Sorterings- Algoritmer

Transkript

1 Hva er sorterng? Sorterngs- Algortmer Algortmer og Datastrukturer Input: en sekvens av N nummer Output: reorganserng nput-sekvensen slk at: a < a < a... < a n- < a n V søker algortmer som gjør dette på en korrekt og effektv måte. ernt Ingvald Sunde ernt Ingvald Sunde Hvorfor sorterng? Den største grunnen tl at det er så vktg å kunne sortere et sett av elementer er at mange andre problem blr lettere å løse dersom elementene er sortert Applkasjoner tl sorterng Søkng: nær søkng fnner ut om et element er en ordlste O(lg n) td Å gjøre søkng raskere er vel det vktgste bruksområdet tl sorterng Nærmeste nabo: Gtt n nummer, fnn paret som er nærmest hverandre Med en gang nummerene er sortert, vl de nærmeste parene lgge ved sden av hverandre, slk at en O(n) lnjær søkng gjør jobben ernt Ingvald Sunde ernt Ingvald Sunde Applkasjoner tl sorterng Element-Unkhet: Gtt et sett av n elementer, er de alle unke eller fnnes der duplkater? Medaner og seleksjon: Hva er det k-te største elementet en lste? Frekvens dstrubsjoner: Gtt et sett av n elementer, hvlket element opptrer flest ganger settet? Hvordan kan v sortere? egrensnger tl PU Kan bare gjøre en operasjon av gangen, Sden en sammenlgnng er en operasjon, fører dette tl at v bare kan sammenlgne to elementer samtdg når v skal sortere Men kan gjøre denne sammenlgnngen veldg raskt. ernt Ingvald Sunde 5 ernt Ingvald Sunde 6

2 Hva er en Haug (Heap)? Haug-Sorterng Sorterngs-Algortmer En haug er et komplett bnærtre, der alle nvå er fylt opp, untatt eventuelt det sste, som er fylt opp fra venstre tl høyre En haug brukes tl blant annet Prortetskøer og tl Haugsorterng (Heapsort) ernt Ingvald Sunde ernt Ingvald Sunde Haug : Datastruktur Max-Heapfy : O(lg n) nærtre som er lagret ndekserbar varabel (array) rot Generelle far/barn relasjoner / x x + ernt Ingvald Sunde 9 x x (Heap-egenskapen) Subrutne som vedlkeholder Heap-egenskapen,...dvs at barna tl roten er mndre enn roten Max-Heapfy(A,) l = left() r = rght() f l heap-sze[a] and A[l] > A[] then largest = l else largest = f r heap-sze[a] and A[r] > A[largest] then largest = r f largest then exchange A[] A[largest] Max-Heapfy(A,largest) ernt Ingvald Sunde 0 Max-Heapfy : O(lg n) Subrutne som vedlkeholder Heap-egenskapen,...dvs at barna tl roten er mndre enn roten Max-Heapfy : O(lg n) Subrutne som vedlkeholder Heap-egenskapen,...dvs at barna tl roten er mndre enn roten Max-Heapfy(A,) l = left() r = rght() f l heap-sze[a] and A[l] > A[] then largest = l else largest = f r heap-sze[a] and A[r] > A[largest] then largest = r f largest then exchange A[] A[largest] Max-Heapfy(A,largest) Max-Heapfy(A,) l = left() r = rght() f l heap-sze[a] and A[l] > A[] then largest = l else largest = f r heap-sze[a] and A[r] > A[largest] then largest = r f largest then exchange A[] A[largest] Max-Heapfy(A,largest) ernt Ingvald Sunde ernt Ingvald Sunde

