SNF-rapport nr. 19/07

Transkript

1 Analyse av strukturerte spareprodukt Et Knderegg for banknærngen? av Ger Magne Bøe SNF-prosjekt nr SAMFUNNS- OG NÆRINGSLIVSFORSKNING AS BERGEN, OKTOBER 2007 Dette eksemplar er fremstlt etter avtale med KOPINOR, Stenergate 1, 0050 Oslo. Ytterlgere eksemplarfremstllng uten avtale og strd med åndsverkloven er straffbart og kan medføre erstatnngsansvar.

2 ISBN Trykt versjon ISBN Elektronsk versjon ISSN

3 Forord Denne rapporten baseres på en masterutrednng som nngår som en del av masterstudet ved Norges Handelshøyskole. Rapporten er todelt. I første del presenterer jeg to metoder for å verdsette eksotske opsjoner. Den ene metoden er en modfsert Black 76 opsjonsprsngsformel, mens den andre metoden er Monte Carlo smulerng. Den sstnevnte metoden er speselt nyttg ved prsng av eksotske opsjoner uten lukket løsnng. Teordelen anvendes tl å verdsette og beregne forventet avkastnng tl seks garanterte spareprodukt. Tl en vss grad går teordelen lenger enn det som er nødvendg for å analysere garanterte spareprodukt. Det kan ses at teordelen er ltt som å skyte spurv med kanon forhold tl anvendelsen rapporten. Lkevel vl jeg bruke en del plass på å vse hvordan det er mulg å bygge en effektv prsngsmodell, som er raskere og mer effektv også andre anvendelser enn prsng av opsjonselementet garanterte spareprodukt. Jeg vl rette en stor takk tl mn veleder, Professor Petter Bjerksund, som med konstruktve tlbakemeldnger og gode deer har bdratt tl at arbedet med rapporten både har vært spennende og lærerkt. Ellers vl jeg takke Insttutt for foretaksøkonom og SNF for stpendet jeg ble tldelt for å skrve denne rapporten. Takk også tl Steen Koekebakker ved Unverstetet Agder for å ha tatt seg td tl å svare på spørsmål underves. Rapporten forutsetter grunnleggende kunnskap nnen opsjonsprsng. Norges Handelshøyskole Bergen, oktober 2007 Ger Magne Bøe

4

5 Innholdslste 1. INNLEDNING INTRODUKSJON PROBLEMSTILLINGER OPPBYGGING AV RAPPORTEN STRUKTURERTE SPAREPRODUKTER DET NORSKE MARKEDET LITT MER OM PRODUKTENE OPPBYGGING OG VERDSETTELSE AV STRUKTURERTE PRODUKTER FORUTSETNINGER BAK BLACK 76 OPSJONSPRISINGSMODELL AKSJEKURSENS BEVEGELSE OG MONTE CARLO SIMULERING AKSJEKURSENS BEVEGELSE MONTE CARLO SIMULERING VARIANSREDUSERENDE TEKNIKKER QUASI-MONTE CARLO SIMULERING ANDRE UTVIDELSER AV MONTE CARLO METODEN VERDSETTELSE AV STRUKTURERTE SPAREPRODUKT STOREBRAND SPREAD AKSJEINDEKSOBLIGASJON ORKLA FINANS ABSOLUTT EUROPA II FOKUS BANK RÅVAREINDEKSOBLIGASJON OLJE ACTA JAPANSK EIENDOM

6 4.5 NORDEA LOCK-IN BASKET DNB NOR KRAFT 2007/ DRØFTING AV RESULTATENE ANALYSE AV AVKASTNING PÅ STRUKTURERTE PRODUKT GENERELT OM SANNSYNLIGHETER OG RISIKOPREMIER FORVENTET AVKASTNING FRA DE ULIKE PRODUKTENE DRØFTNING AV RESULTATENE ANALYSE AV GEBYRESTIMATENE I 117 PROSPEKT AVSLUTNING PÅ TIDE MED EN NY TYPE STRUKTURERTE PRODUKT? OPPSUMMERING ER KRITIKKEN BERETTIGET? SVAKHETER VED RAPPORTEN OG FORSLAG TIL VIDERE UNDERSØKELSER REFERANSER...98 APPENDIKS

7 Sammendrag Strukturerte spareprodukt består typsk av et garantelement og et avkastnngselement. Garantelementet skrer at du kke taper sparepengene dne, mens avkastnngselementet skal g deg avkastnng knyttet tl en markedsvarabel som for eksempel en aksjendeks. Produktene har bltt svært populære blant prvate småsparere. En vktg grunn tl dette er nok en utbredt forestllng om at nvestor får både pose og sekk; lke god avkastnng som aksjemarkedet og lke skkert som banken. Fnansekspertene har kke vært lke begestret, og omtaler produktene som dyre, uoversktlge og med dårlge avkastnngsmulgheter. Det fnnes mange ulke typer strukturerte spareprodukter markedet dag. Da slke produkt ble ntrodusert var avkastnngselementet typsk knyttet tl en eller to kjente utenlandske aksjendekser. I dag fnnes det et langt større spekter av slke spareprodukter, der nvestor for eksempel kan være eksponert mot valuta-, råvare-, kraft- eller eendomsmarkedet. Fordelen er at nvestor har en større dversfserngsmulghet sn samlede fnansportefølje ved å nvestere slke produkt. Ulempen er at kostnadene er urmelg høye og kompleksteten produktene er unødvendg stor. Hele 90 % av utestående garanterte produkter ees av husholdnngene og med en låneandel på 75 %. Hva er grunnen tl at de profesjonelle nvestorer kun eer 10 %? En grunn kan være at den vanlge mannen gata ser verder produktene som kke de profesjonelle ser. Insttusjonelle nvestorer kan større grad skreddersy produktene selv, og dermed unngå å betale høye margner tl utstederne. En annen forklarng, og som trolg er vktgere, er at mange prvatpersoner har plassert pengene på fel premsser 1. Dne Penger har estmert at småsparerne de sste t årene har tapt mllarder kroner 2 på strukturerte produkt. Gode selgere kan lett overbevse uvtende prvatpersoner at du faktsk får både pose og sekk; lke skkert som banken og samme avkastnng som aksjemarkedet. Denne rapporten vser at forventet årlg avkastnng beste fall er 1-2 % høyere enn rskofr rente, og at det de aller fleste tlfeller er negatv forventet avkastnng ved lånefnanserng. Strukturerte produkt gr rett og slett for dårlg avkastnng. Det har tydelgvs de profesjonelle nvestorene nnsett. 1 I følge Dne penger er så mye som kunder bltt lurt av vlledende markedsførng og salgstrks 2 Se lederartkkel av Tom Staav Dne Penger , sde 5

8 I kapttel 4 så v at fem av seks produkt hadde høyere tlretteleggngsgebyr enn det som opplyses om prospektet. Jeg mener at mne estmat bygger på realstske antakelser. En undersøkelse som omfatter flere produkt vl kunne g svar på om tlbyderne jevnt over oppgr for lave tlretteleggngsgebyr. Gjennomsnttlg tlretteleggngsgebyr mne undersøkelser var 5.2 %. Tar v også hensyn tl et tegnngsgebyr på opp mot 5 %, starter kunden med en negatv avkastnng på 10 %. Da skal det mye tl at produktet oppnår god avkastnng når omtrent % av produktet er banknnskudd. En undersøkelse av 720 garanterte produkter fra , gjennomført Koekebakker og Zakamoulne (2006), vser at gjennomsnttlg realsert avkastnng på produktene er lavere enn rskofr rente. Kapttel 6 vste at det er forskjeller gebyr hos de ulke aktørene. Nordea har de laveste tegnngskostnadene, men har samtdg også de produktene med kortest levetd. Hvs v ser på tegnngskostnader justert for levetd har kommer Acta, Orkla Fnans og Pareto ut med de høyeste gebyrene. Hos de andre tlbyderne er tegnngsgebyrer rundt 1 % per år. I prospektene estmerer også utstederne hvlket tlretteleggngsgebyr de oppnår på de ulke produktene. Også her kommer Nordea best ut, crka 0.1 % p.a. foran Storebrand på andreplass. Merk her at det er uklart om Nordea faktsk har de laveste tlretteleggngsgebyrene eller om de er mndre ærlge enn konkurrentene. Samlet sett kan man som tommelfngerregel s at de samlede gebyrene er rundt 2 % per leveår for et strukturert spareprodukt. Har så den knallharde krtkken av strukturerte spareprodukt rot vrkelgheten? Mne analyser støtter langt på ve krtkken. For et typsk produkt betaler kunden 8-10 % gebyr, hvlket gjerne er 2-4 % høyere enn det som står prospektet. En forventet avkastnng ved egenkaptalfnanserng som er på lnje med rskofr rente, etter at tegnngskostnadene er betalt, er heller kke mye å skryte av. Det mest alvorlge er lkevel at en nvestor som velger full lånefnanserng kan forvente å tape penger på sn rskable nvesterng. Mtt råd tl nvestorer som ønsker en mer dversfsert portefølje er å skreddersy strukturerte produkter selv. Ved å kjøpe Warrants og plassere den resterende formuen banknnskudd, oblgasjoner, aksjer, eendom eller fond, kan nvestor selv bestemme rsko og avkastnngsmulgheter. Du slpper også trolg unna med langt lavere gebyrer.

9 1. Innlednng 1.1 Introduksjon Et ordtak ser at kjært barn har mange navn. Dette gjelder også for den relatvt nye typen garanterte spareprodukter som tlbys norske prvate og nsttusjonelle nvestorer. Jeg vl denne rapporten se på de verdpaprene som går under betegnelsene strukturerte spareprodukter, aksjendeksoblgasjoner, garanterte spareprodukter eller banksparng med aksje-, valuta-, råvare- eller børsavkastnng. Felles for alle produktene er at de egentlg er en pakke bestående av mer grunnleggende fnanselle verdpapr. Pakken skal g nvestor et garantert beløp ved forfall, tllegg tl mulghet for avkastnng knyttet tl utvklngen en eller flere varabler, som for eksempel en aksjendeks. Det er ngen tvl om at slke spareprodukter har bltt en suksess dersom dette måles etter salgsvolumet. Men er det kundene eller tlbyderne som kommer best ut? Ved å kombnere forskjellge verdpapr kan produktene skreddersys slk at nvestor får den rskoeksponerngen og gevnstpotensal han ønsker. Dette bør ses på som en fordel for nvestor. For noen kunder vl garanterte produkter g en bedre rsko- og avkastnngsprofl enn aksjer, fond, oblgasjoner eller banknnskudd. Alle nnovasjoner er ønskelge dersom det kan dekke et behov hos kundene bedre enn de ekssterende produktene markedet. Investorer som kke ønsker slke produkter kan la være å kjøpe de. Garanterte spareprodukter kan være med å forbedre nvestors mulgheter tl å nvestere utenlandske og eksotske verdpapr, og dermed oppnå en bedre rskoeksponerng sn samlede portefølje. Det er vanlgvs ngen valutauskkerhet knyttet tl garanterte spareprodukter. Bankene tar et tegnngsgebyr ved kjøp, men tl gjengjeld vl banken åpne et nvesterngsunvers som tdlgere kke har vært lett tlgjengelg for småsparere. Det er derfor ngen tvl at hvs strukturerte produkter tlbys tl korrekt prs og på rktge premsser, er de et godt supplement og nvesterngsalternatv for så vel småsparere som større nvestorer. 1

10 De garanterte spareproduktene har tl tross for dette fått kraftg krtkk meda, og nærmest bltt betegnet som svndel. Hva er grunnen tl denne voldsomme krtkken? Krtkken er hovedsak rettet mot tre forhold. For det første er produktene satt sammen slk at det er vanskelg for nvestor å komme frem tl rktg verd på det han kjøper, kombnert med at bankene krever forholdsvs høye gebyrer. I denne rapporten verdsettes seks strukturerte produkter som tlbys det norske markedet høsten 2006 og våren Analysene vser at det kan være krevende å prse garanterte spareprodukt, og det kan kke forventes at nvestorer uten solde fnanskunnskaper kan estmere rktg prs på produktet. Noen eksperter 3 hevder at bankene tlbyr unødvendg komplserte produkter nettopp for at kundene kke skal være stand tl å prse de, samtdg som de komplekse elementene kan fremstlles bedre enn de faktsk er markedsførngsmateralet. Forskjellen mellom hva kunden betaler for produktet (eksklusv tegnngskostnader) og den vrkelge verden av pakken er et gebyr som går tl tlbyder. I prospektene omtaltes dette gebyret som tlretteleggngsgebyr eller bruttofortjeneste. Tdlgere ble det kke opplyst om dette gebyret prospektene. I dag er dette et krav fra Kredttlsynet, men det er langt fra skkert at gebyret som det opplyses om prospektet er det kunden reelt sett betaler. Størrelsen på tlretteleggngsgebyret drøftes kaptlene 4 og 6 denne rapporten. Krtkken fra ekspertene rettes også mot prospektene som brukes markedsførngen og kompetansen tl selgerne. Prospektene gr nntrykk av at nvestor får både pose og sekk; lke god avkastnng som aksjemarkedet tl samme rsko som banksparng. Dette er beste fall en sannhet med modfkasjoner. Flotte fgurer av hstorsk avkastnng preger de første sdene av prospektet, mens sentrale opplysnnger står med lten skrft helt mot slutten. Hvlke forutsetnnger og modeller som er benyttet verdsettelsen prospektet opplyses det dessverre kke om. Samtdg har kke alle selgerne den nødvendge kunnskapen eller forståelsen tl å kunne forklare hvordan avkastnngen beregnes, og langt sjeldnere prse produktene de tlbyr. V har fra td tl annen sett råsalg 4 av strukturerte produkter mot godtroende prvatpersoner uten fnanskunnskap. Rådgverne mottar ofte bonus etter hvor mye de selger, og flnke rådgvere er gjerne de som selger mest og tl høyest margn. Her må det nevnes at det trolg 3 Allerede 2000 advarte journalstene Rune Pedersen og Bjørn Erk Sættem Dne Penger (Nr 9/2000) om dette. 4 Se blant annet Dne Penger Nr 3/2006 2

11 er stor forskjell mellom de ulke aktørene bransjen. Personlg tror jeg at dette kan være med på å forklare at hele tre av fre strukturerte produkt er lånefnanserte. Det tredje forholdet som har vært gjenstand for krtkk er effekten av lånefnanserng 5. Bankene tlbyr å lånefnansere hele kjøpesummen slk at nvestor kan geare nvesterngen og øke mulgheten for høy avkastnng. For banken sn del kan de tlby lån med mnmal rsko, sden de har skkerhet penger på egen konto gjennom det garanterte produktet de tlbyr. Jeg vl se på hvordan dette spller nn på sannsynlghetsfordelngen tl avkastnngen kapttel 5. Samlet sett kan dette vrke som et Knderegg for banken. Garanterte spareprodukter oppfyller tre ønsker på en gang; tegnngsgebyr, tlretteleggngsgebyr og en god rentemargn på et tlnærmet rskofrtt utlån. Kredttlsynet har fra nnført en ny forskrft der det stlles strengere krav tl blant annet opplysnng om verden av produktet, effekten av lånefnanserng og sannsynlghetsfordelngen tl forventet avkastnng. Dette gjør det enklere for nvestor å analysere strukturerte spareprodukt. Lkevel opplyser kke utstederne hvlke estmater og forutsetnnger som lgger tl grunn for de ulke beregnngene. Forventet avkastnng med og uten lånefnanserng er noe som det foreløpg kke må opplyses om, men som etter mn menng er et av de vktgste estmatene som burde vært med prospektene. 1.2 Problemstllnger Denne utrednngen vl fokusere på tre problemstllnger: 1. Verdsettelse med senstvtetsanalyse av seks ulke strukturerte produkt. Hva er rktg prs? 2. Estmerng av sannsynlghetsfordelngen tl avkastnngen for produktene med og uten lånefnanserng. 5 Se blant annet Dne Penger nr 9/2000, nr 9/2001, nr 4/2006, nr 7/2006 og nr 6/2007 3

12 3. Analyse av prospektene tl alle produktene som tlbys mellom høst 2006 og vår Hva er tlbydernes egne estmat på tlretteleggngsgebyret? Er det forskjell mellom tlbyderne? Ved å vurdere mne seks estmat på tlretteleggngsgebyret opp mot de som er oppgtt prospektene, er det kanskje mulg å s noe om hvorvdt tlbydernes anslag på tlleggsgebyrene er realstske. Tl slutt vl jeg vurdere, ut fra mne analyser, om krtkken fra ekspertene er berettget. 1.3 Oppbyggng av rapporten I kapttel 2 drøftes kort utvklngen det norske markedet for garanterte spareprodukt. Vdere presenteres teoren bak oppbyggngen av en aksjendeksoblgasjon, basert på en artkkel Praktsk økonom og fnans av Bjerksund, Carlsen og Stensland (1999). Ved å justere volatlteten og dvdenderaten, kan v komme frem tl en tlnærmet verd på en aksjendeksoblgasjon ved å bruke Black 76 opsjonsprsngsformel. Denne vl benyttes, og noen tlfeller tlpasses, for å komme frem tl en closed-form approxmaton verd på opsjonene de tlfellene strukturene kke er for komplekse. I kapttel 3 forklares det først hvordan v kan modellere aksjekursens bevegelser, og hvlke antakelser som lgger bak en slk modell. Resten av kaptlet brukes tl å presentere hvordan opsjoner kan prses ved Monte Carlo smulerng. Mot slutten av kaptlet vl jeg drøfte ulke varansreduserende teknkker som kan mplementeres for å kunne bygge en modell som gr et mest mulg nøyaktg resultat. Presentasjon og verdsettelse av de utvalgte garanterte spareproduktene er tema kapttel 4. Verden av strukturerte produkter avhenger stor grad av forutsetnnger og verder på varablene som benyttes analysen. Slke varabler er uskre, og vanlgvs estmeres de basert på hstorske data. En senstvtetsanalyse med ulke verder på de mest sentrale varablene vl g nyttg nnskt forhold tl hva som er en objektv verd på spareproduktene. 4

13 I kapttel 5 analyseres den forventede avkastnngsfordelngen tl hvert enkelt produkt. Her vl jeg blant annet beregne effekten av tegnngskostnader og lånefnanserng, fnne forventet avkastnng og estmere sannsynlgheten for at produktene gr postv avkastnng. Kapttel 6 fokuserer på prospektene. Her analyseres prospektene tl 117 produkter som er utstedet det sste året. Et av spørsmålene som stlles er om det er forskjell tegnngs- og tlretteleggngsgebyr mellom de ulke tlbyderne. Et annet spørsmål som vurderes er om mne estmat på tlrettelegnngsgebyr er nærheten av det estmatet utsteder har oppgtt prospektet. Tl slutt oppsummeres resultatene av analysene rapporten kapttel 7. Her vl jeg også dskutere svakheter ved rapporten og forslag tl vdere analyser nnen strukturerte produkter. 5

14 2. Strukturerte spareprodukter 2.1 Det norske markedet Strukturerte spareprodukter ble ntrodusert Norge 1992, og var de første årene hovedsaklg rettet mot nsttusjonelle nvestorer. I 1996 kom DnB med banksparng med aksjeavkastnng som var rettet mot prvatmarkedet. De sste t årene har prvatpersoner stått for en stadg større andel av nytegnngene. Sommeren 2006 ede husholdnngene over 90 % av de utestående strukturerte produktene 6. Fgur 2.1 vser totalt utestående volum 7 av strukturerte produkter fra Veksten har vært jevn og sterk nesten hele peroden, og 2005 var verden av de utestående produktene n ganger høyere enn Fgur Utestående strukturerte produkt Mllarder NOK År Tallene fra Statstsk Sentralbyrå vser mdlertd at det har vært en stagnasjon og svak nedgang den totale verd av utestående strukturerte produkter det sste året. Samtdg har lånefnanserngsandelen fortsatt å stge. Dette er llustrert fgurene 2.2 og 2.3. Per mars 2007 er det nvestert rundt 45 mllarder garanterte spareprodukt, og andelen som er fnansert med lån har passert 75 %. I meda har eksperter 8 som Thore Johnsen, Steen 6 Tall fra Norges Banks tdsskrft Penger og Kredtt nr Data basert på to tabeller fra Statstsk Sentralbyrå, se ltteraturlste. Tallene for 2000 er fra februar fra artkkelen tl Axelsen og Rakkestad (2000). De resterende er fra desember. For 2001 er et estmat fra Dne penger nr 6 benyttet. 8 Ulke klder; Dne Penger, Na24 og Dagens Nærngslv. Se ltteraturlste. 6

15 Koekebakker, Petter Bjerksund, Are Slettan og Tom Staav alle vært krtske tl lånefnanserng av slke verdpapr. Nesten uten unntak er lånerenten høyere enn produktenes forventede avkastnng. I kapttel 5 analyserer jeg seks ulke produkter der jeg blant annet estmerer forventet avkastnng med og uten lånefnanserng. Full lånefnanserng gr negatv forventet avkastnng for alle produktene. I de fleste tlfeller er det mulg å selge produktene før forfall. Tlretteleggeren vl da enten kjøpe tlbake produktet, eller fnne en annen kjøper annenhåndsmarkedet. Prospektene presserer vanlgvs at produktene er ment for nvestorer med henskt å holde produktene tl forfall. Ved salg før forfall er det kke skkert at nvestor får tlbake det garanterte beløpet. Dne Penger 9 har estmert salgsgebyret tl å være størrelsesorden %. 50 Fgur Utvklngen utestående ndekserte oblgasjoner Fgur Andel lånefnanserte ndekserte oblgasjoner 80 % Verd mllarder kroner Andel lånefnansert 75 % 70 % 65 % 60 % 55 % 25 des.05 mar.06 jun.06 sep.06 des.06 mar.07 Samlet verd garanterte produkt Verd av lånefnansert 50 % des.05 mar.06 jun.06 sep.06 des.06 mar.07 Andel lånefnansert Mye negatv medeomtale, mer presse opplysnnger prospektene og msfornøyde kunder er trolg noen av årsakene tl salget at strukturerte produkter kke vokser lke raskt som før. Dne Penger hjelper for tden msfornøyde kunder med å kjøre sak mot utstederne Bankklagenemda. Dersom de når frem med en klage, vl nok den etterfølgende negatve mededeknngen redusere nysalget av slke produkt betraktelg. Personlg tror jeg at toppen er nådd både for det totale salget og andelen som er lånefnansert. 9 Dne Penger 4/2006 7

16 2.2 Ltt mer om produktene SNF-rapport nr. 19/07 Garanterte produkter består av en skker og en uskker del. Den skre delen er enten en nullkupongsoblgasjon eller et banknnskudd som garanterer at du får tlbake hele, mer enn hele eller deler av det nvesterte beløpet. Banknnskuddet er skret gjennom Bankenes Skrngsfond for opp tl 2 mlloner kroner. Selv om banken går konkurs vl du lkevel få tlbake nnskuddet. Hvs det garanterte elementet er en nullkupongsoblgasjon vl eeren være vanlg kredtor, og kredttrskoen tl utsteder må tas hensyn tl. Majorteten av produktene garanterer at nvestor får tlbake hele det nvesterte beløpet, fratrukket tegnngsgebyr, ved forfall. Noen produkter har høyere eller lavere kaptalgarant, vanlgvs mellom 90 % og 110 %. En alternatv struktur på nnskuddet er å garantere % av pålydende og utstede produktet tl overkurs. I prospektene refereres det gjerne tl begrepet emsjonskurs, som er summen av pålydende og overkursen. Dersom overkursen er 5 % vl du betale nn 105 kroner og du er typsk garantert å få tlbake 100 kroner ved forfall. Nedsden produktene er begrenset, sden det eneste du rskerer å tape er avkastnng ved alternatv plasserng av pengene. Dette er forlokkende for mange små prvate nvestorer. Et sentralt spørsmål rapporten er å vurdere om nvestor har for høy betalngsvlje for denne skkerheten. Verden av å motta 100 kroner om 5 år er dag rundt 80 kroner, dersom v antar en rskofr rente på 4.5 %. Hvs tlbyder kke opererer med andre gebyrer vl det da være 20 kroner gjen per hundrelapp tl å kjøpe rskable verdpaprer som skal skre kunden postv avkastnng dersom underlggende går rett ve. Den høye etterspørselen etter strukturerte produkter gjør at bankene har sett mulgheten tl å tlby stadg mer eksotske strukturer. Tdlgere var den uskre delen knyttet tl avkastnngen på en eller to kjente utenlandske aksjendekser. I dag kan nvestor velge mellom produkter som har kraft-, valuta-, råvare- eller rentekontrakter som underlggende. Lkevel er fortsatt aksjendeksoblgasjoner mest utbredt. Noen tlbydere har opsjoner på selvkomponerte porteføljer eller aksjekurver bestående av aksjer, mens andre velger en kurv av kjente ndekser. I denne rapporten vl jeg hovedsak undersøke strukturerte produkter med aksjendekser som underlggende, men noen av de andre strukturene vl også bl analysert. Produktene markedsføres ofte med mulghet for aksjeavkastnng. I realteten er kke dette det samme som avkastnngen aksjemarkedet. Aksjendekserte oblgasjoner tlbyr avkastnng fra en prsndeks som kke justerer for utbytte. Avkastnngen tl ndeksen er derfor lavere enn avkastnng 8

17 fra nvesterng drekte en portefølje av selskapene ndeksen. Slke prsndekser er mest vanlg, men det fnnes også avkastnngsndekser slk som tyske Dax-ndeksen, der utbytte automatsk renvesteres. Forskjellen gjør at en prsndeks kke vl vokse lke raskt som en avkastnngsndeks. Konsekvensen av dette er at høye utbytter typsk reduserer verden av opsjonselementet, og eeren av en aksjendeksert oblgasjon kommer dårlgere ut enn om utbyttene var lave. Alle de fre analyserte aksjendeksoblgasjonene rapporten har prsndekser som underlggende. I de aller fleste strukturerte produkt er det en eller flere opsjoner som skal g kunden mulghet tl god avkastnng. Kompleksteten slke opsjoner varerer, og pressjonen verdanslaget på opsjonen reduseres ofte ved økende grad av komplekstet. En stor andel av opsjonselementene de strukturerte produktene som tlbys markedet dag har ngen closedform soluton eller lukket løsnng, hvlket vl s at v kke kan prse de ved kjente formler. I slke tlfeller kan v gjerne bruke closed-form approxmaton, altså bruk av prsngsformler selv om kke alle forutsetnngene er oppfylt. Tlnærmngsmetodene kan g verder som avvker betydelg fra vrkelg verd. Andre ganger vl forutsetnngene som er brutt kke være av særlg betydnng for prsngsresultatet. En alternatv framgangsmåte er å prse opsjonene ved Monte Carlo smulerng. Denne metoden drøftes kapttel 3. Et sentralt poeng som jeg vl trekke frem flere ganger rapporten er at resultatene v kommer frem tl basert på modeller eller formler kun er rmelge dersom de verdene v putter nn er fornuftge. Verdestmatene mne vl stor grad være gjenstand for dskusjon, sden det er mange uskre verder som må estmeres for å kunne verdsette opsjonselementene. Varablene blr hovedsak estmert ut fra hstorske data, og v har ngen garant for at hstorske data er representatv for fremtden. De vktgste varablene er volatlteten tl underlggende, korrelasjoner mellom ulke underlggende ndekser, nnenlandsk- og utenlandsk rentenvå og dvdenderaten tl underlggende. Estmatene mne baseres på de nputvarablene jeg mener er mest realstske. For å kunne vurdere hvor følsom prsen er forhold tl de verdene jeg har valgt, vl jeg gjennomføre senstvtetsanalyser på de mest sentrale varablene. 9

18 2.3 Oppbyggng og verdsettelse av strukturerte produkter I dette avsnttet presenteres det formelt hvordan en aksjendeksoblgasjon er satt sammen. Denne delen er stor grad basert på artkkelen Aksjendekserte oblgasjoner både pose og sekk? av Bjerksund, Carlsen og Stensland (1999). Den uskre delen består de fleste tlfeller av en eller flere eksotske opsjoner, som gjør det krevende eller umulg å komme frem tl korrekt verd. Ofte er opsjonene knyttet tl et artmetsk gjennomsntt av avkastnngen på flere ndekser (basket optons), sluttverden beregnes som et artmetsk gjennomsntt av kursutvklngen mot slutten av løpetden (artmetsk asatsk hale) og opsjonene har vanlgvs ngen valutaeksponerng (quanto-opsjoner). I tllegg kan opsjonene ha knock-out eller lock-n element seg. V antar at q(0) og q ~ (t) er verden på underlggende ndeks ved henholdsvs tdspunkt 0 og t. Ved forfall er ndeksverden en uskker varabel. Aksjendeksoblgasjonen betaler kke rente før forfall, og sden nvestor er garantert å få tlbake nnbetalt beløp kan den fremtdge ~ verden av aksjendeksoblgasjonen B ( T ) uttrykkes som ~ q~ ( T ) q(0) B ( T ) = B (0) 1+ Max, 0 (2.1) q(0) Dette kan også uttykkes slk: ~ ( T ) B(0) + (2.2) q(0) B = B( 0) Max[ q~ ( T ) q(0),0] Det første leddet på høyre sde (2.2) er det opprnnelge beløpet som er garantert å bl tlbakebetalt. Det andre leddet kan tolkes som B(0) q(0) europeske call opsjoner med ndeksen som underlggende, der hver opsjon har forfalltdspunkt T og strke q(0). I verdsettelsen antar jeg verdaddtvtet, hvlket vl s at verden av en kombnasjon av fnanselle aktva er lk summen av verden av hvert enkelt aktvum. V kan derfor verdsette den rskofre plasserngen og opsjonselementet hver for seg. Matematsk kan dette formuleres slk: 10

