Bevarelsesmetoder for hyperbolske dierensialligninger

Transkript

1 Bevarelsesmetoder for hyperbolske derensallgnnger Ivar Aavatsmark Anvendt og beregnngsorentert matematkk Unverstetet Bergen Bergen 2004

2 Innhold 1 Modellgnnger Gruntvannsstrømnng Én romlg dmensjon Hvrvelfr strømnng horsontalplanet uten frksjon Endmensjonal tofasestrømnng porøse stoer Polymerømmng Skalare hyperbolske bevarelseslover Hyperbolske lgnngssystemer Skalar lgnng med konstant koesent System av lneære lgnnger Kontnuerlg løsnng av den skalare lgnng Dskontnuerlge løsnnger Løsnng av den skalare lgnng Innledende eksempel Dskontnuerlg startverd Fluksfunksjon med vendepunkt Entropbetngelsen Remann-problemet Systemer av hyperbolske bevarelseslover System av kvaslneære lgnnger Reduserbart system Remannske nvaranter Eksempel 1: Endmensjonal gruntvannsstrømnng Eksempel 2: Stasjonær gruntvannsstrømnng Enkle bølger Dskontnuteter Eksempel 1: Endmensjonal gruntvannsstrømnng Eksempel 2: Vannsprang stasjonær strømnng Støthastghet og karakterstsk hastghet Remann-problemet Eksempel 1: Endmensjonal gruntvannsstrømnng

3 Innhold Eksempel 2: Polymerømmng Derensmetoder for skalare bevarelseslover Motstrømsderenser Bevarelse Lneær stabltet Monoton Monotone bevarelsesmetoder La-Fredrchs' metode Godunovs metode Engqust-Oshers metode Konvergens for monotone bevarelsesmetoder Nøyaktghet Eksempel Derensmetoder for systemer av bevarelseslover Umddelbar generalserng La-Fredrchs' metode Godunovs metode Lneært system med konstante koesenter Remann-problemet for lneære systemer Roes metode Roes lnearserng for gruntvannslgnngene Roes metode for skalare lgnnger Oshers metode Høyere ordens metoder for skalare lgnnger Total varasjon Metoden med helnngsbegrensnng Ltteratur 140

4 Kapttel 1 Modellgnnger I dette kapttelet skal v utlede strømnngslgnngene for noen modeller som vl belyse egenskaper og karakter tl hyperbolske bevarelseslover. V skal se på følgende modeller: gruntvannsstrømnng, tofasestrømnng porøse stoer og polymerømmng. Første og sste modell gr et system av to lgnnger, mens tofasestrømnngen gr en skalar lgnng. 1.1 Gruntvannsstrømnng Ved strømnng på grunt vann kan de almnnelge strømnngslgnnger ofte forenkles ved å anta at hastgheten vnkelrett på underlaget er neglsjerbar, og at trykket er hydrostatsk vnkelrett på underlaget. Slke modeller gr en god beskrvelse for en rekke naturlge bølgebevegelser som f.eks. tdevannsbevegelse på havet, tdevannsbølger elver og fjorder, og strømnng renner. Strømnngen bunnen av en oppvaskkum med åpent sluk vl også være godt beskrevet med de utledede lgnnger. For lave væskehøyder vl mdlertd grenseatespennngen kunne modsere modellen noe. Modellen gjelder kke for strømnng væskelmer Én romlg dmensjon V begynner utlednngen av gruntvannslgnngene ved å anta endmensjonal strømnng. I neste avsntt utledes de samme lgnngene for det todmensjonale tlfellet. V denerer følgende størrelser: ρ tetthet (konstant), g tyngdens akselerasjon, h høyde normalt på underlaget, b bredde (konstant), u hastghet, κ frksjonskoesent, α underlagets helnngsvnkel. 4

5 1.1 Gruntvannsstrømnng 5 h 1 2 Fgur 1.1: Gruntvannsbølge. V ser på massebevarelsen på et ntervall ( 1, 2 ), se gur 1.1. Her må gjelde dvs Dette kan skrves {opphopnng} + {utstrømnng} = 0, (1.1) d 2 ρhb d + [ρhbu] 2 dt 1 = 0. (1.2) [(ρhb) t + (ρhbu) ] d = 0, (1.3) og sden 1 og 2 er vlkårlge, må ntegranden forsvnne overalt. Sden ρb er konstant, fås h t + (hu) = 0. (1.4) Tlsvarende får v for mpulsbevarelsen over ntervallet ( 1, 2 ). Den formuleres som en kraftbalanse: {mpulsopphopnng} + {mpulsutstrømnng} {trykkraft} = {komponent av tyngdekraften} {frksjonskraft}, (1.5) dvs d 2 ρhbu d + [ ρhbu 2] dt 1 + [p] 2 1 = ρghb sn α d κρb u u d (1.6) I gruntvannsmodellen antas at trykket er hydrostatsk, slk at trykkraften over snttet med areal hb blr p = h 0 ρg(h z)b cos α dz = 1 2 ρgh2 b cos α. (1.7) Frksjonsuttrykket κρb u u er Chézys emprske formel. Den gjelder for brede renner (b h). Koesenten κ regnes ofte som konstant, men er egentlg en funksjon av Reynolds-tallet R = hu/ν og underlagets ruhet. Her er ν vannets knematske vskostet. Frksjonskoesenten κ lgger vanlgvs området [10 3, 10 2 ].

6 6 1 Modellgnnger 2 Lgnng (1.6) blr 1 [ (ρhbu)t + (ρhbu 2 ) + ( 1 2 ρgh2 b cos α ) ρghb sn α + κρb u u] d = 0, og sden 1 og 2 er vlkårlge og ρb er konstant, fås hvor γ = g cos α. Her er (1.8) (hu) t + ( hu γh2) = γh tan α κ u u, (1.9) (hu) t + ( hu γh2) = u [h t + (hu) ] + h [ u t + ( 1 2 u2 + γh ) ], (1.10) slk at mpulsbevarelsen også kan skrves på avledet form u t + ( 1 2 u2 + γh ) u = γ tan α κ u h. (1.11) Lgnng (1.11) er ekvvalent med lgnng (1.9) for glatte løsnnger. Endelg kan v også stlle opp energbevarelsen over ntervallet ( 1, 2 ). Den betraktede energen er den mekanske energ, dvs summen av knetsk energ og potensell energ. dvs {energopphopnng} + {energutstrømnng} {trykkraftens ytelse} 2 h = {tyngdekraftens ytelse} {frksjonskraftens ytelse}, (1.12) d ( 1 dt 2 ρu2 + ργz ) [ h ( b dz d ρu2 + ργz ) 2 bu dz] [ h ] ργ(h z)bu dz ρghbu sn α d κρb u u 2 d. (1.13) 0 1 Dette gr = 1 [ (( 1 2 ρhu ργh2) b ) t + (( 1 2 ρhu ργh2 u ) b ) + ( 1 2 ργh2 bu ) ργhbu tan α + κρb u u2] d = 0, (1.14) og sden 1 og 2 er vlkårlge og ρb er konstant, fås ( 1 2 hu γh2) t + ( 1 2 hu3 + γh 2 u ) = γhu tan α κ u u2. (1.15) Her er ( 1 2 hu γh2) t + ( 1 2 hu3 + γh 2 u ) = ( γh 1 2 u2) [h t + (hu) ] + u [ (hu) t + ( hu γh2) ]. (1.16)

7 1.1 Gruntvannsstrømnng 7 Således er energbevarelsen alltd oppfylt når masse- og mpulsbevarelsene er oppfylt på derensalform. De grunnleggende bevarelseslgnngene er dermed (1.4) og (1.9), som v stller opp på nytt: h t + (hu) = 0, (hu) t + ( hu γh2) = γh tan α κ u u. (1.17) Spesaltlfeller 1. Anta at venstresden mpulsbevarelsen er neglsjerbar, og at α > 0. Da er γh tan α = κ u u = κu 2, (1.18) dvs γ tan α u = h. (1.19) κ Når uttrykket (1.19) settes nn massebevarelsen (1.4), fås ( ) γ tan α h t + h 3/2 = 0. (1.20) κ Denne lgnngen gr en god tlnærmelse tl enkeltbølger nedover et skråplan. Den tllater mdlertd kke bølgetogløsnnger, som v ofte kan se renner og på asfalterte gater. 2. Anta strømnng på horsontalt underlag uten frksjon. Lgnngene (1.17) blr Dette lgnngssystemet har formen hvor og h t + (hu) = 0, (hu) t + ( hu gh2) = 0. (1.21) u t + f(u) = 0, (1.22) u = [ u1 u 2 ] = [ ] h hu (1.23) [ ] u 2 hu f(u) = hu = 2 gh2 u gu2. (1.24) 1 u 1 2 Annen lgnng (1.21) kan erstattes med den avledede lgnngen for glatte løsnnger. u t + ( 1 2 u2 + gh ) = 0 (1.25)

8 8 1 Modellgnnger Hvrvelfr strømnng horsontalplanet uten frksjon V ser på de samme bevarelseslgnngene som forrge avsntt, men nå to romlge dmensjoner. V benytter også de samme størrelsene, men de avhengge varable er nå høyden h = h(, y, t) og hastgheten q = [u, v] T = [u(, y, t), v(, y, t)] T. Strømnngen antas hvrvelfr, dvs rot q = 0, og for enkelhets skyld ser v bare på strømnng horsonalplanet uten frksjon. Bevarelseslgnngene stlles opp ved å betrakte et område A y-planet med rand C og med ytre enhetsnormal n, se gur 1.2. Massebevarelsen blr d dt A h 0 ρ dz dτ + C h 0 ρq n dz ds = 0, (1.26) dvs d ρh dτ + ρhq n ds = 0. (1.27) dt A C Av dvergenssetnngen følger [(ρh) t + dv(ρhq)] dτ = 0, (1.28) og sden A er vlkårlg og ρ er konstant, fås Impulsbevarelsen blr dvs d dt A h t + dv(hq) = 0. (1.29) {mpulsopphopnng} + {mpulsutstrømnng} {trykkraft} = 0, (1.30) A h 0 ρq dz dτ + C Integrasjon gr d ρhq dτ + dt A h C 0 ρq(q n) dz ds + C h 0 ρg(h z)n dz ds = 0. (1.31) 1 ρhq(q n) ds + 2 ρgh2 n ds = 0. (1.32) C A C n Fgur 1.2: Område A med rand C og ytre enhetsnormal n.

9 1.1 Gruntvannsstrømnng 9 Her kan man kke uten vdere anvende dvergenssetnngen. Annet ledd kan omformes ved å betrakte uttrykket kartesske koordnater: ρhq(q n) ds C = ρh(u + vj)(q n) ds C = [dv(ρhuq) + dv(ρhvq)j)] dτ = = = A A A A [ ] (u dv(ρhq) + ρhq grad u) + (v dv(ρhq) + ρhq grad v)j) dτ [q dv(ρhq) + ρh(q grad)q] dτ [ q dv(ρhq) + ρh grad ( 1 2 q2)] dτ. I den sste overgangen er det gjort bruk av formelen (1.33) (q grad)q = grad ( 1 2 q2) q rot q. (1.34) Sden bevegelsen er hvrvelfr, er mdlertd rot q = 0. Det funne uttrykket (1.33) er gyldg et vlkårlg koordnatsystem. Innsatt lgnng (1.32) fås dermed [ (ρhq)t + q dv(ρhq) + ρh grad ( 1 2 q2) + grad ( 1 2 ρgh2)] dτ = 0, (1.35) A og sden A er vlkårlg og ρ er konstant, fås Her er (hq) t + q dv(hq) + h grad ( 1 2 q2) + grad ( 1 2 gh2) = 0. (1.36) (hq) t + q dv(hq) + h grad ( 1 2 q2) + grad ( 1 2 gh2) = q [h t + dv(hq)] + h [ q t + grad ( 1 2 q2 + gh )], (1.37) slk at mpulsbevarelsen også kan skrves på den avledede formen q t + grad ( 1 2 q2 + gh ) = 0. (1.38) Lgnng (1.38) er ekvvalent med lgnng (1.36) for glatte løsnnger. I energbevarelsen betrakter v som tdlgere den mekanske energ, altså summen av knetsk og potensell energ: {energopphopnng} + {energutstrømnng} {trykkraftens ytelse} = 0, (1.39)

10 10 1 Modellgnnger dvs d dt A h 0 Integrasjon gr ( 1 2 ρq2 + ρgz ) dz dτ + C + h 0 h C ( 1 2 ρq2 + ρgz ) q n dz ds 0 ρg(h z)q n dz ds = 0. (1.40) d ( 1 dt 2 ρhq ρgh2) ( dτ ρhq ρgh2) q n ds A C ρgh2 q n ds = 0. (1.41) C Ved bruk av dvergenssetnngen fås [( 1 2 ρhq ρgh2) t + dv(( 1 2 ρhq2 + ρgh 2) q )] dτ = 0, (1.42) A og sden A er vlkårlg og ρ er konstant, fås ( 1 2 hq gh2) t + dv(( 1 2 hq2 + gh 2) q ) = 0. (1.43) Her er ( 1 2 hq gh2) t + dv(( 1 2 hq2 + gh 2) q ) = ( gh 1 2 q2) [h t + dv(hq)] + q [(hq) t + q dv(hq) + h grad ( 1 2 q2) + grad ( 1 2 gh2)]. (1.44) Således er energbevarelsen alltd oppfylt når masse- og mpulsbevarelsen er oppfylt på derensalform. De grunnleggende bevarelseslgnngene er dermed (1.29) og (1.36), som v stller opp på nytt: h t + dv(hq) = 0, (hq) t + q dv(hq) + h grad ( 1 2 q2) + grad ( 1 2 gh2) = 0. (1.45) Spesaltlfelle Anta stasjonær, radell strømnng med frksjon. Da er h = h(r) og q = u(r)e r. Lgnngene (1.45) forenkles tl vanlge derensallgnnger, og frksjonsuttrykket kan hentes fra lgnngene (1.17). Dette gr u r d dr (rhu) + h d dr 1 d (rhu) = 0, r dr (1.46) ( 1 2 u2) + d ( 1 dr 2 gh2) = κ u u. (1.47)

11 1.1 Gruntvannsstrømnng 11 En enkel omformng gr d dr d hu (hu) + = 0, (1.48) dr r ( hu gh2) + hu2 r = κ u u. (1.49) 1.2 Endmensjonal tofasestrømnng porøse stoer Når væskebevegelse porøse stoer betraktes på en skala mye større enn poreskala, regnes væsken som et kontnuum som fyller den andel av et volum som stoets porøstet tlser. Tlsvarende antas ved tofasestrømnng at hver fase er tl stede overalt med et volum som svarer tl fasens metnng (volumbrøk) porevolumet. Lgnngene skal utledes for nkompressbelt faststo og nkompressble faser. V nnfører følgende størrelser, se gur 1.3: ρ tetthet (konstant), s metnng (fasevolum/porevolum), φ porøstet (porevolum/totalvolum) (konstant), v volumstrømtetthet, p trykk, g tyngdens akselerasjon, α vnkel mot loddlnjen, λ bevegelghet, k permeabltet, k r relatv permeabltet, µ vskostet. V skal betegne de to fasene som vann (w) og olje (o). Massebevarelsen for hver fase over et ntervall ( 1, 2 ) lyder dvs d dt φs ρ d + [ρ v ] 2 1 = 0, = w, o, (1.50) 1 [(φs ρ ) t + (ρ v ) ] d = 0, = w, o. (1.51) α loddlnje Fgur 1.3: -retnng og vnkelen α.

12 12 1 Modellgnnger Sden 1 og 2 er vlkårlge, må ntegranden forsvnne overalt: (φs ρ ) t + (ρ v ) = 0, = w, o. (1.52) Her er s o + s w = 1. Volumstrømtettheten tl hver fase er gtt ved Darcys lov, som ser at strømtettheten er proporsjonal med, og går motsatt retnng av, den del av trykkgradenten som overstger den hydrostatske: ( ) p v = λ (s w ) ρ g cos α, = w, o. (1.53) Proporsjonaltetskoesenten er den sterkt metnngsavhengge fasebevegelgheten λ = k r(s w )k µ. (1.54) Sden faststoet og fasene er nkompressble, dvs φ, ρ o og ρ w er konstante, forenkles massebevarelsene (1.52) tl φ s w t + v w φ s o t + v o = 0, (1.55) = 0. (1.56) For å forenkle utlednngen deneres følgende størrelser: γ = (ρ w ρ o )g cos α tyngdetetthetsderanse, p c (s w ) = p o p w kapllærtrykk, v = v o + v w total volumstrømtetthet. Addsjon av massebevarelsene (1.55) og (1.56) gr, sden s o + s w = 1, Subtraksjon av Darcys lov for hver av fasene (1.53) gr v = 0. (1.57) v w v ( o pw = λ w λ o p ) o + (ρ w ρ o )g cos α (1.58) = p c + γ, (1.59) dvs ( 1 v w + 1 ) v = p c + γ. (1.60) λ w λ o λ o Således fås for vannets volumstrømtetthet v w = λ w λ o + λ w v + λ oλ w λ o + λ w γ + λ oλ w λ o + λ w p c. (1.61)

13 1.2 Endmensjonal tofasestrømnng porøse stoer 13 f w h u u Fgur 1.4: f w (u). Fgur 1.5: h(u). f f u u Fgur 1.6: f(u) for γ < 0. Fgur 1.7: f(u) for γ > 0. Innsatt massebevarelsen (1.55) fås φ s w t + v ( ) λw + γ ( ) λo λ w + ( ) λo λ w p c = 0. λ o + λ w λ o + λ w λ o + λ w (1.62) Med densjonene blr lgnng (1.62) λ w f w (s w ) =, λ o + λ w (1.63) h(s w ) = λ oλ w, λ o + λ w (1.64) f(s w ) = v φ f w(s w ) + γ φ h(s w), (1.65) ɛ(s w ) = h(s w) φ dp c ds w (1.66) s w t + f(s w) = ( ɛ(s w ) s ) w. (1.67) Hvs annenordensleddet kan neglsjeres, får v med u = s w Buckley-Leveretts lgnng: u t + f(u) = 0. (1.68)

14 14 1 Modellgnnger Funksjonen f(u) kalles uksfunksjonen. Typske forløp for funksjonene (1.63), (1.64) og (1.65) er vst gurene 1.4, 1.5, 1.6 og 1.7. I gur 1.6 vrker tyngden negatv -retnng, mens den gur 1.7 vrker postv -retnng. Dersom vann fortrenger olje postv -retnng, vl strømnngen første tlfelle være stabl, mens den annet tlfelle vl være ustabl. 1.3 Polymerømmng V ser her på samme modell som avsntt 1.2, men den vandge fasen består nå av to komponenter: vann og polymer. Den vandge fasens vskostet er en funksjon av polymerkonsentrasjonen den vandge fasen: jo høyere konsentrasjon, jo segere blr den vandge fasen. Tettheten den vandge fasen erstattes nå av følgende konsentrasjoner: ρ p konsentrasjon (masse/volum) av polymer den vandge fasen, ρ w konsentrasjon (masse/volum) av vann den vandge fasen. V denerer massebrøken for polymer den vandge fasen ved Dermed blr c = ρ p ρ p + ρ w. (1.69) ρ p =c(ρ p + ρ w ), (1.70) ρ w =(1 c)(ρ p + ρ w ). (1.71) Fra utlednngen avsntt 1.2 vet v hvordan man kan gå fra en ntegralformulerng tl en derensalformulerng av bevarelseslgnngene. V hopper derfor over ntegralformulerngen, og får følgende massebevarelse for hver av komponentene vann, polymer og olje: (φs w ρ w ) t + (ρ w v w ) = 0, (1.72) (φs w ρ p ) t + (ρ p v w ) = 0, (1.73) (φs o ρ o ) t + (ρ o v o ) = 0. (1.74) Bemerk at ndeks w benyttes både for vannkomponenten ( ρ w ) og for den vandge fasen ( s w og v w ). Det samme gjelder for ndeks o, men der er det ngen forskjell mellom komponent og fase. Som før antas at faststoet og fasene er nkompressble, dvs at φ, ρ o og ρ p +ρ w er konstante. Ved nnsettng av (1.70) og (1.71) fås massebevarelsene φ (s w (1 c)) t + ((1 c)v w ) = 0, (1.75) φ (s w c) t + (cv w ) = 0, (1.76) φ (s o ) t + (v o ) = 0. (1.77)

15 1.3 Polymerømmng 15 Her er s o +s w = 1. Ved addsjon kan lgnngene (1.75) og (1.76) sammenfattes tl φ (s w ) t + (v w ) = 0. (1.78) Volumstrømtetthetene tl fasene er som før gtt ved Darcys lov: ( ) po v o = λ o (s w ) ρ og cos α, (1.79) ( ) pw v w = λ w (s w, c) (ρ p + ρ w )g cos α, (1.80) hvor fasebevegelghetene er λ o = k ro(s w )k, λ w = k rw(s w )k. (1.81) µ o µ w (c) Som før settes γ = (ρ p + ρ w ρ o )g cos α tyngdetetthetsderanse, p c (s w ) = p o p w kapllærtrykk, v = v o + v w total volumstrømtetthet. Addsjon massebevarelsene (1.77) og (1.78) gr, sden s o + s w = 1, v = 0. (1.82) Subtraksjon av Darcys lov for hver av fasene (1.79) og (1.80) gr som før v w = λ w λ o + λ w v + λ oλ w λ o + λ w γ + λ oλ w λ o + λ w p c. (1.83) Innsatt massebevarelsen for den vandge fasen (1.78) fås φ s w t + v ( ) λw + γ ( ) λo λ w + ( ) λo λ w p c = 0. λ o + λ w λ o + λ w λ o + λ w (1.84) Tlsvarende fås ved nnsettng av (1.83) massebevarelsen for polymerkomponenten (1.76) φ t (cs w) + v ( cλw λ o + λ w ) + γ ( ) cλo λ w + ( ) cλo λ w p c = 0. λ o + λ w λ o + λ w (1.85) V nnfører den forenklede skrvemåten s = s w for vannmetnngen. Analogt med tdlgere denerer v λ w f w (s, c) =, λ o + λ w (1.86) h(s, c) = λ oλ w, λ o + λ w (1.87) f(s, c) = v φ f w(s, c) + γ h(s, c), (1.88) φ

16 16 1 Modellgnnger f c 1 c 2 s Fgur 1.8: f(s, c) for γ = 0 med c 1 < c 2. hvor λ w = λ w (s, c) og λ o = λ o (s). Hvs annenordensleddet kan neglsjeres, gr lgnngene (1.84) og (1.85) systemet Dette lgnngssystemet har formen hvor u = s t + f(s, c) = 0, (cs) t + ( c f(s, c) ) = 0. (1.89) u t + f(u) = 0, (1.90) [ ] [ ] s f, f(u) =. (1.91) cs cf Et eksempel på uksfunksjonen f(s, c) er vst gur 1.8 for tlfellet γ = 0. Funksjonen er vst for to polymernnhold c 1 < c 2. Når γ = 0, er f(s, c 2 ) < f(s, c 1 ) for c 1 < c 2. Annen lgnng systemet (1.89) kan også skrves på avledet form. Sden (cs) t + ( c f(s, c) ) [ ] = c [s f(s, c) t + f(s, c) ] + s c t + c, (1.92) s blr den avledede lgnngen c t + f(s, c) s Lgnng (1.93) er gyldg for glatte løsnnger. c = 0. (1.93)

17 Kapttel 2 Skalare hyperbolske bevarelseslover I dette kapttelet skal v se på lgnnger av typen u t + f(u) = 0. (2.1) Slke lgnnger kalles bevarelseslover, ford, som v har sett kapttel 1, de uttrykker bevarelse av vsse størrelser (masse, mpuls, energ eller lgnende). I neste kapttel skal v se på systemer av samme type, altså lgnngssystemet u t + f(u) = 0. (2.2) Men sden drøftngen av enkelte egenskaper er felles for skalare lgnnger og for lgnngssystemer, vl systemer av lgnnger bl behandlet noen av avsnttene dette kapttelet. 2.1 Hyperbolske lgnngssystemer V begynner dette kapttelet med å se på lgnngssystemet u t + A(u,, t)u = h(u,, t). (2.3) Her er u og h n-vektorer, mens A er en n n-matrse. Lgnngssystemet (2.3) er ltt mer generelt enn lgnngene (2.2). I lgnngssystemet (2.2) kan man skrve f(u) = f (u)u, hvor f (u) er Jacob-matrsen tl f(u). I lgnngssystemet (2.3) tllates at matrsen A også avhenger av og t, samt at v har en høyresde som kan avhenge av de samme størrelsene. Lgnngssystemet (2.3) kalles kvaslneært, sden de derverte u og u t nngår lneært. Systemet er lneært hvs tllegg A og h er funksjoner av og t alene. Anta at u er gtt på en kurve C t-planet, beskrevet ved φ(, t) = konstant. Kurven C kalles en karakterstkk dersom det kke er mulg å bestemme de derverte u og u t ut fra de gtte data for u på C. 17

18 18 2 Skalare hyperbolske bevarelseslover Sden u er gtt på C, kan v bestemme den tangentelle derverte τ. Normalen tl C er [φ, φ t ] T, slk at tangenten tl C er [φ t, φ ] T. Således blr den tangentelle derverte tl u lk τ = u φ t u t φ. Altså er La Ved å sette (2.4) nn lgnng (2.3), fås u t = φ t φ u τ φ. (2.4) λ = φ t φ. (2.5) ( λi + A) u = h + τ φ. (2.6) Således er u ubestemt hvs λ er en egenverd for matrsen A. Hvs v steden lar kurven C være beskrevet ved = ψ(t), blr φ(ψ(t), t) = konstant, og dermed Følgelg er d dt φ(ψ(t), t) = φ ψ (t) + φ t = 0. (2.7) ψ (t) = φ t φ = λ. (2.8) Hvs altså kurven C er beskrevet ved d/dt = λ, hvor λ er en egenverd for matrsen A, så er det kke mulg å bestemme de derverte u og u t ut fra gtte data for u på C. Lgnngssystemet (2.3) kalles hyperbolsk dersom alle egenverdene λ tl A er reelle og forskjellge. Det kalles svakt hyperbolsk hvs egenverdene tl A er reelle og A er dagonalserbar. For et hyperbolsk system kalles kurvene d/dt = λ karakterstkker, og λ kalles karakterstsk hastghet (bølgehastghet) Skalar lgnng med konstant koesent Det enkleste eksempel på lgnngene (2.3) er en homogen skalar lgnng med konstant koesent. Hvs v tllegg antar Cauchy-startkrav, fås startverdproblemet u t + cu = 0, (2.9) u(, 0) = u 0 (), (2.10) hvor c er en konstant, og u 0 er en vlkårlg funksjon. I drøftelsene nedenfor skal v anta at c > 0. Karakterstkkene er gtt ved d/dt = c, dvs c er karakterstsk hastghet. Langs den karakterstske lnjen ct = ξ, se gur 2.1, er d dt u = u c + u t = 0, (2.11)

19 2.1 Hyperbolske lgnngssystemer 19 t (, t) u u(, 0) u(, t) ct = ξ ξ + ct Fgur 2.1: Karakterstkk. Fgur 2.2: Forskyvnng av u. dvs u er konstant langs karakterstkken. Sden u er konstant langs karakterstkkene, er den generelle løsnngen gtt ved u(, t) = u 0 ( ct). (2.12) Avhengghetsområdet for et punkt (, y) er punktet ξ = ct på -aksen. Innytelsesområdet for punktet ξ er mengden {(, t) ct = ξ}, altså karakterstkken gjennom ξ. Lgnng (2.12) nnebærer at løsnngen u-planet kke endrer prol, men bare forskyves som vst gur 2.2. Betydnngen av avhengghetsområdet llustreres godt gjennom en enkel derenstlnærmelse for lgnngen (2.9). Anta at v vl løse derensallgnngen (2.9) ved hjelp av derenslgnngen v(, t + k) v(, t) k + c v( + h, t) v(, t) h = 0 (2.13) med startkrav v(, 0) = u 0 (). Her er h og k skrttlengde henholdsvs - og t-retnng. Når k 0, går første ledd lgnng (2.13) mot v t, og når h 0, går annet ledd lgnng (2.13) mot v. Med µ = k/h fås v(, t + k) = (1 + µc)v(, t) µc v( + h, t). (2.14) Med nnførng av skftoperatoren E, denert ved Ef() = f( + h), kan dette skrves v(, t + k) = [(1 + µc) µce] v(, t). (2.15) Således blr for t = nk v(, t) = v(, nk) = [(1 + µc) µce] n v(, 0) n ( ) n = (1 + µc) ( µce) n u 0 () =0 n ( ) n = (1 + µc) ( µc) n u 0 ( + (n )h). =0 (2.16)

20 20 2 Skalare hyperbolske bevarelseslover Avhengghetsområdet for punktet (, t) derenslgnngen er altså punktene, + h, + 2h,..., + nh. Punktet ξ = ct utgjør avhengghetsområdet for derensallgnngen. Sden c > 0, lgger ξ kke avhengghetsområdet for derenslgnngen når k, h 0. Courant-Fredrchs-Lewy-krteret (CFLkrteret) ser at grensen k, h 0 må avhengghetsområdet for derenslgnngen nneholde avhengghetsområdet for derensallgnngen. Dersom dette krteret kke er oppfylt, kan v åpenbart kke vente konvergens mot rktg løsnng. Den betraktede metoden (2.13) bryter med CFL-krteret, og v kan her kke vente konvergens. Det er også lett å vse ustabltet for metoden. Anta at startverden tl derenslgnngen er lk u 0 ()±ɛ med vekslende fortegn, og betegn løsnngen av derenslgnngen (2.13) med denne ɛ-forstyrrelsen med v ɛ (, t). Løsnngen uten ɛ-forstyrrelsen betegnes v 0 (, t). Av lgnng (2.16) følger da v ɛ (, t) v 0 (, t) = = n ( n n ( n =0 =0 ) (1 + µc) ( µc) n ( 1) n ɛ ) (1 + µc) (µc) n ɛ = (1 + 2µc) n ɛ e 2µnc ɛ = e 2tc/h ɛ. (2.17) Sden e 2tc/h ɛ når h 0, gr lgnng (2.17) at en lten forstyrrelse startdata vl kunne g en ubegrenset stor fel løsnngen ved tdspunkt t. I lgnng (2.13) ble den romlge derverte tlnærmet med foroverderenser. Hvs v steden hadde brukt bakoverderenser, vlle v fått derenslgnngen dvs v(, t + k) v(, t) k + c v(, t) v( h, t) h = 0, (2.18) v(, t + k) = (1 µc)v(, t) + µc v( h, t) = [ (1 µc) + µce 1] v(, t), (2.19) hvor E 1 f() = f( h). Av lgnng (2.19) følger for t = nk v(, t) = v(, nk) = [ (1 µc) + µce 1] n v(, 0) n ( ) n = (1 µc) ( µce 1) n u0 () =0 n ( ) n = (1 µc) (µc) n u 0 ( (n )h). =0 (2.20) Det numerske avhengghetsområdet for punktet (, t) er altså punktene, h, 2h,..., nh. Her er nh = t/µ. Når k, h 0 for fast µ, går

21 2.1 Hyperbolske lgnngssystemer 21 det numerske avhengghetsområdet mot ntervallet [ t/µ, ]. Ifølge CFLkrteret må v ha ξ = ct [ t/µ, ], (2.21) dvs ct t/µ. CFL-krteret gr således betngelsen µc 1. (2.22) Ulkhet (2.22) kalles Courant-Fredrchs-Lewy-betngelsen (CFL-betngelsen). Den nnebærer at k h/c, dvs det største tllatte tdsskrttet er den tden det tar for bølgen å gå gjennom én gttercelle. For derensmetoden (2.18) kan v lett vse stabltet dersom µc 1. Anta at startverdene har en fel ɛ, hvor ɛ ɛ. Analogt med lgnng (2.17) fås da n ( ) n v ɛ (, t) v 0 (, t) = (1 µc) (µc) n ɛ n, (2.23) og dermed, sden µc 1, =0 v ɛ (, t) v 0 (, t) n =0 ( ) n (1 µc) (µc) n ɛ (1 µc + µc) n ɛ = ɛ. (2.24) Med en lten forstyrrelse startdata forblr altså felen løsnngen begrenset. Metoden er følgelg stabl. Man kan også lett vse konvergens. La w(, t) = v(, t) u(, t), (2.25) hvor u(, t) er løsnng av derensallgnngen (2.9), mens v(, t) er løsnng av derenslgnngen (2.18). På grunn av (2.19) blr w(, t + k) (1 µc)w(, t) µc w( h, t) = u(, t + k) (1 µc)u(, t) µc u( h, t) = u 0 ( ct ck) (1 µc)u 0 ( ct) µc u 0 ( ct h). Ved Taylor-utvklng følger at og (2.26) u 0 ( ct ck) = u 0 ( ct) ck u 0( ct) (ck)2 u 0( ct θ 1 ck) (2.27) u 0 ( ct h) = u 0 ( ct) h u 0( ct) h2 u 0( ct θ 2 h), (2.28) hvor θ (0, 1), = 1, 2. Innsatt lgnng (2.26) fås w(, t + k) (1 µc)w(, t) µc w( h, t) = 1 2 (ck)2 u 0( ct θ 1 ck) 1 2 cµh2 u 0( ct θ 2 h) 1 2 (c2 µ 2 + cµ) sup u 0() h 2 = Kµh 2, (2.29)

