Klassisk Mekanikk IVER H. BREVIK. KOMPENDIUM i faget TEP4145 Til L A TEXved Simen Ellingsen

Transkript

1 Klasssk Mekankk IVER H. BREVIK KOMPENDIUM faget TEP4145 Tl L A TEXved Smen Ellngsen Insttutt for Energ og Prosessteknkk, Norges Teknsk Naturvtenskapelge Unverstet Mars 2006

2 Klasssk Mekankk Iver H. Brevk 2006 Innhold 1 Fundamentale prnspper Systemer med flere partkler Førnger Generalserte koordnater D Alemberts prnspp og Lagranges lgnnger Lev-Cvta-symbolet Generalserte (hastghetsavhengge) potensaler Anvendelse: Elektromagnetsk potensal Frksjonskrefter og Rayleghs dsspasjonsfunksjon Eksempler på bruk av Lagrangeformalsmen Varasjonsprnspper og Lagranges lgnnger Hamltons prnspp Lagranges lgnnger fra Hamltons prnspp Varasjonsregnng Hamltons prnspp for kke-holonome systemer Fordeler med varasjonsprnspp Bevarelsessetnnger og symmetregenskaper Translasjon Rotasjon Bevarelse av energ Hamltons lgnnger Legendretransformasjoner og Hamltons bevegelseslgnnger Hamlton vs. Lagrange Generelt om Legendretransformasjoner Fra Lagrange- tl Hamltonformalsme Tolegemeproblemet; sentrale krefter Reduksjon tl ekvvalent ettlegemeproblem Bevegelseslgnngene Ekvvalent éndmensjonalt problem Vralteoremet Keplerproblemet Omløpstd T Tdsutvklngen Sprednng sentralt kraftfelt Repulsv sprednng av ladde partkler Coulombfeltet Tl LATEX ved Smen A. Ellngsen. Orgnalllustrasjoner ved Jon Andreas Støvneng, bortsett fra de to nederste fgurene på sde 69 og på sde 107 ved Iver Brevk, og fgur 19, 21 samt lten fgur på s. 49 ved Smen Ellngsen 2

3 3 5 Stve legemers knematkk Uavhengge koordnater Ortogonale transformasjoner Formelle egenskaper tl transformasjonsmatrsen Eulervnklene Infntesmale transformasjoner Tdsendrng av en vektor Komponentene ω langs legemets akser Corolskraften Bevegelseslgnnger for stve legemer Dreempuls og knetsk energ Eulerlgnngene Fr rotasjon av stvt legeme; presesjon Små oscllasjoner Kort rekaptulerng System av koblede oscllatorer Svngemoder Ampltuder Mnorer tl systemdetermnanten Normalkoordnater Fr vbrasjoner av lneært symmetrsk treatomg molekyl Spesell relatvtetsteor Innlednng Lorentztransformasjonen Enstens addsjonsformel Formelle egenskaper tl L Ltt om reell metrkk Kovarant fredmensjonal formulerng Frerhastghet Frerstrømtetthet Maxwells lgnnger og frerpotensal Relatvstsk mekankk Relatvstsk knematkk Relatvstsk felttensor Kanonske transformasjoner Transformasjon av faserommet Alternatv 1: F = F 1 (q, Q, t) Alternatv 2: F = F 2 (q, P, t) Q P Alternatv 3: F = q p 1 + F 3 (p, Q, t) Alternatv 4: F = q p 1 Q P + F 4 (p, P, t) Possonklammer Sammenheng med kvantemekankken Jacobs denttet og Possons teorem Kanonsk transformasjon av Possonklammer Louvlles teorem Hamlton-Jacob-teor

4 1 FUNDAMENTALE PRINSIPPER 4 1 Fundamentale prnspper V defnerer først noen grunnleggende størrelser: Hastghetsvektor: v = d r dt Lneær mpuls: p = m v Total kraft: F (gravtasjon, elektrodynamsk, etc.) Dreempuls omkrng orgo: L = r p. Kraftmoment omkrng orgo: N = r F. V husker fra mekankken at Newtons 2. lov, F = d p dt, (1.1) gjelder nertalsystemer. Hvs massen m er konstant, kan eq. (1.1) skrves på formen: F = m d v dt = m a. Motsatt kan v også s at dersom Newtons 2. lov gjelder, har v et nertalsystem (=Gallesk system). V husker vdere at v har bevarngslover for henholdsvs lneær mpuls og dreempuls: Hvs F = 0, er p bevart. Hvs N = 0, er L bevart. Med defnsjonen av kraftmomentet ovenfor får v nå at N = r d p dt = d d r ( r p) dt dt p = d L dt = d L dt. v m v }{{} =0 Som v ser, er dette resultatet helt analogt med Newtons 2. lov som v hadde for translasjon. Arbedet som utføres av en ytre kraft F på partkkelen når denne beveger seg fra 1 tl 2 er gtt ved Anta at m =konstant: W 12 = 2 1 F d s (1.2) Dette gr: Fgur 1: d v F d s = m dt vdt = m 1 2 d dt v2 dt W 12 = 1 2 m(v2 2 v 2 1) = T 2 T 1, (1.3)

5 1 FUNDAMENTALE PRINSIPPER 5 det vl s at arbedet på partkkelen fra 1 tl 2 er lk endrngen partkkelens knetske energ. V har et konservatvt system dersom W 12 er den samme for alle mulge veer fra 1 tl 2. Matematsk kan dette uttrykkes slk: F d s = 0, eller (1.4) F = V ( r), (1.5) der V generelt er en funksjon av possjonen r (den potenselle energen). V ser at eq. (1.4) utelukker at et system med frksjon kan være konservatvt; ettersom frksjonskraften vrker motsatt bevegelsesretnngen, vl hele tden F d s > 0. Nullnvået for funksjonen V er vlkårlg. For et konservatvt system har v altså fra eq. (1.4), (1.2) og (1.3) at } W 12 = V 1 V 2 = T W 12 = T 2 T 1 + V 1 = T 2 + V 2 1 Det betyr at: For et konservatvt system er total partkkelenerg T + V bevart. (1.6) 1.1 Systemer med flere partkler For partkkel skrver v Newtons 2. lov som: j F j + F (e) = p, der F (e) er ytre kraft på partkkel og F j er ndre kraft fra partkkel j ( F = 0). V antar at F j oppfyller Newtons 3. lov: ( Svak lov om aksjon og reaksjon ) Kreftene to partkler utøver på hverandre er lke store og motsatt rettet (1.7) Summerer over alle partkler : p = d m dt v = d2 dt 2 m r = F (e) + F j,j; j }{{}}{{} =0 = F (e) Impulsbevarelse V defnerer possjonen tl massesenteret, R (massesenter forkortes gjerne med CM - centre of mass ): m r m r R = m M, (1.8) og får: M d2 dt 2 R = F (e), (1.9) dvs. CM beveger seg som om all masse var konsentrert CM. V har over defnert den totale massen som M m. Den totale mpulsen er nå gtt ved P = m d r dt = M d R dt.

6 1 FUNDAMENTALE PRINSIPPER 6 V sammenlgner med lgnngene v hadde for én partkkel, og får bevarngsloven for total mpuls: Hvs F (e) = 0, er P bevart. (1.10) Merk at bevarngsloven for total mpuls krever svak lov om aksjon og reaksjon. Dreempulsbevarelse V skrver den totale dreempulsen som v har sett: L = r p så sden r p = L = d r p = dt r p, 1 m p p = 0. Innsettng Newtons 2. lov, p = F (e) + j F j, gr L = r F (e) + r F j Sste ledd kan skrves som sum over et par av formen ford F j = F j. Med r r j r j kan v skrve,j; j r F j + r j F j = ( r r j ) F j, L = N (e) + 1 2,j; j r j F j Hvs ndre kraft mellom og j lgger langs forbndelseslnjen, altså at v har sentrale krefter ( sterk lov om aksjon og reaksjon ), vl alle r j F j = 0, slk at d L dt = N (e) ; N (e) = ytre dreemoment. (1.11) Dermed fnner v bevarngsloven for total dreempuls: V sammenlgner med lgnngene v hadde for én partkkel, og får bevarngsloven for total mpuls: Hvs N (e) = 0, er L bevart. (1.12) Merk at bevarngsloven for total mpuls forutsetter sentrale krefter. V ser av fgur 2 at v kan skrve om L ved å sette r = R + r og v = v + v : L = = r p = R m v + ( R + r ) m ( v + v ) ( ) r m v + m v v + R d m r, dt }{{}}{{} =0 =0 gr L = R M v + r p. Av dette ser v at dreempulsen om orgo er lk dreempulsen av systemet konsentrert CM pluss dreempulsen omkrng CM. Dersom R lgger fast forhold tl orgo ( v = 0), er L lk dreempulsen omkrng CM og uavhengg av referansepunktet.

7 1 FUNDAMENTALE PRINSIPPER 7 Fgur 2: Omskrvng av L Energ V husker uttrykket for arbedet som utføres når et system flyttes fra 1 tl 2 (lgnng 1.2): W 12 = 2 1 F d s = 2 1 F (e) d s +,j; j F j d s. La oss se på venstre sde av denne lgnngen der v setter F = m v og d s = v dt: 2 W 12 = m v v dt = d( m v 2 ) = T 2 T 1, som før! V har brukt det velkjente T = 1 2 m v 2. V kan gjen dele opp en massesenterdel og en ndre del (som vst fgur 2): endelg: 1.2 Førnger 2 T = 1 m ( v + v 2 ) ( v + v ) = 1 m v T = 1 2 Mv m v 2 d + v dt m v 2 Førnger er betngelser som defnerer rammene for systemet v betrakter. m r } {{ } =0 (1.13) Fgur 3: Eksempler på førnger V ønsker å uttrykke systemets førnger matematsk. I denne forbndelse skller v mellom to klasser av førnger: Holonome førnger er førnger som kan uttrykkes matematsk på formen f( r 1, r 2,..., t) = 0. Eksempel: et fast legeme der avstanden mellom to punkter legemet er konstant: ( r r j ) 2 c 2 j = 0

8 1 FUNDAMENTALE PRINSIPPER 8 Ikke-holonome førnger lar seg kke skrve på formen ovenfor. Eksempel: partkkel som beveger seg området omkrng en hard kule: Vdere klassfserer v førnger med hensyn tl tdsavhengghet: Rheonome førnger er tdsavhengge. Skleronome førnger er tdsuavhengge Generalserte koordnater V vet at N partkler har 3N uavhengge koordnater, eventuelt 3N frhetsgrader. Med k holonome førngsbetngelser fås 3N k frhetsgrader. V nnfører da nye og uavhengge koordnater q 1, q 2,..., q 3N k slk at r 1 = r 1 (q 1, q 2,..., q 3N k, t).. r N = r N (q 1, q 2,..., q 3N k, t) Førngsbetngelsene er nå mplstt nneholdt transformasjonslgnngene som transformerer det ene settet med koordnater tl det andre. Eksempel: Dobbeltpendel med bevegelse et plan De generalserte koordnatene er θ 1 og θ 2. Med to partkler har v utgangspunktet 6 frhetsgrader. Kravet om bevegelse et plan gr én førngsbetngelse pr. partkkel. Konstante stavlengder l 1 og l 2 gr ytterlgere 2 førngsbetngelse, så antall frhetsgrader blr 6 4 = D Alemberts prnspp og Lagranges lgnnger V begynner med å nnføre begrepet vrtuell forskyvnng: en nfntesmal forskyvnng av systemets koordnater, δ r, overenstemmelse med eventuelle førngsbetngelser. Krefter og førngsbetngelser endres derfor kke av vrtuelle forskyvnnger (ta også gjerne en ttt på fgur 5 på sde 18). V betrakter et system som v antar er lkevekt, dvs. at alle F = 0. Dermed gjelder naturlgvs også at F δ r = 0. V spalter så F en påtrykt kraft F (a) (a for appled ), og en førngskraft f og får: F δ r = F (a) δ r + f δ r = 0.

9 1 FUNDAMENTALE PRINSIPPER 9 V begrenser oss nå tl kun å se på systemer som oppfyller f δ r = 0. (1.14) Dette er kke en så streng restrksjon som det kan vrke som. Sammenlgner en med defnsjonen (1.2) av arbed, ser en at (1.14) er ekvvalent med at førngskreftene kke gjør noe arbed på systemet, oppfylt for alle førngskrefter som vrker normalt på bevegelsen. Kravet gjelder for eksempel også førnger som beskrver punkter stve legemer. (1.14) er mdlertd kke oppfylt for systemer med frksjonskrefter som gjør arbed på systemet. Med antagelsen (1.14) får v prnsppet om vrtuelt arbed : F (a) δ r = 0 (1.15) Merk at generelt er F (a) 0 sden δ r på grunn av førngsbetngelser generelt kke alle er uavhengge. V ser så på et system bevegelse som oppfyller Newtons 2. lov for hver komponent, F p = 0. Dette er analogt med det statske tlfellet ovenfor dersom v betrakter p som en effektv motkraft. På samme måte som før skrver v Dette kalles D Alemberts prnspp: ( F p ) δ r = ( F (a) p ) δ r + f δ r = 0 }{{} antas =0 ( F (a) p ) δ r = 0 (1.16) V har med dette oppnådd å elmnere førngskreftene. Dermed kan v fra nå av droppe ndeksen (a). V antar nå at v har å gjøre med et holonomt system og nnfører uavhengge koordnater {q } slk at r = r (q 1, q 2,..., q n, t), og ved å bruke kjerneregelen for dervasjon skrver v hastgheten v : v r = r q q + r t = v (q, q, t) Den vrtuelle forskyvnngen skrver v δ r = j r q j δ q j. Merk at δt kke er nvolvert her. Vrtuell forskyvnng gjelder kun koordnatene q, der v har frosset tden. V betrakter første ledd D Alemberts prnspp: F δ r =,j der v har defnert den generalserte kraft, F r q j δ q j j Q j δq j, Q j F r q j. (1.17) Her er Deretter ser v på andre ledd: m r r q j = p δ r =,j m r r q j δ q j [ ( d m r r ) m r d dt q j dt r q j ].

