MA1301 Tallteori Høsten 2014

Transkript

1 MA1301 Tallteor Høsten 014 Rchard Wllamson 3. desember 014

2

3 Innhold Forord 1 Induksjon og rekursjon Naturlge tall og heltall Bevs Teoremer, propossjoner, lemmaer, og korollarer Induksjon Flere eksempler på bevs ved nduksjon Summetegnet Et eksempel tl på bevs ved nduksjon Fakultet Bnomalkoeffsenter og bnomalteoremet Rekursjon Fbonacctall Bnets formel for Fbonacctallene Varanter av nduksjon Ltt mer om Fbonacctallene O1 Oppgaver nduksjon og rekursjon 61 O1.1 Oppgaver eksamens stl O1. Oppgaver for å hjelpe med å forstå kapttelet

4

5 Forord Pensumet Dsse notatene er pensumet for årets kurs. De er basert på tekstboka Elementary number theory av Davd M Burton, men er ofte ganske ulke. Når notatene skller seg fra boka, er det notatene og kke boka som bør følges. Det er ngen plkt tl å bruke tekstboka. Notatene har bltt skrevet den henskt at de skal være lett å lese og lære fra. Det kan være bedre å følge en fremstllng enn to 1. Lenker tl nformasjon om de hstorske skkkelsene som skapte tallteor kommer tl å bl lagt ut på kursets hjemmesde. Dsse vl dekke de fleste hstorske notatene tekstboka, men les gjerne dem også. Gude Notatene følger en struktur hvor dskusjon og utdypnnger er sklt fra formelle defnsjoner, propossjoner, og andre typer påstander. For hver propossjon eller annen type påstand, brukes alltd følgende mønster: 1) Propossjonen gs først; ) Etterfulgt av dens bevs; 3) Eksempler på det som propossjonen og dens bevs fastslår kommer så. Av og tl er det tllegg merknader tl bevset eller propossjonen. Det kan være lurt å lese eksemplene rett etter å ha lest propossjonen, og så gå tlbake og lese bevset. På denne måten blr propossjonen ltt mer konkret. Det tar ltt td å bl fortrolg med den abstrakte og konsse måten matematkk skrves på. Ikke g deg: det kommer etter hvert! Oppgavene Etter kaptlene fnnes oppgaver, som er delt nn to. 1) Oppgaver eksamens stll er vanlge matematske oppgaver : de gr deg mulgheten tl å øve deg på å bruke teoren som ble ntrodusert kapttelet, og dermed å vurdere dn forståelse av kapttelets nnhold. 1 Lkevel er det oblgatorsk å ha en kop av tekstboka! Sden jeg skrver notatene år og bruker dem for første gang, kan det være gret å ha tekstboka som et skkerhetsnett.

6 Forord ) Oppgaver for å hjelpe med å forstå kapttelet tar for seg teoren som ble ntrodusert kapttelet. Noen ganger ser bevs og defnsjoner ltt avskrekkende ut tl å begynne med: kanskje ser de ltt for abstrakte ut, eller de benytter seg av notasjoner som man kke føler seg fortrolg med. Målet med dsse oppgavene er å hjelpe deg å få en god forståelse. Hvs du synes noe kapttelet er vanskelg, se på oppgavene, og prøv å gjøre de som handler om det du slter med. Takk Jeg takker den vdunderlge kona m, Kar, så mye for all hjelpen med norsken. Jeg takker også Magnus Bakke Botnan, Truls Bakkejord Ræder, Gard Spreemann, og Marus Thaule for hjelpen med norsken, speselt med matematsk norsk. Fremfor alt takker jeg Kar og llle Åsmund for å ha gjort dagene da dsse notatene ble skrevet så lykkelge, fylt av latter, sang, og de gledelge smlene som bare en baby gr! 6

7 1 Induksjon og rekursjon 1.1 Naturlge tall og heltall Defnsjon Et naturlg tall er et av tallene: 1,,.... Merknad Legg speselt merke tl at dette kurset teller v kke 0 blant de naturlge tallene. Allkevel er det noen som ser på 0 som et naturlg tall. Å nkludere det eller kke er bare en konvensjon, og kke noe å bekymre seg for. Noen ganger nkluderer jeg selv det, og noen ganger kke! Defnsjon Et heltall er et av tallene:...,, 1, 0, 1,,.... Merknad Alle naturlge tall er heltall. Men kke alle heltall er naturlge tall: de negatve heltallene er kke naturlge tall. Ifølge Defnsjon er 0 heller kke et naturlg tall. Notasjon La m og n være heltall. V skrver m ganger n som mn, m n, eller m n. 1. Bevs Merknad Matematkk er som et ggantsk byggverk mursten. Det bygges opp på følgende måte. 1) Matematske påstander formuleres. Dsse er murstenene tl byggverket. ) Dsse påstandene bevses, ved hjelp av matematske påstander som allerede har bltt bevst. Bevsene er sementen som bnder murstenene sammen. Termnolog 1... Å bevse at en matematsk påstand er sann betyr å vse, ved å benytte gtte logske prnspper, at den er sann fra påstander som allerede har bltt bevst, og fra defnsjonene av tngene påstanden handler om. Typsk blr et bevs bygd opp steg for steg en rekke deduksjoner. Eksempel La n være et naturlg tall. Et eksempel på en matematsk påstand er: n + 4 > n + 3. At denne påstanden er sann følger logsk fra de følgende to påstandene: 1) 4 > 3. 7