22 22 2 Skalare hyperbolske bevarelseslover hvor K = 1 2 c(cµ + 1) sup u 0 (). Altså blr, sden µc 1, sup w(, t + k) (1 µc) sup w(, t) + µc sup w( h, t) + Kµh 2 = sup w(, t) + Kµh 2, (2.30) og dermed sup w(, nk) sup w(, 0) + Kµnh 2 = Kµ t k h2 = Kth. (2.31) Sden Kth 0 når h 0 for fast µ = k/h, har v vst at felen w(, t) går mot null når CFL-betngelsen (2.22) er oppfylt System av lneære lgnnger Et annet llustrerende eksempel på lgnngene (2.3) er et system av n lneære lgnnger u t + A(, t)u = C(, t)u + d(, t). (2.32) Anta at matrsen A(, t) har egenverdene λ (, t) med tlhørende egenvektorer r (, t), og at egenvektorene utspenner rommet (dvs A er dagonalserbar). Da gjelder Ar = λ r, = 1,..., n, (2.33) og med R = [r 1,..., r n ] og Λ = dag(λ 1,..., λ n ) kan dette skrves Ved å sette A = RΛR 1 nn lgnng (2.32), fås dvs Med densjonen v = R 1 u, fås Innsatt lgnng (2.36) gr dette AR = RΛ. (2.34) u t + RΛR 1 u = Cu + d, (2.35) R 1 u t + ΛR 1 u = R 1 Cu + R 1 d. (2.36) u = Rv, (2.37) u t = Rv t + R t v, (2.38) u = Rv + R v. (2.39) R 1 (Rv t + R t v) + ΛR 1 (Rv + R v) = R 1 CRv + R 1 d, (2.40)

23 2.1 Hyperbolske lgnngssystemer 23 dvs v t + Λv = ( R 1 CR R 1 R t ΛR 1 R ) v + R 1 d, (2.41) som v kan skrve på formen v t + Λv = Ev + f. (2.42) Hver lgnng lgnngssystemet (2.42) uttrykker en retnngsdervert t + λ (2.43) for en lneærkombnasjon av u-komponentene. V ser at det er bare når A er dagonalserbar med reelle egenverder, at v kan omforme lgnngssystemet (2.32) tl et lgnngssystem på formen (2.42). Dette ndkerer hvorfor man må kreve dagonalserbarhet med reelle egenverder for å få et hyperbolsk lgnngssystem. 2.2 Kontnuerlg løsnng av den skalare lgnng V ser her på den skalare lgnngen (2.1) med Cauchy-startkrav Lgnng (2.1) kan skrves på formen u(, 0) = u 0 (). (2.44) u t + f (u)u = 0. (2.45) Karakterstsk hastghet er således f (u), og karakterstkkene er gtt ved d/dt = f (u). Med karakterstkken denert ved = ψ(t) blr ψ (t) = f (u). Langs karakterstkken gjelder dermed du dt = u ψ + u t = u t + f (u)u = 0. (2.46) Herav følger at u er konstant langs karakterstkkene, dvs karakterstkkene er rette lnjer, se gur 2.3. Karakterstkkene kan altså skrves på formen = ξ + f (u)t, (2.47) og løsnngen et vlkårlg punkt (, t) kan uttrykkes ved verden det punkt på -aksen som lgger på den karakterstkken som går gjennom punktet (, t): u(, t) = u 0 (ξ) = u 0 ( f (u)t). (2.48) Hvs mdlertd f (u 0 ( 1 )) > f (u 0 ( 2 )) (2.49)

24 24 2 Skalare hyperbolske bevarelseslover t (, t) ξ Fgur 2.3: Karakterstkker. for 1 < 2, så vl karakterstkkene gjennom punktene ( 1, 0) og ( 2, 0) skjære hverandre et punkt (, t), og løsnngen blr kke lenger entydg. Et tlsvarende problem gr den mplstte løsnngen (2.48). Ved dervasjon av denne løsnngen fås u t = u [ 0 f (u) + f (u)u t t ], (2.50) u = u [ 0 1 f (u)u t ], (2.51) og dermed u t = u = hvor u 0 = u 0 ( f (u)t). Hvs altså u 0 f (u) 1 + u 0 f (u)t, (2.52) u u 0 f (u)t, (2.53) et punkt ξ på -aksen, så vl d d f (u 0 ) < 0 (2.54) 1 + u 0f (u 0 )t 0 (2.55) for en t > 0, og u t og u blr udenert. V ser således at kkelnearteten f (u) 0 kan utvkle dskontnuerlge løsnnger av glatte startdata. Slke dskontnuteter kalles gassdynamkken støt. Innenfor hyperbolske bevarelseslover benyttes stor grad betegnelser fra gassdynamkken. På engelsk kalles dskontnutetene sjokk, og dette ordet er mye brukt på norsk. 2.3 Dskontnuerlge løsnnger Sden karakterstkkene en kontnuerlg løsnng kan skjære hverandre, er v nødt tl å akseptere dskontnuerlge løsnnger for å oppnå entydghet. For dskontnuerlge løsnnger bryter derensallgnngen sammen, og v er nødt tl

25 2.3 Dskontnuerlge løsnnger 25 t a ξ(t) b Fgur 2.4: Integrasjon over et sprang. å betrakte bevarelsesloven på ntegralform. Ved utlednngen av modellgnngene kapttel 1 så v at derensallgnngen ble utledet fra bevarelsesloven på ntegralform. Ved dskontnuerlge løsnnger må v således gå tlbake tl den opprnnelge formulerngen, som kke bygger på kontnutetsantagelser. Betngelsene for dskontnuerlge løsnnger er de samme for systemer av lgnnger som for skalare lgnnger, og utlednngen av betngelsene er også dentsk. I dette avsnttet betrakter v derfor lgnngene (2.2) stedenfor lgnng (2.1). Utlednngen vl dermed gjelde for skalare lgnnger såvel som for systemer. Integralformen av lgnng (2.2) lyder d dt b a u d + [ f(u) ] b = 0, a, b. (2.56) a Anta at u har en dskontnutet langs kurven = ξ(t) (se gur 2.4), hvor a < ξ(t) < b, men at u ellers er glatt mellom a og b. La Da blr u L = u(ξ(t), t), u R = u(ξ(t)+, t). (2.57) d dt b a u d = d dt = ξ(t) a ξ(t) a u d + d dt b u t d + u L ξ (t) + = ξ (t) (u R u L ) = ξ (t) (u R u L ) u d ξ(t) b ξ(t) ξ(t) a u t d u R ξ (t) f(u) d b ξ(t) f(u L ) + f(u(a, t)) f(u(b, t)) + f(u R ). f(u) d (2.58) Altså blr 0 = d dt b a u d + f(u(b, t)) f(u(a, t)) = f(u R ) f(u L ) ξ (t) (u R u L ), (2.59)

26 26 2 Skalare hyperbolske bevarelseslover dvs σ (u R u L ) = f(u R ) f(u L ), (2.60) hvor v har betegnet hastgheten tl dskontnuteten med σ = ξ (t). Lgnngene (2.60) kalles Rankne-Hugonots sprangbetngelse. Det er vktg at sprangbetngelsen anvendes på rktg bevarelsesuttrykk. Se gjen på den skalare lgnngen u t + f(u) = 0. (2.61) La U(u) være en glatt funksjon, og multplser lgnng (2.61) med U (u): U (u)u t + U (u)f (u)u = 0. (2.62) Ved å denere U-strømmen med F (u) = u U (v)f (v) dv, fås U(u) t + F (u) = 0. (2.63) Men når Rankne-Hugonots sprangbetngelse anvendes på lgnng (2.63), fås en annen lgnng enn når den anvendes på (2.61). Derensallgnngene (2.61) og (2.63) er ekvvalente, men sprangbetngelsen bygger på ntegralformulerngen, og ntegralformulerngene er kke ekvvalente. Dette kan llustreres ved å betrakte Burgers-lgnngen u t + ( 1 2 u2) = 0. (2.64) Ved å multplsere lgnng (2.64) med u, fås ( 1 2 u2) t + ( 1 3 u3) = 0. (2.65) Rankne-Hugonots sprangbetngelse (2.60) anvendt på Burgers-lgnngen gr hastgheten 1 2 σ = u2 R 1 2 u2 L = u R + u L. (2.66) u R u L 2 Når sprangbetngelsen (2.60) anvendes på den avledede lgnngen (2.65), fås Ettersom σ = 1 3 u3 R 1 3 u3 L 1 2 u2 R 1 2 u2 L = u 2 R + u Ru L + u 2 L u R + u L 3 u R + u L 2 u 2 R + u Ru L + u 2 L u R + u L. (2.67) = (u R u L ) 2 6(u R + u L ), (2.68) er hastghetene (2.66) og (2.67) bare lke for u R = u L. For å utlede rktg sprangbetngelse, må man altså vte hvlken størrelse som er bevart. Dette llustreres godt ved å betrakte modellgnngene (1.21) for gruntvannsstrømnng. Rankne-Hugonots sprangbetngelse (2.60) må anvendes på dsse lgnngene. Hvs man stedenfor annen lgnng (1.21) hadde benyttet den avledede lgnngen (1.25), vlle sprangbetngelsen bltt fel. I gruntvannsstrømnng er det masse og mpuls som blr bevart, kke masse og hastghet.

27 2.4 Løsnng av den skalare lgnng Løsnng av den skalare lgnng I dette avsnttet skal løsnngen av den skalare lgnngen (2.1) drøftes Innledende eksempel V kan belyse teoren fra avsntt 2.3 ved å se på følgende enkle Cauchyproblem med Burgers-lgnngen u t + ( 1 2 u2) = 0, (2.69) 1 for 0, u(, 0) = u 0 () = 1 for 0 1, (2.70) 0 for 1. Startverden er vst gur 2.5. Løsnngen u er konstant på karakterstkkene, og den karakterstske hastghet er d/dt = u = u 0. Med 0 på -aksen blr karakterstkklgnngene 0 + t for 0 0, = 0 + (1 0 )t for 0 0 1, (2.71) 0 for 0 1. Karakterstkkene er vst gur 2.6. For t < 1 skjærer ngen karakterstkker hverandre, slk at løsnngen blr u(, t) = u 0 ( ut) for t < 1. (2.72) Ved å kombnere lgnngene (2.70) og (2.72), fås for [t, 1] lgnngen u = 1 ( ut), dvs u = (1 )/(1 t). Altså blr for t < 1 1 for t, u(, t) = (1 )/(1 t) for t 1, (2.73) 0 for 1. t u Fgur 2.5: Startverd. Fgur 2.6: Karakterstkker og støt.

28 28 2 Skalare hyperbolske bevarelseslover Karakterstkkene området t 1 møtes punktet (1, 1), mens karakterstkkene for t og for 1 møtes når t 1. V får altså et støt med hastghet 1 2 σ = = (2.74) For t 1 fås derfor løsnngen { 1 for < (t + 1)/2, u(, t) = (2.75) 0 for > (t + 1)/ Dskontnuerlg startverd Startverdene (2.70) er kontnuerlge, men sden v aksepterer dskontnuerlge løsnnger, må v også godta dskontnuerlge startkrav. Konstruksjon av løsnng er da kke lenger lke opplagt. Betrakt for eksempel Burgers-lgnngen (2.69) med startkrav { 0 for < 0, u(, 0) = u 0 () = (2.76) 1 for > 0. Et Remann-problem er et Cauchy-problem hvor startverden bare kan anta to verder, én verd tl venstre for et punkt og en annen verd tl høyre for dette punktet. Oppgaven (2.69) og (2.76) er således et eksempel på et Remann-problem. Den karakterstske hastghet denne oppgaven er som før d/dt = u = u 0. I gur 2.7 er karakterstkkene for de to startverdene 0 og 1 tegnet nn. Tl høyre for t-aksen er et område hvor karakterstkkene kke er bestemt av startverdene. Løsnngen denert ved karakterstkkene kan utvdes tl det ubestemte området på (mnst) to forskjellge måter: 1. Ved å danne en vfte av karakterstkker med utsprng orgo. Løsnngen blr 0 for 0, u 1 (, t) = /t for 0 t, (2.77) 1 for t. t ubestemt Fgur 2.7: Karakterstkker.

29 2.4 Løsnng av den skalare lgnng 29 u 1 1 t vfte t Fgur 2.8: Løsnngen u 1. Fgur 2.9: Karakterstkker for u 1. u 2 1 t t/2 Fgur 2.10: Løsnngen u 2. Fgur 2.11: Karakterstkker og dskontnutet for u 2. Løsnngsforslaget (2.77) er vst gur 2.8. De tlhørende karakterstkkene er vst gur Ved å legge en dskontnutet som tlfredsstller Rankne-Hugonots sprangbetngelse, gjennom orgo, og la løsnngene være konstante på hver sde av dskontnuteten. Løsnngen blr { 0 for < t/2, u 2 (, t) = (2.78) 1 for > t/2. Løsnngsforslaget (2.78) er vst gur 2.10, og tlhørende karakterstkker og dskontnutet er vst gur Det er lett å versere at u 2 (, t) som gtt ved (2.78), tlfredsstller Rankne-Hugonots sprangbetngelse. I gassdynamkken kalles vfteløsnngen /t u 1 (, t) en fortynnngsbølge. I en slk gassdynamsk bølge avtar tettheten. Her skal begrepet fortynnngsbølge benyttes for en bølge med sprkende karakterstkker. I analog med dette kaller matematkere dskontnuteten u 2 (, t) et fortynnngsstøt. Hvs man glatter ut startverden (2.76), f.eks. ved 0 for 0, u 0 () = /ɛ for 0 ɛ, (2.79) 1 for ɛ,

30 30 2 Skalare hyperbolske bevarelseslover u 0 1 t ɛ ɛ Fgur 2.12: Startverden u 0. Fgur 2.13: Karakterstkker for u ɛ. fås karakterstkkene 0 for 0, = t/ɛ for 0 ɛ + t, 0 + t for ɛ + t. (2.80) Startverden (2.79) og karakterstkkene (2.80) er vst gurene 2.12 og Løsnngen blr 0 for 0, u ɛ (, t) = /(ɛ + t) for 0 ɛ + t, (2.81) 1 for ɛ + t. Når ɛ 0 lgnng (2.81), går u ɛ mot u 1, og v slutter dermed at løsnngen u 1 (2.77) er rktg, og u 2 (2.78) er fel. Startverdene (2.76) gr en fortynnngsbølge. Fortynnngsstøtet var bare en matematsk konstruksjon Fluksfunksjon med vendepunkt Burgers-lgnngen som ble benyttet eksemplene de to foregående avsnttene, nneholder uksfunksjonen f(u) = 1 2 u2. Denne har den egenskap at f (u) > 0. For oppgaver hvor uksfunksjonen har vendepunkt, altså f (u) = 0, kan bestemmelsen av rktg løsnng bl vanskelgere. f 1 u 0 u F 1 Fgur 2.14: Fluksfunksjon.

31 2.4 Løsnng av den skalare lgnng 31 u t 1 Fgur 2.15: Løsnngsforslag (2.83). Fgur 2.16: Karakterstkker. Betrakt derensallgnngen (2.1) med Remann-startkrav u(, 0) = u 0 () = { 1 for < 0, 0 for > 0, (2.82) og anta at f(u) har en form som vst gur Fluksfunksjonen har et vendepunkt, slk at den karakterstske hastghet f (u) først er voksende og dernest avtagende. Det nnes et punkt u F, slk at en lnje gjennom orgo tangerer f(u) u F. Vdere er f(0) = 0, f(1) = 1 og f (0) = f (1) = 0. På grunn av startkravet (2.82) er karakterstkkene gtt ved = 0, hvor 0 lgger på -aksen. Et forslag tl løsnng er derfor u(, t) = u 0 () = { 1 for < 0, 0 for > 0. (2.83) Løsnngsforslaget (2.83) med karakterstkker er vst gurene 2.15 og Imdlertd tlfredsstller forslaget (2.83) kke Rankne-Hugonots sprangbetngelse (2.60). Sprangbetngelsen gr støthastgheten σ = f(0) f(1) 0 1 = 1, (2.84) mens dskontnuteten (2.83) står ro. Løsnngsforslaget (2.83) må derfor forkastes. En løsnng som tlfredsstller sprangbetngelsen må ha postv støthastghet σ, men det er ere mulgheter: 1. Løsnngen u 1 (, t) = { 1 for < t, 0 for > t (2.85) tlfredsstller åpenbart Rankne-Hugonots sprangbetngelse. Denne løsnngen kalles stempelfortrengnngsløsnngen. Bølgen beveger seg som et stempel med hastghet lk 1. Løsnngsforslaget (2.85) er vst gur 2.17, og tlhørende karakterstkker og støt er vst gur 2.18.

32 32 2 Skalare hyperbolske bevarelseslover u 1 1 t t Fgur 2.17: Løsnngen u 1. Fgur 2.18: Karakterstkker og støt for u 1. u 2 t 1 u F σt Fgur 2.19: Løsnngen u 2. Fgur 2.20: Karakterstkker og støt for u En annen mulghet fås ved å danne et støt med hastghet σ = f(0) f(u F ) 0 u F = f(u F ) u F = f (u F ) > 1, (2.86) og la løsnngen bak støtet området 0 < σt være gtt ved vfteløsnngen f (u) = /t for u [u F, 1]. Løsnngen blr altså gtt mplstt ved u 2 (, t) = 1 for < 0, f (u 2 (, t)) = /t for 0 < σt, (2.87) u 2 (, t) = 0 for > σt. Løsnngsforslaget (2.87) er vst gur 2.19, og tlhørende karakterstkker og støt er vst gur For å bestemme hvlken løsnng som er den rktge, kan man, som avsntt 2.4.2, glatte startverden. Imdlertd vl karakterstkkene tl denne glattede startverden straks skjære hverandre for u-verdene rundt vendepunktet, og det er kke enkelt å se hvordan grenseløsnngen utvkler seg. Løsnngsforslaget (2.85) vrker mdlertd urmelg sden den karakterstske hastgheten umddelbart bak stempelet er mndre enn stempelets hastghet. Dette ndkerer at det er løsnng (2.87) som er den rktge. I reservoarteknkken kalles denne løsnngen Welges løsnng.

33 2.4 Løsnng av den skalare lgnng 33 Hvs v stedenfor uksfunksjonen vst gur 2.14 hadde benyttet en av uksfunksjonene som er vst gurene 1.6 eller 1.7, vlle det vært enda vanskelgere å bestemme den rktge løsnngen. 2.5 Entropbetngelsen I avsntt 2.4 konstruerte v løsnnger tl ulke startverdoppgaver ved hjelp av de karakterstske egenskaper utledet avsntt 2.2 og Rankne-Hugonots sprangbetngelse (2.60). I tllegg måtte v benytte enkelte rmelghetsbetraktnnger for å avgjøre hva som var rktg løsnng. I dette avsnttet skal v utlede et krterum som sammen med de karakterstske egenskaper og sprangbetngelsen entydg bestemmer den korrekte løsnngen. For å oppnå entydghet ser v på en annenordens derensallgnng på formen u t + f(u) = ɛg(u), (2.88) hvor ɛ er en postv parameter som v skal la gå mot null. Her er g(u) = (g (u)u ). For at denne lgnngen skal g en utbredelse av u for voksende t, må v kreve at g (u) 0. Modellgnngen (1.67) har formen (2.88). Man kan regne at alle førsteordens hyperbolske lgnnger er fremkommet ved å neglsjere et annenordensledd, men det er kke alltd lett å vse hvordan dette annenordensleddet ser ut. Enda vanskelgere er det å nne en multplkatv parameter ɛ som kan gå mot null. Fra lgnng (2.88) kan man nne derensallgnnger for avledede størrelser. V har tdlgere drøftet dette under modellgnngene. Således vser lgnngene (1.16) og (1.44) at for gruntvannsstrømnng kan lgnngen for den mekanske energ stlles opp ved å kombnere lgnngene for masse- og mpulsbevarelse (lgnngene (1.21) eller (1.45)). V skal derfor multplsere lgnng (2.88) med den derverte av en funksjon η(u). V skal kreve at η(u) er en konveks funksjon, dvs η (u) 0. (2.89) En funksjon som tlfredsstller ulkhet (2.89), kalles en entropfunksjon. En entropfunksjon η(u) vl aldr være den fysske entropen, men den vl være relatert tl entropen ved at når η avtar, så øker den fysske entropen. I mange strømnngsoppgaver vl η være en energ som forødes gjennom frksjon, varmelednng eller blandng, altså entropøkende prosesser. Ved å multplsere lgnng (2.88) med η (u), fremkommer lgnngen η (u)u t + η (u)f(u) = ɛη (u)g(u). (2.90) Dener ψ(u) = u η (v)f (v) dv. Lgnngen for entropfunksjonen η(u) blr da η(u) t + ψ(u) = ɛη (u)g(u). (2.91)

34 34 2 Skalare hyperbolske bevarelseslover I områder hvor u er glatt, kan v la ɛ gå mot null lgnng (2.91). Derensallgnngen for η(u) blr da η(u) t + ψ(u) = 0. (2.92) I områder hvor u kke er glatt, kan v mdlertd kke uten vdere anta at høyresden lgnng (2.91) er lten. For å drøfte hva som skjer med entropfunksjonen slke områder, må man, som avsntt 2.3, betrakte den tlhørende ntegrallgnng b a [η(u) t + ψ(u) ] d = ɛ b a η (u)g(u) d = ɛ [ η ] b b (u)g(u) a ɛ η (u)g (u)u 2 d. a (2.93) La nå ɛ 0, og anta at u forblr glatt a og b. Første ledd på høyresden lgnng (2.93) vl da gå mot null. For ntegranden annet ledd gjelder η (u)g (u)u 2 0, (2.94) og hvs u får en dskontnutet mellom a og b når ɛ 0, kan v kke anta at annet ledd går mot null. Dermed blr når ɛ 0, d dt b a η(u) d + [ ψ(u) ] b a 0 (2.95) for alle a og b som kke lgger på en dskontnutet for u. Dersom ngen dskontnuteter forekommer mellom a og b, reduserer ulkheten seg tl en lkhet. Ulkhet (2.95) skal benyttes tl å utlede et entydghetskrterum for dskontnuerlge løsnnger av bevarelsesloven (2.1). Dersom uksfunksjonen er konveks, f (u) > 0, er det tlstrekkelg for å oppnå entydghet at ulkhet (2.95) benyttes for én entropfunksjon η(u). Dersom uksfunksjonen har ett eller ere vendepunkt, f (u) = 0, må ulkhet (2.95) benyttes for en hel funksjonsklasse for å oppnå entydghet. Kruºkovs entropfunksjon er denert ved η(u) = u c (2.96) for en konstant c. Funksjonen har et knekkpunkt c, slk at den annenderverte kke ekssterer der. Men funksjonen er konveks med konveksteten konsentrert ett punkt, nemlg punktet c (se gur 2.21). Denne egenskapen er speselt nyttg drøftelsene nedenfor. På grunn av knekkpunktet c gjelder kke delvsntegasjonen (2.93) uten vdere for Kruºkovs entropfunksjon (2.96). I det følgende skal det vses at den lkevel tlfredsstller ulkhet (2.95).

35 2.5 Entropbetngelsen 35 η γ c u c u Fgur 2.21: Kruºkovs entropfunksjon. Fgur 2.22: Funksjonen γ(u). Den derverte av Kruºkovs entropfunksjon er For entropstrømmen ψ(u) fås uttrykket η (u) = sgn(u c). (2.97) ψ(u) = u η (v)f (v) dv = sgn(u c) (f(u) f(c) ). (2.98) Man kan komme utenom delvsntegrasjonen (2.93) ved å denere γ(u) = g(u) g(c) = sgn(u c) (g(u) g(c) ), (2.99) hvor det er gjort bruk av at g (u) 0. Den derverte er γ (u) = η (u) g (u) = sgn(u c) g (u), (2.100) slk at γ (c+) = g (c) 0, γ (c ) = g( c) = γ (c+) 0. (2.101) Vdere er γ(u) = γ (u)u = sgn(u c) g (u)u = sgn(u c) g(u). (2.102) Funksjonen (2.102) er kke derverbar u = c, men for u c er γ(u) = sgn(u c) g(u). (2.103) Som ovenfor ntegrerer v (2.91) mellom to punkter a og b, men nå med Kruºkovs entropfunksjon (2.96). V skal anta at u c punktene a og b. La ξ være alle punkter mellom a og b hvor u = c. Av (2.101) og (2.102) følger da γ(u) ξ + 0, γ(u) ξ 0. (2.104)

36 36 2 Skalare hyperbolske bevarelseslover For å forenkle fremstllngen skal v dessuten benytte skrvemåten ξ mn = a og ξ ma = b. Integrasjon (2.91) gr b a [η(u) t + ψ(u) ] d = ɛ b a η (u)g(u) d ξ+1 = ɛ sgn(u c) g(u) d ξ = ɛ [ ] ξ+1 γ(u) ξ ( [γ(u) ] b = ɛ a 2 ) γ(u), u=c (2.105) hvor det sste overgang er gjort bruk av (2.104). La nå ɛ 0, og anta at u forblr glatt a og b. Første ledd på høyresden (2.105) vl da forsvnne. Hvs u får en dskontnutet c når ɛ 0, kan annet ledd på høyresden lgnng (2.105) bl stort. Ved å la ɛ 0, fås følgelg ulkhet (2.95) for Kruºkovs entropfunksjon (2.96). Som ovenfor reduseres ulkheten tl en lkhet hvs ngen dskontnuteter forekommer mellom a og b. I avsntt 2.3 ble lgnng (2.56) benyttet tl å utlede Rankne-Hugonots sprangbetngelse. Ulkhet (2.95) kan på samme måte benyttes tl å vse hva som skjer med entropen over en dskontnutet. Anta altså at u har en dskontnutet langs kurven = ξ(t), hvor a < ξ(t) < b (se gur 2.4), men at u ellers er glatt mellom a og b. La Som lgnng (2.58) fås da d dt b a = d dt = Altså blr η(u) d ξ(t) a ξ(t) a u L = u(ξ(t), t), u R = u(ξ(t)+, t). (2.106) η(u) d + d dt b ξ(t) η t (u) d + η(u L )ξ (t) + = ξ (t) ( η(u R ) η(u L ) ) η(u) d b ξ(t) ξ(t) a η t (u) d η(u R )ξ (t) ψ(u) d b ξ(t) ψ(u) d = ξ (t) ( η(u R ) η(u L ) ) ψ(u L ) + ψ(u(a, t)) ψ(u(b, t)) + ψ(u R ). (2.107) 0 d dt b a η(u) d + ψ(u(b, t)) ψ(u(a, t)) = ψ(u R ) ψ(u L ) ξ (t) ( η(u R ) η(u L ) ), (2.108)

37 2.5 Entropbetngelsen 37 dvs ψ(u R ) ψ(u L ) σ ( η(u R ) η(u L ) ) 0, (2.109) hvor v, som avsntt 2.3, har betegnet hastgheten tl dskontnuteten med σ = ξ (t). Ulkhet (2.109) gjelder selvfølgelg for Kruºkovs entropfunksjoner såvel som for glatte entropfunksjoner. Ved å anvende den på Kruºkovs entropfunksjon, fremkommer en meget nyttg betngelse. Anta først at u L < c < u R. Av densjonene (2.96) og (2.98) følger Innsatt ulkhet (2.109) fås η(u R ) η(u L ) = u R + u L 2c, (2.110) ψ(u R ) ψ(u L ) = f(u R ) + f(u L ) 2f(c). (2.111) f(u R ) + f(u L ) 2f(c) σ(u R + u L 2c) 0. (2.112) Ifølge Rankne-Hugonots sprangbetngelse (2.60) er f(u L ) = f(u R ) σ(u R u L ). (2.113) Innsatt ulkhet (2.112) fremkommer ulkheten f(u R ) f(c) σ(u R c) 0. (2.114) Hvs steden u R < c < u L, følger av densjonene (2.96) og (2.98) at Innsatt ulkhet (2.109) fås η(u R ) η(u L ) = 2c u R u L, (2.115) ψ(u R ) ψ(u L ) = 2f(c) f(u R ) f(u L ). (2.116) 2f(c) f(u R ) f(u L ) σ(2c u R u L ) 0. (2.117) Ved å sette (2.113) nn ulkhet (2.117), fremkommer f(c) f(u R ) σ(c u R ) 0. (2.118) Sden u R c > 0 ulkhet (2.114) og c u R > 0 ulkhet (2.118), kan dsse ulkhetene sammenfattes tl f(u R ) f(u) u R u σ, (2.119) hvor v har skrevet u for c. Med bruk av Rankne-Hugonots sprangbetngelse (2.60) lyder ulkhet (2.119): f(u R ) f(u) u R u f(u R) f(u L ) u R u L, u mellom u L og u R. (2.120)

38 38 2 Skalare hyperbolske bevarelseslover f(u) f(u) u L u u R u u R u u L u Fgur 2.23: Fluksfunksjon med tllatt støtkorde. Fgur 2.24: Fluksfunksjon med tllatt støtkorde. Ulkhet (2.120) kalles Olejnks entropbetngelse. Den bestemmer entydg hvlke dskontnuteter som er tllatt, og hvlke som må forkastes. Olejnks entropbetngelse har en enkel geometrsk fortolknng. For et støt med venstretlstand u L og høyretlstand u R er støthastgheten σ lk stgnngen tl sekanten gjennom punktene (u L, f(u L )) og (u R, f(u R )) uf-dagrammet, se gur Entropulkheten (2.120) ser at stgnngen tl en sekant gjennom punktet (u R, f(u R )) og et vlkårlg punkt (u, f(u)), hvor u lgger mellom u L og u R, skal være mndre enn støthastgheten σ. Herav følger at en støtsekant aldr kan skjære uksfunksjonen mellom u L og u R. Støtsekantens lnjestykke mellom (u L, f(u L )) og (u R, f(u R )) kalles støtkorden. Når u L < u R, må støtkorden lgge under uksfunksjonen, mens når u R < u L, må støtkorden lgge over uksfunksjonen (se gurene 2.23 og 2.24). For fortynnngsstøtløsnngen (2.78) avsntt er u L < u R, og støtkorden lgger over uksfunksjonen uf-dagrammet. Fortynnngsstøtet tlfredsstller derfor kke Olejnks entropbetngelse, og er således kke tllatt. Fortynnngsstøt ekssterer kke. For stempelfortrengnngsløsnngen (2.85) avsntt skjærer støtsekanten uksfunksjonen mellom u L og u R. Stempelfortrengnngsstøtet tlfredsstller derfor kke Olejnks entropbetngelse, og er dermed kke tllatt. Dermot tlfredsstller støtet Welges løsnng (2.86) (se gur 2.14) Olejnks entropbetngelse. Welges løsnng er den eneste mulge løsnng av Remann-problemet avsntt Ulkhet (2.119) kan selvfølgelg omformes tl en ulkhet hvor venstretlstanden nngår. Av (2.113) følger at f(u R ) = f(u L ) + σ(u R u L ). Innsatt ulkhet (2.119) fås f(u R ) f(u) u R u = f(u L) f(u) + σ(u R u + u u L ) u R u σ, (2.121) dvs f(u L ) f(u) σ u L u u R u u R u. (2.122) Ved dvsjon med brøken på høyresden fremkommer f(u L ) f(u) u L u σ (2.123)

39 2.5 Entropbetngelsen 39 t t Fgur 2.25: Karakterstkkene løper nn mot støtet (tllatt). Fgur 2.26: Karakterstkkene løper ut fra støtet (kke tllatt). for alle u mellom u L og u R. Ved å la u gå mot u R ulkhet (2.119) og mot u L ulkhet (2.123), fås betngelsen f (u R ) σ f (u L ). (2.124) Ulkhet (2.124) er svakere enn Olejnks entropbetngelse ford den bare ser noe om egenskapene tl uksfunksjonen u L og u R, men ngentng om egenskapene for mellomlggende tlstander. Den peker mdlertd på en vktg egenskap ved karakterstkkene langs et støt. For voksende t må karakterstkkene løpe nn mot eller være parallelle med støtet, se gur De kan aldr løpe ut fra et støt, se gur Det er hensktsmessg å oppsummere det v har vst ovenfor. For Cauchyproblemet u t + f(u) = 0 for t > 0, (2.125) u(, 0) = u 0 () (2.126) har v vst at løsnngen langs karakterstkkene er gtt ved lgnng (2.48). Eventuelle dskontnuteter tlfredsstller Rankne-Hugonots sprangbetngelse (2.60) og Olejnks entropbetngelse (2.120). Dette karakterserer løsnngen entydg. Eksstens og entydghet, som kke skal vses her, vses vanlgvs ved å omforme startverdproblemet (2.125) og (2.126). Man nnfører en testfunksjon φ C0 1 med kompakt støtte øvre halvplan av t-planet. Ved å multplsere lgnng (2.125) med testfunksjonen og ntegrere delvs, fås [u t + f(u) ] φ d dt = u 0 φ d [uφ t + f(u)φ ] d dt. (2.127) t>0 Følgelg må t>0 t=0 t=0 t>0 [uφ t + f(u)φ ] d dt + u 0 φ d = 0, φ C0. 1 (2.128)

40 40 2 Skalare hyperbolske bevarelseslover En begrenset, målbar funksjon u(, t) som tlfredsstller (2.128), kalles en svak løsnng. På grunn av ntegralformulerngen vl svake løsnnger alltd tlfredsstlle Rankne-Hugonots sprangbetngelse. Eksstens og entydghet for svake løsnnger som tlfredsstller Olejnks entropbetngelse, kan vses dersom f C Remann-problemet Av alle startverdproblemer for hyperbolske lgnnger har Remann-problemet, gtt ved u t + f(u) = 0 for t > 0, (2.129) { u L for < 0, u(, 0) = (2.130) u R for > 0, særlg nteresse. Løsnngen av dette problemet gr betydelg forståelse for dfferensallgnngens egenskaper, og samtdg er kjennskap tl Remann-problemets løsnng nyttg når lgnngen skal løses numersk for et vlkårlg Cauchyproblem. Løsnngen av Remann-problemet er karaktersert ved bølger som løper ut fra orgo med hastghet /t. V kan følgelg benytte ansatsen u = u(/t). Med ζ = /t blr u t = u ζ /t 2 = ζu ζ /t, (2.131) u = u ζ /t. (2.132) Dermed blr u t +f(u) = ( ζ + f (u)) (u ζ /t), og oppgaven (2.129) og (2.130) reduserer seg tl den vanlge derensallgnngen med randkrav (f (u) ζ)u ζ = 0 (2.133) u( ) = u L, u( ) = u R. (2.134) I enkelte områder kan første faktor derensallgnngen (2.133) forsvnne, og andre områder kan annen faktor forsvnne. Dette ses å g en løsnng med ulke bølgetyper. I tllegg må dskontnuteter påregnes. Løsnngen av Remann-problemet må derfor være satt sammen av følgende bølgetyper: 1. Konstant tlstand. Dette er en løsnng hvor u ζ 0, dvs u(ζ) = u(/t) = konstant. 2. Fortynnngsbølge. Dette er en løsnng hvor f (u) = ζ = /t. Karakterstkkene sprker, slk at de danner en vfte.

