Gauss-Krüger-projeksjonen ved analytiske funksjoner

Transkript

1 Gauss-Krüger-projeksjonen ved analytske funksjoner Vtenskapelg bedømt (refereed) artkkel : The Gauss-Krüger projecton by analytc functons KART OG PLAN, Vol. 7, pp , P.O.B. 53, NO-43 Ås, ISSN Gauss-Krüger s a wdely used map projecton. The classcal method of calculatng coordnates s accurate for areas close to the central merdan. If global coverage s needed we can use the method of analytc functons. The artcle descrbes how to use ths method to go from ellpsod to map and vce versa. The calculaton goes va the complex varables, mercator varable and complex lattude. The artcle also gves formulas for scale and merdan convergence as functons of complex lattude. Keywords: Map projectons, Gauss-Krüger, analytc functons, Norkart Geoservce AS, Postboks 45, NO-3 Sandvka. E-mal: helge.graffer@nkgs.no Innlednng Gauss-Krüger er trolg verdens mest brukte kartprojeksjon (Snyder 984). De offselle koordnatsystemene for Norges fastland er alle av denne typen. Det gjelder både EUREF89/UTM, EUREF89/NTM og de gamle NGO948-systemene. Det fnnes flere metoder for beregnng av koordnater. Her er noen:. Den klassske metoden med bruk av Taylor-rekke.. Metoden med hyperbolske funksjoner. 3. Metoden med analytske funksjoner. Metode har nøyaktghet tlpasset normal bruk, det vl s at den med mllmeters nøyaktghet kan brukes nnenfor en UTM-sone, altså 3 grader tl hver sde av sentralmerdanen. Lenger ut øker felen fort. Det er vanlg å ta med leddene nntl grad 6 Taylorrekka. Hvs flere ledd tas med kan bruksområdet utvdes. Dette er den mest kjente metoden. Metode bruker en rekke med hyperbolske funksjoner. Hvs en tar med leddene med nntl tredje grad av flattryknngen kan metoden brukes mnst 3 grader tl hver sde (sfærsk avstand). Dette er nok tl å dekke de fleste formål. Ved flere ledd økes nøyaktgheten og bruksområdet ytterlgere. Metode 3 kan brukes globalt. Koordnater kan beregnes med god pressjon for hele ellpsoden (Lee 976). Hvlken metode en skal basere seg på er et spørsmål om nøyaktghet og tdsforbruk. Den som baserer seg på den klassske metoden må være klar over at beregnngen har store fel tlfeller utover det normale. Metoden med de hyperbolske funksjonene er vesentlg bedre. Nøyaktgheten er best for metoden med de analytske funksjonene. Den kan holde for hele ellpsoden flg. Lee (976). Tdsforbruket er også størst for denne metoden, men med dagens datamaskner har det mndre betydnng. Et dataprogram laget av forfatter kan beregne punkter per sekund på en vanlg PC, og det holder for de fleste formål. Denne artkkelen tar for seg beregnng av Gauss-Krüger etter metoden med analytske funksjoner. Teoren ble først vst 945 av E.H.Thompson, men den ble kke publsert. Algortmene som presenteres her bygger på (Klotz 993). Klotz presenterte formler for ellpsode tl kartplan og tlbake. Beregnngen går va de komplekse varablene mercatorvarabel og kompleks bredde. Vdere er det med et avsntt om målestokk og merdankonvergens. Jeg kjenner kke tl at dsse formlene er publsert tdlgere. KART OG PLAN 39