8 1 Induksjon og rekursjon ) For hvlke som helst naturlge tall n, k, og l slk at k > l, er n + k > n + l. Logkken er som følger: sden 4 > 3 kan v ta k som 4 og l som 3 Påstand ), og da får v at n + 4 > n + 3, som v ønsket å bevse. Merknad Hele kurset består av matematske påstander og deres bevser, så v kke skal g flere eksempler nå. De logske prnsppene som står bak dem er stort sett så velkjente at v kke pleer å nevne dem. Imdlertd skal v dette kapttelet ntrodusere et logsk prnspp som er svært vktg matematkk, og som du sannsynlgvs kke kjenner tl: nduksjon. Merknad 1... Å bevse at en matematsk påstand er gal betyr helt enkelt å g et eksempel hvor det kke er sant. For eksempel se på påstanden: dersom n er et naturlg tall, er n > n + 1. Denne påstanden er gal: når n 1, er påstanden at >, noe som er galt. Imdlertd er følgende påstand sann: dersom n er et naturlg tall slk at n, er n > n + 1. Den kan bevses ved hjelp av nduksjon. Dette llustrerer hvor vktg det er at en matematsk påstand uttrykkes nøyaktg. Termnolog Et eksempel som bevser at en matematsk påstand er gal kalles noen ganger et moteksempel. Det tlsvarende engelske ordet er: counterexample. 1.3 Teoremer, propossjoner, lemmaer, og korollarer Termnolog Et matematsk utsagn som har bltt bevst kalles et teorem, en propossjon, et korollar, eller et lemma. Forskjellge matematkere bruker dsse betegnelsene på forskjellge måter, og noen bruker tllegg andre betegnelser. Lkevel fnnes det noen hovedtrekk som går gjen. 1) Et lemma betegner typsk et steg mot et teorem eller en propossjon som seg selv kke er speselt vktg. Ofte kan et lemma bevses ganske lett, men kke alltd! ) Et teorem eller en propossjon er et utsagn som er betydnngsfult seg selv. Et teorem er vktgere enn en propossjon. Personlg bruker jeg teorem bare for de aller vktgste utsagnene. 3) Et korollar betegner typsk et utsagn som er lett å dedusere fra et allerede bevst teorem, propossjon, eller lemma. 1.4 Induksjon Merknad La n være et naturlg tall. Se på påstanden n Hvordan kan v bevse at dette er sant? nn + 1). 8

9 1.4 Induksjon V kan sjekke om det er sant for gtte verder av n. La for eksempel n 1. Sden ) 1 1 er utsagnet sant dette tlfellet. La n stedenfor. Sden og + 1) 3 6 3, er det sant at ). Dermed er utsagnet sant dette tlfellet også. V kan på en lgnende måte sjekke om utsagnet er sant når n 3, når n 4, og så vdere. Lkevel kan v kke sjekke om propossjonen er sann for alle naturlg tall selv om v brukte hele lvet på kun det! Derfor regnes kke å sjekke om det er sant for enkelte verder av n som et matematsk bevs. Istedenfor benytter v en type resonnement som kalles nduksjon. Termnolog Anta at v har et gtt matematsk utsagn for hvert heltall større enn eller lkt et gtt heltall r. Anta dessuten at v ønsker å bevse utsagnet for hvert av dsse heltallene. Induksjon ser at v kan gjøre det på følgende måte: 1) Sjekk om utsagnet er sant for heltallet r. ) Hvs det antas at utsagnet har bltt bevst for et gtt heltall m som er større enn eller lkt r, bevs at utsagnet er sant for heltallet m + 1. Merknad Idéen bak nduksjon er at Steg 1) og Steg ) gr oss en algortme for å konstruere et bevs for utsagnet for et hvlket som helst heltall m større enn eller lkt r: ) Steg 1) Termnolog 1.4. fastslår at v kan bevse utsagnet når m r; ) Steg ) Termnolog 1.4. fastslår at v da kan bevse utsagnet når m r + 1; ) Steg ) Termnolog 1.4. fastslår at v da kan bevse utsagnet når m r + ; v) Steg ) Termnolog 1.4. fastslår at v da kan bevse utsagnet når m r + 3; v) Slk fortsetter v tl v når heltallet v er nteressert. Merknad Det er svært vktg å fremstlle et bevs ved nduksjon på en klar måte: 1) Skrv tydelg at v sjekker utsagnet for et gtt heltall r, for å gjennomføre Steg 1) Termnolog

10 1 Induksjon og rekursjon ) Skrv tydelg at v antar at utsagnet har bltt bevst for et gtt heltall m større enn r. Skrv så et bevs for utsagnet for heltallet m + 1, og redegjør for hvor du benytter antagelsen at utsagnet stemmer for heltallet m. Dermed har Steg ) Termnolog 1.4. bltt fullført. 3) Avslutt fremstllngen ved å nevne at utsagnet stemmer for alle heltall større enn r ved nduksjon. Det er også gret å begynne med å skrve at utsagnet skal bevses ved nduksjon. Det vktgste er å nevne dette et eller annet sted. V skal se på mange bevs ved nduksjon løpet av dette kurset, og du kommer skkert tl å bl fortrolg med det. La oss begynne med en gang ved å uttrykke formelt påstanden som v tok for oss Merknad 1.4.1, og å fremstlle et bevs for det ved nduksjon. Propossjon La n være et naturlg tall. Da er n nn + 1). Bevs. Først sjekker v om propossjonen er sann når n 1. Dette gjorde v Merknad Anta nå at propossjonen har bltt bevst for et gtt naturlg tall m større enn eller lkt 1. Således har det bltt bevst at Da er m mm + 1). mm + 1) m + m + 1) + m + 1) mm + 1) + m + 1) m + )m + 1) m + 1)m + ). Dermed er propossjonen sann for det naturlge tallet m + 1. Ved nduksjon konkluderer v at propossjonen er sann for alle naturlge tall. Eksempel Når n, fastslår Propossjon 1.4. at Eksempel Når n 3, fastslår Propossjon 1.4. at

11 1.4 Induksjon Eksempel Når n 7, fastslår Propossjon 1.4. at Eksempel Når n 100, fastslår Propossjon 1.4. at Merknad Den vktgste delen av bevset for Propossjon 1.4. er lgnngen m + m + 1) mm + 1) + m + 1). Det er her v benytter antakelsen at m mm + 1). De andre lnjene er bare algebraske manpulasjoner. Merknad La oss se hvordan algortmen Merknad ser ut for Propossjon V begynner med å sjekke om 1 1. Så argumenterer v som bevset for Propossjon 1.4., ved å erstatte m med 1: Dermed er ) 1 + ) Således har v bevst at propossjonen er sann når n. 11

12 1 Induksjon og rekursjon Så argumenterer v som bevset for Propossjon 1.4., ved å erstatte m med : ) ) 3 4. Dermed er Således har v bevst at propossjonen er sann når n 3. Slk fortsetter v tl v når heltallet v er nteressert. Merknad Propossjon 1.4. kan bevses på andre måter. Matematske utsagn generelt kan typsk bevses på flere måter, og alle bevsene er lke verdfulle. Ofte gr hvert bevs ny nnskt. Lkevel skal v kke her se på andre bevs for Propossjon Istedenfor skal v øve oss ltt mer på nduksjon. 1. Flere eksempler på bevs ved nduksjon Propossjon La n være et naturlg tall. Da er n 1 n 1. Bevs. Først sjekker v om propossjonen er sann når n 1. I dette tlfellet er utsagnet at Sden er dette sant. Anta nå at propossjonen har bltt bevst for et gtt heltall m større enn eller lkt 1. Således har det bltt bevst at Da er m 1 m m 1 + m m 1) + m m + m ) 1 m ) 1 m