19 V [ ~ B(0) B( T )] V [ B(0) ] + V [ Max( q ~ ( T ) (0),0)] = 0 0 (2.3) q(0) 0 q hvor V 0 [ ] er dagens markedsverd. Første leddet er markedsverden av det garanterte beløpet. Denne fnnes ved å dskontere det garanterte beløpet med rskofr renter (eventuelt rt med en kredttrskopreme) peroden frem tl forfall T. Dette gr V [ B(0) ] e (0) =. 0 B Det andre leddet på høyre sde lgnng (2.3) er verden av call opsjonen. Noen strukturerte produkter har put opsjoner eller både put og call opsjoner som underlggende. Da må v justere lgnng (2.3) for å ta hensyn tl dette. De strukturerte spareproduktene som vurderes denne rapporten har avkastnnger som er drekte knyttet tl en fremtdg observert ndeksverd. Dette betyr at dersom avkastnngsfaktoren er 100 % og den utenlandske ndeksen stger med 10 %, vl avkastnngen på call opsjonen være 10 % uavhengg av hvordan valutakursen norske kroner per utenlandsk valuta har utvklet seg. Investor har derfor ngen valutarsko. Opsjonen på den underlggende ndeksen kan ses på som et uskkert kvantum og kalles gjerne quantos fnansltteraturen. V kan også skrve lgnng (2.3) som V 0 [ ~ rt B(0) ] [ ( ~ B( T ) = e B(0) + V Max q( T ) q(0),0)] q(0) 0 (2.4) hvor q ( 0) og q ~ ( T ) er verden av ndeksen notert utlandet henholdsvs på tdspunkt 0 og T. Neste steget verdsettelsen er å fnne termnprsen for en fremtdg utbetalng på q ~ ( T ) norske kroner. Termnprsen norske kroner tar hensyn tl at avkastnngen tl ndeksen kke nkluderer utbytte fra selskapene. Denne termnprsen er gtt ved lgnng (2.5). F r T [ q ~ ( ) ( T ) ] q(0 e δ 0 ) = (2.5) Her kan v tolke δ som rate of return shortfall eller mplstt dvdenderate, og er gtt ut fra følgende lgnng δ δ + ( r r ) + c (2.6) 11

20 I lgnng (2.6) er r nnenlandsk rente, r renten utlandet og δ er dvdenderaten tl den utenlandske ndeksen. c er defnert ved c T = Cov 0 S ln S ( T ) q~ ( T ), ln. Her er S (T) (0) q (0) den fremtdge valutakursen og S (0) er dagens valutakurs. Dette vser at samvarasjonen mellom de logartmske avkastnngene tl den utenlandske ndeksen og tlhørende valutakurs spller nn gjennom den mplstte dvdenderaten. Fra lgnng (2.6) ser v at rentedfferansen mellom Norge og utlandet nngår den mplstte dvdenderaten. Grunnen tl dette er at når v kke har valutaeksponerng foretas det en mplstt avkastnngswap, der hjemmerente byttes mot utenlandsrente. Hvs den norske renten er høyere enn utenlandsrenten, forventes det at den utenlandske valutaen vl styrke seg forhold tl den norske kronen. En slk postv rentedfferanse og høy korrelasjon mellom avkastnngene tl ndeksen og den tlhørende valutakursen vl begge g høyere mplstt dvdenderate. Senere vl jeg vse at en høyere mplstt dvdenderate vl typsk g lavere verd på opsjonselementet. Dette gjelder både ved prsng etter Black 76 opsjonsprsngsformel og ved prsng basert på Monte Carlo smulerng. En annen sentral nputvarabel opsjonsprsngen er volatlteten σ. Volatlteten er uavhengg av uskkerheten knyttet tl valutakursen, sden avkastnngen er uavhengg av valutakursendrng. Dette gjør at volatlteten er lavere uten valutarsko enn med, bortsett fra de tlfeller der avkastnngen tl ndeksen og valuta er sterkt negatvt korrelert. Valutarsko er derfor de aller fleste tlfeller ønskelg for en opsjonseer. Volatlteten er defnert ved ~ 2 q ( T ) σ T = Var0 ln (2.7) q (0) Dersom v antar at forutsetnngene bak Black 76 formelen holder (se avsntt 2.4) kan markedsverden av den aksjendekserte oblgasjonen uttrykkes ved: V [ ~ rt δt rt B( T )] = e B(0) + B(0) [ e N( d ) e N( )] 0 1 d 2 (2.8) hvor N( ) er den kumulatve sannsynlghetsfunksjonen tl standard normalfordelngen og 12

21 d ( r δ + σ ) T = 2, d 2 = d 1 σ T (2.9) σ T Hvs opsjonselementet aksjendeksoblgasjonen er av europesk type kan v benytte Black 76 formelen gtt ved lgnng (2.8) tl å fnne prsen på aksjendeksoblgasjonen. Dessverre er det de aller fleste tlfeller kke standard europeske opsjoner strukturerte produkter, og v kan kke prse opsjonene ved å benytte lgnng (2.8) drekte. Spread opsjoner, barrereopsjoner, og chooseropsjoner kan kke prses ved (2.8), men har egne prsngsformler. Opsjonselementene strukturerte produkter har ofte et artmetsk sntt (kurv) av flere ndekser som underlggende, og kalles gjerne basket optons. Dette gr en dversfserngseffekt, eller en slankng av volatlteten. For en aksjenvestor er det ønskelg å redusere rskoen ved å unngå å putte alle eggene en kurv. Dersom ndeksene kke er perfekt postv korrelert vl noen av ndeksene gjerne gå opp mens andre går ned. En opsjonseer har dermot begrenset nedsde og det er ønskelg med høyest mulg volatltet for å øke oppsdepotensalet. Dversfserng reduserer volatlteten og er kke fordelaktg for opsjonseere. Utstedere hevder lkevel gjerne at det er fornuftg å spre avkastnngsrskoen på flere ndekser, selv om dette reduserer verden av opsjonselementet. I så fall er nvestor bedre tjent med en portefølje av opsjoner på ulke ndekser enn en opsjon på en kurv av ndekser. Avkastnngen på en kurv av ndekser kan formuleres slk: q~ ( T ) q(0) q(0) = w q~ ( T ) q (0) q (0) (2.10) Vektene hver ndeks er gtt ved w, og summerer seg tl 1. Toppskrft ndkerer hvlken ndeks det er snakk om. Artkkelen tl Bjerksund, Carlsen og Stensland vser et appendks at den mplstte dvdenderaten δ kan fnnes ut fra (2.11) og volatlteten kan tlnærmes ved (2.12). e δt = w e ( δ + ( r r ) + c ) T (2.11) j σ 2 ww j σ σ jρj (2.12) 13

22 Her er volatlteten tl hver enkelt ndeks σ og korrelasjonen mellom ndeksene ρ j defnert ved henholdsvs (2.13) og (2.14). ~ 2 q ( T ) σ T Var0 ln (2.13) q (0) j q% ( T ) q% ( T ) σσ jρjt Cov0 ln,ln j q (0) q (0) (2.14) Verden av en aksjendeksoblgasjon med en kurv av ndekser som underlggende kan tlnærmes ved formlene (2.8) og (2.9) over, basert på mplstt dvdenderate og volatltet gtt fra formlene (2.11) tl (2.14). En annen måte utsteder kan redusere volatlteten (og verden av produktet) er ved å bruke tdsgjennomsntt. I stedet for å beregne avkastnngen fra ndeksene kun ved forfall, kan avkastnngen beregnes ut fra et gjennomsntt over flere observasjoner. Månedlge observasjoner de 6 tl 24 sste månedene av produktets levetd er vanlg. Sluttverden tl ndeksen kan defneres ved (2.15), der M er antall observasjoner tdsperoden τ tl T. M q ~ 1 ( T ) = q ( + k t) M τ (2.15) k= 1 Avkastnngen tl en ndeks med asatsk sluttavregnng kan uttrykkes ved å sette høyresden (2.15) nn for q ~ ( T ) på venstresden av (2.16). M q% ( T ) q(0) 1 q% ( τ + k t) q (0) = q(0) M q (0) k= 1 (2.16) T τ Tden mellom hver observasjon er gtt ved t =, og er typsk en måned for produktene M som analyseres denne rapporten. De fleste strukturerte produkt benytter tdsgjennomsntt, og slke opsjoner kalles asatske opsjoner eller opsjoner med asatsk hale. Kemna og Vorst 14

23 (1990) vste at v kan justere volatlteten og dvdenderaten ved henholdsvs lgnng (2.17) og (2.18) for å få tlnærmet rktg verd på termnprsen, og benytte Black 76 formelen fra lgnng (2.8) og (2.9) verdsettelsen. Her benyttes volatlteten tl det geometrske gjennomsnttet som en tlnærmng tl volatlteten tl det artmetske snttet. e ( r δ ) T 1 M [ r ( δ + ( r r ) + c )]( τ+ k t) = M k= 1 e (2.17) 2 σ T 2 = σ τ ( T τ + t)(2( T τ ) + t) T τ (2.18) Strukturerte produkter med både kurv- og tdsgjennomsntt oppnår høyeste dversfserngseffekt og lavest volatltet. Avkastnngen på underlggende kan slke tlfeller beregnes ved lgnng (2.19) M q% ( T ) q(0) w q% ( τ + k t) q (0) = q(0) M q (0) k= 1 (2.19) V kan beregne dvdenderate δ gtt mplstt fra lgnng (2.20) og volatlteten gtt mplstt fra lgnng (2.21). Med den nye justerte dvdendraten og volatlteten kan v benytte lgnng (2.8) og (2.9) tl å verdsette aksjendeksoblgasjoner med både kurv og tdsgjennomsntt. e ( r M = k= 1 w e M δ ) T [ r ( δ + ( r r ) + c )]( τ+ k t) (2.20) 2 σ T j w w jσ σ jρj τ ( T τ + t)(2( T τ ) + t) T τ (2.21) Dette avsnttet har httl vst hvordan v kan fnne en tlnærmet prs på en aksjendeksert oblgasjon med en call som opsjonselement. Hvs opsjonen har tdsgjennomsntt eller består av en kurv av underlggende ndekser, må v justere mplstt dvdende og volatltet. Lgnng (2.4) vste hvordan v kan verdsette oblgasjonselementet og opsjonsdelen separat. Denne lgnngen forutsetter at 100 % av nvestert beløp (eksklusve tegnngskostnader) 15

24 utbetales ved forfall. Mange produkt markedet har både høyere og lavere garant enn dette. Avkastnngsfaktoren varerer også mellom ulke strukturerte produkt. Dersom ndeksen stger 10 % og avkastnngsfaktoren er 1.2, vl nvestor få 12 % avkastnng på sn nvesterng. Investor ønsker høyest mulg garant og avkastnngsfaktor. Sden det er lte trolg at utstederne selger et produkt de forventer å tape penger på, vl det derfor være en avveng mellom garantert beløp og avkastnngsfaktor. De produktene som lokker med garantert beløp på over 100 % og høy avkastnngsfaktor har gjerne andre eksotske element som slanker volatlteten. Lgnng (2.4) kan derfor skrves om tl (2.22), der G er andelen av det nvesterte beløpet som er garantert, og AF er avkastnngsfaktoren. V 0 [ ~ rt ] [ ( ~ B( T ) = G e B(0) + AF V Max q( T ) q(0),0)] 0 (2.22) 2.4 Forutsetnnger bak Black 76 opsjonsprsngsmodell I forrge avntt vste jeg hvordan v kan prse en opsjon basert på Black 76 modellen. Dette er en versjon av Black & Scholes modellen som benyttes tl å prse termnkontrakter. Forutsetnngene bak modellene er omtrent de samme og er gjengtt under. ds 1. Aksjen (termnprsen) følger en geometrsk Brownsk bevegelse = µ dt+ σdbt S 2. Det er ngen transaksjonskostnader 3. Både volatlteten σ og renten r er konstante gjennom opsjonens levetd 4. Handel underlggende foregår kontnuerlg td 5. Det er ngen arbtrasjemulgheter markedet 6. Investorer har ngen begrensnnger forhold tl shortsalg eller lånefnanserng Når det gjelder den første forutsetnngen, vl denne bl forklart og dskutert kapttel 3. Den opprnglge Black & Scholes formelen forutsatte ngen dvdendeutbetalng. Black 76 modellen for prsng av opsjonselementet strukturerte spareprodukt tar hensyn tl en kontnuerlg dvdenderate. 16

25 Kapttel 3 vser en alternatv metode for å prse strukturerte spareprodukt. Her benyttes Monte Carlo smulerng, som mange tlfeller kan prse eksotske opsjoner hvor closed form soluton kke er tlgjengelg. I analysedelen kapttel 4 vl jeg bruke både teoren fra dette kaptlet og Monte Carlo smulerng tl å prse strukturerte spareprodukt. 17

26 3. Aksjekursens bevegelse og Monte Carlo smulerng Dette kaptlet forklarer hvordan v kan modellere aksjekursens bevegelse og bruke Monte Carlo smulerng tl å verdsette opsjoner. Beskrvelsen av aksjekursens bevegelse er basert på fremstllngene tl John Hull (2006) og Kerry Back (2005). I sste del av kaptlet vl jeg presentere ulke metoder for å forbedre den tradsjonelle Monte Carlo metoden ved å benytte varansreduserende teknkker og Quas-Monte Carlo smulerng. Avslutnngsvs drøftes kort mulgheten for å modellere hopp aksjekursene. 3.1 Aksjekursens bevegelse Modellerng og forutsetnngene bak aksjekursenes bevegelse er sentralt all opsjonsprsng. I vrkelgheten skjer aksjehandel når børsene er åpne, og noen aksjer er mer omsatt enn andre. Handelen skjer altså dskret td. Aksjekursene må tllegg handles vsse enheter, for eksempel steg på 50 øre. Dette gjør at aksjekursene er en dskret varabel. Tl tross for dette modelleres aksjekurser fnansltteraturen basert på kontnuerlg handel og at aksjekursene er kontnuerlge varabler. På kort skt beveger aksjekurser seg opp og ned på en tlfeldg og usystematsk måte, noe som gjør at v modellerer kursen som en stokastsk prosess. En Markov prosess er en spesell type stokastske prosess der kun dagens verd på varabelen har betydnng for den fremtdge verden. Hvs aksjekurser kan modelleres som Markov prosesser, har den hstorske kursutvklngen ngen betydnng for hvordan den fremtdge kursen vl utvkle seg. Markov egenskapen er konsstent med en svak form for markedseffesens. Dette betyr at all offentlg tlgjengelg nformasjon er tatt hensyn tl dagens aksjekurs. En del emprske studer blant annet av Fama (1965) og (1970) tyder på at velutvklede fnansmarkeder utgangspunktet har en svak form for effesens. Dette gjør at jeg kan ta utgangspunkt en Markov prosess når jeg skal beskrve aksjekursens utvklng matematsk. En Wener prosess er en type Markov prosess, med forventet endrng på null og en varansrate på en per år. Et annet navn på slke prosesser er Brownsk bevegelse. En wener prosess z har to vktge egenskaper: 18

27 1. Endrngen z en kort tdsperode trukket fra standard normalfordelngen. t er gtt ved z = ε t, hvor ε er et tlfeldg tall 2. Verden z for to ulke korte tdsntervall t er uavhengge Fgur 3.1 llustrerer utvklngen en wenerprosess som starter på 100 og hvor t er en dag. Verd Fgur Utvklng en wenerprosess Wener prosess Dager Fguren over vser at wenerprosessen beveger seg opp eller ned hver dag. Drftraten er null, og kursen varerer mellom 92 og 107 peroden. Trekker v 252 nye tlfeldge tall vl prosessen bl annerledes. Noen ganger vl wenerprosessen vse klar postv eller negatv drft på grunn av tlfeldgheter. Dersom v estmerer mange wenerprosesser vl gjennomsnttet lgge nær utgangspunktet på 100. Hvs aksjekurser fulgte en standard wener prosess, vlle ngen nvestorer ee aksjer. Grunnen tl dette er at alle aksjer da vlle hatt forventet avkastnng lk null. Neste steg er å beskrve en generell wenerprosess. En generell wenerprosess trenger kke å ha forventnng lk null og varans lk en. Ved å ta hensyn tl en postv forventet drftrate kan v lage en modell som stemmer bedre med aksjekursens utvklng. Hvs t 0, kan den standardserte wenerprosessen z skrves som dz. Den generalserte wenerprosessen kan da kontnuerlg td skrves som ( x, t) dt σ( x t)dz dx = µ +, (3.1) 19

28 Første ledd på høyre sde (3.1) er drftsleddet tl prosessen, og ser noe om hvor mye prosessen forventes å stge eller falle med tdsperoden dt. Det andre leddet er støyleddet σ dz, og kan eventuelt skrves som σε dt. Her er σ er størrelsen på støyen, og som multplseres med en standard wenerprosess. Dersom σ er stor, vl v ha større svngnnger aksjekursene fra dag tl dag. Den generalserte wenerprosessen forventes å svnge rundt drftsleddet, mens en standard wenerprosess forventes å svnge rundt startverden tl prosessen. Dette er llustrert fgur 3.2, med µ = og σ =1. 7. Den blå kurven vser at den generalserte wenerprosess svnger rundt forventnngslnjen med stgnng 0.25 per dag. Den røde kurven er en standard wenerprosess med forventet drft lk null. Verd Fgur Generalsert Wenerprosess Wener prosess med drft Forventet verd Standard wener prosess Dager Den blå prosessen fgur 3.2 gr en bedre beskrvelse av aksjeprsens bevegelse enn den standardserte wenerprosessen. Den har lkevel en betydelg mangel. Aksjekursene kan bl negatve, og dette er strd med at aksjonærer har begrensede forplktelser. En aksje kan kke bl mndre verdt enn null. Løsnngen er å benytte en prsprosess der drften og volatlteten er proporsjonal med aksjekursen S. At forventet avkastnng er proporsjonal med aksjekursen vrker rmelg. En nvestor vl kreve samme forventet avkastnng prosent uavhengg av om kursen er 5 eller 100 kroner. Lgnng (3.2) tar hensyn tl at både forventnng og volatltet er proporsjonal med aksjekursen S. Dette kalles en geometrsk Brownsk bevegelse. ds = µ Sdt+ σsdz (3.2) Dersom v deler begge sder lgnng (3.2) på S, får v den prosentvse avkastnngen peroden dt: 20

29 ds S = µ dt+σdz (3.3) Emprske observasjoner av daglge logartmske aksjeavkastnnger vser at de er tlnærmet normalfordelte. Dette betyr at aksjekursen er lognormal fordelt. Itô s lemma er vktg verktøy stokastsk analyse, og ble oppdaget av matematkeren K. Itô Anta at en varabel x er gtt ved prosessen dx = µ ( x, t) dt+ σ ( x, t) dz (3.4) Denne prosessen kalles en Itô prosess. Her er dz en wenerprosess og der drftraten µ og volatlteten σ er funksjoner av x og t. Itô s lemma vser at en funksjon G av x og t følger prosessen G G dg = µ + + x t 1 2 G 2 x 2 G σ dt+ σdz x (3.5) Dersom v defnerer G = ln S, det vl s at dg er den logartmske avkastnngen tl aksjen, kan v ved Itô s lemma vse at 2 σ dg= d(ln S) = µ dt+ σdz 2 (3.6) Lgnng (3.3) og lgnng (3.6) er følge Back (2005) ekvvalente. Neste steg er å løse lgnng ln (3.6) for S. V ntegrerer og bruker at e S = S gtt ved den geometrske Brownske bevegelsen. Aksjeprsen på et vlkårlg tdspunkt t er da St 0 2 σ µ t + σ dz 2 = S e (3.7) Lgnng (3.7) kan også skrves på dskret form. Aksjekursen på tdspunkt t+ t er gtt ved 21

30 S t+ t = S e t 2 σ µ t + σε 2 t (3.8) Lgnng (3.8) danner grunnlaget for Monte Carlo smulerngen. Før v går over tl dette må konseptet rskonøytral verdsettelse ntroduseres. I kapttel 2 så v hvordan opsjonselementet aksjendeksoblgasjoner kunne prses ved Black 76 formelen. Her benyttet v rskonøytral verdsettelse uten å pressere det. Gtt at forutsetnngene avsntt 2.4 holder, kan Black- Scholes-Mertons (BSM) dfferensallgnng fra lgnng (3.9) utledes. En fullstendg utlednng vses kke her, men utledngen bygger på at opsjoner han hedges ved å kjøpe delta antall aksjer, låne penger banken for å fnansere aksjekjøpet, og rebalansere kontnuerlg. Det er da mulg å oppnå en rskofr portefølje. For at det kke skal oppstå arbtrasjemulgheter må en slk rskofr portefølje g avkastnng lk rskofr rente. For utlednng av (3.9), se for eksempel Björk (1998). BSM lgnngen er gtt ved f t f + rs S 2 1 f + σ 2 2 S = rf 2 (3.9) 2 S Løsnngen av denne lgnngen avhenger av grensebetngelsene tl den enkelte opsjon som v ønsker å prse. Det var denne lgnngen Black og Scholes (B&S) brukte for å utlede sn velkjente formel for prsng av europeske kjøpsopsjoner. Verken B&S sn formel eller BSM lgnngen nneholder aksjens forventede avkastnng µ, og de er derfor uavhengge av rskopreferanser. Rskonøytral verdsettelse forutsetter kke at nvestorene er rskonøytrale. Når v beveger oss fra en rskonøytral verden tl en rskoavers verden skjer to tng. Både forventet avkastnng og dskonterngsrenten tl avkastnngen endres. Heldgvs slår dsse to effektene hverandre hel, og v kan verdsette opsjoner basert på rskonøytral verdsettelse. Hvs v benytter lgnng (3.8) tl å verdsette opsjoner ved Monte Carlo smulerng må v estmere aksjens forventede avkastnngµ. Heldgvs er det en ve ut av dette problemet. I følge Øksendal (2003) kan v benytte Grsanov teorem på lgnng (3.2). Dersom v tllegg tllater at aksjer kan utbetale en kontnuerlg dvdenderate δ, kan lgnng (3.2) skrves som ( r δ ) Sdt+σSdz ds = ~ (3.10) 22

31 Den nye prosessen (3.10) har nå drftrate (r-δ ) og wenerprosess d ~ z. Volatlteten σ endres kke. Sannsynlghetsmålet tl prosessen har også endret seg fra det subjektve sannsynlghetsmålet P tl det ekvvalente martngalmålet Q. Dette betyr at v kan bruke rskonøytral smulerng av aksjeprser tl å prse opsjoner ved å bruke (3.10), og dskontere avkastnngen ved forfall med rskofr rente. Ut fra samme fremgangsmåte som tdlgere kan aksjeprsens utvklng dskret td under rskonøytral verdsettelse skrves som S t+ t = S e t 2 σ 2 ( r δ) t + σε t (3.11) 3.2 Monte Carlo smulerng Monte Carlo smulerng ble første gang benyttet 1930 nnen fyskk tl å beregne nøytronenes egenskaper. Da de elektronske datamasknene kom etter andre verdenskrg ble Monte Carlo metoder populære nnen forskjellge forsknngsfelt som fyskk, kjem og matematkk. Phelm Boyle var den første som brukte Monte Carlo smulerng tl å prse opsjoner Boyle ntroduserte også varansreduserende teknkker samme artkkel. Etter hvert som datamasknene har bltt kraftgere og programmerngsspråkene mer effektve har Monte Carlo smulerng fått en stadg større utberedelse nnen fnans og opsjonsprsng Generelt om Monte Carlo smulerng Opsjonsprsng ved Monte Carlo smulerng er en mye brukt opsjonsprsngsmetode både akadema og fnansbransjen. Mange eksotske opsjoner har ngen kjente closed form soluton. Lgnng (3.11) kan benyttes tl å smulere en prsbane tl underlggende over løpetden og beregne opsjonens avkastnng ved forfall. Tl slutt dskonteres opsjonsverden ved forfall med rskofr rente tlbake tl verdsettelsestdspunktet. Ved å gjenta smulerngen mange ganger og beregne gjennomsnttet av de dskonterte utfallene fnner v Monte Carlo estmatet på opsjonsprsen. I følge Glasserman (2003) vl den sterke talls lov skre at estmatet vl konvergere mot rktg verd når antall smulernger øker. Sentralgrensesetnngen gr nformasjon om størrelsen på felestmatet ved et endelg antall smulernger. Felestmatet tl Monte Carlo smulerngene er tlnærmet normalfordelt med forventnng 0 og 23

32 standardfel σ f, der σ f er standardavvket tl hver enkelt smulerng og n er antall n smulernger. Kvalteten på estmatet øker derfor med flere smulernger, og med en konvergerngsrate på O ( / n) 1. Dersom v vl halvere felestmatet må v fredoble antall smulernger. En reduksjon felestmatet tl en tdel krever at v multplser antall smulernger med hundre. En europesk kjøpsopsjon betaler ut max[0, S t - S 0 ] ved forfall. I dette tlfelle vl en smulerng kreve at v kun trekker et tlfeldg tall mellom null og en og deretter transformerer tallet tl et tlfeldg standard normalfordelt tallε. Monte Carlo smulerng av europeske opsjoner betyr at v kke har behov for å smulere hele prsbanen slk som fgur 3.2, men kun aksjekursen ved forfall. For asatske og andre st-avhengge 10 opsjoner må hele eller deler av prsbanen smuleres. Da trekkes flere tlfeldge tall per smulert prsbane, noe som gjør smulerngen mer tdkrevende. Lkevel er det slke tlfeller at Monte Carlo smulernger kommer tl sn rett. Matematsk sett handler Monte Carlo smulerng om å beregne multdmensjonale ntegral. Innen opsjonsprsng beskrver Jäckel (2002) dmensjonen tl slke ntegral som d = k l, hvor k er antall aktva som underlggende og l er antall tdssteg v må smulere. Felestmatet tl Monte Carlo smulerngen er uavhengg av dmensjonen problemet. Dette gjør at Monte Carlo smulerng høye dmensjoner er overlegen forhold tl lattce metoder, sden felestmatet tl sstnevnte øker med antall dmensjoner. Mange stavhengge opsjoner kan kke prses ved enkle formler, men det er mulg å estmere opsjonsverden ved smulerng. De fleste opsjonene denne rapporten er st-avhengge Eksempel på opsjonsprsng ved Monte Carlo smulerng I analysedelen kaptlene 4 og 5 vl Monte Carlo smulerng benyttes tl å verdsette opsjonselementene de strukturerte produktene. Jeg bruker Vsual Basc som programmerngsspråk, selv om dette språket er tregere enn for eksempel C++. Monte Carlo smulerng kan llustreres ved å prse en spread opsjon. Denne opsjonen gr en utbetalng lk dfferanseavkastnngen mellom verden tl ndeks 1 og ndeks 2 ved forfall, hvs denne er postv og null ellers. V antar at begge ndeksene starter på 100 dag, og at v kke har noen 10 En stavhengg opsjon har utbetalng ved forfall som avhenger av utvklngen aksjekursen før forfall. 24

33 asatsk hale. En slk opsjon kan da verdsettes med Margrabe s formel for bytte et aktvum med et annet. Opsjonen dette eksempelet er basert på opsjonselementet Storebrand Spread som verdsettes kapttel 4, men uten den asatske halen. 13,5 Fgur Verdsettelse av Spread opsjon 13,0 12,5 Monte Carlo smulerng Margrabes formel Prs 12,0 11,5 11, Antall smulernger Fgur 3.3 vser Monte Carlo estmatet for forskjellge antall smulernger sammenlgnet med den korrekte verden fra Margrabe s formel (11.898). 100 smulernger gr et estmat på 13.08, noe som er ca 10 % for høyt. Ved 1000 smulernger er prsen 11.16, omtrent 6 % lavere en korrekt verd. Flere smulernger gjør at den estmerte verden konvergerer korrekt verd. Benyttes smulernger er estmat 0.7 % for lavt. Ved mllon smulernger er det kke lenger mulg å se forskjell på den smulerte og korrekte verden fguren. Her er den smulerte verden rundt 0.01 % for høy. Monte Carlo metoden kan g betydelge avvk fra korrekt verd ved få smulernger. Derfor er det vktg å konstruere en Monte Carlo modell som er rask og effektv, slk at v kan prse komplekse produkter med stor grad av skkerhet på relatvt kort td Smulerng av korrelerte aktva Mange av opsjonselementene strukturerte produkter består av en kurv med flere ulke aktva som underlggende. For å kunne prse denne typen opsjoner må v ta hensyn tl at aktvaene kan være postvt eller negatvt korrelerte. Første steg er å estmere korrelasjonsmatrsen tl aktvaene kurven. Dette kan for eksempel gjøres ved å beregne korrelasjonen mellom daglge logartmske avkastnnger for hver ndeks fra hstorske data. I denne llustrasjonen vl jeg benytte tre aktva. Fremstllngen er da mest oversktlg på matrseform, og er basert på Koekebakker og Zakamoulne (2006) og Back (2005). V får da 25

34 en korrelasjonsmatrse gtt ved (3.12). Elementene langs hoveddagonalen er lk en, sden dsse elementene angr aktvumets korrelasjon med seg selv. 1 ρ Σ= ρ ρ ρ12 ρ13 1 ρ 1 (3.12) For hver av de tre ndeksene må v smulere en prsbane gtt ved lgnng (3.8). Dersom aktvaene er ukorrelerte kan v smulere tre ukorrelerte prsbaner og beregne opsjonens avkastnng ved forfall. Det er lte sannsynlg at aktvaene ndeksene er ukorrelerte. En metode for å smulere korrelerte aktva er å anvende en Cholesky dekomponerng før smulerngen. V må da regne ut en nedre trangulermatrse, som lgnng (3.13). Den nedre trangulærmatrsen C, må oppfylle kravet T C C =Σ, der toppskrft T betyr transponert. På matrseform kan dette kravet formuleres som lgnng (3.14). Beregnngen av trangulærmatrsen bygger på at v løser ut for en og en varabel av gangen. Løsng av smultane lgnngssystem er krevende, men heldgvs er VBA koden tl Cholesky dekomponerngen strukturert på en slk måte at det kke oppstår problemer knyttet tl dette. c 0 0 C c c 11 = c c c (3.13) c c11 c21 c31 1 ρ12 ρ13 c c 0 0 c c = ρ 1 ρ c31 c32 c c 33 ρ31 ρ32 1 (3.14) Dette er kun mulg dersom Σ matrsen er postv semdefntt. Ved estmerng av store korrelasjonsmatrser er kke dette alltd tlfelle, og v kan for eksempel få problemer med å smulere en kurv bestående av underlggende ndekser dersom korrelasjonsmatrsen kke er postv semdefntt. I en slk stuasjon kan det være bedre å benytte en Sngular Value Decomposton (SVD) på korrelasjonsmatrsen stedenfor Cholesky dekomponerngen. Dette er utenfor rammen av denne rapporten, men se for eksempel Dahl og Benth (2001) for anvendelse av SVD på Quas-Monte Carlo smulerng av opsjonsprser. 26