2 Bedømt (refereed) artkkel Konform avbldng En transformasjon er konform dersom alle vnkler bevares. En annen egenskap er at målestokken ett punkt blr den samme alle retnnger. Fra matematkken har v følgende setnng: Enhver kompleks funksjon avblder konformt de områder funksjonen er derverbar og den derverte er forskjellg fra. En slk funksjon er en analytsk funksjon. Den derverte tl funksjonen beskrver målestokk og rotasjon for avbldngen. Hvs den derverte et punkt er det komplekse tallet ω, er målestokk (m) og rotasjon (γ) punktet gtt ved (Mathsen 99, sde 3 3): m ω γ arg ( ω) Dette skal nå brukes for å fnne en metode for Gauss-Krüger. Gauss-Krüger Gauss-Krüger-projeksjonen er gtt ved følgende betngelser:. Det skal være en konform projeksjon.. Sentralmerdanen skal være en rett lnje som avbldes rktg lengde, altså med målestokk lk hele veen. Framgangsmåten blr å velge et konformt utgangspunkt, og deretter gjøre konforme operasjoner og sørge for at sentralmerdanen får rktg målestokk. Områdene utenfor sentralmerdanen trenger man kke tenke på. De blr rktg når konformteten varetas. Følgende størrelser er nvolvert: a: Ellpsodens lange halvakse f: Ellpsodens flattryknng e: Ellpsodens eksentrstet : Geodetsk bredde λ: Geodetsk lengdeforskjell forhold tl sentralmerdan M: Merdankrumnngsradus N: Normalkrumnngsradus B: Merdanbuelengde fra ekvator q: Isometrsk bredde w: Mercatorvarabel b: Kompleks bredde z: Komplekse koordnater kartplanet for enhetsellpsode (a) x,y: Nord og østkoordnat kartplanet m: Målestokk γ: Merdankonvergens To sammenhenger er sentrale utlednngen: Sammenhengen mellom geodetsk og sometrsk bredde. Sammenhengen mellom geodetsk bredde og merdanbuelengde. Sammenhengene kan llustreres slk: q B Hvs dette er sammenhenger på sentralmerdanen, kan de generalseres tl å gjelde hele ellpsoden. Da får v: w b a z Sammenhengene er gtt med de samme funksjonene, men det generalserte tlfellet er funksjonene komplekse. Sammenhengen mellom geodetsk og sometrsk bredde Merdankrumnngsradus og normalkrumnngsradus for ellpsoden er gtt ved følgende formler (Mathsen 99): M a( e )( e sn ) N e sn 3/ a Isometrsk bredde er en vktg størrelse utlednngen av standard Mercator-projeksjon. Mercator er også en konform kartprojeksjon og sn enkleste form er koordnatene gtt ved følgende formler: xm y m a q a λ Isometrsk bredde tlsvarer dermed x-koordnaten Mercator for enhetsellpsoden. 4 KART OG PLAN

3 Gauss-Krüger-projeksjonen ved analytske funksjoner Isometrsk bredde er gtt ved følgende ntegral (Klotz 993): q M N cos d e ( e ) cos sn Løsnngen er gtt ved: d q tanh (sn ) etanh ( esn ) Den nverse fnnes ved terasjon: sn+ tanh( q+ etanh ( esn )) () () (3) Sammenhengen mellom geodetsk bredde og merdanbuelengde Merdanbuelengden fra ekvator tl bredde er gtt ved følgende ntegral (Mathsen 99): E (og alle d-er) kan beregnes en gang for en ellpsode. Den nverse, det vl s å fnne bredde fra merdanbuelengde, må tereres: B E + + sn a e ( + E ) ( + E ) ( ) (8) Fra ellpsode tl kartplan Starter med breddegrad og lengdeforskjell på ellpsoden. Beregner så sometrsk bredde fra formel (). Det trengs en konform kartprojeksjon som utgangspunkt og denne må være representert ved en kompleks varabel. Her brukes mercatorvarabel. Den tlsvarer standard Mercator-projeksjon for en enhetsellpsode (a), og den er gtt ved: w q+ λ (9) B Md ( ) ( sn ) a e e d 3 (4) Beregner så kompleks bredde. Det gjøres ved å bruke formel (3) generalsert tl det komplekse plan. Geodetsk bredde erstattes av kompleks bredde og sometrsk bredde erstattes av mercatorvarabel: Dette kan kke løses eksakt, men det kan rekkeutvkles eller tereres på flere måter. Her presenteres en løsnng. Utlednng fnnes (Klotz 993). ( n ) ( n ) + (n+ 3) dn+ dn e, d + (n+ ) E d n n + k+ k sn, k + 3 n E dn k n ( ) ( ) sn B a e + E E (5) (6) (7) b sn b tanh( w etanh ( esn b)) + + () På sentralmerdanen, når w og b er reelle, er formlene (3) og () dentske. Kompleks bredde representerer en konform kartprojeksjon der parallellsrklene skjærer sentralmerdanen med lk avstand. Målestokken varerer langs sentralmerdanen. Beregner så komplekse kartplankoordnater z. Det gjøres ved å generalsere formlene (6 og 7) tl det komplekse plan. Geodetsk bredde erstattes av kompleks bredde og merdanbuelengde erstattes av de komplekse kartplankoordnatene: + k+ k sn b, k + 3 KART OG PLAN 4