10 1 FUNDAMENTALE PRINSIPPER 10 V kan bytte om d/dt og / q j sste ledd: Av dette ser v at d r = dt q j k q j d r dt = 2 r q k + 2 r q j q k q j t ( q j v = q j k r q k + r q k t ) d r = d r dt q j q j dt og (1.18) v = r q j q j (1.19) V setter dette nn andre ledd D Alemberts prnspp som omformet ovenfor og får: m r r = [ ( d m v v ) m v v ] q j dt q j q j = [ d ( 1 dt q j 2 m v 2 ) ( 1 ] q j 2 m v 2 ) = d T T, dt q j q j der T = 1 2 m v 2 er systemets knetske energ. Dermed kan v skrve D Alemberts prnspp slk: [ d T T ] Q j δq j = 0 dt q j q j j Antagelsen om holonome førngsbetngelser medfører at alle δq j er uavhengge. Dermed gjelder relasjonen over for hver enkelt j (kke bare for summen over j), og v får et sett av 2.ordens lgnnger: d T T = Q j. (1.20) dt q j q j Dsse kalles ofte Lagranges lgnnger, men det er vanlgst å reservere denne betegnelsen for konservatve systemer, det vl s der kraften kan uttrykkes F = V Det gr at Q j = F r q j = V r q j = V q j Innsatt (1.20): T (T V ) = 0 q j q j Potensalet V = V (q ) er kke avhengg av generalserte hastgheter q, så V defnerer Lagrangefunksjonen T = (T V ). q j q j L T V, (1.21)

11 1 FUNDAMENTALE PRINSIPPER 11 setter nn (1.20) og får Lagranges lgnnger: d L dt q j L q j = 0 (1.22) Merk at (1.22) forutsetter holonomt og konservatvt system. V merker oss vdere at L kke er entydg; en alternatv funksjon L (q, q, t) = L(q, q, t) + d dtf (q, t) for en vlkårlg funksjon F (q, t) gr nøyaktg samme lgnnger som L (du kan selv sette nn utlednngen over og se at dette følger av at v kke tllater varasjon banens endepunkter). Kommentar tl utlednngen ovenfor: V startet med et ønske om å elmnere førngskreftene fra bevegelseslgnngene. Dette har v oppnådd. I tllegg har v endt opp med enklere lgnnger som kun nvolverer skalare funksjoner, T og V, motsetnng tl utgangspunktet som nvolverte vektorer, F og r. 1.4 Lev-Cvta-symbolet Før v går vdere, ntroduserer v et nyttg verktøy når en arbeder med vektorer og tensorer; det såkalte Lev- Cvta-symbolet ɛ jk. Dette symbolet har følgende egenskaper: antsymmetrsk alle ndekser (dvs. ɛ jk skfter fortegn når to ndekser bytter plass). lk null når to eller flere ndekser er lke ɛ jk = +1 når jk er syklske (f.eks. ɛ 123 = 1) ɛ jk = 1 når jk er antsyklske (f.eks. ɛ 132 = 1) Lev-Cvta-symbolet er matematsk forstand en pseudotensor, en generalserng av en aksal vektor. Ved en koordnattransformasjon vl en pseudotensor multplseres med transformasjonsdetermnanten (dette vl bl bedre kjent for dem som senere ser nærmere på klasssk feltteor). V kan bruke Lev-Cvta-symbolet tl vektoralgebra. V antar det vdere summekonvensjon (dvs. det summeres over gjentatte ndekser). I de følgende eksempler noterer v vektorer med nummererte ndekser slk at (x, y, z) (x 1, x 2, x 3 ) og en vektor A har denne notasjonen komponentene (A 1, A 2, A 3 ). Denne vektornotasjonen skal bl særlg nyttg relatvtetsteoren senere. Eksempler: A = B C : A = ɛ jk B j C k B = A : B = ɛ jk j A k = ɛ jk A k,j, (1.23) der v også har nnført enda ltt ny notasjon for å redusere mengden skrvng: j x j A k,j j A k. V har vdere for ɛ jk at ɛ jk ɛ lm = δ jl δ km δ jm δ kl (1.24) Eksempel ( A B) ( C D) =( A B) ( C D) = ɛ jk A j B k ɛ lm C l D m =(δ jl δ km δ jm δ kl )A j B k C l D m =( A C)( B D) ( A D)( B C)

12 1 FUNDAMENTALE PRINSIPPER Generalserte (hastghetsavhengge) potensaler V skal se at Lagranges lgnnger også kan benyttes for enkelte kke-holonome systemer. V antar at v har med et hastghetsavhengg potensal U(q j, q j ) å gjøre og defnerer Lagrangefunksjonen som tdlgere: L = T U. Dersom v kan skrve den generalserte kraften Q j på formen Q j = U + d U, (1.25) q j dt q j får Lagranges lgnnger uforandret form. U(q, q) kalles et generalsert potensal Anvendelse: Elektromagnetsk potensal Som et vktg eksempel på generalserte potensaler ser v på et elektromagnetsk potensal. Fra elektromagnetsmen husker v Maxwells lgnnger ( SI-enheter): Lorentzkraften: E = B t H = j + D t ( ) F = q E + v B D = ρ B = 0 Relasjonen B = 0 er automatsk oppfylt dersom v skrver B som curl tl et vektorpotensal, ettersom v husker fra barnelærdommen at dvergensen tl curlen tl enhver vektor alltd er null: B = A. Innsatt Maxwells lgnnger gr dette den nye lgnngen: E + t ( A) = ( E + A t ) = 0. Ettersom v har fra matematkken at curl tl en gradent alltd er null, skrver v E + A t = ϕ, der ϕ er en skalar funksjon. V kan nå uttrykke Lorentzkraften ved A og ϕ: [ F = q ϕ A ] t + v A. Det er nå hensktsmessg å ta bruk vektornotasjonen med ndekser slk v nnførte dem forrge avsntt. Ved å bruke (1.23), (1.24) og at ɛ jk = ɛ kj skrver v: [ v ( A) ] = ɛ jk v j ( A) k = ɛ jk v j ɛ klm l A m = (δ l δ jm δ m δ jl )v j l A m = v j A j v j j A og setter nn Lorentzkraften: [ F = q ϕ + v A da ] dt [ = q (ϕ v A) d ] ( A dt v v) = U + d U, dt v

13 1 FUNDAMENTALE PRINSIPPER 13 der U = U(x, v ) = qϕ qa v (1.26) Merk at v har brukt at d U = d ( qϕ qa dt v dt v }{{} v) = d qa dt v v 0 V har nå funnet Lagrangefunksjonen for ladet partkkel elektromagnetsk felt : L = T U = T qϕ + qa v (1.27) Frksjonskrefter og Rayleghs dsspasjonsfunksjon V har sett at Lagranges lgnnger for et holonomt system alltd kan skrves på formen d L L = Q, dt q q der L nneholder potensalet fra konservatve krefter mens Q er kreftene som kke kan avledes fra et potensal. Et typsk eksempel er frksjonskrefter. Som regel er frksjonskraften F f proporsjonal med hastgheten v tl en partkkel: F fx = k x v x, evt. F fx = v x ( 1 2 mv2 x ). I 3 dmensjoner kan v skrve F f = v F, (1.28) der F er Rayleghs dsspasjonsfunksjon defnert ved: F = 1 2 Arbedet utført av systemet mot frksjon: ( kx vx 2 + k y vy 2 + k z vz) 2 dw = F f d r = F f vdt = ( k x vx 2 + k y vy 2 + k z vz) 2 dt = 2Fdt. Det vl s at Raten for energtap pga. frksjon er 2F. (1.29) Generalsert frksjonskraft skrves Q j = F f r q j = v F r q j = v F r q j = F q j Lagranges lgnnger blr nå: d L L + F = 0 (1.30) dt q q q V må altså kjenne to skalare funksjoner, L og F, for å fnne bevegelseslgnngene for systemet. 1.6 Eksempler på bruk av Lagrangeformalsmen V skal se på tre eksempler på hvordan Lagrangeformalsmen er et kraftg verktøy for å beskrve fysske systemer.

14 1 FUNDAMENTALE PRINSIPPER 14 a: Én partkkel, kartesske koordnater V beskrver en fr partkkel hvs possjon er gtt ved kartesske koordnater (x, y, z). Knetsk energ er gtt ved T = 1 2 m(ẋ2 + ẏ 2 + ż 2 ), så T x = T y = T z = 0 T T T = mẋ, = mẏ, ẋ ẏ ż = mż. Bevegelseslgnnger er gtt ved Lagrangelgnngene (1.20): d T T = Q, dt q q der q 1 = x, q 2 = y, q 3 = z og Q = F, som er kraften som vrker på partkkelen (f.eks. fra et ytre potensal). Innsatt gr dette: d dt (mẋ) = F x, d dt (mẏ) = F y, d dt (mż) = F z, som v gjenkjenner som Newtons 2. lov! Du kan selv sjekke at dersom F er konservatve krefter, dvs. F = V/ q, får v det samme resultatet dersom v setter Lagrangefunksjonen L = T V nn lgnngene (1.22). b: Én partkkel, plane polarkoordnater V beskrver nå partkkelens bevegelser ved polarkoordnater, dvs. at de kartesske koordnatene transformeres slk: } x = r cos θ {q y = r sn θ } = {r, θ}. Hastgheter: ẋ = ṙ cos θ r θ sn θ ẏ = ṙ sn θ + r θ cos θ, så knetsk energ blr T = 1 2 m(ẋ2 + ẏ 2 ) = 1 2 m(ṙ2 + r 2 θ2 ). Dette kunne v også sett av geometren problemet: Radell hastghet: Asmutal hastghet: r t dr r θ t dt = ṙ r dθ dt = r θ De generalserte kraftkomponentene er Q j = F r q j. I polarkoordnater: Q r = F r r = F ˆr = F r Q θ = F r θ = F r n = rf θ

15 1 FUNDAMENTALE PRINSIPPER 15 To generalserte koordnater gr to Lagrangelgnnger; v fnner de partellderverte: T r = mr θ 2, T ṙ = mṙ, d T dt ṙ = m r, vdere T θ = 0, T θ = mr2 θ, og v får Lagrangelgnngene (med q 1 = r og q 2 = θ): d T dt θ = mr2 θ + 2mrṙ θ, Her kjenner v gjen r θ 2 som sentrpetalakselerasjon. V kan sette nn kjente uttrykk for L og N, m r mr θ 2 = F r mr 2 θ + 2mrṙ θ = rfθ. L = r p L = rp θ = rmv θ = rmr θ = mr 2 θ N = r F N = rf θ, og Lagrangelgnngen q 2 = θ får den (forhåpentlgvs) velkjente formen c: Atwoods maskn dl dt = N. Et typsk eksempel på et enkelt fyssk system som godt lar seg beskrve ved Lagrangeformalsmen, er den såkalte Atwoods maskn (se fguren). Som fguren ndkerer, har systemet kun én uavhengg koordnat: x. V velger nullnvå for potensell energ ved den stplede lnjen fguren og fnner: så Lagrangefunksjonen blr Potensell energ: V = M 1 gx M 2 g(l x) Knetsk energ: T = 1 2 (M 1 + M 2 )ẋ 2, L = T V = 1 2 (M 1 + M 2 )ẋ 2 + M 1 gx + M 2 g(l x).

16 1 FUNDAMENTALE PRINSIPPER 16 Relevante partellderverte: gr Lagrangelgnngen L x = (M 1 M 2 )g, L ẋ = (M 1 + M 2 )ẋ, (M 1 + M 2 )ẍ = (M 1 M 2 )g ẍ = M 1 M 2 M 1 + M 2 g, som v vel nærmest kunne sett drekte. Merk at førngskreftene (strekket snoren) kke forekommer den Lagrangeske formulerngen; de er mplstt med defnsjonen av de uavhengge koordnatene (her koordnaten x). V kan dermed heller kke bestemme snorstrekket drekte kun ved bruk av Lagranges metode.

