IT1105 Algoritmer og datastrukturer

Transkript

1 Løsnngsforslag, Eksamen IT1105 Algortmer og datastrukturer 1 jun Tllatte hjelpemdler: Godkjent kalkulator og matematsk formelsamlng Skrv svarene på oppgavearket Skrv studentnummer på alle ark Oppgave 1 (25%) 5% a) I en urettet, uvektet graf, bør man bruke dybde-først-søk eller bredde-førstsøk for å fnne den korteste sten mellom to noder? Bredde-først-søk 5% b) Hvlken desgnmetode kjennetegner algortmene MergeSort og QuckSort? Spltt og hersk (dvde and conquer) 5% c) Hva brukes Floyds algortme tl? Å fnne korteste ve fra alle noder tl alle andre en rettet graf 5% d) Hvlke krav stlles tl grafen om v skal kunne bruke Djkstras algortme? At ngen kant-vekter er negatve 5% e) Hvlken egenskap ved problemstrukturen gjør at dynamsk programmerng egner seg som løsnngsmetode? Overlappende delproblemer Oppgave 2 (10%) 5% a) Du skal utføre bnærsøk etter nøkkelen K = 7 følgende tabell, A: [2, 5, 9, 14, 24, 25, 26, 27, 29, 34, 39, 40, 45, 46, 47] Tabellen er 0-ndeksert, slk at A[0] = 2, A[1] = 5 og så vdere For hvert trnn algortmen sammenlgnes K med ett element A Oppg ndeksene tl dsse elementene rekkefølge (Hvs du, for eksempel, begynte med å sammenlgne K med det første tallet, 2, så skulle det første tallet svaret dtt være 0) Oppg kun de relevante ndeksene Ingen begrunnelse er nødvendg 7, 3, 1, 2 Sde 1 av 5

2 1 a 2 b c 6 7 d 8 9 e f g Fgur 1: En vektet graf 5% b) Fgur 1 vser en vektet graf med 7 noder Utfør Kruskals algortme og oppg alle kantene som er med det resulterende spenntreet Skrv løsnngen på formen a b, c d, der a b er kanten mellom a og b, og så vdere a b, a c, a d, b e, d f, d g Oppgave 3 (35%) 5% a) Hva er forskjellen på Ο, Θ og Ω? Ο gr en asymptotsk øvre grense, Ω gr en asymptotsk nedre grense og Θ gr både en øvre og en nedre grense n n+1 5% b) Er 2 Ω(2 )? G en kort begrunnelse Ja, ford 2 n + 1 = 2 2 n Ω(2 n ) Med andre ord er det bare en konstant faktor som skller de to uttrykkene n n 5% c) Er 3 Ο(2 )? G en kort begrunnelse Ne, ford her er det mer enn en konstant faktor som skller uttrykkene 5% d) En algortmedesgner prøver å lage en rekursv algortme for å stokke kort Hun deler kortstokken to lke store deler, lar fem tlfeldge kort fra hver halvdel bytte plass, og stokker så hver halvdel rekursvt For enkelhets skyld, anta at kortstokken oppfører seg som en tabell med tall og at antallet kort er en toerpotens Hva blr kjøretden tl algortmen? Sett opp en rekurrens og skrv løsnngen med asymptotsk notasjon Rekurrens: T ( = 2T ( n / 2) + Θ(1) Løsnng: T ( Sde 2 av 5