41 2.6 Remann-problemet 41 f(u) f(u) u L u R u u R u L u Fgur 2.27: Fluksfunksjon med konvekst hylster. Fgur 2.28: Fluksfunksjon med konkavt hylster. 3. Støt (sjokk). Dette er en dskontnutetslnje = ζt som tlfredsstller Rankne-Hugonots sprangbetngelse og Olejnks entropbetngelse med ekte ulkhet ζ = t = f(u r) f(u l ) u r u l (2.135) f(u r ) f(u) u r u < f(u r) f(u l ) u r u l, u mellom u l og u r. (2.136) Her er u l og u r verdene tl u på henholdsvs venstre og høyre sde av støtet. 4. Kontaktdskontnutet. Dette er en bølge av samme type som en støtbølge, men med lkhet Olejnks entropbetngelse. Fortynnngsbølger, støt og kontaktdskontnuteter kalles elementærbølger. Både karakterstsk hastghet, støthastghet og kontaktdskontnutetshastghet er gtt ved ζ = /t. For økende ζ, dvs når man går fra venstre mot høyre t-planet, må derfor karakterstsk hastghet øke nnenfor en fortynnngsbølge, og påfølgende elementærbølger må ha økende hastghet. De forekommende elementærbølgene bestemmes enklest ved å betrakte uksfunksjonen mellom u L og u R. Karakterstsk hastghet er f (u), og støthastghet er stgnngen tl støtkorden. Støtkorden må lgge under uksfunksjonen hvs u L < u R, og over uksfunksjonen hvs u R < u L. Hvs u L < u R, må derfor elementærbølgene være bestemt ved det konvekse hylsteret for uksfunksjonen ntervallet [u L, u R ] (dvs den største konvekse funksjonen som lgger under f(u) for u [u L, u R ]), se gur Tlsvarende hvs u R < u L, så er elementærbølgene bestemt ved det konkave hylsteret for uksfunksjonen ntervallet [u R, u L ] (dvs den mnste konkave funksjonen som lgger over f(u) for u [u R, u L ]), se gur Der hvor hylsteret følger uksfunksjonen, og denne er kkelneær, har man en fortynnngsbølge. Der hvor hylsteret følger uksfunksjonen, og denne er lneær, har man en

42 42 2 Skalare hyperbolske bevarelseslover f(u) u u R u F 1 u F 2 u L Fgur 2.29: Fluksfunksjon med støtkorder. u L u t u F 2 σ 2 t σ 1 t u F 1 Fgur 2.30: Løsnng bestående av to støt og en fortynnngsbølge. Fgur 2.31: Tlhørende karakterstkker og støt. kontaktdskontnutet. Der hvor hylsteret utgjør en korde, er løsnngen et støt. Hvs en fortynnngsbølge og et støt er naboer, må støtkorden tangere uksfunksjonen, slk at støthastgheten blr lk karakterstsk hastghet tangerngspunktet. Ovenstående løsnngsteknkk belyses best ved et eksempel. Betrakt uksfunksjonen vst gur Denne er hentet fra Buckley-Leveretts lgnng for det tlfellet at vann fortrenger olje ovenfra. Fluksfunksjonen har to vendepunkt. La u L og u R lgge som vst guren. Sden u L > u R, blr løsnngen tl Remann-problemet (2.129) og (2.130) bestemt av det konkave hylsteret tl f(u) ntervallet [u R, u L ]. Løsnngen har to støtbølger, et hurtg støt postv retnng med hastghet σ 1 = f(u R) f(u F 1 ) u R u F 1 = f (u F 1 ), (2.137) og et langsomt støt negatv retnng med hastghet σ 2 = f(u F 2) f(u L ) u F 2 u L = f (u F 2 ). (2.138) Mellom støtbølgene er en fortynnngsbølge bestemt ved f (u) = /t. Løsnngen er vst gur 2.30, og tlhørende karakterstkker og støt er vst gur For < σ 2 t er løsnngen den konstante tlstanden u L, mens for > σ 1 t er løsnngen den konstante tlstanden u R.

43 Kapttel 3 Systemer av hyperbolske bevarelseslover I dette kapttelet skal v se på lgnngssystemer av typen u t + f(u) = 0. (3.1) Generelt vl u og f være n-vektorer. V skal anta at Jacob-matrsen f (u) bare har reelle egenverder, og at egenvektorene utspenner rommet. I almnnelghet vl v også kreve at de karakterstske retnngene er forskjellge, slk at egenverdene må være forskjellge. Lgnngssystemet (3.1) er dermed hyperbolsk. 3.1 System av kvaslneære lgnnger V åpner dette kapttelet med å drøfte et lgnngssystem på en ltt mer generell form enn lgnng (3.1). I avsntt 2.1 denerte v karakterstkker for lgnngssystemet u t + A(u,, t)u = h(u,, t). (3.2) Karakterstkkene er lnjene gtt ved d dt = λ (u,, t), (3.3) hvor λ er en egenverd for matrsen A. Egenverdene λ er karakterstske hastgheter for lgnngen. Tlsvarende utlednngen avsntt kan v omforme de kvaslneære lgnngene (3.2) ved å transformere lgnngene med egenvektormatrsen. Med R = [r 1,..., r n ] og Λ = dag(λ 1,..., λ n ) er egenvektorene gtt ved lgnngene AR = RΛ. (3.4) 43

44 44 3 Systemer av hyperbolske bevarelseslover t Fgur 3.1: Karakterstkkgtter. Sden egenvektorene utspenner rommet, er R nverterbar, og v kan multplsere foran og bak med R 1. Dette gr R 1 A = ΛR 1, dvs man får det tlhørende egenproblemet LA = ΛL, (3.5) hvor L = R 1. Med L = l T 1. (3.6) l T n nneholder egenproblemet (3.5) n lgnngssystemer av formen l T A = λ l T. (3.7) For å sklle løsnngene av egenproblemene (3.4) og (3.5), kalles vektoren r en høyreegenvektor tlhørende egenverden λ, mens vektoren l kalles en venstreegenvektor tlhørende den samme egenverden. Sden L = R 1, er l j r = 0 for j. Hvs v nå, som avsntt 2.1.2, multplserer lgnngssystemet (3.2) foran med L(u,, t), fås Lu t + LAu = Lh, dvs Lu t + ΛLu = Lh. (3.8) Sden L avhenger av u, har det ngen henskt å nnføre varabelen Lu, slk som avsntt En enkel omformng vser lkevel en beslektet struktur med lgnng (2.42). Den -te lgnngen lgnngssystemet (3.8) lyder l T u t + λ l T u = l T h, dvs l T (u t + λ u ) = l T h. (3.9) Denne lgnngen uttrykker projeksjonen av den retnngsderverte ( ) t + λ u, (3.10) på vektoren l. V ser således at som det skalare tlfellet forplantes nformasjonen langs karakterstkkene. Men sden nformasjonen her forplantes langs n karakterstkker, blr løsnngen et punkt (, t) nå bestemt av startverdene på det

45 3.1 System av kvaslneære lgnnger 45 t C C + (, t) t C C + (, 0) Fgur 3.2: Avhengghetsområdet (tykk strek) på -aksen for et punkt (, t). Fgur 3.3: Innytelsesområdet (skravert) for et punkt (, 0). ntervallet av -aksen som er avgrenset av alle de n karakterstkker som går gjennom punktet (, t). Dette ntervallet utgjør således avhengghetsområdet på -aksen for punktet (, t). Løsnngen u(, t) er kun avhengg av startverdene dette ntervallet. Tlsvarende blr nnytelsesområdet for et punkt (, 0) det området t-planet som er avgrenset av alle de n karakterstkker som går gjennom punktet (, 0). Avhengghetsområdet og nnytelsesområdet belyses enklest ved å se på karakterstkkene for et system av to lgnnger. Betegn de to egenverdene λ og λ +. De tlhørende karakterstkker betegnes C : d dt = λ og C + : d dt = λ +. (3.11) Lgnngene (3.9) gr her to lgnnger tl bestemmelse av de retnngsderverte langs henholdsvs C og C +. Ved å erstatte dsse retnngsderverte med dfferenser, kan man bestemme en dskret løsnng et punkt (, t) ut fra kjente verder punkter på de to karakterstkkene gjennom (, t). Ved å lage et gtter av karakterstkkene, som gur 3.1, kan løsnngen dermed bestemmes ut fra startverdene karakterstkkgtteret. Ved å forne gtteret vl den dskrete løsnngen gå mot den kontnuerlge løsnngen, og løsnngen vl bare avhenge av startverdene det ntervallet på -aksen som er avgrenset av C + - og C -karakterstkkene gjennom punktet (, t), se gur 3.2. Åpenbart krever denne grenseovergangen et bevs, hvlket v kke skal komme nn på her. Tlsvarende sees at nnytelsesområdet for et punkt (, 0) på -aksen er det området t-planet som avgrenses av C - og C + -karakterstkkene gjennom (, 0), se gur Reduserbart system Lgnngssystemet (3.2) kalles reduserbart dersom det består av to lgnnger, A bare er en funksjon av u, og høyresden h forsvnner. I dette avsnttet skal v behandle slke par av hyperbolske lgnnger. V skal skrve systemet på en ltt mer generell form, det v vl tllate en matrse B(u) som faktor

46 46 3 Systemer av hyperbolske bevarelseslover også foran første ledd lgnngen. Vdere er det her hensktsmessg å oppfatte de uavhengge varable og t som første og annen komponent av vektoren = [ 1, 2 ] T. Vårt reduserbare lgnngssystem har altså formen B(u)u 2 + A(u)u 1 = 0, (3.12) hvor u har dmensjon 2. Et redusertbart system, som altså er kvaslneært, har den egenskap at det kan omformes tl et lneært lgnngssystem ved å bytte avhengge og uavhengge varable. Denne transformasjonen er bare mulg sden u har samme dmensjon som vektoren. Jacob-matrsen tl avbldnngen u() lyder u 1 u 1 J = du d = 1 2 u 2 u 2. (3.13) 1 2 Dersom Jacob-determnanten j = det J = u 1 1 u 2 2 u 2 1 u 1 2 0, (3.14) så er den nverse av (3.13) lk u 2 J 1 = 1 u j u 2 u 1. (3.15) 1 1 Under samme betngelse kan uttrykkes som funksjon av u med tlhørende Jacob-matrse 1 1 J 1 = d du = u 1 u (3.16) u 1 u 2 Det følger at u 2 u u 2 u 1 = j u 1 u (3.17) 1 1 u 1 u 2 Innsatt lgnngssystemet (3.12) fås j 1 B u 2 j + A 1 u 1 j 2 u 2 j 2 u 1 = 0. (3.18)

47 3.2 Reduserbart system 47 Sden lgnngssystemet er homogent, kan v forkorte med j = det J. Med A = {a j } og B = {b j } gr en omformng [ b11 a 11 b 21 a 21 ] u2 + [ b12 a 12 b 22 a 22 ] u1 = 0. (3.19) Ovenstående omformng av lgnngssystemet (3.12) tl systemet (3.19) kalles en hodograftransformasjon. Sden koesentene a j og b j er funksjoner av u alene, er lgnngssystemet (3.19) lneært. Lgnngene har derfor karakterstkker u-rommet Γ : du 1 du 2 = µ (u) (3.20) som er funksjoner av u alene. Følgelg nnes det funksjoner w (u) som er konstante langs karakterstkkene. Sden karakterstkkene Γ u-rommet avbldes på karakterstkkene C -rommet, er de samme funksjoner konstante på karakterstkkene -rommet. For reduserbare lgnngssystemer nnes det altså funksjoner w (u) som er konstante langs karakterstkkene. Slke funksjoner kalles Remannske nvaranter. 3.3 Remannske nvaranter I dette avsnttet skal v se på lgnngssystemet (3.1) for n = 2. Systemet er da reduserbart, slk at v, følge avsntt 3.2, kan nne funksjoner w (u) som er konstante langs karakterstkkene d/dt = λ (u). For den homogene lgnngen (3.1) lyder lgnng (3.9) l T u t + λ l T u = 0, (3.21) hvor λ (u) er en egenverd tl matrsen f (u), og l (u) er den tlhørende venstreegenvektoren. Hvs w (u) er en funksjon som tlfredsstller [ w (u) w =, w ] = µ l T, (3.22) u 1 u 2 hvor µ (u) er en parameter, så følger av lgnng (3.21) at w (u) tlfredsstller lgnngen w (u)u t + λ w (u)u = 0, (3.23) dvs ( ) t + λ w (u) = 0. (3.24) Funksjonen w (u) er altså da konstant langs karakterstkken d/dt = λ (u), og følgelg en Remannsk nvarant. Langs karakterstkken gjelder: dw = µ l T du = 0. (3.25)

48 48 3 Systemer av hyperbolske bevarelseslover Eksempel 1: Endmensjonal gruntvannsstrømnng I dette avsnttet ser v på lgnngene (1.21) som beskrver endmensjonal gruntvannsstrømnng på horsontalt underlag uten frksjon: h t + (hu) = 0, (hu) t + ( hu gh2) = 0. (3.26) Når dsse lgnngene skrves på formen (3.1), blr vektorfunksjonen f(u) gtt ved (1.24): [ ] u 2 hu f(u) = hu = 2 gh2 u gu2, (3.27) 1 u 1 2 hvor u = [u 1, u 2 ] T = [h, hu] T. Den derverte av vektorfunksjonen f(u) er f 1 f [ ] f (u) = u 1 u 2 f 2 f 2 = gu 1 u2 2 u u 1 u 2 2 u = gh u 2. (3.28) 2u 1 u 1 2 Matrsen (3.28) har egenverdene λ 1 = u gh, λ 2 = u + gh. (3.29) De tlhørende høyreegenvektorene er [ ] [ ] 1 r 1 = u 1, r gh 2 = u +, (3.30) gh og tlsvarende fås for venstreegenvektorene l 1 = 1 [ ] u gh, l h 1 2 = 1 [ ] u + gh. (3.31) h 1 Bemerk at l r j = 0 for j. V har her valgt å normere venstreegenvektorene slk at de Remannske nvarantene w (u) som bestemmes av lgnng (3.22), tlfredsstller w (u) = l (u) T (dvs parameteren µ (u) kan sløyfes). De Remannske nvarantene blr w 1 = u 2 u 1 2 gu 1 = u 2 gh, w 2 = u 2 u gu 1 = u + 2 gh. (3.32) Dersom man hadde benyttet den avledede lgnngen (1.25) stedenfor annen lgnng (3.26), vlle man fått de samme egenverder og Remannske nvaranter. Det er åpenbart, sden karakterstsk hastghet og nvaranter langs karakterstkkene må forbl uberørt av denne omformngen. Egenvektorene vlle mdlertd bltt annerledes.

49 3.3 Remannske nvaranter 49 t u 2 gh = konstant d/dt = u gh u + 2 gh = konstant d/dt = u + gh Fgur 3.4: Karakterstkker og Remannske nvaranter for gruntvannsstrømnng Eksempel 2: Stasjonær gruntvannsstrømnng Lgnngene for stasjonær, hvrvelfr gruntvannsstrømnng på horsontalt underlag er, følge (1.45), gtt ved Lgnng (3.33) gr Lgnng (3.34) forenkles tl dv(hq) = 0, (3.33) q dv(hq) + h grad ( 1 2 q2) + grad ( 1 2 gh2) = 0. (3.34) q grad h = h dv q. (3.35) grad ( 1 2 q2 + gh ) = 0, (3.36) Ved å multplsere lgnng (3.36) med q, og dernest sette nn uttrykk (3.35), fås q grad ( 1 2 q2) c 2 dv q = 0, (3.37) hvor c = gh kalles krtsk hastghet. V skal formulere lgnng (3.37) kartesske koordnater, hvor q = [u, v] T. Første ledd lgnng (3.37) lyder q grad ( 1 2 q2) = [ u v ] [ 1 ] 2 (u2 + v 2 ) = u (uu 1 2 (u2 + v 2 + vv ) + v (uu y + vv y ), ) y (3.38) og annet ledd er c 2 dv q = c 2 (u + v y ). Lgnng (3.37) lyder dermed kartesske koordnater ( u 2 c 2) u + uv (v + u y ) + ( v 2 c 2) v y = 0. (3.39) I tllegg har v antatt hvrvelfr bevegelse, rot q = 0, hvlket for kartesske koordnater betyr v u y = 0. (3.40)

50 50 3 Systemer av hyperbolske bevarelseslover V skal drøfte lgnngssystemet (3.39) og (3.40). Hvs dette skrves på formen Bq y + Aq = 0, (3.41) blr [ uv v B = 2 c ], A = [ u 2 c 2 ] uv. (3.42) 0 1 Egenverdene tl matrsen B 1 A bestemmer karakteren tl lgnngene (3.41). 0 1 B 1 A = 1 uv v 2 c 2 v 2 c 2 [ u 2 c 2 ] uv = 0 1 Egenverdene tl B 1 A er således bestemt av lgnngen 0 1 u 2 c 2 v 2 c 2 2uv. v 2 c 2 (3.43) ( v 2 c 2) λ 2 2uvλ + u 2 c 2 = 0, (3.44) med løsnng λ = d dy = uv ± c q 2 c 2 v 2 c 2, (3.45) hvor q = q 2. Froude-tallet er denert ved F = q/c, og radkanden uttrykket (3.45) vser at karakteren tl lgnngene (3.41) er bestemt av verden tl Froude-tallet: 1. Hvs F > 1, er egenverdene (3.45) reelle, og lgnngssystemet (3.41) er hyperbolsk. Strømnngen ses dette tlfellet å være overkrtsk. Ofte kalles dette skytende strømnng. 2. Hvs F < 1, er egenverdene (3.45) komplekse, slk at lgnngssystemet (3.41) blr ellptsk. Strømnngen ses dette tlfellet å være underkrtsk. Dette kalles av og tl rolg strømnng. V vl drøfte det hyperbolske tlfellet F > 1 nærmere. I de hyperbolske lgnngene v har studert tdlgere, har tden vært den ene koordnaten, og egenverdene har vært karakterstske hastgheter. Sden v nå bare har romlge koordnater, er dette kke tlfellet her. Egenverden (3.45) gr her den karakterstske retnng, og har ngen umddelbar geometrsk tolknng sden koordnatsystemet y bare er et tlfeldg valgt kartessk koordnatsystem. Det er derfor hensktsmessg å nnføre andre geometrske størrelser. Lgnng (3.44) kan med λ = d/dy skrves på formen ( u 2 c 2) dy 2 2uv dy d + ( v 2 c 2) d 2 = 0, (3.46) dvs (u dy v d) 2 = c 2 ( d 2 + dy 2). (3.47)

51 3.3 Remannske nvaranter 51 y α φ s q +α-karakterstkk +α q strømlnje θ α α-karakterstkk Fgur 3.5: Vnkel tl strømlnjen (θ) og tl karakterstkken (φ). Fgur 3.6: Mach-vnkel og Machlnjer. La θ være vnkelen fra -aksen tl strømlnjen, og φ være vnkelen fra -aksen tl karakterstkken, se gur 3.5. Da er u = q cos θ, v = q sn θ (3.48) og d = cos φ ds, dy = sn φ ds, (3.49) hvor s er buelengden langs karakterstkken. Innsatt lgnng (3.47) fås (q cos θ sn φ ds q sn θ cos φ ds) 2 = c 2 ( cos 2 φ ds 2 + sn 2 φ ds 2). (3.50) Dette forenkles tl dvs q 2 sn 2 (φ θ) ds 2 = c 2 ds 2, (3.51) sn(φ θ) = c q = 1 F. (3.52) Vnkelen φ θ er vnkelen mellom karakterstsk retnng og hastghetsvektoren q, se gur 3.5. Ved å sette φ = θ α, fås sn α = 1 F. (3.53) Vnkelen α kalles Mach-vnkelen, og karakterstkkene på hver sde av strømlnjen kalles Mach-lnjer, se gur 3.6. Dsse begrepene stammer fra gassdynamkken, hvor lgnnger av samme slag opptrer for sentrop strømnng. Mach-lnjer kan lett sees renner med overkrtsk strømnng (q > gh). Hvs det et punkt rennen er en ujevnhet på bunnen, eller det lgger en sten der, så vl dette g en forstyrrelse strømnngsbldet. Forstyrrelsen vl mdlertd bare opptre nnytelsesområdet tl punktet, dvs den vl være begrenset av Mach-lnjene gjennom punktet. Utenfor nnytelsesområdet vl strømnngen være upåvrket av forstyrrelsen. Mach-lnjene kan lett sees som en V-formet stasjonær bølge. Strømnngen en rennesten vl almnnelghet være overkrtsk, og regnvær vl man vanlgvs kunne aktta slke V-er. Jo spssere V-en er, jo høyere er Froude-tallet.

52 52 3 Systemer av hyperbolske bevarelseslover For å bestemme de Remannske nvaranter som er konstante langs karakterstkkene, kan man enten benytte hodograftransformasjonen, lgnng (3.19), tl bestemmelse av karakterstkkene uv-rommet, eller man kan bestemme venstreegenvektorene tl matrsen (3.43) og nne funksjoner som tlfredsstller lgnng (3.25). Problemet er mdlertd at v egentlg kke ønsker å uttrykke de Remannske nvaranter som funksjoner av størrelsene u og v, sden dsse bare er komponenter av hastgheten q et tlfeldg valgt kartessk koordnatsystem. Vnkelen θ og Mach-vnkelen α er mer naturlge størrelser. Bestemmelse av de Remannske nvaranter er derfor kke helt lketl. V skal først benytte hodograftransformasjonen, og dernest fullføre utlednngen med bruk av venstreegenvektorene tl B 1 A. Hver metode har sne fortrnn. Når hodograftransformasjonen (3.19) anvendes på lgnng (3.41), fremkommer lgnngen [ uv u 2 c ] [ ] + y v [ v 2 c 2 uv 0 1 ] [ y ] u = 0. (3.54) Karakterstkkene fremkommer ved å beregne egenverdene tl matrsen [ uv u 2 c 2 ] 1 [ v 2 c 2 ] 0 1 uv = v 2 c 2 2uv. (3.55) u 2 c 2 u 2 c 2 Egenverdene µ = du/dv er gtt ved lgnngen µ 2 + 2uv u 2 c 2 µ + v2 c 2 u 2 = 0. (3.56) c2 Langs karakterstkken gjelder således ( u 2 c 2) du 2 + 2uv du dv + ( v 2 c 2) dv 2 = 0, (3.57) dvs (u du + v dv) 2 = c 2 ( du 2 + dv 2). (3.58) Her kan v transformere fra (u, v) tl (q, θ). Det gjelder: (u du + v dv) = q dq = q dq, (3.59) du 2 + dv 2 = dq dq = dq 2 + q 2 dθ 2. (3.60) Innsatt lgnng (3.58) fås q 2 dq 2 = c 2 ( dq 2 + q 2 dθ 2), (3.61) dvs ( ) q dθ 2 2 dq 2 = c 2 1 q 2 = ( F 2 1 ) dq 2 q 2. (3.62)

53 3.3 Remannske nvaranter 53 Dermed fremkommer relasjonen dθ = F 2 1 dq q (3.63) langs karakterstkken. For de Remannske nvarantene gjelder langs karakterstkken dw = w q dq + w θ dθ = 0. (3.64) Ettersom Froude-tallet er uavhengg av θ, gjelder derfor F w = θ ± 2 1 dq q. (3.65) Integralet kan omformes tl et ntegral med hensyn på α. Av lgnng (3.53) følger F 2 1 = 1 tan α. (3.66) Vdere følger av lgnng (3.36) at c q2 = k, hvor k er en konstant. Således er sn 2 α = 1 F 2 = c2 q 2 = k q 2 1 2, (3.67) og for derensalene følger 2 sn α cos α dα = 2 k ( dq q 2 q = 2 sn 2 α + 1 ) dq 2 q. (3.68) Innsatt (3.65) fås w = θ 1 sn α cos α tan α sn 2 α + 1 dα = θ 2 cos 2 α sn 2 α dα = θ P (α), (3.69) hvor P (α) er Prandtl-Meyer-funksjonen P (α) = ( ) 3 arctan 3 tan α α. (3.70) De Remannske nvarantene er således w = θ P (α). (3.71) Rktgnok vser kke ovenstående utlednng hvlken nvarant som er konstant langs hvlken karakterstkk. Dette kan mdlertd bestemmes ved å beregne venstreegenvektorene tl matrsen (3.43), og dernest benytte lgnng (3.25). Venstreegenvektoren tl matrsen (3.43) er [ 1 l T u 2 c 2 ] [ ] 2uv = λ v 2 c 2, 1 = v 2 c 2 λ, 1. (3.72)

54 54 3 Systemer av hyperbolske bevarelseslover Når man setter nn for λ, er dsse uttrykkene lke. La oss benytte første uttrykk lgnng (3.72). Ifølge lgnng (3.25) gjelder da langs karakterstkken 1 λ u 2 c 2 v 2 du + dv = 0. (3.73) c2 Egenverden er gtt ved 1/λ = dy/d = tan φ = tan(θ α). Ved vdere å benytte uttrykkene (3.48) og (3.53), fås langs karakterstkken dv du = 1 u 2 c 2 λ v 2 c 2 = tan(θ α) q2 cos 2 θ c 2 q 2 sn 2 θ c 2 = tan(θ α) cos2 θ F 2 sn 2 θ F 2 = tan(θ α) cos2 θ sn 2 α sn 2 θ sn 2 α cos(θ + α) cos(θ α) = tan(θ α) sn(θ + α) sn(θ α) = tan(θ α) tan(θ + α) tan(θ α) 1 = tan(θ ± α). (3.74) Som utlednngen med hodograftransformasjonen må v transformere fra (u, v) tl (q, θ). Av lgnngene (3.48) følger [ ] [ ] [ ] du cos θ sn θ dq =. (3.75) dv sn θ cos θ q dθ Ved nverterng av (3.75) og nnsettng av (3.74) fremkommer følgende relasjon langs karakterstkken 1 q dq dθ = = cos θ du + sn θ dv sn θ du + cos θ dv cos θ + sn θ/ tan(θ ± α) sn θ + cos θ/ tan(θ ± α) = tan(θ (θ ± α)) = tan α. cos θ sn θ(dv/du) = sn θ cos θ(dv/du) tan θ tan(θ ± α) = 1 + tan θ tan(θ ± α) (3.76) Ifølge (3.66) er denne lgnngen samme lgnng som lgnng (3.63). Dette vser at rktg fortegn ble valgt under utlednngen med hodograftransformasjonen. Følgelg er θ P (α) konstant langs Mach-lnjen dy/d = tan(θ α). 3.4 Enkle bølger Teoren de foregående avsnttene hører tl den klassske teoren for systemer av hyperbolske derensallgnnger. Den peker på fellestrekk mellom skalare lgnnger og systemer av lgnnger, men vser samtdg at bølgeløsnngen for systemer av derensallgnnger er mye mer sammensatt enn løsnngen for skalare lgnnger.

55 3.4 Enkle bølger 55 Imdlertd nnes det løsnnger av systemer av hyperbolske bevarelseslover som reduserer seg tl løsnngen av skalare lgnnger, og som vser seg å være meget nyttge byggeklosser. V ser gjen på lgnngssystemet (3.1) u t + f(u) = 0. (3.77) En enkel bølge for lgnngen (3.77) er en bølge hvor vektoren u bare avhenger av én parameter. For en enkel bølge kan v derfor skrve u = u(θ), hvor θ(, t) er en skalar. For enkle bølger gjelder dermed u t + f(u) = u θ t + f (u)u θ = 0, (3.78) hvor u = du/dθ og f (u) er Jacob-matrsen tl f(u). Således må f (u)u = λu, (3.79) dvs λ = λ(u) må være en egenverd for matrsen f (u) med tlhørende høyreegenvektor u, og egenverden λ(u(θ)) må tlfredsstlle lgnngen θ t + λ(u(θ))θ = 0. (3.80) Dette er en skalar hyperbolsk derensallgnng med karakterstkk d/dt = λ(u(θ)). Løsnngen θ er konstant langs karakterstkkene, og karakterstkkene er rette lnjer, se avsntt 2.2. Med θ konstant blr også u(θ) konstant langs karakterstkkene. I en enkel bølge har således alle komponenter av u samme hastghet. Av denne grunn kalles en enkel bølge også en koherent bølge. La oss skrve lgnngene (3.79) på formen f (u)r(u) = λ(u)r(u). (3.81) Løsnngen {λ, r}, hvor λ(u) er en egenverd og r(u) er den tlhørende høyreegenvektoren for matrsen f (u), kalles et egenfelt. Et egenfelt kalles ekte kkelneært dersom λ r 0. Det kalles lneært degenerert dersom λ r 0. Her er λ gradenten tl λ(u) u-rommet, dvs λ = [ λ u 1,..., ] λ T. (3.82) u n V skal benytte ovenstående densjoner de påfølgende avsnttene dette kapttelet. La oss mdlertd, før v forlater dette avsnttet, belyse hvor enkle bølger ofte påtrees. Hvs lgnngssystemet (3.77) består av to lgnnger, er det reduserbart. Dersom for et slkt par av lgnnger u er konstant et område Ω 0 t-planet, vl karakterstkkene Ω 0 være rette lnjer. La området Ω 1 grense tl Ω 0, slk at ett sett av karakterstkker Ω 1 kommer fra Ω 0. Kall karakterstkkene karakterstkker og +karakterstkker. Langs dsse karakterstkkene er

56 56 3 Systemer av hyperbolske bevarelseslover (a) Enkel bølge langs en avrundng. (b) Sentrert enkel bølge ved et knekkpunkt. Fgur 3.7: Mach-lnjer for stasjonær strømnng langs en kant. Heltrukne Mach-lnjer løper ut fra kanten. Stplede Mach-lnjer løper nn mot kanten. henholdsvs w og w + konstant, hvor w er en Remannsk nvarant. Anta, uten tap av almengyldghet, at de karakterstkkene Ω 1 som kommer fra Ω 0, er karakterstkkene. Da er w konstant Ω 1. Langs hver +karakterstkk Ω 1 er w + konstant. Langs hver +karakterstkk Ω 1 er således u konstant. I området Ω 1 varerer derfor u kun med hvlken +karakterstkk et punkt lgger på, dvs v kan skrve u = u(θ). Dersom lgnngssystemet (3.77) er reduserbart, vl derfor et naboområde tl et område hvor u er konstant, ha en løsnng som er en enkel bølge. Ovenstående betraktnger gjelder selvfølgelg også for lgnngssystemet (3.41). Anta derfor at v har stasjonær strøm med et konstant hastghetsfelt q parallelt med en kant. I et område hvor kanten bøyer av rundt et hjørne, må løsnngen bl en enkel bølge med et sett av rettlnjede karakterstkker (Mach-lnjer) som løper ut fra kanten, se gur 3.7(a). I et reelt tlfelle vl den avrundede kanten ha små ujevnheter, og de forstyrrelser som dsse ujevnhetene forårsaker, vl forplantes langs Mach-lnjene som løper ut fra kanten. Sden strømnngen en rennesten vanlgvs er overkrtsk, vl man regnvær lett kunne aktta enkle bølger der hvor rennestenen har en avbøynng. Dersom avrundngen rundt hjørnet reduseres tl et knekkpunkt, vl den enkle bølgen bl sentrert, slk at samtlge Mach-lnjer stråler ut fra samme punkt, se gur 3.7(b). 3.5 Dskontnuteter I avsntt 2.3 utledet v Rankne-Hugonots sprangbetngelse for lgnngssystemet (3.77). For skalare lgnnger så v mdlertd kapttel 2 at sprangbetngelsen kke var tlstrekkelg tl å g entydghet. I avsntt 2.5 denerte v en entropfunksjon η som en konveks funksjon med hensyn på den avhengge varable u. Ved hjelp av entropfunksjoner var v stand tl å utlede en entropbetngelse som gav en entydg bestemmelse av løsnngen. For å benytte samme fremgangsmåte for systemer, ser v på lgnngssystemet u t + f(u) = ɛg(u), (3.83)

57 3.5 Dskontnuteter 57 hvor ɛ er en postv parameter som v skal la gå mot null. For at dette lgnngssystemet skal g en utbredelse av u for voksende t, må v kreve at egenverdene tl Jacob-matrsen g (u) tlfredsstller vsse postvtetsbetngelser. Dsse nngår mdlertd kke nedenstående drøftelse. For å få oppfylt de nødvendge egenskaper for entropfunksjonen skal v steden kreve at matrsen g (u) tlfredsstller vsse forlkelghetsbetngelser som v skal komme tlbake tl nedenfor. Som avsntt 2.5 multplserer v lgnngene (3.83) med den derverte av en funksjon η(u) som forlanges å være konveks. Her er den derverte η (u) lk gradenten u-rommet, og den annenderverte η (u) er Hesse-matrsen. Kravet om at η(u) skal være konveks, nnebærer at Hesse-matrsen η (u) må være symmetrsk og postvt semdentt. Ved å multplsere lgnngene (3.83) foran med lnjevektoren η (u), fremkommer lgnngen η (u) [u t + f(u) ] = ɛη (u)g(u). (3.84) V antar at det nnes en funksjon ψ(u) med egenskapen ψ (u) = η (u)f (u). Lgnngen for entropfunksjonen η(u) blr da η(u) t + ψ(u) = ɛη (u)g(u), (3.85) og ved ntegrasjon mellom punktene a og b fås b a [η(u) t + ψ(u) ] d = ɛ b a η (u)g(u) d = ɛ [ η ] b b (u)g(u) a ɛ u T η (u)g (u)u d. a (3.86) V skal anta at matrsene η (u) og g (u) er forlkelge, den forstand at matrsen η (u)g (u) er postvt semdentt. (En kvadratsk, reell matrse A, som kke behøver å være symmetrsk, kalles postvt dentt dersom T A > 0 for alle vektorer 0, og postvt semdentt dersom T A 0 for 0.) I almnnelghet vl altså funksjonene η(u) og g(u) kke kunne velges uavhengg av hverandre. Det er de energforødende prosessene som g(u) beskrver, som skaper endrngen entropfunksjonen η. For en konveks η(u) kan v mdlertd alltd velge g(u) = u, dvs g (u) = I. Når matrsen η (u)g (u) er postvt semdentt, vl ntegranden på høyresden lgnng (3.86) tlfredsstlle ulkheten u T η (u)g (u)u 0. (3.87) V har dermed samme stuasjon som avsntt 2.5. Ved å la ɛ 0, fremkommer, på samme måte som der, ulkheten d dt b a η(u) d + [ ψ(u) ] b a 0 (3.88)