17 2 VARIASJONSPRINSIPPER OG LAGRANGES LIGNINGER 17 2 Varasjonsprnspper og Lagranges lgnnger 2.1 Hamltons prnspp V har tl nå utledet Lagranges lgnnger fra et dfferenselt prnspp, ved å se på små vrtuelle forskyvnnger fra en gtt tlstand. Lagranges lgnnger kan også utledes fra et ntegralprnspp (evt. globalt prnspp) ved å se på små varasjoner hele bevegelsen mellom tder t 1 og t 2. La oss pressere utsagnet systemets bevegelse mellom t 1 og t 2 : Konfgurasjonsrommet dannes av aksene tl de n generalserte koordnatene q 1 q 2 (n = 3N k). Possjonen/tlstanden tl hele systemet er ved gtt td t gtt ved ett punkt konfgurasjonsrommet. Systemets bevegelse er beskrevet ved en kurve konfgurasjonsrommet der hvert punkt på kurven representerer hele systemets konfgurasjon ved et bestemt tdspunkt. Hamltons prnspp: Systemet beveger seg fra t 1 tl t 2 slk at I = t 2 t 1 Ldt har et ekstremum (stasjonær verd) for den vrkelge veen. (2.1) Her er L = T V = L(q, q, t), og ntegralet I kalles vrknngsntegralet eller vrknngen. Systemet er konservatvt dersom V = V (q), men Hamltons prnspp gjelder også mer generelle tlfeller der V U = U(q, q, t) dersom Q = U q + d U dt q. Slke systemer kalles monogenske. Fgur 4: (x, y) er fkserte ved t 1 og t 2. t er en parameter for banen konfgurasjonsrommet. Hamltons prnspp kan uttrykkes slk: t2 V skal se at Lagranges lgnnger følger av Hamltons prnspp. 2.2 Lagranges lgnnger fra Hamltons prnspp δi = δ L(q 1 q n, q 1 q n, t)dt = 0. (2.2) t 1 Anta først at v har én frhetsgrad, q = q(t). De forskjellge kurvene parametrseres ved en parameter α slk at α = 0 tlsvarende ekstremum av I. Dermed kan v skrve q(t, α) = q(t, 0) + αη(t), der η(t) er vlkårlg, men oppfyller at η(t 1 ) = η(t 2 ) = 0. Vrknngen skrver v nå: I = t2 t 1 L [q(t, α), q(t, α), t] dt. V er nteresserte vrtuelle varasjoner for en fast t: ( ) q δq = α ( ) q δ q = α dα 0 dα. 0

18 2 VARIASJONSPRINSIPPER OG LAGRANGES LIGNINGER 18 Fgur 5: Partkkelbane fra 1 tl 2 Varasjonen av I blr nå V kan bytte om på δ og d dt δi = ( q α t2 t 1 sste ledd ford: ) δ q = dα d dt δq 0 = d q dt α dα [ ] L L δq + q q δ q dt. = 2 q α t dα = 2 q t α dα } δ q = d dt δq At d dt α = 2 t α er nnlysende her, ettersom det kke er andre koordnater, men v ser at det også må gjelde for flere koordnater dersom settet av koordnater q er uavhengge (dvs. q = q (t)). V skal sden generalsere tl flere koordnater. Med dette får v: t2 [ ] L L d δi = δq + t 1 q q dt δq dt t2 [ ] t2 L L t2 = t 1 q δqdt + q δq d L t }{{} 1 t 1 dt q δqdt. =0 Ifølge Hamltons prnspp, skal v ha δi = 0, og ettersom δq er vlkårlg, følger det at d L dt q δl δq = 0. En drekte generalserng tl mange frhetsgrader, = 1,..., n gr t2 n ( L δi = d ) L δq dt = 0, (2.3) q dt q som medfører at t 1 =1 d L L = 0, = 1,, n, dt q q som er Lagranges lgnnger. V har sett at resultatet krever uavhengge koordnater, altså holonome førnger. Det gjelder for konservatve systemer og for kke-konservatve systemer dersom Q = U q + d U dt q, L = T U. 2.3 Varasjonsregnng Anta en kurve y(x) mellom y 1 = y(x 1 ) og y 2 = y(x 2 ) og la y = dy dx ( Goldsten brukes ẏ, men v reserverer dette tl kun å gjelde dy dt ). V ønsker å fnne ekstremalverden av ntegralet I = x2 x 1 f(y, y, x)dx,

19 2 VARIASJONSPRINSIPPER OG LAGRANGES LIGNINGER 19 der f(y, y, x) er en funksjon defnert på kurven y(x). Dette er det samme som å fnne den kurven y(x) som gr δi = 0. V får samme type regnng som foregående avsntt. δi = x2 x 1 [ ] f f δy + y y δy dx = 0. Som før kan v bytte om δ og d dx sste ledd: δy = d dxδy, dermed ] Sden δy er vlkårlg, får v: δi = = = x2 x 1 x2 x 1 x2 x 1 [ f f δy + y y f y δydx + ( f y d dx d dx δy dx [ ] x2 f y δy x }{{} 1 f y f y d dx =0 x2 x 1 ) δydx = 0 f d f dx y δydx y = 0 (2.4) Dsse kalles Euler-Lagrangelgnngene eller oftest bare Eulers lgnnger.

20 2 VARIASJONSPRINSIPPER OG LAGRANGES LIGNINGER 20 Eksempel: Mnmum omdrenngsflate La oss betrakte en eller annen kurve mellom to fkserte punkter, (x 1, y 1 ) og (x 2, y 2 ), som v dreer om y-aksen. V skal fnne den kurven y(x) som gjør at omdrenngsflaten får mnmum areal. Arealet av en strpe av overflaten er ds = 2πxds = 2πx dx 2 + dy 2 = 2πx 1 + y 2 dx, som gr arealet A = x2 x 1 x2 2πx 1 + y 2 dx = 2π f(y, y, x)dx, x 1 med f(y, y, x) = x 1 + y 2. Dervatene er f y = 0, f y = xy, 1 + y 2 Løsnng: så ( ) d xy dx 1 + y 2 = 0 ved Euler-Lagranges lgnng. xy = a = konst. 1 + y 2 x2 y 2 = a 2 (1 + y 2 ) y 2 (x 2 a 2 ) = a 2 dy dx = a x2 a. 2 gr standardntegralet y = a dx x2 a 2 = a arcoshx a + b, alternatvt x = a cosh y b a. Betngelsene y 1 = y(x 1 ) og y 2 = y(x 2 ) fastlegger ntegrasjonskonstantene a og b.

21 2 VARIASJONSPRINSIPPER OG LAGRANGES LIGNINGER 21 Eksempel: Brachstohcroneproblemet V skal fnne den kurven mellom de to punktene 1 og 2 som er slk at tlbakelagt td for en partkkel som sklr langs banen akselerert av tyngdefeltet blr mnmal. V antar her null utgangshastghet, dvs. partkkelen begynner ro fra punkt 1. Mnmal td vl s at t 12 = 2 skal ha et mnmum. Energbevarelse gr at total energ hele tden er null (det v velger null potensell energ 1): 1 ds v Integralet blr t 12 = y 2 dx = 1 2 2gy 2g mv2 = mgy = v = 2gy f(y, y, x)dx med f(y, y, x) = 1 + y 2 y De derverte f 1 + y 2 y =, 2y 3/2 f y = y, y 1 + y 2 gr oss Euler-Lagrange-lgnngen 1 + y 2 + d y dx = 0 y 1 + y 2 2y 3/2 V skrver ut andre ledd: y y 2 y 1 + y 2 2y 3/2 1 + y y 2 y 2 y(1 + y 2 ). 3/2 V tar så med første ledd og setter y 1/2 (1 + y 2 ) 1/2 ) utenfor: [ ] y 2 + y y 2 y 1 + y 2 2y 2y y 2 y 1 + y 2 = 0 = 1 2y + y (1 + y 2 ) y 2 y 1 + y 2 = 0 = 1 2y + y = y 2y + y y 1 + y 2 = 0 = 1 2 (ln y) + 1 [ ] ln(1 + y 2 ) = 0 2 { } = ln[y(1 + y 2 )] = y 2 = 0 y = ln[y(1 + y 2 )] = konst. = y(1 + y 2 ) = konst. 2k V gjør så en ansatz om at v kan bruke følgende parameterfremstllng: x = k(θ sn θ); y = k(1 cos θ) Brachstochroneproblemet fortsetter...

22 2 VARIASJONSPRINSIPPER OG LAGRANGES LIGNINGER 22 fortsettelse... Parametrserngen gr y (θ): dy dx = k sn θdθ k(1 cos θ)dθ = sn θ 1 cos θ = 1 + y 2 (1 cos θ) 2 + sn 2 θ = (1 cos θ) 2 = 1 2 cos θ + cos2 θ + sn 2 θ 2 (1 cos 2 θ) 2 = 1 cos θ = y(1 + y 2 2 ) = k(1 cos θ) 1 cos θ = 2k, så v ser at parametrserngen stemmer! Hvs partkkelen begynner orgo med null utgangshastghet ser banen (som gtt ved parametrserngen) slk ut: 2.4 Hamltons prnspp for kke-holonome systemer V har tl nå forutsatt holonome førnger som kan uttrykkes f( r 1,..., r N, t) = 0. V kunne da med j holonome førnger, nnføre n = 3N j generalserte koordnater q k som alle er uavhengge. Hamltons prnspp, som ledet frem tl δi = δ t2 t 1 t2 t 1 dt L(q 1,..., q n, q 1,..., q n, t)dt = 0, n ( L d ) L δq k = 0, (2.5) q k dt q k k=1 d og som med uavhengge δq k gav oss Lagranges lgnnger, dt q k q k = 0 der k = 1, 2,..., n. For kke-holonome systemer er kke alle δq k uavhengge, så v kan kke uten vdere bruke Hamltons prnspp. V skal mdlertd se at v kan formulere en utgave av prnsppet for vsse kke-holonome systemer. La oss anta at vårt system beskrevet av n koordnater (v antar at alle holonome førnger allerede er nnbakt dsse) har m kke-holonome førnger. V ser kun på systemer der våre kke-holonome førnger kan skrves eventuelt L L n a lk dq k + a lt dt = 0; l = 1, 2,..., n. k=1 n a lk q k + a lt = 0; l = 1, 2,..., m. (2.6) k=1 Deler v (2.6) med dt, ser v umddelbart at dette er det samme som at de kke-holonome førngene må kunne skrves som en sum av første ordens ledd av hastgheter. Koeffsentene a lk og a lt kan generelt avhenge av q

23 2 VARIASJONSPRINSIPPER OG LAGRANGES LIGNINGER 23 Fgur 6: n m uavhengge og m kke-uavhengge koordnater og t. V kan nå kke konstruere varerte baner med forskyvnnger som oppfyller førngsbetngelsene (2.6) (dette bevses kke her). V kan mdlertd konstruere en varert bane fra den vrkelge banen ved vrtuelle forskyvnnger δq k, som må oppfylle n a lk δq k = 0 k=1 (husk: δt er kke nvolvert; forskyvnng ved fast t). Bruker nå Lagranges metode med ubestemte koeffsenter. V har m lgnnger som hver ganges med en koeffsent λ l : λ l n k=1 a lk δq k = 0; λ l = λ l (q, t) generelt som medfører t2 t 1 dt m l=1 k=1 n λ l a lk δq k = 0. (2.7) V antar vdere at Hamltons prnspp også gjelder for kke-holonome systemer. Da kan v kombnere (2.5) og (2.7) over og får: ( ) 2 n L dt d L m + λ l a lk δq k = 0. q k dt q k 1 k=1 Her er kke alle δq k uavhengge, så v kan kke sette (...) = 0 for alle k slk v gjorde det tdlgere (se fgur 6). Men v har koeffsentene λ l tl vår dspossjon! V velger dem slk at og står da gjen med l=1 L d L m + λ l a lk = 0; k = n m + 1,..., n, (2.8) q k dt q k 2 1 dt n m k=1 l=1 ( L ) d L m + λ l a lk δq k = 0. (2.9) q k dt q k Her er alle δq k uavhengge, så v kan sette (...) = 0 for k = 1, 2,..., n m. Dermed: l=1 L d L m + λ l a lk = 0; k = 1, 2,..., n. q k dt q k l=1 V har n + m ukjente: q 1,..., q n og λ 1,..., λ m. Men v har også n + m lgnnger: n Lagrangelgnnger (2.9) og m førngsbetngelser (2.6). V har redusert problemet vårt tl et (generelt kke-lneært) lgnngssett som bestandg kan løses numersk ( prnsppet også analytsk).

24 2 VARIASJONSPRINSIPPER OG LAGRANGES LIGNINGER 24 Eksempel: Rng som ruller på et skråplan V har dette tlfellet to generalserte koordnater, x og θ. Vdere har v en førngsbetngelse, den såkalte rullebetngelsen: rdθ = dx. V antar at rngen starter ro på toppen ved x = 0. Konstruerer Lagrangefunksjonen: T = 1 2 Mẋ Mr2 θ2 V = Mg(l x) sn ϕ L = T V = 1 2 Mẋ Mr2 θ2 Mg(l x) sn ϕ Én førngsbetngelse gr én førngslgnng 2 k=1 a k q k + a t = a x ẋ + a θ θ + at = 0. Sammenlgnng med rdθ = dx, altså ẋ r θ = 0, gr a x = 1, a θ = r og a t = 0. Fra Lagranges lgnnger, L q k L x d = Mg sn ϕ, dt ẋ = Mẍ, Mg sn ϕ Mẍ + λ = 0 L d dt L L θ = 0, = Mr2 θ, λa θ Mr θ λ = 0 d L dt q k + λa k = 0, får v: λa x = λ θ = rλ } q 1 = x } q 2 = θ V har tre ukjente (varable), x,θ og λ, og tre lgnnger tl å fnne dem (to Lagrangelgnnger pluss førngsbetngelsen). V tar d dt på begge sder av førngslgnngen r θ = ẋ, setter nn Lagrangelgnngen for θ og får Mẍ λ, som nnsatt Lagrangelgnngen over x gr V legger merke tl: ẍ = 1 2 g sn ϕ; λ = 1 2 Mg sn ϕ; ẍ θ = r = g sn ϕ. 2r Ved frksjonsløs gldnng ned skråplanet er selvsagt akselerasjonen ẍ lk g sn ϕ, så ẍ er altså halvparten så stor ved rullng som ved gldnng (en del av den potenselle energen går over tl rotasjonsenerg). Ettersom ẍ = dv dt = v dv dx = 1 2 g sn ϕ, fås at v 0 vdv = v2 0 = 1 2 g sn ϕ l 0 dx = 1 2gl sn ϕ, altså ved bunnen av planet. v 0 = gl sn ϕ V kan skrve λ = Mr θ, og nnser at λ = 1 2Mg sn ϕ er førngskraften som gjør at rngen begynner å rotere. Fortegnet på λ er her vlkårlg; Goldsten er valgt a θ = r og a x = 1, som gr λ = 1 2Mg sn ϕ. Men fyskken er selvsagt den samme! Merk at v her har brukt metoden på et eksempel med holonome førnger; metoden kan være hensktsmessg også da!