13 1. Flere eksempler på bevs ved nduksjon Dermed er propossjonen sann for det naturlge tallet m + 1. Ved nduksjon konkluderer v at propossjonen er sann for alle naturlge tall. Eksempel 1... Når n, fastslår Propossjon 1..1 at Eksempel Når n 3, fastslår Propossjon 1..1 at Eksempel Når n 6, fastslår Propossjon 1..1 at Eksempel 1... Når n 7, fastslår Propossjon 1..1 at Merknad Den vktgste delen av bevset for Propossjon 1..1 er lgnngen Det er her v benytter antakelsen at m 1 + m m 1) + m m 1 m 1. De andre lnjene er bare algebraske manpulasjoner. Propossjon La n være et naturlg tall. Da er n nn + 1)n + 1). 6 Bevs. Først sjekker v om propossjonen er sann når n 1. I dette tlfellet er utsagnet at ) 1) + 1 ). 6 Sden ) 1) + 1 ) er dette sant. Anta nå at propossjonen har bltt bevst for et gtt heltall m større enn eller lkt 1. Således har det bltt bevst at m mm + 1)m + 1). 6 13

14 1 Induksjon og rekursjon Da er m + m + 1) mm + 1)m + 1) + m + 1) 6 mm + 1)m + 1) + 6m + 1) 6 m + 1) mm + 1) + 6m + 1) ) 6 m + 1) m + 7m + 6 ) 6 m + 1) m + ) m + 3) ) 6 m + 1) m + 1) + 1 ) m + 1) + 1 ) Dermed er propossjonen sann for det naturlge tallet m + 1. Ved nduksjon konkluderer v at propossjonen er sann for alle naturlge tall. Eksempel Når n, fastslår Propossjon 1..7 at Eksempel Når n 3, fastslår Propossjon 1..7 at Eksempel Når n 6, fastslår Propossjon 1..7 at Eksempel Når n 7, fastslår Propossjon 1..7 at Merknad Den vktgste delen av bevset for Propossjon 1..7 er lgnngen m + m + 1) Det er her v benytter antakelsen at mm + 1)m + 1) 6 + m + 1) m De andre lnjene er bare algebraske manpulasjoner. mm + 1)m + 1). 6 14

15 1. Flere eksempler på bevs ved nduksjon Merknad Alle propossjonene v har sett så langt er sanne for alle naturlge tall, altså alle heltall større enn eller lke 1. Derfor begynte bevsene ved nduksjon for alle dsse propossjonene med å sjekke om utsagnene er sanne når n 1. Neste skal v bevse ved nduksjon en propossjon som er sann for alle naturlge tall større enn eller lke. Derfor skal v begynne bevset med å sjekke om propossjonen er sann når n. Husk at nduksjon kan brukes for å bevse en propossjon for alle naturlge tall større enn eller lke et hvlket som helst gtt heltall. Propossjon La n være et naturlg tall som er større enn eller lkt. Da er n > n + 1. Bevs. Først sjekker v om propossjonen er sann når n. I dette tlfellet er utsagnet at > + 1. Sden 4 og + 1 3, er dette sant. Anta nå at propossjonen har bltt bevst for et gtt heltall m større enn eller lkt. Således har det bltt bevst at m > m + 1. V gjør følgende observasjoner. 1) V har: ) Sden m > 0, er m > 0. Derfor er m + 1) m + 1) m + 1) m + m + 1. m + m + 1 > m ) Fra antakelsen at følger det at m > m + 1, m + 1 > m + 1) + 1. Fra 1) 3) deduserer v at m + 1) > m + 1) + 1. Således er propossjonen sann for det naturlge tallet m + 1. Ved nduksjon konkluderer v at propossjonen er sann for alle naturlge tall større enn eller lke. Eksempel Når n 3, fastslår Propossjon at 9 > 4. 1

16 1 Induksjon og rekursjon Eksempel Når n 4, fastslår Propossjon at 16 >. Eksempel Når n 7, fastslår Propossjon at 349 > 8. Merknad Observasjon 3), hvor v benytter antakelsen at m > m + 1, er den vktgste delen av bevset for Propossjon Summetegnet Notasjon La k og l være heltall. For hvert heltall slk at k l, la z være et heltall. Noen ganger skrver v summen z k + z k z l som l z. k Termnolog Symbolet kalles summetegn. Eksempel La n være et naturlg tall. Summen n, som v tok for oss Propossjon 1.4., kan skrves n. Eksempel La m være et naturlg tall. Summen m, som v også tok for oss Propossjon 1.4., kan skrves m. 16

17 1.6 Summetegnet Eksempel La m være et naturlg tall. Summen m + 1), som v gjen tok for oss Propossjon 1.4., kan skrves m+1 Eksempel La n være et naturlg tall. Summen n 1, som v tok for oss Propossjon 1..1, kan skrves Den kan også skrves n 1. n 1. 0 Eksempel La m være et naturlg tall. Summen m 1, som v også tok for oss Propossjon 1..1, kan skrves Den kan også skrves m 1. m 1 0 Eksempel La m være et naturlg tall. Summen m, som v gjen tok for oss Propossjon 1..1, kan skrves Den kan også skrves m+1 1. m. 0 17

18 1 Induksjon og rekursjon Eksempel La n være et naturlg tall. Summen n, som v tok for oss Propossjon 1..7, kan skrves n. Eksempel La m være et naturlg tall. Summen m, som v også tok for oss Propossjon 1..7, kan skrves m. Eksempel La m være et naturlg tall. Summen m + 1), som v gjen tok for oss Propossjon 1..7, kan skrves m+1 Eksempel La n og k være naturlge tall. I den neste delen av kapttelet skal v jobbe med summer som lgner på 1 k ) + 3 k + 1) ) + + n n + 1) n + k 1) ).. Denne summen kan skrves n + 1) + k 1). Eksempel La m og k være naturlge tall. Summen 1 k ) + 3 k + 1) ) + + m m + 1) m + k 1) ) kan skrves m + 1) + k 1). Eksempel La m og k være naturlge tall. Summen 1 k ) + 3 k + 1) ) + + m + 1) m + ) m + k) ) kan skrves m+1 + 1) + k 1). 18