35 For hvert tdspunkt t k v ønsker å smulere må v trekke tre tlfeldge tall, ett for hver at de tre ndeksene og transformere dsse tl standard normalfordelte tlfeldge varabler ξ t ). Bunnskrft ndkerer hvlken ndeks det er snakk om. Endelg kan v fnne de korrelerte tlfeldge standard normalfordelte varablene ε t ) fra lgnng (3.15) ( k ( k ε1( tk ) c ξ1( tk ) ε ( t ) = c c 0 ξ ( t ) 2 k k ε3( tk ) c31 c32 c 33 ξ3( tk ) (3.15) V bruker nå ε t ) Monte Carlo smulerngen for hver av de tre ndeksen basert på lgnng ( k (3.8). En call opsjon med en kurv av tre underlggende ndekser og asatsk hale kan da for hver smulerng beregnes som 3 forfall start S S C = max w ;0 start (3.16) = 1 S hvor w representerer vektene tl den enkelte delndeks, start S er startverden tl ndeksen, og forfall S er det artmetske gjennomsnttet av M antall observasjoner slutten av produktets levetd. I kapttel 4 brukes Vsual Basc tl å beregne Cholesky dekomponerngen, for kldekode se appendks A Klarer datamaskner å generere tlfeldge tall? Kjernen Monte Carlo smulerng er å trekke tlfeldge standard normalfordelte tall ε. Dette gjøres vanlgvs to operasjoner. Først trekkes tlfeldge tall mellom null og en fra en unform fordelng, og deretter transformeres de tl standard normalfordelte tall. Her drøftes kort den første delen. Jäckel (2002) bruker et eget kapttel på dette. Alle tlfeldge tall trukket av en datamaskn kommer fra en determnstsk algortme. Dette gjør at alle tlfeldg tall generatorer kke genererer tall som er helt tlfeldge, og blr ltteraturen ofte referert tl som pseudorandom numbers. Mange matematkere har forsket på dette og resultatet er at noen generatorer er bedre enn andre. Excel/VBA sn generator med 1000 tlfeldge tall to dmensjoner er 27

36 llustrert fgur 3.4a. Denne fguren vser det som er typsk for slke generatorer; de tlfeldge tallene legger seg klumper, noe som gjør at Monte Carlo estmatene kke konvergerer mot rktg verd lke raskt som de vlle gjort med vrkelge tlfeldge tall. En alternatv tallgenerator er Mersenne Twster, utvklet av matematkerne Matsumoto og Nshmura (1997). Fgur 3.4b vser 1000 tlfeldge tall to dmensjoner. Denne generatoren har også en tendens tl at de tlfeldge tallene klumper seg. Vsual Basc koden er lang og uoversktlg. Lkevel har denne metoden noe for seg. I følge de to japanske forskerne bak metoden er den blant de raskeste pseudo-random generatorene, samtdg som den har klarer å fordele tlfeldge tall jevnere på ntervallet (0,1) enn noen av de andre sammenlgnbare generatorer. Jeg gjorde et par tester av Mersenne Twster, og resultatene var noe bedre enn Rnd funksjonen VBA. I mn anvendelse var lkevel forskjellene relatvt små, og jeg vl benytte VBA generatoren analysedelen for å få mer oversktlge kldekoder. Fgur 3.4a. Fgur 3.4b. 1 Excel sn tlfeldg tall generator to dmensjoner 1 Mersenne Twster generator to dmensjoner Metoder for å transformere tlfeldge unformerfordelte tall I dette avsnttet vl jeg undersøke ulke metoder for å transformere tlfeldge tall mellom null og en tl standard normalfordelte tall, basert på Jäckel (2002) og Glasserman (2003). En metode er Normsnv kommandoen Excel. I Vsual Basc kan transformasjonen se slk ut epslon = Applcaton.NormSInv(X j ) hvor X j er et tlfeldg tall mellom null og en. Fordelen med denne metoden er at VBA koden er kort. Ulempen er, som v skal se etterpå, at smulerngene blr mye tregere. En alternatv 28

37 metode er Box-Muller (1958) transformasjonen. V trekker to tlfeldge unform fordelte tall (u, v) og transformerer de tl (x, y) ved x= 2ln u sn(2πv) y= 2ln u cos(2πv) Her er x og y to standard normalfordelte varabler. En tredje og nyere transformasjon er Bors Moro (1995) sn nterpolerngsformel. Kldekoden 11 er noe lenger enn Box-Muller metoden og fnnes appendks A.2. For å teste hurtgheten 12 tl de tre forskjellge metodene har jeg smulert en mlloner tlfeldge tall ved VBA kommandoen Rnd. Excels Normsnv bruker fre mnutter og n sekunder. Box-Muller og Moro bruker henholdsvs to og n sekunder. De to sstnevnte metodene er overlegne forhold tl den førstnevnte. Jäckel vser sn bok at Box-Muller metoden gr unøyaktge transformernger halene tl normalfordelngen, den såkalte Neave effekten. Derfor anbefaler Jäckel å bruke Moro metoden. I analysene kapttel 4 og 5 vl jeg følge Jäckel stt råd og benytte Moro metoden, selv om Box-Muller metoden er noe raskere. 3.3 Varansreduserende teknkker Ulke varansreduserende teknkker kan mplementeres smulerngene for å redusere uskkerheten Monte Carlo estmatet. Her sktes det kke nødvendgvs tl å redusere varansen tl hver enkelt smulerng, men å redusere varansen tl Monte Carlo estmatet fra alle smulerngene. Jeg ser på metoden med anttetske varabler og kontroll varat metoden. Jäckel (2002) har en omfattende dskusjon rundt flere typer varansreduserende teknkker Anttetske varabler Metoden med anttetske varabler betyr at v genererer to standard normalfordelte tall samtdg. Det første tallet ε 1 trekkes på vanlg måte, mens det andre tallet ε 2 er lk ε 1. V skfter altså fortegn på ε 1. Dette er mulg ford v vet at den standardserte normalfordelngsfunksjonen er symmetrsk rundt null. Å trekke et gtt postvt tall er lke sannsynlg som å trekke det tlsvarende negatve tallet. Sden v har to standard normalfordelte tlfeldge tall tlpasser v VBA koden og 11 Vsual Basc koden tl Moro transformasjonen er hentet fra Jackson and Staunton (2001) 12 Modellen som er benyttet testen fnnes på 29

38 smulerer to prsbaner for hver Monte Carlo smulerng. Dette gr oss to prsestmat på opsjonen, v og v ~. Metoden med anttetske varabler gr følge Hull (2006) varansreduksjon dersom 1 Var 2 ( v v ~ ) + < Var [ v ] som er ekvvalent med Cov [ v v~ ], < 0. Dette er vanlgvs tlfellet, og prsestmatet vårt 0.5 ( v + ~ ) vl da lgge nærmere den v korrekte verden enn standard Monte Carlo smulerng. For å teste dette har jeg estmert verden av spread opsjonen fra avsntt ut fra et varerende antall smulernger, som llustrert fgur 3.5. Fguren vser at dette tlfellet lgger estmatet basert på anttetske varabler nærmere den korrekte verden for de fleste valg av antall smulernger. Lkevel er forskjellen margnal ved en mllon smulernger. Når det gjelder antall smulernger med anttetske varabler benytter v kun halvparten så mange som det som står på x-aksen. Dette skyldes at hver smulerng gr to estmat på opsjonsprsen Fgur Effekten av anttetske varabler på spread opsjon 12.0 Monte Carlo smulerng Margrabes formel Anttetsk Monte Carlo Prs Antall smulernger Teknkken med anttetske varabler har også en annen fordel, sden det er tdkrevende å generere tlfeldge tall VBA. Anttetsk metode krever bare halvparten så mange tlfeldge tall som vanlg Monte Carlo. Smulerng av en mllon estmat på spread opsjonen tar 21 sekunder med standard Monte Carlo, mens smulernger med anttetske varabler tar 13 sekund. Dette vser at anttetske varabler kan g både lavere varans og bruke mndre smulerngstd. Tdsbesparelsen kan bl betydelg ved smulerng av hele prsbanen tl underlggende. 30

39 3.3.2 Kontroll varat teknkken En annen varansreduserende teknkk er kontroll varat metoden. Denne metoden kan benyttes når v har en lukket løsnng på en opsjon med lgnende struktur som den opsjonen v ønsker å prse. Opsjonselementet strukturerte produkt har vanlgvs en artmetsk asatsk hale. Kemna og Vorst (1990) vste hvordan v kunne prse asatske opsjoner med geometrsk asatsk hale, ved å anvende lgnng (2.17) og (2.18). V kan bruke den geometrske asatske opsjonen som kontroll varat. Ideen er at hver smulerng beregnes verden av både den artmetske asatske opsjonen og den geometrske asatske opsjonen som har en lukket løsnng. For hver smulerng ser v på felestmatet mellom den smulerte verden av den geometrske asatske opsjonen og den korrekte verden fra Kemna og Vorst sn formel. I smulerngen vl typsk den artmetske og den geometrske asatske opsjonen ha forholdsvs lke verder. Dette gjør at de smulerte prsene vl være sterkt postvt korrelerte. La oss kalle den smulerte verden tl den artmetske asatske opsjonen * f a og den smulerte verden tl den geometrske * f g. Den korrekte prsen tl den geometrske opsjonen er f g. Et bedre estmat på den artmetske asatske opsjonen er kontroll varat estmatet * * ( ) f = f f + f (3.17) a a g g Monte Carlo gr forventnngsrette prsestmat, det vl s at * E ( f g ) = f g og * E ( f a ) = f a. Dette betyr at varansen tl * * * * f er Var( f ) = Var( f ) + Var( f ) 2Cov( f, f ). Så lenge estmatet a a a g a g * f a er sterkt korrelert med * f g, kan varansen tl estmatet f a være lavere enn varansen tl * f a. Effekten av kontroll varat er llustrert fgur 3.6 og tabell 3.1. Den vanlge Monte Carlo smulerngen er estmatet på spreadopsjonen tl Storebrand som verdsettes kapttel 4, og har en artmetsk asatsk hale på syv månedlge observasjoner slutten av levetden. Som kontroll varat benytter jeg Margrabe s formel med geometrsk asatsk hale. Effekten ved å bruke kontroll varat er dramatsk. Et hundre smulernger med kontroll varat gr høyere pressjon enn smulernger med tradsjonell MC smulerng, noe som standardavvket tl hver enkelt smulerng tabell 3.1 vser. Beregnngen av standardavvk mplementeres VBA ut fra formelen for standardavvket, gtt ved I formelen er n antall smulernger, x den smulerte opsjonsverden og x er estmatet på opsjonsverden gtt ut fra alle smulerngene. 31

40 For hver smulerng beregnes den kvadrerte dfferansen mellom opsjonsverden fra den enkelte smulerngen og opsjonsprsen. Dsse kvadrerte dfferansene summeres og tl slutt deles det på antall smulernger. Dette gr varansen tl estmatet. Standardavvket er kvadratroten av varansen. Beregnngen forutsetter at v først beregner prsestmatet x først. Standardavvk Monte Carlo estmat = ( x x) n (3.18) Standardavvket med kontroll varat teknkken er mye lavere ford v justerer hver enkelt smulerng med felestmatet mellom den smulerte verden og den lukkede løsnngen. Opsjonsverd 12,5 12,0 11,5 11,0 10,5 Fgur 3.6 Effekten av kontroll varat på en asatsk spread opsjon Antall sm ulernger Vanlg MC smulerng MC smulerng med kontroll varat Tabell 3.1 Antall sm Kontroll varat Vanlg MC Std.avvk Quas-Monte Carlo smulerng I avsntt så v at de tlfeldge tallene kke fordeler seg jevnt på ntervallet [0,1]. Monte Carlo estmatet vl således kke konvergere mot rktg verd lke raskt som ønskelg. Ifølge Wlmott (2001) kan v stedenfor å trekke tlfeldge tall heller bruke determnstske tallalgortmer, såkalte low-dscrepancy eller quas-random sekvenser. Halton sekvensen fra 1960 er en slk algortme. Sekvensen er bygd opp slk at for hvert nytt tall som trekkes vl være lengst mulg borte fra de tallene v allerede har trukket. Slk unngår v at tallene legger seg klumper. Sekvensen er uendelg, det vl s at v alltd kan trekke flere tall dersom v ønsker 13 Standardavvket refererer tl tlfellet med smulernger. Modellen fnnes på 32

41 høyere pressjon. Konvergerngsraten tl standard Monte Carlo smulerng er O ( / n) Quas-Monte Carlo smulerng har potensell konvergerngsrate tlsvarende O ( / n) 1, mens 1. Gevnsten ved å bruke Monte Carlo smulerng basert på low-dscrepancy kan derfor teoren være stor. Monte Carlo smulerng av eksotske opsjoner baseres på et gtt antall dmensjoner. Typsk vl dmensjonen være produktet av antall aktva og antall observasjoner den asatske halen, som v så avsntt Halton sekvensen bruker ulke baser for hver dmensjon, der hver base tar utgangspunkt et prmtall. Selve koden er vst appendks A.3. En opsjon med en kurv av to ndekser som underlggende og en asatsk hale med tre observasjoner slutten av levetden trenger totalt seks dmensjoner. Prmtallene 2, 3, 5, 7, 11 og 13 brukes som baser. For hver smulerng trekkes et tall fra hver base, og v kan for eksempel bruke Moro sn metode for å transformere tallene tl standard normalfordelte tall. Estmatet på opsjonsprsen beregnes deretter på samme måte som for vanlg Monte Carlo smulerng. Fgur 3.7 vser de tusen første tallene for dmensjon en og to. Sammenlgner v denne fguren 14 med fgur 3.4a ser v at Halton sekvensen har bedre fordelng av tallene og mndre tendenser tl klumpng. 1 Fgur Halton sekvens - Dmensjoner 1 x Lkevel er kke smulerng basert på Halton tallene overlegen forhold tl smulerng med pseudo-random numbers alle stuasjoner. Halton sekvensen fordeler tallene mndre unformt når dmensjonen øker. Fgur 3.8a og 3.8b vser henholdsvs de tusen og to tusen første tallene for dmensjon 20 og 21. Fordelngen er mye mndre unform enn for lavere dmensjoner. Dette kalles fnansltteraturen for dmensjonsproblemet tl Quas-Monte Carlo 14 Modellen som fgurene 3.7, 3.8a og 3.8b bygger på fnnes på 33

42 smulerng. V trenger derfor flere tall for å oppnå en tlfredsstllende fordelng på ntervallet [0,1] når dmensjonen øker. 1 Fgur 3.8a - Halton sekvens - Dmensjoner 20 x 21 1 Fgur 3.8b - Halton sekvens - Dmensjoner 20 x Sobol sekvensen er en alternatv algortme som kan benyttes stedet for Halton sekvensen. En tredje mulghet er Faure sekvensen. Matematsk sett er algortmene ganske ulke og alle tre har dmensjonsproblemer, men noe ulk grad. En stude av Paskov og Traub (1995) vser at Halton sekvensen kke er den mest effektve Quas-Monte Carlo metoden høyere dmensjoner. Både Sobol og Faure sekvensen er mer effektv enn sekvensen tl Halton. Boyle, Broade, og Glasserman (1997) kommer også tl samme konklusjon. Jeg har lkevel benyttet Halton sekvensen smulerngene kapttel 4 og 5. De to andre metodene er mye vanskelgere å mplementere Vsual Basc. Glasserman (2003) vser en modfsert versjon av Halton sekvensen kalt leaped Halton sekvens, som gr jevnere fordelng høyere dmensjoner. I mn anvendelse av Quas-Monte Carlo smulerng vl jeg benytte 14 dmensjoner eller mndre, og her gr Halton sekvensen tlfredsstllende resultater. Det er fullt mulg å kombnere Halton sekvensen med varansreduserende teknkker. I kapttel 4 vses det at Quas-Monte Carlo smulerng med kontroll varat gr de meget rask konvergerng mot rktg verd. Storebrand Spread AIO er prset med QMC smulerng og MC smulerng ut fra et varerende antall smulernger, som vst fgur 3.9. I begge smulerngsmetodene har jeg benyttet verden fra en geometrsk asatsk spread opsjon som kontroll varat. I denne anvendelsen vl Halton sekvensen g et estmat på opsjonen som nær den korrekte verden selv etter kun noen få hundre smulernger. En annen fordel med Quas-Monte Carlo smulerng forhold tl vanlg Monte Carlo smulerng er at den er raskere. Basert på en mllon smulernger av Storebrand Spread aksjendeksoblgasjon er QMC rundt 40 % raskere en tradsjonell Monte Carlo smulerng. 34

43 Fgur 3.9 Effekten av kontroll varat på en asatsk spread opsjon Opsjonsverd QMC kontroll varat MC Smulerng med kontroll varat Antall smulernger 3.5 Andre utvdelser av Monte Carlo metoden I dette kaptlet benyttes en modell av aksjekursens bevegelse som antar at de logartmske avkastnngene er normalfordelt. Flere studer 15 vser at en slk antakelse kke stemmer helt med den faktske fordelngen tl aksjeavkastnngene. Avkastnngene har ofte en høyere topp sentralt fordelngen, smalere skuldre og fetere haler. En måte å ta hensyn tl noe av dette modellen er ved å nnføre mulgheter for hopp aksjekursene. Glasserman (2003) har en omfattende drøftng av temaet. Det er utenfor rammene tl denne rapporten å gå nn på dette detalj. Trolg vl verden på de strukturerte produktene kapttel 4 heller kke endres særlg grad ved å bruke en Monte Carlo modell med hopp. En kort presentasjon av den mest kjente modellen som tar hensyn tl hopp kan lkevel være llustratvt. Merton ntroduserte 1976 jump-dffuson model. Aksjekursens utvklng representeres kke lenger av lgnng (3.3), men av prosessen ds S = µ dt + σ dz + U dn t t (3.19) hvor N t er en Posson prosess med parameter λ som bestemmer ntensteten på hoppene. U t er en tlfeldg varabel som bestemmer den postve eller negatve størrelsen på hoppene. Prosessen (3.19) er nå dskontnuerlg på tdspunktene der aksjekursen hopper, selv om v modellerer kontnuerlg td. Med en slk prosess vl v få flere avkastnnger som lgger 15 Se f.eks Eberlen et al (1995), Campbell et al (1997) eller Shller (2003) 35

44 halene fordelngen. Dette vl trolg de fleste tlfeller resultere noe høyere opsjonsverder enn når modellene kke nkluderer mulgheten for hopp, uten at jeg har gjennomført slke analyser. Alternatve fordelnger som er nærmere den emprske fordelngen kan også benyttes modellene, som for eksempel Normal Invers Gaussan fordelngen eller en Varance Gamma fordelng. I mne analyser bruker jeg en determnstsk volatltet fra hstorske data. Monte Carlo metoden kan også anvendes ved stokastsk volatltet. En av de vanlgste er Hestons modell (1993), som blant annet brukes prsng av valutaopsjoner. Monte Carlo smulerng med stokastsk volatltet er utenfor rammen tl denne rapporten. Monte Carlo smulerng er på mange måter regnet som state-of-the-art verdsettelsen av eksotske opsjoner, både nærngslvet og akadema. Teoren som er presentert her danner grunnlaget for Monte Carlo modellene de to neste kaptlene. Det er fnt mulg å anvende den aller enkleste Monte Carlo modellen verdsettelsen av strukturerte produkt. Lkevel vl de tlpasnngene jeg har presentert dette kaptlet forbedre hurtgheten og pressjonen smulerngene, og gevnsten er speselt stor senstvtetsanalysene. 36

45 4. Verdsettelse av strukturerte spareprodukt I dette kaptlet verdsettes seks ulke strukturerte produkt. Jeg bruker Storebrand Spread AIO tl å llustrere verdsettelsesmetodene fra de to foregående kaptlene. For de andre produktene bruker jeg kun den eller de metodene som er mest hensktsmessg. En betydelg del av dette kaptlet består av senstvtetsanalyser av ulke nputvarabler. De aktuelle verdsettelsesmodellene med kldekode kan lastes ned fra Storebrand Spread Aksjendeksoblgasjon Generell beskrvelse av produktet Storebrand Spread AIO har tegnngsperode fra 21. jun 2006 tl 11.august Mnste tegnngsbeløp er kroner. Produktet har løpetd på fre år, fra 29. august 2006 tl 6. september 2010, og tlbyr 100 % garant for nvestert beløp med en avkastnngsfaktor på 150 %. Investor har ngen valutarsko, slk at tlleggsbeløpet er en quanto-opsjon. Avkastnngen på tlleggsbeløpet beregnes ut fra avkastnngen tl Dow Jones Euro Stoxx 50 (DJES) mnus avkastnngen på den amerkanske ndeksen Russell 2000, hvs denne er postv og null ellers. Produktet kan g postv avkastnng selv om markedet går ned, så lenge DJES faller mndre enn Russell Matematsk er tlleggsbeløpet gtt ved formelen T Slutt DJES50 DJES50 GL AF max 0, Start DJES50 slutt Russel Russel Russel = Start Start start Her er T verden av tlleggsbeløpet, GL er gjenstående lån og AF er avkastnngsfaktor (100 %). Dette produktet har en asatsk hale på syv månedlge observasjoner det sste halve året av produktets levetd. Tegnngskostnadene for dette produktet er gtt ved tabell Dow Jones Euro Stoxx 50 er en kaptalveet prsndeks bestående av 50 store selskaper fra land som er med EMU. Russell 2000 er også en kaptalveet prsndeks, og består av de 2000 mnste selskapene den brede amerkanske Russell 3000 ndeksen. 37

46 Tabell Tegnngskostnader Storebrand Spread Investerngsbeløp Vanlg provsjon Partnerkunder Kr % 3.75 % Kr % 2.75 % Kr % 1.90 % Kr % 0.90 % Kr eller mer 0.25 % 0.20 % Estmerng av nødvendge parametere - Rskofre renter 16 V trenger rskofr renter for Norge, USA og Europa. De rskofre rentene beregnes ved en lneær nterpolerng av de effektve rentene på tre- og femårge statsoblgasjoner. Tabellen under vser rentene v trenger. Tabell Norsk rente Amerkansk rente Eurorente Dskret 3.88% 4.78% 3.61% Kontnuerlg 3.80% 4.67% 3.54% - Volatltet Indeksvolatlteten beregnes som standardavvket tl daglg logartmsk avkastnng fra hstorske data. Utgangspunktet mtt er at volatlteter estmeres fra hstorsk data tlsvarende løpetden tl produktet, dersom jeg mener at dette kke gr urmelge resultater. I tllegg estmeres hstorsk volatltet for andre tdsperoder, slk at v kan vurdere hvlken volatltet som vrker mest representatvt for fremtden. De andre estmatene benyttes senstvtetsanalyser. Tabell vser volatlteten for de sste ett tl fre årene for begge ndeksene. For Storebrand Spread vl jeg benytte volatlteten de sste tre årene, sden jeg mener volatlteten de sste fre årene er for høy, speselt for DJES. Volatlteten tl valutakursen trengs for å estmere kovarans mellom valuta og ndeksen, og baseres på daglge logartmske endrnger valutakursen tlsvarende løpetden tl produktet. 16 I denne rapporten er de norske og utenlandske rentene hentet fra henholdsvs Norges Bank sne nettsder og Datastream Advance dersom kke noe annet er eksplstt nevnt. Beregnngsdato er sste dag tegnngsperoden. 38

47 Tabell DJ Euro Stoxx 50 Russell 2000 Volatltet ndeks, sste 4 år 21.64% 18.91% Volatltet ndeks, sste 3 år 14.99% 17.97% Volatltet ndeks, sste 2 år 13.12% 16.72% Volatltet ndeks, sste 1 år 14.06% 17.71% Volatltet valuta, sste 4 år 6.08% 11.02% Korrelasjon ndeks og valuta Kovarans ndeks og valuta Korrelasjon mellom ndeksene og korrelasjon mellom ndeksene og valuta En annen sentral parameter er korrelasjonen mellom ndeksene. Denne er speselt vktg for dette produktet, sden avkastnngen på produktet er avhengng av forskjell avkastnngen mellom DJES og Russell Hvs ndeksene er nesten perfekt korrelert vl verden av tlleggsbeløpet være veldg lav, mens negatv korrelasjon gr høy verd på tlleggsbeløpet. Tabell vser forskjellge hstorske verder på korrelasjonen mellom ndeksene. De er forholdsvs stable, og jeg benytter korrelasjonen sste fre år verdsettelsen. For begge ndeksene beregnes korrelasjonen mellom ndeksene og valuta ut fra daglge logartmsk avkastnng over fre år. Kovaransen mellom ndeks og valuta er gjengtt tabell Tabell Korrelasjon Korrelasjon mellom ndekser sste 1 år Korrelasjon sste 2 år Korrelasjon sste 3 år Korrelasjon sste 4 år Etter at v har estmert volatltetene tl ndeksene og korrelasjonene mellom dem, kan v gjennomføre Cholesky dekomponerngen fra avsntt 3.2.3, som vst matrsen under = Dvdenderate og mplstt dvdende Årlg kontnuerlg dvdenderate 17 tl Dow Jones Euro Stoxx 50 er 2.66 % per 5. september Datastream har kke dvdenderate for Russell Nettsden Russell.com oppgr en 17 Dvdenderatene denne rapporten er basert på sste års dvdende fra selskapene ndeksen, og er hentet fra Datastream Advance dersom kke noe annet er eksplstt nevnt. 39

48 dvdenderate sste år på 1.1 %, som er lk en kontnuerlg dvdenderate på 1.09 %. Den mplstte dvdenderaten for hver ndeks fra lgnng 2.6 er beregnet tabellen under. V ser at kovaransen mellom ndeks og valuta kun har en helt margnal betydnng for den mplstte dvdenderaten. Tabell Indeks Dvdenderate Renteforskjell Kovarans Implstt dvdenderate δ r r ) ( DJ Euro Stoxx % 0.26% % Russell % % % c δ Verdsettelse av oblgasjonselementet Alle strukturerte produkt denne rapporten verdsettes ut fra hvor mye nvestor får for 100 kroner etter at tegnngskostnadene er betalt. Det nvesterte beløpet består av tre deler; verden av det garanterte beløpet, verden av tlleggsbeløpet og margn tl banken. I det følgende vl jeg altså verdsette produktene uten å ta hensyn tl tegnngsgebyr. V begynner med verdsettelsen av det garanterte beløpet. Fra prospektet får v opplyst at S&P kredttratngen tl Storebrand Bank er BBB+. Ut fra dette estmerer Storebrand en årlg kredttrskopreme på 0.44 %. Dette vrker kke urmelg, så mne analyser vl jeg bruke samme kredttrskopreme som utsteder gjør prospektet. De garanterte 100 kronene dskonteres derfor med en kontnuerlg rente på 4.24 % fre år, som gr en nåverd på Dette stemmer bra med verden på prospektet Verdsettelse av opsjonselementet 18 Metode 1 - Closed form approxmaton Den asatske halen opsjonselementet gjør at v kan benytte Kemna og Vorst (1990) sn approksmasjon for å justere dvdenderaten og volatlteten for de to ndeksene, gtt fra lgnngene (2.17) og (2.18). Deretter kan v bruke Margrabe s formel for å bytte et aktvum mot et annet tl å prse spreadopsjonen. Formelen er gtt ved lgnng Vsual Basc kldekoden som brukes tl verdsettelsen fnnes appendks C.1 og på 40

49 Call Spread 1 T δ2t = S e δ N d ) S e N( d ) (4.1) 1 ( hvor d 1 S1 1 2 ln + ( δ 2 δ1+ σ ) T S 2 2 =, d = d 1 σ T σ T σ = σ 1 + σ 2ρσ σ 2 2 2, Her er δ1 og δ 2 den mplstte dvdenderaten tl henholdsvs DJES og Russell Før v kan prse tlleggsbeløpet må v beregne mplstt dvdederate og volatltet som tar hensyn tl den asatsk halen på syv månedlge observasjoner det sste halvår av levetden tl produktet. Fra lgnng (2.17) beregnes den justerte mplstt dvdenderatene for begge ndeksene, som gr δ 1 lk %, og δ 2 lk %. Den justerte volatltet fnnes fra lgnng (2.18). For DJES 50 blr den justerte volatlteten (σ 1 ) %, mens justert volatltet for Russell 2000 (σ 2 ) er %. Den asatske halen øker mplstt dvdenderate og reduser volatlteten. Volatlteten σ er % ut fra formelen over. Opsjonsverden blr ved å bruke Margrabe s formel fra lgnng (4.1). Legger v tl verden av det garanterte beløpet blr totalverden av produktet kroner. Metode 2 Monte Carlo smulerng Tradsjonell Monte Carlo smulerng kan brukes tl å prse opsjonselementet. Da må v først gjennomføre en Cholesky dekomponerng, og så smulere to korrelerte ndekser, som vst avsntt og tabell Hver av de to ndeksene har asatsk hale bestående av syv månedlge observasjoner. Her bruker jeg VBA sn pseudo random tallgenerator Rnd. Ved en mllon smulernger blr opsjonsprsen 11.35, slk at spareproduktet er verdt totalt sett. Standardavvket for hver smulerng er estmert tl 20.09, og en mllon smulernger gr en standardfel på Et 95 % konfdensntervall for totalverden er [95.71, 95.79]. Hvs v benytter opsjonsverden fra metode 1 som kontroll varat, blr verden av opsjonselementet Verden av spareproduktet er 95.82, med tlhørende standardavvk på Grunnen tl at verden med kontroll varat lgger utenfor konfdensntervallet kan være at de tlfeldge tallene kke er jevnt fordelt på ntervallet (0,1) som drøftet avsntt