4 Bedømt (refereed) artkkel n Eb dn k n ( ) ( ) z e + E b sn be b () () Gauss-Krüger-koordnater fnnes så fra lgnngen: a z x+ y (3) Målestokk og merdankonvergens Målestokk og merdankonvergens er to vktge egenskaper for kartprojeksjoner. Målestokken er forholdet mellom en nfntesmal avstand kartplanet og tlsvarende avstand på ellpsoden. Målestokken er avhengg av possjonen. For konforme kartprojeksjoner er målestokken et punkt den samme alle retnnger. For Gauss-Krüger er målestokken langs sentralmerdanen og den øker med y-koordnaten. Merdankonvergensen et punkt er vnkelen mellom x-aksens parallell og merdanen. Den er også avhengg av possjonen, men for konforme projeksjoner er alle retnnger dred lke mye et punkt. For Gauss-Krüger er merdankonvergensen langs sentralmerdanen og ekvator (nesten hele ekvator, se sste avsntt og fgur ) og den øker med stgende bredde og lengdeforskjell. For å utlede formler for målestokk og merdankonvergens må de derverte for de analytske funksjonene fnnes, jamfør avsnttet om konform avbldng. Av lgnng () ser v at dq e d cos ( e sn ) Fra kartplan tl ellpsode Starter med komplekse kartplankoordnater z. Kompleks bredde fnnes så ved å generalsere formel (8). b Tlsvarende blr: dw e db cos b( e sn b) Av lgnng (4) ser v at z + Eb b + sn b ( + E) ( + E) ( e ) (4) ( e ) db a d ( e sn ) 3 Fnner så mercatorvarabel ved å generalsere formel (): w tanh (sn b) etanh ( esn b) (5) Lengdeforskjell og sometrsk bredde er gtt ved formel (9). Breddegrad fnnes så fra formel (3). Tlsvarende blr: dz e db ( e sn b) Vdere: 3 dz dz db cosb dw db dw e sn b (6) I Mercator-projeksjonen er merdankonvergensen lk og målestokken er gtt ved (Mathsen 99): m m a N cos I Gauss-Krüger er dermed målestokk og merdankonvergens gtt ved: a dz m N cos dw (7) 4 KART OG PLAN

5 Gauss-Krüger-projeksjonen ved analytske funksjoner γ dz arg dw (8) For WGS84 kan E beregnes tl: E Mnustegnet sørger for at merdankonvergensen blr postv første kvadrant. Numersk eksempel: Hvs et punkt er nær sentralmerdanen blr det bra samsvar mellom de forskjellge metoder. Her velges et punkt langt ute der det klassske formelverket blr veldg fel. De analytske funksjonene kan regne fram og tlbake med nøyaktghet på brøkdelen av en mllmeter. Formlene konvergerer relatvt raskt. Hvs lengdeforskjellen er mndre enn 6 grader holder det med terasjoner alle formler. Da er forbedrngene ubetydelge. Vanlgvs kan terasjonene avbrytes før. Ellpsode: WGS84 med a / f Punkt med bredde 45 grader og lengdeforskjell 45 grader: λ Isometrsk bredde fra formel (): q Mercatorvarabel: w Bruker formel () for fnne kompleks bredde. Etter 8 terasjoner er endrngen for sn(b) mndre enn ^( 6) og v får: b Etter terasjoner med formel () er Eb konvergert tl: Eb Formel () gr z Og formel (3) gr x y Målestokk og merdankonvergens, formler (6,7 og 8) dz dw m γ gon Avslutnng Fgur vser Gauss-Krüger for hele ellpsoden. Greenwch er sentralmerdan og gradnettet er på 5 grader. Kartdataene er World Coast Lne desgned for :5.. fra NOAA ( De er transformert fra geodetske koordnater tl Gauss-Krüger. Avbldngen er endelg for ellpsoden (Lee 976). Det er motsetnng tl kula der øst- og vestpunktet har uendelg y-verd. Ekvator deler seg to løsnnger når: λ ( e) π Formlene (,, 4 og 5) konvergerer for nesten hele ellpsoden. Nøyaktgheten er KART OG PLAN 43

6 Bedømt (refereed) artkkel nesten tl sste sffer, det vl s en brøkdel av en mllmeter. Problemer oppstår området der λ > 8 < Dette er det området som er lengst fra x-aksen kartplanet. Gauss-Krüger lar seg beregne også her (Lee 976), men da må formlene (,,4 og 5) endres på ett eller flere av følgende punkter: Bedre startverder for terasjon. Bruk Newtons metode for å løse w tl b og z tl b. Bruk Thompson-projeksjon (se Lee 976) som mellomberegnng stedet for kompleks bredde. Referanselste Klotz, Jürgen (993): Ene analytsche Lösung der Gauß-Krüger-Abbldung, Zetschrft fur Vermessungswesen 8, Heft 3, Konrad Wttwer Verlag, 6 6. Lee, L.P. (976): Conformal Projectons Based on Jacoban Ellptc Functons. Cartographca. Volume 3. Number /976. Monograph 6. Toronto: Unversty of Toronto Press. Mathsen, Olav (99): Den gaussske projeksjon. Ås-NLH: Insttutt for landmålng. Snyder, John P. (984): Map Projectons Used by the U.S. Geologcal Survey. Geologcal Survey Bulletn 53. Second Edton. Washngton: Unted States Government Prntng Offce. Fgur : Gauss-Krüger for hele ellpsoden. 5 graders gradnett. 44 KART OG PLAN