19 1.7 Et eksempel tl på bevs ved nduksjon 1.7 Et eksempel tl på bevs ved nduksjon Propossjon La n og k være naturlge tall. Da er n n n + 1) n + k) + 1) + k 1). k + 1 Bevs. Først sjekker v om propossjonen er sann når n 1. I dette tlfellet er utsagnet at ) 1 + k) 1 k. k + 1 Sden ) 1 + k) k k + 1) k k er dette sant. Anta nå at propossjonen har bltt bevst når n er et gtt naturlg tall m. Således har det bltt bevst at m mm + 1)... m + k) + 1) + k 1). k + 1 Da er m+1 + 1) + k 1) m ) + 1) + k 1) + m + 1) m + )... m + k) m m + 1) m + k) + m + 1) m + ) m + k) k + 1 ) ) m m + 1) m + k) + k + 1) m + 1) m + ) m + k) ) k ) + 1 m + 1) m + k) m + k + 1) k + 1 m + 1) m + ) m + k + 1). k + 1 Dermed er propossjonen sann når n er det naturlge tallet m + 1. Ved nduksjon konkluderer v at propossjonen er sann for alle naturlge tall n og alle naturlge tall k. Eksempel Når n og k 3, fastslår Propossjon at

20 1 Induksjon og rekursjon Eksempel Når n og k 4, fastslår Propossjon at Eksempel Når n og k 6, fastslår Propossjon at Eksempel Når n 3 og k, fastslår Propossjon at Eksempel Når n 3 og k 3, fastslår Propossjon at Eksempel Når n 3 og k 6, fastslår Propossjon at Eksempel Når n 4 og k, fastslår Propossjon at Eksempel Når n 4 og k 3, fastslår Propossjon at Eksempel Når n 4 og k 6, fastslår Propossjon at Eksempel Når n 6 og k, fastslår Propossjon at

21 1.7 Et eksempel tl på bevs ved nduksjon Eksempel Når n 6 og k 3, fastslår Propossjon at Eksempel Når n 6 og k 6, fastslår Propossjon at Merknad Lgnngen m ) + 1) + k 1) m m + 1) m + k) k m + 1) m + )... m + k) + m + 1) m + ) m + k) er den vktgste delen av bevset for Propossjon Det er her v benytter antakelsen at m m m + 1) m + k) + 1) + k 1). k + 1 Merknad Propossjon for tlfellet k 1 er det samme som Propossjon Bevset på Propossjon generalserer bevset for Propossjon Merknad Propossjon gjelder to varabler n og k, og bevs ved nduksjon slke tlfeller kan tl å begynne med se ltt forvrrende ut. La oss derfor se på logkken bak bevset for Propossjon Da v sjekket om Propossjon er sann når n 1, var k et hvlket som helst naturlg tall. Da v deretter antok at Propossjon er sann når n er et gtt naturlg tall m, og vste at den da er sann når n m + 1, var k også et hvlket som helst naturlg tall. Dermed kan v se på bevset for Propossjon på følgende måte. Først velger v et naturlg tall k: la for eksempel k være. Da blr utsagnet: n + 1) + 4) nn + 1) n + ). 6 Så bevser v at dette er sant, ved å erstatte k med bevset for Propossjon

22 1 Induksjon og rekursjon Først sjekker v om utsagnet er sant når n 1. V må altså sjekke om Sden ) 1 + ) ) 1 + ) er dette sant. Anta nå at det har bltt bevset at utsagnet er sant når n er et gtt naturlg tall m. Således har det bltt bevst at Da er m+1 m + 1) + 4) + 1) + 4) mm + 1) m + ). 6 m ) + 1) + 4) + m + 1) m + )... m + ) mm + 1) m + ) + m + 1) m + ) m + ) 6 mm + 1) m + ) + 6 m + 1) m + ) m + ) ) 6 ) m + 1) m + ) m m + 1) m + ) m + 6). 6 Dermed er utsagnet sant når n er det naturlge tallet m + 1. Ved nduksjon konkluderer v at utsagnet er sant når n er et hvlket som helst naturlg tall. Merknad I prnsppet kan v bytte om rollene tl n og k bevset for Propossjon Det vl s at v teoren kan gjøre følgende: 1) Sjekke om Propossjon er sann når k 1, og når n er et hvlket som helst naturlg tall. ) Anta så at Propossjon er sann når k er et gtt naturlg tall m, og når n er et hvlket som helst naturlg tall, og vs at den da er sann når k m + 1, og når n gjen er et hvlket som helst naturlg tall.

23 1.8 Fakultet Termnolog Når v bevser ved nduksjon en propossjon om heltall som nvolver to eller flere varabler, spller alltd én varabel den rollen som n har bevset for Propossjon 1.7.1, og som k har tlnærmngsmetoden beskrevet Merknad La oss anta at denne speselle varabelen betegnes t. Da ser v at propossjonen har bltt bevst ved nduksjon på t. Eksempel V ser at bevset v ga for Propossjon er ved nduksjon på n. Hadde v et bevs for Propossjon med tlnærmngsmetoden beskrevet Merknad , vlle v s at det er et bevs ved nduksjon på k. Merknad For å bevse en propossjon om heltall som nvolverer to eller flere varabler, er det typsk mye lettere å benytte nduksjon på en av varablene enn nduksjon på noen av de andre. Det er for eksempel kke lett å bevse Propossjon ved nduksjon på k, altså med tlnærmngsmetoden beskrevet Merknad Fakultet Defnsjon La n være et naturlg tall. Da er n fakultet produktet I tllegg defnerer v 0 fakultet tl å være 1. 1 n 1) n. Notasjon La n være et heltall slk at n 0. V betegner n fakultet som n!. Eksempel V har: 1! 1. Eksempel Sden 1, er!. Eksempel Sden 1 3 6, er 3! 6. Eksempel Sden , er 4! Bnomalkoeffsenter og bnomalteoremet Merknad Fra skolen kjenner du tl lgnngen x + y) x + xy + y. Nå skal v se på en tlsvarende lgnng for x+y) n, hvor n er et hvlket som helst naturlg tall. Først må v gjøre noen forberedelser. Defnsjon La n være et naturlg tall, og la k være et heltall slk at 0 k n. Da er bnomalkoeffsenten av n og k brøken n! k! n k)!. 3