50 Metode 3 Quas-Monte Carlo smulerng (QMC) I avsntt 3.4 så v at QMC kan være svært effektv prsng av eksotske opsjoner hvs v kke har for mange dmensjoner. Her bruker jeg Halton sekvensen 14 dmensjoner gtt ved de 14 første prmtallene, sden v har to ndekser og syv haleobservasjoner. I dette tlfellet kan v også bruke estmatet fra metode 1 som kontroll varat, som llustrert fgur 3.6. QMC med en mllon smulernger gr en opsjonsprs på kr og totalverd på kr. Dersom v bruker kontroll varat blr prsen kr. Effekten av kontroll varat er altså svært lten med så mange smulernger. Begge metodene gr resultater som er svært nær estmatet fra metode 2 med kontroll varat. I prospektet opplyser Storebrand at opsjonsverden er kroner Dekomponerng av asatsk hale Storebrand Spread har en kort asatsk hale. For å vurdere hvlken grad dette spller nn på verden av aksjendeksoblgasjonen har jeg estmert verden uten asatsk hale ved de tre forskjellge metodene. Uten asatsk hale gr Margrabe den korrekte verden. Den asatske halen reduserer verden med ca 0.48 kroner per hundrelapp nvestert. En oppsummerng av verdsettelsen med og uten asatsk hale for de ulke metodene er llustrert tabell Tabell Margrabe QMC QMC-KV MC MC-KV Med asatsk hale Uten asatsk hale Verdendrng Senstvtetsanalyse Valg av parametere påvrker opsjonsprsen. Dette produktet er speselt senstvt forhold tl volatltet, mplstt dvdenderate og korrelasjonen mellom ndeksene. Jeg benytter Margrabe s formel senstvtetsanalysen, sden denne er nær den korrekte verden og v da unngår å gjennomføre tdkrevende smulernger. Tabell vser verden av produktet ved å bruke volatltetene fra tabell Hvs v bruker volatlteten sste fre år, er verden av produktet høyere enn det nvestor betaler. Dette skyldes at høsten 2002 tl våren 2003 var en speselt volatl perode, med årlg volatltet rundt 45 %. De andre volatltetsestmatene er mer stable, og gr en produktverd på kroner. 42

51 Tabell DJ Euro Stoxx 50 Russell 2000 Totalverd Volatltet ndeks, sste 4 år % % Volatltet ndeks, sste 1 år % % Volatltet ndeks, sste 2 år % % Volatltet ndeks, sste 3 år % % Fgur vser effekten av å endre volatlteten Margrabe s formel. Dette er en vektet volatltet tl ndeksene (justert for kovarans). Gjennomsnttsvolatlteten må være 19.5 % for at verden av produktet er 100 kr. Det sentrale er at tlleggsbeløpet øker verd hvs volatlteten tl en eller begge ndeksene øker. Fra fgur ser v at en perfekt postv korrelasjon gjør opsjonselementet tlnærmet verdløst. Ved ukorrelerte ndekser er totalverden av produktet rundt 102 kr, mens verden er 100 kroner ved en korrelasjon på 0.2, gtt at de andre verdene holdes uendret. Effekten av å endre den mplstte dvdenderaten er llustrert fgur Redusert dvdende fra DJES og/eller økt dvdende fra Russell gr høyere opsjonsverder. Dette er ntutvt, sden opsjonsutbetalngen er basert på at DJES skal slå Russell. Hvs dvdenderaten er 1.9 % for DJES og 1.4 % for Russell blr opsjonsverden kr. En dvdenderate på 3.4 % for DJES og 0 % for Russell gr en opsjonsverd på 9.30 kr. Produktverden er altså forholdsvs senstvt forhold tl den mplstte dvdenderaten. Totalverd Fgur Opsjonsverd Total verd Oblgasjonsverd 12,0% 13,0% 14,0% 15,0% 16,0% 17,0% 18,0% 19,0% 20,0% Volatltet Totalverd Fgur Total verd Oblgasjonselement Opsjonsverd 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 Korrelasjonskoeffsent Fgur Opsjonsverd 16,30 15,30 14,30 1,9% 2,2% 2,5% 2,8% Dvdende DJES 3,1% 3,4% 0,0% 0,2% 0,4% 0,6% 0,8% 1,0% 1,2% 1,4% 13,30 12,30 11,30 10,30 9,30 Dvdende Russell 15,30-16,30 14,30-15,30 13,30-14,30 12,30-13,30 11,30-12,30 10,30-11,30 9,30-10,30 43

52 4.2 Orkla Fnans Absolutt Europa II Generell beskrvelse av produktet Orkla Fnans Absolutt Europa II BMA har tegnngsperode fra 5. februar 2006 tl 16. mars Mnste tegnngsbeløp er kroner. Investor er garantert å få tlbake hele nvesterngsbeløpet ved forfall, og avkastnngsfaktoren er 100 %. Løpetden er på drøye fem år, fra 27. mars 2007 tl 27. aprl Investor har ngen valutarsko, slk at tlleggsbeløpet er en quanto-opsjon. Tlleggsbeløpet kan g postv avkastnng både ved oppgang og nedgang den underlggende ndeksen Dow Jones Euro Stoxx 50. Grunnen er at tlleggsbeløpet består av en call og en put. Ved første øyekast vrker dette som det deelle spareprodukt; garant for å kke tape kaptalen, og postv avkastnng uavhengg om DJES går opp eller ned. Call opsjonen tlleggsbeløpet har en uvanlg lang asatsk hale. Her benyttes 25 månedlge observasjoner de sste to årene av produktets levetd. Put opsjonen har ngen asatsk hale, men tl gjengjeld har den et knock-out element. Dersom ndeksen på noe tdspunkt har falt 50 % eller mer blr put opsjonen slått ut og er verdløs. Her er det verdt å merke seg at det er mulg at begge eller ngen av opsjonene gr postv avkastnng. Dette skyldes at call opsjonen har asatsk hale, mens put opsjonen kke har det. Matematsk er tlleggsbeløpet gtt ved formelen T Slutt* DJES50 DJES50 GL AF max 0, Start DJES50 Start DJES50 DJES50 + max 0, DJES50 = Start Start Slutt** Her er T verden av tlleggsbeløpet, GL er gjenstående lån og AF er avkastnngsfaktor. DJES50 Slutt* DJES50 Slutt** er sluttverden tl call opsjonen med en asatsk hale på 25 observasjoner. er sluttverden tl put opsjonen og avhenger om barreren brytes. Dersom barreren brytes settes DJES50 Slutt** lk DJES50 Start og put opsjonen er verdløs. Tegnngskostnadene for dette produktet er gtt ved tabell Tabell Tegnngskostnader Orkla Fnans Absolutt Investerngsbeløp Gebyr Kr % Kr % Kr % Kr % Kr % Kr eller mer 0.5% 44

53 4.2.2 Estmerng av nødvendge parametere - Rskofre renter De rskofre rentene for Norge og Euroområdet estmeres fra effektve renter på norske og tyske femårge statsoblgasjoner. Tabell Norsk rente Euro rente Dskret 4.59% 3.97% Kontnuerlg 4.49% 3.89% - Volatltet og korrelasjon mellom ndeks og valuta Volatlteten tl ndeksen beregnet fra daglge logartmske avkastnnger for ulke tdsperoder er gjengtt tabell I lkhet med Storebrand Spread vrker den femårge volatlteten noe høy. Jeg vl derfor, som et utgangspunkt, bruke freårsvolatlteten vdere. De andre volatltetsestmatene benyttes senstvtetsanalysen. Valutavolatlteten er estmert ut fra hstorske data tlsvarende løpetden tl produktet. Tabell DJ Euro Stoxx 50 Volatltet Indeks sste 1 år 15.35% Volatltet Indeks sste 2 år 13.52% Volatltet Indeks sste 3 år 13.18% Volatltet Indeks sste 4 år 15.02% Volatltet Indeks sste 5 år 22.70% Volatltet valuta, sste 5 år 6.05% Kovarans ndeks og valuta Dvdenderate og mplstt dvdende Per 3. mars 2007 er den kontnuerlge dvdenderaten tl DJES sste år omtrent 2.71 %. Den mplstte dvdenderaten for ndeksen fnnes fra lgnng 2.6, og er beregnet tabell Tabell Indeks Dvdenderate Renteforskjell Kovarans Implstt dvdenderate δ r r ) ( DJ Euro Stoxx % 0.59% % c δ 45

54 4.2.3 Verdsettelse av oblgasjonselementet Sden det garanterte beløpet er et banknnskudd SEB Prvatbanken, kan det argumenteres for at v kke trenger å nkludere en kredttrskopreme dskonterngsrenten. Bruker v den kontnuerlge rskofre renten på 4.69 % tl å dskontere det garanterte beløpet, blr nåverden I prospektet er markedsverden av garanterte beløpet estmert tl 77.47, som tlsvarer en årlg kredttrskopreme på 0.54 %. Hvlken verd som er korrekt, avhenger av om nvestor har nvestert mer eller mndre enn 2 mlloner samlet sett hos Prvatbanken Verdsettelse av opsjonselementene Metode 1 - Closed form approxmaton Antar v prnsppet om verdaddtvtet holder, kan hvert opsjonselement verdsettes ndvduelt. V må da justere volatltet og dvdenderate for å ta hensyn tl den asatske halen call opsjonen. Put opsjonen har en knock-out barrere uten rebate, og kan prses ved formelen tl Merton (1973) og Rener og Rubnsten (1991). Lgnng (2.17) og (2.18) kan anvendes tl å justere mplstt dvdenderate og volatltet slk at v tar hensyn tl den asatske halen call opsjonen. Dvdenderaten øker fra 3.22 % tl 3.49 % og volatlteten reduseres fra % tl %. Verden av call opsjonen fra Black 76 formelen blr da kroner. Put opsjonen har en knock-out barrere som måles en gang daglg. Formelen for barrereopsjonen er vst appendks B.1, basert på fremstllngen tl Haug (1998). Verden av down-and-out put opsjonen med kontnuerlg barrere blr Broade, Glasserman og Kou (1995) har vst at det er mulg, som en tlnærmng, å justere barreren fra kontnuerlg tl dskret, som vst appendks B.2. Den dskrete barreren blr nedjustert fra 50 tl Opsjonsverden med dskret barrere er Dette vser at det spller veldg lten rolle for verdsettelsen om v benytter kontnuerlg eller daglg overvåknng. Verden av tlleggsbeløpet blr summen av verden på call og put opsjonene, tl sammen kroner. Totalverden av produktet er kroner per hundrelapp nvestert. Orkla mottar derfor en tlretteleggngsmargn på 3.79 fra dette spareproduktet. 46

55 Metode 2 Monte Carlo smulerng med anttetske varabler Monte Carlo smulerng med anttetske varabler ble beskrevet avsntt 3.3.1, og kan anvendes prsngen av tlleggsbeløpet. Her må v smulere hele prsbanen, kke bare den asatske halen. Grunnen er at v må undersøke daglg om put opsjonen har bltt slått ut hvs ndeksen har brutt barreren. QMC smulerng er derfor uegnet grunnet den høye dmensjonen. Ved å smulere utfall blr opsjonsprsen 18.66, som er omtrent 0.10 kroner høyere enn v fant med metode 1. Verden av Orkla Absolutt er estmert tl 96.14, hvs v legger tl grunn prospektets verdsettelse av oblgasjonen. Dette er crka 0.40 kroner høyere enn Orkla Fnans stt estmat prospektet. Dskonteres oblgasjonen med rskofr rente blr verden Standardavvket for hver smulerng er estmert tl To hundre tusen smulernger gr da en standardfel på , og et 95 % konfdensntervall for prsen på [96.06, 96.21] Dekomponerng - asatsk hale og knock-out element Call opsjonen har en lang asatsk hale. I tabell har jeg estmert verden av spareproduktet uten asatsk hale og uten knock-out elementet. V ser at uten knock-out elementet og uten asatsk hale er verden av produktet akkurat 100 kroner. Den asatske halen reduserer verden av produktet med ca 2.20 kr og knock-out elementet reduserer produktverden med ca 1.60 kr. Totalt er verdreduksjonen 3.80 kr. Tabell Med knock-out Uten Knock-out Med asatsk hale Uten asatsk hale Senstvtetsanalyse Implstt dvdenderate og volatltet er de mest sentrale parameterne verdsettelsen av dette produktet. Tabell og fgur vser verden av produktet for ulke hstorske volatlteter. Med den femårge volatlteten blr verden kroner. Jeg argumenterte tdlgere for at denne volatlteten vrket noe høy. Hvs de andre nputvarablene er rmelge, må volatlteten være ca 23 % for at tlretteleggngsgebyret skal være null. Det kan kanskje argumenteres for at volatlteten tl den forrge femårsperoden kan være representatv for de kommende fem årene. Dette forutsetter da at v har peroder med uvanlg høy volatltet, som peroden høst 2002 tl vår 2003 da den årlge ndeksvolatlteten var 45 %. De andre estmatene er lavere, og gr verder området kroner. Legg her merke tl at økt volatltet gr økt verd på call opsjonen, mens volatlteten kan ha både 47

56 postv og negatv effekt på put elementet. Forklarngen på det sstnevnte momentet er at høyere volatltet gjør det mer sannsynlg at barreren brytes og put opsjonen blr verdløs. Samlet sett er lkevel verden av produktet en strengt konveks funksjon av volatlteten. Tabell DJ Euro Stoxx 50 Totalverd Volatltet ndeks, sste 1 år % Volatltet ndeks, sste 2 år % Volatltet ndeks, sste 3 år % Volatltet ndeks, sste 4 år % Volatltet ndeks, sste 5 år % Total Verd Fgur Total verd Opsjonsverd Oblgasjonselement 10 % 11 % 12 % 13 % 14 % 15 % 16 % 17 % 18 % 19 % 20 % 21 % Volatltet Effekten av endret mplstt dvdenderate er vst fgur En høyere mplstt dvdende reduserer verden av opsjonselementet. Verdfallet er størst for lave mplstte dvdenderater. Høyere mplstt dvdenderate øker verden av put opsjonen, men har negatv effekt på call opsjonen. Samlet sett faller lkevel verden av tlleggsbeløpet med høyere mplstt dvdenderate Fgur Total verd 98 Total verd % 1,5 % 2 % 2,5 % 3 % 3,5 % 4 % 4,5 % 5 % Implstt dvdenderate 48

57 4.3 Fokus Bank Råvarendeksoblgasjon Olje Generell beskrvelse av produktet Fokus Bank RIO har tegnngsperode fra 4. ma 2007 tl 1.jun 2007, hvor mnste tegnngsbeløp er kroner. Produktet har et og et halvt års løpetd, fra 8. jun 2007 tl 8. desember Utsteder betaler tlbake mnmum 100 % av det nomnelle nvesterngsbeløpet (før tegnngskostnader) ved forfall. Tlleggbeløpet er en quanto-opsjon sden produktet kke har valutarsko. Avkastnngen på tlleggsbeløpet har kun fre mulge utfall: 0 %, 7 %, 14 % eller 21 % utbetalt ved forfall om 18 måneder. Underlggende er futuresprsen for et fat olje WTI Lght Sweet Crude målt U.S. dollar, og kvotert på råvarebørsen NYMEX New York. Prsen gjelder for den futureskontrakten med kortest td tl forfall. Dette betyr at en gang hver måned avsluttes handelen futureskontrakten, og kontrakten byttes ut med en som har en måned tl forfall. Hvs oljeprsen har holdt seg prsntervallet +25 % og -20 % forhold tl startprs 8. jun 2007 gjennom hele peroden (heretter prsbånd 1), blr avkastnngen på tlleggsbeløpet 21 %. Har prsen brutt prsbånd 1, men holdt seg nnenfor +35 % og -25 % peroden (prsbånd 2) blr avkastnngen ved forfall 14 %. I de tlfeller oljeprsen bryter prsbånd 2, men holder seg nnenfor prsbånd 3 (+45 % og -30 %) oppnår nvestor 7 % avkastnng. Brytes også prsbånd 3 er avkastnngen null, og kun det garanterte beløpet utbetales. Så lenge v ser på den samme termnkontrakten er termnprsen en martngale under det rskonøytrale sannsynlghetsmålet. Den dagen en kontrakt byttes ut med en ny som har en måned lenger tl forfall, vl avkastnngen følge av termnstrukturen forwardmarkedet tl oljeprsen. V kan da få hopp avkastnngen det v bytter kontrakt. Alt annet lke vl hoppene øke sannsynlgheten for at barrerene brytes, og redusere verden av produktet. Slke hopp er vanskelge å mplementere Monte Carlo modellen, så jeg utelater denne effekten mne analyser. En annen faktor som kan påvrke verden av produktet er sesongvarasjoner oljeprsen. Denne effekten vl gjenspeles termnstrukturen forwardmarkedet, slk at de to faktorene tl en vss grad henger sammen. Kraftge sesongvarasjoner øker også sannsynlgheten for at barrerene brytes. Oljeprsen har tradsjonelt hatt topper om vnteren som følge av økt etterspørsel etter fyrngsolje og om sommeren på grunn av amerkanernes 49

58 økte blkjørng. Prsen på olje faller vanlgvs tlbake om høsten og våren. Sesongvarasjonene øker sannsynlgheten for at barrerene brytes, og er bare delvs tatt hensyn tl den hstorske volatlteten. Dette produktet varer et og et halvt år, og får med seg to sommersesonger og en og en halv vntersesong. På denne måten får utsteder utnyttet sesongvarasjonene slk at de får med seg flest mulg av de volatle perodene. I mne analyser ser jeg også bort fra effekten av sesongvarasjoner oljeprsen, ford det er vanskelg å ta hensyn tl dette Monte Carlo modellen. Ved å utelate dsse to effektene vl tlleggsbeløpet bl noe høyere enn hvs jeg hadde nkludert de mne analyser. Tabell Tegnngskostnader Fokus RIO Investerngsbeløp Gebyr NOK ,0% NOK ,5% NOK ,0% NOK eller mer 0,5% Tegnngskostnadene for dette produktet er gtt ved tabell En llustrasjon av prsbåndene og to smulerte prsbaner er vst fgur Den sorte prsbanen bryter alle tre prsbåndene, og tlleggsbeløpet er verdløst ved forfall. Den grå prsbanen bryter prsbånd 1, men ngen av de andre. Avkastnngen blr dette tlfellet 14 %. 1,6 1,5 Fgur Smulerte prsbaner for WTI 1,4 Bruttoavkastnng 1,3 1,2 1,1 1 0,9 0,8 0,7 0, Dager 50

59 4.3.2 Estmerng av nødvendge parametere -Rskofre renter Den norske rskofr renten beregnes ved en lneær nterpolerng av de effektve rentene på norske ettårge og treårge statsoblgasjoner. Den amerkanske renten kommer fra en lneær nterpolerng av seksmånedersrenten og toårsrenten. Felen ved en slk approksmasjon er forholdsvs lten, sden begge yeld-kurvene er tlnærmet flate på 5 % for alle løpetder. Tabell vser de aktuelle rentene. Tabell Norsk rente Amerkansk rente Dskret 4.93 % 4.89 % Kontnuerlg 4.81 % 4.77 % - Volatlteter og kovarans I tabell har jeg estmert volatlteten for de sste ett tl fre årene for den daglge logartmske avkastnngen tl WTI oljeprsen. Tabellen vser at oljeprsen har en forholdsvs stabl volatltet rundt 30 % per år. Volatlteten tl valutaen og korrelasjon mellom valuta og WTI er estmert tl henholdsvs 9.28 % og gtt ut fra daglg data de sste 18 månedene. Kovaransen mellom ndeks og valuta er estmert tl , og vser at dette har lten betydnng for verdsettelsen. Tabell WTI Volatltet WTI sste 4 år 28.82% Volatltet sste 3 år 30.09% Volatltet sste 2 år 32.22% Volatltet sste 1 år 32.53% Volatltet sste 1.5 år 29.52% Volatltet valuta, sste 1.5 år 9.28% Kovarans WTI og valuta Dvdenderater og mplstt dvdende Oljeprsen betaler naturlg nok kke ut dvdender på samme måte som aksjer. Lkevel kan det være en eerfordel eller convenence yeld oljemarkedet. Eerfordelen kan estmeres ut ( r c) t fra sammenhengen F = Se, hvor F er dagens futuresprs på olje levert om 18 måneder, S er dagens spotprs, r er amerkansk rente og c er eerfordelen. Her har jeg antatt at eerfordelen er tdsuavhengg, selv om dette neppe er tlfelle. Ut fra data fra Dagens 51

60 Nærngslv 19 estmeres eerfordelen tl 2.9 % per år. Den mplstt dvdenderate både med og uten convenence yeld er gtt tabell Tabell Underlggende Dvdenderate Renteforskjell Kovarans Implstt dvdenderate δ r r ) ( WTI crude ol 0.00 % % % WTI crude ol 2.90 % % % c δ Verdsettelse av oblgasjonselementet I følge prospektet er utstederen Danske Bank, som eer Fokus Bank, kredttratet AA- fra S&P. Dette er bedre enn ratngen tl Storebrand Bank, og jeg benytter derfor en årlg kredttrskopreme på 0.3 %. Nåverden av å motta de garanterte 100 kronene om 18 måneder fnnes ved å dskontere 100 kroner med en kontnuerlg rente på 5.11 % 18 måneder. Nåverden av det garanterte beløpet er da kroner Verdsettelse av opsjonselementet Tlleggsbeløpet er avhengg av om oljeprsen WTI har brutt en eller flere av de tre ulke prsbåndene, som llustrert fgur I følge prospektet observeres oljeprsen daglg gjennom produktets levetd på 18 måneder, eller 378 handledager. Quas Monte Carlo smulerng trenger 378 dmensjoner, noe som gjør at VBA koden blr veldg lang og v får dmensjonsproblemer som vst fgur 3.8a. I dette tlfellet vl jeg bare benytte vanlg Monte Carlo smulerng. Opsjonselementet kan alternatvt verdsettes ved formler. V har her en portefølje av tre bnære doble knock-out opsjoner. Formelen for en slk struktur fnnes Hu (1996), og er gjengtt Haug (2006). Formlene er ganske avanserte, så jeg har valgt å kke gjennomføre en slk verdsettelse. Som utgangspunkt bruker jeg volatlteten tl WTI de sste 18 månedene, som er %. Årlg mplstt dvdenderate er % hvs eerfordelen utelates, og 2.62 % nkludert 19 Eerfordelen estmeres basert på en spotprs på olje på og en 18 måneders termnprs på Den amerkanske renten er 4.77 %. Data hentet fra DN sde 85. Merk at dette gjelder Brent olje, kke WTI. Lkevel antar jeg at forskjellen mellom de ulke kvaltetene spller lten rolle for eerfordelen. 52

61 eerfordelen oljemarkedet. Det er benyttet smulernger prsngen av opsjonselementet. De sentrale resultatene er oppsummert tabell Tabell a Antall smulernger Verd av tlleggsbeløpet Verd av tlleggsbeløpet, med eerfordel Standardavvket tl hver enkelt smulerng Standardfelen tl estmatet Tabell b Nedre grense Øvre grense 95 % konfdensntervall, uten eerfordel Tabellen vser at verden av tlleggsbeløpet er hvs effekten av eerfordelen utelates. Standardavvket tl hver enkelt smulerng er estmert tl 6.324, noe som gr en standardfel på ved smulernger. V er derfor 95 % skre på at den korrekte teoretske prsen lgger ntervallet [4.536, 4.591], gtt att nputvarablene er rmelge. Total verd av produktet er summen av det garanterte beløpet og tlleggsbeløpet, tl sammen I prospektet er tlleggsbeløpet verdsatt tl 6.24, det garanterte beløpet er dag verdt 92.76, og totalverden av spareproduktet er kroner. Fokus Bank benytter trolg en lavere volatltet enn det jeg har gjort mtt estmat. Dersom v tar hensyn tl eerfordelen på 2.9 % per år, reduserer dette verden av tlleggsbeløpet fra tl Eerfordelen påvrker drftsleddet oljeprsdynamkken, og øker sannsynlgheten for at barrerene brytes. Effekten er lkevel så lten at jeg utelater eerfordelen termnmarkedet for olje de vdere analysene. Dette vser at drftsleddet har mndre betydnng, sden en postv drft øker sannsynlgheten for å bryte de øvre prsbåndene, samtdg som det reduserer sannsynlgheten for at de nedre prsbåndene brytes. Et negatvt drftsledd vl øke sannsynlgheten for å bryte de nedre båndene, men redusere sannsynlgheten for at noen av de øvre båndene brytes. Alt alt er det estmatet på volatlteten som betyr noe for verden av produktet Senstvtetsanalyse Hstorske data er kke nødvendgvs representatve for fremtden. Derfor er det vktg å vurdere hvordan verden på produktet påvrkes av endrnger sentrale nputvarabler. For dette produktet er det all hovedsak volatlteten som har nnvrknng på prsen, samtdg som denne er mest uskker. De andre varablene er mndre uskre, og har lten effekt på prsngsresultatet. Senstvtetsanalyse av ulke volatlteter fnnes tabell og er llustrert fgur

62 Tabell Volatltet Tlleggsbeløp Total verd 20 % % % % % % % % % Fgur smulernger 104 Senstvtetsanalyse Fokus Råvarendeksoblgasjon 102 Total verd Oblgas jonsverd 100 Verd Opsjonsverd % 22 % 24 % 26 % 28 % 30 % 32 % 34 % 36 % Volatltet Tabellen og fguren over vser at verden av produktet er avtakende med høyere volatltet, og at verden er en konveks funksjon av volatlteten. Konklusjonen er at dersom nvestor mener at den årlge volatlteten tl oljeprsen de neste 18 månedene vl være under 24 %, er produktet verdt mer enn det du betaler (før tegnngskostnader). Mtt estmat på fremtdg volatltet er 29.5 %, noe som er den nest laveste av de fem hstorske volatltetene fra tabell Verden av råvarendeksoblgasjonen er da 97.19, slk at utsteder har en tlretteleggngsmargn på 2.81 %. I prospektet er tlsvarende tlretteleggngsmargn 1.00 %. Forskjellen skyldes at Fokus Bank har estmert en høyere verd på tlleggsbeløpet, trolg basert på en antakelse om en lavere volatltet enn mn. Gtt at våre modeller er noenlunde lke, bruker Fokus Bank en volatltet på rundt 26 % Det kan stlles spørsmål ved om dynamkken oljeprsen kan smuleres ved en geometrsk brownsk bevegelse. OPEC har stor nnflytelse tl å påvrke oljeprsen, noe som kan g hopp oljeprsen som er langt større enn hva som er rmelg ut fra antakelsen om normalfordelte 54

63 logartmske endrnger oljeprsen. Jeg mener lkevel at det er forsvarlg å smulere oljeprsen på samme måte som en aksje, sden alternatve modeller fort blr for komplekse. 4.4 Acta Japansk Eendom Generell beskrvelse av produktet Tegnngsperoden tl Acta Japansk Eendom er fra 7. februar 2007 tl 8. mars Mnste nvesterngsbeløp er Løpetden tl produktet er fra 20. mars 2007 tl 31. mars Utsteder garanterer at hele nvesterngsbeløpet (eksklusve tegnngskostnader) utbetales ved forfall. I prospektet opplyses det at avkastnngsfaktoren ser ut tl å bl 115 %, og hvs den blr lavere enn 90 % blr utstedelsen nnstlt. På forespørsel tl Acta fkk jeg opplyst at den faktske avkastnngsfaktoren ble 102 %. Heller kke dette produktet har valutarsko, og v må prse opsjonselementet som en quanto. Matematsk kan opsjonselementet formuleres slk: Slutt TSEREIT TSEREIT T = GL AF max 0, Start TSEREIT Start Tlleggsbeløpet er en kjøpsopsjon på den japanske eendomsndeksen Tokyo Stock Exchange REIT ndex (TSEREIT). Denne ndeksen har eksstert ltt over tre år. Opsjonselementet har en relatv kort asatsk hale med syv månedlge observasjoner det sste halve året av løpetden. Spareproduktet er relatvt enkelt å prse, sden det kke har noen særegne eksotske elementer seg. Acta krever tegnngsgebyr som gtt ved tabell Tabell Tegnngskostnader Acta Japansk Eendom % Over maks 2.0 % Estmerng av nødvendge parametere - Rskofre renter Rskofre renter estmeres fra effektv rente på norske og japanske treårge statsoblgasjoner den Den norske kontnuerlge renten for peroden er 4.54 %, mens den japanske er 1.08 %. 55