25 2 VARIASJONSPRINSIPPER OG LAGRANGES LIGNINGER Fordeler med varasjonsprnspp Prnsppet er mest nyttg når man kan fnne en Lagrangefunksjon L uttrykt ved uavhengge koordnater, altså for holonome systemer. Metoden nvolverer kun T og V, som er fysske størrelser uavhengg av koordnatvalg. Hele formulerngen er dermed automatsk nvarant med hensyn på valg av koordnater. Fra før hadde v at L er ubestemt med hensyn på addsjon av df dt der F = F (q, t). Med Hamltons prnspp som bass er dette nnlysende: t2 df δ t 1 dt dt = δf (t 2) δf (t 1 ) = 0, ford v kke har noen varasjon endepunktene. Kan anvende metoden mange grener av fyskken. Eks: Lagranges lgnnger blr: som kan beskrve L = 1 L j q j M jk q j q k 2 2 j jk,k j j F = 1 R j q j 2 2 j L j q j + k j q 2 j 2C j + j (dsspasjonsfunksjonen) M jk q k + R j q j + q j C j = E j (t), E j (t)q j 1. system av elektrske kretser koblet va gjensdge nduktanser M jk (q ˆ= elektrsk ladnng), 2. system av masser og fjærer som beveger seg vskøst medum (q ˆ= possjoner). 2.6 Bevarelsessetnnger og symmetregenskaper For et system med n frhetsgrader vl bevegelseslgnngene være n dff.lgnnger som er av 2. orden tden. Løsnngen nnebærer dermed to ntegrasjoner pr. lgnng, dvs. v får 2n ntegrasjonskonstanter som kan bestemmes fra ntalbetngelsene, som for eksempel kan være startverder for q 1, q 2,...q n, q 1,..., q n. V er ofte kke nteressert en fullstendg lsnng for q j (t) for alle j. Noen ganger holder det eller er tl og med vktgere å kunne beskrve bevegelsen mer generelt sn natur. To sentrale begreper er da bevarngslover og symmetregenskaper. Anta et system av punktmasser et potensal V som kun er possjonsavhengg. Da L = T V = ẋ ẋ ẋ ẋ 1 2 m (ẋ 2 + ẏ 2 + ż 2 ) = m ẋ = p x. Med generalserte koordnater q defnerer v den generalserte, eventuelt kanonske, eventuelt konjugerte mpulsen som p = L q. (2.10) Hvs potensalet er hastghetsavhengg, vl kanonsk mpuls være forskjellg fra mekansk mpuls.

26 2 VARIASJONSPRINSIPPER OG LAGRANGES LIGNINGER 26 Eksempel: Partkler elektromagnetsk felt V fant Lagrangefunksjonen for partkkel elektromagnetsk felt på sde 12: L = 1 2 m r 2 q ϕ( r ) + q A( r ) r Gr p x = L ẋ = m ẋ + q A x m ẋ V ser at v har en syklsk koordnat q dersom L kke nneholder q. Dermed er L q lgnnger q blr d L = ṗ = 0. dt q Altså p =konst. når q er syklsk, eller = 0 og Lagranges Kanonsk mpuls tlhørende syklsk koordnat er bevart. (2.11) Eksempel: x-uavhengg EM-felt Anta et elektromagnetsk felt der ϕ og A er uavhengge av x. Da er også L uavhengg av x, dvs. x er en syklsk koordnat. p x = L ẋ = mẋ + qa x = konst., mens mekansk mpuls mẋ generelt kke er bevart. V skal nå se nærmere på bevarngslover fm. translasjon og rotasjon samt bevarng av energ Translasjon V ser på en generell koordnat q j som er slk at dq j betyr translasjon av hele systemet en retnng n (fgur 7). Da har v r r (q j + dq j ) r (q j ) = lm = dq j n = n (for alle ) q j dq j 0 dq j dq j Anta at systemet er konservatvt, altså V = V (q). Lagrange for holonomt system (lgnng 1.20): d T T = Q j. dt q j q j Hastgheter, og dermed knetsk energ T er upåvrket av å flytte orgo, så T q j 1.17): ṗ j = Q j = F r q j = = 0. Dermed (ved å bruke lgnng F n = n F. (2.12) Med andre ord: den generalserte kraftkomponenten Q j er komponenten av den totale kraften F langs n. Med T = 1 2 m r 2 får v p j = T q j = m r r q j = m r r q j = m v n = n P, (2.13)

27 2 VARIASJONSPRINSIPPER OG LAGRANGES LIGNINGER 27 Fgur 7: En lten translasjon dq j av hele systemet Fgur 8: En lten rotasjon dq j av hele systemet så p j er komponenten av total lneær mpuls P langs n. Dermed konkluderer v med at ṗ j = Q j er bevegelseslgnngene for total lneær mpuls. L Dersom nå q j er syklsk, vl q j = V q j = Q j = 0, dvs. p j = 0. Dette er bevarngsloven for lneær mpuls som v fant tdlgere; når ytre kraft er null, er total mpuls bevart Rotasjon V ser vdere på en generell koordnat q j som er slk at dq j medfører en rotasjon av hele systemet omkrng en akse n. Med de samme argumentene som v brukte ovenfor, får v helt analogt (se fgur 8) p j = Q j med Q j = F r q j V ser av fguren at d r = r sn θdq j, så r q j = r sn θ med retnng r og n = r q j = n r.

28 2 VARIASJONSPRINSIPPER OG LAGRANGES LIGNINGER 28 V får som translasjonstlfellet Q j = p j = F r q j = v r q j = F ( n r ) = n ( r F ) = n N = n N. (2.14) m v ( n r ) = n ( r m v ) = n L = n L (2.15) Q j er altså komponenten av dreemomentet N langs n og p j er komponenten av dreempulsen L langs n. Hvs q j er syklsk, er gjen L q j = V q j = Q j = n N = 0, og p j = n L er bevart. Generelt: Hvs systemet er nvarant overfor translasjon langs en akse n, er P konstant langs translasjonsaksen n. Hvs systemet er nvarant overfor rotasjon om en akse n, er L konstant omkrng rotasjonsaksen n. (Kulesymmetrsk system= L =konst.) Bevarelse av energ Anta at v har L = L(q, q, t) og V = V (q ). Den absolutt tdsderverte, dl dt : dl dt = der v har brukt Lagranges lgnnger, L q = = L dq q dt + ( ) L d dt d dt = d L dt d dt ( q [ L q q L d q q dt + L t q + ] + L t, q. Dette gr L q q L ) L d q q dt + L t + L t = 0. Energfunksjonen (som v skal komme nærmere nn på kapttel 3), er H(q, q, t) = L q q L, gr dh dt = L t. (2.16) La oss nå anta at L = L(q, q ), dvs. L t = 0. V ser at dette medfører at dh/dt = 0, og at energfunksjonen er bevart. Det gjenstår å fnne sammenhengen mellom funksjonen H og total energ. At Lagrangefunksjonen kke er eksplstt tdsavhengg, L t = 0, medfører ( ) d L q L = 0. dt q For en homogen funksjon av n-te grad gjelder Eulers teorem: x f x = nf. (2.17)

29 2 VARIASJONSPRINSIPPER OG LAGRANGES LIGNINGER 29 Knetsk energ T er en homogen funksjon av andre grad: q T q = (Da systemet er konservatvt, er p = L q = T q.) Dermed q m q = 2T. H = 2T V = 2T (T V ) = T + V = total energ. Oppsummert: Hvs L t = 0, er den totale energen bevart. (2.18)

30 3 HAMILTONS LIGNINGER 30 3 Hamltons lgnnger V har tl nå beskjeftget oss med Lagranges formulerng av mekankken. En alternatv formalsme ble ntrodusert av Hamlton, og stedet for Lagranges funksjon og lgnnger, betrakter v her Hamltons funksjon og Hamltons lgnnger. Det er verd å merke seg Lagranges lgnnger er ekvvalente med Hamltons lgnnger; det er derfor ngen ny fyskk dette kapttelet, bare en ny metode. Hamltons metode er kke bedre enn Lagrangeformalsmen med tanke på drekte løsnng av mekankkproblemer. Hamltons prosedyre er mer velegnet på andre områder av fyskken, f.eks. nnen kvantemekankk og statstsk mekankk. V antar dette kapttelet holonome systemer og monogenske krefter, dvs. V = V (q), evt. U = U(q, q) slk at Q = U q + d U dt q (jf. det elektromagnetske felt, kapttel 1.5.1) 3.1 Legendretransformasjoner og Hamltons bevegelseslgnnger Hamlton vs. Lagrange La oss raskt rekaptulere hvordan v angrep problemer med Lagranges metode. For et system med n frhetsgrader fkk v n 2.ordens dff.lgnnger d L L = 0, = 1, 2,..., n. dt q q Fullstendg løsnng krever 2n ntalbetngelser, f.eks. verder for q 1,..., q n, q 1,..., q n ved en td t 1, evt. verder for q 1,..., q n ved to tder t 1 og t 2. Systemets tlstand spesfseres ved et punkt det n-dmensjonale konfgurasjonsrommet med akser q. I Hamltonformulerngen har v 1. ordens lgnnger, så v får kun én ntegrasjonskonstant pr. lgnng som skal spesfseres. Fyskken er mdlertd den samme uansett formulerng, så v trenger fremdeles 2n ntalbetngelser, altså må v ha 2n dff.lgnnger. Systemets tlstand spesfseres ved et punkt det 2n-dmensjonale faserommet med akser q og p, der p = L(q j, q j, t), = 1, 2,..., n. q q, p kalles de kanonske varable Generelt om Legendretransformasjoner Matematsk nnebærer overgangen fra Lagrange- tl Hamltonformulerng at v endrer varable våre funksjoner fra (q, q, t) tl (q, p, t) med p = L/ q. Tl dette trenger v en Legendretransformasjon. V skal først se generelt på Legendretransformasjoner. Anta at v har en funksjon f(x, y) slk at df = udx + vdy; u = f x, v = f y. V ønsker å forandre bass fra (x, y) tl (u, y) slk at dfferensaler uttrykkes ved du og dy. Defnerer funksjonen g = f ux = dg = df udx xdu = udx + vdy udx xdu = vdy xdu, som er vår ønskede form! x og v er nå funksjoner av u og y: x = g u, Legendrepolynomer brukes mye termodynamkken. v = g y.