24 1 Induksjon og rekursjon Notasjon V betegner bnomalkoeffsenten av n og k som ) n. k Merknad Symbolet n k) leses temmelg ugrammatsk!) som n velg k. Dette kommer av at det kan bevses at n k) er antall mulgheter for å velge ut k tng fra n tng. På grunn av denne tolknngen blr bnomalkoeffsentene brukt mye et område nnen matematkken som kalles kombnatorkk. Eksempel V har: Eksempel V har: ) 4 4!! 4 )! 4!!! ) 3! 3! 3)!! 3!! Merknad Bevsene av de følgende propossjonene er enkle utregnner, og nduksjon behøves kke. Propossjon La n være et naturlg tall. Da er n 0) 1. Bevs. V regner som følger: ) n 0 n! 0! n 0)! n! 0! n! n! 1 n! n! n! 1. 4

25 1.9 Bnomalkoeffsenter og bnomalteoremet Propossjon La n være et naturlg tall. Da er n 1) n. Bevs. V regner som følger: ) n n! 1 1! n 1)! n! 1 n 1)! n! n 1)! 1 n 1) n 1 n ) n 1) n. Propossjon La n være et naturlg tall, og la k være et heltall slk at 0 k n. Da er ) n k n n k). Bevs. V regner som følger: ) n n! k k! n k)! n! n k)! k! n! n k)! n n k) )! ) n. n k Korollar La n være et naturlg tall. Da er n n) 1. Bevs. På grunn av Propossjon er n n) n 0). På grunn av Propossjon er n ) 0 1. Således konkluderer v at n ) n 1. Korollar La n være et naturlg tall. Da er n n 1) n. Bevs. Ut fra Propossjon er n n 1) n 1). Ut fra Propossjon 1.9.9, er n 1) n. Således konkluderer v at n n 1) n. Eksempel V gjør følgende observasjoner. 1) Ut fra Propossjon er 0) 1.

26 1 Induksjon og rekursjon ) Ut fra Propossjon er 1). 3) Ut fra Korollar er ) 1. Dermed har v regnet ut k) for alle mulge verder av k. Eksempel V gjør følgende observasjoner. 1) Ut fra Propossjon er 3 0) 1. ) Ut fra Korollar er 3 3) 1. 3) Ut fra Propossjon er 3 1) 3. 4) Fra 3) og Korollar 1.9.1, følger det at 3 ) 3. Dermed har v regnet ut 3 k) for alle mulge verder av k. Eksempel V gjør følgende observasjoner. 1) Ut fra Propossjon er 4 0) 1. ) Ut fra Korollar er 4 4) 1. 3) Ut fra Propossjon er 4 1) 4. 4) Fra 3) og Korollar 1.9.1, følger det at 4 3) 4. ) Fra Eksempel 1.9. har v: 4 ) 6. Dermed har v regnet ut 4 k) for alle mulge verder av k. Eksempel V gjør følgende observasjoner. 1) Ut fra Propossjon er 0) 1. ) Ut fra Korollar er ) 1. 3) Ut fra Propossjon er 1). 4) Fra 3) og Korollar 1.9.1, følger det at 4). ) Fra Eksempel har v: 3) 10. 6) Fra ) og Propossjon , følger det at ) 10. Dermed har v regnet ut k) for alle mulge verder av k. Merknad I alle eksemplene v har tatt for oss så langt, var n k) er et naturlg tall. V skal snart bevse at dette er tlfelle for hvlke som helst n og k. 6

27 1.9 Bnomalkoeffsenter og bnomalteoremet Propossjon La n og k være naturlge tall. Da er ) ) ) n n n k k 1 k Bevs. V gjør følgende observasjoner. 1) Ut fra defnsjonen av ) n k og n k 1) Defnsjon 1.9., er ) ) n + k n k 1 n! k! n k)! + n! k 1)! n k + 1)!. ) Sden k! k 1)! k og n k + 1)! n k)! n k + 1), er n! k! n k)! + n! n k + 1) n! + k n! k 1)! n k + 1)! k! n k + 1)! n! n k k) k! n + 1 k)! n! n + 1) k! n + 1 k)!. 3) Sden n + 1)! n! n + 1), er n! n + 1) k! n + 1 k)! n + 1)! k! n + 1 k)!. 4) Ut fra defnsjonen av ) n+1 k Defnsjon 1.9., er ) n + 1 n + 1)! k k! n + 1 k)!. Fra 1) 4) konkluderer v at n k ) + ) n k 1 n + 1 k ). Eksempel Når n 3 og k 1, fastslår Propossjon at ) ) ) , altså at

28 1 Induksjon og rekursjon Eksempel Når n 3 og k, fastslår Propossjon at ) 3 + ) 3 1 ) 4, altså at Eksempel Når n 3 og k 3, fastslår Propossjon at ) ) 3 ) 4, 3 altså at Eksempel Når n og k 1, fastslår Propossjon at ) + 1 ) 0 ) 6, 1 altså at + 1 ) 6. 1 V deduserer at 6 1) 6. Eksempel Når n og k, fastslår Propossjon at ) + ) 1 ) 6, altså at 10 + ) 6. V deduserer at 6 ) 1. Eksempel Når n og k 3, fastslår Propossjon at ) + 3 ) ) 6, 3 altså at ) 6. 3 V deduserer at 6 3) 0. 8

29 1.9 Bnomalkoeffsenter og bnomalteoremet Eksempel Når n og k 4, fastslår Propossjon at ) ) ) 6 +, altså at V deduserer at 6 4) ) 6. 4 Eksempel Når n og k, fastslår Propossjon at ) ) ) 6 +, 4 altså at V deduserer at 6 ) ) 6. Merknad La oss sette opp bnomalkoeffsentene på følgende måte. Det k-te tallet fra venstre, ved å telle k fra 0 tl n, den n-te raden fra toppen, ved å telle n fra 1, er bnomalkoeffsenten n k). For eksempel er det andre tallet fra venstre ved å telle fra 0) den fjerde raden fra toppen 6, som er bnomalkoeffsenten 4 ) Propossjonen ser at når v legger sammen to tall en rad, får v tallet mellom dem den neste raden. For eksempel når v legger sammen tallene 4 og 6 den fjerde raden, får v 10, som står mellom 4 og 6 den femte raden. Termnolog Oppsettet av tallene Merknad kalles for Pascals trekant. Propossjon La n være et naturlg tall, og la k være et heltall slk at 0 k n. Da er n k) et naturlg tall. Bevs. Først sjekker v om propossjonen er sann når n 1. I dette tlfellet er utsagnet at 1 k) er et naturlg tall for hvert heltall k slk at 0 k 1, altså når k 0 og når k 1. Ut fra Propossjon er det sant at 1 0) er et naturlg tall, og ut fra Propossjon er det sant at 1 1) er et naturlg tall. Anta nå at propossjonen har bltt bevst når n er et gtt naturlg tall m. Således har det bltt bevst at ) m k er et naturlg tall for alle heltallene k slk at 0 k m. V gjør følgende observasjoner. 9