64 - Volatlteter og kovarans Tre hstorske volatltetsestmat på TSEREIT er estmert tabell Årlg volatltet sste tre år er underkant av 14 %. Jeg vl benytte denne volatlteten som utgangspunkt for verdsettelsen. V ser også at det kan tyde på at volatlteten tl ndeksen har økt de sste årene. I senstvtetsanalysen ser jeg på hvordan verden av produktet endres ved å bruke andre volatlteter. Valutavolatlteten og korrelasjon mellom valuta og ndeks er estmert tl henholdsvs 9.69 % og ut fra daglg data for de sste tre årene. Kovaransen mellom ndeks og valuta er estmert tl Tabell TSEREIT Volatltet ndeks sste 1 år % Volatltet ndeks sste 2 år % Volatltet ndeks sste 3 år % Volatltet valuta, sste 3 år 9.69 % Kovarans ndeks og valuta Dvdenderater og mplstt dvdende I følge prospektet er REIT ndeksen populær Japan, blant annet ford eendomsselskapene har betalt ut relatvt høye dvdender. V vet at eere av strukturerte produkter kke mottar dvdender, og en høy dvdende vanlgvs reduserer verden av produktet. I prospektet står det at ndeksen har en årlg dvdenderate på 2.63 %. To andre klder 20 estmerer dvdenderaten tl å være 2.84 % og ca 3 %. I den vdere analysen bruker jeg dvdenderaten fra prospektet, da denne vrker rmelg. Den mplstte dvdenderaten kan da estmeres som tabellen under. V ser at den mplstte dvdenden er meget høy, nesten 6 %. Dette skyldes at dvdenden fra selskapene ndeksen er forholdsvs høy samtdg som renteforskjellen mellom Norge og Japan er stor. Kovaransen mellom valuta og ndeks har også her lten betydnng. Tabell Underlggende Dvdenderate Renteforskjell Kovarans Implstt dvdenderate δ r r ) ( TSEREIT 2.60 % % % c δ 20 Estmatene er hentet fra thebusnessonlne.com og mtsufudosan.co.jp. Lnkene fnnes ltteraturlsten. 56

65 4.4.3 Verdsettelse av oblgasjonselementet Det garanterte beløpet står som banknnskudd Sandnes Sparebank, og nnskudd opp tl 2 mlloner er garantert gjennom Bankenes Skrngsfond. Brukes den rskofre renten på 4.54 % tl å dskontere det garanterte beløpet, blr nåverden omtrent kroner. I prospektet står det kke noe om kredttratng tl utsteder, men Acta har estmert at det garanterte nnskuddet er verdt kroner på nvesterngstdspunktet. Dette betyr at Acta benytter en årlg kredttrskopreme på 0.5 %. Hva som er korrekt verd avhenger av nvesterngsbeløp tl nvestor. I de vdere analysene vl jeg benytte oblgasjonsverden fra prospektet Verdsettelse av opsjonselementet Tlleggsbeløpet en kjøpsopsjon med en asatsk hale med syv månedlge observasjoner. Her er det kurant å bruke Quas Monte Carlo smulerng, sden v kun må benytte syv dmensjoner. Verdsettelsen bruker Halton sekvensen med de syv første prmtallene. Sden v har en kort asatsk hale og ngen kurv av ndekser som underlggende, vl closed form approxmaton kunne g et bra estmat. V må her justere den mplstte dvdenderaten og volatlteten for å ta hensyn tl den asatske halen. Tabell vser resultatet av justerngen etter formlene (2.17) og (2.18). Tabell Impl. dvdende Volatltet Estmat 5.93 % % Estmat justert for asatsk hale 5.79 % % Dfferanse 0.14 % % Med nputvarablene fra tabell og kan v verdsette produktet ved de tre ulke metodene. Tabell vser at forskjellene mellom de tre estmatene er små, noe som tyder på at modellene er konsstente med hverandre. Verden før tegnngskostnader er crka 92 kroner, noe som er mye lavere enn Acta stt estmat på Ut fra mne analyser tar Acta et tlretteleggngsgebyr på åtte kroner for hver hundelapp som nvesteres. Høyeste anslag fra Acta prospektet er 3 kroner, basert på en avkastnngsfaktor på 115 %. Justerer v dette estmatet slk at den faktske avkastnngsfaktoren på 102 % benyttes, er Acta stt estmat på tlretteleggngsgebyret omtrent 3.40 kroner. Den store forskjellen skyldes trolg ulke oppfatnnger om fremtdg volatltet, sden det er lten uskkerhet renteestmatet og begge analysene benytter samme dvdendeestmat. For en nvestor som har mndre enn 2 mlloner 57

66 plassert hos Sandnes Sparebank, kan det garanterte elementet dskonteres med rskofr rente. Da blr verden av produktet crka 1.32 kroner høyere, altså kroner. Tabell Verd tlleggsbeløp Total verd Black '76 med justerte verder Quas-Monte Carlo smulerng Monte Carlo smulerng Standardavvket tl den enkelte smulerng er 11.72, og standardfelen ved en mllon smulernger er Et 95 % konfdensntervall for produktverden blr da [91.99, 92.03] Dekomponerng av den asatske halen Uten den asatske halen gr Black 76 formelen den korrekte verden på tlleggsbeløpet, som er 6.61 kroner. Reduksjonen verd på grunn av den asatske halen på syv observasjoner er rundt 0.37 kroner for hver hundrelapp som nvesteres Senstvtetsanalyse Volatltet og mplstt dvdenderate er uskre estmater, og har betydelg effekt på verden av dette produktet. Tabell vser en senstvtetsanalyse med ulke hstorske volatlteter. V ser at verdøknngen er tlnærmet lneær volatlteten. En prosent høyere volatltet øker opsjonsverden med crka 0.54 kroner. Fgur vser at totalverden varerer mellom 90 kroner og kroner, for volatlteter mellom 10 % og 26 %. For at produktet skal være verdt lke mye som nvestor betaler for det (før tegnngskostnader), må volatlteten være ca 29 %. Dette vrker urealstsk. Acta stt estmat på verden tlsvarer en volatltet på crka 23 %. Verden basert på laveste og høyeste hstorsk volatltet er henholdsvs og kroner. Tabell Volatltet Opsjonsverd Total verd Volatltet ndeks sste 1 år % Volatltet ndeks sste 2 år % Volatltet ndeks sste 3 år %

67 Verd Fgur Senstvtetsanalyse volatltet Opsjonsverd Total verd Oblagasjo nsverd 10 % 12 % 14 % 16 % 18 % 20 % 22 % 24 % 26 % Volatltet Effekten av ulke mplstte dvdenderater er llustrert fgur Som ventet er verden fallende med økt mplstt dvdenderate, og kurven er svakt konveks. Med en mplstt dvdenderate på 3 % er verden crka 96 kroner. Dette er mndre enn renteforskjellen mellom Norge og Japan, og er en nedre grense for et realstsk estmat på mplstt dvdenderate. Verd Fgur Senstvtetsanalyse mplstt dvdende Opsjonsverd Total verd Oblgasjo nsverd 3 % 4 % 5 % 6 % 7 % 8 % Implstt dvdende Totalt sett vrker kke dette produktet speselt forlokkende. Høy dvdenderate, stor renteforskjell mellom Norge og Japan og en ndeks med lav volatltet gjør at verden av produktet kun er 92 kroner med utgangspunkt volatlteten sste tre år. Ut fra tabell ser det kanskje ut som volatlteten har økt noe de sste årene. Legger v volatlteten sste år tl grunn, øker verden tl Acta stt volatltetsestmat på ca 23 % vrker etter mn menng for høyt for denne ndeksen. 59

68 4.5 Nordea Lock-n Basket Generell beskrvelse av produktet Nordea Lock-n Basket er en aksjendeksoblgasjon med en løpetd på fre år, fra 3. november 2006 tl 3. november Tegnngsperoden varte fra 9. oktober tl 30. oktober 2006, med mnste tegnngsbeløp på kroner. Avkastnngsfaktoren er 100 % og 95 % av det nvesterte beløpet er garantert ved forfall. Underlggende er en kurv av fre aksjendekser. Dow Jones Euro Stoxx 50 (DJES) har 40 % vekt kurven. Den brede japanske ndeksen Tokyo Stock Prce ndex (TOPIX) er vektet med 30 %. Hang Seng ndeksen Kna og S&P BRIC 40 Euro ndeksen har begge 15 % vekt hver. BRIC ndeksen består av de 40 største selskapene Brasl, Russland, Inda og Kna. Opsjonen prses som en quanto, sden det kke er valutarsko nvesterngen. Opsjonselementet produktet har en lock-n barrere. Dersom verden av kurven har økt med mnst 20 % løpet av løpetden vl nvestor være garantert mnmum 15 % avkastnng ved forfall (20 % avkastnng fra opsjonselementet og 95 % tlbake fra kaptalgaranten). Sluttverden tl produktet beregnes ved månedlge avlesnnger de sste 18 månedene av levetden. Matematsk kan verden av tlleggsbeløpet formuleres slk: slutt start Aksjendeks Aksjendeks = start Aksjendeks T GL AF max 4 * Lockn, w = 1 T er verden av tlleggsbeløpet, GL er gjenstående lån og AF er avkastnngsfaktor (100 %). w er vekten tl hver enkelt ndeks. * Lockn er 20 % dersom verden tl kurven på noe tdspunkt vært mnst 20 % høyere enn startverden, ellers er den null. Tegnngskostnadene tl produktet fnnes tabell Tabell Tegnngskostnader Nordea Lock-n Basket Kr % Kr % Kr eller mer 0.5 % 60

69 4.5.2 Estmerng av nødvendge parametere - Rskofre renter DJES og BRIC ndeksene er begge notert Euro. Hang Seng ndeksen er notert knesske yuan og TOPIX japanske yen. Jeg bruker også her en lneær nterpolerng av effektv rente på tre- og femårge statsoblgasjoner som estmat på de freårge rskofre rentene. De forskjellge rentene fnnes tabell Tabell Norsk rente Knessk rente Eurorente Japansk rente Dskret 4.04% 3.92% 3.73% 1.23% Kontnuerlg 3.96% 3.82% 3.66% 1.22% - Volatltet Volatlteten tl ndeksene er beregnet tabell 4.5.3, og vser at volatltetene tl Topx og BRIC er rmelg stable over de ulke tdsperodene. Volatlteten tl DJ Euro Stoxx er høyere for freårsperoden enn for de andre perodene, noe v også så fra de andre produktene som har DJES som underlggende. Volatlteten tl Hang Seng ndeksen er noe høyere for freårsperoden enn de sste par årene. I analysen foretrekker jeg å estmere volatlteten fra samme tdsperode for alle ndeksene som nngår spareproduktet, og da faller valget dette tlfellet på freårs volatltetene. Tabell DJ Euro Stoxx Hang Seng Topx BRIC Volatltet ndeks, sste 4 år 18.56% 24.94% 17.39% 21.92% Volatltet ndeks, sste 3 år 13.39% 25.21% 16.69% 21.51% Volatltet ndeks, sste 2 år 12.77% 19.09% 16.01% 20.17% Volatltet ndeks, sste 1 år 14.35% 21.45% 19.16% 20.66% Volatltet valuta, sste 4 år 6.16% 9.61% 10.41% 6.16% Korrelasjon ndeks og valuta Kovarans ndeks og valuta Korrelasjon mellom ndeksene og korrelasjon mellom ndeksene og valuta Tabellen vser at kovaransen mellom ndeks og valuta også her er svært nær null. Korrelasjonen mellom de ulke ndeksene har også betydnng for verden på tlleggsbeløpet. 61

70 Dersom ndeksene er perfekt postvt korrelert vl v kke ha noen dversfserngseffekt kurven. Lavere korrelasjon gr større dversfserngseffekt og mndre verd på opsjonen. Korrelasjonene estmeres basert på logartmsk avkastnng tl ulke par av ndekser. Sden de asatske børsene er åpne når de europeske er stengt, og omvendt, vl korrelasjonskoeffsenten beregnet ved daglge data trolg bl for nær null. Det er ulke metoder å løse dette problemet på. En måte er å lage et lead-lag estmat på korrelasjonen. Jeg har valgt å benytte en tdssere med tre dagers avkastnnger de fre sste årene for alle ndeksene. For en gtt tdsperode har v da tre tdsserer med tre dagers avkastnnger, noe som gr tre estmat på korrelasjonene. Jeg benytter et artmetsk sntt av dsse korrelasjonene. Alternatvt kunne jeg benyttet ukentlge eller månedlge avkastnnger. Korrelasjonsmatrsen er beregnet tabell Tabell Hang Seng BRIC DJ Euro Stoxx Topx Hang Seng BRIC DJ Euro Stoxx Topx I Monte Carlo smulerngen må v smulere korrelerte ndekser. For å gjøre dette må v foreta en Cholesky dekomponerng av korrelasjonsmatrsen. Tabell vser den nedre trangulære matrsen basert på teoren fra avsntt Tabell Faktor 1 Faktor 2 Faktor 3 Faktor 4 Hang Seng BRIC DJ Euro Stoxx Topx Dvdenderater og mplstt dvdende I lkhet med de andre produktene bruker jeg dvdenderaten sste år som estmat på fremtdg dvdenderate. For BRIC er dvdenderaten kke tlgjengelg Datastream. En annen BRIC 62

71 ndeks 21 har en dvdenderate på 1.07 %. I mne analyser antar jeg en kontnuerlg dvdenderate på 1 % for BRIC ndeksen. Implstt dvdenderate for de fre ndeksene er beregnet tabell Tabell Indeks Dvdenderate Renteforskjell Kovarans Implstt dvdenderate δ ( r r ) c δ Hang Seng 1.39% 0.12% % BRIC 1.00% 0.30% % DJ Euro Stoxx 2.68% 0.30% % Topx 0.99% 2.74% % Verdsettelse av oblgasjonselementet Denne aksjendeksoblgasjonen garanterer at nvestor får tlbake 95 % av nvestert beløp ved forfall om fre år. Den norske kontnuerlge rskofre renten er 3.96 % p.a. Kredttratngen tl Nordea er følge prospektet AA- fra S & P. Jeg bruker derfor lkhet med produktet tl Fokus Bank en årlg kredttrskopreme på 0.3 %. Nåverden av det garanterte beløpet er kroner per hundelapp nvestert. Det tlsvarende estmatet prospektet er kroner Verdsettelse av opsjonselementet Lock-n elementet gjør at v må smulere hele prsbanen, slk at v for hver dag kan vurdere om kurven har steget med mer enn 20 %, og dermed låst nn avkastnngen. Ved smulerng av daglge noternger for hver av de fre ndeksene gjennom hele løpetden trengs det hele 4000 dmensjoner QMC smulerng. Dmensjonen kan reduseres ved å endre problemet, men dette kan påvrke pressjonen tl estmatet. I verdsettelsen vl jeg benytte Monte Carlo smulerng med anttetske varabler. Verden av opsjonselementet basert på smulernger er kroner, mens tlsvarende estmat prospektet er kroner. Den totale verden av det garanterte produktet er kroner, noe som er 2.75 kroner lavere enn prospektet. Standardavvket tl hver enkelt smulerng er 16.76, som gr en estmatet en standardfel på Ut fra dsse verdene er 95 % konfdensntervallet for verden [94.20, 94.30]. 21 Claymore BRIC ETF: 63

72 4.5.5 Dekomponerng - asatsk hale og lock-n element Nordea Lock-n Basket har to eksotske element seg, en asatsk hale og en lock-n barrere. Tabell vser verden av produktet med og uten de eksotske elementene beregnet ved Monte Carlo smulerng. Lock-n elementet øker verden på produktet med crka 2.9 kroner. Med kun en sluttavlesnng ved forfall stedenfor asatsk hale vlle verden økt med 2.9 kroner. Tabell Med lock-n Uten lock-n Med asatsk hale Uten asatsk hale Senstvtetsanalyse Senstvtetsanalyse av volatltet, korrelasjoner og mplstt dvdenderate er mer krevende når v har en kurv av fre ndekser som underlggende. Samtdg er trolg noen av verdene for høye, mens andre er for lave. Det er for eksempel lte trolg at volatltetsestmatene tl alle fre ndeksene er for lave. I senstvtetsanalysen av volatlteten har jeg økt eller redusert volatlteten relatvt tl utgangspunktet, som llustrert fgur basert på smulernger. En relatv øknng alle de fre volatltetene på 10 % øker verden av produktet fra tl For at verden skal være lk estmatet prospektet må alle volatltetene økes med crka 20 %. Senstvtetsanalysen av mplstt dvdenderate vser mye av det samme, men med motsatt fortegn. En 20 % reduksjon (øknng) alle de fre mplstte dvdenderatene øker (reduserer) verden av aksjendeksoblgasjonen med rundt en krone, gtt at de andre varablene holdes uendret. 96,5 Fgur Senstvtetsanalyse av volatltet 96,0 Fgur Senstvtetsanalyse av mplstt dvdenderate 96,0 95,5 95,0 95,5 95,0 Verd 94,5 94,0 93,5 93,0 92,5 Total verd Verd 94,5 94,0 93,5 93,0 Total verd 92,0-15 % -10 % -5 % 0 % 5 % 10 % 15 % Relatv endrng volatltet 92,5-30 % -20 % -10 % 0 % 10 % 20 % 30 % Relatv endrng mplstt dvdenderate 64

73 4.6 DnB Nor Kraft 2007/2009 SNF-rapport nr. 19/ Generell beskrvelse av produktet Tegnngsperoden tl DnB Nor Kraft 2007/2009 varte fra 4. desember 2006 tl 12. januar 2007, med mnste nvesterngsbeløp på kroner. Løpetden tl produktet er fra 29. januar 2007 tl 30. desember Investor betaler 5 % overkurs ved kjøp, tllegg tl tegnngskostnadene som vst tabell Kundene er garantert å få tlbake nvestert beløp eksklusv tegnngskostnader og overkurs ved forfall. DnB Nor Kraft har ngen valutaeksponerng. Avkastnngen tl spareproduktet avhenger av prsutvklngen på tre ulke fastprskontrakter på strøm, notert på kraftbørsen Nord Pool. Tlleggsbeløpet fremkommer som et lkevektet gjennomsntt av avkastnngen på tre opsjoner med kraftprsen målt euro per MWh som underlggende. De tre opsjonene har løpetd på henholdsvs ett, to og tre år. Matematsk kan tlleggsbeløpet uttrykkes som 3 slutt start Kraftkontrakt Kraftkontrakt T = GL AF max w ;0 start = 1 Kraftkontrakt Notasjonen er den samme som tdlgere. Avkastnngsfaktoren tl produktet er 105 %. Her beregnes både start- og sluttverdene som et artmetsk gjennomsntt tl kraftprsen fem etterfølgende dager. En slk gjennomsnttsberegnng reduserer som kjent volatlteten, og dermed verden av produktet. Lkevel er effekten lten, sden tden mellom hver observasjon kun er én handledag. Tabell Tegnngskostnader DnB Kraft 2007/2009 Investerngsbeløp Vanlg provsjon Partnerkunder Kr % 2.70 % Kr % 1.80 % Kr % 0.90 % Kr eller mer 0.50 % 0.45 % 65

74 4.6.2 Estmerng av nødvendge parametere - Rskofre renter De rskofre rentene for Norge og Euroområdet er som tdlgere ut fra de effektve rentene på treårge statsoblgasjoner. Rentene er beregnet den sste dag tegnngsperoden, og er gtt ved tabell Rentedfferansen, eller appreserngsraten, er 0.39 % per år. Tabell Norsk rente Euro rente Dskret 4.35% 3.94% Kontnuerlg 4.26% 3.86% - Volatltet Gjennom hele rapporten har jeg benyttet hstorske volatlteter som estmat på fremtdg volatltet. Implstt volatltet fra markedsdata for de ulke aksjendeksene har kke vært tlgjengelg for løpetder på tre tl fem år. Stuasjonen er en annen kraftmarkedet. Opsjonene som utgjør tlleggsbeløpet er kontrakter som faktsk handles markedet. Dette gjør at det kke er noen grunn tl å basere beregnngene på hstorsk volatltet, men heller benytte relevante markedsdata tl å beregne volatlteten. I prospektet tl DnB står det kke hvlke volatlteter de benytter analysene sne. Jeg har derfor hentet volatltetsestmat fra prospektet tl Nordea Kraftoblgasjon XIII 2007/ Denne kraftoblgasjonen har de samme kontraktene som underlggende, men produktet ble utstedet to uker etter DnB Nor Kraft 2007/2009. Det antas at dette kke betyr noe for volatlteten. Den årlge volatlteten tl de ulke kontraktene, basert på nformasjonen prospektet tl Nordea, fnnes tabell Jeg antar at det er uavhengghet mellom avkastnngene tl kraft og valuta, selv om en eventuell samvarasjon kan estmeres ut fra hstorske data. Tabell Kontrakt Årlg volatltet Vol. første år Vol. andre år Vol. tredje år ELNOCA08 ndeks 26.0 % 26.0 % ELNOCA09 ndeks 22.5 % 26.0 % % ELNOCA10 ndeks 20.0 % 26.0 % % % 22 Prospektet tl Nordea Kraftoblgasjon XIII fnnes på 66

75 Ettårskontrakten handles tl en mplstt årlg volatltet på 26 %, mens den mplstte volatlteten tl to- og treårskontraktene er henholdsvs 22.5 % og 20 %. Den annualserte volatlteten faller med lenger løpetd, noe som er karakterstsk for kraftmarkedet. Kraftprsene har typsk store sesongvarasjoner, men over td vl prsene bevege seg tlbake mot en lkevektsprs. Aksjekursens dynamkk modelleres ved en geometrsk brownsk bevegelse (GBB), som forklart avsntt 3.1. Spotprsen på kraft kan modelleres ved en tofaktor modell som tar hensyn tl sesongvarasjoner og mean reverson, som for eksempel modellen tl Luca og Schwartz (2002). En slk modell er mer kompleks, men gr trolg en mer realstsk smulerng av spotprsen på kraft. Sden v her ser på termnprsen på kraft, forenkler det problemet, og det er rmelg å bruke en GBB modell smulerngene. Avkastnngen på tlleggsbeløpet avhenger av utvklngen tre termnkontrakter på kraftprsen. Dersom kraftprsen måles norske kroner, vl dynamkken tl termnprsen på kraft være en martngale under det rskonøytrale sannsynlghetsmålet. I vårt tlfelle er kraftprsen målt euro, slk at drftsleddet dynamkken vl være dfferansen mellom den norske og europeske renten. Hadde opsjonene steden hatt spotprsen på kraft som underlggende, vlle drftsleddet vært lk den norske renten, og verden av tlleggsbeløpet vlle vært høyere. Kunder som nvesterer DnB Nor Kraft 2007/2009 oppnår dermed kke avkastnngen kraftmarkedet, men avkastnngen fra termnkontrakter på kraft. Dette kan sammenlgnes med at eere av aksjendeksoblgasjoner kke mottar avkastnngen fra aksjemarkedet, men avkastnngen fra en aksjendeks der dvdenden kke renvesteres. Eerne av strukturerte produkter kommer begge tlfellene dårlgere ut enn hvs underlggende hadde vært spotprs eller aksjemarkedsavkastnng. Hvs v antar at volatlteten det første året vl være 26 % for alle de tre kontraktene, må volatlteten det andre året være % for at den årlge volatlteten tl toårskontrakten skal bl 22.5 %. På tlsvarende måte må volatlteten tl kraftprsen være % det tredje året for at årlg volatltet over treårsperoden skal bl 20 %, gtt at de ettårge og toårge volatltetene er henholdsvs 26 % og 22.5 %. For volatltetsberegnngene henvses det tl appendks A.4. - Implstt dvdenderate I lkhet med Fokus Bank sn oljeoblgasjon er det heller kke her snakk om utbetalng av dvdende. Eerfordelen eller convenence yeld markedet kan prnsppet estmeres ut fra spot- og termnprser. Sden strøm lten grad kan lagres, er det rmelg å anta at eerfordelen 67

76 er null. Dersom en eerfordel ekssterer vl den trolg være svært tdsavhengg og vanskelg å mplementere en smulerngsmodell. I vårt tlfelle ser v kun på termnkontrakter, og trenger dermed kke å ta hensyn tl en eventuell eerfordel. Den mplstte dvdenderaten er da lk rentedfferansen mellom den norske og europeske renten, som vst tabell Tabell Underlggende Dvdenderate Renteforskjell Implstt dvdenderate δ r r ) ( Euro/MWh 0.00 % 0.39 % 0.39 % δ Verdsettelse av oblgasjonselementet Httl har v sett på hvor mye en hundrelapp nvestert de ulke spareproduktene egentlg er verdt, etter at tegnngskostnadene er betalt. Overkursen på 5 % gjør at nvestor betaler nn 105 kroner og er garantert mnmum 100 kroner ved forfall. Verden av å motta 100 kroner om tre år er rundt dag. Her har jeg benyttet en årlg kontnuerlg rskofr rente på 4.26 % og en årlg rskopreme på 0.4 %, basert på at DnB Nor har A+ ratng fra S&P. For at markedsverden av nullkupongoblgasjonen skal være sammenlgnbar med de andre produktene, må v justere for overkursen. En kunde som nvesterer 100 kroner betaler 4.76 kroner overkurs og er garantert å få tlbake kroner ved forfall. På nvesterngstdspunktet er det garanterte beløpet verdt Verdsettelse av opsjonselementene Metode 1 Black 76 opsjonsprsngsformel De tre opsjonene kan verdsettes hver for seg, hvs v antar verdaddtvtet. Verden av tlleggsbeløpet er gjennomsnttsverden av dsse tre opsjonene. For enkel hets skyld ser jeg første omgang bort fra gjennomsnttsberegnngen av start- og sluttkurs. Tlleggsbeløpet vl derfor bl margnalt høyere enn vss jeg hadde tatt hensyn tl de asatske halene. De tre opsjonene kan prses ved å bruke at-the-money Black 76 formelen for kjøpsopsjoner. Matematsk kan dette formuleres ved lgnng = 1 e 3 1 t( rn r ) rn t N σ t N σ t 1.05 (4.1) 2 2 e 68

77 Ved å sette nn verdene fra tabell under kan v beregne verden at tlleggsbeløpet. Opsjonene med ett, to og tre års løpetd er henholdsvs 9.021, og Verden av tlleggsbeløpet blr gjennomsnttsverden av de tre opsjonen, som er kroner. Dsse verdene er gtt at pålydende er 100 kroner. For at verdene skal bl sammenlgnbare med de andre produktene må v justere for overkursen. Ved å nvestere hundre kroner spareproduktet, vl du ee et opsjonselement som er verdt kr. Tabell t 1 = t 2 = t = t 4 = r N = 4.657% r = % σ 1 = 26% σ 2 = 22.5% σ = 20 3 % Metode 2 Monte Carlo smulerng Tlleggsbeløpet kan alternatvt verdsettes ved Monte Carlo smulerng. I smulerngene er de asatske start- og sluttberegnnger tatt hensyn tl. Den smulerte verden av tlleggsbeløpet er % av pålydende verd, hvlket er svært nær verden v fant fra Black 76 formelen. Etter at v justerer for overkursen faller verden av tlleggsbeløpet tl kroner per hundrelapp nvestert spareproduktet. Den samlede verden av nullkupongoblgasjonen og det garanterte beløpet er kroner. Dette nnebærer at DnB mottar en tlretteleggngsmargn på 6.43 kroner for hver hundrelapp som nvesteres. I prospektet er tlretteleggngsmargnen estmert tl Standardavvket tl hver enkelt smulerng er 17.63, noe som gr en standardfelen tl prsestmatet på ved en mllon smulernger. V er således 95 % skre på at verden tl produktet lgger ntervallet [93.53, 93.60], gtt at nputvarablene er realstske. Quas-Monte Carlo smulerng 20 dmensjoner kan også brukes tl å verdsette tlleggsbeløpet. Som v har sett gr Black 76 og Monte Carlo smulerngen tlnærmet samme verd. Dette vser at effektene av de asatske start- og sluttverdene er ubetydelge, og at pressjonsforbedrngen ved å benytte QMC trolg er mnmal. På bakgrunn av dette bruker jeg kke QMC tl å verdsette tlleggsbeløpet DnB Nor Kraft 2007/

78 4.6.5 Senstvtetsanalyse Den sentrale nputvarabelen DnB Nor 2007/2009 er volatlteten tl kraftprsen. De volatltetsestmatene jeg har benyttet er hentet fra prospektet tl Nordea Kraftoblgasjon XIII 2007/2010, som er mplstte volatlteter fra kontrakter handlet på Nord Pool. Dsse estmatene gjenspeler markedets forventnng tl fremtd volatltet, og er trolg mer representatve for fremtdg volatltet enn de hstorske. Jeg har lkevel sett på hvordan verden av produktet avhenger av relatve endrnger de tre volatltetene. Fgur vser at verdendrngen er tlnærmet lneær volatlteten. Dersom alle tre volatltetene reduseres med 20 % forhold tl utgangspunktet, faller verden tl kroner. En 20 % øknng volatltet øker verden tl Analysen vser at verden av tlleggsbeløpet er forholdsvs senstvt forhold tl volatltetsestmatene. Volatltetene må øke med hele 40 % forhold tl utgangspunktet for at tlretteleggngsmargnen skal bl 2.32 kroner, som det opplyses om prospektet. Dette vrker urealstsk med tanke på at jeg har benyttet mplstt volatltet fra kontrakter handlet på Nord Pool mne analyser. 96 Fgur Senstvtetsanalyse av volatltet Totalverd % -15 % -10 % -5 % 0 % 5 % 10 % 15 % 20 % Relatve endrng 70