31 3 HAMILTONS LIGNINGER 31 Eksempel fra termodynamkken Entalpen H er funksjon av entropen S og trykket p: H S = T, H p = V = dh = T ds + V dp H uttrykt ved S og p er nyttg for sentropske og sobarske prosesser. Dersom en ønsker å beskrve sotermske og sobarske prosesser, trenger en heller en funksjon av T og p. Legendretransformasjonen gjør v med funksjonen G = H T S så dg = dh T ds SdT = T ds + V dp T ds SdT = V dp SdT, slk at G er Gbbs fr energ. G p = V ; G T = S Fra Lagrange- tl Hamltonformalsme Den naturlge Legendretransformasjonen for endrng av varable fra (q, q, t) tl (q, p, t) er (jf. eksempelet over): H = H(q, p, t) = p q L(q, q, t) V dfferenserer Fra defnsjonen av H får v dh = H q dq + H p dp + H t dt dh = q dp + p d q L q dq L q d q L t dt. Ettersom p = L q, forsvnner de to leddene med d q. Vdere har v fra Lagranges lgnnger at L = d L = d q dt q dt p = ṗ. Dermed: og v kan skrve ned Hamltons lgnnger: dh = q dp ṗ dq L t, q = H p ṗ = H q (3.1) I tllegg har v at L t = H t (3.2) Den vanlge prosedyren Hamltonformalsmen går som følger:

32 3 HAMILTONS LIGNINGER Konstruer L(q, q, t) 2. Defnér kanonske mpulser p = L q. 3. Konstruer H = p q L; her er H en funksjon av q, q, p og t: 4. Benytt p = L q tl å fnne q som funksjon av (q, p, t). 5. Elmner deretter q fra H slk at H = H(q, p, t). Deretter kan H benyttes tl å løse de kanonske bevegelseslgnngene. Eksempel: Partkkel sentralt kraftfelt V bruker polarkoordnater her; q = (r, θ, φ). Sentralsymmetr, V = V (r). T = 1 2 mv2 = 1 2 m(ṙ2 + r 2 sn 2 θ ϕ 2 + r 2 θ2 ) Lagrangefunksjonen er L = T V. Bruker p = L q tl å elmnere q fra H: Defnerer p r = L ṙ = mṙ; p θ = L θ ; p ϕ = L ϕ. H = p q T + V = mṙ 2 + mr 2 θ2 + mr 2 sn 2 θ ϕ mṙ2 1 2 mr2 θ2 1 2 mr2 sn 2 θ ϕ 2 + V (r) = T + V = 1 2 m p2 r m mr2 sn 2 θ m 2 r 4 sn 4 θ mr2 m 2 r 4 + V (r) ( ) = 1 p 2 r + p2 θ 2m r 2 + p2 ϕ r 2 sn 2 + V (r) θ = H(p, q) p 2 ϕ Altså: V har vst at H =total energ T + V, og v har gred å uttrykke H som funksjon av de kanonske varable, (q, p) = (r, θ, ϕ, p r, p θ, p ϕ ). p 2 θ

33 3 HAMILTONS LIGNINGER 33 Eksempel: Partkkel elektromagnetsk felt Det elektromagnetske felt er et kke-konservatvt system; L = T U har et hastghetsavhengg potensal U = qϕ qa v (v behandlet dette systemet Lagrangeformalsmen avsntt 1.5.1). V husker at Lagrangelgnngene d L dt L x er oppfylt med dette potensalet U. ẋ L = T U = 1 2 mv2 qϕ + qa v = L(x, x, t). Anta kartesske koordnater (og v bruker det følgende summekonvensjon): L = 1 2 mẋ ẋ + qa ẋ qϕ = p = L ẋ = mẋ + qa = H = p ẋ L = (mẋ + qa ) x 1 2 mẋ ẋ qa ẋ + qϕ = 1 2 mẋ ẋ + qϕ = mekansk energ + potensell energ. V elmnerer ẋ ved å uttrykke p ved ẋ : ẋ = 1 m (p qa ). Innsatt: H(x, p, t) = 1 2m (p qa )(p qa ) + qϕ = 1 2m ( p q A) 2 + qϕ, der avhenggheten av ẋ og t lgger A og ϕ. Hvs nå A og ϕ er uavhengge av t, blr L t dh dt = H t = L t = 0 = 0, og dermed

34 4 TOLEGEMEPROBLEMET; SENTRALE KREFTER 34 4 Tolegemeproblemet; sentrale krefter V skal dette kapttelet betrakte systemer av to legemer. Fgur 9: To legemer. 4.1 Reduksjon tl ekvvalent ettlegemeproblem To legemer har tlsammen 6 frhetsgrader, og beskrves av seks generalserte koordnater. La de to legemene ha possjoner r 1 og r 2. V vet mdlertd at v kan benytte to vlkårlge (lneært uavhengge) lneærkombnasjoner av dsse to vektorene som bassvektorer for å beskrve systemets dynamkk, så stedet for å bruke possjonene tl enkeltpartklene, defnerer v oss to nye, uavhengge possjonsvektorer som bedre beskrver systemet av partkler; massesenterets possjon, R, og den relatve possjonsvektor, r, defnert slk: R m 1 r 1 + m 2 r 2 m 1 + m 2 (4.1) r r 2 r 1. (4.2) V skal se at dette er et mer hensktsmessg valg. La oss anta konservatvt system og sentrale krefter, dvs. V = V (r), r = r. Lagrangefunksjonen, som vanlg: L = T ( R, r) V (r); v fnner den knetske energen (slk v gjorde på sde 7): T = 1 2 m 1 r m 2 r 2 2 = 1 2 m 1( R + r1 ) m 2( R + r2 ) 2 = 1 2 (m 1 + m 2 ) R m r m r 2 d R dt (m r 1 + m r 2) }{{} =0 = 1 2 (m 1 + m 2 ) R 2 + T,

35 4 TOLEGEMEPROBLEMET; SENTRALE KREFTER 35 med T = 1 ( 2 m 1 m ) 2 2 r + 1 ( ) 2 m 1 + m 2 2 m m1 2 r m 1 + m 2 = 1 2 m 2 1m 2 r m 2 + m 1 (m 1 + m 2 ) 2 = 1 m 1 m 2 2 r 2 m 1 + m 2 V nnfører nå den reduserte masse: eventuelt Dessuten skrver v den totale massen Dermed µ m 1m 2 m 1 + m 2, (4.3) 1 µ = 1 m m 2. (4.4) M m 1 + m 2 T = 1 2 M R µ r 2. (4.5) og Lagrangefunksjonen L = 1 2 M R µ r 2 V (r) = L(r, ṙ, Ṙ). R nngår kke Lagrangefunksjonen og er dermed en syklsk koordnat, som medfører at p R = L/ Ṙ = MṘ =konst., og dermed også R =konst. V kan rett og slett droppe leddet 1 2 M R 2 Lagrangefunksjonen, og v har redusert problemet tl et ekvvalent ettlegemeproblem med samme formalsme som for én partkkel med masse µ og possjon r: L = 1 2 µ r 2 V (r). (4.6) 4.2 Bevegelseslgnngene Med reduksjonen ovenfor bakhodet, er den naturlge fortsettelsen å formulere bevegelseslgnngene for en partkkel et sentralt kraftfelt F = V (r). Ettersom systemet er rotasjonssymmetrsk, må total dreempuls være bevart: L = r p = konst., både størrelse og retnng. Dette kan bare være oppfylt dersom r hele tden lgger et plan normalt på L (slk sentralbevegelse skjer derfor alltd et plan). Det vrker nå naturlg å benytte polarkoordnater slk at polaraksen er parallell med L, som gr oss polarvnkelen ϕ = π 2 = konst., og v står gjen med to fre koordnater, r og θ, der θ er asmutvnkelen planet. V lar partkkelens masse være m og formulerer Lagrangefunksjonen θ er som v ser en syklsk koordnat, så L = T V = 1 2 m(ṙ + r2 θ2 ) V (r) = L(r, ṙ, θ). p θ = L θ = mr2 θ = konst. l, der l er dreempulsens størrelse. Den ene bevegelseslgnngen blr dermed ṗ θ = d dt (mr2 θ) = 0

36 4 TOLEGEMEPROBLEMET; SENTRALE KREFTER 36 Fgur 10: Keplers andre lov: raden sveper over lke store arealer løpet av lke store tdsrom. V kan nå bevse Keplers 2. lov, som ser at raden sveper over lke store arealer lke store tdsrom. Av fgur 4.2 ser v da = 1 2 r rdθ A = r2 θ = 2m p θ = konst. Kepler formulerte loven for planetbevegelse potensal V r 1, men resultatet er som v ser gyldg for generell sentralbevegelse. V vender tlbake tl bevegelseslgnngene og fnner den andre av bevegelseslgnngene, for koordnaten r: Kraft r-retnng: f(r) V r, så d dt (m r) }{{} = d L dt ṙ V elmnerer θ ved hjelp av konstanten l = mr 2 θ, dvs. og får en 2. ordens dff.lgnng bare r: mr θ 2 + V = 0. }{{ r } = L r m r mr θ 2 = f(r). θ = l mr 2, (4.7) m r l2 mr 3 = f(r). V arbeder med et konservatvt system, og da har v sett at total mekansk energ, E, er en bevegelseskonstant: E = 1 2 m(ṙ + r2 θ2 ) + V (r). (4.8) V har to varable, r og θ, og utgangspunktet to 2. ordens dff.lgnnger, det vl s at v må foreta fre ntegrasjoner for å fnne r(t) og θ(t). V har mdlertd allerede gjort to ntegrasjoner der ntegrasjonskonstantene ble fastslått ved hjelp av l og E. Det gjenstår da å gjøre to ntegrasjoner for å løse de to lgnngene av 1. orden. La oss starte med (4.8), omskrevet ved hjelp av (4.7): 1 2 mṙ2 + l2 2mr 2 + V = E,

37 4 TOLEGEMEPROBLEMET; SENTRALE KREFTER 37 dvs. ṙ = 2 m ( E V dr dt = 2 m (E V l2 /2mr 2 ) ) l2 2mr 2 og dermed V ser at v har valgt postvt fortegn foran kvadratroten uttrykket for ṙ. La r(t = 0) = r 0 =mnmum radus. Dermed er dr > 0 når dt > 0, og valget av postv løsnng er ok. Løst for t får v: t = r r 0 dr = t(r; E, l, r 0 ), (4.9) 2 m (E V l2 /2mr 2 ) som ( hvert fall prnsppet) kan nverteres slk at v fnner r(t). Om v antar kjent r(t) fnner v θ(t) av mr 2 θ = l: dθ = ldt mr 2 så t θ(t) = l 0 dt mr 2 (t) + θ 0; θ 0 θ(t = 0). (4.10) V ser at v har fått fre ntegrasjonskonstanter: E, l, r 0 og θ 0. I klasssk mekankk kunne v lke godt ha valgt fre andre størrelser, f.eks. r 0, θ 0, ṙ 0, θ 0 for å bestemme systemet entydg. I kvantemekankk, dermot, er ntalverder av r, θ, samtdg med ṙ, θ uten menng (da operatorene som representerer dsse størrelsene kvantemekankk kke kommuterer, kan de kke ha skarp verd samtdg, jf. Hesenbergs uskarphetsprnspp som er grundg behandlet enhver tekstbok kvantemekankk). Det er derfor fornuftg å velge E og l dersom en ønsker å dskutere overgangen fra klasssk mekankk tl kvantemekankk. 4.3 Ekvvalent éndmensjonalt problem I de fleste tlfeller er det kke mulg å løse ntegralene for t og θ analytsk. V kan mdlertd oppnå en del nnskt uten å fnne den fullstendge løsnngen ved å betrakte en éndmensjonal analog. V hadde følgende bevegelseslgnnger for systemet: m r mr θ 2 = f(r) = V r θ = l mr 2. Innsatt for θ får v m r = f(r) + l2 mr 3 f (r), som v kjenner gjen som Newtons andre lov for et éndmensjonalt problem der en masse m påvrkes av en kraft f = f + l2 mr. V kkker på tlleggsleddet: 3 l 2 2 (mr2 θ) = mr3 mr 3 = mr θ 2 = mv2 θ r, som v kjenner gjen som sentrfugalkraften. Alternatvt kan v betrakte energen: E = 1 2 mṙ mr2 θ2 + V (r) = 1 2 mṙ2 + l2 2mr 2 + V (r),

38 4 TOLEGEMEPROBLEMET; SENTRALE KREFTER 38 Fgur 11: Sentrfugalbarræren med k/r-potensal. som er det samme som v får for et éndmensjonalt problem med potensell energ Kraften avledet av V (r) er som v fkk ovenfor. V (r) = V (r) + l2 2mr 2. (4.11) f = V r = f + l2 2mr 3, (4.12) Eksempel: Attraktv r 2 -kraft Betrakt potensal V (r) = k/r, dvs. f(r) = k/r 2. Som v så over får v da: V = k r + l2 2mr 2, der det sste leddet kalles sentrfugalbarreren. Total mekansk energ E = 1 2 mṙ2 + V (r) V (r) La oss plotte V (r) (fgur 11). V legger merke tl grensene lm V (r) = + r 0 lm V (r) = 0 r Hvs total energ er E 1 > 0 kan partkkelen kke komme nærmere orgo enn r 1 (som vst på fgurene), ettersom v må ha E V. V ser vdere at det kke er noen øvre grense for r for postve energer; v ser at bevegelsen kke er bundet. Partkkelen har et vendepunkt r = r 1. Sksse av partkkelens bane ved ubundet bevegelse (hyperbel):

39 4 TOLEGEMEPROBLEMET; SENTRALE KREFTER 39 Fgur 12: Partkkelbane, bundet sentralbevegelse. Vendepunkter for r = r 1 og r = r 2. Når E = E 2 = 0 får v kvaltatvt samme bevegelse (parabel). Hva blr stuasjonen så for E < 0? Bevegelsen må nå bl bundet, dvs. r 1 r r 2 med to vendepunkter, henholdsvs r 1 og r 2. Når energen er mndre enn 0, men større enn E 0, kan v få ganske komplserte baner som vst fgur 12. Bevegelsen trenger kke å være en lukket kurve. Er energen akkurat E = E 4, blr r 1 = r 2 = r 0, og banen må bl en srkel med ṙ (partkkelen har kke nok energ tl å bevege seg r-retnng). Mnmumspunktet for V er gtt ved f = V r = 0 f = mr θ 2. dvs.