30 1 Induksjon og rekursjon 1) Ut fra Propossjon er ) m+1 0 et naturlg tall. ) La k være et naturlg tall. Fra antakelsen at ) m k er et naturlg tall for alle heltallene k slk at 0 k m, er ) m k og m k 1) naturlge tall. Derfor er ) ) m m + k k 1 et naturlg tall. Ut fra Propossjon vet v dessuten at ) ) ) m + 1 m m +. k k k 1 V deduserer at ) m+1 k er et naturlg tall. 3) Ut fra Korollar er m+1) et naturlg tall. Dermed er ) m+1 k et naturlg tall for alle naturlge tall k slk at 0 k m + 1. Således er propossjonen sann når n er det naturlge tallet m + 1. Ved nduksjon konkluderer v at propossjonen er sann når n er et hvlket som helst naturlg tall. Propossjon La x og y være tall. La n være et heltall slk at n 0. Da er x + y) n n 0 ) n x n y. Bevs. Først sjekker v om propossjonen er sann når n 0. I dette tlfellet er utsagnet at 0 ) 0 x + y) 0 x 0 y. Sden x + y) 0 1 og 0 0 ) 0 x 0 y 0 ) 0 x 0 0 y 0 1 x 0 y 0 1, 0 er dette sant. Anta nå at propossjonen har bltt bevst når n er et gtt naturlg tall m. Således har det bltt bevst at m ) m x + y) m a m b. V gjør følgende observasjoner. 0 30

31 1.9 Bnomalkoeffsenter og bnomalteoremet 1) V har: x + y) m+1 x + y) m x + y) m ) m )x m y x + y) 0 m ) m m ) m )x m y x + )x m y y 0 0 m ) m m ) m )x m+1 y + )x m y ) V har: m 0 ) m x m+1 y ) m x m+1 0 y m ) m )x m+1 y. 3) Ut fra Propossjon er m 0 ) 1. Derfor er ) m x m+1 0 y m ) m )x m+1 y x m+1 + m ) m )x m+1 y. 4) V har: m ) m+1 m ) m x m y +1 x m 1) y 1) m+1 ) m x m+1 ) y 1 m ) ) m )x m+1 ) y m + x m+1 m+1) y m+1 1 m + 1) 1 m ) ) m m )x m+1 ) y + x 0 y m+1. 1 m ) Ut fra Korollar er m m) 1. Derfor er: m ) m )x m+1 ) y + 1 ) m x 0 y m+1 m m ) m )x m+1 ) y + y m

32 1 Induksjon og rekursjon 6) V har: m ) m m ) m x m+1 + )x m+1 y + )x m+1 ) y + y m+1 1 m ) )) ) m m x m x m+1 y y + y m+1 1 7) Ut fra Propossjon er ) m + 1 ) ) m m + 1 for alle heltall slk at 1 m. V deduserer at m ) )) ) m m x m x m+1 y y + y m+1 1 m ) )) ) m m x m x m+1 y y 1 m ) m + 1 x m+1 + )x m+1 y + y m+1. y m+1 V deduserer fra 1) 7) at m ) m + 1 x + y) m+1 x m+1 + )x m+1 y + y m+1. Nå gjør v følgende observasjoner. 1) V har: m+1 ) m + 1 x m+1 y 0 ) m + 1 m ) ) m + 1 m + 1 x m+1 0 y 0 + )x m+1 y + x m+1 m+1) y m+1 0 m + 1 ) m + 1 m ) ) m + 1 m + 1 x m+1 + )x m+1 y + y m+1 0 m + 1 ) Ut fra Propossjon er ) m Ut fra Korollar er m+1) 1. Derfor er ) m + 1 m ) ) m + 1 m + 1 x m+1 + )x m+1 y + y m+1 0 m + 1 m ) m + 1 x m+1 + )x m+1 y + y m+1. 3

33 1.9 Bnomalkoeffsenter og bnomalteoremet V deduserer fra 1) ) at m+1 0 m + 1 ) x m+1 y x m+1 + m ) m + 1 )x m+1 y + y m+1. For å oppsummere bevset så langt, har v fastslått at m ) m + 1 x + y) m+1 x m+1 + )x m+1 y + y m+1 og at V deduserer at m ) m + 1 x m+1 + )x m+1 y + y m+1 x + y) m+1 m+1 0 m + 1 m+1 0 m + 1 ) x m+1 y. ) x m+1 y. Dermed er propossjonen sann når n er det naturlge tallet m + 1. Ved nduksjon konkluderer v at propossjonen er sann når n er et hvlket som helst naturlg tall. Eksempel Når n, fastslår Propossjon at som forventet. x + y) x + xy + y, Eksempel Når n 3, fastslår Propossjon at x + y) 3 x 3 + 3x y + 3xy + y 3. Eksempel Når n 4, fastslår Propossjon at x + y) 4 x 4 + 4x 3 y + 6x y + 4xy 3 + y 4. Merknad Propossjon kalles noen ganger bnomalteoremet. Merknad Den vktgste delen av bevset for Propossjon er lgnngen m ) m x + y) m x + y) )x m y x + y). Det er her v benytter antakelsen at x + y) m 0 m 0 ) m a m b. 33