79 4.7 Drøftng av resultatene SNF-rapport nr. 19/07 Hovedformålet med dette kaptlet var å beregne verden av seks ulke strukturerte spareprodukt, etter at tegnngskostnadene er betalt. I hvert av de seks tlfellene har jeg sett på hvor mye en hundrelapp nvestert et av produktene egentlg er verdt. Dfferansen mellom nvestert beløp (etter tegnngskostnader) og verden av produktet, er et tlretteleggngsgebyr som går tl utsteder. Tabell oppsummerer resultatene fra analysene dette kaptlet. Analysene mne vser at alle de seks produktene har lavere verd enn 100 kroner. Betyr dette at garanterte spareprodukt er dårlge nvesterngsalternatver? Noen vl kanskje hevde det, men på generelt grunnlag kan v kke s det. Det er flere faktorer som spller nn her. Investor må selv gjøre egne vurdernger om det fnnes andre spareprodukter markedet der gebyrene er lavere og samtdg har en rsko- og oppsdeprofl som passer med nvestors preferanser. Tabell Storebrand Orkla Fokus Acta Nordea DnB Estmert verd oblgasjon Estmert verd tlleggsbeløp Verd av produktet Estmert produktverd prospekt Under/overestmerng av margn Emsjonsvolum mll kr. n/a n/a n/a Det som kanskje er mest nteressant med analysene er forskjellen estmert verd fra mne analyser sammenlgnet med den verden som det opplyses om prospektene. For fem av de seks produktene er mne estmat på tlretteleggngsgebyrene høyere enn det som det opplyses om de respektve prospektene. Med et så lte datagrunnlag kan dette skyldes tlfeldgheter. Lkevel støtter dette antakelsen om at bankene benytter ltt for optmstske anslag på volatlteter og andre nputvarabler, slk at produktene kan fremstå som mer attraktve enn de faktsk er. Bankene har kke plkt tl å opplyse om verken hvlke modeller, estmater eller forutsetnnger som er brukt. Samtdg er det svært få nvestorer som gjennomfører verdsettelsen på egenhånd. Mne analyser vser at Acta Japansk Eendom har et tlretteleggngsgebyr som er hele 4.60 kroner høyere enn prospektet. Dette må skyldes trolg at estmatene våre baseres på svært ulke nputverder. For alle de seks produktene har jeg 71

80 gjennomført senstvtetsanalyser på de sentrale nputvarablene. I noen tlfeller vl moderate endrnger nputvarablene g betydelge verdendrnger. Andre ganger må det større endrnger tl for at verden endres av vesentlg grad. Analysene vser også at det er stor grad av uskkerhet knyttet tl verdsettelsen av strukturerte spareprodukt. Tlretteleggngsgebyrene varerer fra 2.8 % tl 8.0 %. Produktet fra Acta kommer dårlgst ut, og har også de høyeste tegnngsgebyrene. Samlet sett må kunden ut med crka 13 % gebyrer hvs du nvesterer Acta Japansk Eendom. Dette vser at produktet er dyrt, speselt med tanke på at en svært stor andel av beløpet er banknnskudd. Alt alt tyder analysene på at produktene har høyere gebyr enn det som fremgår av prospektene. Det er også betydelge forskjeller mellom de ulke aktørene og produktene. Personlg mener jeg at kundene betaler for mye gebyr for strukturerte produkt sammenlgnet med andre nvesterngsalternatver. Tabellen over vser også at der er store forskjeller emsjonsvolum tl de ulke produktene. Jeg har kun fått opplyst emsjonsvolumet fra tre av de seks tlbyderne. Acta vlle kke oppg det nøyaktge volumet, men sa at det samlede salget av de fre produktene Japanske Eendom seren var 1.7 mllarder. Gtt at de er noenlunde jevnstore, var emsjonsvolumet hele 425 mlloner kroner. I analysene mne har jeg benyttet dvdenderaten sste år fra Datastream som estmat på fremtdg dvdenderate. I hvlken grad dette er det beste estmatet er vanskelg å s. Den sterke oppgangen det globale aksjemarkedet de sste årene gjør at dette estmatet kanskje er noe høyere enn hva v kan forvente de neste fre årene. Lkevel er hstorske dvdenderater 23 fra er gjennomgående høyere enn dvdenderatene jeg benytter mne analyser. I mangel på andre estmat på dvdenderaten tl de underlggende ndeksene, velger jeg lkevel å bruke tallene fra Datastream. 23 Global Investments Returns Yearbook 2004 av Dmeson, Marsh og Staunton 72

81 5. Analyse av avkastnng på strukturerte produkt V kan dele opp forventet avkastnng aksjemarkedet som rskofr rente pluss en rskopreme. Rskoaverse nvestorer vl kreve en postv rskopreme for å nvestere rskable aktva. Forventet avkastnng på et strukturert spareprodukt avhenger av estmatet på rskopremene tl de underlggende ndeksene. I aksjemarkedet bruker jeg hstorske rskopremer basert på forsknngen tl Dmeson, Marsh og Staunton publsert boka Trumph of the optmsts; 101 years of global nvestment returns fra I kapttel 13 boka drøftes hva som er fornuftge estmat på fremtdge rskopremer. Forfatterne mener at de fremtdge rskopremene bør være lavere enn de hstorske. I dag er den poltske rskoen lavere, handelsbarrerer er fjernet og v har løpet av den sste hundreårsperoden sett en reprsng av aksjemarkedet som kke er sannsynlg at vl gjenta seg. Jeg velger lkevel, lkhet med analysen tl Koekebakker og Zakamoulne (2006), å benytte forholdsvs høye estmater på rskopremene for å kunne konkludere forhold tl forventet avkastnng på de analyserte produktene. 5.1 Generelt om sannsynlgheter og rskopremer Rskonøytral verdsettelse er en av hjørnestenene moderne opsjonsprsng. Loven om en prs skrer oss at opsjoner prses slk at det et perfekt marked kke vl oppstå arbtrasje. En kontnuerlg rebalansert portefølje bestående av en lang possjon en opsjon og en kort possjon en syntetsk opsjon er uten rsko, og må g en avkastnng som er lk rskofr rente. I avsntt 3.1 så v at drftsleddet dynamkken tl aksjekursen er gtt ved r δ. Dette er under det ekvvalente martngalmålet, eller rskonøytrale sannsynlghetsmålet, Q. Ved forfall kan v dskontere verden med rskofr rente tlbake tl verdsettelsestdspunktet. Verdsettelse av opsjoner er uavhengg av nvestors rskopreferanse og aksjens forventede rskopreme. Når v skal beregne sannsynlghetsfordelngen tl opsjonens avkastnng kan v kke lenger benytte prnsppet om rskonøytraltet. Avkastnngsfordelngen tl en opsjon avhenger av forventet avkastnng på underlggende aksjendeks, og er gtt ved rskofr rente pluss en rskopreme. Sannsynlghetsmålet er kke lenger det ekvvalente martngalmål Q, men det subjektve sannsynlghetsmålet P. Sannsynlghetene tar hensyn tl at markedet prser nn en rskopreme. Dette nnebærer at drftsleddet dynamkken tl aksjekursen er r 73 + λ δ, hvor λ er rskopreme. Denne rskopremen estmeres hovedsakelg basert på hstorske data. I

82 de fleste tlfeller vl forventet avkastnng på garanterte spareprodukt øke med høyere rskopremer på de underlggende ndeksene. 5.2 Forventet avkastnng fra de ulke produktene Storebrand Spread Aksjendeksoblgasjon Den geometrske rskopremen for Europa samlet er kke beregnet boka tl Dmeson et. al. Et ved sntt av 10 vesteuropeske land gr følge Koekebakker og Zakamoulne (2006) en geometrsk rskopreme på 5.3 % for peroden Tlsvarende tall for USA er 5.8 %. I mn analyse av dette produktet vl jeg benytte en rskopreme på 5.3 % begge markedene. Hvs jeg hadde benyttet 5.8 % på Russell vlle forventet avkastnng på produktet bltt lavere. Dette reflekterer at det er forskjellen rskopremen tl ndeksene og kke rskopremen seg selv som er avgjørende for denne spread opsjonen. Avkastnngsanalysen mn vl vurdere forventet avkastnng tre tlfeller; egenkaptalfnanserng med og uten tegnngskostnader og lånefnanserng med maksmale tegnngskostnader. Her vl jeg benytte den freårge volatlteten fra kapttel 4. Denne er etter mn menng noe høy, men benyttes lkevel her for å kunne konkludere. De andre nputverdene er de samme som kapttel 4. Alle avkastnnger fra de strukturerte produktene rapporteres som dskrete årlge avkastnnger. Tabell vser forventet avkastnngsfordelng ved en mllon smulernger. Ved egenkaptalfnanserng er forventet årlg avkastnng ca 5.1 % eksklusve tegnngsgebyr, og det er 62 % sannsynlghet for at du ender opp uten avkastnng. Sannsynlgheten for ngen avkastnng er uavhengg av avkastnngsfaktoren og øker med høyere volatltet. Den forventet artmetske rskopremen ut over rskofr rente er omtrent 1.2 %. Tar v hensyn tl et tegnngsgebyr på 4.25 % er forventet årlg avkastnng 4.2 %, noe som er rundt 0.4 % høyere enn rskofr rente. Selv om produktet har forholdsvs lav forventet avkastnng, kan nvestor lkevel være heldg. Den høyeste realserte årlge avkastnngen ved en mllon smulernger var hele 80 %. Ved egenkaptalfnanserng og uten å ta hensyn tl tegnngskostnader er det rundt trett prosent sannsynlghet for at v oppnår en avkastnng som er høyere enn rskofr rente. 74

83 Tabell Årlg avkastnng Uten gebyr / lån Med gebyr Med gebyr og lån 0% 62.2 % 64.4 % 75.3 % 0-3% 6.5 % 6.3 % 4.8 % 3-6% 6.2 % 6.0 % 4.3 % 6-9% 5.7 % 5.3 % 3.7 % 9-12% 4.9 % 4.6 % 3.1 % 12-15% 4.0 % 3.8 % 2.5 % 15-18% 3.2 % 2.9 % 1.9 % > 18% 7.3 % 6.7 % 4.4 % Forventet avkastnng 22.0 % 17.8 % -5.3 % Forventet årlg avkastnng 5.09 % 4.17 % % Sanns for bedre enn rskofr % % % Investor kan lånefnansere produktet tl en årlg effektv rente på 5.3 %. V så forrge kapttel at omtrent 84 % av produktets verd er banknnskudd. Du låner således penger for så å plassere en stor del et rskofrtt banknnskudd. Sden utlånsrenten er ca 1.4 % høyere enn rskofr rente må dette kompenseres ved en høy avkastnng fra opsjonselementet. Effekten av full lånefnanserng og høyeste tegnngsgebyr er at kunden må ha en avkastnng på 27.2 % løpet av peroden for kke å tape penger. Mne beregnnger vser at ved lånefnanserng er det 75 % sannsynlghet for å ende opp med negatv avkastnng. Den forventede årlge avkastnngen er % per år, og nvestor har under 19 % sannsynlghet for å oppnå bedre avkastnng enn rskofr plasserng. Avkastnngsfordelngen er llustrert fgur Fgur % 70 % Uten gebyr / lån Med gebyr og lån 60 % Sannsynlghet 50 % 40 % 30 % 20 % 10 % 0 % 0% 0-3% 3-6% 6-9% 9-12% 12-15% 15-18% >18% Årlg avkastnng 75

84 5.2.2 Orkla Fnans Absolutt Europa II Dette produktet har lkhet med Storebrand Spread DJES 50 som underlggende ndeks. Jeg benytter også her en årlg geometrsk rskopreme på 5.3 %. Andre nputvarabler er de samme som jeg brukte verdsettelsen kapttel 4. Tabell llustrerer avkastnngsfordelngen tre ulke tlfeller, egenkaptalfnanserng med og uten tegnngskostnader og lånefnanserng med de høyeste tegnngskostnadene. Tabell Årlg avkastnng Uten gebyr / lån Med gebyr Med gebyr og lån 0 % 5.1 % 11.5 % 69.1 % 0-3 % 26.2 % 28.3 % 11.2 % 3-6 % 27.2 % 24.1 % 9.0 % 6-9 % 19.0 % 16.1 % 4.9 % 9-12 % 11.1 % 10.3 % 3.4 % % 6.6 % 5.5 % 1.4 % % 3.0 % 2.7 % 0.7 % > 18 % 1.9 % 1.4 % 0.3 % Forventet avkastnng 36.0 % 31.1 % -7.6 % Forventet årlg avkastnng 6.36 % 5.57 % % Sanns for bedre enn rskofr % % % Avkastnngsfordelngen er basert på smulernger hver av de tre tlfellene. Ved egenkaptalfnanserng (uten tegnngsgebyr) er det rundt 5 % sannsynlghet for at v kke oppnår postv avkastnng. Dette skjer de tlfellene der både put og call opsjonen er verdløse ved forfall. Indeksen kan da ende med postv avkastnng, men har løpet av de sste to årene av løpetden svnget rundt startverden, slk at gjennomsnttsverden er lavere enn startverden. Alternatvt kan ndeksen ende med negatv avkastnng samtdg som put opsjonen er slått ut. Da kan altså både put og call opsjonene g null avkastnng. Prospektet beregner sannsynlgheten for ngen avkastnng tl 4.2 %. Forventet avkastnng ved egenkaptalfnanserng er ca 6.4 %, tlsvarende en årlg artmetsk rskopreme på 1.8 % over rskofr rente. Sannsynlgheten for å oppnå en høyere avkastnng enn rskofr rente er 52 %. Det er vdere 95 % sannsynlghet for at avkastnngen er mellom 0 og 15 % årlg. Orkla har estmert dette ntervallet tl å være mellom 0 og 18.3 %. Den høyeste realserte årlge avkastnngen løpet av en mllon smulernger var 31 %. Tar v hensyn tl et tegnngsgebyr på 5 % er forventet årlg avkastnng ca 5.6 %. 76

85 Ved lånefnanserng betaler kunden 6.77 % årlg effektv rente og mnste lånebeløp er kroner. I dette tlfellet vl nvestor lånefnansere et produkt som er omtrent 77 % banknnskudd, der utsteder tar en rentemargn på 2.2 %. Ved full lånefnanserng og høyeste tegnngsgebyr må kunden oppnå hele 43.8 % avkastnng løpet av peroden for å unngå negatv nettoavkastnng. Lånefnanserng endrer avkastnngsfordelngen tl produktet dramatsk. Sannsynlgheten for negatv avkastnng blr nå 69 % og det over 85 % sannsynlghet for at v oppnår dårlgere avkastnng en rskofr plasserng. Årlg forventet avkastnng er -1.6 %. Avkastnngsfordelngen med og uten lånefnanserng er llustrert fgur under. 70 % Fgur Avkastnngsfordelng Uten tegnng/gjeldrente Med tegnng og gjeldrente 60 % 50 % Sannsynlghet 40 % 30 % 20 % 10 % 0 % < 0% 0-3% 3-6% 6-9% 9-12% 12-15% 15-18% >18% Årlg avkastnng Dersom v sammenlgner avkastnngsfordelngen tl dette produktet med produktet tl Storebrand, ser v fort at dette kke er homogene produkter. Storebrand stt produkt har 62 % sjanse for å g ngen avkastnng, mens det bare er 5 % sannsynlghet for at det skal skje med Orkla Fnans Absolutt. Lkevel har begge en forventet avkastnng som lgger rundt 1-2 % over rskofr rente. Høyeste årlge realserte avkastnng tl Storebrand Spread er over dobbel så høy som for Orkla Fnans stt produkt. Effekten av lånefnanserng er at begge de garanterte produktene gr negatv forventet avkastnng. Orkla Absolutt hadde høyest forventet avkastnng ved egenkaptalfnanserng, men på grunn av den høye rentemargnen på utlån har den lavest forventet avkastnng ved lånefnanserng. Konklusjonen er at begge har garant for nvestert beløp, men produktene har svært ulke avkastnngs- og rskoprofler. 77

86 5.2.3 Acta Japansk Eendom Den geometrske rskopremen for Japan er følge Dmeson, Marsh og Staunton 6.4 % peroden Jeg bruker dette som et estmat på fremtdg meravkastnng ut over rskofr rente for den japanske eendomsndeksen. Noen vl kanskje hevde at denne rskopremen er ltt høy, og at rskopremen Japan dag bør være lk den Europa eller USA. Jeg benytter lkevel de hstorske tallene for å være skrere på å konkludere forhold tl forventet avkastnng på produktet. De øvrge varablene er som kapttel 4. Sannsynlghetsfordelngen tl avkastnngen er llustrert tabell Fordelngene beregnes på samme måten som tdlgere, og er bygd opp ut fra en mllon smulernger. Tabell Årlg avkastnng Uten gebyr / lån Med gebyr Med gebyr og lån 0 % 31.6 % 39.5 % 69.9 % 0-3 % 14.9 % 14.7 % 9.9 % 3-6 % 15.0 % 13.9 % 7.6 % 6-9 % 13.1 % 11.5 % 5.2 % 9-12 % 10.0 % 8.4 % 3.3 % % 6.9 % 5.5 % 2.0 % % 4.2 % 3.3 % 1.1 % > 18 % 4.4 % 3.3 % 1.0 % Forventet avkastnng 18.5 % 13.6 % -7.0 % Forventet årlg avkastnng 5.83 % 4.33 % % Sanns for bedre enn rskofr % % % Forventet avkastnng ved egenkaptalfnanserng (uten tegnngsgebyr) er ca 5.8 %, eller omtrent 1.2 % høyere enn rskofr rente. Det er 32 % sannsynlghet for at du kun får utbetalt det garanterte beløpet. Tlsvarende tall fra prospektet tl Acta er 33 %. Tabellen vser at det er rundt 45 prosent sannsynlghet for å oppnå høyere avkastnng enn rskofr rente. Samtdg er det over 95 % sannsynlghet for at avkastnngen er under 18 %. Acta beregner 95 % sannsynlghetsntervallet tl å lgge mellom 0 og 21.7 %. Tar v med et tegnngsgebyr på 5 % er forventet avkastnng 4.3 %, som er margnalt lavere enn rskofr rente. Den høyeste årlge avkastnngen ved en mllon smulernger ble 46 %, hvs tegnngskostnadene kke tas med. Acta tlbyr følge prospektet 100 % lånefnanserng tl en effektv rente på 6.45 % dersom nvestor låner kroner eller mer. Lånefnanserng har også her en betydelg effekt på forventet avkastnng. Ved full lånefnanserng og maksmalt tegnngsgebyr må produktet g en 78

87 avkastnng på mnst 25.6 % peroden for at nvestor skal komme ut med mer enn han nvesterte. Vdere er det 70 % sannsynlghet for at avkastnngen kke dekker tegnngsgebyr og lånekostnader. Forventet avkastnng er -2.4 % per år, hvlket er overraskende lavt. En forklarng er at den årlge utlånsrenten tl Acta er 1.8 % høyere enn rskofr rente. Sden opsjonselementet kun utgjør 6-7 % av nvestert beløp, må opsjonsavkastnngen være svært høy for å kompensere for høye tegnngs- og lånekostnader. Avkastnngsfordelngen er llustrert fgur 5.2.3a. Fgur 5.2.3a 80 % 70 % Uten gebyr / lån Med gebyr og lån 60 % Sannsynlghet 50 % 40 % 30 % 20 % 10 % 0 % 0 % 0-3 % 3-6 % 6-9 % 9-12 % % % > 18 % Årlg avkastnng I avsntt nevnte jeg at volatlteten tl TSEREIT ndeksen har økt de sste årene. Derfor har jeg også beregnet forventet avkastnng basert på volatlteten sste år, %. Forventet årlg avkastnng blr 6.7 % ved egenkaptalfnanserng uten tegnngskostnader, og -1.4 % med 5 % tegnngsgebyr og full lånefnanserng. Sannsynlgheten for ngen avkastnng øker tl 39 %, noe som er ltt høyere enn prospektet. V får også flere utfall med relatv høy årlg avkastnng. Acta opererer trolg med en rskopreme som er høyere en hva jeg har antatt. Avkastnngsfordelngen med en årlg volatltet på % er llustrert fgur 5.2.3b. Fgur 5.2.3b 80 % 70 % Uten gebyr / lån Med gebyr og lån 60 % Sannsynlghet 50 % 40 % 30 % 20 % 10 % 0 % 0 % 0-3 % 3-6 % 6-9 % 9-12 % % % > 18 % Årlg avkastnng 79

88 5.2.4 Fokus Bank Råvarendeksoblgasjon Avkastnngen tl oljeoblgasjonen avhenger av rskopremen på oljeprsen WTI. Det er langt fra opplagt hvlken rskopreme som bør benyttes. Oljeprsen lå mange år stablt rundt dollar per fat, men de to sste årene har oljeprsen økt betydelg og lgger nå på rundt 65 dollar fatet. Som utgangspunkt vl jeg sette rskopremen tl null. Jeg bruker estmatet fra kapttel 4 på 29.5 % som årlg volatltet tl oljeprsen. Avkastnngen på produktet har kun fre mulge utfall, det vl s en avkastnng på 0 %, 7 %, 14 % eller 21 %. Tabell vser sannsynlghetsfordelngen tl den årlge avkastnngen. Denne tabellen nkluderer også estmatet ved en årlg volatltet på 25.5 % og verdene fra prospektet. Tabell Årlg avkastnng Vol 29.5 % Vol 25.5 % Prospektet 0.00 % 59.4 % 46.5 % 45.9 % 4.61 % 17.9 % 19.2 % 19.2 % 9.13 % 15.9 % 20.8 % 26.5 % % 6.8 % 13.5 % 9.2 % Forventet avkastnng 3.20 % 4.61 % 4.55 % Med en volatltet på 29.5 % er det 59 % sannsynlghet for at avkastnngen blr null. Forventet avkastnng er 3.2 prosent per år, noe som er langt under den rskofre renten peroden på 4.93 %. Heller kke den maksmale oppsden er speselt forlokkende. Hvs oljeprsen holder seg nnenfor det smaleste prsbåndet oppnår nvestor en årlg avkastnng på 13.6 %, noe som skjer kun 7 % av tlfellene. Tabellen vser også avkastnngsfordelngen ved en årlg volatltet på 25.5 %. Dette gr en forventet årlg avkastnng på 4.6 %, som er omtrent samme forventet verd som prospektet. Merk her at forventet avkastnng fra prospektet er lavere enn rskofr rente! Dette er før tegnngskostnader på opp tl 2 %. Hvs tegnngskostnadene nkluderes må volatlteten være under 22.8 % for at produktet skal tlby en forventet avkastnng som er høyere enn rskofr rente. Fokus Bank tlbyr kke lånefnanserng av dette produktet. Jeg har også gjennomført avkastnngssmulerngene med en årlg geometrsk rskopreme på 2 % og 4 %. Dette gjør det mer sannsynlg at de øvre prsbåndene brytes, men reduserer sannsynlgheten for at oljeprsen bryter de nedre prsbåndene. Effekten av å nkludere en rskopreme er en helt margnal reduksjon av forventet avkastnng. Avkastnngsfordelngen, uten rskopreme, er llustrert fgur

89 70 % 60 % Fgur Avkastnngsfordelng Smulert fordelng vol 29.5% Fordelng fra prospektet 50 % Sannsynlghet 40 % 30 % 20 % 10 % 0 % 0,0 % 4,6 % 9,1 % 13,6 % Årlg avkastnng Dette produktet er speselt utsatt for makroøkonomsk- og poltsk rsko. En kald vnter kan g en betydelg øknng oljeprsen. Oljetlbudet er stor grad styrt av OPEC kartellet. Sannsynlgheten for krg eller urolgheter Mdtøsten er også en vktg drver av oljeprsen. Den hstorske volatlteten er stor grad påvrket av dsse faktorene. I prospektet argumenteres det for at det er bedre dspln nnad OPEC og balansen mellom tlbud og etterspørsel er bedre nå enn tdlgere. Dette er argumenter som taler for at den forventede volatlteten de neste 18 månedene bør være lavere enn volatlteten de sste årene. På den annen sde er sannsynlgheten for terror og krg Mdtøsten trolg lke stor nå som før. Fokuset på klmaendrnger er også større, og vl kunne påvrke oljeprsen, selv om dette nok har størst betydnng på ltt lenger skt. Alt alt fnnes det argument på begge sder forhold tl om oljeprsen vl være mer eller mndre volatl de neste 18 månedene enn tdlgere peroder. Konklusjonen er at dersom nvestor mener at oljeprsen vl være svært lte volatl de neste 18 månedene kan produktet være aktuelt. Lkevel er det mange uskre faktorer som påvrker oljeprsen. Når utsteder estmerer forventet avkastnng tl å være lavere enn rskofr rente er det all grunn tl å være skeptsk tl dette produktet. En nvestor som kjøper dette produktet ut fra samme forventnng om fremtdg volatltet som utsteder, vl ha betalngsvlje for å ta rsko. Trolg er det få nvestorer som har slke rskopreferanser. Det er trolg også få nvestorer som kan bruke et slkt produkt som skrngsnstrument. Vanlgvs er nvestorer eller aktører oljebransjen eksponert mot oljeprsbevegelser en bestemt retnng, kke oljeprsvolatlteten seg selv, slk som dette produktet eksponeres mot. 81

90 5.2.5 Nordea Lock-n Basket Jeg benytter samme geometrsk rskopreme på Dow Jones Euro Stoxx som før, altså 5.3 % per år. I avsntt så v at den hstorske geometrske rskopremen for Japan var 6.4 %, og dette brukes som estmat på rskopreme for Topx. For den knesske Hang Seng og BRIC ndeksene har v ngen hstorske rskopremer. Rsko og økonomsk vekst er ofte høyere for slke emergng markets enn andre markeder. I denne analysen benytter jeg en geometrsk rskopreme på 7 % for Hang Seng og BRIC. Tabell vser rskofr rente, dvdende og forventet geometrsk avkastnng tl hver av ndeksene. BRIC ndeksen består av aksjer fra fre land. Jeg bruker samme rskopreme de fre landene, men rentene er naturlg nok ulke. Vektene tl hvert land fnnes faktaarket 24. Tabell Indeks Rskofre rente Dvdende Rskopreme Vekt ndeks Forventet kursstgnng DJ Euro Stoxx 3.66% 3.03% 5.30% 5.93% Topx 1.22% 0.99% 6.40% 6.63% Hang Seng 3.84% 1.39% 7.00% 9.45% BRIC 4.99% 1.00% 7.00% 10.99% Brasl 5.29% 7.00% 19.5% Russland 5.70% 7.00% 31.8% Inda 7.15% 7.00% 8.5% Kna 3.84% 7.00% 40.2% Ut fra dsse estmatene kan v beregne den forventede sannsynlghetsfordelngen, som vst tabell Forventet årlg avkastnng for Nordea Lock-n er 5.9 %, noe som er omtrent 1.9 % over rskofr rente. I rundt 20 % av tlfellene vl kunden få mndre gjen enn det nvesterte beløpet, og sannsynlgheten for å oppnå høyere avkastnng enn rskofr rente er 52 %. For en nvestor som må betale 4 % tegnngsgebyr er forventet avkastnng 5.1 % per år, rundt en prosent høyere enn effektv rente på statsoblgasjoner. Den høyeste realserte årlge avkastnngen basert på en mllon smulernger var 37 %. Nordea tlbyr å lånefnansere hele nvesterngen tl en effektv rente på 5.5 % p.a., hvlket er omtrent 1.4 % høyere enn rskofr rente. Ikke overraskende har dette mye å s for 82

91 fordelngen tl forventet avkastnng, sden kunden må oppnå en avkastnng på 27.9 % peroden for å dekke tegnngsgebyret og lånerentene. Forventet årlg avkastnng med høyeste tegnngsgebyr og full lånefnanserng er -0.5 % per år. Tabellen vser at det er omtrent 60 % sannsynlghet for at kunden vl oppnå en negatv avkastnng etter at gebyr og renter er betalt, og kun 23 % sannsynlghet for at verdpapret vl g bedre avkastnng enn rskofr plasserng. Tabell Uten gebyr / lån Med gebyr Med gebyr og lån 0 % 19.9 % 20.7% 60.5 % 0-3 % 1.0 % 26.6% 12.3 % 3-6 % 37.9 % 15.8% 10.2 % 6-9 % 14.7 % 13.6% 7.1 % 9-12 % 11.4 % 10.2% 4.5 % % 7.3 % 6.3% 2.7 % % 4.1 % 3.6% 1.5 % > 18 % 3.8 % 3.2% 1.2 % Forventet avkastnng 26.0 % 22.0 % -1.9 % Forventet årlg avkastnng 5.94% 5.09 % -0.48% Sanns for bedre enn rskofr 51.93% 47.15% 23.49% Fgur llustrerer avkastnngsfordelngen med og uten lånefnanserng. Ved egenkaptalfnanserng er det lte sannsynlg at avkastnngen blr mellom 0 og 3 % årlg. Det er to grunner tl det. For det første er garanten kaptalgaranten 95 % mot vanlgvs 100 %. Dette gjør at det blr flere utfall første søyle. Samtdg har produktet et lock-n element som gjør at mange av utfallene vl g en årlg avkastnng på 3.56 %, altså søyle 3. Med lånefnanserng skjer det samme her som med de andre produktene; hele fordelngen blr skjøvet mot venstre og den forventede avkastnngen blr negatv. 70 % 60 % 50 % Fgur Avkastnngsfordelng Nordea Lock-n Uten gebyr / lån Med gebyr og lån Sannsynlghet 40 % 30 % 20 % 10 % 0 % 0 % 0-3 % 3-6 % 6-9 % 9-12 % % % > 18 % Avkastnng 24 Fakta arket fnnes på: 83