58 58 3 Systemer av hyperbolske bevarelseslover for alle a og b som kke lgger på en dskontnutet for u. Dersom ngen dskontnuteter forekommer mellom a og b, reduserer ulkheten seg tl en lkhet Eksempel 1: Endmensjonal gruntvannsstrømnng V ser gjen på lgnngene (3.26) som beskrver masse- og mpulsbevarelse for endmensjonal gruntvannsstrømnng på horsontalt underlag uten frksjon. Dskontnuerlge løsnnger ved gruntvannsstrømnng kalles vannsprang. Ved å benytte Rankne-Hugonots sprangbetngelse (2.60) på gruntvannslgnngene (3.26), fås betngelsene (h R h L ) σ = h R u R h L u L, (h R u R h L u L ) σ = ( h R u 2 R + 1 ( 2 R) gh2 hl u 2 L + 1 ) (3.89) 2 gh2 L, hvor som tdlgere ndeksene L og R betegner tlstanden henholdsvs tl venstre og tl høyre for dskontnuteten. Vannspranget har derfor hastgheten Høyre lgnng gr σ = h Ru R h L u L h R h L = h Ru 2 R gh2 R h Lu 2 L 1 2 gh2 L h R u R h L u L. (3.90) dvs h 2 Ru 2 R 2h R h L u R u L + h 2 Lu 2 L = h 2 Ru 2 R h R h L ( u 2 R + u 2 L) + h 2 L u 2 L g (h R h L ) 2 (h R + h L ), (3.91) h R h L ( u 2 R 2u R u L + u 2 L) = 1 2 g (h R h L ) 2 (h R + h L ). (3.92) Således blr ( (u R u L ) 2 = 1 2 g (h R h L ) ), (3.93) h R h L slk at over vannspranget gjelder relasjonen ( g 1 u R u L = (h R h L ) + 1 ). (3.94) 2 h R h L Ved nnsettng venstre uttrykk lgnng (3.90) fås derfor for vannsprangets hastghet ( ) h R (u ) g L (h R h L ) 1 2 h R + 1 h L h L u L σ = h R h L (3.95) ( g 1 = u L h R + 1 ) ( g 1 = u R h L + 1 ). 2 h R h L 2 h R h L

59 3.5 Dskontnuteter 59 Ikke alle løsnnger av lgnng (3.94) kan ventes å være gyldge. V må derfor utlede en entropbetngelse som entydg avgjør hvlke dskontnuerlge løsnnger som kan benyttes. For gruntvannsstrømnng utledet v bevarelsen av mekansk energ (1.15) ( 1 2 hu gh2) t + ( 1 2 hu3 + gh 2 u ) = 0. (3.96) Energbevarelsen er, følge lgnng (1.16), avledet av masse- og mpulsbevarelsene: ( 1 2 hu gh2) t + ( 1 2 hu3 + gh 2 u ) = ( gh 1 2 u2) [h t + (hu) ] + u [ (hu) t + ( hu gh2) ]. (3.97) Hvs man forsøker å sette entropfunksjonen lk den mekanske energ η(u) = 1 2 hu gh2 = u2 2 2u 1 + gu2 1 2, (3.98) hvor u = [u 1, u 2 ] T = [h, hu] T, så følger for den derverte [ ] η (u) = gu 1 u2 2 u 2 2u 2, = [ gh 1 1 u 2 u2, 1 u ]. (3.99) Lgnng (3.97) kan derfor skrves η(u) t + ψ(u) = η (u)[u t + f(u) ], (3.100) hvor entropuksen ψ(u) = 1 2 hu3 + gh 2 u. Den annenderverte av η(u) blr η (u) = u 2 2 u g u 2 u = u u 1 h u 2 u 2 1 u 2 h + g u h 1. (3.101) h Hesse-matrsen (3.101) er symmetrsk og postvt dentt (den har postve dagonalelementer og postv determnant g/h). Den mekanske energ (3.98) er derfor en konveks funksjon av u. Følgelg kan den mekanske energ benyttes som entropfunksjon for gruntvannslgnngene. Over et vannsprang må derfor den mekanske energen avta. Dette skyldes at et vannsprang nneholder hvrvler som gr dsspasjon av den mekanske energ. Energbevarelsen (3.96) er bare oppfylt områder hvor løsnngen er glatt. For å beregne energtapet over et vannsprang, skal v først vse to nyttge relasjoner. Massestrømmen gjennom spranget er, følge den første av Rankne-Hugonot-lgnngene (3.89) og lgnng (3.95), ( g 1 m = h R (u R σ) = h L (u L σ) = ±h R h L + 1 ). (3.102) 2 h R h L

60 60 3 Systemer av hyperbolske bevarelseslover h L h R h L h R Fgur 3.8: Vannsprang med h L <h R : u L > σ og u R > σ. Fgur 3.9: Vannsprang med h L >h R : u L < σ og u R < σ. Annen Rankne-Hugonot-lgnng kan skrves h R (u R σ) u R gh2 R = h L (u L σ) u L gh2 L, (3.103) og med bruk av massestrømmen m fås mu R gh2 R = mu L gh2 L. (3.104) Energtapet over et vannsprang er, følge lgnng (2.108), E = ψ(u R ) ψ(u L ) σ ( η(u R ) η(u L ) ) = [ 1 2 h Ru 3 R + gh 2 Ru R σ 1 2 h Ru 2 R σ 1 ] 2 gh2 R [ 1 2 h Lu 3 L + gh 2 Lu L σ 1 2 h Lu 2 L σ 1 ] 2 gh2 L = [( 1 2 u2 R gh ) R hr (u R σ) + 1 ] 2 gh2 Ru R [( 1 2 u2 L gh ) L hl (u L σ) + 1 ] 2 gh2 Lu L = [( 1 2 u2 R gh ) R m gh2 R (u R σ) mu R σ ] [( 1 2 u2 L gh ) L m gh2 L (u L σ) mu L σ ] = m [( 1 2 u2 R u R σ + 1 ) ( 2 σ2 + gh R 1 2 u2 L u L σ + 1 )] 2 σ2 + gh L ] = 1 2 [(u m R σ) 2 (u L σ) 2 + 2g (h R h L ) [ ( (h = 1 2 m 2 L h 2 ) g 1 R + 1 ) ] + 2g (h R h L ) 2 h R h L = mg 4 = mg 4 h R h [ ] L (h R + h L ) 2 4h R h L h R h L (h R h L ) 3 h R h L, (3.105) hvor v har gjort bruk av lgnngene (3.102) og (3.104). Entropbetngelsen E 0 krever derfor at ulkheten m (h R h L ) > 0 (3.106) er oppfylt. (Tlfellet h R = h L gr ntet sprang.) I tlfelle h L < h R, må derfor u L > σ og u R > σ, se gur 3.8. Tlsvarende gr tlfellet h L > h R at u L < σ

61 3.5 Dskontnuteter 61 Fgur 3.10: Flodbrennng Qantang-elven, Kna. Fgur 3.11: Flodbrennng fjorden Turnagan Arm, Alaska. og u R < σ, se gur 3.9. Relatvt tl vannspranget, strømmer altså vannet alltd fra sden med lten høyde tl sden med stor høyde. Ifølge lgnngene (3.94) og (3.102) gjelder u R u L = (h R h L ) ( g ) = h R h L m. (3.107) 2 h R h L h R h L Entropbetngelsen E 0 krever derfor at u R < u L. (3.108) Ulkhet (3.108) og relasjon (3.94) bestemmer entydg betngelsene over et vannsprang. Bevegelge vannsprang kalles gjerne sprangbølger. De antar naturen svært ulke former. Ved strømnng nedover et skråplan med lav ruhet dannes ofte sprangbølger hvor spranget har en høyde på noen få mllmeter. I regnvær kan slke bølger akttas på asfalterte gater. Rktgnok blr gruntvannsbølger på skråplan kke beskrevet med lgnngene (3.26), men med lgnngene (1.17). Betngelsene over vannspranget er mdlertd de samme, bortsett fra at g må erstattes med γ = g cos α, hvor α er skråplanets helnngsvnkel. Store sprangbølger arter seg som odbrennnger. Enkelte steder på jorden skaper tdevannet odbølger som vandrer oppover elvemunnnger eller nnover grunne fjorder. Den største av dsse gruntvannsbølgene er odbølgen Qantang-elven Kna, se gur Ved sprngo kan odbrennngen ha en høyde på 3 m og en hastghet på rundt 7 m/s. I fjorden Turnagan Arm Alaska kan tdevannet g odbølger som en sjelden gang har en 2 m høy odbrennng med en bølgehastghet på rundt 5 m/s, se gur Berømt var også tdevannsbølgen le mascaret Senen. Etter at Senen ble mudret 1963, er mdlertd denne odbølgen nesten bltt borte.

62 62 3 Systemer av hyperbolske bevarelseslover Eksempel 2: Vannsprang stasjonær strømnng Lgnngene for stasjonær gruntvannsstrømnng har naturlgvs også dskontnuerlge løsnnger. V skal her se på et eksempel med et såkalt vnkelrett vannsprang, dvs et sprang med en front som står vnkelrett på strømretnngen. Anta at v har en vannrett plate som blr truet av en loddrett vannstråle. På platen strømmer vannet utover radell retnng, og man får et stasjonært strømnngsblde. En slk strømnng ser man ofte på bunnen av en oppvaskkum, se gur Strømnngen på platen beskrves med gruntvannslgnngene. Strømnngen vl være overkrtsk (Froude-tall større enn 1) området rundt det punkt hvor strålen treer platen. Strømnngen forblr overkrtsk vdere utover, men ved en radus på noen centmeter dannes et vannsprang som endrer strømnngens karakter. V skal drøfte hva som skjer gjennom vannspranget. Lgnngene (1.48) og (1.49) beskrver stasjonær, radell gruntvannsstrømnng. Ved å ntegrere dsse lgnngene over et vannsprang, fås bare bdrag fra de leddene som nneholder den derverte med hensyn på raden. Over vannspranget må således lgnngene (3.89) med σ = 0 gjelde: h L u L = h R u R, h L u 2 L gh2 L = h R u 2 R gh2 R. (3.109) Her betegner ndeksene L og R tlstanden på nnsden og på utsden av vannspranget, henholdsvs. Av første lgnng følger u R = (h L /h R )u L, som nnsatt annen lgnng gr h L u 2 L gh2 L = h2 L h R u 2 L gh2 R, (3.110) dvs 2 u2 L gh L + 1 = 2 h L h R u 2 L gh L + ( hr h L ) 2. (3.111) Fgur 3.12: Vannsprang en oppvaskkum.

63 3.5 Dskontnuteter 63 Ved her å nnføre Froude-tallet på nnsden av spranget F L = u L / gh L og forholdstallet for høydene η = h R /h L, fås hvlket ved omformng gr 2F 2 L + 1 = 2 F 2 L η + η2, (3.112) η 3 ( 2F 2 L + 1 ) η + 2F 2 L = (η 1) ( η 2 + η 2F 2 L) = 0. (3.113) Lgnng (3.113) har bare én postv løsnng η 1: ) η = 1 2 ( 1 + 8F 2L 1. (3.114) Denne lgnngen bestemmer forholdet mellom høydene på begge sder av vannspranget. Med F L > 1 blr η > 1, dvs høyden øker gjennom vannspranget. Man kan også bestemme Froude-tallet på utsden av vannspranget. Av h R = ηh L og u R = u L /η følger F R = og ved nnsettng av (3.114) fås u R ghr = u L η gηh L = F L η 3/2, (3.115) F R = F L ( 1 2 ( 1 + 8F 2 L 1 )) 3/2 = 1 + 8F 2 L F 2L 1. (3.116) Med F L > 1 er alltd 1 + 8FL 2 > 3, og da blr også nevneren større enn telleren brøken (3.116), dvs F R < 1. Det følger at strømnngen skfter karakter gjennom vannspranget. Med overkrtsk (hyperbolsk) strømnng på nnsden av vannspranget blr strømnngen på utsden av vannspranget underkrtsk (ellptsk). I det overkrtske området forplantes nformasjonen postv radell retnng, mens nformasjonen det underkrtske området brer seg både postv og negatv radell retnng. Eksstensen av vannspranget er en følge av det ellptske området, og belggenheten tl vannspranget kan kke bestemmes uten kjennskap tl randkravet ved ytre rand, dvs der hvor strømnngen opphører. 3.6 Støthastghet og karakterstsk hastghet I avsntt 2.5 utledet v betngelsen (2.124) for skalare lgnnger. Den er en nødvendg betngelse, men den er kke tlstrekkelg tl å g entydghet når

64 64 3 Systemer av hyperbolske bevarelseslover uksfunksjonen har vendepunkt. V skal her utlede en tlsvarende betngelse for systemer av hyperbolske derensallgnnger. Betngelsen skal utledes ved å ta utgangspunkt lgnngene for endmensjonal gruntvannsstrømnng (3.26). Dernest skal v drøfte mer generelle betngelser for systemer med to hyperbolske derensallgnnger. Støtbølgene ndekseres med ndeks, = 1, 2, slk at σ 1 < σ 2. De karakterstske hastghetene ndekseres tlsvarende, dvs λ 1 < λ 2. Som foran betegnes tlstanden tl venstre og tl høyre for et støt med henholdsvs u L og u R. For gruntvannslgnngene er deransen mellom støthastgheten σ og karakterstsk hastghet λ med samme ndeks på begge sder av et støt bestemt av lgnngene (3.29) og (3.95). Man får: σ λ(u L ) = g (u L h R 2 = ( ) ) (u L ) gh L h R h L ( g 1 (h R + 1 ) ) (3.117) gh L 2 h R h L og σ λ(u R ) = g (u R h L 2 = ( ) ) (u R ) gh R h R h L ( g 1 (h L + 1 ) ) gh R. 2 h R h L (3.118) Nå er for postve h 1 og h 2 : ( 1 1 sgn (h ) ) h 2 = sgn(h 1 h 2 ). (3.119) 2 h 1 h 2 Ved bruk av venstre lkhet lgnng (3.107) og ulkhet (3.108) følger derfor at og sgn(σ λ(u L )) = sgn(h R h L ) = sgn(u R u L ) = 1 (3.120) sgn(σ λ(u R )) = sgn(h L h R ) = sgn(u L u R ) = 1. (3.121) For gruntvannslgnngene (3.26) gjelder altså λ (u R ) σ λ (u L ), = 1, 2. (3.122) Strengt tatt kan dsse ulkhetene formuleres som ekte ulkheter for gruntvannslgnngene. V har mdlertd formulert dem slk som de står, for å ta

65 3.6 Støthastghet og karakterstsk hastghet 65 σ 1 λ 2R λ 1L σ 2 λ 2L λ 1L λ 1R t λ 2L λ 2R λ 1R Fgur 3.13: Støt med ndeks 1 og karakterstkkene på hver sde. Fgur 3.14: Støt med ndeks 2 og karakterstkkene på hver sde. høyde for mer generelle systemer. Ulkhetene (3.122) kalles La' entropbetngelse. De er her utledet fra betngelsen om at entropfunksjonen kke kan øke. Det kan lett vses at de er tlstrekkelge tl å g entydghet for løsnngen av gruntvannslgnngene. La' entropbetngelse kan vses på tlsvarende måte for andre systemer av n hyperbolske bevarelseslover. Ulkhetene gjelder da for = 1,..., n. Generelt er de tlstrekkelge for hyperbolske systemer med forskjellge egenverder hvor egenfeltet er ekte kkelneært, og hvor spranget er lte. I motsetnng tl Olejnks entropbetngelse (2.120), som bare gjelder for skalare lgnnger, krever La' entropbetngelse ngentng av egenverdene mellom u L og u R. Det er derfor åpenbart at La' entropbetngelse kke er tlstrekkelg for generelle systemer av hyperbolske bevarelseslover på formen (3.1). Av lgnngene (3.29) og (3.95) kan v vse ytterlgere to ulkheter, men motsetnng tl ulkhet (3.122) er dsse kke en følge av entropbetngelsen. For ulk ndeks på støt og karakterstkk får v σ 1 λ 2 (u R ), λ 1 (u L ) σ 2. (3.123) Også her gr gruntvannslgnngene ekte ulkheter, men v formulerer dem slk som de står, for å ta høyde for mer generelle tlfeller. Støt med tlgrensende karakterstkker for gruntvannslgnngene er vst gurene 3.13 og For et system av to hyperbolske lgnnger er løsnngen bestemt av nformasjonen som forplantes langs de to karakterstkkene. Overalt hvor en karakterstkk begynner, må man ha et startkrav for den nformasjonen som forplantes langs karakterstkken. På en dskontnutetskurve må man altså ha lke mange startkrav som antall karakterstkker som forlater kurven. På gur 3.13 er løsnngen på venstre sde av støtet bestemt av karakterstkkene. Når støthastgheten elmneres fra Rankne-Hugonots sprangbetngelse, gr denne betngelsen én lgnng for tlstanden på høyre sde av støtet. Dette er akkurat nok tl å g startkravet for den karakterstkken som forlater støtet på høyre sde. Sammen med den nformasjon som forplantes langs den karakterstkken på høyre sde som kke forlater støtet, bestemmer dette løsnngen på høyre sde entydg.

66 66 3 Systemer av hyperbolske bevarelseslover σ λ 2R λ 1L σ λ 2R λ 2L λ 1L λ 1R t λ 2L λ 1R Fgur 3.15: Tllatt støt hvor ngen karakterstkker forlater støtet. Fgur 3.16: Ikke tllatt kontaktdskontnutet. To karakterstkker forlater dskontnuteten. På gur 3.14 er stuasjonen tlsvarende, bortsett fra at det her er karakterstkkene på høyre sde som bestemmer løsnngen, mens Rankne-Hugonots sprangbetngelse gr det nødvendge startkravet for den karakterstkken som forlater støtet på venstre sde. Ovenstående beskrvelse gjelder alltd for gruntvannslgnngene. Generelt gjelder den for systemer med forskjellge egenverder og ekte kkelneære egenfelt. Men argumentasjonen blr den samme hvs en eller ere av de nnkommende karakterstkkene er parallelle med dskontnuteten. På den ene sden av dskontnuteten er løsnngen bestemt av karakterstkkene, og med én karakterstkk som forlater dskontnuteten på motsatt sde, gr Rankne- Hugonots sprangbetngelse akkurat nok tl å bestemme startkravet for denne karakterstkken. Det er sogar kke nødvendg at karakterstkken forlater dskontnuteten. Fgur 3.15 vser et slkt grensetlfelle. Dermot kan dskontnuteter hvor to karakterstkker forlater dskontnuteten, kke forekomme. Løsnngen vlle da være ubestemt på den ene eller på begge sder av dskontnuteten. Fgur 3.16 vser en slk stuasjon. De nnkommende karakterstkkene er her kke tlstrekkelge tl å bestemme løsnngen, hverken på venstre eller høyre sde av dskontnuteten. For et system av to hyperbolske derensallgnnger må derfor karakterstkkene ved en dskontnutet lgge slk at høyst én karakterstkk forlater dskontnuteten. V skal kalle dette La' karakterstkkbetngelse. Betngelsen er en utvdelse av La' entropbetngelse. For et hyperbolsk lgnngssystem vl trolg La' karakterstkkbetngelse alltd være oppfylt. I avsntt skal v mdlertd studere et eksempel hvor lgnngene degenererer parabolsk langs en kurve. Når u L og u R lgger på hver sde av kurven, er La' karakterstkkbetngelse avgjørende for å kunne bestemme en entydg løsnng av Remann-problemet. Det er frstende å forsøke å generalsere La' karakterstkkbetngelse tl et system av n hyperbolske lgnnger. Man vlle da måtte kreve at høyst n 1 karakterstkker forlater dskontnuteten. Dette skyldes at Rankne- Hugonots sprangbetngelse etter elmnasjon av hastgheten σ nneholder

67 3.6 Støthastghet og karakterstsk hastghet 67 n 1 betngelser. Lgnngene (3.123) generalseres tl λ 1 (u L ) σ λ +1 (u R ), = 1,..., n, (3.124) hvor venstre ulkhet forsvnner for = 1, og høyre ulkhet forsvnner for = n. Imdlertd er systemer med ere enn to lgnnger kke tlstrekkelg studert. Det kan derfor være at betngelsen kke er korrekt formulert for vsse systemer med n > Remann-problemet I avsnttene 3.4 og 3.5 utledet v teoren for enkle bølger og dskontnuteter. De funne bølgetypene vl bl benyttet tl å løse Remann-problemet for systemer av hyperbolske bevarelseslover. I dette avsnttet skal v derfor vse løsnngen av oppgaven u t + f(u) = 0 for t > 0, (3.125) { u L for < 0, u(, 0) = (3.126) u R for > 0. I avsntt 2.6 ble løsnngen tl den skalare utgaven av dette problemet vst. Ettersom alle bølger løper ut fra orgo med hastghet /t, kan v som der benytte ansatsen u = u(ζ), hvor ζ = /t. Analogt med utlednngen avsntt 2.6 vl oppgaven (3.125) og (3.126) dermed redusere seg tl systemet av vanlge derensallgnnger ( f (u) ζi ) u = 0 (3.127) med randkrav u( ) = u L, u( ) = u R. (3.128) Her er u = du/dζ. En mulg løsnng av lgnng (3.127) er u 0. Dette gr en konstant tlstand. Dersom steden u 0 er en løsnng av (3.127), må ζ = λ(u) og u = r(u), hvor λ(u) er en egenverd for matrsen f (u), og r(u) er den tlhørende høyreegenvektoren. Lgnng (3.127) blr da Av λ(u) = ζ og r(u) = du/dζ følger at f (u)r(u) = λ(u)r(u). (3.129) 1 = dλ dζ = dλ du = λ r, (3.130) du dζ dvs r(u) må normeres slk at λ r = 1. Dette er bare mulg dersom λ r 0, dvs dersom egenfeltet er ekte kkelneært.

68 68 3 Systemer av hyperbolske bevarelseslover u 2 u 2 R 1 R 2 u L u 1 S2 u L S 1 u 1 Fgur 3.17: Kurvene R (u L ) for en venstretlstand u L. Fgur 3.18: Kurvene S (u L ) for en venstretlstand u L. V ndekserer egenverdene slk at λ 1 < λ 2 < < λ n. Hvs egenfeltet {λ (u), r (u)} er ekte kkelneært, så kalles bølgen gtt ved /t = ζ = λ (u) og du/dζ = r (u), hvor r er normert ved λ r = 1, for en (sentrert) fortynnngsbølge med ndeks. Sden u = u(ζ), er dette åpenbart en enkel bølge. Karakterstkkene gtt ved /t = λ (u) er rette lnjer med u konstant langs karakterstkkene. Karakterstkkene danner en vfte med sentrum orgo. Gjennom bølgen varerer løsnngen som u(ζ) u(ζ 0 ) = ζ ζ 0 r (u(ζ)) dζ. (3.131) Dersom lgnngssystemet (3.125) har dmensjon n = 2, er det reduserbart. Det nnes da Remannske nvaranter w j (u), j = 1, 2. For gradenten w j (u) = [ wj, w ] T j (3.132) u 1 u 2 gjelder, følge lgnng (3.22), at w j (u) = µ j l j, hvor l j er venstreegenvektoren med ndeks j. Og sden venstreegenvektorer og høyreegenvektorer med ulk ndeks er ortogonale, gjelder følgelg w j (u) r = 0, j. (3.133) Langs ntegralkurven r (u(ζ)) dζ er derfor den Remannske nvaranten w j (u), j, konstant. En fortynnngsbølge med ndeks kan derfor forbnde to tlstander u L og u R som tlfredsstller w j (u L ) = w j (u R ), j. (3.134) Tlstandene må lgge slk at λ (u L ) < λ (u R ). Fgur 3.17 vser tlstander som kan forbndes gjennom en fortynnngsbølge med en venstretlstand u L for et gtt system. Kurven R (u L ) er de høyretlstander som kan forbndes med venstretlstanden u L gjennom en fortynnngsbølge med ndeks.

69 3.7 Remann-problemet 69 Merk at for et reduserbart system er dermed de Remannske nvarantene konstante langs ulke kurver. På den ene sde er w j (u) konstant langs karakterstkken med samme ndeks, altså på kurven d/dt = λ j (u). På den annen sde er w j (u) konstant gjennom fortynnngsbølgen med ndeks, j. Langs fortynnngsbølgens karakterstkker er, som allerede nevnt, u konstant, slk at alle funksjoner av u er konstante langs karakterstkkene en fortynnngsvfte. Dersom lgnngssystemet (3.125) har dmensjon n > 2, er fortsatt lgnng (3.131) gyldg gjennom fortynnngsbølgen med ndeks. For hver nnes det da n 1 lneært uavhengge (generalserte) Remannske nvaranter w j (u), j = 1,..., n 1, slk at w j (u) r (u) = 0, j = 1,..., n 1. (3.135) I vår gamle skrvemåte for reduserbare systemer er w 1 = w2 1 og w 2 = w1 1. De generalserte Remannske nvarantene er kke konstante langs karakterstkker, men for fortynnngsbølger er de konstante gjennom bølgen. Skjærngskurven for nvåatene tl de Remannske nvarantene w j (u), j = 1,..., n 1, bestemmer derfor ntegralkurven r (u(ζ)) dζ som forbnder to tlstander u L og u R på hver sde av fortynnngsbølge. Dskontnuerlge løsnnger av oppgaven (3.125) og (3.126) må tlfredsstlle Rankne-Hugonots sprangbetngelse (2.60) σ (u R u L ) = f(u R ) f(u L ), (3.136) hvor σ = ζ = /t. Dette gr n kurver u-rommet som forbnder tllatte tlstander på hver sde av en dskontnutet. Hver dskontnutetsbølge ndekseres med ndeks, slk at σ 1 < σ 2 < < σ n. Bølgene må tlfredsstlle La' entropbetngelse (3.122). For systemer med et egenfelt hvor λ r = 0 for en eller ere tlstander, kan andre entropbetngelser komme tllegg. La' karakterstkkbetngelse kan komme tl anvendelse for systemer som degenererer langs kurver tlstandsrommet. Entropbetngelsene vl normalt elmnere deler av kurvene, slk at man ender opp med et sett tllatte kurver. Et slkt sett er vst gur 3.18 for et system med n = 2. Kurven S (u L ) er de høyretlstander som kan forbndes med venstretlstanden u L gjennom et støt med ndeks. Dersom σ = λ (u L ) = λ (u R ), hvor λ (u) tlhører et lneært degenerert egenfelt, dvs λ r 0, så kalles dskontnuteten en kontaktdskontnutet. I alle andre tlfeller kalles dskontnuteten et støt (sjokk). En kontaktdskontnutet er både et degenerert støt og en degenerert fortynnngsbølge. Den sste egenskapen gjør at en entropfunksjon kke avtar over slke bølger. Med bakgrunn ovenstående drøftelse kan v søke løsnngen av Remannproblemet ved å sette sammen følgende elementærbølger: Fortynnngsbølger,

70 70 3 Systemer av hyperbolske bevarelseslover støt og kontaktdskontnuteter. Mellom elementærbølgene kan man ha konstante tlstander. Både karakterstsk hastghet, støthastghet og kontaktdskontnutetshastghet er gtt ved ζ = /t. For økende ζ må derfor karakterstsk hastghet øke nnenfor en fortynnngsbølge, og påfølgende elementærbølger må ha økende hastghet. For mange problemer kan man vse at det nnes en slk løsnng av Remann-problemet, og at den er entydg. Nedenfor skal v drøfte løsnngen for to par av hyperbolske bevarelseslover med kjent løsnng av Remannproblemet Eksempel 1: Endmensjonal gruntvannsstrømnng V skal løse Remann-problemet for lgnngene (1.21) eller (3.26) som beskrver endmensjonal gruntvannsstrømnng på horsontalt underlag uten frksjon: h t + (hu) = 0, (hu) t + ( hu gh2) = 0. (3.137) I avsntt bestemte v de parametrene som beskrver fortynnngsbølgene for dette lgnngssystemet. Herfra kan v hente de karakterstske hastghetene (3.29) λ 1 = u gh, λ 2 = u + gh (3.138) og de Remannske nvarantene (3.32) w 1 = u + 2 gh, w 2 = u 2 gh. (3.139) Indekserngen (3.139) er motsatt ndekserngen lgnng (3.32). Med den nye ndekserngen er w konstant gjennom fortynnngsbølge som har karakterstsk hastghet λ. Gjennom en fortynnngsbølge må karakterstsk hastghet øke fra venstre mot høyre. Betegnes venstretlstanden med ndeks L u R 1 I R2 II S 2 L III IV S 1 h Fgur 3.19: Kurvene R (L) og S (L) for en venstretlstand L.

71 3.7 Remann-problemet 71 u R 1 (L) M S 2 (M) R 2 (M) L R h S 1 (L) t R 1 R 2 L M R Fgur 3.20: Kurvene R 1 (L) og R 2 (M) forbnder tlstandene L og R. Fgur 3.21: Karakterstkker for fortynnngsbølgene R 1 og R 2 gur og høyretlstanden uten ndeks, må dermed gjelde u gh > u L gh L, (3.140) u ± 2 gh = u L ± 2 gh L. (3.141) Ved å kombnere ulkhet (3.140) med lgnng (3.141), fås ulkheten u > u L. De kurvene som forbnder tlstandene gjennom fortynnngsbølgene med ndeks 1 og 2, er dermed R 1 (L) : u = u L 2 gh + 2 gh L, u > u L, (3.142) R 2 (L) : u = u L + 2 gh 2 gh L, u > u L. (3.143) Kurvene R 1 og R 2 er vst gur 3.19 for en valgt venstretlstand L. I avsntt ble relasjonen mellom tlstandene på hver sde av et vannsprang bestemt. Kurvene som forbnder tlstandene gjennom støtbølger med ndeks 1 og 2, følger av lgnngene (3.94) og (3.108): S 1 (L) : u = u L (h h L ) S 2 (L) : u = u L + (h h L ) g 2 g 2 ( 1 h + 1 h L ( 1 h + 1 h L ), u < u L, (3.144) ), u < u L. (3.145) Kurvene S 1 (L) og S 2 (L) er også vst gur I et Remann-problem er både venstretlstanden L og høyretlstanden R gtt. Dersom høyretlstanden lgger på en av kurvene R 1 (L), R 2 (L), S 1 (L) eller S 2 (L) for den gtte venstretlstanden, er oppgaven løst. Løsnngen består da av én fortynnngsbølge eller ett støt som forbnder de to tlstandene. I almnnelghet kan v mdlertd kke vente at punktet R lgger på en av dsse kurvene. V må da løse oppgaven ved hjelp av to elementærbølger. Fra

72 72 3 Systemer av hyperbolske bevarelseslover t R 1 S 2 t S 1 S 2 t S 1 R 2 Fgur 3.22: Løsnng av Remann-problemet når høyretlstanden lgger områdene II, III eller IV. venstretlstanden L kan v følge en av kurvene R 1 (L) eller S 1 (L) tl et punkt M. Tlstanden M er høyretlstand for denne bølgen med ndeks 1. Den vl samtdg være venstretlstand for en bølge med ndeks 2. Med utgangspunkt M kan v derfor bestemme kurvene R 2 (M) eller S 2 (M) som beskrver de tlstandene som kan forbndes med M som venstretlstand. Hvs punktet R lgger på en av dsse kurvene, er oppgaven løst. Løsnngen er da gtt ved, fra venstre mot høyre, en bølge med ndeks 1, en mellomtlstand M og en bølge med ndeks 2. Dette er vst gur 3.20, hvor løsnngen er en fortynnngsbølge med ndeks 1, en mellomtlstand M og en fortynnngsbølge med ndeks 2. Løsnngens karakterstkker er vst gur Kurvene gur 3.19 deler planet nn re områder. Dersom punktet R lgger område I blr løsnngen av Remann-problemet gtt ved fortynnngsbølgene R 1 R 2 som vst gur På tlsvarende måte kan løsnngen bestemmes dersom høyretlstanden R lgger områdene II, III eller IV. Løsnngen blr da henholdsvs R 1 S 2, S 1 S 2 eller S 1 R 2. Dsse tre løsnngene er vst skjematsk gur Lgnng (3.123) skrer at bølgehastgheten øker fra 1-bølger tl 2-bølger punktet M. Dermed er løsnngen tl Remann-problemet for gruntvannslgnngene (3.137) fullstendg beskrevet. Tlfellet h = 0 krever dog en kommentar. Sden det da kke er noe vann tl stede, er det menngsløst å oppg hastgheten for dette tlfellet. Alle punkter på u-aksen utgjør derfor en og samme tlstand, og en fortynnngsbølgekurve som ender på u-aksen, kan frtt knyttes tl en annen fortynnngsbølgekurve som løper ut fra et annet punkt på u-aksen. Dette spesaltlfellet kalles kavtasjon, et uttrykk som stammer fra gassdynamkken, hvor tlsvarende omstendghet nnebærer vakuum. Eksempel: Åpnng av sluseport V avslutter dette avsnttet med å vse løsnngen av Remann-problemet for et gtt eksempel. Anta at v har en sluseport, med høy vannstand tl venstre og lav vannstand tl høyre. Vannet er ro på begge sder av porten, dvs u L = u R = 0. Starthøydene er vst gur En plutselg åpnng av sluseporten gr et Remann-problem, hvs løsnng tlstandsrommet er vst gur Venstretlstanden L er forbundet med en mellomtlstand M med en fortynnngsbølge R 1 (L). Mellomtlstanden M er forbundet med

73 3.7 Remann-problemet 73 u M t R 1 S 2 S 2 (M) R 1 (L) L M R R h L Fgur 3.23: Løsnng av sluseproblemet tlstandsrommet. Fgur 3.24: Tlhørende karakterstkker og støt. h L L h R 1 M S 2 R h R Fgur 3.25: Starthøyder sluseproblemet. Fgur 3.26: Løsnng av sluseproblemet ved en gtt t: Høydene. høyretlstanden R med et støt (en sprangbølge) S 2 (M). Mellomtlstanden (h M, u M ) er bestemt av lgnngene (3.142) og (3.145) for u L = u R = 0: u M = 2 gh M + 2 gh L, (3.146) ( g 1 0 = u M + (h R h M ) + 1 ). (3.147) 2 h R h M Karakterstsk hastghet er gtt ved den første av lgnngene (3.138), λ 1 = u gh, (3.148) mens støthastgheten er gtt ved lgnng (3.95) (nedre fortegn) ( g 1 σ 2 = h M + 1 ). (3.149) 2 h R h M Innenfor fortynnngsbølgen er /t = λ 1. Karakterstkker og støt er vst gur 3.24, mens løsnngens høyde er vst gur Merk at fortynnngsbølgens forplantnngsretnng er den motsatte av strømretnngen.