34 1 Induksjon og rekursjon Merknad Tl å begynne med kan manpulasjoner med summetegn som bevset for Propossjon se ltt forvrrende ut. I så fall skrv alle summene uten å bruke summetegnet. Skrv for eksempel som ) n x n y Rekursjon n 0 Merknad Hvert tall sekvensen ) n x n y ) ) n n x n 1 y x 1 y n n 1 1,, 4, 8, 16,... ) n x 0 y n. n er to ganger det foregående. Hvordan kan v beskrve sekvensen formelt? V kan kke skrve ut hele sekvensen uansett hvor mye td v har: sammenlgn med Merknad Istedenfor benytter v en type defnsjon som kalles rekursjon. Termnolog Anta at v ønsker å defnere et heltall u n for hvert naturlg tall n. Rekursjon ser at v kan gjøre det på følgende måte: 1) Defner u 1, u,..., u r, hvor r er et gtt naturlg tall. ) La m være et naturlg tall som er større enn eller lkt r. Hvs det antas at heltallet u har bltt defnert for alle de naturlge tallene slk at r m, defner heltallet u m+1. Merknad I Merknad så v at nduksjon gr en algortme for å konstruere et bevs. På en lgnende måte gr rekursjon en algortme for å defnere det n-te naturlge tallet en sekvens, for et hvlket som helst naturlg tall n: ) Etter å ha fullført Steg 1) Termnolog 1.10., har v defnert alle heltallene sekvensen opp tl det r-te; ) Steg ) Termnolog fastslår at v da kan defnere det r + 1)-te heltallet sekvensen; ) Steg ) Termnolog fastslår at v da kan defnere det r + )-te heltallet sekvensen; v) Steg ) Termnolog fastslår at v da kan defnere det r + 3)-te heltallet sekvensen; v) Slk fortsetter v tl v når det naturlge tallet v er nteressert. 34

35 1.10 Rekursjon Eksempel Følgende defnerer en sekvens ved rekursjon. 1) Det første heltallet sekvensen er 1. Med andre ord er u 1 1. Ved å la r være 1, har v dermed fullført Steg 1) Termnolog ) La m være et naturlg tall. Anta at det -te heltallet sekvensen, det vl s u, har bltt defnert for alle de naturlge tallene slk at 1 m. Da defnerer v heltallet u m+1 være u m. Ved å la r være 1, har v dermed fullført Steg ) Termnolog La oss se hvordan algortmen Merknad ser ut for denne sekvensen. ) Ut fra 1) er 1 det første heltallet sekvensen. ) Fra ) og ) følger det at 1 er det andre heltallet sekvensen. ) Fra ) og ) følger det at 4 er det tredje heltallet sekvensen. v) Fra ) og ) følger det at 4 8 er det fjerde heltallet sekvensen. v) Slk fortsetter v. Således ser v at 1) og ) formelt defnerer sekvensen som v tok for oss Merknad ,, 4, 8, 16,... Eksempel Følgende defnerer en sekvens ved rekursjon. 1) Det første heltallet sekvensen er 1. Med andre ord er u 1 1. Ved å la r være 1, har v dermed fullført Steg 1) Termnolog ) La m være et naturlg tall. Anta at det -te heltallet sekvensen, det vl s u, har bltt defnert for alle de naturlge tallene slk at 1 m. Da defnerer v heltallet u m+1 tl å være u m + 3. Dermed har v formelt defnert sekvensen: 1,,, 8, 11,.... Merknad I både Eksempel og Eksempel lot v det naturlge tallet r Termnolog tl å være 1. I den neste delen skal v se på et eksempel hvor v lar r være. Merknad Induksjon og rekursjon går hånd hånd. For å bevse et matematsk utsagn som handler om en sekvens av heltall defnert ved rekursjon, benytter v typsk nduksjon. 3

36 1 Induksjon og rekursjon 1.11 Fbonacctall Defnsjon Følgende defnerer ved rekursjon sekvensen av Fbonacctall. 1) Det første heltallet sekvensen er 1. Med andre ord er u 1 1. ) Det andre heltallet sekvensen er 1. Med andre ord er u 1. 3) La m være et naturlg tall slk at m. Anta at det -te heltallet sekvensen, det vl s u, har bltt defnert for alle de naturlge tallene slk at m. Da defnerer v heltallet u m+1 tl å være u m 1 + u m. Merknad Steg 1) og Steg ) Defnsjon fullfører, ved å la r være, Steg 1) Termnolog Steg 3) Defnsjon fullfører, ved å la r være, Steg ) Termnolog Merknad La oss se hvordan algortmen Merknad ser ut for sekvensen av Fbonacctall. ) Ut fra Steg 1) Defnsjon er 1 det første heltallet sekvensen. ) Ut fra Steg ) Defnsjon er 1 det andre heltallet sekvensen. ) Fra ), ) og Steg 3) Defnsjon , følger det at er det tredje heltallet sekvensen. v) Fra ), ) og Steg 3) Defnsjon , følger det at er det fjerde heltallet sekvensen. v) Fra ), v) og Steg 4) Defnsjon , følger det at + 3 er det femte heltallet sekvensen. v) Slk fortsetter v. Dermed er sekvensen av Fbonacctall: 1, 1,, 3,, 8, 13, 1, 34,.... Termnolog La n være et naturlg tall. Heltallet u n sekvensen av Fbonacctall kalles det n-te Fbonacctallet. Notasjon La n være et naturlg tall. I resten av dette kapttelet kommer alltd u n tl å betegne det n-te Fbonacctallet. Propossjon La n være et naturlg tall. Da er u 1 + u + + u n u n

37 1.11 Fbonacctall Bevs. Først sjekker v om propossjonen er sann når n 1. I dette tlfellet er utsagnet at u 1 u Sden u 1 1 og u 1+ 1 u , er dette sant. Anta nå at propossjonen har bltt bevst når n er et gtt naturlg tall m. Således har det bltt bevst at u 1 + u + + u m u m+ 1. V gjør følgende observasjoner. 1) Fra antakelsen at følger det at u 1 + u + + u m u m+ 1, u 1 + u + + u m + u m+1 u m+ 1) + u m+1 u m+ + u m+1 1. ) Ut fra defnsjonen tl sekvensen av Fbonacctall er Fra 1) ) deduserer v at u m+3 u m+ + u m+1. u 1 + u + + u m + u m+1 u m+3 1. Dermed er propossjonen sann når n er det naturlge tallet m + 1. Ved nduksjon konkluderer v at propossjonen er sann når n er et hvlket som helst naturlg tall. Eksempel Når n, fastslår Propossjon at u 1 + u u 4 1, altså at Eksempel Når n 3, fastslår Propossjon at u 1 + u + u 3 u 1, altså at