92 5.2.6 DnB Nor Kraft 2007/2009 Avkastnngen tl kraftoblgasjonen avhenger blant annet av hvlken rskopreme en nvestor kraftmarkedet kan forvente å oppnå over td. Ut fra kaptalverdmodellen (CAPM) vl rskopremen trolg være nær null. Kraftprsen Norge avhenger av tlbud og etterspørsel etter kraft. Den vktgste faktoren på tlbudssden er fyllngsgraden vannmagasnene, som gjen bestemmes av nedbørsmengden over en vss tdsperode. Det er rmelg å anta at nedbørsmengden er ukorrelert med avkastnngen på ulke nvesterngsalternatver. Det kan argumenteres at etterspørselen etter kraft er høyere økonomske oppgangstder enn nedgangstder, noe som kan g en svak postv korrelasjon mellom avkastnngen aksjemarkedet og strømforbruket. Lkevel er trolg denne effekten lten. Alt alt antar jeg at samvarasjonen mellom endrngen kraftprsen og avkastnngen aksjemarkedet er svært lav, som gjen gr en lav forventet rskopreme ut fra porteføljeperspektvet CAPM. En annen metode for estmerng av rskopremen kraftmarkedet bygger på hvlke aktører som domnerer markedet. Bernseter (2003) skrver at en overvekt av rskoaverse produsenter markedet vl g en postv rskopreme. Hvs etterspørselssden er den mest rskoaverse, vl markedet ha en negatv rskopreme. I tllegg vl det fnnes spekulanter på begge sder markedet, noe som også påvrker rskopremen. Både Frdthjof Ollmar (2004) og Krstan Bernseter (2003) konkluderer med en negatv rskopreme kraftmarkedet på kort skt, mens sstnevnte antyder at det trolg er en svak postv rskopreme på lang skt. I prospektet tl dette verdpapret opplyses det kke hvlken rskopreme som er benyttet. Et halvt år senere utsteder DnB Nor en Warrant 25, med kraftprsen som underlggende. Her opplyses det at DnB antar en rskopreme kraftmarkedet på 2 %. Dette vrker kke drekte urmelg. I de vdere analysene benyttes denne rskopremen, selv om den kanskje er noe høy ut fra argumentene som er fremsatt dette avsnttet. Sannsynlghetsfordelngen tl avkastnngen er beregnet på samme måte som tdlgere, gtt ved tabell Hvs v ser bort fra tegnngskostnader vl avkastnngen verste fall bl -5 % av pålydende på grunn av overkursen. Mne smulernger vser at sannsynlgheten for at dette skjer er 26.5 %. Tlsvarende sannsynlghet er estmert tl 19.1 % prospektet. Den forventede 25 Prospektet tl DnB Nor Warrant Kraft II 2007/2009 fnnes på dnb.no. Se avsntt 7.1 for en kort dskusjon rundt Warrants. 84

93 årlge avkastnngen tl kraftoblgasjonen er 5.22 %, som er omtrent 0.9 % høyere enn rskofr rente. Det er 40 % sannsynlghet for at kraftoblgasjonen gr bedre avkastnng enn rskofr rente, men det er lke sannsynlg at kunden vl stte gjen med nullavkastnng på sn nvesterng. For en kunde som betaler de høyeste tegnngskostnadene, er forventet avkastnng på spareproduktet 4.27 % per år, noe som er margnalt lavere enn rskofr rente. Den høyeste årlge avkastnngen ved en mllon smulernger ble 72 %. Årlg avkastnng Uten gebyr / lån Med gebyr Med gebyr og lån 0 % 40.0 % 45.8 % 69.3 % 0-3 % 15.0 % 13.1 % 7.9 % 3-6 % 11.4 % 10.6 % 6.4 % 6-9 % 9.3 % 8.7 % 5.1 % 9-12 % 7.5 % 6.8 % 3.8 % % 5.7 % 5.1 % 2.7 % % 4.0 % 3.6 % 1.8 % > 18 % 7.0 % 6.2 % 3.0 % Forventet avkastnng 16.0 % 13.0 % -5.3 % Forventet årlg avkastnng 5.22 % 4.27 % % Sanns for bedre enn rskofr % % % DnB tlbyr å lånefnansere kraftoblgasjonen tl 5.95 % rente per år. Banken oppnår da en rentemargn på 1.6 % ut over rskofr rente på stt utlån. Effekten av lånefnanserng er som ventet at avkastnngsfordelngen forskyves mot venstre, og at forventet avkastnng blr negatv. En nvestor som betaler de høyeste tegnngsgebyrene og velger full lånefnanserng, kan forvente å tape 1.86 % av nvestert beløp hvert år. Syv av t smulernger ga en avkastnng som var for lav tl å dekke tegnngs- og lånekostnadene. Kun hver femte smulerng ga en netto avkastnng som var høyere enn nvestor kunne fått ved å plassere pengene banken. Avkastnngsfordelngen er llustrert grafsk fgur Fgur % 60 % Uten gebyr / lån Med gebyr og lån 50 % Sannsynlghet 40 % 30 % 20 % 10 % 0 % 0 % 0-3 % 3-6 % 6-9 % 9-12 % % % > 18 % Avkastnng 85

94 5.3 Drøftnng av resultatene Hovedformålet med dette kaptlet var å estmere forventet årlg avkastnng med og uten lånefnanserng for seks utvalgte strukturerte produkt. Funnene er oppsummert tabell Produktene tl DnB, Storebrand, Orkla, Acta og Nordea har alle en årlg forventet avkastnng som er % høyere enn rskofr rente. I % av tlfellene vl nvestor oppnå en avkastnng som er lavere enn rskofr rente. Verst ut kommer spareproduktet tl Fokus. Dette produktet har en årlg forventet avkastnng som er 1.7 % lavere enn rskofr rente. Fokus Bank benytter sne analyser en volatltet på oljeprsen som er noe lavere enn den jeg har benyttet mne analyser. Lkevel er forventet avkastnng estmert tl lavere enn rskofr rente (-0.3 % p.a.) også prospektet! Estmatene bygger på antakelser jeg mener er rmelge, og rskopremer som er forholdsvs høye. I denne delen er tegnngskostnadene holdt utenfor. Tabell Storebrand Orkla Acta Fokus Nordea DnB Forventet årlg avkastnng EK 5.09 % 6.36 % 5.83 % 3.20 % 5.94 % 5.22 % Meravkastnng ut over rskofr 1.2 % 1.8 % 1.2 % -1.7 % 1.9 % 0.9 % Sannsynlghet for bedre enn rf 29 % 52 % 45 % 23 % 52 % 39 % Forventet årlg avk lån/tegnng % % % kke mulg % % Dersom nvestor betaler de høyeste tegnngskostnadene og velger full lånefnanserng, endres avkastnngens sannsynlghetsfordelng dramatsk. Den llle rskopremen forsvnner, og produktene gr forventet årlg avkastnng på mellom -0.5 og -2.4 %. Fokus tlbyr kke lånefnanserng. Koekebakker og Zakamoulne (2006) ved Høyskolen Agder har analysert forventet avkastnng på to aksjendeksoblgasjoner fra DnB Nor, som ble utstedet Forventet årlg avkastnng ved lånefnanserng og høyeste tegnngskostnader blr -1.6 % og -2.4 % for de to produktene. Dette er på lnje med mne beregnnger dette kaptlet. Er vrkelg alle strukturerte produkter så dårlg som dette? På generelt grunnlag er dette ltt vanskelg å vurdere, sden tlbyderne vanlgvs kke oppgr forventet avkastnng prospektene. Avkastnngsberegnngene mne tyder lkevel på at lånefnanserng av strukturerte spareprodukt er en meget dårlg dé, sden du kan forvente å tape på en slk nvesterng. En alternatv måte å vurdere dette på er å se på faktsk avkastnng på de forfalte spareproduktene. Koekebakker og Zakamoulne (2007) ved Høyskolen Agder har gjennomført en slk analyse. Resultatene ble publsert Dne Penger jun I løpet av tårsperoden fra 1997 tl 2007 hadde

95 aksjendekserte oblgasjoner forfalt. Gjennomsnttlg artmetsk avkastnng var 2.16 % p.a., noe som er under halvparten av vektet rskofr rente samme perode. Ved utgangen av mars 2007 var det 456 utestående strukturerte produkter. Koekebakker og Zakamoulne har hentet nn gjenkjøpsprser på produktene, og kommet frem tl en årlg gjennomsnttlg geometrsk avkastnng for dsse på 2.19 % p.a., eller noe underkant av 3 % årlg artmetsk avkastnng. Beregnngene tar kke hensyn tl tegnngskostnader. En rskopreme på 1-2 % p.a. vrker derfor kke urmelg, med tanke på at de 726 produktene som er analysert gr en realsert avkastnng som er rundt 2-3 % lavere enn rskofr rente. Et lkevektet artmetsk gjennomsntt av sannsynlgheten for ngen eller negatv avkastnng på de seks produktene jeg har analysert er 36.4 %, mens hele 63.7 % av de forfalte aksjendeksoblgasjonene kun ga det garanterte beløpet tlbake. Fra og med februar 2007 oppgr DnB Nor, Postbanken og Nordlandsbanken forventet årlg avkastnng på produktene. Alle de tre bankene tlhører DnB konsernet, og DnB Nor står bak alle produktene. Noen av produktene har samme navn, men tlbys på ulke tdspunkter. Tabell vser forventet avkastnng, tegnngskostnader og effektv lånerente for de 19 produktene som er utstedet sden bankene startet å opplyse om forventet avkastnng. Alle tallene er prosent per år. Kun fre av produktene har postv forventet avkastnng ved lånefnanserng. Gjennomsnttet for alle produktene gr et forventet årlg tap ved lånefnanserng og maksmale tegnngskostnader på %, og er så vdt bedre enn gjennomsnttet fra de fem lånefnanserte produktene jeg analyserte (-1.53 % p.a.). 87

96 Tabell Tlbyder Produkt Forventet avk, EK Tegnngskost per år Effektv lånerente Forventet avk, med lån DnB Global Verd III 2007/ % 1.00 % 7.42 % 0.27 % DnB Alternatv energ III 2007/ % 1.00 % 7.35 % 0.82 % DnB Verd Alpha Gulv II 2007/ % 0.80 % 7.26 % % DnB Kna Japan Eendom 2007/ % 0.88 % 7.68 % 0.11 % DnB Eendom Europa 2007/ % 1.00 % 7.19 % % DnB Alternatv Energ II 2007/ % 1.00 % 7.13 % % DnB Verd Alpha Gulv 2007/ % 0.80 % 6.99 % % DnB Asavekst IV 2007/ % 1.00 % 7.13 % % DnB Absolutt Alpha 2007/ % 0.42 % 6.89 % 0.72 % DnB Alternatv Energ 2007/ % 1.00 % 7.19 % % DnB Verd / % 0.80 % 7.10 % % DnB Asavekst III 2007/ % 1.00 % 7.19 % % DnB Global Verd II 2007/ % 1.00 % 7.05 % % Postbanken Asavekst Pluss III 2007/ % 1.00 % 7.37 % % Postbanken Global Infrastruktur 2007/ % 1.00 % 6.99 % % Postbanken Global Infrastruktur 2007/ % 0.80 % 6.81 % % Postbanken Global 2007/ % 0.80 % 7.01 % % Postbanken Asavekst Pluss II 2007/ % 1.00 % 7.16 % % Nordlandsbanken Asavekst Pluss III 2007/ % 1.00 % 7.19 % % Gjennomsntt 6.95 % 0.91 % 7.16 % % Trolg er kke DnB verre enn konkurrentene. Men de er de eneste som opplyser om dette, og det skal de ros for. De fleste strukturerte produkt består av rundt % banknnskudd. Ved full lånefnanserng tar banken en rentemargn på 1-2 % over rskofr rente. Forventet avkastnng tl dervatdelen er da for lten tl å dekke både tegnngs- og lånekostnadene. Negatv forventet avkastnng er de fleste tlfeller et faktum, og etter mn menng passer lånefnanserte strukturerte produkter best for rskovllge nvestorer som har betalngsvlje for å ta på seg rsko. Ved å dempe rskoen med garanten og øke den gjen med lånefnanserng er nvestor lke langt. Det eneste som oppnås er å betale gebyr tl banken. Are Sletten Na24.no sammenlgner dette med å kjøre bl der du trykker på gassen og bremsen samtdg. Fremdrften blr laber, og sjansen er stor for at det blr dyrt. Dette synes jeg er et godt blde på lånefnanserte strukturerte produkt. I denne rapporten har jeg benyttet effektv rente på statsoblgasjoner som rskofr plasserng. Noen vl kanskje hevde at det er vanskelg for nvestor å oppnå denne avkastnngen etter tegnngskostnader. På den annen sde har konkurransen mellom bankene for å tlby de 88

97 høyeste nnskuddsrentene bltt stadg sterkere. Sparebanken Møre tlbyr fastrentennskudd 26 for beløp over kr. Med en bndngstd på tre år kan nvestor oppnå 5.65 % rente p.a. per Dette er rundt et halvt prosentpoeng høyere enn effektv rente på norske statsoblgasjoner med samme løpetd. Alt alt vrker det derfor mne anslag på avkastnng på rskofr plasserng rmelg realstske. 26 Fra nternettsden tl Sparebanken Møre, per

98 6. Analyse av gebyrestmatene 117 prospekt I dette kaptlet ser jeg på prospektene tl 117 ulke strukturerte spareprodukt som tlbys mellom jul 2006 og jun I hvert prospekt undersøker jeg hva utsteder bruker som estmat på tlretteleggngsgebyret, både totalt sett og per år. Vdere har jeg sett på gjennomsnttlg tegnngskostnad for en kunde som nvesterer mnmumsbeløpet. Tl slutt har jeg beregnet gjennomsnttlg levetd for produktene tl hver enkelt utsteder. De sentrale funnene er vst tabell 6.1. Undersøkelsen nkluderer åtte tlbydere. Det er ngen tvl om at det er fnnes flere aktører markedet. For eksempel tlbyr Fokus Bank en del spareprodukt av denne typen, men de legger kke ut prospektene etter tegnngsperoden er over. Jeg har henvendt meg tl banken ved to anlednnger, men kke fått svar. Frst Securtes er utsteder av Spar-X produktene på vegne av SpareBank 1 Gruppen. De legger heller kke ut prospektene, men ber nteresserte ta kontakt med sn lokale bank for å få kop av prospektene. Pareto er tlrettelegger for BNbank, Sparebanken Pluss og Prvatbanken. I undersøkelsen har jeg gruppert dsse sammen. Her har jeg sett på produkter rettet mot prvatmarkedet, det vl s de produktene som har mnste tegnngsbeløp på kroner eller mndre. Tabell 6.1 Tlretteleggngsgebyr Årlg tlretteleggng Vrkelg Levetd Tegnngsgebyr Antall DnB Nor 3.63 % 0.92 % % 41 Storebrand 3.00 % 0.83 % % 6 Nordea 2.27 % 0.73 % % 16 Pareto 3.65 % 0.90 % 1.15 % % 10 Acta 3.26 % 1.04 % % 13 Orkla Fnans 3.11 % 0.97 % % 6 Postbanken 3.16 % 0.90 % % 12 Nordlandsbank 3.03 % 0.85 % % 13 Artmetsk sntt 3.25 % 0.89 % % 117 Tabellen vser at det kun er Pareto som oppgr det vrkelge estmatet på tlretteleggngsgebyrene. I prospektene er tlretteleggngsgebyrene typsk estmert 3-4 måneder før nvesterngstdspunktet. Pareto oppgr derfor et oppdatert estmat beregnet den dagen løpetden starter. Hvorvdt dette er den faktske margnen tlbyderen tar er noe uskkert, men det er alle fall et mer oppdatert estmat. De andre tlbyderne nformerer om dette bare tl de som har nvestert produktet. 90

99 Den totale tlretteleggngsmargnen er gjennomsntt 3.25 %. Syv av tlbyderne har en margn på 3 % eller mer. De seks produktene jeg analyserte kapttel fre hadde en gjennomsnttlg margn på 5.2 %, noe som kan tyde på at prospektenes egne estmat er for lave, eller at mne er noe høye. Uansett kan dette skyldes tlfeldgheter, sden jeg kun har undersøkt seks produkter. Nordea utmerker seg med en margn på kun 2.3 %. Hvorvdt Nordea er flnkest klassen eller om de underestmerer margnen med henskt er vanskelg å fastslå. Noe av forklarngen skyldes at de har produkter med kortest levetd. Alt annet lkt skulle derfor det tls at margnen deres var lavest. Hvs v tar hensyn tl levetd og ser på den årlge gjennomsnttlge tlretteleggngsmargnen kommer Nordea fortsatt best ut, med 0.73 % p.a. De andre tlbyderne lgger mellom 0.83 % og 1.04 % p.a. Den relatve forskjellen mellom de ulke tlbyderne jevner seg ltt ut når v ser på margn per år. Årlg tlretteleggngsmargn er llustrert fgur 6.1 under. I tabell 6.1 er også gjennomsnttlg tegnngsgebyr for hver av tlbyderne beregnet. Gjennomsnttet tl alle de 117 produktene er 3.84 %. Acta har høyest tegnngsgebyr av de åtte som er med undersøkelsen. Tegnngsgebyret er 5 % uavhengg av produkt, og kunden må nvestere et betydelg beløp for å oppnå lavere tegnngsgebyr. De andre tlbyderne har lavere tegnngsgebyr, og de fleste justerer dsse etter levetd. Unntaket er Postbanken der tegnngsgebyret alltd er enten 3 eller 4 % uavhengg av nvesterngsbeløp. Generelt har de produktene med kort levetd lavere tegnngskostnader. For nvestorer som går nn med store beløp kan Storebrand tlby de laveste tegnngskostnadene med kun 0.2 %. Deretter følger Nordea, Nordlandsbanken, DnB og Orkla, alle med tegnngsgebyr under 0.5 %. Orkla har også ett produkt uten tegnngsgebyr ved nvesterngsbeløp på 50 mlloner eller mer. 91

100 Nordea kommer også her best ut, med et gjennomsnttlg tegnngsgebyr på 3.1 %. Deretter følger Postbanken, Nordlandsbanken, DnB og Storebrand, alle under 4 %. Orkla, Pareto og Acta kommer dårlgst ut, med tegnngsgebyr mellom 4.4 og 5 %. Fgur 6.1 vser summen av tegnngs- og tlretteleggngsgebyr for de åtte aktørene. De totale kostnadene er gjennomsntt 7.09 %. Fgur 6.1 vser at Pareto og Acta har de høyeste gebyrene, begge over 8 % totalt sett. Deretter følger Orkla Fnans og DnB Nor med gebyr på 7.3 % %. Storebrand, Postbanken og Nordlandsbanken lgger alle noe under gjennomsnttet. Nordea har med sne 5.4 % de laveste samlede kostnadene. Vser egentlg fgur 6.2 hvem som tar høyest gebyrer? Ne, kke nødvendgvs. Tegnngskostnadene er oppgtt prospektet, og kke så mye å dskutere. Her kommer Nordea best ut, men v må også huske at de har kortest levetd på produktene. Beregnes tegnngskostnader per år kommer Nordea på en fjerde plass. Acta, Orkla og Pareto kommer dårlgst ut med en levetdsjustert tegnngskostnad på henholdsvs 1.6, 1.4 og 1.2 % p.a. De fem andre lgger svært nær en prosent per år. Ulkheter tlretteleggngsgebyr kan skyldes to forhold. Enten tar noen tlbydere høyere gebyr enn andre, eller så er noen mer ærlge og benytter mer objektve verder estmatene. Sannsynlgvs er det kke noe klart svar på dette, og trolg spller begge faktorene en rolle her. Alle prospektene jeg har sett på har hatt kroner eller mndre som mnste nvesterngsbeløp. Hvs v også nkluderer produkt med høyere mnstebeløp, blr t nye produkter med analysen. Hele åtte av dsse er utstedet av Nordea, mens de to andre er fra DnB Nor. Typsk er 92

101 både tlretteleggngsmargnen og tegnngskostnadene langt lavere for produkter som rettes mot storkundene. Forklarngen er nok en kombnasjon av at en del av kundekostnadene er uavhengg av nvesterngsbeløp, og at storkundene har tlgang tl et større spekter av alternatve nvesternger. Nordea har flest produkt rettet mot storkunder, og her er tlretteleggngsmargnen omtrent halvparten av det som er tlfellet for de øvrge produktene. I prospektene rettet mot storkundene opplyses det sjelden om tegnngskostnadene, men antakelgvs er dsse kostnadene området % per år. Konklusjonen er at det er ulkheter både tegnngs- og tlretteleggngsgebyr mellom de ulke aktørene. Tegnngsgebyrene bør sees sammenheng med levetd. Som en tommelfngerregel kan v s at både tegnngskostnadene og tlretteleggngsgebyrene er rundt en prosent per år. Et spareprodukt med løpetd på fre år har da et samlet gebyr på rundt åtte prosent. Sammenlgnet med mne estmat fra kapttel 4 er det kke umulg at utstederne underestmerer årlg tlretteleggngsgebyr noe. En annen nteressant observasjon jeg har gjort er at levetden tl produktene er bltt kortere de sste årene. Gjennomsnttlg levetd denne undersøkelsen er rundt 3.6 år. En undersøkelse av Koekebakker og Zakamoulne (2007) vser at 270 forfalte produkter mellom 1997 og 2007 hadde en gjennomsnttlg levetd på 4.4 år. Hva som er grunnen tl dette er noe uskkert. En forklarng kan være at kundene kke ønsker å bnde sparepengene så lenge som før, og at bankene som følge av dette tlbyr produkt med kortere levetd. En annen forklarng kan være at bankene gjør dette ford kortere bndngstd vl kunne føre tl at kundene renvesterer kaptalen raskere, slk at bankene på den måten kan hente nn mer tegnngsgebyr for en gtt tdsperode. I appendks D fnnes en tabell som vser de sentrale opplysnngene for hvert av de 117 prospektene jeg har undersøkt. 93

102 7. Avslutnng 7.1 På tde med en ny type strukturerte produkt? I løpet av sommeren 2007 tlbyr DnB og Orkla Fnans en ny type strukturert produkt under navnet warrant. Hvs v ser nærmere etter prospektene ser v at dette egentlg er en gammel kjennng. De warrantene som tlbys markedet er eksotske opsjoner tlsvarende opsjonsdelen garanterte produkter. Etter mn menng er dette et nyttg tlskudd på stammen mulge nvesterngsobjekter. Investorer kan da selv sy sammen en egen aksjendeksoblgasjon, med ønsket kaptalgarant og avkastnngsfaktor. Verden av tradsjonelle strukturerte produkt består gjerne av % rskofr plasserng. Ikke alle kunder ønsker garant for nvesterngsbeløpet. For kunder med lte egenkaptal kan tradsjonelle strukturerte produkt lånefnanseres, men effekten er at forventet avkastnng de fleste tlfeller blr lavere enn rskofr rente. En warrant er meget rskabel, sden det er stor sannsynlghet for at nvesterngen er verdløs ved forfall. På den annen sde er oppsdemulghetene store relatvt tl nvestert beløp. For nvestorer med mye kaptal bundet opp tradsjonelle aktva som aksjer, fond, banknnskudd og eendom, kan warrants være fornuftg for å oppnå ønskede avkastnngsmulgheter og rskoeksponerng. Sden svært mange av de garanterte produktene er lånefnanserte kan det tyde på at det er warrants kundene egentlg ønsker. Som v har sett rapporten er lånefnanserng av strukturerte produkt en kostbar måte å skaffe en warrant på. Hvs tlbudet av warrants blr lke omfattende som de tradsjonelle aksjendekserte oblgasjonene, mener jeg det de aller fleste tlfeller vl være bedre for en nvestor å sy sammen egne strukturerte spareprodukter ved å kjøpe warrants for % av tlgjengelg kaptal og holde de resterende % skre verdpapr. Dette er selvfølgelg avhengg av blant annet forskjell størrelsen på de samlede gebyrene mellom warrants og tradsjonelle garanterte produkt. Det sentrale er at warrants større grad kan tlpasses den enkelte nvestors rsko- og avkastnngsønsker, uten å g banken en stor del av kaka gjennom rentemargnen lånefnanserte garanterte produkt. Er det sannsynlg at warrentene blr det nye nvesterngsobjektet for folk flest? Personlg tror jeg dessverre at det er flere faktorer som taler mot dette. Små prvate nvestorer vl trolg vurdere rskoen slke produkt som alt for høye, sden hele beløpet fort kan gå tapt. 94

103 Rskoen sees derfor trolg for lten grad sammenheng med resten av porteføljen. Lkevel er nok den vktgste grunnen at gebyrene og rentemargnene, målt kroner og ører, vl bl langt mndre for fnansnsttusjonene. De har derfor ncentver tl heller å selge BMA og AIO produkter med eventuell lånefnanserng enn warrants. 7.2 Oppsummerng Er krtkken berettget? Hele 90 % av utestående garanterte produkter ees av husholdnngene, med en låneandel på 75 %. Hva er grunnen tl at de profesjonelle nvestorer kun eer 10 %? En grunn kan være at den vanlge mannen gata ser verder produktene som kke de profesjonelle ser. Insttusjonelle nvestorer kan større grad skreddersy produktene selv, og dermed unngå å betale høye margner tl utstederne. En annen forklarng, som trolg er vktgere, er at mange prvatpersoner har plassert pengene på fel premsser 27. Dne Penger har estmert at småsparerne de sste t årene har tapt mllarder kroner 28 på strukturerte produkt. Gode selgere kan lett overbevse uvtende prvatpersoner at du faktsk får både pose og sekk; lke skkert som banken og samme avkastnng som aksjemarkedet. Denne rapporten vser at forventet årlg avkastnng beste fall er 1-2 % høyere enn rskofr rente, og at det de aller fleste tlfeller er negatv forventet avkastnng ved lånefnanserng. Strukturerte produkt gr rett og slett for dårlg avkastnng. Det har tydelgvs de profesjonelle nvestorene nnsett. I kapttel 4 så v at fem av seks produkt hadde høyere tlretteleggngsgebyr enn det som opplyses om prospektet. Jeg mener at mne estmat bygger på realstske antakelser. En undersøkelse som omfatter flere produkt vl kunne g svar på om tlbyderne jevnt over oppgr for lave tlretteleggngsgebyr. Gjennomsnttlg tlretteleggngsgebyr mne undersøkelser var 5.2 %. Tar v også hensyn tl et tegnngsgebyr på opp mot 5 %, starter kunden med en negatv avkastnng på 10 %. Da skal det mye tl at produktet oppnår god avkastnng når omtrent % av produktet er banknnskudd. En undersøkelse av 720 garanterte produkter fra , gjennomført Koekebakker og Zakamoulne (2006), vser at gjennomsnttlg realsert avkastnng på produktene er lavere enn rskofr rente. 27 I følge Dne penger er så mye som kunder bltt lurt av vlledende markedsførng og salgstrks 28 Se lederartkkel av Tom Staav Dne Penger , sde 5 95

104 Kapttel 6 vste at det er forskjeller gebyr hos de ulke aktørene. Nordea har de laveste tegnngskostnadene, men har samtdg også de produktene med kortest levetd. Hvs v ser på tegnngskostnader justert for levetd har kommer Acta, Orkla Fnans og Pareto ut med de høyeste gebyrene. Hos de andre tlbyderne er tegnngsgebyrer rundt 1 % per år. I prospektene estmerer også utstederne hvlket tlretteleggngsgebyr de oppnår på de ulke produktene. Også her kommer Nordea best ut, crka 0.1 % p.a. foran Storebrand på andreplass. Merk her at det er uklart om Nordea faktsk har de laveste tlretteleggngsgebyrene eller om de er mndre ærlge enn konkurrentene. Samlet sett kan man som tommelfngerregel s at de samlede gebyrene er rundt 2 % per leveår for et strukturert spareprodukt. Har så den knallharde krtkken av strukturerte spareprodukt rot vrkelgheten? Mne analyser støtter langt på ve krtkken. For et typsk produkt betaler kunden 8-10 % gebyr, hvlket gjerne er 2-4 % høyere enn det som står prospektet. En forventet avkastnng ved egenkaptalfnanserng som er på lnje med rskofr rente, etter at tegnngskostnadene er betalt, er heller kke mye å skryte av. Det mest alvorlge er lkevel at en nvestor som velger full lånefnanserng kan forvente å tape penger på sn rskable nvesterng. Mtt råd tl nvestorer som ønsker en mer dversfsert portefølje er å skreddersy strukturerte produkter selv. Ved å kjøpe Warrants og plassere den resterende formuen banknnskudd, oblgasjoner, aksjer, eendom eller fond, kan nvestor selv bestemme rsko og avkastnngsmulgheter. Du slpper også trolg unna med langt lavere gebyrer. 7.3 Svakheter ved rapporten og forslag tl vdere undersøkelser Den vktgste svakheten ved denne rapporten er at analysene og modellene kapttel 4 og 5 baserer seg på hstorske data. Andre forutsetnnger og estmater på volatlteter, dvdenderater og korrelasjoner vl g andre resultater. Det er således kke mulg å s noe om hva som er korrekt prs eller forventet avkastnng på garanterte spareprodukt. Ideelt sett hadde det vært ønskelg med tlgang tl relevant markedsdata, men sden opsjonselementene handles OTC markedet er dsse dataene kke så lett tlgjengelg. I denne rapporten ble seks produkt fra seks ulke tlbydere analysert. For fem av dsse ble mne estmat på tlretteleggngsgebyret høyere enn det som var opplyst om prospektet. For å 96

105 kunne vurdere om dette er representatvt på generelt grunnlag måtte utvalget vært betydelg større, noe som kke var mulg nnenfor rammene tl denne rapporten. Når det gjelder vdere undersøkelser er et alternatv å benytte et større utvalg, for på den måten kunne vurdere med større grad av skkerhet om tlretteleggngsgebyrene prospektene er for lave. Jeg har basert mne analyser på data og nformasjon som er offentlg tlgjengelg. En annen nnfallsvnkel er å kontakte tlbyderne drkete for å få oppgtt datagrunnlaget som prospektene baseres på, og gjøre analysene ut fra dsse opplysnngene. Et tredje forslag er å se på realsert avkastnng på strukturerte spareprodukt, slk som Koekebakker og Zakamoulne (2007) har gjort. Hver måned forfaller mange ulke produkt, og det er flere mulge analyser og sammenlgnnger som kan gjøres her. Et annet alternatv er å gjennomføre en mer kvaltatv analyse av prospektene for å se om de er tråd med retnngslnjene tl Kredttlsynet, og om prospektene gr bedre opplysnnger nå enn tdlgere. Det kunne også vært nteressant å gjennomføre en spørreundersøkelse for å fnne ut om kundene vet hva de kjøper, og kke mnst, om bankrådgverne vet hva de selger. 97