74 74 3 Systemer av hyperbolske bevarelseslover Eksempel 2: Polymerømmng I dette avsnttet skal v bestemme løsnngen tl Remann-problemet for lgnngene (1.89). Dsse lgnngene beskrver polymerømmng. Når polymernnholdet c den vandge fasen øker, blr den vandge fasen segere, slk at fasens bevegelghet (1.81) avtar. Ved horsontal ømmng (γ = 0) er derfor f c (s, c) < 0, se gur 1.8. V skal gjøre bruk av denne ulkheten, og vl derfor anta horsontal ømmng. Det er hensktsmessg å omforme lgnngene (1.89) slk at de får formen u t + f(u) = 0. (3.150) Med u = [u, v] T = [s, sc] T denerer v g(u) = f(s, c)/s. Fluksfunksjonen lgnngene (1.89) kan da skrves [ ] [ ] f(s, c) ug(u) f(u) = =. (3.151) cf(s, c) vg(u) Jacob-matrsen tl uksfunksjonen er [ ] f g + ugu ug (u) = v. (3.152) vg u g + vg v Denne matrsen har egenverdene λ BL = g + ug u + vg v = (ug) u + v u (ug) v, (3.153) λ PH = g. (3.154) De tlhørende høyreegenvektorene er [ ] 1 r BL =, r v/u PH = [ gv ], (3.155) g u og tlsvarende fås for venstreegenvektorene [ ] gu l BL =, l PH = 1 [ ] v/u. (3.156) u 1 g v Ifølge lgnng (3.22) blr således de Remannske nvarantene w BL = v u, w PH = g(u). (3.157) Her har v, motsetnng tl avsntt 3.3, ndeksert nvarantene slk at w BL(u) = l T PH, w PH(u) = l T BL. (3.158) Den retnngsderverte av egenverdene langs høyreegenvektorene er λ BL r BL = λ BL u + v λ BL u v, (3.159) λ PH r PH = g u g v g v g u 0, (3.160)

75 3.7 Remann-problemet 75 hvor λ = λ (u) T. Egenfeltet {λ PH, r PH } er således lneært degenerert. Dette egenfeltet kan derfor kke g fortynnngsbølger, men kun kontaktdskontnuteter. For å uttrykke ovenstående størrelser de opprnnelge varable (s, c), trenger v s = u s u + v s v = u + v u v. (3.161) De derverte lgnngene (3.153) og (3.159) forenkles dermed tl λ BL = (ug) s = f s, (3.162) λ BL r BL = λ BL s = f ss. (3.163) Egenverden λ BL er således karakterstsk hastghet tl Buckley-Leveretts lgnng (1.68). Egenfeltet {λ BL, r BL } er kke ekte kkelneært, men har samme egenskap som den skalare Buckley-Leverett-lgnngen. Dette overrasker kke, sden den Remannske nvaranten som er konstant gjennom fortynnngsbølgen med karakterstsk hastghet λ BL, er w BL = v/u = c. Med c konstant reduserer lgnngene (1.89) seg tl Buckley-Leveretts lgnng (1.68). Den andre egenverden og Remannske nvaranten er λ PH = w PH = g = f s. (3.164) Dette er partkkelhastgheten den vandge fasen. Sden dette egenfeltet gr kontaktdskontnuteter, må karakterstsk hastghet λ PH være konstant gjennom dskontnuteten. Karakterstske hastgheter og Remannske nvaranter kunne også bltt bestemt ved å benytte den avledede lgnngen (1.93) stedenfor annen lgnng (1.89). Man hadde da fått de samme egenverdene og de samme Remannske nvarantene. Egenvektorene vlle mdlertd bltt annerledes. Løsnngen over et støt er bestemt av Rankne-Hugonots sprangbetngelse (2.60). Det gr her ngen forenklng å benytte varablene (u, v). Sprangbetngelsen uttrykkes derfor de opprnnelge varable (s, c): (s R s L ) σ = f R f L, (s R c R s L c L ) σ = c R f R c L f L, (3.165) hvor som før ndeksene L og R betegner tlstanden henholdsvs tl venstre og tl høyre for dskontnuteten. Støthastgheten blr Her gr høyre lgnng σ = f R f L s R s L = c Rf R c L f L s R c R s L c L. (3.166) s R c R f R + s L c L f L s R c R f L s L c L f R = s R c R f R + s L c L f L s R c L f L s L c R f R, (3.167)

76 76 3 Systemer av hyperbolske bevarelseslover f c T V H s T s s Fgur 3.27: Fluksfunksjon f(s, c) for c konstant. Tangenten gr løsnngen av f s = f/s. Fgur 3.28: Overgangskurven T og områdene V og H sc-planet. dvs (c R c L ) (s L f R s R f L ) = 0. (3.168) Over en dskontnutet må derfor en av dsse lgnngene gjelde: c R = c L, I første tlfelle blr støthastgheten f R s R = f L s L. (3.169) σ BL = f R f L s R s L. (3.170) Sden støtet opptrer ved konstant polymernnhold c, er dette et støt for den skalare Buckley-Leverett-lgnngen (1.68). Det må derfor tlfredsstlle Olejnks entropbetngelse (2.120). La' entropbetngelse (3.122) er da oppfylt for egenverden λ BL. Dersom annen lgnng (3.169) er oppfylt, blr hastgheten tl dskontnuteten σ PH = f R = f L. (3.171) s R s L Her gjelder σ PH = λ PH. Sden dette egenfeltet er lneært degenerert, er dette en kontaktdskontnutet. For polymerømmng har v derfor den speselle egenskap at elementærbølgene er beskrevet med to kurver tlstandsrommet: 1. Konstant polymernnhold, dvs c = konstant. Lgnngene reduserer seg da tl en skalar lgnng, og løsnngen er gtt ved en Buckley-Leverettbølge som omtalt avsntt 2.6. Fortynnngsbølger har hastghet λ BL = f s, mens støt har hastghet gtt ved (3.170). Olejnks entropbetngelse (2.120) må være oppfylt. 2. Konstant partkkelhastghet, dvs f/s = konstant. Løsnngen er da gtt ved en kontaktdskontnutet med hastghet σ PH lk partkkelhastgheten f/s. Imdlertd er kke alle kontaktdskontnuteter tllatt. En entropbetngelse som gjør løsnngen entydg, skal omtales nedenfor.

77 3.7 Remann-problemet 77 c T s Fgur 3.29: Nvåkurver for de Remannske nvarantene c og f/s. Partkkelhastgheten f/s har sn største verd nederst på overgangskurven T. Egenverdene (3.162) og (3.164) er sammenfallende når λ BL = λ PH, dvs for f s = f s. (3.172) I (u, v)-varablene gjelder da, følge (3.153) og (3.154): ug u +vg v = 0. V antar at uksfunksjonen f for hver c bare har ett vendepunkt s t hvor f ss = 0, og at (s t s)f ss 0. Betngelsen (3.172) har da bare én løsnng, se gur For denne løsnngen gjelder for egenvektorene (3.155) det [r BL, r PH ] = det 1 v u g v g = 1 u u (ug u + vg v ) = 0. (3.173) Sammenfallende egenverder gr derfor sammenfallende egenvektorer. Når egenverdene faller sammen, degenererer dermed systemet tl et parabolsk lgnngssystem. Kurven hvor f s = f/s, betegnes overgangskurven T. Overgangskurven T deler sc-planet nn to områder, se gur Tl venstre for T (små s) er λ BL > λ PH, dvs karakterstsk hastghet tl Buckley- Leverett-bølgen er høyere enn partkkelhastgheten. V skal betegne dette området med V. Tl høyre for T er λ BL < λ PH, dvs karakterstsk hastghet tl Buckley-Leverett-bølgen er lavere enn partkkelhastgheten. V skal betegne dette området med H. Sden hastgheten tl elementærbølgene en Remannløsnng må øke fra venstre mot høyre, vl løsnngen avhenge av hvorvdt tlstandene lgger V eller H. For å bestemme løsnngen tl Remann-problemet, må v nne kurvene sc-planet hvor c = konstant eller f/s = konstant. Det totale derensalet tl partkkelhastgheten λ PH = f/s er dλ PH = ( fs s f ) s 2 ds + f c s dc. (3.174)

78 78 3 Systemer av hyperbolske bevarelseslover c L c R c M R M T L s f M M R T L s Fgur 3.30: Tenkelge løsnngsveer fra L H tl R V : LT MR og L MR. Fgur 3.31: Fluksfunksjon f(s, c) for c = c R (øverst) og c = c L (nederst), hvor c R < c L, og løsnngsveene LT MR og L MR. For λ PH = f/s = konstant fås derfor dc ds = f s f/s = λ BL λ PH f c f c > 0 V, = 0 på T, < 0 H, (3.175) det f c < 0 (bevegelgheten tl den vandge fasen avtar med voksende c). Kurvene sc-planet har derfor en form som vst gur Langs de vannrette lnjene, c = konstant, er løsnngen en Buckley-Leverett-bølge B (fortynnngsbølge R og/eller støt S). Langs kurvene f/s = konstant er løsnngen en kontaktdskontnutet C med hastghet λ PH = f/s. Anta at v mellom dsse to bølgetypene har en mellomtlstand u M. I punktet M kan v da enten ha en Buckley-Leverett-bølge som går over en kontaktdskontnutet (B C), eller en kontaktdskontnutet som går over en Buckley-Leverettbølge (C B). Anta tlfellet B C for et punkt M V. Sden M da er en høyretlstand for Buckley-Leverett-bølgen, gjelder, følge densjonen av V og lgnng (2.124), λ PH < λ BL σ BL. (3.176) Dette gr en motsgelse, og følgelg er for M V tlfellet C B eneste mulghet. Anta så tlfellet C B for et punkt M H. Da er M en venstretlstand for Buckley-Leverett-bølgen, og dermed må, følge densjonen av H og lgnng (2.124), σ BL λ BL < λ PH. (3.177) Dette gr en motsgelse, og følgelg er for M H tlfellet B C eneste mulghet. Rktgnok nnes det punkter M H hvor heller kke B C er mulg (nemlg hvs Buckley-Leverett-bølgen B er et støt med venstretlstand

79 3.7 Remann-problemet 79 c L c c R LM R f L M R s s Fgur 3.32: Løsnngsve fra L V tl R H, hvor L og R lgger på samme nvåkurve for f/s: Som C langs LR eller som C B langs LMR. Fgur 3.33: Fluksfunksjon f(s, c) for c = c L (øverst) og c = c R (nederst), hvor c L < c R, og dskontnuteten LM R. L V, og M H lgger tl venstre for nvåkurven f/s = konstant gjennom L). Med dsse begrensnnger på hvordan løsnngen kan settes sammen V og H, kan man danne en løsnng av Remann-problemet ved hjelp av elementærbølger hvor bølgehastgheten øker fra venstre mot høyre. For vlkårlge venstre- og høyretlstander, L og R, blr løsnngen entydg, bortsett fra to tlfeller som v skal drøfte nedenfor. Anta L H og R V som vst på gur For dette tlfellet nnes det to fyssk forskjellge løsnnger. For begge løsnngene øker bølgehastgheten fra venstre mot høyre. De to løsnngene er: 1. Buckley-Leverett-fortynnngsbølge R fra L tl T, kontaktdskontnutet C fra T tl M og Buckley-Leverett-bølge B fra M tl R. 2. Kontaktdskontnutet C fra L tl M og Buckley-Leverett-bølge B fra M tl R. Løsnngene er vst gurene 3.30 og I gur 3.31 ser man hvordan bølgehastgheten (stgnngen på kurvene) hele veen øker fra venstre mot høyre bølgen. Kontaktdskontnuteten løsnng 2 er ankert av to karakterstkker som er parallelle med dskontnuteten, og to karakterstkker som forlater dskontnuteten. Det følger av at L lgger H hvor λ BL < λ PH, mens M lgger V hvor λ BL > λ PH. Kontaktdskontnuteten bryter derfor med La' karakterstkkbetngelse, se gur Denne løsnngen må således utelukkes. Alle kontaktdskontnuteter som krysser overgangskurven fra en venstretlstand H tl en høyretlstand V, bryter med La' karakterstkkbetngelse. V kan derfor kke tllate kontaktdskontnuteter som går fra H tl V. At La' karakterstkkbetngelse må benyttes tl å utelukke vsse kontaktdskontnuteter, er et paradoks, sden entropfunksjoner kke avtar over

80 80 3 Systemer av hyperbolske bevarelseslover c III L I T II c III I L T II s s Fgur 3.34: Inndelng av sc-planet områdene I, II og III for L V. Fgur 3.35: Inndelng av sc-planet områdene I, II og III for L H. tllatte kontaktdskontnuteter. Men det nnes altså kontaktdskontnuteter som kke er tllatt, hvor entropfunksjonen øker. Dette kan trolg bare skje for hyperbolske lgnngssystemer som degenerer for vsse tlstander. Løsnng 1 ovenfor bryter kke med noen entropbetngelse, og er derfor den rktge løsnngen. Det andre tlfellet som kke gr entydg løsnng, er for L V og R H, hvor L og R lgger på samme nvåkurve for f/s, se gur De to løsnngene er her: 1. Kontaktdskontnutet C fra L tl M og Buckley-Leverett-støt S fra M tl R. 2. Kontaktdskontnutet C fra L tl R. Dsse løsnngene er mdlertd fyssk lke. Det er bare tlstandsrommet de synes å være forskjellge. Fgur 3.33 vser at løsnngen består av én dskontnutet som beveger seg med partkkelhastgheten f/s for samtlge punkter L, M og R. I ngen andre tlfeller er en kontaktdskontnutet som krysser overgangskurven fra V tl H, en mulg løsnng. Og sden løsnng 2 er dentsk med løsnng 1, er den ene av dsse løsnngene overødg. De to eksemplene ovenfor vser at Remann-problemet kan løses ved å kreve at kontaktdskontnuteter kke kan krysse overgangskurven T. En kontaktdskontnutet er altså bare tllatt når polymernnholdet endres én retnng. Generelt er en elementærbølge bare tllatt, hvs endrngen varablene s og c er monoton. Med denne nnskrenknng av hva som er tllatte kontaktdskontnuteter, blr løsnngen av Remann-problemet entydg. V er dermed klare tl å beskrve løsnngens sammensetnng. Gtt et Remann-problem med venstretlstand u L og høyretlstand u R. Dersom punktet L lgger V, trekkes nvåkurven f/s = konstant gjennom L. Kurvens skjærngspunkt med overgangskurven bestemmer en nndelng av sc-planet områdene I, II og III, som vst gur Løsnngens sammensetnng avhenger av om høyrepunktet R lgger område I, II eller III (se nedenfor).

81 3.7 Remann-problemet 81 c T c T c R T M L R s L R M s L M s Fgur 3.36: Løsnngsve LMR når L V, for R område I, II eller III. c T c T c R T M R L s L M R s L M s Fgur 3.37: Løsnngsve LMR når L H, for R område I, II eller III. Tlsvarende, hvs venstrepunktet L lgger H, trekkes lnjen c = konstant gjennom L. Lnjens skjærngspunkt med overgangskurven bestemmer en nndelng av sc-planet områdene I, II og III, som vst gur Som ovenfor avhenger løsnngens sammensetnng av om høyrepunktet R lgger område I, II eller III. Løsnngen settes sammen av Buckley-Leverett-bølger B og kontaktdskontnuteter C. For en overgang et punkt M som enten lgger V eller H, benyttes skrvemåten (pl). I dette tlfellet vl det være en konstant tlstand u M mellom bølgene B og C. Hvs dermot overgangen mellom Buckley-Leverett-bølgen og kontaktdskontnuteten skjer på overgangskurven T, skrves ngen pl. I dette tlfellet vl Buckley-Leverett-bølgen alltd være en fortynnngsbølge R en omegn rundt T, og sden de karakterstske hastghetene på overgangskurven T er lke, nnebærer dette at den ene bølgen bare er en fortsettelse av den andre (uten en konstant tlstand mellom dem). Løsnngen kan dermed beskrves slk: Hvs L lgger V, fås følgende tlfeller: 1. Hvs R lgger I, blr løsnngen C B. 2. Hvs R lgger II, blr løsnngen B C. 3. Hvs R lgger III, blr løsnngen B CB. Hvs L lgger H, fås følgende tlfeller: 1. Hvs R lgger I, blr løsnngen BC B. 2. Hvs R lgger II, blr løsnngen B C. 3. Hvs R lgger III, blr løsnngen B CB.

82 82 3 Systemer av hyperbolske bevarelseslover Fgurene 3.36 og 3.37 gr eksempler på dsse bølgetypene. Åpenbart kan første eller sste delbølge falle bort hvs R tlfeldgvs skulle lgge slk at den tlhørende del av løsnngsveen forsvnner. Eksempel: Vanlg polymerømmng Ved polymerømmng ønsker man at fortrengnngen skal bl mest mulg stempelaktg. Dette oppnår man når den vandge fasen bak fronten er seg. Man har følgelg et høyt polymernnhold bak fronten og et lavt polymernnhold foran fronten. Dette gr et Remann-problem med venstretlstand u L og høyretlstand u R som vst gur Punktet L lgger H, og punktet R lgger område I forhold tl L. Løsnngen blr en bølge av typen BC B som vst gur Fra L tl T er løsnngen en Buckley-Leverettfortynnngsbølge R. Denne går drekte over en kontaktdskontnutet C ved T. Punktet M er en mellomtlstand som skller den langsomme kontaktdskontnuteten C mellom T og M fra det hurtge Buckley-Leverett-støtet S mellom M og R. Bølgene er vst t-planet gur 3.40 og s-planet gur Polymernnholdet c endrer seg kun kontaktdskontnuteten C, hvor det sprnger ned fra c L tl c R. c c L T L f T L c R R s R M s s L R M s Fgur 3.38: Løsnngsveen LT M R sc-planet. Fgur 3.39: Fluksfunksjon f(s, c) for c = c R (øverst) og c = c L (nederst), hvor c R < c L. t R C S L M R s L R C M S R Fgur 3.40: Elementærbølger tplanet. Fgur 3.41: Løsnng s-planet for en gtt t.

83 Kapttel 4 Derensmetoder for skalare bevarelseslover I dette kapttelet skal v se på derensmetoder for løsnng av den kkelneære lgnngen u t + f(u) = 0. (4.1) V nnleder kapttelet med å drøfte egenskaper som derensallgnngen har, og som det vser seg at derenslgnngene også bør bestte. Vesentlge egenskaper så måte er bevarelse og monoton. Dernest vl v omtale konvergens for metoder som tlfredsstller slke egenskaper, og vurdere styrke og svakheter for dsse metodene. Kjennskap tl løsnngen av Remann-problemet, som omtalt avsntt 2.6, er vesentlg for drøftelsene. 4.1 Motstrømsderenser I avsntt så v på lgnngen for c > 0, og benyttet derensskjemaet u n+1 u n t u t + cu = 0 (4.2) + c un un 1 = 0 (4.3) tl løsnng av denne. Her er u n en tlnærmelse tl u(, t n ) på et ekvdstant gtter {, t n }, hvor +1 = + og t n+1 = t n + t. I avsntt ble en annen skrvemåte benyttet. Courant-Fredrchs-Lewy-krteret (CFL-krteret) som ble omtalt avsntt 2.1.1, ser at grensen t, 0 må avhengghetsområdet for dfferenslgnngen nneholde avhengghetsområdet for derensallgnngen. For c > 0 kan dette oppnås ved å dskretsere den romlge derverte med bakoverderenser slk som lgnng (4.3). Tdsskrttene må være begrenset av 83

84 84 4 Derensmetoder for skalare bevarelseslover t t t n+1 t n+1 t n 1 t n +1 (a) c > 0. (b) c < 0. Fgur 4.1: CFL-betngelsen: Karakterstkk gjennom (, t n+1 ). CFL-betngelsen c t 1, (4.4) se gur 4.1(a). I avsntt vste v stabltet og konvergens for skjemaet (4.3) når betngelsen (4.4) var oppfylt. Hvs steden c < 0, kan CFL-krteret oppfylles dersom lgnngen (4.2) dskretseres ved å erstatte den romlge derverte med foroverderenser: u n+1 u n t + c un +1 un = 0. (4.5) CFL-betngelsen (4.4) må fortsatt være tlfredsstlt, se gur 4.1(b). Stabltets- og konvergensbevset avsntt generalseres trvelt tl dette tlfellet. CFL-krteret kan således bl oppfylt ved å dskretsere den romlge derverte med derenser som tas motsatt retnng av bølgens forplantnngsretnng. Hvs altså den karakterstske hastghet f (u) er postv, benyttes bakoverderenser. Tlsvarende, hvs f (u) < 0, benyttes foroverderenser. Derenser som på denne måten skfter retnng avhengg av fortegnet tl den karakterstske hastgheten, kalles motstrømsderenser. Denne betegnelsen er mdlertd msvsende ford strømretnngen kke behøver å være sammenfallende med bølgens forplantnngsretnng, se f.eks. gur Det vlle være mer korrekt å benytte en betegnelse som derenser motkarakterstsk retnng, men en slk betegnelse er av forståelge grunner kke bruk. Mens motstrømsderenser på en utmerket måte løser dskretserngsoppgaven for lgnng (4.1) når denne er lneær, er stuasjonen kke så enkel for kkelneære lgnnger. 4.2 Bevarelse V skal argumentere for behovet for bevarelse, ved å vse hva som kan skje, når metoder som kke har denne egenskapen, benyttes. Dersom f (u) 0 lgnng (4.1), kan det synes naturlg å prøve å dskretsere lgnngen med

85 4.2 Bevarelse 85 f u u L u R u L u ur Fgur 4.2: Fluksfunksjon hvor f (u) skfter fortegn. Fgur 4.3: Startverder gtteret. skjemaet u n+1 u n + f (u n ) un un 1 = 0. (4.6) t La oss anvende dette skjemaet på Burgers-lgnngen med startkrav Ved å sette u t + ( 1 2 u2) = 0 (4.7) u(, 0) = u 0 = { 1 for < 0, 0 for > 0. { 1 for 0, 0 for > 0, (4.8) (4.9) gr skjemaet (4.6) løsnngen u n = u 0 for alle n. Det er åpenbart fel, sden løsnngen på oppgaven (4.7) og (4.8), følge Rankne-Hugonots sprangbetngelse (2.60), kke er et støt som står ro, men en støtbølge med hastghet σ = 1/2. Den romlge derverte derensallgnngen (4.1) kan faktorseres f(u) = f (u)u, men over en dskontnutet er denne faktorserngen kke gyldg. Det rktge er derfor å dskretsere f(u) stedenfor f (u)u. Felen ovenstående eksempel kan åpenbart fjernes ved å benytte den romlge dskretserngen f(u n ) f(un 1 ) (4.10) stedenfor den som ble benyttet (4.6). Dette gr lkevel kke et almengyldg skjema, ettersom bakoverderensene (4.10) bare kan benyttes for tlfellet f (u) 0. For å få et skjema som kan brukes for generelle uksfunksjoner f(u), kan man forsøke å danne motstrømsderenser med skjemaet u n+1 u n t [ ( 1 + sgn f (u n ) ) ( f(u n ) f(u n 1) ) + ( 1 sgn f (u n ) ) ( f(u n +1) f(u n ) ) ] = 0. (4.11)

86 86 4 Derensmetoder for skalare bevarelseslover t n /2 1/2 +1/2 +3/2 1/2 t n +1/2 Fgur 4.4: Gtterpunkter. Fgur 4.5: Gttercelle over et tdsskrtt t n+1. Når f (u n ) < 0, gr skjemaet foroverderenser, mens når f (u n ) > 0, fås bakoverderenser. Det vet v gr rktg løsnng, så la oss anvende skjemaet på et eksempel hvor f (u) skfter fortegn. Fgur 4.2 vser en slk uksfunksjon. V ønsker å løse lgnng (4.1) med startkrav u(, 0) = { u L for < 0, u R for > 0, (4.12) hvor f(u) og startverdene u L og u R er vst gur 4.2. Fra Rankne-Hugonots sprangbetngelse (2.60) følger at løsnngen er et støt med hastghet σ, hvor σ er lk stgnngen på korden gur 4.2. Tl venstre og tl høyre for spranget er verdene uforandret: u L og u R. Hvs man benytter skjemaet (4.11) med startverdene { u 0 u L for 0, = (4.13) u R for > 0 (se gur 4.3), fås løsnngen u n = u 0, altså et støt som står ro. Sden støthastgheten skal være postv, er dette fel. Årsaken tl felen ovenstående to eksempler et at strømmen gjennom støtet kke blr rktg beregnet. Åpenbart krever dskontnuerlge løsnnger mer av et derensskjema enn glatte løsnnger gjør. For å skre korrekt behandlng av dskontnuerlge løsnnger, vender v oss her, som avsntt 2.3, tl ntegralformulerngen av bevarelsesloven. Ved å ntegrere lgnng (4.1) over et område Ω t-planet, fås Ω [u t + f(u) ] d dt = Ω [f(u) dt u d] = 0. (4.14) V skal la Ω være en gttercelle gjennom et tdsskrtt, men først må gtteret deneres. Gttercelle skal omfatte ntervallet [ 1/2, +1/2 ] (se gur 4.4), mens tdsskrtt n + 1 skal være tdsntervallet [t n, t n+1 ]. Området Ω blr dermed som vst gur 4.5. V denerer også som lengden av gttercelle og t n+1 som lengden av tdsskrtt n + 1. Følgelg er = +1/2 1/2, t n+1 = t n+1 t n. (4.15)

87 4.2 Bevarelse 87 Med Ω som vst gur 4.5 blr randntegralet lgnng (4.14) +1/2 1/2 u(, t n+1 ) d +1/2 1/2 u(, t n ) d t n+1 + f(u( +1/2, t)) dt t n t n+1 Denne lgnngen har bevarelsesform, det den uttrykker t n f(u( 1/2, t)) dt = 0. (4.16) {opphopnng} + {utstrømnng} = 0. (4.17) Ved å denere uttrykk som tlnærmer ntegralene lgnng (4.16), og dernest erstatte ntegralene med dsse uttrykkene, får man en dskretserng som bygger på samme bevarelsesprnspp. V denerer derfor u n 1 φ n+1/2 +1/2 1 t n+1 +1/2 1/2 u(, t n ) d, (4.18) t n+1 t n f(u( +1/2, t)) dt. (4.19) Hvs man setter dsse uttrykkene nn lgnng (4.16), og krever at bevarelsen skal gjelde for de dskrete uttrykkene, får man ( u n+1 u n ) [ ] + t n+1 φ n+1/2 +1/2 φn+1/2 1/2 = 0, (4.20) dvs u n+1 t n+1 u n + φ n+1/2 +1/2 φn+1/2 1/2 = 0. (4.21) Lgnng (4.21) uttrykker bevarelse over en gttercelle. Den skrer at mengden cellen ved tdsnvå n+1 er lk mengden cellen ved tdsnvå n mnus det som har strømt ut tdsntervallet t n+1. For å skre at systemet kke lekker, må man mdlertd påse at det som strømmer ut av gttercelle gjennom celleveggen +1/2, er lk det som strømmer nn celle + 1 gjennom den samme celleveggen. Fluksen φ n+1/2 +1/2 må derfor ha samme verd lgnngen for celle som lgnngen for celle + 1. Dsse prnsppene er så vktge at v denerer er eget begrep for dem: En dskretserng ses å ha egenskapen lokal bevarelse dersom lgnng (4.17) er oppfylt for hver gttercelle, og dersom uksen gjennom en cellevegg er den samme for de to gttercellene som celleveggen skller. Mens skjemaet (4.6) var dømt tl å fele ford det kke benyttet derensene (4.10), er felen med skjemaet (4.11) at uksen gjennom en cellevegg blr beregnet på forskjellg måte for de to gttercellene som celleveggen skller. Den dskrete uksen φ n+1/2 +1/2 vl normalt bl bestemt av verdene tl u de to nabocellene. I en eksplstt metode settes da φ n+1/2 +1/2 = φ(un, u n +1), (4.22)

88 88 4 Derensmetoder for skalare bevarelseslover mens en mplstt metode settes φ n+1/2 +1/2 = φ(un+1, u n+1 +1 ). (4.23) Sden celle lgger tl venstre for celleveggen punktet +1/2 og celle + 1 lgger tl høyre for denne celleveggen, skal v ofte skrve den dskrete uksfunksjonen som φ(u L, u R ). De ulke bevarelsesmetodene skller seg ved måten φ(u L, u R ) blr beregnet på. 4.3 Lneær stabltet I dette avsnttet skal v vurdere konvergensegenskapene tl ulke bevarelsesmetoder som er stable for lneære derensallgnnger med konstante koef- senter. En av de enkleste bevarelsesmetodene man kan tenke seg, er den eksplstte metoden med sentralderenser u n+1 u n t + f(un +1 ) f(un 1 ) 2 = 0. (4.24) Den har bevarelsesformen (4.21) med dskret uks φ(u n, u n +1) = 1 ( 2 f(u n ) + f(u n +1) ). (4.25) Vdere tlfredsstller den CFL-krteret når CFL-betngelsen t f L 1 (4.26) er oppfylt. Det er ngen grunn tl å vurdere stablteten tl denne metoden for kkelneære oppgaver før man har undersøkt stablteten for en lneær lgnng. La oss derfor bestemme stabltetsvlkårene tl metoden (4.24) når den anvendes på lgnng (4.2). V tenker oss da at den dskrete startverden u 0 blr forstyrret, og ønsker å undersøke under hvlke betngelser forskjellen v n mellom den forstyrrede løsnngen og den uforstyrrede løsnngen er begrenset. V gjorde en slk undersøkelse avsntt 2.1.1, men her skal v bruke en teknkk som gr nødvendge og tlstrekkelge betngelser for stabltet. Sden derenslgnngen er lneær, må felen v n tlfredsstlle samme lgnng som u n : v n+1 v n + t 2 c ( v+1 n v 1 n ) = 0. (4.27) Bare startkravene er forskjellge. Stabltetsvlkårene tl et rent startverdproblem for en lneær derenslgnng med konstante koesenter undersøkes enklest ved å Fourer-utvkle felen: v n = A(κ) ( Θ(κ) ) n e jκ dκ, (4.28)

89 4.3 Lneær stabltet 89 hvor j = 1. Ampltudene A(κ) tl svngnngene tl v 0 kan varere vlkårlg; speselt kan de settes lk Dracs deltafunksjonal δ(κ κ 0 ). Derfor må hver enkelt svngnng ( Θ(κ) ) n e jκ tlfredsstlle lgnngen. Størrelsen Θ(κ) kalles forsterknngsfaktoren, og en nødvendg og tlstrekkelg betngelse for at v n skal være begrenset for alle n, er at κ : Θ(κ) 1. (4.29) Denne fremgangsmåten kalles von Neumanns stabltetsanalyse. V benytter altså ansatsen og setter denne nn lgnng (4.27). Dette gr v n = Θ n e jκ, (4.30) ( Θ n+1 Θ n) e jκ µcθn ( e jκ(+1) e jκ( 1) ) = 0, (4.31) hvor µ = t/. Ved å forkorte med Θ n e jκ fås dvs Θ µc ( e jκ e jκ ) = 0, (4.32) Multplkasjon med den komplekskonjugerte gr Θ = 1 jµc sn(κ ). (4.33) Θ(κ) 2 = 1 + (µc) 2 sn 2 (κ ) 1. (4.34) Den eksplstte metoden (4.24) er altså ubetnget ustabl når den anvendes på lgnngen u t + cu = 0. Den kan derfor heller kke brukes på kkelneære oppgaver. Hvs man steden benytter metoden med sentralderenser en mplstt formulerng, får man u n+1 u n t + f(un+1 +1 ) f(un+1 1 ) = 0. (4.35) 2 Som ovenfor kan man gjennomføre von Neumanns stabltetsanalyse på denne lgnngen ved å sette f(u) = cu, og dernest benytte ansatsen (4.30) for felen. Analogt med ovenfor får v da ( Θ n+1 Θ n) e jκ µcθn+1 ( e jκ(+1) e jκ( 1) ) = 0, (4.36) hvor fortsatt µ = t/. Forkortng med Θ n+1 e jκ gr 1 Θ µc ( e jκ e jκ ) = 0, (4.37)

90 90 4 Derensmetoder for skalare bevarelseslover dvs Altså er Θ 1 = 1 + jµc sn(κ ). (4.38) Θ(κ) 2 = 1 + (µc) 2 sn 2 (κ ) 1. (4.39) Den mplstte metoden med sentralderenser er altså ubetnget stabl. CFLkrteret er trvelt oppfylt, ettersom en verd u n nå avhenger av samtlge punkter på forrge tdsnvå. Ubetnget stabltet nnebærer mdlertd kke at man kan ta vlkårlg lange tdsskrtt. Man må også skre at den mplstte lgnngen (4.35) kan løses. Normalt vl man løse en mplstt lgnng med Newton-terasjon, men sden v her bare vl g en betngelse for entydg løsnng, skal v tenke oss lgnngen løst med kspunktterasjon. V denerer da vektorer og skrver lgnngen (4.35) på formen hvor u n = [..., u n 1, u n, u n +1,... ] T, (4.40) h = [..., h 1, h, h +1,...] T, (4.41) u n+1 + h(u n+1 ) = u n, (4.42) h (u) = 1 2 µ( f(u +1 ) f(u 1 ) ). (4.43) Når lgnng (4.42) løses med kspunktterasjon u (k+1) + h(u (k) ) = u n, k = 0, 1,..., (4.44) er man skret konvergens dersom en eller annen norm h (u) < 1, (4.45) hvor h (u) er Jacob-matrsen tl h(u). Ettersom er For h u ±1 = ± 1 2 µf (u ±1 ), (4.46) h (u) = 1 2 µ ma { f (u +1 ) + f (u 1 ) } µ f L. (4.47) µ f L < 1 (4.48) gr derfor kspunktterasjon entydg løsnng av lgnngssystemet (4.42). Dette svarer tl CFL-betngelsen. Ved Newton-terasjon vl tdsskrttbegrensnngen kunne bl noe romslgere, særlg hvs løsnngen er tlnærmet stasjonær. Her er v mdlertd bare nteressert å vse at en entydg løsnng ekssterer.