40 4 TOLEGEMEPROBLEMET; SENTRALE KREFTER 40 Det vl s at ytre kraft her akkurat balanseres av sentrfugalkraften. Eksempel: Harmonsk osclltor Harmonsk oscllator-potensalet er: f(r) = kr, V (r) = 1 2 kr2 Ingen dreempuls, r v, så bevegelsen skjer langs en rett lnje gjennom bunnpunktet. V = V, så v får en bundet harmonsk bevelgelse med r r 1. V = 1 2 kr2 + l2 2mr 2. V får en bundet bevegelse med r 1 r r 2. Lgnngen f = k r er på komponentform: f x = kx, f y = ky, så v har altså to harmonske oscllatorer som danner en vnkel på 90 o med hverandre. V ser vdere at oscllatorene har samme frekvens, dvs. banen er en ellpse. Eksempler på slke systemer kan være Sfærsk pendel Lssajoufgurer på osclloskopet 4.4 Vralteoremet Vralteoremet er et generelt teorem som er gyldg for mange ulke fysske systemer. Som resultat er det av statsk natur, det det har å gjøre med tdsmddelet av fysske størrelser. V antar et system av massepunkter possjoner r påvrket av krefter F (som nkluderer eventuelle

41 4 TOLEGEMEPROBLEMET; SENTRALE KREFTER 41 førngskrefter). Newtons andre lov lyder som vanlg p = F. V lager oss funksjonen G = dg dt = p r, r p + som gr p r Omformer den tdsderverte: 1. ledd: r p = r m r = m v 2 = 2T 2. ledd: p r = F r Dermed: dg dt = 2T + F r V mdler denne lgnngen over et tdsntervall τ: dg dt 1 τ dg τ 0 dt dt = 2T + F r, det vl s 2T + F r = 1 [G(τ) G(0)]. τ Dersom v ser på en perodsk bevegelse der peroden er τ, er det åpenbart at høyre sde av denne lgnngen må være null. For generell kke-perodsk bevegelse krever v at r og p må være endelge, og altså er også G endelg. Av dette følger at 1 lm [G(τ) G(0)] = 0, τ τ så begge tlfeller får v vralteoremet: T = 1 2 F r (4.13)

42 4 TOLEGEMEPROBLEMET; SENTRALE KREFTER 42 Eksempel: Ideell gass V betrakter N atomer et volum V. Ekvpartsjonsprnsppet (kjent fra statstsk mekankk) gr oss da at den ndre energ U = T = 3 2 NkT, der k = J/K er Boltzmanns konstant. Veggkraften boksen er gtt ved d F = p nda, der p her betegner trykket. V antar at gassen er deell, dvs. at nteratomære vekselvrknnger kan neglsjeres. V beregner mddelverden 1 F r = p n rda = 1 2 p rdv = 3 2 pv, der v har brukt at Innsatt vralteoremet får v rdv = 3 =1 pv = NkT, som v kjenner gjen som Boyles lov eller Ideell gasslov. r x dx = 3V.

43 4 TOLEGEMEPROBLEMET; SENTRALE KREFTER 43 Eksempel: F = V Dersom alle krefter kan skrves som en gradent tl et potensal V, slk at F = V, tar vralteoremet formen T = 1 V r. 2 La oss for enkelhets skyld betrakte én partkkel et sentralfelt: T = 1 V 2 r r. Anta vdere at potensalet kan skrves som en potens r, altså V = ar n+1 f r n (husk her at også mange potensaler av en annen matematsk form også lar seg Taylorutvkle potenser av r, så resultatet v får lar seg også anvende analyse av mer generelle potensaler). V får: og dermed V r = (n + 1)V r T = n + 1 V. (4.14) 2 To vktge eksempler på potensaler på denne formen er Keplerpotensalet n = 2 og harmonsk oscllator, n = 1. V får T = 1 2V for n = 2 T = V for n = Keplerproblemet La oss gå tlbake tl problemet med sentrale krefter på formen f(r) = k/r 2, dvs. potensal V (r) = k/r. V ønsker å bestemme banen tl en partkkel som beveger seg dette potensalet, det vl s å fnne sammenhengen mellom r og θ. V hadde ṙ = for generell V (r). Denne skrver v på formen 2 m dt = 2 m ( E V V nnfører dθ ved å bruke θ = l/mr 2, altså ldt = mr 2 dθ: dθ = mr 2 ) l2 2mr 2 dr ( ). E V l 2 2mr 2 2 m ldr ( ), E V l 2 2mr 2 med løsnng for θ θ(r) = r ldr ( ) + θ 0. r 0 mr 2 2 m E V l 2 2mr 2

44 4 TOLEGEMEPROBLEMET; SENTRALE KREFTER 44 V setter nå nn for potensalet, V = k/r, og substtuerer: u 1/r; du = dr/r 2 : u θ = θ 0 u 0 du. 2mE l + 2mku 2 l u 2 2 Konstanten θ 0 er bestemt av ntalbetngelsene. La oss sette θ 0 = 0, det vl s at vnkelen θ regnes forhold tl perhel, det vl s det punktet hvor partkkelen er nærmest orgo. Integralet uttrykket for θ er et standardntegral med analytsk løsnng: dx = 1 [ arccos β + 2γx ], α + βx + γx 2 γ q der q = β 2 4αγ. Sammenlgnng med ntegralet v skal løse tlser at v må velge konstantene slk så gr V nnfører eksentrsteten ɛ: og vdere baneparameter, p: Dermed: α = 2mE l 2, β = 2mk l 2, γ = 1, q = β + 2γu q = 1 + 2γu β 1 4αγ β 2 = ( 2mk l 2 u mk El2 mk 2 θ = arccos l2 mkr El2 mk 2 ɛ = l 2 ) 2 ) (1 + 2El2 mk El2 mk 2, (4.15) p = l2 mk. ( ) 1 θ = arccos ɛ (p r 1) Dette kan v løse med hensyn på r (bruker at cos(x) = cos( x)): cos θ = 1 ɛ (p r 1) = p r = 1 + ɛ cos θ r = (4.16) p 1 + ɛ cos θ. (4.17) Dette er et kjeglesntt med brennpunkt orgo. V ser at θ = 0 tlsvarer r = r 0 = p/(1 + ɛ), altså perhelen. V kan nå klassfsere ulke typer baner: ɛ > 1: hyperbel (E > 0) ɛ = 1: parabel (E = 0) ɛ < 1: ellpse (E < 0) ɛ = 0: srkel (E = mk 2 /2l 2 ) La oss se ltt nærmere på ellpsen. Store halvakse benevner v med a og llle halvakse med b. For bundet bevegelse har v da r 1 r r 2.

45 4 TOLEGEMEPROBLEMET; SENTRALE KREFTER 45 Av fguren ser v at dvs. (husk: E < 0) 2a = r 1 + r 2 = Hvs 2c er avstanden mellom brennpunktene gjelder p 1 + ɛ + p 1 ɛ = 2p 1 ɛ 2, 2 a = p l 1 ɛ 2 = mk 1 (1 + 2El2 mk ) = k 2E = k 2 E 2 ɛ = c a (4.18) Vdere har v for en ellpse at a 2 = b 2 + c 2. Dermed: så b 2 = a 2 c 2 = a 2 a 2 ɛ 2 = p 2 (1 ɛ 2 ) 2 (1 ɛ2 ) = p2 b = l 2 1 ɛ 2 = ( mk )2 2mE, = l2 2El 2 mk 2 l 2m E (4.19) Merk: b avhenger av både E og l, men a avhenger kun av E Omløpstd T V har vst at arealhastgheten er konstant sentralbevegelse (sde 36): V ntegrerer over én perode: T For en ellpse kjenner v arealet gtt ved A = πab, så 0 da dt = 1 l 2 r2 θ = 2m. da dt dt = A = l 2m T. T = 2πm ab. l

46 4 TOLEGEMEPROBLEMET; SENTRALE KREFTER 46 Med resultetene ovenfor; b = l/ 2m E og a = k/2 E : b l = 1 2m E = 1 2m k 2a = a mk, og omløpstden blr som er Keplers 3. lov: a m T = 2πma mk = 2πa3/2 k, T 2 a 3 (4.20) Tdsutvklngen V fant på sde 37: t = r r 0 dr. 2 m (E V l2 /2mr 2 ) Nå er V = k/r. For å fnne et hensktsmessg uttrykk, bruker v uttrykkene for a og b samt at a 2 b 2 = a 2 ɛ 2 som v fant ovenfor. V får da (betrakter først det ubestemte ntegralet): så t = Uttrykket under rottegnet kan omskrves: Gjør nå substtusjonen slk at rdr = 2 E r2 m 2kr m l2 m 2 t = ma k m 2 E rdr r 2 + k E r, l2 2m E rdr r2 + 2ar b 2 (4.21) r 2 + 2ar a 2 + a 2 b 2 = (r a) 2 + a 2 ɛ 2. a r aɛ cos ξ, dr = aɛ sn ξdξ ma (a aɛ cos ξ)aɛ sn ξdξ t = k a2 ɛ 2 a 2 ɛ 2 cos 2 ξ ma 3 ma 3 = (1 ɛ cos ξ)dξ = (ξ ɛ sn ξ) + konst. k k V velger ntalpunktet slk at konst.= 0. Da får v følgende parameterfremstllng av r(t): ma 3 r = a(1 ɛ cos ξ), t = (ξ ɛ sn ξ). (4.22) k V ser at ξ = 0 tlsvarer t = 0, og at partkkelen da er possjonen a(1 ɛ), det vl s perhel.

47 4 TOLEGEMEPROBLEMET; SENTRALE KREFTER Sprednng sentralt kraftfelt V skal dette kapttelet beskrve et system der partkler blr spredt av et sentralt kraftfelt. Problemet v betrakter her er kke-relatvstsk og med neglsjerbare kvanteeffekter, men formalsmen v utvkler her er den samme som v møter gjen nnenfor f.eks. atom- og partkkelfyskk der v kke kan neglsjere dsse korreksjonene. Anta at v har en unform strøm av partkler (elektroner, α-partkler, planeter...) på ve mot et kraftsentrum. Anta vdere at partklene har lk masse og energ. Potensalet V (r) v betrakter er slk at kraften f(r) = V/ r 0 når r. Generelt kan v ha både tltrekkende og frastøtende V (r). V beskrver den nnkommende partkkelstrømmen ved ntensteten I, defnert som I # partkler gjennom en enhet tverrsnttsareal normalt på strømmen pr. tdsenhet (4.23) Partklenes baner avbøyes fra en rettlnjet bevegelse når de passerer kraftsenteret. Etter passerng avtar etterhvert kreftene som vrker på partklene og banene blr tl slutt rette lnjer gjen. V defnerer nok en hensktsmessg størrelse: det dfferenselle sprednngstverrsntt: σ(ω)dω # part. spredt nn romvnkel dω pr. tdsenhet. (4.24) nnfallende ntenstet Dmensjonen tl σ(ω) er: [σ(ω)] = s 1 m 2 s = m 2. Ettersom kreftene v betrakter er sentrale, har v symmetr om 1 aksen som angr den nnkommende retnngen. Dermed er systemet uavhengg av asmutalvnkelen ϕ (v ser at systemet er nvarant under rotasjoner om polaraksen) og v kan betrakte romvnkelelementer som nfntesmalt tynne rnger : dω = 2π sn Θ dθ, der Θ er sprednngsvnkelen. V ser på tlfellet med frastøtende potensal. V har brukt Θ tl å benevne sprednngsvnkelen og kaller koordnaten som betegner vnkelen mellom partkkelens possjonsvektor og polaraksen tl enhver td for θ (merk forskjellen!). Det er hensktsmessg å nnføre støtparameteren s (se fguren over). V uttrykker dreempulsen lenge før støtet: l = r p r 2E = mv 0 s = m m s = s 2mE. Med sentrale krefter fant v at dreempulsen er bevart (både θ og ϕ er syklske koordnater systemet jf. kaptlet om Lagrangeformalsme). Anta at ulke verder av s gr ulke sprednngsretnnger. Ved fksert E og s er sprednngsvnkelen Θ dermed entydg bestemt (jf. kvantemekankken, der θ kan måles med en vss sannsynlghet. Støtparameteren s kan kke være skarpt defnert en kvantemekansk beskrvelse). Antatt et entydg forhold mellom Θ og s skrver v: # partkler nn mellom s og s + ds = # partkler ut mellom Θ og Θ + dθ IdA = Iσ(Ω)dΩ I 2πs ds = 2πσ(Θ)I sn Θ dθ ;

48 4 TOLEGEMEPROBLEMET; SENTRALE KREFTER 48 ettersom v ofte har ds/dθ < 0, må v sette ds og dθ. V får σ(θ) = s sn Θ ds dθ (4.25) Sammenhengen mellom s og Θ kan fnnes ved å gå tlbake tl uttrykket v hadde på sde 43: θ(r) = r dr + θ 0. r 0 r 2 2mE l 2mV 2 l 1 2 r 2 V defnerer oss vnkelen Ψ som er hensktsmessg regnngen: Av fguren ser v at Θ + 2Ψ = π. La r 0 = tlsvare θ 0 = π og r = r m tlsvare θ = π Ψ. Da har v π Ψ = Ψ = rm dr + π r 2 2mE l 2mV 2 l 1 2 r 2 dr. r m r 2 2mE l 2mV 2 l 1 2 r 2 Hadde at l = s 2mE, så 2mE/l 2 = 1/s 2. Vdere er 2mV/l 2 = V/Es 2, så Ψ = Substtusjon: u 1/r, du = dr/r 2, u m = 1/r m : dr sdr =. r m r 2 1 s V 2 Es 1 r m 2 r r 2 1 V 2 E s2 r 2 Ψ = um 0 sdu 1 V/E s2 u 2 um sdu Θ(z) = π V/E s2 u. (4.26) 2 V kjenner her u m. Den er gtt ved 1 V/E s 2 u 2 m = 0 sden dr = r 2 2mE l 1 V/E 2 s2 u 2 dθ, og perhel er dθ/dr = 0. Som regel må Θ(s) beregnes med numerske metoder, men v skal se på et vktg eksempel der banen kan beregnes analytsk. Da kan v også nokså enkelt beregne s(θ) og σ(θ) Repulsv sprednng av ladde partkler Coulombfeltet V skal se på et vktg eksempel på sprednng sentralt kraftfelt, nemlg den frastøtende kraften på en ladnng Coulombfeltet fra en annen partkkel. Dette er en ltt forenklet utgave av det systemet Rutherford betraktet stt berømte eksperment der han skjøt α-partkler (ladnng 2e) mot en gullfole der kjernene (med ladnngen 79e) er mye tyngre enn de nnkommende α-partklene (Du har skkert lært at systemer atommålestokk må angrpes kvantemekansk, men v skal se at akkurat dette tlfellet gr vår klassske behandlng korrekt svar!). V betrakter postvt ladde partkler med ladnng henholdsvs Ze og Z e:

49 4 TOLEGEMEPROBLEMET; SENTRALE KREFTER 49 V antar vder at M m, slk at massesenteret med god tlnærmng er dentsk med possjonen tl M. V antar at massesenteret lgger ro vårt referansesystem (lab.systemet). Coulombkraften og -potensalet er V (r) = ZZ e 2 4πɛ 0 r f(r) = ZZ e 2 4πɛ 0 r 2 V ser at potensalet er det samme som det v behandlet avsnttet om Keplerproblemet; V = k/r med k = ZZ /4πɛ 0. V har at E = T + V = 1 2 mv2 + V = 1 2 mv2 0 > 0, så banen blr en hyperbel med eksentrstet ɛ = 1 + 2El2 mk 2 = 1 + 2El2 m ( ) 2 4πɛ0 ZZ e 2 > 1. Da l 2 = s 2 2mE, blr 2El 2 /m = 4E 2 s 2. På sde 44 skrev v kjeglesnttet som p = 1 + ɛ cos θ, r som er gyldg både for hyperbel, parabel og ellpse, da p = l 2 /mk for alle dsse banetypene. Her er k < 0, dvs. p < 0. V kan da skrve: p r p = = ɛ cos θ 1, l2 m k = l2 4πɛ 0 m ZZ e 2 (cos θ 1/ɛ) Banen, har asymptotene r = p ɛ cos θ 1 r θ (±)Ψ ɛ cos Ψ 1 = 0 cos Ψ = 1/ɛ. Sprednngsvnkelen (se fguren) har v: Θ = π 2Ψ, dermed ( π cos Ψ = cos 2 Θ ) = sn Θ 2 2 = 1 ɛ,

50 4 TOLEGEMEPROBLEMET; SENTRALE KREFTER 50 så cot 2 Θ 2 = cos2 Θ 2 sn 2 Θ 2 cot Θ 2 = 4πɛ 2Es 0 ZZ e 2 = 1 sn2 Θ 2 sn 2 Θ 2 s = 1 ZZ e 2 4πɛ 0 2E cot Θ = s(θ, E) 2 ds dθ = 1 ZZ e 2 1 4πɛ 0 2E sn 2 Θ 2 = 1 ( 1/ɛ2 1/ɛ 2 = ɛ 2 1 = 2Es 4πɛ ) 2 0 ZZ e 2 V trekke ut kvadratroten slk v har gjort over da 0 Θ π medfører at cot Θ 2 0. Ved lgnng (4.25): σ(θ) = s ( ds 1 sn Θ dθ = ZZ e 2 ) 2 cot Θ 2 4πɛ 0 2E 2 sn Θ sn 2 Θ. 2 V bruker at cot Θ 2 = cos Θ 2 / sn Θ 2 og at sn Θ = 2 sn Θ 2 cos Θ 2 og får: ( ) 2 ( 1 σ(θ) = 4πɛ 0 ) 2 ZZ e 2 1 2E sn 4 Θ 2 (4.27) Overraskende nok gr kkerelatvstsk kvantemekankk nøyaktg samme svar! (Men merk at en kvantemekankken snakker om en vnkelfordelng, mens v her har tatt utgangspunkt et entydg forhold mellom støtparameter og sprednngsvnkel. En skarp støtparameter gr kke menng kvantemekansk.) Det totale sprednngstverrsnttet fås ved ntegrasjon over hele romvnkelrommet: π σ = σ(ω)dω = 2π σ(θ) sn ΘdΘ. Med et Coulombpotensal vl σ(θ) sn 4 (Θ/2), og ntegralet over dvergerer. Dette skyldes at Coulombkraften har lang rekkevdde, partkkelbanen blr avbøyd selv om støtparameteren s er aldr så stor, og v får bdrag tl σ for alle s! I realstske systemer vl ladnnger som regel være skjermet av andre ladnnger slk at systemet ser nøytralt ut fra tlstrekkelg stor avstand. Da får Coulombvekselvrknngen endelg rekkevdde, og sprednngstverrsnttet blr endelg. I kvantemekankken vl en fnne at sprednngstverrsnttet er endelg dersom V (r) 0 fortere enn 1/r 2 når r. Potensalet omkrng en skjermet ladnng beskrves av det såkalte Yukawa-potensalet, som avtar eksponenselt. En kommentar tl beregnngene over: V antok at M m og at massesenteret lå tlnærmet ro sett fra lab.systemet. Rutherfords formel gjelder alltd CM-systemet der Θ er vnkelen mellom nn- og utgående partkkel. 0

51 4 TOLEGEMEPROBLEMET; SENTRALE KREFTER 51 I lab.systemet er vnkelen mellom nn- og utgående partkkel generelt forskjellg fra Θ.

52 5 STIVE LEGEMERS KINEMATIKK 52 5 Stve legemers knematkk V skal dette kaptlet betrakte bevegelsene tl såkalte stve legemer. Svært mange mekanske systemer vl nneholde legemer som er (tlnærmet) stve, og det er også slke legemer Ensten omtaler sn speselle relatvtetsteor (som v kommer tlbake tl). V defnerer et stvt legeme som et system av punktmasser underlagt holonome førnger som uttrykker at avstanden mellom to vlkårlg valgte partkler er konstant. Knematkken omhandler bevegelsens natur og karakter. 5.1 Uavhengge koordnater Et stvt legeme med N partkler har utganspunktet 3N frhetsgrader. Antallet frhetsgrader blr mdlertd kraftg redusert av førngene r j = c j =konstant. Antallet førnger er N = 1 2N(N 1), men kke alle dsse er uavhengge. For å spesfsere possjonen tl et vlkårlg punkt legemet, må v kjenne possjonen tl 3 punkter legemet (som kke lgger langs én og samme lnje). Alle punkter legemet er derfor entydg bestemt dersom v kjenner 3 spesfserte punkter, pluss førngene r j = c j. De tre punktene er mdlertd bundet seg mellom av tre førnger, så antall frhetsgrader for legemet reduseres fra 9 tl 6: Fgur 13: Legemets possjon er bestemt dersom v kjenner tre punkter og førngene de er underlagt 3 koordnater for å spesfsere punkt 1 2 koordnater for å spesfsere punkt 2 (som må lgge på en kuleflate med radus r 12 = c 12 sentrert punkt 1). 1 koordnat for å spesfsere punkt 3 (som må lgge på en srkel omkrng aksen mellom 1 og 2 slk at r 13 = c 13 og r 23 = c 23 (se fg. 13). La x, y, z være akser et fast, eksternt koordnatsystem og x, y, z aksene som lgger fast det stve legemet (se fg. 14). Foruten 3 koordnater tl å spesfsere orgo (x, y, z )-systemet relatvt tl (x, y, z)-systemet, trengs retnngene tl x, y og z forhold tl x, y, z. Det er hensktsmessg å bruke retnngscosnusene α 1, α 2, α 3 for å spesfsere retnngen tl x : α 1 = cos(, ) = α 2 = cos(, j) = j α 3 = cos(, k) = k og tlsvarende oppskrft med β for j og γ for k. Ettersom = ( ) + ( j) j + ( k) k, har v altså: = α 1 + α 2 j + α 3 k j = β 1 + β 2 j + β 3 k (5.1) k = γ 1 + γ 2 j + γ 3 k V kan selvsagt nvertere denne prosessen, dvs. uttrykke, j og k ved sne komponenter langs, j og k : = ( ) + ( j ) j + ( k ) k = α 1 + β 1 j + γ 1 k

53 5 STIVE LEGEMERS KINEMATIKK 53 Fgur 14: Legemets possjon er gtt av tre punkter når v kjenner førngene osv. Retnngscosnusene gr sammenhengen mellom vlkårlge vektorer de to systemene (x, y, z) og (x, y, z ). (NB: Anta nå felles orgo de to systemene!). For eksempel har en possjonsvektor r x -komponent gtt ved og en vlkårlg vektor G har y -komponent x = r = (x + y j + z k) = α 1 x + α 2 y + α 3 z, G y = G j = (G x + G y j + G z k) j = β 1 G x + β 2 G y + β 3 G z. V har 9 retnngscosnuser, men har sett at v bare trenger 3 koordnater for å bestemme legemets orenterng entydg. Reduksjonen kan v gjøre ved hjelp av ortogonaltetsbetngelser: etc. På kompakt form: = (α 1 + β 1 j + γ 1 k ) 2 = α β γ 2 1 = 1 j = (α 1 + β 1 j + γ 1 k ) (α 2 + β 2 j + γ 2 k ) = α 1 α 2 + β 1 β 2 + γ 1 γ 2 = 0, α l α m + β l β m + γ l γ m = δ lm (5.2) V kan altså kke bruke retnngskosene som generalserte koordnater f.eks. en Lagrangeformulerng, ettersom de kke er uavhengge (v skal se at v kan formulere et sett av tre uavhengge funksjoner av retnngskosene, jf. Eulervnklene). De er lkevel nyttge størrelser for å beskrve sammenhengen mellom kartesske koordnatsystemer, [...]. 5.2 Ortogonale transformasjoner V nnfører nå en mer hensktsmessg notasjon ved å la x, y, z x 1, x 2, x 3. Transformasjonene blr da: x 1 = α 1 x 1 + α 2 x 2 + α 3 x 3 x 2 = β 1 x 1 + β 2 x 2 + β 3 x 3 x 1 = γ 1 x 1 + γ 2 x 2 + γ 3 x 3 Dette er en lneær transformasjon som generelt kan skrves: x 1 = a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 x 2 = a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x 3 x 3 = a 31 x 1 + a 32 x 2 + a 33 x 3,

54 5 STIVE LEGEMERS KINEMATIKK 54 Fgur 15: Ortogonal Transformasjon der a j er konstante koeffsenter (dvs. uavhengge av x,x ). Med summekonvensjon: x = a j x j, {1, 2, 3}. (5.3) Lengden av r må være upåvrket av transformasjonen (som svarer tl en rotasjon), dvs som gr x x = x x a j a k x j x k = x x a j a k = δ jk (5.4) Om v setter nn α, β, γ (5.4), ser v umddelbart at dette er akkurat de 6 betngelsene fra lgnng (5.2). V defnerer transformasjonsmatrsen, A = a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23, a 31 a 32 a 33 med matrseelementer a j.

55 5 STIVE LEGEMERS KINEMATIKK 55 Eksempel: To dmensjoner Transformasjonsmatrse: A = [ ] a11 a 12. a 21 a 22 Ortogonaltetsbetngelser, 3 stk.: a j a k = δ jk Med 4 matrseelementer og 3 ortogonaltetsbetngelser, har v 1 uavhengg størrelse som v betrakter som rotasjonsvnkelen ϕ. For ϕ har v (se fgur): x 1 x 2 = x 1 cos ϕ + x 2 sn ϕ = x 1 sn ϕ + x 2 cos ϕ dvs. a 11 = cos ϕ, a 21 = sn ϕ, a 12 = sn ϕ a 22 = cos ϕ gr: V sjekker for ortogonaltet: [ cos ϕ sn ϕ A = sn ϕ cos ϕ ] a 11 a 11 + a 21 a 21 = 1 = cos 2 ϕ + sn 2 ϕ = 1 a 12 a 12 + a 22 a 22 = 1 = sn 2 ϕ + cos 2 ϕ = 1 a 11 a 12 + a 21 a 22 = 1 = cos ϕ sn ϕ sn ϕ cos ϕ = 0 OK!

56 5 STIVE LEGEMERS KINEMATIKK 56 Transformasjonslgnngen r = A r kan betraktes på to måter: 1. Passv betraktnngsmåte: A er en operator som roterer koordnatsystemet (mot klokka eksempelet på forrge sde), mens vektoren r er ro. V fnner dermed komponentene av r det roterte koordnatsystemet. 2. Aktv betraktnngsmåte: A oppfattes som en operator som roterer vektoren r mens koordnatsystemet lgger fast. V fnner dermed en ny vektor r det uendrede koordnatsystemet (v må rotere vektoren med klokka for å få samme lgnnger r = A r som ovenfor - fg. 16). Fgur 16: 5.3 Formelle egenskaper tl transformasjonsmatrsen V ser på to suksessve trasformasjoner: Med summekonvensjon skrver v dette som r }{{ r } }{{ r } B A x k = b kj x j x = a k x k x = a k b kj x j c j x j ; c j = a k b kj V ser herav at to ortogonale transformasjoner A og B etter hverandre er ekvvalent med én transformasjon C slk at C = AB. Det kan vses at også C er en ortogonal transformasjon. Generelt er så transformasjonen er kke-kommutatv. Vdere er AB BA, (AB)C = A(BC), så transformasjonen er assosatv. Så langt har v jobbet med kvadratske matrser. V nnfører nå søylematrser: x 1 x x = x 2, x 1 = x 2. x 3 x 3 Matrsen Ax blr dermed en søylematrse med elementer (Ax) = a j x j = x = (x ), dvs: x = Ax. Legg merke tl at v her kke har gjort annet enn å skrve vektoren r som en søylematrse x der antall elementer tlsvarer dmensjonalteten tl rommet v betrakter.