3 uld-max-heap : O(n) Lager en heap fra en (kke-ordnet) array, angr de ndre nodene heap en uld-max-heap : O(n) Lager en heap fra en (kke-ordnet) array, angr de ndre nodene heap en uld-max-heap(a) heap-sze[a] = length[a] for = [length[a]/] downto do heapfy(a,) uld-max-heap(a) heap-sze[a] = length[a] for = [length[a]/] downto do heapfy(a,) ernt Ingvald Sunde ernt Ingvald Sunde uld-max-heap : O(n) Lager en heap fra en (kke-ordnet) array, angr de ndre nodene heap en uld-max-heap : O(n) Lager en heap fra en (kke-ordnet) array, angr de ndre nodene heap en uld-max-heap(a) heap-sze[a] = length[a] for = [length[a]/] downto do heapfy(a,) 6 0 uld-max-heap(a) heap-sze[a] = length[a] for = [length[a]/] downto do heapfy(a,) ernt Ingvald Sunde 5 ernt Ingvald Sunde 6 Heapsort-Algortmen Prosedyre for løsnng Lag heap av tallene ( arrayet) For tall = [lengden tl arrayet] ned tl ytt første tall med array[tall] Reetabler treet for array[...tall- ] Ferdg sortert for = [length[a]] downto do exchange A[] A[] heap-sze[a] = heap-sze[a]- Max-Heapfy(A,) Kjøretd tl heapsort Heapsort tar O(n*lg n) td Sden kallet tl uld- Max- Heap tar O(n) td og Hver av de n- kallene tl Heapfy tar O(lg n) td 6 0 for = [length[a]] downto do exchange A[] A[] heap-sze[a] = heap-sze[a]- Max-Heapfy(A,) ernt Ingvald Sunde 9 ernt Ingvald Sunde

4 () for = [length[a]] downto do exchange A[] A[] heap-sze[a] = heap-sze[a]- Max-Heapfy(A,) () for = [length[a]] downto do exchange A[] A[] heap-sze[a] = heap-sze[a]- Max-Heapfy(A,) Max-Heapfy(A,) Max-Heapfy(A,) Kapplnje Kapplnje () () () () ernt Ingvald Sunde 9 ernt Ingvald Sunde 0 () for = [length[a]] downto do exchange A[] A[] heap-sze[a] = heap-sze[a]- Max-Heapfy(A,) () for = [length[a]] downto do exchange A[] A[] heap-sze[a] = heap-sze[a]- Max-Heapfy(A,) Max-Heapfy(A,) Max-Heapfy(A,) Kapplnje Kapplnje () () (5) (5) ernt Ingvald Sunde ernt Ingvald Sunde Prortetskøer bruker Heap (5) for = [length[a]] downto do exchange A[] A[] heap-sze[a] = heap-sze[a]- Max-Heapfy(A,) Max-Heapfy(A,) Kapplnje Sortert : A Haugsorterng er en glmrende algortme, men en god mplementasjon av qucksort, slår den som regel prakss Men selve heap-data-strukturen har et stort bruksområde. Den mest populære applkasjonen tl en heap er å bruke den som en prortetskø. () () ernt Ingvald Sunde ernt Ingvald Sunde

5 Prortetskøer bruker Heap En prortetskø er en datastruktur for å holde vedlke et sett av S elementer,...der hvert element har en assosert verd En har to typer prortetskøer: En max-prortets-kø En mn-prortets-kø Prortets-kø : Operasjoner Operasjoner tl en max-prortets-kø Insert(S,x), kjøretd O(lg n) setter et element x nn settet S Setter en node nn heapen Maxmum(S), kjøretd O() returnerer elementet S med den største verden Extract-Max(S), kjøretd O(lg n) Returnerer elementet S med den største verden...og fjerner elementet fra heapen ernt Ingvald Sunde 5 ernt Ingvald Sunde 6 Prortets-kø : Operasjoner Operasjoner tl en max-prortets-kø Increase-Key(S,x,k), kjøretd O(lg n) Øker verden tl et element x tl en ny verd k,...som en antar er mnst lke stor som x Operasjoner tl en mn-prortets-kø Insert(S,x), Mnmum(S), Extract-Mn(S), Decrease-Key(S,x,k) Merge-Sorterng Sorterngs-Algortmer ernt Ingvald Sunde ernt Ingvald Sunde Hva er Merge-Sort? Merge-Sort : Algortmen Merge-sorterng (flette-sorterng) er basert på spltt-og-hersk -paradmet Spltt: del arrayet med n elementer deler med n/ elementer Hersk: sorter de to halvdelene rekursvt ved kall tl mergesort Kombner: flett sammen de to halvdelene for å produsere det sorterte arrayet Merge-Sort(A,p,r) f p <r then q = [(p+r)/] Merge-Sort(A,p,q) Merge-Sort(A,q+,r) Merge(A,p,q,r) Dette gr oss rekurrensen: T(n) = T(n/) + c*n) O(n*lg n) spltt hersk kombner ernt Ingvald Sunde 9 ernt Ingvald Sunde 0