91 4.3 Lneær stabltet 91 f(u) u L u u R Fgur 4.6: Fluksfunksjonen f(u) = 1 2 u2 med u L = 1 og u R = 1. t 1 1 u t t Fgur 4.7: Løsnngen ved et tdspunkt t. Fgur 4.8: Karakterstkker. Den mplstte metoden med sentralderenser (4.35) er altså en bevarelsesmetode som under hensyn tl betngelsen t < / f L gr en entydg løsnng. Metoden er stabl når den anvendes på lgnngen u t + cu = 0. For å undersøke stabltetsegenskapene for metoden når den anvendes på kkelneære lgnnger, skal v benytte metoden på Burgers-lgnngen u t + ( 1 2 u2) = 0 (4.49) med startkrav u(, 0) = { u L = 1 for < 0, u R = 1 for > 0. (4.50) Dette er et Remann-problem med f(u) = 1 2 u2 (se gur 4.6), hvor løsnngen har en fortynnngsbølge u = /t for /t 1. Løsnngen er vst gurene 4.7 og 4.8. Når metoden med mplstte sentralderenser benyttes med startverdene { u 0 1 for 0, = (4.51) 1 for > 0, er en løsnng u n = u 0 = ±1. Med denne løsnngen er f(un ) = 1 2 (±1)2 = 1 2, slk at lgnng (4.35) er oppfylt. Ifølge vår analyse av kspunktterasjonen, er

92 92 4 Derensmetoder for skalare bevarelseslover løsnngen entydg når bare tdsskrttet er begrenset av (4.48). Den dskrete løsnngen har altså et støt med hastghet σ = 0. Dette bryter kke med Rankne-Hugonots sprangbetngelse ettersom f(u R ) f(u L ) u R u L = = 0. (4.52) 1 ( 1) Det er som v måtte vente, sden bevarelsen er varetatt. Dermot bryter støtet den dskrete løsnngen med Olejnks entropbetngelse. V ser således at en bevarelsesmetode som er stabl for lneære derensallgnnger, kan g konvergens mot en løsnng som kke tlfredsstller entropbetngelsen, når den anvendes på bevarelseslover av formen (4.1). V kan få samme oppførsel for et eksplstt skjema. Den eksplstte metoden med sentralderenser (4.24) kan gjøres stabl ved å legge tl et tlleggsledd. Dette leddet fremkommer på følgende måte. En Taylor-utvklng av tdsderensen gr u n+1 u n t = (u t ) n t(u tt) n +. (4.53) Skjemaet (4.24) er derfor en bedre tlnærmelse tl lgnngen u t + f(u) t u tt = 0 (4.54) enn tl lgnng (4.1). V kan korrgere for tredje ledd lgnng (4.54) ved å trekke fra en tlnærmelse tl dette leddet. Av lgnngen u t = f(u) følger at u tt = f(u) t = (f (u)u t ) = (f (u)f(u) ). (4.55) Et derensskjema som burde g en bedre tlnærmelse tl lgnng (4.1) enn (4.24), er derfor u n+1 u n t + f(un +1 ) f(un 1 ) 2 t [ 2 2 f ( 1 2 (un + u n +1) ) ( f(u n +1) f(u n ) ) f ( 1 2 (un 1 + u n ) ) ( f(u n ) f(u n 1) ) ] = 0. (4.56) Skjemaet (4.56) kalles La-Wendros metode. Dette skjemaet har åpenbart bevarelsesformen (4.21). Det forunderlge er at skjønt skjemaet er utledet fra et skjema som er ubetnget ustablt, oppvser skjemaet betnget stabltet for lgnnger med konstante koesenter. For å vse dette bruker v von Neumanns stabltetsanalyse på (4.56). V setter f(u) = cu, og benytter uttrykket (4.30) for felen v n. Sden skjemaet nå er lneært, gjelder samme

93 4.3 Lneær stabltet 93 lgnng for v n som for u n. Dermed fås ( Θ n+1 Θ n) e jκ µcθn e jκ ( e jκ e jκ ) 1 2 (µc)2 Θ n e jκ [ ] (e jκ 1) (1 e jκ ) = 0, (4.57) hvor som ovenfor µ = t/. Forkortng med Θ n e jκ gr dvs Θ µc ( e jκ e jκ ) 1 2 (µc)2[ (e jκ 1) (1 e jκ ) ] = 0, (4.58) Θ = 1 jµc sn(κ ) (µc) 2 (1 cos(κ )) = 1 2(µc) 2 sn 2 ( 1 2 κ ) j2µc sn( 1 2 κ ) cos( 1 2 κ ). (4.59) Ved å multplsere med den komplekskonjugerte fås Θ(κ) 2 = 1 4(µc) 2 sn 2 ( 1 2 κ ) + 4(µc)4 sn 4 ( 1 2 κ ) + 4(µc) 2 sn 2 ( 1 2 κ ) cos2 ( 1 2 κ ) = 1 4(µc) 2 ( (4.60) 1 (µc) 2) sn 4 ( 1 2 κ ). Det følger at Θ(κ) 1 for µc 1. For lgnngen u t + cu = 0 er altså La-Wendros metode stabl når CFL-betngelsen er oppfylt. Hvs mdlertd La-Wendros metode benyttes på Remann-problemet (4.49) og (4.50) med startverdene (4.51), fås løsnngen u n = u 0 = ±1. Som ovenfor får v altså en løsnng av derenslgnngen som tlfredsstller Rankne-Hugonots sprangbetngelse, men som kke tlfredsstller Olejnks entropbetngelse. 4.4 Monoton Drøftelsene avsntt 4.3 vser at derenslgnnger med bevarelsesegenskapen kan konvergere mot en løsnng som kke tlfredsstller entropbetngelsen. V ønsker derfor å nne en egenskap for derensallgnngen som kan overføres tl derenslgnngen, og som skrer at brudd på entropbetngelsen kke kan forekomme. Sden entropbetngelsen ble utledet fra en annenordens derensallgnng av formen (2.88), er det naturlg å se på egenskaper for denne derensallgnngen. V skal her gjeng uten bevs en setnng som kalles monoton- eller sammenlgnngssetnngen. Det første ordet skter tl derensaloperatoren, hvs nverse ses å bestte en monotonegenskap, mens det andre ordet skter tl løsnngen, som ses å bestte en sammenlgnngsegenskap. Sden v sprnger over bevset, utelater v også kontnutetskravene.

94 94 4 Derensmetoder for skalare bevarelseslover Setnng. La Ω = (0, L) (0, T ) være et område t-planet med bunn- og sderand Ω = ([0, L] {0}) ({0} [0, T ]) ({L} [0, T ]). La derensallgnngen u t + f(u) = ɛg(u), ɛg (u) > 0, (4.61) være denert Ω, og anta at u og v er to løsnnger av derensallgnngen med forskjellge start- og randkrav. For passende glatte start- og randfunksjoner og funksjoner f og g gjelder da: Hvs u v 0 på Ω, så er u v 0 Ω. Denne setnngen gjelder kun for skalare lgnnger og kke for systemer av lgnnger. Når ɛ 0, må sammenlgnngsegenskapen fremdeles holde. Det er derfor rmelg å kreve samme egenskap for løsnngen av et derensskjema for hyperbolske bevarelseslover. En eksplstt metode kan skrves på formen u n+1 = G(u n ). Her er u n = [..., u n 1, u n, u n +1,... ] T (4.62) en vektor som nneholder løsnngen alle gttercellene på tdsnvå t n. Tlsvarende kan en mplstt metode skrves på formen F (u n+1 ) = u n. En eksplstt metode kalles monoton hvs u v 0 G(u) G(v) 0, (4.63) mens en mplstt metode kalles monoton hvs F (u) F (v) 0 u v 0. (4.64) En monoton metode skrer dermed at løsnngen av en derenslgnng har samme sammenlgnngsegenskap som løsnngen av derensallgnngen har. Sden G(u) G(v) = H (u v), (4.65) hvor matrsen H = 1 0 G (v + θ(u v)) dθ, (4.66) følger at en eksplstt metode er monoton hvs og bare hvs H O, hvor O er nullmatrsen. Ulkheten skal oppfattes elementvs. Med H = {h j } må altså h j 0. For en mplstt metode er tlsvarende hvor matrsen F (u) F (v) = J (u v), (4.67) J = 1 0 F (v + θ(u v)) dθ. (4.68) Metoden er monoton hvs og bare hvs J 1 O. For en eksplstt metode er det dermed forholdsvs gret å undersøke om metoden er monoton. V behøver bare å skrve metoden på formen u n+1 =

95 4.4 Monoton 95 G(u n ) og undersøke om Jacob-matrsen G (u) O. Det er tlstrekkelg for å oppnå monoton for metoden. For en mplstt metode er det kke lke rett frem å avgjøre om metoden er monoton, men v skal også der formulere et tlstrekkelg krterum som nokså enkelt kan etterprøves. Dette bygger på teoren for M-matrser. Densjon. En kvadratsk matrse A = {a j } er en M-matrse hvs og bare hvs den. har kkepostve kkedagonalelementer a j 0, j,. har kkenegatv nvers A 1 O. V gjengr uten bevs to egenskaper for M-matrser. For en M-matrse gjelder: 1. Alle hovedmnorene er postve. (En mnor tl en kvadratsk matrse er determnanten tl den undermatrsen som fremkommer ved å stryke et vsst antall lnjer og lke mange kolonner. Dersom de strøkne kolonnene har samme ndeks som de strøkne lnjene, kalles mnoren en hovedmnor.) Speselt er alle dagonalelementene postve. 2. Alle egenverdene har postv realdel. Ifølge matrseteoren gjelder dsse egenskapene også for postvt dentte matrser, som kke behøver å være symmetrske. Imdlertd er det ngen drekte sammenheng mellom M-matrser og postvt dentte matrser. Således er matrsen [ ] 2 1 (4.69) 1 3 postvt dentt, men den er kke en M-matrse. Tlsvarende er [ ] 1 0 A = 4 3 (4.70) en M-matrse, men kke en postvt dentt matrse. (Eksempelvs fås med = [2, 1] T at T A = 1.) Imdlertd gjelder at en symmetrsk M-matrse er postvt dentt. Det nnes mange alternatve karaktersernger av M-matrser som er ekvvalente med ovenstående densjon. For å avgjøre om en matrse er en M- matrse, er følgende karakterserng nyttg. Karakterserng. En kvadratsk matrse A = {a j } er en M-matrse hvs og bare hvs. a > 0,. a j 0, j,. det nnes en dagonalmatrse D = dag(d ) med d > 0, slk at DA er kolonnevs strengt dagonaldomnant.

96 96 4 Derensmetoder for skalare bevarelseslover Med denne karakterserngen behøver v kke bestemme den nverse, men bare nne en velegnet dagonalmatrse D for å avgjøre om en matrse er en M-matrse. At en matrse A som tlfredsstller denne karakterserngen, også tlfredsstller densjonen, sees av følgende. Matrsen A kan skrves på formen A = B C, hvor B = dag(a ). Dermed nneholder C kkedagonalelementene A, og følge punkt ) er C = {c j } O. La D være slk at punkt ) holder. For spektralraden ρ tl matrsen CB 1 gjelder da ρ(cb 1 ) = ρ(dcb 1 D 1 ) = ρ(dc(db) 1 ) DC(DB) 1 c j d 1 = ma < 1. j a jj d j Følgelg konvergerer rekken ( CB 1 ) k k=0 mot (I CB 1 ) 1, og den nverse av A blr A 1 = (B C) 1 = [ (I CB 1 )B ] 1 = B 1 (4.71) (4.72) ( CB 1 ) k O. (4.73) Matrsen A tlfredsstller derfor densjonen av M-matrser. Det kan forøvrg vses at karakterserngen er ekvvalent med densjonen, men sden v kke har bruk for dette, skal v la det lgge. M-matrseegenskapen kan brukes for å avgjøre om en mplstt metode er monoton. Hvs vektoren F (u) den mplstte metoden F (u n+1 ) = u n har en Jacob-matrse F (u) som tlfredsstller punktene ), ) og ) ovenstående karakterserng, hvor D er uavhengg av u, så tlfredsstller også matrsen J lgnng (4.68) punktene ), ) og ) karakterserngen. Følgelg er da J en M-matrse, slk at J 1 O. Den mplstte metoden er dermed monoton. I prakss er D = dag( ). V oppsummerer ovenstående utlednng en Setnng. En eksplstt metode u n+1 = G(u n ) er monoton hvs Jacobmatrsen tlfredsstller G (u) O. En mplstt metode F (u n+1 ) = u n er monoton hvs Jacob-matrsen F (u) er en M-matrse, og det nnes en dagonalmatrse D, uavhengg av u, slk at DF (u) er kolonnnevs strengt dagonaldomnant. V avslutter dette avsnttet med å vse at de to metodene som ble drøftet avsntt 4.3, kke tlfredsstller setnngens tlstrekkelge krterum for monoton. Den mplstte metoden med sentralderenser (4.35) kan skrves på formen F (u n+1 ) = u n med k=0 F (u) = u µ( f(u +1 ) f(u 1 ) ), (4.74)

97 4.4 Monoton 97 hvor µ = t/. Jacob-matrsens kkeforsvnnende elementer er F u = 1, F u ±1 = ± 1 2 µf (u ±1 ). (4.75) Ikkedagonalelementene kan bl postve, og følgelg er F (u) kke en M- matrse. Metoden er kke monoton. La-Wendros metode (4.56) kan skrves på formen u n+1 = G(u n ) med G (u) = u 1 2 µ( f(u +1 ) f(u 1 ) ) µ2[ f ( 1 2 (u + u +1 ) ) ( f(u +1 ) f(u ) ) f ( 1 2 (u 1 + u ) ) ( f(u ) f(u 1 ) )]. (4.76) Jacob-matrsens kkeforsvnnende elementer er G u = µ2[ 1 2 f ( 1 2 (u + u +1 ) ) ( f(u +1 ) f(u ) ) 1 2 f ( 1 2 (u 1 + u ) ) ( f(u ) f(u 1 ) ) ( f ( 1 2 (u + u +1 ) ) + f ( 1 2 (u 1 + u ) )) f (u ) ], (4.77) G u +1 = 1 2 µf (u +1 ) µ2[ 1 2 f ( 1 2 (u + u +1 ) ) ( f(u +1 ) f(u ) ) + f ( 1 2 (u + u +1 ) ) f (u +1 ) G u 1 = 1 2 µf (u 1 ) 1 2 µ2[ 1 2 f ( 1 2 (u 1 + u ) ) ( f(u ) f(u 1 ) ) f ( 1 2 (u 1 + u ) ) f (u 1 ) ], ]. (4.78) (4.79) Når t 0, kan kkedagonalelementene få motsatt fortegn, slk at metoden kke er monoton. 4.5 Monotone bevarelsesmetoder I dette avsnttet skal v omtale tre bevarelsesmetoder som under ltt ulke betngelser er monotone. V skal senere omtale en konvergenssetnng som vser at alle tre metodene konvergerer mot rktg løsnng La-Fredrchs' metode Den første metoden som v skal omtale, er La-Fredrchs' metode u n+1 1 ( u n u n t [ +1) + f(u n 2 +1 ) f(u n 1) ] = 0. (4.80)

98 98 4 Derensmetoder for skalare bevarelseslover Som skjemaet vser, er dette en ren derensmetode. Den er generell og enkel å mplementere. Med densjonen kan metoden skrves φ LF (u L, u R ) = 1 2 [ f(u L ) + f(u R ) ] t (u R u L ) (4.81) u n+1 u n t + φlf (u n, un +1 ) φlf (u n 1, un ) = 0. (4.82) Metoden har altså bevarelsesformen (4.21). Den er eksplstt, og skrevet på formen u n+1 = G(u n ) er G (u) = 1 2 (u 1 + u +1 ) 1 2 µ [f(u +1) f(u 1 )], (4.83) hvor µ = t/. Jacob-matrsen tl G(u) har kkeforsvnnende elementer G u = 0, G = 1 ( u 2 1 µf (u ±1 ) ). (4.84) ±1 For µ f L 1 er G (u) O, slk at metoden er monoton når CFLbetngelsen er oppfylt. La-Fredrchs' metode er utgangspunktet formulert som en eksplstt metode. Den kan mdlertd også formuleres mplstt. Man setter da u n+1 u n t + φlf (u n+1, u n+1 +1 ) φlf (u n+1 1, un+1 ) = 0. (4.85) Av uttrykket (4.81) følger at når den mplstte metoden skrves på formen F (u n+1 ) = u n, blr F (u) = 2u 1 2 (u 1 + u +1 ) µ( f(u +1 ) f(u 1 ) ). (4.86) Jacob-matrsen tl F (u) har kkeforsvnnende elementer F u = 2, F = 1 ( u 2 1 µf (u ±1 ) ). (4.87) ±1 Hvs µ f L 1, er F / u ±1 0. Under denne betngelsen er også Jacob-matrsen F (u) kolonnevs strengt dagonaldomnant, slk at F (u) er en M-matrse. Den mplstte varant av La-Fredrchs' metode er altså monoton når CFL-betngelsen er oppfylt. Sden henskten med å benytte mplstte metoder er å kunne ta lengre tdsskrtt enn man kan med eksplstte metoder, antyder dette at den mplstte varant av La-Fredrchs' metode kke er særlg nyttg. I ltteraturen blr den knapt nevnt.

99 4.5 Monotone bevarelsesmetoder Godunovs metode I bevarelsesformulerngen (4.21) er utfordrngen å nne en god tlnærmelse tl uksen gjennom celleveggene. På tdsnvå t n er den dskrete løsnngen kjent hver celle. Hvs v med utgangspunkt verdene på tdsnvå t n kan nne en eksakt løsnng et stykke frem td, og bruke denne løsnngen tl beregnng av uksen, fås en derensmetode som synes optmal. Fluksen blr da beregnet på en måte som utnytter den tlgjengelge nformasjonen på tdsnvå t n best mulg. Den fremkomne metode kalles Godunovs metode. I Godunovs metode løser man altså derensallgnngen med startkrav u t + f(u) = 0, t > t n, (4.88) u(, t n ) = u n (), (4.89) hvor u n () = u n for ( 1/2, +1/2 ). Ved hver cellevegg +1/2 fremkommer løsnngen av denne oppgaven ved å løse et Remann-problem med venstretlstand u L = u n og høyretlstand u R = u n +1, se gur 4.9. Løsnngen er konstant på stråler ut fra celleskjøten. Rktgnok gjelder kke dsse verdene ubegrenset ut tl venstre og tl høyre. I skjøtene mellom nabocellene har man også lokale Remann-problemer. Ved hver cellevegg sendes det ut elementærbølger, hvs hastghet er begrenset av den karakterstske hastgheten tl uksfunksjonen f, se gur Nå er man Godunovs metode egentlg kke nteressert hele løsnngen u(, t) tl oppgaven (4.88) og (4.89). Det man trenger, er verden av u på hver cellevegg. Dette er akkurat nok tl å beregne uksen gjennom celleveggen f(u( +1/2, t)). Fluksen er konstant så lenge løsnngen på celleveggen er upåvrket av bølgene fra naboveggene, altså for t t n + mn { } f. (4.90) L For å nne u( +1/2, t) behøver man kke løse hele Remann-problemet. Løsnngen på celleveggen er gtt ved en elementærbølge med hastghet null, eller, hvs en slk mangler, den konstante tlstand på den ene sden som elementærbølgene løper vekk fra. Av gurene 2.27 og 2.28 ser man at uksuttrykket f(u( +1/2, t)) blr lk mnmumsverden tl f(u) [u L, u R ] for en konveks t u n u n +1 1/2 +1/2 +3/2 1/2 +1/2 +3/2 Fgur 4.9: Remann-problem ved cellevegg +1/2. Fgur 4.10: Remann-løsnng ved hver cellevegg.

100 100 4 Derensmetoder for skalare bevarelseslover f(u) t u u R u L Fgur 4.11: Godunov-uks φ G (u L, u R ) = ma f(u) = f(u L). u [u R,u L ] f(u) t u u R u L Fgur 4.12: Godunov-uks φ G (u L, u R ) = ma f(u) = f(u R). u [u R,u L ] f(u) t u u L u M u R Fgur 4.13: Godunov-uks φ G (u L, u R ) = mn f(u) = f(u M). u [u L,u R ] løsnng av Remann-problemet og maksmumsverden tl f(u) [u R, u L ] for en konkav løsnng av Remann-problemet. Merk at dersom et støt har hastghet null, blr u dskontnuerlg på celleveggen, men f(u) blr kontnuerlg der. Det følger også av Rankne-Hugonots sprangbetngelse (2.60). Med densjonen mn f(u) for u φ G L u R, u [u (u L, u R ) = L,u R ] ma f(u) for u R u L, u [u R,u L ] blr dermed Godunovs metode u n+1 (4.91) u n t n+1 + φg (u n, un +1 ) φg (u n 1, un ) = 0. (4.92)

101 4.5 Monotone bevarelsesmetoder 101 Ifølge (4.90) må tdsskrttet være begrenset av t n+1 mn { } f. (4.93) L Dette er CFL-betngelsen. Fgurene 4.11, 4.12 og 4.13 vser hva Godunov-uksen blr når f (u) skfter fortegn gjennom et mnmumspunkt. Ved et maksmumspunkt er stuasjonen analog. Punktet u M gur 4.13 hvor f (u) = 0, kalles et sonsk punkt. Over et sonsk punkt velger Godunovs metode hverken f(u L ) eller f(u R ), men f(u M ), som guren vser. For å undersøke monotonegenskapene, skrver v Godunovs metode på formen u n+1 = G(u n ). Da blr G (u) = u tn+1 [ φ G (u, u +1 ) φ G (u 1, u ) ]. (4.94) For å kunne beregne Jacob-matrsen tl G(u), trenger v de derverte av Godunov-uksen (4.91). Dener φ G 1 (u L, u R ) = φg (u L, u R ) u L, φ G 2 (u L, u R ) = φg (u L, u R ) u R. (4.95) Av densjonen (4.91) følger at φ G (u L, u R ) vokser med voksende u L og avtar med voksende u R. Således gjelder Det følger at Vdere er 0 φ G 1 (u L, u R ) f L, (4.96) f L φ G 2 (u L, u R ) 0. (4.97) G = tn+1 φ G 2 (u, u +1 ) 0, u +1 (4.98) G = tn+1 φ G 1 (u 1, u ) 0. u 1 (4.99) G u = 1 tn+1 [ φ G 1 (u, u +1 ) φ G 2 (u 1, u ) ]. (4.100) Her er φ G 1 (u, u +1 ) enten lk f (u ) eller lk 0. Tlsvarende er φ G 2 (u 1, u ) enten lk f (u ) eller lk 0. Av ulkhet (4.96) følger at hvs φ G 1 (u, u +1 ) = f (u ), så er f (u ) 0. Tlsvarende følger av ulkhet (4.97) at hvs φ G 2 (u 1, u ) = f (u ), så er f (u ) 0. Hvs f (u ) 0, kan følgelg høyst en av de derverte φ G 1 (u, u +1 ) eller φ G 2 (u 1, u ) være lk f (u ). Dermed blr G 1 tn+1 f (u ) 1 tn+1 f u L, (4.101)

102 102 4 Derensmetoder for skalare bevarelseslover f(u) f(u) u L u R u u R u L u Fgur 4.14: Støtgvende maksmum. Godunov-uksen er mn f(u). u [u L,u R ] Fgur 4.15: Støtgvende mnmum. Godunov-uksen er ma f(u). u [u R,u L ] Av ulkhetene (4.98), (4.99), (4.101) følger at G (u) O for t n+1 mn { } f. (4.102) L Således er Godunovs metode monoton når CFL-betngelsen er oppfylt. Man kan lage en mplstt varant av Godunovs metode ved å sette u n+1 u n t n+1 + φg (u n+1, u n+1 +1 ) φg (u n+1 1, un+1 ) = 0. (4.103) Metoden er ubetnget monoton, men hvs man skulle løse den mplstte formulerngen F (u n+1 ) = u n med Newtons metode ( F (u (k) ) u (k+1) u (k)) ( = F (u (k) ) u n), k = 0, 1,..., (4.104) vlle man måtte kreve at F (u) var Lpschtz-kontnuerlg. Jacob-matrsen F (u) nneholder de derverte φ G 1 (u L, u R ) og φ G 2 (u L, u R ). La oss derfor undersøke om de derverte av Godunov-uksen er glatte. Anta at u L og u R lgger på hver sn sde av et støtgvende ekstremumspunkt for f(u), slk at f(u L ) = f(u R ), se gurene 4.14 og For de ensdge derverte fås da φ G 1 (u L, u R ) = { 0 hvs u L u R, f (u L ) hvs u L u R, (4.105) og φ G 2 (u L, u R ) = { 0 hvs u R u L, f (u R ) hvs u R u L. (4.106) Følgelg nneholder F (u) elementer med sprang, dvs F (u) er kke engang kontnuerlg. Den mplstte varant av Godunovs metode er altså kke hensktsmessg hvs Newtons metode skal brukes tl å løse lgnngene.

103 4.5 Monotone bevarelsesmetoder Engqust-Oshers metode I avsntt 4.1 ble motstrømsderenser benyttet for å løse den lneære derensallgnngen u t + cu = 0. Motstrømsderensene kan generalseres på en naturlg måte for den kkelneære lgnngen u t +f(u) = 0. Med densjonene f +(u) = ma{f (u), 0}, f (u) = mn{f (u), 0} (4.107) kan v stlle opp metoden [ u n+1 u n t n u n u n 1 ] u n f +(u) +1 du + f (u) du = 0. (4.108) u n Dersom f (u) 0, blr f +(u) = f (u) og f (u) = 0, slk at den romlge derensen lgnng (4.108) reduserer seg tl f(u n ) f(un 1 ). Tlsvarende, hvs f (u) 0, blr f +(u) = 0 og f (u) = f (u), slk at den den romlge derensen reduserer seg tl f(u n +1 ) f(un ). Dette er nettopp hva v ønsker. Av densjonene (4.107) følger f +(u) = 1 ( 2 f (u) + f (u) ) 0, (4.109) f (u) = 1 ( 2 f (u) f (u) ) 0. (4.110) Således er f +(u) + f (u) = f (u), (4.111) f +(u) f (u) = f (u). (4.112) Metoden (4.108) kalles Engqust-Oshers metode. Den kan skrves på bevarelsesform på følgende måte. Dener pluss- og mnusfunksjonene f + (u) = u u 0 f +(v) dv + f(u 0 ), f (u) = u u 0 f (v) dv, (4.113) hvor u 0 er et vlkårlg valgt punkt. En uksfunksjon og de tlhørende plussog mnusfunksjonene er vst gurene 4.16, 4.17 og Her er u 0 valgt dagrammets orgo. Med dsse funksjonene får lgnng (4.108) formen u n+1 u n t n+1 + f +(u n ) f +(u n 1 ) + f (u n +1 ) f (u n ) = 0. (4.114) f(u) f + (u) f (u) u u u Fgur 4.16: f(u). Fgur 4.17: f + (u). Fgur 4.18: f (u).

104 104 4 Derensmetoder for skalare bevarelseslover Ved hjelp av den dskrete uksfunksjonen gr dette u n+1 φ EO (u L, u R ) = f + (u L ) + f (u R ) (4.115) u n t n+1 + φeo (u n, un +1 ) φeo (u n 1, un ) = 0. (4.116) Engqust-Oshers metode har således bevarelsesformen (4.21). Alternatve uttrykk for uksfunksjonen (4.115) følger av densjonene (4.113) og lgnng (4.111): φ EO (u L, u R ) = f(u 0 ) + = f(u 0 ) + = f(u L ) + og φ EO (u L, u R ) = f(u 0 ) + = f(u 0 ) + = f(u R ) + ul u 0 f +(v) dv + ul ur u 0 f (v) dv u 0 ( f + (v) + f (v) ) dv + ur u L ur u L ul f (v) dv, u 0 f +(v) dv + ur ur u 0 f (v) dv u 0 ( f + (v) + f (v) ) dv + ul u R ul u R f +(v) dv. f (v) dv f +(v) dv (4.117) (4.118) For å undersøke monotonegenskapene tl metoden, skrver v den på formen u n+1 = G(u n ). Da blr G (u) = u tn+1 [f + (u ) + f (u +1 ) f + (u 1 ) f (u )]. (4.119) Jacob-matrsen tl G(u) nneholder de derverte av pluss- og mnusfunksjonene. Her er og med bruk av lgnng (4.112) blr G = tn+1 f u +1 (u +1 ) 0, (4.120) G = tn+1 f u 1 +(u 1 ) 0, (4.121) G = 1 tn+1 [ f u + (u ) f (u ) ] = 1 tn+1 f (u ). (4.122)

105 4.5 Monotone bevarelsesmetoder 105 Av ulkhetene (4.120), (4.121) og (4.122) følger at G (u) O for t n+1 mn { } f. (4.123) L Engqust-Oshers metode er således monoton når CFL-betngelsen er oppfylt. Man kan lage en mplstt varant av Engqust-Oshers metode ved å sette u n+1 u n t n+1 + φeo (u n+1, u n+1 +1 ) φeo (u n+1 1, un+1 ) = 0. (4.124) Hvs denne formulerngen skrves på formen F (u n+1 ) = u n, blr F (u) = u + tn+1 [f + (u ) + f (u +1 ) f + (u 1 ) f (u )]. (4.125) For de kkeforsvnnende elementene Jacob-matrsen F (u) fås og F = 1 + tn+1 [ f u + (u ) f (u ) ] = 1 + tn+1 f (u ). (4.126) F = tn+1 f u +1 (u +1 ) 0, (4.127) F = tn+1 f u 1 +(u 1 ) 0. (4.128) Jacob-matrsen tlfredsstller således punkt 1 og 2 karakterserngen av M- matrser avsntt 4.4. For å få punkt 3 karakterserngen oppfylt, velger v D = dag( ). Da er D uavhengg av u, og elementene DF (u) blr F = + t n+1 [ f u +(u ) f (u ) ], (4.129) F = t n+1 f u (u +1 ), +1 (4.130) F = t n+1 f u +(u 1 ). 1 (4.131) Summen av elementene kolonne j matrsen DF (u) er således j. Sden dagonalelementene er postve og kkedagonalelementene er kkepostve, nnebærer dette at matrsen DF (u) er kolonnevs strengt dagonaldomnant. Således er F (u) en M-matrse, og den mplstte varanten (4.124) av Engqust-Oshers metode er ubetnget monoton. Dersom f (u) er Lpschtz-kontnuerlg, blr også f +(u) og f (u) Lpschtz-kontnuerlge funksjoner. Newtons metode kan derfor anvendes ved løsnng av Engqust-Oshers mplstte varant.