57 5 STIVE LEGEMERS KINEMATIKK 57 Den nverse transformasjonen skrver v som A 1, med matrseelementer a 1 j A 1, kke 1/a j!). Transformasjonen A 1 skal brnge x tlbake tl x: x = a 1 j x j x k = a k x = a k a 1 j x j a k a 1 j = δ kj }{{}}{{} (AA 1 ) kj I kj (NB: a 1 j er (, j)-elementet av altså: der I er enhetsmatrsen, her 3 3-utgaven: I = AA 1 = I, Av x = a 1 j x j = a 1 j a jkx k fås a 1 j a jk = δ k, dvs. A 1 A = I, dvs A og A 1 kommuterer! (5.5) V ser nå på dobbeltsummen a kl a k a 1 j. Ved å bruke ortogonaltetsbetngelsene a kla k = δ l blr dette lk a 1 lj. Alternatvt kan v bruke at a k a 1 j = δ kj og dermed blr dobbeltsummen lk a jl. Altså: a 1 lj = a jl. Men a jl = ã lj, altså (l, j)-elementet av den transponerte matrsen Ã. Dette betyr at A 1 = à og ÃA = I for ortogonale matrser. (5.6) Med summekonvensjon skrver v ÃA = I ã ja jk = δ k og Aà = I a jã jk = δ k, så: a j a jk = δ k a j a kj = δ k sum over første ndeks sum over andre ndeks (5.7) V betrakter endelg determnanten A tl den (forutsatt kvadratske) matrsen A. Fra matematkken 1. klasse husker v at AB = A B. Ettersom ÃA = I, blr à A = 1, og da determnanten kke avhenger av ombytte rader kolonner, får v à = A, og dermed A 2 = 1 for alle ortogonale matrser. (5.8) Dette medfører at A = e θ, med 0 θ 2π. A er reell, så A = ± Eulervnklene V fant avsntt 5.2 at de 9 a j kke er brukbare som generalserte koordnater ettersom et rent roterende legeme med ett fast punkt kun har 3 frhetsgrader, og de 9 koordnatene dermed kke kan være uavhengge. Med 6 ortogonaltetsbetngelser reduserte v antallet uavhengge størrelser tl 3. I tllegg har v alltd én ekstra betngelse: transformasjonen må være fyssk mulg. Matematsk vl det s at den må kunne fremgå kontnuerlg fra enhetsmatrsen (som svarer tl null rotasjon), noe som medfører at v må ha A = I = +1. V kan kke ha A = 1 dersom transformasjonen skal være fyssk realserbar.

58 5 STIVE LEGEMERS KINEMATIKK 58 For eksempel nnebærer matrsen S = en refleksjon av koordnataksene: x = Sx x = x, y = y, z = z. Denne transformasjonen må utelates, da S = 1, og det er jo rmelg, ettersom S gjør et høyrehåndssystem om tl et venstrehåndssystem (se fgur 17). Fgur 17: V må fnne 3 uavhengge parametre for å spesfsere orenterngen tl det stve legemet. Dsse må være slk at den tlhørende ortogonale transformasjonen A har A = +1. Det mest vanlge valget er de såkalte Eulervnklene, som er tre suksessve rotasjonsvnkler (se fg 18): Fgur 18: Eulervnklene 1. xyz ξηζ ved rotasjon φ postv dreeretnng omkrng z-aksen. x = Dx, x = ξ η, x = ζ 2. ξηζ ξ η ζ ved rotasjon θ postv dreeretnng omkrng ξ-aksen. x = Cx, x = ξ η. 3. ξ η ζ x y z ved rotasjon ψ postv dreeretnng om ζ -aksen. x = Bx, x = D beskrver rotasjon omkrng z-aksen: D = cos φ sn φ 0 sn φ cos φ x y z ζ. x y z, (5.9) C beskrver rotasjon omkrng ξ-aksen (knutelnjen): C = 0 cos θ sn θ, (5.10) 0 sn θ cos θ.

59 5 STIVE LEGEMERS KINEMATIKK 59 B beskrver rotasjon omkrng ζ -aksen: B = cos ψ sn ψ 0 sn ψ cos ψ , (5.11) og v får produktet A = BCD: cos ψ cos φ cos θ sn φ sn ψ cos ψ sn φ + cos θ cos φ sn ψ sn ψ sn θ A = sn ψ cos φ cos θ sn φ cos θ sn ψ sn φ cos θ cos φ cos ψ cos ψ sn θ (5.12) sn θ sn φ sn θ cos φ cos θ Den nverse transformasjonen x = A 1 x er gtt ved A 1 = Ã som fås ved å la rader og kolonner bytte plass A jf. (5.6). 5.5 Infntesmale transformasjoner To påfølgende rotasjoner kan beskrves med et produkt av to matrser, AB. V vet at matrsemultplkasjon generelt kke er kommutatv, dvs. AB BA. Dette ser v best ved et eksempel som vst fgur 19. Fgur 19: Endelge rotasjoner kommuterer generelt kke. Så langt har v sett på endelge transformasjoner. V skal se at motsetnng tl de fleste endelge transformasjoner, er nfntesmale transformasjoner kommutatve. Betrakt, på tensorform, den nfntesmale transformasjonen x = x + e j x j = (δ j + e j )x j, e j 1. På matrseform: x = (I + E)x.

60 5 STIVE LEGEMERS KINEMATIKK 60 V ser så på to suksessve nfntesmale transformasjoner: (I + E 1 )(I + E 2 ) = I + E 1 I + IE 2 + = I + E 1 + E 2, ettersom ledd av 2. orden nfntesmale størrelser alltd kan neglsjeres (at E er en nfntesmal transformasjon betyr her nettopp at e j er så små at ledd O(e 2 j ) kan neglsjeres uten korreksjoner). Ettersom I + E 1 + E 2 = I + E 2 + E 1, har v at (I + E 1 )(I + E 2 ) = (I + E 2 )(I + E 1 ), (5.13) dvs. Infntesmale transformasjoner er kommutatve (5.14) V ser umddelbart at den nverse transformasjonen må være A 1 = I E, ford AA 1 = (I + E)(I E) = I, der v gjen neglsjerer ledd O(e 2 ). V vet fra før at transformasjonsmatrsen skal være ortogonal, dvs. Ã I + Ẽ = A 1 Ẽ = E ẽ j e j = e j, (5.15) dvs. at E er antsymmetrsk. En generell nfntesmal antsymmetrsk matrse har dermed kun tre uavhengge elementer og kan skrves på formen 0 dω 3 dω 2 E = dω 3 0 dω 1 (5.16) dω 2 dω 1 0 og dermed: x x dx = Ex 0 dω 3 dω 2 = dω 3 0 dω 1 dω 2 dω 1 0 x 1 x 2 x 3. På komponentform (med summekonvensjon): dx = ɛ jk x j dω k eventuelt d r = r dω. (5.17) Merk at størrelsen dω er en dfferensell vektor (kke dfferensalet av en endelg vektor). V sammenlgner med bevegelseslgnngene for rotasjon v fant kapttel 2.6.2, og ser at v kan tolke dω fyssk som en lten endrng rotasjonsvnkel ved å skrve dω = ndφ, der dφ er en lten vnkel (se fg. 20).

61 5 STIVE LEGEMERS KINEMATIKK 61 Fgur 20: 5.6 Tdsendrng av en vektor La oss nå bruke resultatet fra forrge avsntt tl å se på tdsendrng av en vektor. Betrakt et legeme som roterer med vnkelhastghet ω = dω dt sett fra et system utenfor legemet. På grunn av rotasjon av legemets koordnatsystem det eksterne systemet, vl endrngen av en vlkårlg vektor G (= r, v, L etc.) oppleves forskjellg dette eksterne systemet og et system som lgger fast legemet: (dg body ) (dg space ) Betrakt en vektor G fksert legemet, dvs. (dg) body = 0. Da blr (d G) space = (d G rot. ) = d Ω G. Den naturlge generalserngen er (d G) space = (d G) body + d Ω G. Tdsendrngen er da relatert ved ( der ω = d Ω dt dg ) ( d = ) G + ω G, dt dt (5.18) space body er nstantan vnkelhastghet. Da G er en generell vektor, kan v skrve operatorrelasjonen: ( d dt ) space = ( d dt ) body + ω (5.19) For eksempel: G = r = v space = v body + ω r. Mer formell utlednng av ( d dt ) space = ( d dt ) body + ω : Betrakt komponent G av G langs x -aksen rommet: G = a 1 j G j = ã j G j = a j G j. I løpet av dt endrer både G j og a j seg. Dfferenserng gr: dg = a j dg j + da j G j Anta at ved tdspunkt t = 0 er (x, y, z) sammenfallende med (x, y, z ). Det medfører at vektorkomponentene av G er lke, G j = G j, mens dfferensalene er ulke: a jdg j = dg. Transformasjons matrsen A er lk I ved t = 0, men endres tl I + E løpet av dt. Dermed: da j = (Ẽ) j = (E) j, ettersom E er antsymmetrsk, som v vste tdlgere. V uttrykker nå e j ved hjelp av Lev-Cvta-tensoren: e j = ɛ jk dω k = ɛ kj dω k.

62 5 STIVE LEGEMERS KINEMATIKK 62 V kan lett sjekke at dette stemmer ved å sammenlgne med matrsen (5.16). Uttrykket for dg kan v nå skrve på formen: som gr som er det samme som v fant tdlgere. dg = dg + ɛ kj dω k G j ( = dg + dω G ), d G = d G + d Ω G, Komponentene ω langs legemets akser V ønsker vdere å fnne komponentene av ω langs legemets akser x, y, og z. Rotasjonen som svarer tl ω kan oppfattes som 3 suksessve rotasjoner med vnkelhastgheter henholdsvs ω φ = φ, ω θ = θ og ω ψ = ψ. V bruker nå teoren fra tdlgere for å fnne komponentene: ω φ svarer tl rotasjon om z-aksen, dvs. ω φ = V fant A (5.12), og ved å sette nn denne får v 0 0 φ, og: ω φ = A ω φ. (ω φ ) x = φ sn θ sn ψ, (ω φ ) y = φ sn θ cos ψ, (ω φ ) z = φ cos θ. ω θ tlsvarer rotasjon om ξ-aksen, dvs. ω θ = Med B fra avsntt om Eulervnklene, får v: θ 0 0, og transformasjonen blr ω θ = B ω θ. (ω θ ) x = θ cos ψ, (ω θ ) y = θ sn ψ, (ω θ ) z = 0 Da ω ψ tlsvarer rotasjon om ζ, og dermed omkrng z, er ngen transformasjon nødvendg: 0 ω ψ = ω ψ 0. ψ Legges alle de tre sammen, får v: ω x ω y ω z = φ sn θ sn ψ + θ cos ψ = φ sn θ cos ψ θ sn ψ = φ cos θ + ψ (5.20) 5.7 Corolskraften V går tlbake tl ( d dt ) space = ( d dt ) body + ω. La space -systemet være et (tlnærmet) nertalsystem fksert f.eks. forhold tl våre nærmeste stjerner, og la dette systemet kjennetegnes med ndeks s. Body -systemet har akser som roterer med jorda, som v antar er et stvt legeme, og kjennetegnes ved ndeks r (for relatv ). Se fg (21). V antar at v kan neglsjere tdsavhenggheten tl ω.

63 5 STIVE LEGEMERS KINEMATIKK 63 Fgur 21: Jordens rotasjon to forskjellge koordnatsystemer. ω er antatt konstant. V anvender ( d dt ) space = ( d dt ) body + ω på r: v s = v r + ω r, og setter deretter nn v s : ( ) ( ) d d dt v s = s dt v s + ω v s r [ d = dt v r + d ] ( ω r) dt r + ω v r + ω ( ω r). Ettersom [ d dt ( ω r)] r = ω v r, får v: a s = a r + 2 ω v r + ω ( ω r) (5.21) V har antatt at space -systemet er et nertalsystem, som medfører at Newtons lover gjelder. F = m a s kan nå skrves slk: F eff = m a r ; Feff F + 2m v r ω }{{} m ω ( ω r) }{{} Corolskraften Sentrfugalkraften (5.22) Fgur (22) vser at v Corolskraften gr et avvk mot høyre på nordlge halvkule og mot venstre på sørlge halvkule. Jordens vnkelhastghet er ω = 7, s 1. Som den formelle utlednngen av operatorrelasjonen for tdsendrng av vektor, legger v også her rommets akser sammenfallende med jordens et gtt tdspunkt, og v fnner at rω 2 = 3, 38cm/s 2 er maksmale sentrpetalakselerasjon. Fgur (23) vser hvordan F Cor. påvrker vndsystemer: