bestem ølgende ntegral: d Her kan v orsøke med delbrøkoppspaltng. Her ser v at v kan skrve nevneren. kvadratsetnng: V spalter ntegranden to brøker: ITD Matematkk, ørste deleksamen, desember 6 løsnngsorslag Sde av

11 A B som gr, når v multplserer begge sder med : A B A B V setter så nn verden =, som gr A B A B B = gr A B A B A Integranden kan altså skrves slk Integralet blr deror d d d d d d ln ln C ITD Matematkk, ørste deleksamen, desember 6 løsnngsorslag Sde av