106 8. Referanser Norske avs- og tdsskrftsartkler Aasnes, H. og Semmen, K., 1997, Markedet for strukturerte produkter : Same sht, new wrappng? Dervatet utgave 7, sde Axelsen K. A., Rakkestad K. J, 2000, Garanterte nvesterngsprodukter, Norges Banks tdsskrft Penger og Kredtt, nummer 1. Bjerksund P., Carlsen F., Stensland G., 1999, Aksjendekserte oblgasjoner Både Pose og sekk? Praktsk økonom og fnans nr 2, sde Hoemsnes A., Larsen V., 2007, Garantert gevnst for bankene, ntervju med Petter Bjerksund, Dagens Nærngslv 12.februar. Le M., Lndset S. og Lund A.- C., 2005, Garantbonus III, et banknnskudd med aksjeavkastnng. Praktsk økonom og fnans nr 1 sde Ormseth G., 2006, Banken lurer deg, Dne Penger nr 3. Ormseth G., 2006, Er du lurt av banken, Dne Penger nr 4. Ormseth G., 2007, Bankene har lurt kundene, Dne Penger nr 6. Staav, T., 2007, Verkebyllen er påvst, fjern den!, Dne Penger nr 6, sde 5. Sættem B. E, Pedersen R, 2000, Aksjesparng med garant. Dne Penger nr 9. Sættem B. E, Rutgersen H. B., 2001, Garanterte spareprodukter, Dne Penger nr 9. Bøker Back, K., 2005, A course n Dervatve Securtes: Introducton to Theory and Computaton. Sprnger-Verlag, Berln Hedelberg. Björk, T., 1998, Arbtrage Theory n Contunous Tme. Oxford Unversty Press. 98

107 Campbell J.Y. Lo, A.W. & MacKnlay A.C, 1997, The Econometrcs of Fnancal Markets. Prnceton Unversty Press. Dmeson, E., Marsh, P. and Staunton, M., 2002, Trumpf of the optmsts: 101 years of global nvestment returns. Prnceton Unversty Press. Prnceton NJ. Dmeson, E., Marsh, P. and Staunton, M., 2004, Global Investment Returns Yearbook ABN AMRO and London Busness School. Geman, H., 2005, Commodtes and commodty dervatves. Wley Fnance, Chchester - West Sussex. Glasserman, P., Monte Carlo Methods n Fnancal Engneerng. New York, Sprnger- Verlag. Hull, J., 2006, Optons, Futures and Other Dervatves, 6th edton, Prentce-Hall. Haug, E. G., 1998, The Complete Gude to Opton Prcng Formulas, McGraw-Hll. Haug, E. G., 2006, The Complete Gude to Opton Prcng Formulas, 2 nd Edton. McGraw- Hll. Jackson, M. and Staunton, M., 2001, Advanced modellng n fnance usng Excel and VBA, Wley Fnance, Chchester - West Sussex. Jäckel, P., 2002, Monte Carlo methods n fnance. Wley Fnance, Chchester - West Sussex. Klype, J., 2006, Strukturerte produkter, kapttel 4 Reppen (red), Alternatve nvesternger, Gyldendal Norsk Forlag. McDonald, R., Dervatves Markets. Boston, Pearson Educaton. Nelken, I., 1996, The handbook of exotc optons. McGraw-Hll, USA. Wlmott, P., 2001, Introduces Quanttatve Fnance. Wley Fnance, Chchester-West Sussex. Øksendal, B., 2003, Stochastc Dfferental Equatons, 6. utgave, Sprnger Verlag. 99

108 Internasjonalt publserte forsknngsartkler Boyle, P. P., 1977, Optons: a Monte Carlo approach, Journal of Fnancal Economcs 4, pp Boyle, P., Brode, M., og Glasserman, P., 1997, Monte Carlo methods for securty prcng, Journal of Economc Dynamcs and Control 21. pp Brode, M., Glasserman, P. og Kou, S., 1995, A Contnuty Correcton for dscrete barrer optons, Workng paper, Columba Unversty. Dahl, L. O., og Benth, F. E., 2001, Valuaton of Asan Basket Optons wth Quas-Monte Carlo Technques and Sngular Value Decomposton, Monte Carlo and Quas- Monte Carlo Methods 2000, K,-T. Fang, F.J. Hckernell and H. Nederreter (eds.), Sprnger Verlag, pp Dahl, L. O., 2000., Valuaton of European Call Optons on Multple Underlyng Assets by Usng a Quas-Monte Carlo Method. A Case wth Baskets from Oslo Stock Exchange. AFIR Colloquum, Tromsø, jun. Eberlen, E. og Keller, U., 1995, Hyperbolc dstrbutons n Fnance. Bernoull 1, pp Fama, E. F., 1996, The Behavour of Stock Market Prces, Journal of Busness, January pp Fama, E. F., 1970, Effcent Captal Markets: A Revew of Theory and Emprcal Work, Journal of Fnance, May pp Itô, K., 1951, Multple Wener ntegral, J. Math. Soc. Japan 3, pp Heston, S., 1993, A Closed-Form Soluton of Optons wth Stochastc Volatlty wth Applcatons to Bond and Currency Optons, The Revew of Fnancal Studes, Vol.6, No.2, pp Kemna A., Vorst A., 1990, A Prcng Method for Optons Based on Average Asset Value, Journal of Bankng and Fnance, 14, pp Koekebakker, S. og Zakamoulne, V., 2006, Forventet avkastnng på aksjendeksoblgasjoner, Arbedspapr ved Høyskolen Agder. Utdrag publsert Dne penger Koekebakker, S. og Zakamoulne, V., 2007, Realsert avkastnng på garanterte spareprodukter. Arbedspapr ved Høyskolen Agder. Utdrag publsert Dne penger 6/

109 Margabe, W., 1978, The value of an opton to exchange one asset for another, Journal of Fnance, 33(1), pp Matsumoto, M., og Nshmura, T., 1998, Mersenne Twster: a 623-dmensonally equdstrbuted unform pseudo-random number generator, ACM Transactons on Modellng and Computer Smulaton 8, pp Merton, R. C., 1973, Theory of Ratonal Opton Prcng. Bell Journal of Economcs and Management Scence 4 (1), pp Merton, R. C., 1976, Opton prcng when underlyng stock returns are dscontnuous, Journal of Fnancal Economcs 3, pp Moro, B., 1995, The full Monte, Rsk 8 February, pp Paskov, S. og Traub, J., 1995, Faster valuaton of fnancal dervatves, Journal of Portfolo Management 22, pp Rener, E. og Rubnsten M., 1991 Breakng down the barrers, Rsk 4, pp Shller R.J. 2003, From Effcent Markets Theory to Behavoural Fnance. Journal of Economc Perspectves, 17, pp Doktor-, master- og svløkonomutrednnger Berseter, K., 2003, Rskopremen kraftmarkedet, Hovedoppgave ved nsttutt for ndustrell økonom og teknologledelse, Norges teknsk-naturvtenskapelge unverstet. Husebø, S. B., 2002, Teoretsk og numersk verdsettelse av aksjendeksoblgasjoner. Utrednng Høyere avdelng - Has 940, Norges Handelshøyskole. Ollmar, F., 2004, En analyse av dervatprsng det nordske kraftmarkedet. Doktorgradsutrednng, Norge Handelshøyskole. Solvær S., Stennes V., Stølen F. H., 2005, Strukturerte spareprodukter: Verdsettelse og markedsførng. Svløkonomutrednng 13980, Norges Handelshøyskole. 101

110 Von Krogh, H. C., 2003, Analysng Protected Equty Notes by means of Monte Carlo smulaton. Master thess 470 MB, Norges Handelshøyskole. Wangen, K. A., 2004, Aksjendeksoblgasjoner: smulerng og verdsettng. Svløkonomutrednng 13702, Norges Handelshøyskole. Internett Modeller og teor om Quas-Monte Carlo, av Marco Das. SF Mersenne Twster: SSB, tabell 201 Balanse med spesfkasjoner, utestående aksjendeksoblgasjoner aksessert SSB, tabell 43 - Banker. Spesfkasjoner av nnskudd på forskjellge nnskuddstyper, BMA aksessert Estmat på dvdenderate tl TSEREIT-ndeksen CC , aksessert aksessert Annet Bjerksund, P., 2007, Aksjendeksoblgasjoner et sparealternatv for Ola og Kar? Foredrag under jubleumssemnar for Knut Boye, Norges Handelshøyskole. Bjerksund, P., 2007, CASE: Nordea Kraftoblgasjon XIII 2007/2010, Semnar 3 - Certfcate n Fnancal Energy Analyss 2006/2007, 3.februar Norges Handelshøyskole. 102

111 Appendks A 1. Vsual Basc kode for Cholesky dekomponerng Publc Functon Cholesky(mat As Range) Dm a, L() As Double, S As Double a = mat N = mat.rows.count M = mat.columns.count If N <> M Then Cholesky = "?" Ext Functon End If ReDm L(1 To N, 1 To N) For j = 1 To N S = 0 For K = 1 To j - 1 S = S + L(j, K) ^ 2 Next K L(j, j) = a(j, j) - S If L(j, j) <= 0 Then Ext For L(j, j) = Sqr(L(j, j)) For = j + 1 To N S = 0 For K = 1 To j - 1 S = S + L(, K) * L(j, K) Next K L(, j) = (a(, j) - S) / L(j, j) Next Next j Cholesky = L End Functon Kldekoden er hentet fra et notat benyttet kurset BUS864 Credt rsk modelng ved Smon Fraser Unversty Canada. Notatet er laget av Anton Theunssen og fnnes på 103

112 2. Vsual Basc kode for Moros transformasjon Functon Moro_NormSInv(u As Double) As Double ' Calculates the Normal Standard numbers gven u, the assocated unform number (0, 1) ' VBA verson of the Moro's (1995) code n C ' Opton Base 1 s necessary to be declared before ths functon for vector elements postonng to work Dm c1, c2, c3, c4, c5, c6, c7, c8, c9 Dm X As Double Dm r As Double Dm a As Varant Dm b As Varant a = Array( , , , ) b = Array( , , , ) c1 = c2 = c3 = c4 = E-02 c5 = E-03 c6 = E-04 c7 = E-05 c8 = E-07 c9 = E-07 X = u If Abs(X) < 0.42 Then r = X ^ 2 r = X * (((a(4) * r + a(3)) * r + a(2)) * r + a(1)) / ((((b(4) * r + b(3)) * r + b(2)) * r + b(1)) * r + 1) Else If X > 0 Then r = Log(-Log(1 - u)) If X <= 0 Then r = Log(-Log(u)) r = c1 + r * (c2 + r * (c3 + r * (c4 + r * (c5 + r * (c6 + r * (c7 + r * (c8 + r * c9))))))) If X <= 0 Then r = -r End If Moro_NormSInv = r End Functon Kldekoden er hentet fra en CD som medfølger boka Advanced modellng n fnance usng Excel and VBA av Mary Jackson og Mke Staunton (2001) 104

113 3. Vsual Basc kode for Halton sekvensen Functon HaltonBaseb(b As Long, N As Long) As Double ' Returns the equvalent frst Halton sequence number Dm h As Double, b As Double Dm As Long, n1 As Long, n2 As Long n1 = N h = 0 b = 1 / b Do Whle n1 > 0 n2 = Int(n1 / b) = n1 - n2 * b h = h + b * b = b / b n1 = n2 Loop HaltonBaseb = h End Functon Kldekoden er hentet nternettsden Kldekoden og nternettsden er laget av Marco A.G. Das. 105

114 4. Volatltetsberegnng for kraftkontraktene DnB Kraft 2007/2009 Fra prospektet tl Nordea Kraftoblgasjon XIII 2007/2010 er volatltetene tl de ulke kontraktene oppgtt. Dsse er gjengtt under. V ser at volatlteten er tdsavhengg, og volatlteten er fallende med økt løpetd. I Monte Carlo smulerngen er det enklest å smulere utvklngen kraftprsen basert på en tdsvarerende volatltet som er konsstent med dataene under. Det antas uavhengghet mellom delavkastnngene for hvert år. v 1 = 26 % v 2 = 22.5 % v 3 = 20 % 1 års volatltet ENOYR08 2 års volatltet ENOYR09 2 års volatltet ENOYR10 Volatlteten det første året er 26 % for alle de tre kontraktene. Sammenhengen mellom volatlteten for år 1 og år 2 er gtt ved (A.4.1). V ønsker å fnne volatlteten år toσ 2 2. t1 t σ 2 = σ 1 + σ 1 (A.4.1) t 2 t0 t 2 t1 t1 t 0 Dersom v setter nn tallene v har, får v = 2 2 σ σ (A.4.2) t 2 t1 t 2 t1 = På tlsvarende måte kan v fnne den volatlteten år 3 som er konsstent med en gjennomsnttlg årlg volatltet over treårsperoden på 20 %, og at volatlteten år 1 og år 2 er henholdsvs 26 % og %. Dette er gtt fra lgnngene (A.4.3) og (A.4.4) σ 3 = σ 1 + σ 1 + σ 1 (A.4.3) t3 t 0 t3 t 2 t 2 t1 t1 t = σ σ (A.4.4) t3 t 2 t3 t 2 = 106

115 Appendks B 1. Formel for barrereopsjon uten rebate, down-and-out put. Fremstllngen er basert på Haug (1998). Symbolforklarnger: S: Aksjekursen X : Utøvelsesprs H : Barrerenvået (her 50) T : Forfallstdspunktet r : kontnuerlg rskofr rente δ : kontnuerlg mplstt dvdenderate Payoff: max(x-s, 0) hvs S>H før T, ellers 0. Verd av opsjonen: P ( X > H ) = A B+ C D do Her er A verden av en standard B&S put, mens B, C og D justerer for effekten av barreren. Formlene for A, B, C og D kan skrves som δt rt A = Se N( x1 ) + Xe N( x1+ σ T ) δt rt B = Se N( x2) + Xe N( x2+ σ T ), 2( µ + 1) 2µ δt H rt H C = Se N( y1 ) + Xe N( y1 σ T ) S S D = 2( µ + 1) 2µ rt H 2 2 δt H Se N( y ) + Xe N( y σ T ) S S hvor, x 1 S ln X σ T = + ( 1+ µ ) σ T, x = + ( 1+ ) 2 S ln H σ T µ σ T 107

116 y 1 2 H ln SX σ T = + ( 1+ µ ) σ T, y = + ( 1+ ) 2 H ln S σ T µ σ T 2 r δ + 0.5σ µ = 2 σ 2. Justerng av barrere fra kontnuerlg tl dskret overvåknng Broade, Glasserman og Kou (1995) vser at v kan verdsette en barrereopsjon med dskret overvåknng dersom v justerer barreren etter formelen under. H D = He βσ t Her er t tden mellom hver overvåknng, altså 1/252 år. β er en konstant lk 1 ζ 2 β = , der ζ er Remann zeta funksjonen. 2π 108

117 Appendks C 1. VBA kode tl verdsettelse av Storebrand Spread Sub smulerng() Dm V1 As Double Dm r, d1, d2, sg1, sg2 As Double Dm faktor As Double Dm T As Double Dm nsm As Long Dm Xj1 As Double Dm Xj2 As Double Dm, j, h As Long Dm N01, N02 As Double Dm Vt1, Vt2 As Double Dm Prce As Double Dm Start, Fnsh, Tmestep As Double Dm Verd, Verd1, Verd2, Meravk As Double Dm Sumverd1, Sumverd2 As Double Dm Opsjonsverd, Totopsjonsverd As Double Dm Gjverd1, Gjverd2, rho, Avk1, avk2 As Double Dm Hale_obs As Integer Dm value1, value2, value3, value4, value5, value6, value7, value8, value9, value10 As Double Dm mean, sqdff, tot_sqdff, stdev As Double Range("start_tme").Value = Now() Worksheets("Inputvarabler").Actvate V1 = Range("P0_") r = Range("r_") d1 = Range("delta") d2 = Range("delta2") sg1 = Range("sgma") sg2 = Range("sgma2") faktor = Range("faktor") Start = Range("Start") Fnsh = Range("Fnsh") Tmestep = Range("Tmestep") Hale_obs = Range("hale_obs") nsm = Range("NSmul") rho = Range("rho") mean = Range("RealOpt") ' Beregner opsjonsverden Worksheets("Resultater").Actvate Totopsjonsverd = 0 For = 1 To nsm T = Start Sumverd1 = 0 Sumverd2 = 0 For j = 1 To Hale_obs If T <= Fnsh Then If T = Start Then Xj1 = Rnd N01 = Moro_NormSInv(Xj1) Xj2 = Rnd N02 = Moro_NormSInv(Xj2) N02 = rho * N01 + N02 * Sqr(1 - rho ^ 2) Vt1 = V1 * Exp((r - d1 - ((sg1 * sg1) / 2)) * Start + (sg1 * Sqr(Start) * N01)) Vt2 = V1 * Exp((r - d2 - ((sg2 * sg2) / 2)) * Start + (sg2 * Sqr(Start) * N02)) 109

118 Verd1 = Vt1 Verd2 = Vt2 Sumverd1 = Sumverd1 + Verd1 Sumverd2 = Sumverd2 + Verd2 T = T + Tmestep Else Xj1 = Rnd N01 = Moro_NormSInv(Xj1) Xj2 = Rnd N02 = Moro_NormSInv(Xj2) N02 = rho * N01 + N02 * Sqr(1 - rho) Vt1 = Verd1 * Exp((r - d1 - ((sg1 * sg1) / 2)) * Tmestep + (sg1 * Sqr(Tmestep) * N01)) Vt2 = Verd2 * Exp((r - d2 - ((sg2 * sg2) / 2)) * Tmestep + (sg2 * Sqr(Tmestep) * N02)) Verd1 = Vt1 Verd2 = Vt2 Sumverd1 = Sumverd1 + Verd1 Sumverd2 = Sumverd2 + Verd2 T = T + Tmestep End If Else End If Next j Gjverd1 = Sumverd1 / Hale_obs Gjverd2 = Sumverd2 / Hale_obs Avk1 = Gjverd1 / V1-1 avk2 = Gjverd2 / V1-1 Meravk = Avk1 - avk2 If Meravk > 0 Then Opsjonsverd = 100 * Exp(-r * Fnsh) * (Meravk) Else Opsjonsverd = 0 End If Totopsjonsverd = Totopsjonsverd + Opsjonsverd sqdff = (Opsjonsverd * faktor - mean) ^ 2 tot_sqdff = tot_sqdff + sqdff Next Prce = (Totopsjonsverd / nsm) * faktor stdev = (tot_sqdff / (nsm - 1)) ^ (1 / 2) Range("RealOpt").Select ActveCell.FormulaR1C1 = Prce Range("Stdev").Select ActveCell.FormulaR1C1 = stdev Range("Fnsh_tme").Value = Now() End Sub 110

119 Appendks D Tlbyder Produkt Løpetd Provsjon totalt Provsjon per år Høyeste tegnngsgebyr Laveste tegnngsgebyr Storebrand Asa BMA ,47 % 0,87 % 4,5 % 0,20 % Storebrand Helse ,49 % 0,91 % 4,5 % 0,20 % Storebrand Energ/Mljø II ,04 % 0,76 % 4,5 % 0,20 % Storebrand Energ/Mljø ,00 % 0,75 % 4,3 % 0,20 % Storebrand Spread ,15 % 0,78 % 4,5 % 0,20 % Storebrand Tyskland ,82 % 0,90 % 2,5 % 0,20 % Nordea Alternatv trend % 0,75 % 4,0 % 0,25 % Nordea Portefølje m/ avkastnngsgarant ,00 % 0,75 % 3,0 % 0,35 % Nordea Carry Sertfkat ,15 % 0,60 % n/a n/a Nordea Kna Pluss II ,25 % 0,75 % 3,0 % 0,35 % Nordea Rentesamler VII ,80 % 0,53 % n/a n/a Nordea Rentebooster ,80 % 0,53 % 0,3 % 0 % Nordea Trppel aksje ,00 % 0,48 % n/a n/a Nordea Trppel kraft ,00 % 0,48 % n/a n/a Nordea Trppel Carry ,00 % 0,48 % n/a n/a Nordea Carry Index Prvat ,50 % 0,30 % n/a n/a Nordea Kraftoblgasjon XIII ,25 % 0,75 % 3,0 % 0,35 % Nordea Prvat Trppel ,50 % 0,75 % 2,0 % 0,35 % Nordea Kna Pluss ,25 % 0,75 % 3,0 % 0,35 % Nordea Rentesamler VI ,80 % 0,40 % n/a n/a Nordea Vann % 0,75 % 4,0 % 0,35 % Nordea Valutaoblgasjon XIV ,75 % 0,75 % 2,0 % 0,35 % Nordea Carry Index Prvat 2006/ ,60 % 0,75 % 2,0 % 0,35 % Nordea Metall ,50 % 0,75 % 2,0 % 0,35 % Nordea Nordea Lock-n Basket % 0,75 % 4,0 % 0,35 % Nordea Kraftoblgasjon XII ,40 % 0,75 % 4,0 % 0,35 % Nordea Aksjekurv Europa Asa % 0,75 % 4,0 % 0,35 % Nordea Store Selskaper % 0,80 % 2,5 % 0,50 % Nordea Kraftndeksoblgasjon XI % 0,75 % 4,0 % 0,50 % Nordea Trendsetter % 0,75 % 4,0 % 0,50 % DnB NOR Alternatv Energ III ,66 % 0,90 % 3,0 % 0,45 % DnB NOR Verd Alpha Gulv II ,86 % 0,99 % 4,0 % 0,45 % DnB NOR Kna Japan Eendom ,02 % 1,03 % 3,5 % 0,67 % DnB NOR Global verd III 2007/ ,63 % 0,95 % 5,0 % 1,00 % DnB NOR Eendom Europa ,43 % 0,88 % 4,0 % 0,50 % DnB NOR Alternatv Energ II ,65 % 0,90 % 3,0 % 0,45 % DnB NOR Verd Alpha Gulv I ,66 % 0,95 % 4,0 % 0,45 % DnB NOR Asavekst Pluss IV ,35 % 1,14 % 3,0 % 0,45 % DnB NOR Absolutt Alpha ,58 % 2,32 % 2,5 % 0,68 % DnB NOR Alternatv Energ ,69 % 0,91 % 3,0 % 0,45 % DnB NOR Verd ,27 % 0,88 % 4,0 % 0,45 % DnB NOR Asavekst Pluss III ,97 % 1,01 % 3,0 % 0,45 % DnB NOR Global Verd II ,43 % 1,11 % 5,0 % 1 % DnB NOR Asavekst Pluss II ,03 % 1,02 % 3,0 % 0,45 % DnB NOR Prvate Equty III ,58 % 0,93 % 4,0 % 0,45 % DnB NOR Verd ,48 % 0,91 % 4,0 % 0,45 % DnB NOR Global Verd I ,73 % 0,96 % 5,0 % 1 % DnB NOR Kraft ,32 % 0,85 % 3,0 % 0,45 % DnB NOR Prvate Equty II ,16 % 0,95 % 4,0 % 0,45 % DnB NOR Global Pluss ,01 % 0,90 % 4,0 % 0,45 % DnB NOR Asavekst Pluss ,66 % 0,95 % 3,0 % 0,45 % DnB NOR Global ,01 % 0,90 % 5,0 % 1 % DnB NOR Prvate Equty I ,08 % 0,95 % 5,0 % 1 % DnB NOR Global Infrastruktur ,59 % 0,89 % 3,5 % 1 % DnB NOR Global Pluss ,52 % 0,80 % 4,0 % 0,45 % DnB NOR Asavekst Pluss ,21 % 0,80 % 3,0 % 0,45 % DnB NOR Prvate Equty II ,96 % 0,90 % 4,0 % 0,45 % DnB NOR Asa ,38 % 1,69 % 2,8 % 0,75 % DnB NOR Global Infrastruktur ,24 % 0,80 % 3,5 % 0,50 % DnB NOR Prvate Equty ,90 % 0,80 % 5,0 % 1,00 % DnB NOR Prvate Equty ,48 % 0,92 % 4,0 % 0,45 % DnB NOR Dynamsk III 2006/ ,87 % 0,65 % 4,0 % 0,45 % DnB NOR Japansk Eendom V ,35 % 0,85 % 3,0 % 0,45 % DnB NOR Dynamsk II 2006/ ,37 % 0,65 % 4,0 % 0,45 % DnB NOR Japansk Eendom IV ,45 % 0,80 % 3,0 % 0,45 % DnB NOR Japansk Eendom III ,35 % 0,85 % 3,0 % 0,50 % DnB NOR Dynamsk 2006/ ,88 % 0,65 % 4,0 % 0,45 % DnB NOR Aktva Pluss II ,98 % 0,90 % 5,0 % 1,00 % DnB NOR Japansk Eendom ,22 % 0,80 % 3,0 % 0,50 % 111

120 DnB NOR Inda, Kna, Japan ,50 % 0,90 % 3,0 % 0,45 % DnB NOR Valuta Latn Amerka II ,52 % 0,80 % 2,0 % 1,35 % DnB NOR Best av IV ,00 % 0,90 % 4,0 % 0,45 % DnB NOR Asavekst ,88 % 0,80 % 3,0 % 0,50 % Acta BMV Øst-Europa 2 % 1 % 5,0 % under 2 % Acta Japans Eendom % 1 % 5,0 % under 2 % Acta Kna V ,00 % 1,00 % 5,0 % under 2 % Acta Kna IV ,00 % 1,00 % 5,0 % under 2 % Acta Japansk Eendom ,94 % 0,98 % 5,0 % under 2 % Acta Japans Eendom ,94 % 0,98 % 5,0 % under 2 % Acta Asa % 1 % 5,0 % under 2 % Acta BMA Kna III ,94 % 0,980% 5,0 % under 2 % Acta BMA Kna II ,94 % 0,980% 5,0 % under 2 % Acta BMA Kna I ,94 % 0,980% 5,0 % under 2 % Acta Twn Wn % 1 % 5,0 % under 2 % Acta Olje og Metaller ,80 % 0,60 % 5,0 % under 2 % Acta KMS Dynamsk V ,88 % 2,05 % 5,0 % under 2 % Orkla Fnans Australa Europa ,39 % 1,25 % 5,0 % 0,5 % Orkla Fnans Alternatv Energ ,25 % 0,65 % 5,0 % 0,0 % Orkla Fnans Tokyo Eendom ,59 % 1,03 % 5,0 % 0,5 % Orkla Fnans Tyskland og Norden Warrant ,45 % 1,18 % 3,0 % 0,5 % Orkla Fnans Absolutt Europa II ,27 % 0,84 % 5,0 % 0,5 % Orkla Fnans M&A ,70 % 0,85 % 3,5 % 0,5 % Bnbank Pareto Shppng II ,49 % 1,83 % 5,0 % 1,0 % Spareb Pluss Pareto Aksje Norge III ,56 % 1,08 % 5,0 % 1,0 % Spareb Pluss Pareto Aksje Norge II ,27 % 0,61 % 5,0 % 1,0 % Spareb Pluss Pareto Emergng Markets II ,90 % 1,30 % 5,0 % 1,0 % Bnbank Pareto Eendom II ,00 % 0,40 % 5,0 % 1,0 % Bnbank Pareto Eendom ,00 % 1,00 % 5,0 % 1,0 % Spareb Pluss Pareto Veskt 2 år III ,60 % 1,80 % 3,5 % 1,0 % Spareb Pluss Pareto Veskt 2 år II ,14 % 1,07 % 3,5 % 1,0 % Prvatbanken Pareto Elte III ,19 % 0,58 % 5,0 % 1,0 % Spareb Pluss Pareto Vekstmarkeder Asa AIO ,30 % 1,80 % 5,0 % 1,0 % Fokus Bank Råvarendeksoblgasjon % 0,67 % 2,0 % 0,5% Postbanken Asavekst Pluss III ,84 % 0,97 % 3,0 % 3 % Postbanken Global Infrastruktur ,59 % 0,87 % 3,0 % 3 % Postbanken Global Infrastruktur ,55 % 0,93 % 4,0 % 4 % Postbanken Global ,35 % 1,09 % 4,0 % 4 % Postbanken Asavekst Pluss II ,07 % 1,04 % 3,0 % 3 % Postbanken Asavekst Pluss I ,68 % 0,87 % 3,0 % 3 % Postbanken Aktva VII ,79 % 0,85 % 4,0 % 4 % Postbanken Aktva VIII ,76 % 0,85 % 4,0 % 4 % Postbanken Asa ,23 % 0,80 % 3,0 % 3 % Postbanken Asa II ,36 % 0,85 % 3,0 % 3 % Postbanken Asa III ,36 % 0,85 % 3,0 % 3 % Postbanken Global Norden ,21 % 0,80 % 3,0 % 3 % Nordlandsbanken Asavekst Pluss III ,97 % 1,01 % 3,0 % 0,45 % Nordlandsbanken Verd ,49 % 0,91 % 4,0 % 0,45 % Nordlandsbanken Asavekst Pluss II ,03 % 1,02 % 3,0 % 0,45 % Nordlandsbanken Asavekst Pluss ,66 % 0,95 % 3,0 % 0,45 % Nordlandsbanken Global Pluss ,01 % 0,90 % 4,0 % 0,45 % Nordlandsbanken Global Pluss ,52 % 0,80 % 4,0 % 0,45 % Nordlandsbanken Asavekst Pluss ,21 % 0,80 % 3,0 % 0,45 % Nordlandsbanken Dynamsk II ,37 % 0,65 % 4,0 % 0,45 % Nordlandsbanken Japansk eendom IV ,45 % 0,80 % 3,0 % 0,45 % Nordlandsbanken Dynamsk ,88 % 0,65 % 4,0 % 0,45 % Nordlandsbanken Japansk eendom II ,22 % 0,80 % 3,0 % 0,45 % Nordlandsbanken Valuta Latn Amerka II ,52 % 0,80 % 2,0 % 1,35 % Nordlandsbanken Best av IV % 0,90 % 4,0 % 0,45 % SR Bank % 0,75% 112