6 Hva er Qucksort? QuckSort Sorterngs-Algortmer Qucksort er basert på spltt-og-hersk - paradmet, slk som merge-sort....men nneholder tllegg en vktg subrutne som heter partton Kjøretden tl qucksort er O(n ) verste tlfelle, men O(n*lg n) gjennomsntt ernt Ingvald Sunde ernt Ingvald Sunde Idê bak partton Metode som deler arrayet slk at Elementet a[] en deler arrayet er på rett plass Det kke er noen større elementer tl ventre for Det kke er noen mndre elementer tl høyre for Deretter sorterer qucksort den venstre og høyre delen rekursvt Qucksort : Algortmen Qucksort(A,p,r) f p <r then q = Partton(A,p,r) Quksort(A,p,q-) Qucksort(A,q+,r) Partton(A,p,r) x = A[r] = p- for j = p to r- do f A[j] x then = + exchange A[] A[j] exchange A[] A[j] return + ernt Ingvald Sunde ernt Ingvald Sunde Kjøre- Worst case Partton Kjøre-eksempel array V få da et sortert array n n n - n - n - n Kombnerer sett sammen de sorterte subarrayene ernt Ingvald Sunde 5 Dårlg pga svært skjeve splttnger; en regon med bare ett element og den andre regonen (subarray) nneholder resten av elementene. O(n ) hvs nput-array allereder er sortert n- n n- n T(n) = T(n-) + O(n) - - O(n ) ernt Ingvald Sunde 6

7 Average-ase Partton est-ase Partton n/ n Alternerer mellom gode og dårlge delnger n/ n Gjennomsnttlg dybde I bnærtre =, lg n Konstanten er mndre enn For noen annen sorterngsrutne O(n, lg n) O(n*lg n) T(n) = T(n/) + O(n) O(n*lg n) ernt Ingvald Sunde ernt Ingvald Sunde Hva er Qucksort? Den er praktske tlfeller som oftes den beste sorterngs-algortmen Den er veldg effektv gjennomsntt. Den antatte kjøretden er O(n*ln n)...der konstantfaktoren er veldg lten Den sorterer dessuten n place,...der ngen speselle nput lokker frem worst- case- oppførsel Den fungerer også godt omgvelser med vrtuelle mnne Tellesorterng Sorterngs-Algortmer ernt Ingvald Sunde 9 ernt Ingvald Sunde 0 Telle-Sorterng (ountng-sort) Sorterngsrutnen antar at hvert av de n- elementene, som skal sorteres, er heltall mellom og k, der k er et heltall Ide: For hvert element x skal antall elementer mndre enn x fnnes. Informasjonen brukes tl å plassere x drekte det sorterte arrayet Plassforbruk Tellesorterng Sorterngsrutnen krever stor plass da array brukes Array A[..n] som skal sorteres Array [..n] er sortert resultat Array [..k] er temporært arbedslager Algortmen sorterer lnjær td O(n), k = O(n) ernt Ingvald Sunde ernt Ingvald Sunde

8 j = 5 6 j = A Array som skal sorteres j j = A Array som skal sorteres j = Antall ere A j = Antall ere A j = 5 6 Antall elementer j = Antall elementer SORTERT j = ernt Ingvald Sunde ernt Ingvald Sunde Radx-sort Radx-Sort Radx-sort er ulk andre sorterngsmetder, ettersom den tar hensyn tl strukturen tl nøklene som skal sorteres. Element: {t d, t d- t } Sorterngs-Algortmer Mnst tellende sffer Mest tellende sffer ernt Ingvald Sunde 5 ernt Ingvald Sunde 6 Radx-sort Sorterer bts fra høyre tl venstre Radx-Sort(A,d) for = to d do use a stable sort to sort array A on dgt Analyse Radx-Sort Kjøretden avhenger av hvlken sorterngsrutne som blr brukt outng-sort: Θ(dn + kd) Nar d er konstant og k = O(n) O(n) Krever ekstra lagerplass Qucksort : Θ(n*log n) Når d er konstant Krever kke ekstra lagerplass ernt Ingvald Sunde ernt Ingvald Sunde