106 106 4 Derensmetoder for skalare bevarelseslover 4.6 Konvergens for monotone bevarelsesmetoder I avsnttene 4.2 og 4.4 denerte v lokal bevarelse og monoton for derensmetoder. Underves har v også antydet at metoder med dsse egenskapene konvergerer mot løsnngen av derensallgnngen (4.1). V skal her gjeng en setnng om konvergens for slke metoder, og begynner med å spessere setnngens forutsetnnger. Som klasssk konvergensteor for derenslgnnger er det to forutsetnnger som må være oppfylt. For det første må dfferenslgnngen være en tlnærmelse tl derensallgnngen. For det andre må løsnngen være stabl, dvs at en lten forstyrrelse startdata må forbl begrenset. Det første punktet varetas ved å kreve lokal bevarelse og ukskonsstens. Ved å kreve lokal bevarelse skrer v at derenslgnngen er stlt opp etter de samme prnspper som dem som lå tl grunn for derensallgnngen. I tllegg må v kreve ukskonsstens, dvs at den dskrete uksen er en god tlnærmelse tl uksen derensallgnngen. Derenslgnngen som varetar lokal bevarelse, ble stlt opp avsntt 4.2. V krever altså en derenslgnng på formen (4.21), hvor den dskrete uksen har formen (4.22) for eksplstte formulernger eller (4.23) for mplstte formulernger. Flukskonsstens er denert ved at den dskrete uksen φ(u L, u R ) må tlnærme uksen derensallgnngen f(u) på følgende måte. Når venstre- og høyretlstanden er lke, må φ(u, u) = f(u). (4.132) Vdere kreves at φ(u L, u R ) er Lpschtz-kontnuerlg, dvs det nnes en konstant K slk at v : v u ɛ : φ(v 1, v 2 ) f(u) K ma{ v u }. (4.133) Strengt tatt gjelder betngelsene (4.132) og (4.133) på en addtv konstant nær. I derensallgnngen nngår bare f(u), slk at v kan erstatte f(u) med f(u) k uten å endre lgnngen. Man vser trvelt at uksuttrykkene La-Fredrchs', Godunovs og Engqust-Oshers metoder er konsstente. Stabltet oppnås ved å kreve monoton. Betngelsene for monoton ble formulert avsntt 4.4. Her skal v kreve at følgende tlstrekkelge betngelse for monoton er oppfylt: φ 1 (v, w) 0, φ 2 (v, w) 0, (4.134) hvor φ (v, w) betegner den partellderverte med hensyn på -te argument, = 1, 2. For en mplstt formulerng F (u n+1 ) = u n gr dette tlstrekkelge fortegnskrav Jacob-matrsen. Her blr nemlg F (u) = u + tn+1 [φ(u, u +1 ) φ(u 1, u )], (4.135)

107 4.6 Konvergens for monotone bevarelsesmetoder 107 slk at og F u = 1 + tn+1 [φ 1 (u, u +1 ) φ 2 (u 1, u )] 1 > 0 (4.136) F = tn+1 φ 2 (u, u +1 ) 0, u +1 (4.137) F = tn+1 φ 1 (u 1, u ) 0. u 1 (4.138) Kolonnevs streng dagonaldomnans følger som avsntt For en eksplstt formulerng G(u n ) = u n+1 blr mdlertd G (u) = u tn+1 [φ(u, u +1 ) φ(u 1, u )], (4.139) slk at og G u = 1 tn+1 [φ 1 (u, u +1 ) φ 2 (u 1, u )] (4.140) Her må v derfor kreve at G = tn+1 φ 2 (u, u +1 ) 0, u +1 (4.141) G = tn+1 φ 1 (u 1, u ) 0. u 1 (4.142) t n+1 ( φ1 (u, v) φ 2 (w, u) ) 1 (4.143) for å skre at G (u) O. I La-Fredrchs' metode er ulkhetene (4.134) oppfylt når CFL-betngelsen er oppfylt, mens ulkhet (4.143) alltd holder. I Godunovs og Engqust-Oshers metoder er ulkhetene (4.134) alltd oppfylt, mens ulkhet (4.143) holder når CFL-betngelsen er oppfylt. V kan dermed formulere følgende konvergenssetnng, som er bltt utformet av Kuznecov, Volo²n, Crandall, Majda og Sanders. Setnngen gjelder for et Cauchy-problem for lgnngen u t +f(u) = 0, hvor startdata har begrenset varasjon og lgger L 1 (R) L (R). Setnng. Løsnngen av en ukskonsstent bevarelsesmetode som tlfredsstller ulkhetene (4.134), og som det eksplstte tlfellet dessuten tlfredsstller ulkhet (4.143) (oppfyllelse av dsse ulkhetene gr tlstrekkelge betngelser for monoton), konvergerer mot den entydge entropløsnngen av derensallgnngen.

108 108 4 Derensmetoder for skalare bevarelseslover Betegn løsnngen av det dskrete skjemaet for v δ (, t), hvor δ = ma{ }. For felen gjelder: v δ (, t) u(, t) L 1 (R) v δ(, t 0 ) u(, t 0 ) L 1 (R) +K(t t 0) δ, (4.144) hvor konstanten K er en funksjon av varasjonen startdata. Slutnng. La-Fredrchs' og Engqust-Oshers eksplstte og mplstte metoder er konvergente. Godunovs eksplstte metode er konvergent. 4.7 Nøyaktghet I avsntt 4.3 benyttet v Taylor-utvklng tl å utlede La-Wendros metode fra sentralderensmetoden. Her skal v gjøre bruk av Taylor-utvklng tl å s noe om størrelsen på felen en valgt derensmetode. Denne felen vl være størst nærheten av dskontnuteter for løsnngen, dvs nettopp der hvor Taylor-utvklngen på grunn av manglende glatthet kke lenger er gyldg. Lkevel gr denne teknkken forbausende god overensstemmelse mellom estmert fel og faktsk fel. Med utgangspunkt lgnngen fås u tt = f(u) t = ( f (u)u t ) u t + f(u) = 0 (4.145) = ( f (u)f(u) ) = ( [f (u) ] 2 u ). (4.146) Dette uttrykket skal benyttes Taylor-utvklngen for tdsderensene. V ser først på La-Fredrchs' metode (4.80). Tdsderensen har Taylor-utvklng u n+1 1 ( 2 u n 1 + u n +1) = (u t ) n + t t = (u t ) n + t [( [f (u) ] ) 2 u 2 mens den romlge derensen har utvklngen f(u n +1 ) f(un 1 ) 2 2 (u tt) n 2 2 t (u ) n + ] n 2 2 t (u ) n +, (4.147) = [f(u) ] n + O ( 2). (4.148) Summen av tdsderensen og den romlge derensen er tl første orden lk (u t ) n + [f(u) ] n 2 2 t (u ) n + t [( [f (u) ] ) ] 2 n u, (4.149) 2 slk at La-Fredrchs' derenslgnng (4.80) er en bedre tlnærmelse tl lgnngen (( [ ] ) ) u t + f(u) = 2 t t f (u) u (4.150)

109 4.7 Nøyaktghet 109 enn tl lgnng (4.145). Med densjon av CFL-faktoren blr lgnng (4.150) u t + f(u) = 2 γ = t f (u) (4.151) ( f (u) 1 ) γ2 u γ. (4.152) Høyresden lgnng (4.152) er et mål på hvor stor utbredelse (utsmørng) det er La-Fredrchs' metode (4.80). Utsmørngen vl være sterkest der hvor gradenten u er stor, dvs på steder hvor den hyperbolske lgnngen gr en dskontnuerlg løsnng. V utfører nå den samme analysen for Engqust-Oshers metode (4.114) med t n+1 = t og =. Tdsderensen har Taylor-utvklngen u n+1 u n t = (u t ) n + t 2 (u tt) n + O ( t 2) = (u t ) n + t 2 [( [f (u) ] 2 u ) mens den romlge derensen har utvklngen ] n + O ( t 2), (4.153) f + (u n ) + f (u n +1 ) f +(u n 1 ) f (u n ) = [( f + (u) + f (u) ) ] n [( f+ (u) f (u) ) n 2 ] + O( 2) = [( f +(u) + f (u) ) ] n u [(( f 2 + (u) f (u) ) ) ] n u + O( 2) = [f(u) ] n [( f (u) ) n u 2 ] + O( 2). (4.154) Her er det gjort bruk av lgnngene (4.111) og (4.112). Denne Taylor-utvklngen er rktgnok bare formelt rktg, ettersom f +(u) og f (u) har knekkpunkt. Summen av tdsderensen og den romlge derensen er tl første orden lk (u t ) n + [f(u) ] n 2 [( f (u) u ) ] n + t [( [f (u) ] ) 2 u 2 ] n, (4.155) slk at Engqust-Oshers derenslgnng (4.114) er en bedre tlnærmelse tl lgnngen u t + f(u) = ( f (u) ( 1 t f (u) ) ) u (4.156) 2

110 110 4 Derensmetoder for skalare bevarelseslover enn tl lgnng (4.145). Setter man nn CFL-faktoren (4.151), blr lgnng (4.156) u t + f(u) = ( f (u) ) (1 γ)u 2. (4.157) Dersom v hadde benyttet Engqust-Oshers mplstte varant (4.124), vlle v fått lgnngen u t + f(u) = 2 ( f (u) (1 + γ)u ). (4.158) V kan nå sammenlgne La-Fredrchs' og Engqust-Oshers metoder for samme CFL-faktor γ. De eksplstte metodene må tlfredsstlle betngelsen γ < 1, så denne betngelsen må være oppfylt for at sammenlgnngen skal være relevant. For γ < 1 er 1 γ < 1 γ2. (4.159) γ For de eksplstte metodene gr derfor Engqust-Oshers metode mndre utsmørng enn La-Fredrchs' metode. At Engqust-Oshers eksplstte metode gr mndre utsmørng enn den mplstte varanten er åpenbart. Hvordan Engqust-Oshers mplstte metode faller ut forhold tl La-Fredrchs' eksplstte metode er kke lke opplagt. En sammenlgnng av høyresdene (4.152) og (4.158) gr 1 + γ 1 γ2 γ = (1 + γ)(2γ 1) γ { < 0 for γ < 1/2, > 0 for γ > 1/2. (4.160) For små tdsskrtt (γ < 1/2) gr derfor Engqust-Oshers mplstte varant mndre utsmørng enn La-Fredrchs' eksplstte metode! For store tdsskrtt (γ > 1/2) blr mdlertd utsmørngen Engqust-Oshers mplstte metode størst. Hvs v gjør den samme analysen for Godunovs metode, får v samme utbredelsesuttrykk som Engqust-Oshers metode. Imdlertd er kke Godunov- uksen kontnuerlg derverbar over støtgvende ekstremumspunkter, så for slke tlfeller gjelder kke utlednngen. Hvs v sammenlgner uksene Godunovs metode og Engqust-Oshers metode, φ G (u L, u R ) og φ EO (u L, u R ), nner v at de er lke for alle tlfeller, unntatt når u L og u R lgger på hver sn sde av et støtgvende ekstremumspunkt. Fgur 4.19 vser et støtgvende maksmum med u L < u R. Med bruk av lgnngene (4.91) og (4.117) blr her φ G (u L, u R ) = mn f(u) = f(u R), (4.161) u [u L,u R ] φ EO (u L, u R ) = f(u L ) + ur u L f (v) dv = f(u L ) + f(u R ) f(u M ), (4.162)

111 4.7 Nøyaktghet 111 f(u) f(u) u L u M u R u u R u M u L u Fgur 4.19: Støtgvende maksmum. Fgur 4.20: Støtgvende mnmum. slk at φ EO φ G. Tlsvarende vser gur 4.20 et støtgvende mnmum med u R < u L. Her blr med bruk av lgnngene (4.91) og (4.118) φ G (u L, u R ) = ma f(u) = f(u L), (4.163) u [u R,u L ] φ EO (u L, u R ) = f(u R ) + ul u R f +(v) dv) = f(u R ) + f(u L ) f(u M ), (4.164) slk at φ EO φ G. Ulkhetene er generelle og kan sammenfattes tl [ φ EO (u L, u R ) φ G (u L, u R ) ] sgn(u L u R ) 0. (4.165) Ulkheten vser at Engqust-Oshers metode gr større utsmørng enn Godunovs metode når u L og u R lgger på hver sn sde av et støtgvende ekstremumspunkt. I alle andre tlfeller er uksene lke. V har utledet ulkhet (4.165) for å vse hvlken av de to metodene som gr størst utbredelse (utsmørng), men ulkheten har en vdere betydnng som v skal omtale det følgende. En ukskonsstent bevarelsesmetode hvor den dskrete uksen φ(u L, u R ) tlfredsstller ulkheten [φ(u L, u R ) f(u)] sgn(u L u R ) 0 (4.166) for alle u mellom u L og u R, kalles et E-skjema. Åpenbart gr Godunovs metode et E-skjema. Det følger av densjonen (4.91). Densjonen vser også at Godunovs metode er grensetlfellet, slk at et E-skjema må tlfredsstlle [ φ(ul, u R ) φ G (u L, u R ) ] sgn(u L u R ) 0. (4.167) Dette vser at ethvert E-skjema gr større utsmørng enn Godunovs metode. Osher vste at et E-skjema gr konvergens mot den entydge entropløsnngen. For eksplstte formulernger må man anta et CFL-lgnende krav. Ovenstående utlednng vser at Engqust-Oshers metode er et E-skjema. Av (4.81) følger at La-Fredrchs' metode er et E-skjema når CFL-betngelsen er oppfylt. V avrunder dette avsnttet med å gjeng en ltt nedslående setnng. La- Fredrchs', Engqust-Oshers og Godunovs metoder kalles førsteordens metoder ford avbruddsfelen går som (eller t). (I vrkelgheten går felen

112 112 4 Derensmetoder for skalare bevarelseslover som t t 0 som setnngen avsntt 4.6 vser.) Harten, Hyman og La vste følgende Setnng. En monoton bevarelsesmetode er av første orden. Slutnng. Det nnes ngen monotone bevarelsesmetoder med orden større enn Eksempel V skal belyse nøyaktgheten for metodene ved hjelp av et eksempel. Betrakt start-randverdoppgaven u t + f(u) = 0 for > 0 og t > 0, (4.168) u(, 0) = u R for > 0, (4.169) f(u(0, t)) = 1 for t > 0. (4.170) Fluksfunksjonen f(u) er vst gur Startverden u R er også vst - guren. Randkravet (4.170) gr u(0, t) = u L, hvor u L lkeledes er vst gur Start-randverdoppgaven er således ekvvalent tl et Remann-problem med startkrav som vst gur Løsnngen av Remann-problemet er for < 0 lk u L. For > 0 er løsnngen vst ved den stplede kurven gur Når løsnngen bestemmes ved hjelp av en derensmetode, er mdlertd dsse to formulerngene kke ekvvalente. Ved å benytte start-randverdoppgaven er man skret bevarelse for > 0, altså det området hvor løsnngen søkes. Fgurene 4.23, 4.24, 4.25, 4.26, 4.27 og 4.28 vser dskrete løsnnger av start-randverdoppgaven (4.168), (4.169) og (4.170). De benyttede metodene er Godunovs metode, La-Fredrchs' metode, Engqust-Oshers (eksplstte) metode og Engqust-Oshers mplstte varant. I gurene 4.23, 4.24, 4.25 og 4.26 ble det benyttet 20 gtterpunkter, mens løsnngen gurene 4.27 og 4.28 ble bestemt med 100 gtterpunkter. Tdsskrttet var alle kjørngene satt slk at CFL-faktoren f L t/ = 1. f(u) 1 u u L 0 u R u u L u R0 Fgur 4.21: Fluksfunksjon. Fgur 4.22: Startkrav.

113 4.7 Nøyaktghet 113 u u L u u L u R /t u R /t Fgur 4.23: Godunov (heltrukken) mot analytsk løsnng (stplet). 20 gtterpunkter. Fgur 4.24: Godunov (heltrukken) mot La-Fredrchs (stplet). 20 gtterpunkter. u u L u u L u R /t u R /t Fgur 4.25: Godunov (heltrukken) mot Engqust-Osher (stplet). 20 gtterpunkter. Fgur 4.26: Godunov (heltrukken) mot mplstt Engqust-Osher (stplet). 20 gtterpunkter. u u L u u L u R /t u R /t Fgur 4.27: Godunov (heltrukken) mot analytsk løsnng (stplet). 100 gtterpunkter. Fgur 4.28: Godunov (heltrukken) mot mplstt Engqust-Osher (stplet). 100 gtterpunkter.

114 114 4 Derensmetoder for skalare bevarelseslover Kjørngene bekrefter at blant de eksplstte metodene har Godunovs metode mnst utsmørng, mens La-Fredrchs' metode har størst utsmørng. Engqust-Oshers mplstte varant har omtrent lke stor utsmørng som La- Fredrchs' metode. For å få samme nøyaktghet Engqust-Oshers mplstte metode som Godunovs metode, må man rundt regnet benytte dobbelt så mange gtterpunkter. Implstte metoder for derensallgnnger av hyperbolsk karakter bør derfor bare benyttes dersom det er vktg å kunne ta lange tdsskrtt, eller dersom randkrav eller andre ledd lgnngen krever det.

115 Kapttel 5 Derensmetoder for systemer av bevarelseslover I dette kapttelet skal v se på derensmetoder for løsnng av kkelneære lgnngssystemer på formen u t + f(u) = 0. (5.1) Det nnes ngen konvergensbevs for derensmetoder for løsnng av lgnngssystemet (5.1). For skalare lgnnger kunne v kreve at derensmetoden skulle ha egenskapene lokal bevarelse, ukskonsstens og monoton, og derved oppnå konvergens. For systemer er det naturlg å kreve at de to første egenskapene er oppfylt. Monotonegenskapen gjelder mdlertd bare for skalare lgnnger, og det er kke kjent hvlken egenskap som kan erstatte monotonegenskapen for systemer. Man er derfor henvst tl å generalsere metodene for skalare lgnnger, og eventuelt teste dsse metodene på lgnngssystemer med kjente løsnnger. Åpenbart gr dette ngen garant for at en metode er korrekt for andre systemer hvor løsnngen kke er kjent. 5.1 Umddelbar generalserng To av de konvergente metodene som v fant for skalare lgnnger, kan umddelbart generalseres tl systemer La-Fredrchs' metode I avsntt omtalte v La-Fredrchs' metode. Bevarelsesformen for systemer er, som den skalare lgnngen (4.82), u n+1 u n t + φlf (u n, un +1 ) φlf (u n 1, un ) 115 = 0, (5.2)

116 116 5 Derensmetoder for systemer av bevarelseslover hvor uksen har samme form som lgnng (4.81): φ LF (u L, u R ) = 1 [ f(u L ) + f(u R ) ] 2 t (u R u L ). (5.3) Innsatt lgnng (5.2) fås, som det skalare tlfellet, u n+1 1 ( u n u n t [ +1) + f(u n 2 +1 ) f(u n 1) ] = 0. (5.4) Metoden er generell og enkel å mplementere, men sden metoden gr stor utsmørng det skalare tlfellet, må v regne med at det samme skjer for systemer Godunovs metode Godunovs metode ble omtalt for skalare lgnnger avsntt Bevarelsesformen for systemer er, som den skalare lgnngen (4.92), u n+1 Her er Godunov-uksen u n t n+1 + φg (u n, un +1 ) φg (u n 1, un ) = 0. (5.5) φ G (u n, u n +1) = f(u( +1/2, t)), (5.6) hvor u(, t) er løsnng tl derensallgnngen med startkrav u t + f(u) = 0, t > t n, (5.7) u(, t n ) = u n (). (5.8) Her er u n () = u n for ( 1/2, +1/2 ). Som det skalare tlfellet blr løsnngen av oppgaven (5.7) og (5.8) bestemt ved for hver celleskjøt +1/2 å løse Remann-problemet med derensallgnngen (5.7) og startkrav { u(, t n u n for < ) = +1/2, u n (5.9) +1 for > +1/2, se gur 4.9. Remann-løsnngen punktet +1/2 er gyldg så lenge ngen av bølgene fra naboveggene har nådd frem tl celleveggen +1/2 (se gur 4.10), altså for t t n + mn { } ρ(f ), (5.10) L hvor ρ(f (u)) er spektralraden tl Jacob-matrsen f (u). Tdsskrttet Godunovs metode er således begrenset av t n+1 mn { } ρ(f ). (5.11) L

117 5.1 Umddelbar generalserng 117 I det skalare tlfellet er løsnngen av Remann-problemet kjent, slk at Godunov-uksen (5.6) blr gtt ved (4.91). Slk er det kke for systemer av derensallgnnger. For systemer nnes det ngen generell formel for Godunov- uksen. For å kunne benytte Godunovs metode for systemer, må man derfor for hvert lgnngssystem skrve en Remann-løser som bestemmer Godunov- uksen (5.6). Her, som avsntt 4.5.2, har v formulert Godunovs metode ved å skrve den på bevarelsesformen (5.5). Løsnngen på tdsnvå t n+1 blr derved bestemt ved at man først bestemmer uksene φ G (u n, un +1 ) = f(u( +1/2, t)), og dernest benytter lgnng (5.5). Fluksene er bestemt ved løsnng av startverdoppgaven (5.7) og (5.8), som prakss løses ved å løse et Remannproblem for hver cellevegg. Alternatvt kan man benytte løsnngen u(, t) av oppgaven (5.7) og (5.8) drekte og denere u n+1 ved u n+1 = 1 +1/2 1/2 u(, t n+1 ) d. (5.12) Det er klart at densjonen (5.12) gr samme resultat som lgnng (5.5) så lenge uksene på celleveggene er konstante, dvs så lenge ulkhet (5.10) er oppfylt. Lgnng (5.12) gr derfor en alternatv formulerng for Godunovs metode. Denne formulerngen blr kke benyttet prakss, men den er nyttg ved formulerng av alternatve metoder og ved analyse av metodene. I Godunovs artkkel hvor metoden ble publsert, ble metoden denert med lgnng (5.12). Ved hjelp av lgnng (5.12) kan man enkelt bestemme hvordan entropfunksjonen utvkler seg for den dskrete løsnngen Godunovs metode. Ved å benytte ulkhet (3.88) med a = 1/2 og b = +1/2 og ntegrere fra t n tl t n+1, fås ulkheten +1/2 1/2 η ( u(, t n+1 ) ) +1/2 d η ( u(, t n ) ) d 1/2 t n+1 + ψ ( u( +1/2, t) ) t n+1 dt ψ ( u( 1/2, t) ) dt 0. (5.13) t n t n Her er η entropfunksjonen og ψ entropuksen. La u(, t) være løsnng tl oppgaven (5.7) og (5.8), og la t n+1 være begrenset av ulkhet (5.11). Da er u( ±1/2, t) konstant, og ulkhet (5.13) reduserer seg tl 1 +1/2 1/2 η ( u(, t n+1 ) ) d η ( u n ) t n+1 [ ( ψ u(+1/2, t) ) ψ ( u( 1/2, t) )]. (5.14)

118 118 5 Derensmetoder for systemer av bevarelseslover Sden entropfunksjonen η(u) er konveks, følger av lgnng (5.12) η ( ( ) u n+1 ) 1 +1/2 = η u(, t n+1 ) d 1 1/2 +1/2 1/2 η ( u(, t n+1 ) ) d. (5.15) I Godunovs metode er således η ( u n+1 ) ( ) η u n t n+1 [ ( ψ u(+1/2, t) ) ψ ( u( 1/2, t) )]. (5.16) Ulkhet (5.16) vser at entropfunksjonen for den dskrete løsnng Godunovs metode kke øker. Dette er overensstemmelse med entropbetngelsen. For skalare lgnnger er Godunovs metode optmal den forstand at den gr mndre utsmørng enn alle andre E-skjemaer (lgnng (4.167)). Trolg er det også slk for systemer at Godunovs metode gr mnst utsmørng. Ulempen med Godunovs metode er at den er avhengg av at man kan løse Remannproblemet for det aktuelle systemet. For mange systemer av lgnnger er løsnngen av Remann-problemet kke kjent. For de systemer av lgnnger hvor løsnngen av Remann-problemet er kjent, blr løsnngen av Remannproblemet vanlgvs bestemt ved løsnng av kkelneære lgnnger, se avsnttene og Løsnngen av Remann-problemet vl derfor alltd være omstendelg. Det er således god grunn tl å søke metoder som kan anvendes på en større klasse av problemer. De bør være raskere enn Godunovs metode, samtdg som utsmørngen kke blr vesentlg dårlgere enn Godunovs metode. 5.2 Lneært system med konstante koesenter I avsntt 4.1 omtalte v motstrømsderenser for den skalare lgnngen u t + au = 0. (5.17) Motstrømsderenser nnebærer at den romlge derverte skal tlnærmes med bakoverderenser for a > 0 og med foroverderenser for a < 0. Det er hensktsmessg å skrve dette på en enhetlg form, og for dette formål denerer v størrelsene a + = ma{a, 0}, a = mn{a, 0}. (5.18) Da er a + + a = a, (5.19) a + a = a, (5.20)

119 5.2 Lneært system med konstante koesenter 119 og metoden med motstrømsderenser kan formuleres u n+1 u n + tn+1 [ ( a+ u n u n ) ( 1 + a u n +1 u n )] = 0. (5.21) Lgnng (5.21) kan brnges på bevarelsesformen (4.21) ved å denere uksfunksjonen φ(u L, u R ) = a + u L + a u R. Det gjelder φ(u L, u R ) = a + u L + a u R = 1 2 (a + + a )(u L + u R ) 1 2 (a + a )(u R u L ) = 1 2 a(u L + u R ) 1 2 a (u R u L ). (5.22) For uksderensen fås da φ(u n, u n +1) φ(u n 1, u n ) = ( a + u n + a u n ( +1) a+ u n 1 + a u n ) = 1 [ ( 2 a u n + u n ) ( +1 a u n +1 u n )] [ ( 1 2 a u n 1 + u n ) ( a u n u n 1)] = 1 2 a ( u n +1 u n 1) 1 2 a ( u n +1 2u n + u n 1). (5.23) For = = konstant er sste ledd lgnng (5.23) en tlnærmelse tl a u (, t n ). Analysen avsntt vser at (5.21) gr en konvergent metode. Ovenstående motstrømsformulerng kan generalseres tl et system av m derensallgnnger med konstante koesenter. Et lgnngssystem på formen u t + Au = 0 (5.24) kan brnges på dagonalform ved å løse egenverdproblemet AR = RΛ. (5.25) Her er R = [r 1,..., r m ] og Λ = dag(λ 1,..., λ m ), hvor λ er en egenverd tl matrsen A og r er den tlhørende egenvektoren. V antar at lgnngssystemet (5.24) er hyperbolsk, slk at alle egenverdene er reelle, og egenvektorene utspenner rommet. Ved å multplsere med R 1 fås R 1 u t + R 1 Au = 0. (5.26) Sden A er konstant, er også R og Λ konstante. Med densjonen v = R 1 u forenkles lgnng (5.26) tl v t + Λv = 0. (5.27) Lgnngssystemet (5.27) har dagonalform, dvs det er et system av kke koblede lgnnger. V kan derfor anvende ovenstående motstrømsformulerng på hver enkelt lgnng lgnngssystemet (5.27). Sden metoden er konvergent

120 120 5 Derensmetoder for systemer av bevarelseslover for hver enkelt lgnng, må den også være konvergent for hele systemet. Som ovenfor denerer v Dermed blr og det gjelder λ + = ma{λ, 0}, λ = mn{λ, 0}. (5.28) Λ + = dag((λ ) + ), Λ = dag((λ ) ), (5.29) Λ + + Λ = Λ = dag(λ ), (5.30) Λ + Λ = Λ = dag( λ ). (5.31) Metoden med motstrømsderenser for lgnngssystemet (5.27) lyder derfor v n+1 v n + tn+1 [( Λ+ v n + Λ v n ) ( +1 Λ+ v n 1 + Λ v n )] = 0. (5.32) V kan omforme lgnng (5.32) tl en lgnng u. Analogt tl ovenstående densjoner denerer v A + = RΛ + R 1, (5.33) A = RΛ R 1, (5.34) A = R Λ R 1. (5.35) Merk at matrsene A ± og A bare kan bestemmes ved å løse egenverdproblemet (5.25). Med dsse densjonene gjelder A + + A = A, (5.36) A + A = A. (5.37) Ved å multplsere lgnngssystemet (5.32) med R og benytte u = Rv, fås u n+1 u n + tn+1 [( A+ u n + A u n ) ( +1 A+ u n 1 + A u n )] = 0. (5.38) Lgnngssystemet (5.38) har bevarelsesform med uks φ(u L, u R ) = A + u L + A u R = 1 2 (A + + A )(u L + u R ) 1 2 (A + A )(u R u L ) For uksderensen gjelder = 1 2 A(u L + u R ) 1 2 A (u R u L ). φ(u n, u n +1) φ(u n 1, u n ) = ( A + u n + A u n ( +1) A+ u n 1 + A u n ) = 1 [ ( 2 A u n + u n ) ( +1 A u n +1 u n )] 1 [ ( 2 A u n 1 + u n ) ( A u n u n 1)] = 1 2 A ( u n +1 u n 1) 1 2 A ( u n +1 2u n + u n 1). (5.39) (5.40)

121 5.2 Lneært system med konstante koesenter 121 Uttrykket (5.40) har samme form som uttrykk (5.23). Merk at matrsen A, som er denert (5.35), er lkedannet med dagonalmatrsen Λ, slk at alle egenverdene tl A er kkenegatve. Matrsen A behøver mdlertd kke være postvt semdentt, hvlket (4.70) er et eksempel på Remann-problemet for lneære systemer Sden Remann-problemet er så vktg ved bruk av derensmetoder, har det nteresse å løse Remann-problemet for lgnngssystemet (5.24). V skal anta at u er en m-vektor. Startkrav for oppgaven er som tdlgere gtt ved { u L for < 0, u(, 0) = (5.41) u R for > 0. Sden koesentmatrsen A er uavhengg av u, må samtlge elementærbølger for det lneære systemet (5.24) være kontaktdskontnuteter. Dsse har hastghet λ, = 1,..., m. Mellom kontaktdskontnutetene er løsnngen konstant. I gur 5.1 er løsnngen vst for et tlfelle med m = 3. Sden en kontaktdskontnutet er en degenerert fortynnngsbølge, kommer man fra en konstant tlstand tl den neste ved å ntegrere u-rommet langs egenvektoren r tlhørende egenverden λ. Men sden egenvektorene er uavhengge av u, blr forskjellen mellom to konstante tlstander smpelthen et multplum av egenvektoren. For å løse Remann-problemet betrakter v derfor lgnngssystemet u L u R = Rα, (5.42) hvor R = [r 1,..., r m ] og α = [α 1,..., α m ] T. Med løsnng av lgnng (5.42) blr spranget u L u R utvklet egenvektorene: u L u R = m α j r j. (5.43) Betegn de konstante tlstandene mellom u L og u R med u k. Tlstandene nummereres fra venstre mot høyre, slk at u 0 = u L og u m = u R (se gur j=1 t λ 1 λ 2 λ 3 u 0 = u L u 1 u 2 u 3 = u R Fgur 5.1: Kontaktdskontnuteter.

122 122 5 Derensmetoder for systemer av bevarelseslover 5.1). V skal benytte ansatsen u k = u L k α j r j, k = 0,..., m. (5.44) j=1 At lgnng (5.44) gr en løsnng av Remann-problemet, vses ved å godtgjøre at kontaktdskontnutetene tlfredsstller Rankne-Hugonots sprangbetngelse (2.60). Av ansatsen (5.44) følger for spranget over dskontnutet k: Således er slk at u k u k 1 = α k r k. (5.45) Au k Au k 1 = α k Ar k = α k λ k r k, (5.46) Au k Au k 1 = λ k (u k u k 1 ). (5.47) Ansatsen (5.44) tlfredsstller altså Rankne-Hugonots sprangbetngelse, og er følgelg en løsnng av Remann-problemet. V kan benytte Remann-løsnngen tl å vse hva Godunovs metode blr for det lneære lgnngssystemet (5.24). Anta at matrsen A har k negatve egenverder og m k kkenegatve egenverder. Da blr Godunov-uksen φ G (u L, u R ) = Au k k = A u L α j r j j=1 k = Au L α j λ j r j j=1 m = Au L 1 2 α j λ j r j j=1 m α j λ j r j j=1 m = Au L 1 2 A m α j r j A α j r j j=1 j=1 = Au L 1 2 A(u L u R ) A (u L u R ) = 1 2 A(u L + u R ) 1 2 A (u R u L ) = 1 2 (A + + A )(u L + u R ) 1 2 (A + A )(u R u L ) = A + u L + A u R. (5.48) Her har v gjort bruk av densjonene (5.33) tl (5.35). En sammenlgnng med lgnng (5.39) vser at for et lneært lgnngssystem med konstante koef- senter gr Godunovs metode samme uks som metoden med motstrømsdfferenser. Dette er overensstemmelse med tlsvarende sammenfall for skalare lgnnger.