3 5% e) Algortmedesgneren nnser at metoden kke var god nok og beslutter seg for å gå fra å bytte om på fem kort fra hver halvdel ( hvert rekursve kall) tl å bytte om på fem prosent av kortene Hva blr kjøretden tl algortmen nå? Sett opp en rekurrens og skrv løsnngen med asymptotsk notasjon Rekurrens: T ( = 2T ( n / 2) + Θ( Løsnng: T ( n log 5% f) Etter en stund blr algortmedesgneren le av å stokke kort I stedet for å stokke begge halvdelene rekursvt stokker hun nå bare en tlfeldg valgt halvdel rekursvt Hva blr kjøretden tl algortmen nå? Sett opp en rekurrens og skrv løsnngen med asymptotsk notasjon Rekurrens: T ( = T ( n / 2) + Θ( Løsnng: T ( 5% g) Utpå kvelden begynner algortmedesgneren å bl skkkelg le Hun bestemmer seg for å gå tlbake tl å kun bytte om på fem tlfeldge kort, men fortsetter å kun stokke én av halvdelene rekursvt Hva blr kjøretden nå? Sett opp en rekurrens og skrv løsnngen med asymptotsk notasjon Rekurrens: T ( = T ( n / 2) + Θ(1) Løsnng: T ( log Oppgave 4 (30%) 5% a) Du har en sortert sekvens med unke ID-nummer (postve heltall) a 1 an Du ønsker å fnne det laveste postve heltall som ennå kke er brukt som ID-nummer Hvordan kan du avgjøre om det fnnes en ledg plass (et tall som kke er brukt) delsekvensen a a j konstant td? (For eksempel vl det sekvensen (3, 4, 6, 7, 9) være to ledge tall, nemlg 5 og 8) Hnt: Det er vktg at det er snakk om unke tall, og at de er heltall, kke reelle tall Sjekk om a a > j I så fall vl det være ledg plass j 5% b) Hvordan kan du bruke sjekken fra forrge deloppgave tl å fnne det laveste tallet som kke er bruk? Hva blr den totale kjøretden? Hnt: Hvlken algortme fra pensum kan tllempes tl dette problemet? Tlpasser bnærsøk Sjekk begge halvdeler av sekvensen som over Hvs det er ledg plass den venstre, undersøk den rekursvt Hvs kke, undersøk den høyre rekursvt Kjøretden blr logartmsk 5% c) Du har et ubegrenset lager med n forskjellge typer pappesker og ønsker å lage et høyt tårn av dem Hver pappeske har en vekt og en kapastet, begge målt gram (heltall) Vekten av et tårn er altså summen av vekten tl alle eskene tårnet, og hver eske kan kun bære en vekt (summen av eskene Sde 3 av 5

4 over) tlsvarende sn kapastet Anta at hver eske veer mnst ett gram og har en kapastet på mnst ett gram Sksser en rå makt-løsnng på problemet Hva blr kjøretden, uttrykt ved n og den største kapasteten, C? (Her legges det kke vekt på at algortmen skal være effektv) Hvs den høyeste kapasteten er C, kan det kke være mer enn C esker tårnet For hver mulg høyde 1 C prøver v alle mulge tårn (alle C mulge esker for hver possjon tårnet) Kjøretden blr O( n ) = Ο( Cn ) Her er det rom for mange lgnende løsnnger med andre kjøretder 10% d) Anta at du representerer hver esketype med et heltall, vekten tl typen med w[] og kapasteten tl typen med c[] Sett opp en rekursv funksjon, enten som en matematsk formel eller med pseudokode, for høyden h(x) ( antall esker) tl det høyeste tårnet som kan bygges hvs den totale vekten maksmalt kan være x h( x) = max( h( mn( c[ ], x w[ ] )) + 1) C = 1, der er slk at w[ ] x Forklarng (kke påkrevd av studentene): V prøver ut alle mulge kasser som kan plasseres bunnen og fnner ut hvor mye kapastet v har gjen Den resterende kapasteten blr mn{ c[ ], x w[ ]} V bruker denne kapasteten tl å løse problemet rekursvt, og legger tl 1 Dette gjøres for alle n kassetyper, og v velger den som gr best svar 5% e) Sksser en algortme som fnner høyden tl det høyeste tårnet du kan bygge Skrv algortmen med pseudokode Hva blr kjøretden, uttrykt som funksjon av antall esker, n, og den høyeste kapasteten, C? Hnt: Det er en bestemt algortmsk desgnmetode som egner seg tl å løse rekursve problemer som beskrevet forrge deloppgave Bruk dynamsk programmerng tl å beregne h(x) Fyll en tabell H[ 1 C] der C er den høyeste kapasteten tlgjengelg Hvert element krever en maksmalserng over de n mulge eske-typene, så kjøretden blr Ο (C Sde 4 av 5

5 Tårn(w, c, : H[0] = 0 C = max{ c[1] c[n] } for x = 1 C best = 0 for = 1 n f w[] x rest = mn{ c[], x w[] } best = max{ best, H[rest] + 1 } H[x] = best return H[C] + 1 Sde 5 av 5