123 5.3 Roes metode Roes metode Lnearserng er en vanlg teknkk ved løsnng av kkelneære lgnnger, og denne teknkken benyttes også ved løsnng av lgnngssystemet (5.1). Man erstatter da Jacob-matrsen f (u) med en konstant matrse A, og benytter teoren fra avsntt 5.2. I Roes metode gjøres dette på følgende måte. På tdsnvå t n er løsnngen gtt ved u(, t n ) = u n for ( 1/2, +1/2 ). Slk som Godunovs metode løser man et Remann-problem for hver cellevegg +1/2, men stedenfor lgnngssystemet (5.1) benyttes nå det lnearserte lgnngssystemet u t + A(u L, u R )u = 0, t > t n. (5.49) Startkravet lyder som før u(, t n ) = { u L = u n for < +1/2, u R = u n +1 for > +1/2. (5.50) Den lnearserte matrsen A(u L, u R ), som er en funksjon av u-verdene på hver sde av celleveggen, må tlfredsstlle følgende betngelser: f(u L ) f(u R ) = A(u L, u R )(u L u R ), (5.51) A(u L, u R ) f (u) når u L, u R u. (5.52) Dessuten kreves at A(u L, u R ) har bare reelle egenverder med egenvektorer som utspenner rommet, slk at lgnngssystemet (5.49) blr hyperbolsk. Roe gav en fremgangsmåte for å bestemme lnearserte matrser A som tlfredsstller dsse betngelsene for vsse lgnngssystemer. Denne fremgangsmåten skal v komme tlbake tl nedenfor. Løsnngen på tdsnvå t n+1 er, på samme måte som Godunovs metode, gtt ved mddelverden (5.12), hvor nå u(, t) er løsnngen tl oppgavene (5.49) og (5.50). Løsnngen er entydg denert så lenge t er så lten at ngen av bølgene fra nabocellevegger vekselvrker. V skal benytte denne løsnngen for små t tl å bestemme uksuttrykket φ R (u L, u R ) bevarelsesformen for Roes metode. La u 0 = u( +1/2, t). Lgnngssystemet (5.49) gr da uksen Au 0 +1/2. I et punkt +1 ( +1/2, +3/2 ) er uksen Au R (så lenge bølgene fra celleveggene kke har nådd frem tl +1 ). Den vrkelge uksen +1 er mdlertd f(u R ). V må derfor denere uksen φ R (u L, u R ) +1/2 slk at uksderensen blr den samme: φ R (u L, u R ) f(u R ) = Au 0 Au R. (5.53) Dette garanterer at opphopnngen ntervallet ( +1/2, +1 ) blr den samme for derenslgnngen som for lgnngssystemet (5.49). Tlsvarende kan v betrakte uksen et punkt ( 1/2, +1/2 ). Lgnngssystemet (5.49) gr

124 124 5 Derensmetoder for systemer av bevarelseslover uksen Au L dette punktet, mens den vrkelge uksen er f(u L ). Således må f(u L ) φ R (u L, u R ) = Au L Au 0. (5.54) Dette garanterer lk opphopnng ntervallet (, +1/2 ). Sden lgnng (5.54) følger av lgnngene (5.53) og (5.51), er mdlertd lgnng (5.54) overødg. Roes metode på bevarelsesform lyder således u n+1 hvor uksen er gtt ved u n t n+1 + φr (u n, un +1 ) φr (u n 1, un ) = 0, (5.55) φ R (u L, u R ) = f(u R ) + Au 0 Au R = f(u R ) A(u L + u R ) 1 2 A (u R u L ) Au R = f(u R ) A(u L u R ) 1 2 A (u R u L ) = f(u R ) + 1 2( f(ul ) f(u R ) ) 1 2 A (u R u L ) = 1 2( f(ul ) + f(u R ) ) 1 2 A (u R u L ). (5.56) Her er det gjort bruk av lgnngene (5.39) og (5.51). Lgnngene (5.55) og (5.56) denerer entydg Roes metode for en gtt lnearserng A(u L, u R ). V skal nå se på Roes fremgangsmåte for lnearserng av Jacob-matrsen f (u). En enkel måte å tlfredsstlle betngelsene (5.51) og (5.52) på fremkommer ved å ntegrere f (u) langs en kurve u-rommet. Hvs denne kurven er gtt ved u(θ) = u L + (u R u L )θ, θ [0, 1], (5.57) fås 1 1 df(u(θ)) df(u) f(u R ) f(u L ) = dθ = 0 dθ 0 du [ 1 ] = f (u(θ)) dθ (u R u L ). 0 du dθ dθ (5.58) Ved å sette A(u L, u R ) = 1 0 f (u(θ)) dθ (5.59) blr betngelsene (5.51) og (5.52) tlfredsstlt. Imdlertd vl denne matrsen almnnelghet kke g en dagonalserbar matrse med reelle egenverder. I tllegg vl dette ntegralet generelt kke g et uttrykk på lukket form. Hvs man steden nnfører en bjektv parametrserng z(u), og ntegrerer langs z(θ) = z L + (z R z L )θ, θ [0, 1], (5.60)

125 5.3 Roes metode 125 fås og 1 1 df(z(θ)) df(z) dz f(u R ) f(u L ) = dθ = 0 dθ 0 dz dθ dθ [ 1 ] = f (z(θ)) dθ (z R z L ) = C(z R z L ) du(z(θ)) du(z) dz u R u L = dθ = 0 dθ 0 dz dθ dθ [ 1 ] = u (z(θ)) dθ (z R z L ) = B(z R z L ). 0 (5.61) (5.62) Dsse lgnngene gr hvor f(u R ) f(u L ) = A(u R u L ), (5.63) A = CB 1. (5.64) Lgnng (5.64) vl alltd tlfredsstlle betngelsene (5.51) og (5.52). Ved et hensktsmessg valg av parametrserng z(u) kan man for vsse systemer oppnå at A = f (ũ), hvor ũ er et punkt u-rommet, og dette garanterer åpenbart at matrsen A blr dagonalserbar med reelle egenverder. Roe-lnearserngen kan mdlertd g ufyskalske løsnnger (f.eks. negatve høyder h gruntvannslgnngene). For enkelte Remann-problemer kan det vses at ngen lnearserng gr gyldge fyskalske løsnnger. Lnearserng må således benyttes med forsktghet for kkelneære hyperbolske bevarelseslover Roes lnearserng for gruntvannslgnngene V skal vse hvordan Roes lnearserng blr for gruntvannslgnngene (1.21) eller (3.26). Lgnngene har formen hvor u = [u 1, u 2 ] T = [h, hu] T og u t + f(u) = 0, (5.65) [ ] hu f(u) = hu (5.66) 2 gh2 Jacob-matrsen f (u) er gtt ved lgnng (3.28). Roes parametrserng lyder her z(u) = 1 u = 1 [ ] [ ] h = h. (5.67) h h hu hu

126 126 5 Derensmetoder for systemer av bevarelseslover Med denne parametrserngen blr [ ] [ ] z 2 u(z) = 1, u 2z1 0 (z) = z 1 z 2 z 2 z 1 og [ f(z) = z 1 z 2 z gz4 1 (5.68) ] [ ], f z2 z (z) = 1 2gz1 3. (5.69) 2z 2 Med z = 1 2 (z L + z R ) og h = 1 2 (h L + h R ) gr ntegrasjon og C = B = [ ] u 2 z1 0 (z(θ)) dθ = z 2 z 1 (5.70) [ ] f z2 z (z(θ)) dθ = 1. (5.71) 2g z 1 h 2 z2 Dermed blr 0 1 [ ] A = CB 1 ( ) = 2 z2 g h 2 z = g h û 2, (5.72) 2û z 1 z 1 hvor û = z 2 hl u L + h R u = R z 1 hl +. (5.73) h R En sammenlgnng med f (u) gtt ved uttrykk (3.28) vser at A = f (ũ), hvor ũ = [ h, hû] T Roes metode for skalare lgnnger For skalare lgnnger reduserer uksutrykkene Roes metode seg tl enkle analytske uttrykk som kan analyseres ved hjelp av teoren fra kapttel 4. For en skalar uksfunksjon f(u) gr Roes lnearserng (5.51) den entydge løsnngen a = f(u R) f(u L ) u R u L. (5.74) Innsatt lgnng (5.56) fås for Roe-uksen det skalare tlfellet { φ R mn {f(u L ), f(u R )} for u L u R, (u L, u R ) = ma {f(u L ), f(u R )} for u R u L. (5.75) Uttrykk (5.75) kan sammenlgnes med uttrykket for Godunov-uksen (4.91). Uttrykkene er lke for alle tlfeller unntatt når u L < u R og punktene lgger på hver sn sde av et mnmumspunkt for f(u), eller når u R < u L og punktene lgger på hver sn sde av et maksmumspunkt for f(u). Løsnngen av

127 5.3 Roes metode 127 f(u) f(u) u L u M u R u u R u M u L u Fgur 5.2: Sonsk mnmum. Fgur 5.3: Sonsk maksmum. Remann-problemet med u L og u R som henholdsvs venstre- og høyretlstand er begge dsse tlfellene en fortynnngsbølge som nneholder et sonsk punkt (dvs et punkt u hvor f (u) = 0). Slke fortynnngsbølger kalles sonske fortynnngsbølger, og de tlhørende ekstrema kalles sonske mnma og maksma. Fluksfunksjonen gur 4.13 nneholder et sonsk mnmum. Fgur 5.2 vser et sonsk mnmum med u L < u R. Her blr uksuttrykkene Godunovs og Roes metoder φ G (u L, u R ) = mn f(u) = f(u M), (5.76) u [u L,u R ] φ R (u L, u R ) = mn{f(u L ), f(u R )}, (5.77) slk at φ R φ G. Tlsvarende vser gur 5.3 et sonsk maksmum med u R < u L. Her blr φ G (u L, u R ) = ma f(u) = f(u M), (5.78) u [u R,u L ] φ R (u L, u R ) = ma{f(u L ), f(u R )}, (5.79) slk at φ R φ G. Ulkhetene er generelle og kan sammenfattes tl [ φ R (u L, u R ) φ G (u L, u R ) ] sgn(u L u R ) 0. (5.80) Ulkheten vser at Roes metode gr mndre utsmørng enn Godunovs metode når u L og u R lgger på hver sn sde av et sonsk ekstremum. I alle andre tlfeller er uksene lke. Hvs v sammenlgner ulkhet (5.80) med betngelsen (4.167), ser v at det skalare tlfellet gr Roes metode kke et E-skjema. V må derfor vente at Roes metode kke gr konvergens mot rktg løsnng når løsnngen nneholder en sonsk fortynnngsbølge. Et enkelt eksempel fremkommer gjennom Remann-problemet (4.49) og (4.50). Løsnngen av dette er en sonsk fortynnngsbølge som er vst gurene 4.7 og 4.8. Sden her f(u L ) = f(u R ) = 1/2, blr Roe-uksen (5.75) φ R (u L, u R ) = 1 2. (5.81) Følgelg blr løsnngen av (4.49) og (4.50) med Roes metode u n = u 0. Løsnngen er kke en fortynnngsbølge, men et støt som står ro. Støtet tlfredsstller

128 128 5 Derensmetoder for systemer av bevarelseslover f, ˆf f, f u L u R u u L u S u R u Fgur 5.4: Korde mellom u L og u R. Fgur 5.5: Entropkorreksjon: tangenter mellom u L og u R. Rankne-Hugonots sprangbetngelse (2.60), men kke Olejnks entropbetngelse (2.120). For systemer deneres et sonsk punkt med ndeks som et punkt u med λ (u) = 0, hvor λ (u) er en egenverd tl Jacob-matrsen f (u). Ovenstående drøftelse ndkerer at Roes metode bryter entropbetngelsen når løsnngen nneholder en fortynnngsbølge med et sonsk punkt med samme ndeks som fortynnngsbølgen. Det er derfor vanlg å korrgere Roes metode for sonske fortynnngsbølger med en såkalt entropkorreksjon. V skal vse et eksempel på en slk entropkorreksjon for det skalare tlfellet. I det skalare tlfellet gr Roes lnearserng (5.74) en tlnærmelse tl uksfunksjonen som er gtt ved korden mellom u L og u R. Dette er vst gur 5.4. Anvender man Godunovs metode (4.91) på den lnearserte uksfunksjonen ˆf, får man Roe-uksen (5.75). For sonske ekstrema kan en entropkorreksjon lages ved at man erstatter korden mellom u L og u R med en brudden lnje mellom punktene, hvor den brudne lnjen består av tangentene tl f(u) punktene u L og u R. Dette er vst gur 5.5. Istedenfor en lneær funksjon ˆf(u) mellom u L og u R fås altså nå en stykkevs lneær funksjon f(u) mellom dsse punktene. Ved å anvende Godunovs metode på den stykkevs lneære funksjonen f(u) mellom u L og u R, fås uksen φ R (u L, u R ) = f(u S ), (5.82) hvor u S er skjærngspunktet mellom de to tangentene (se gur 5.5). Hvs uksfunksjonen kke har vendepunkt, gjelder med korreksjonen (5.82) for sonske ekstrema [ φ R (u L, u R ) φ G (u L, u R ) ] sgn(u L u R ) 0. (5.83) Ulkheten vser at Roe-skjemaet dette tlfellet er et E-skjema. For skalare lgnnger med uksfunksjon uten vendepunkt gr metoden dermed konvergens mot entropløsnngen. For uksfunksjoner med vendepunkt er det lett å nne eksempler hvor entropkorreksjonen (5.82) kke oppfyller ulkhet (5.83) (se gur 5.5).

129 5.3 Roes metode 129 Den beskrevne entropkorreksjonen kalles Harten-Hymans entropkorreksjon. Den kan generalseres tl systemer, og ovenstående analyse ndkerer at den korrgerte metoden gr konvergens mot rktg løsnng for systemer med ekte kkelneære egenfelt. Det nnes ere alternatve entropkorreksjoner. V skal mdlertd kke drøfte de ulke entropkorreksjonene her. 5.4 Oshers metode I avsntt behandlet v Engqust-Oshers metode for skalare lgnnger. Metoden kan på en naturlg måte generalseres tl systemer ved hjelp av pluss- og mnusfunksjoner som er analoge tl densjonene avsntt 5.2. Metoden, som kalles Oshers metode, skal omtales dette avsnttet. V betrakter et lgnngssystem med m lgnnger u t + f(u) = 0. (5.84) Pluss- og mnusfunksjonene deneres ved hjelp av løsnngen av egenverdproblemet f (u)r(u) = R(u)Λ(u), (5.85) hvor f (u) er Jacob-matrsen tl uksfunksjonen f(u). Her er R(u) = [r 1 (u),..., r m (u)] og Λ(u) = dag (λ 1 (u),..., λ m (u)), hvor λ (u) er en egenverd tl matrsen f (u), og r (u) er den tlhørende egenvektoren. Som tdlgere antar v at lgnngssystemet er hyperbolsk, slk at alle egenverdene er reelle, og egenvektorene utspenner rommet. Som avsntt 5.2 denerer v Dermed blr og det gjelder λ + (u) = ma{λ(u), 0}, λ (u) = mn{λ(u), 0}. (5.86) Λ + (u) = dag((λ ) + (u)), Λ (u) = dag((λ ) (u)), (5.87) Λ + (u) + Λ (u) = Λ(u) = dag(λ (u)), (5.88) Λ + (u) Λ (u) = Λ(u) = dag( λ (u) ). (5.89) V kan nå denere pluss- og mnusfunksjoner samt absoluttfunksjonen for Jacob-matrsen f (u): f +(u) = R(u)Λ + (u)r 1 (u), (5.90) f (u) = R(u)Λ (u)r 1 (u), (5.91) f (u) = R(u) Λ(u) R 1 (u). (5.92)

130 130 5 Derensmetoder for systemer av bevarelseslover Dermed blr f +(u) + f (u) = f (u), (5.93) f +(u) f (u) = f (u). (5.94) Lgnngene (5.90) tl (5.94) er analoge tl lgnngene (5.33) tl (5.37) avsntt 5.2. Metoden kan nå formuleres: [ u u n+1 u n + tn+1 n ] u n f +1 +(u) du + f (u) du = 0. (5.95) u n 1 Lgnngen er kke entydg, ettersom ntregrasjonsveen u-rommet ennå kke er oppgtt. Integrasjonsveen skal v komme tlbake tl nedenfor. Lgnng (5.95) er analog tl lgnng (4.108) Engqust-Oshers metode. Lgnng (5.95) kan skrves på bevarelsesform gjennom følgende omformng. Av lgnngene (5.93) og (5.94) følger u n u n 1 f +(u) du + u n +1 u n f (u) du u n = u n u n 1 f +(u) du + u n +1 u n ( f (u) f +(u) ) du (5.96) og = f(u n +1) f(u n ) u n +1 u n u n f +(u) du + f +(u) du u n 1 u n u n 1 u n f +1 +(u) du + u n f (u) du = u n u n 1 ( f (u) f (u) ) u n +1 du + f (u) du u n (5.97) = f(u n ) f(u n 1) + Ved addsjon fås u n u n 1 = 1 2 = 1 2 [ f +(u) du + u n +1 u n f(u n +1) f(u n 1) u n +1 u n f (u) du f (u) du u n u n u n 1 f (u) du. u n +1 ( f + (u) f (u) ) u n ( du + f + (u) f (u) ) ] du u n u n 1 [ f(u n +1 ) f(u n 1) ] [ 1 u n +1 f (u) u n du f (u) ] du. 2 u n 1 (5.98)

131 5.4 Oshers metode 131 Ved å denere φ O (u L, u R ) = 1 2( f(ul ) + f(u R ) ) 1 2 ur u L f (u) du (5.99) følger av (5.98) at lgnng (5.95) kan skrves på bevarelsesformen u n+1 u n t n+1 + φo (u n, un +1 ) φo (u n 1, un ) = 0. (5.100) Åpenbart er heller kke Osher-uksen (5.99) entydg denert så lenge ntegrasjonsveen kke er oppgtt. Det nnes alternatve uttrykk for uksen (5.99). Sden f (u) = f +(u) f (u) = f (u) 2f (u), (5.101) er ur φ O (u L, u R ) = 1 2( f(ul ) + f(u R ) ) 1 2 f (u) du + ur u L = f(u L ) + u L f (u) du. ur u L f (u) du (5.102) Tlsvarende følger av f (u) = f +(u) f (u) = 2f +(u) f (u) (5.103) at φ O (u L, u R ) = 1 2( f(ul ) + f(u R ) ) ur f +(u) du u L ur = f(u R ) f +(u) du. u L ur u L f (u) du (5.104) V vender oss nå tl ntegrasjonsveen Oshers metode. Integrasjonsveen ovenstående ntegraler bestemmes ved å ntegrere u-rommet fra u L tl u R langs fortynnngsbølgene med ndeks m, m 1,..., 1, denne rekkefølgen. Denne rekkefølgen er kanskje noe uventet, og den motsatte av rekkefølgen Remann-problemets løsnng! Løsnngen av et Remann-problem bestemmes ved å danne en følge av elementærbølger med økende ndeks som forbnder u L med u R. Dette er vst for m = 2 gur 5.6, hvor u L er forbundet med u R med fortynnngsbølgefølgen R 1 R 2. Integrasjonsveen Oshers metode bestemmes mdlertd ved å danne en følge av fortynnngsbølger med avtagende ndeks som forbnder u L med u R. Dette er vst for m = 2 gur 5.7, hvor u L er forbundet med

132 132 5 Derensmetoder for systemer av bevarelseslover u 2 R 2 u R u 2 u R R 1 u1 R 1 R 2 R 1 R 2 S 2 u L S 1 u L u 1 u 1 Fgur 5.6: Remann-problem: R 1 R 2 forbnder u L med u R. Fgur 5.7: Oshers metode: R 2 R 1 forbnder u 2 = u L med u 0 = u R. u R med fortynnngsbølgefølgen R 2 R 1. Sden dette bare er en ntegrasjonsve, behøver kke den karakterstske hastgheten øke fra venstre mot høyre nnenfor fortynnngsbølgene og fra fortynnngsbølge tl fortynnngsbølge. En drøftelse av ntegrasjonsveen Oshers metode er gtt [21]. For å bestemme ntegrasjonsveen Oshers metode, settes først u m = u L og u 0 = u R. Dernest bestemmer man punktene u k for k = m 1,..., 1, slk at kurven u k u k 1 blr en fortynnngsbølge med ndeks k. Skjærngspunktene u k bestemmes enklest ved hjelp av de Remannske nvarantene. Etter at punktene u k, k = m 1,..., 1, er bestemt, gjenstår det å beregne ntegralene lgnng (5.95). V skal vse hvordan løsnngen blr dersom egenfeltene er ekte kkelneære ( λ k r k 0). Fortynnngsbølgene nneholder da høyst ett sonsk punkt (dvs egenverdene skfter fortegn høyst én gang fortynnngsbølgen). Dette er for eksempel tlfellet for gruntvannslgnngene. V skrver ntegralene lgnng (5.95) på formen ur u L f ±(u) du = m k=1 uk 1 u k f ±(u) du, (5.105) hvor u m = u L og u 0 = u R. Her skal hvert ntegral summen beregnes langs fortynnngsbølge k. Med du/dθ = r k gjelder altså uk 1 u k f ±(u) du = θk 0 f ±(u)r k (u) dθ = θk 0 (λ k ) ± (u)r k (u) dθ. (5.106) I sste overgang er det gjort bruk av at r k (u) er en egenvektor tl matrsen f ±(u) tlhørende egenverden (λ k ) ± (u). Integrasjonsgrensene er valgt slk at u(0) = u k og u(θ k ) = u k 1. V skal vse hvordan ntegralet (5.106) med plussfunksjonene kan bestemmes. Beregnngen med mnusfunksjonene blr analog. Hvs λ k (u) > 0 fortynnngsbølgen mellom u k og u k 1, blr ntegralet

133 5.4 Oshers metode 133 (5.106) for plussfunksjonen uk 1 u k f +(u) du = θk 0 λ k (u)r k (u) dθ = = uk 1 θk 0 f (u)r k (u) dθ u k f (u) du = f(u k 1 ) f(u k ). (5.107) Hvs λ k (u) 0 fortynnngsbølgen, blr (λ k ) + (u) = 0, slk at ntegralet forsvnner. Når λ k (u) kke skfter fortegn fortynnngsbølgen mellom u k og u k 1, blr således ntegralet (5.106) for plussfunksjonen { uk 1 f f(u k 1 ) f(u k ) for λ k (u) > 0, +(u) du = (5.108) u k 0 for λ k (u) 0. Hvs λ k (u) skfter fortegn mellom u k og u k 1, kan v få følgende stuasjoner. La ũ k være det punkt hvor λ k (u) skfter fortegn, dvs ũ k er et (ekte eller falskt) sonsk punkt. Hvs λ k > 0 fra u k tl ũ k, og λ k < 0 fra ũ k tl u k 1, blr ntegralet (5.106) for plussfunksjonen uk 1 u k f +(u) du = f(ũ k ) f(u k ). (5.109) Hvs λ k < 0 fra u k tl ũ k, og λ k > 0 fra ũ k tl u k 1, blr ntegralet (5.106) for plussfunksjonen uk 1 u k f +(u) du = f(u k 1 ) f(ũ k ). (5.110) Dersom egenfeltet er lneært degenerert ( λ k r k 0), er egenverden konstant langs kurven du/dθ = r k. Man får da ntet fortegnsskfte mellom u k og u k 1, og ntegralet for plussfunksjonen blr gtt ved (5.108). Bestemmelsen av ntegralet (5.106) for mnusfunksjonen går på samme måte. Med dette er Oshers metode fullstendg beskrevet. Som man ser, krever metoden kjennskap tl egenfeltene og skjærngspunktene tlstandsrommet for den valgte rekkefølge av fortynnngsbølgene.

134 Kapttel 6 Høyere ordens metoder for skalare lgnnger I avsntt 4.7 argumenterte v for at det kke nnes konvergente metoder med orden større enn 1, og at den beste av alle førsteordens metoder er Godunovs metode. I avsntt 4.3 drøftet v La-Wendros metode. Den er av annen orden og derfor kke monoton. V vste at den gav fel løsnng ved et sonsk punkt. I dette kapttelet skal v drøfte metoder som er av annen orden der hvor uksfunksjonen kke har ekstremumspunkter, men som synker tl første orden rundt ekstremumspunktene. V kan kke vse konvergens for dsse metodene, men man kan vse egenskaper som konvergente metoder må oppfylle (TVD). Det nnes heller kke noe moteksempel som tyder på at metodene kke er konvergente. 6.1 Total varasjon V betrakter et Cauchy-problem med den skalare lgnngen u t + f(u) = 0. (6.1) La { }, =,...,, være mengden av alle ekstremumspunkter for u(, t) for en gtt t, og anta at > 1 for alle. Den totale varasjon for u ved tdspunkt t deneres da som TV R u(, t) = = u(, t) u( 1, t). (6.2) For at den totale varasjon skal bl endelg, må u(, t) gå mot konstante verder når ±. V skal vse at den totale varasjon for løsnngen av den skalare lgnngen (6.1) kke kan øke. Fgur 6.1 vser re karakterstkker 1 (t), 2 (t), y 1 (t), y 2 (t), og en støtkurve ξ(t). V skal anta at løsnngen er glatt mellom 1 (t) og y 1 (t) og mellom 134

135 6.1 Total varasjon 135 t 1 t ξ 1 (t 1 ) 2 (t 1 ) 1 y 1 y 2 2 t 0 1 (t 0 ) y 1 (t 0 ) y 2 (t 0 ) 2 (t 0 ) Fgur 6.1: Karakterstkker og støt. y 2 (t) og 2 (t). Sden løsnngen av (6.1) er konstant langs karakterstkkene, gjelder for den totale varasjon TV u(, t 1) [ 1 (t 1 ), 2 (t 1 )] = TV [ 1 (t 1 ),y 1 (t 1 )] u(, t 1) + u(y 1 (t 1 )) u(y 2 (t 1 )) + TV [y 2 (t 1 ), 2 (t 1 )] u(, t 1) TV u(, t 0) + TV u(, t 0) + TV u(, t 0) [ 1 (t 0 ),y 1 (t 0 )] [y 1 (t 0 ),y 2 (t 0 )] [y 2 (t 0 ), 2 (t 0 )] = TV [ 1 (t 0 ), 2 (t 0 )] u(, t 0). (6.3) Følgelg er den totale varasjon ved tdspunkt t 1 mndre enn eller lk den totale varasjon ved tdspunkt t 0, hvor t 0 < t 1. For en dskret funksjon u n deneres den totale varasjon ved TV u n = = u n u n 1. (6.4) Hvs u n er en tlnærmelse tl løsnngen av derensallgnngen (6.1), vlle v ønske at TV u n+1 TV u n. (6.5) Metoder hvor løsnngen tlfredsstller ulkhet (6.5), ses å ha mnkende total varasjon, og kalles TVD-metoder. TVD er en forkortelse for total varaton dmnshng. For bevarelsesmetoder gjelder følgende Setnng. En monoton metode er TVD. Lkeledes er et E-skjema en TVDmetode. Det er kke vst konvergens for TVD-metoder. Imdlertd kan det vses at en bevarelsesmetode som er ukskonsstent og TVD, vl konvergere mot en svak løsnng av (6.1), men kke nødvendgvs mot entropløsnngen.

136 136 6 Høyere ordens metoder for skalare lgnnger 6.2 Metoden med helnngsbegrensnng Godunovs metode ble behandlet avsntt I dette avsnttet skal v se på en metode hvor de konstante celleverdene u n Godunovs metode erstattes av lneære funksjoner. På denne måten blr løsnngen bedre representert, og en mer nøyaktg løsnng kan forventes. Skjønt v formulerte Godunovs metode ved hjelp av bevarelsesformen (4.92), har v sett at metoden kan formuleres slk at den består av tre trnn. V skal benytte dsse tre trnnene tl å formulere den avledede metoden av høyere orden. 1. Gtt dataene {u n }. Bestem lneære funksjoner ũn = u n + σn ( ). 2. Løs bevarelsesloven eksakt med dsse startdataene, og kall løsnngen ũ n (, t) for t > tn. 3. På tdsnvå t n+1 settes u n+1 celle. lk mddelverden av ũ n (, tn+1 ) hver Trnn 2 og 3 er åpenbart TVD. For at hele metoden skal bl TVD, må v derfor konstruere trnn 1 slk at også det blr TVD. Det oppnås eksempelvs gjennom mnmodfunksjonen. Denne er denert gjennom a for ab > 0 og a b, mnmod(a, b) = b for ab > 0 og b a, (6.6) 0 for ab 0. Helnngen under trnn 1 kan nå deneres ved σ n = 1 mnmod(u n +1 u n, u n u n 1). (6.7) V ser at hvs begge helnngene har same fortegn, benytter mnmodfunksjonen den helnngen som er mnst tallverd. Dersom helnngene har motsatt u n 3 u n 2 u n +2 u n 1 u n u n +1 Fgur 6.2: Lneære cellefunksjoner bestemt med mnmodfunksjonen.

137 6.2 Metoden med helnngsbegrensnng 137 f(u) u n 1 u n u n +1 u u n +1 u n u n 1 u n 2 Fgur 6.3: Lnearserng av uksfunksjonen. Fgur 6.4: Lneære cellefunksjoner. fortegn, dvs ved et ekstremumspunkt, velger mnmod null helnng. Dette nnebærer at trnn 1 blr TVD, se gur 6.2. Trnn 2 ovenstående algortme krever løsnng av derensallgnngen (6.1) med stykkevs lneære data. Generelt kan v kke løse denne oppgaven eksakt, og v er henvst tl å søke tlnærmede løsnnger. V kan lnearsere uksfunksjonen, og bestemme løsnngen tl derensallgnngen med den lnearserte uksfunksjonen. En slk lnearserng ble også benyttet Roes metode. V så avsntt 5.3 at ved lnearserng krever sonske punkter en spesell behandlng. Sden v her bare ønsker å belyse deene, skal v anta at f (u) kke skfter fortegn. Vdere skal v anta at dataene er monotone. Dette nnebærer at lnearserngen gr en ny uksfunksjon ˆf(u) som er en god tlnærmelse tl den opprnnelge. La oss derfor her anta at f (u) > 0, og at dataene {u n } er monotont avtagende for voksende. V har da en stuasjon som vst gurene 6.3 og 6.4. Alle karakterstkkene løper fra venstre mot høyre, og det er forholdsvs enkelt å bestemme løsnngen på celleveggene +1/2, se gur 6.5. V skal bestemme løsnngen û(, t) av den lnearserte derensallgnngen med stykkevs lneære startdata. Funksjonen û(, t) blr dermed en tlnærmelse tl ũ(, t) som er løsnngen av den samme startverdoppgaven, men med den opprnnelge uksfunksjonen. Sden den lnearserte uksfunksjonen ˆf(u) har knekkpunkter u n, vl det kunne dannes støtbølger som går ut fra cellesentrene, se gur 6.5. Støtbølgen fra når kke frem tl celleveggen +1/2 så lenge tdsskrttet er begrenset av t n+1 < mn{ } 2 f. (6.8) L V skal anta at ulkhet (6.8) er oppfylt, skjønt man prakss kan benytte en skranke uten faktoren 1/2. Løsnngen û(, t) skal benyttes tl å bestemme uksen gjennom celleveggene. V kan dermed benytte bevarelsesformen (4.21) tl å bestemme løsnngen u n+1 på tdsnvå t n+1.

138 138 6 Høyere ordens metoder for skalare lgnnger t t n +1/2 Fgur 6.5: Karakterstkker gjennom cellevegg +1/2. Karakterstsk hastghet tl venstre og høyre for (, t n ) er a n 1/2 og an +1/2, henholdsvs. Dersom f (u) > 0, blr a n 1/2 > an +1/2, og løsnngen gr et støt gjennom (, t n ) med hastghet 2( 1 a n 1/2 + a n +1/2). For naboceller adsklt av celleveggen +1/2 gr lnearserng av uksfunksjonen a n +1/2 = f(un +1 ) f(un ) u n +1. (6.9) un Den lnearserte uksen blr dermed ˆf(û(, t)) = f(u n ) + (û(, t) u n )a n +1/2. (6.10) For å bestemme uksen gjennom celleveggen +1/2, må v således bestemme û( +1/2, t). Løsnngen er konstant langs karakterstkkene, og følge (2.48) gjelder derfor û( +1/2, t) = û ( +1/2 (t t n )a n +1/2 [, tn) ] = u n (t t n )a n +1/2 σ n. (6.11) Fluksen gjennom celleveggen +1/2 blr dermed φ(u n, u n +1) = 1 t n + t n+1 t n+1 t n = f(u n ) + an +1/2 t n+1 = f(u n ) + an +1/2 t n+1 = f(u n ) + an +1/2 2 ˆf(û(+1/2, t)) dt t n + t n+1 t n t n+1 0 (1 tn+1 [ 1 2 (t t n )a n +1/2] σ n dt ( 1 2 ta n +1/2) σ n dt a n +1/2 ) σ n. (6.12) Metoden består dermed av følgende trnn. Gtt løsnngen u n på tdsnvå t n. Bestem helnnger σ n med mnmodfunksjonen (6.7) og lnearserng av

139 6.2 Metoden med helnngsbegrensnng 139 uksfunksjonen (6.9). Beregn uksene (6.12), og bestem løsnngen u n+1 tdsnvå t n+1 med derenslgnngen på u n+1 u n t n+1 + φ(un, un +1 ) φ(un 1, un ) = 0. (6.13) Sden alle trnn løsnngen er TVD, er metoden TVD. Algortmen er mdlertd bare gyldg for en uksfunksjon med postv dervert og for en løsnng u n som for hver n er monotont avtagende. V skal kke behandle generalsernger av denne metoden.

140 Ltteratur [1] M. B. Allen, G. A. Behe og J. A. Trangensten. Multphase ow n porous meda. Sprnger-Verlag, [2] A. J. Chorn og J. E. Marsden. A mathematcal ntroducton to ud mechancs. Sprnger-Verlag, [3] R. Courant og K. O. Fredrchs. Supersonc ow and shock waves. Sprnger-Verlag, [4] H. Holden og N. H. Rsebro. Front trackng for hyperbolc conservaton laws. Sprnger-Verlag, [5] R. Juanes og T. W. Patzek. Analytcal soluton to the Remann problem of three-phase ow n porous meda. Transport n Porous Meda, 55:47 70, [6] R. Juanes og T. W. Patzek. Relatve permeabltes for strctly hyperbolc models of three-phase ow n porous meda. Transport n Porous Meda, 57:125152, [7] J. Kevorkan. Partal derental equatons. Sprnger-Verlag, [8] B. L. Keytz og H. C. Kranzer. A system of non-strctly hyperbolc conservaton laws arsng n elastcty theory. Archve for Ratonal Mechancs and Analyss, 72:219241, [9] D. Kröner. Numercal schemes for conservaton laws. Wley (Teubner), [10] P. D. La. Hyperbolc systems of conservaton laws and the mathematcal theory of shock waves, bnd 11 av SIAM Regonal Conference Seres n Appled Mathematcs. SIAM, [11] R. J. LeVeque. Numercal methods for conservaton laws. Brkhäuser, [12] R. J. LeVeque. Fnte volume methods for hyperbolc problems. Cambrdge,

141 Ltteratur 141 [13] S. Osher. Remann solvers, the entropy condton, and derence appromatons. SIAM Journal on Numercal Analyss, 21:217235, [14] S. Osher og F. Solomon. Upwnd derence schemes for hyperbolc systems of conservaton laws. Mathematcs of Computaton, 38:339374, [15] P. H. Sammon. An analyss of upstream derencng. SPE 14045, Socety of Petroleum Engneers, [16] R. Sanders. On convergence of monotone nte derence schemes wth varable spatal derencng. Mathematcs of Computaton, 40:91106, [17] J. Smoller. Shock waves and reacton-duson equatons. Sprnger- Verlag, [18] J. J. Stoker. Water waves. Interscence, [19] B. Temple. Global soluton of the Cauchy problem for a class of 2 2 nonstrctly hyperbolc conservaton laws. Advances n Appled Mathematcs, 3:335375, [20] J. W. Thomas. Numercal partal derental equatons. Conservaton laws and ellptc equatons. Sprnger-Verlag, [21] E. F. Toro. Remann solvers and numercal methods for ud dynamcs. Sprnger-Verlag, [22] G. B. Whtham. Lnear and nonlnear waves. Wley, [23] K. Weghardt. Theoretsche Strömungslehre. Teubner, 1974.