38 1 Induksjon og rekursjon Eksempel Når n 4, fastslår Propossjon at u 1 + u + u 3 + u 4 u 6 1, altså at Eksempel Når n 9, fastslår Propossjon at u 1 + u + + u 9 u 11 1, altså at Merknad Den vktgste delen av dette bevset er lgnngen Det er her v benytter antakelsen at u 1 + u + + u m + u m+1 u m+ 1) + u m+1. u 1 + u + + u m u m+ 1. Propossjon La n være et naturlg tall slk at n. Da er u n u n+1 u n 1 + 1) n 1. Bevs. Først sjekker v om propossjonen er sann når n. I dette tlfellet er utsagnet at u u +1 u 1 + 1) 1. Sden u 1 1 og u +1 u 1 + 1) 1 u 3 u er dette sant. Anta nå at propossjonen har bltt bevst når n et gtt naturlg tall m slk at m. Således har det bltt bevst at V gjør følgende observasjoner. 1, u m u m+1 u m 1 + 1) m 1. 38

39 1.11 Fbonacctall 1) Ut fra defnsjonen tl sekvensen av Fbonacctall er Derfor er u m+1 u m + u m 1. u m+1 u m+ u m u m+1 u m + u m 1 ) u m+ u m u m+1 u m + u m+1 u m 1 u m+ u m u m u m+1 u m+ ) + u m+1 u m 1. ) Ut fra defnsjonen tl sekvensen av Fbonacctall er u m+ u m+1 + u m. Derfor er u m+1 u m+ u m. V deduserer at u m u m+1 u m+ ) + u m+1 u m 1 u m + u m+1 u m 1. 3) Fra antakelsen at u m u m+1 u m 1 + 1) m 1, følger det at u m + u m+1 u m 1 1) m 1 1) 1) m 1 1) m 1+1 1) m. Fra 1) 3) deduserer v at u m+1 u m+ u m 1) m. Derfor er u m+1 u m+ u m + 1) m. Dermed er propossjonen sann når n er det naturlge tallet m + 1. Ved nduksjon konkluderer v at propossjonen er sann når n er et hvlket som helst naturlg tall slk at n. Eksempel Når n 3, fastslår Propossjon at

40 1 Induksjon og rekursjon Eksempel Når n 4, fastslår Propossjon at 3 1. Eksempel Når n 9, fastslår Propossjon at Merknad Den vktgste delen av bevset for Propossjon er Steg 3). Det er her v benytter antakelsen at u m u m+1 u m 1 + 1) m Bnets formel for Fbonacctallene Merknad Nå skal v fnne en formel for det n-te Fbonacctallet. Propossjon La x være en løsnng tl lgnngen x x 1 0. La n være et naturlg tall slk at n. Da er x n xu n + u n 1. Bevs. Først sjekker v om propossjonen er sann når n. I dette tlfellet er utsagnet at x xu + u 1. Sden u 1 1 og u 1, er Ut fra antakelsen at er xu + u 1 x x + 1. x x 1 0, x x + 1. Dermed er utsagnet sant. Anta nå at propossjonen har bltt bevst for et gtt heltall m slk at m. Således har det bltt bevst at x m xu m + u m 1. V gjør følgende observasjoner. 1) Fra antakelsen at x m xu m + u m 1 følger det, ved å gange begge sdene denne lgnngen med x, at x m+1 x u m + xu m 1. 40

41 1.1 Bnets formel for Fbonacctallene ) Sden x er en løsnng tl lgnngen x x 1 0, er x x + 1. Fra 1) ) deduserer v at Nå gjør v følgende observajoner. 1) V har: x m+1 x + 1)u m + xu m 1. x + 1)u m + xu m 1 xu m + u m + xu m 1 xu m + xu m 1 + u m xu m + u m 1 ) + u m. ) Ut fra defnsjonen tl sekvensen av Fbonacctall er Fra 1) ) deduserer v at u m+1 u m + u m 1. x + 1)u m + xu m 1 xu m+1 + u m. For å oppsummere bevset så langt, har v fastslått at x m+1 x + 1)u m + xu m 1 og at V deduserer at x + 1)u m + xu m 1 xu m+1 + u m. x m+1 xu m+1 + u m. Dermed er propossjonen sann når n m + 1. Ved nduksjon konkluderer v at propossjonen er sann for alle naturlge tall n slk at n. Eksempel La x være en løsnng tl lgnngen Når n 3, fastslår Propossjon 1.1. at x x 1 0. x 3 u 3 x + u x

42 1 Induksjon og rekursjon Eksempel La x være en løsnng tl lgnngen Når n, fastslår Propossjon 1.1. at x x 1 0. x u x + u x + 3 Eksempel La x være en løsnng tl lgnngen Når n 7, fastslår Propossjon 1.1. at x x 1 0. x 7 u 7 x + u 6 13x + 8 Eksempel La x være en løsnng tl lgnngen Når n 9, fastslår Propossjon 1.1. at x x 1 0. x 9 u 9 x + u 8 34x + 1. Lemma Tallene 1+ og 1 er løsnnger tl lgnngen x x 1 0. Bevs. For å bevse at 1+ er en løsnng tl lgnngen regner v som følger: x x 1 0, 1 + ) 1 + ) )

43 1.1 Bnets formel for Fbonacctallene For å bevse at 1 er en løsnng tl lgnngen x x 1 0, regner v som følger: 1 ) 1 ) ) Merknad Tallet 1+ kalles noen ganger det gyldne sntt. Propossjon La n være et naturlg tall. Da er u n ) n 1 ) n ). Bevs. Fra Propossjon 1.1. og Lemma følger det at 1 + ) n 1 + ) u n + u n 1, og at 1 ) n 1 ) u n + u n 1. 43

44 1 Induksjon og rekursjon Ved å benytte oss av dsse faktaene, regner v som følger: 1 + ) n 1 ) n 1 + ) u n + u n ) u n u n 1 ) 1 ) u n u n 1 ) u n ) u n u n. u n Dermed har v bevst at 1 + ) n 1 ) n u n. Ved å dele begger sdene denne lgnngen med, deduserer v at propossjonen er sann. Eksempel Når n, fastslår Propossjon at ) ) Eksempel Når n 3, fastslår Propossjon at ) 3 ) Eksempel Når n 6, fastslår Propossjon at ) 6 ) Eksempel Når n 9, fastslår Propossjon at ) 9 )

45 1.1 Bnets formel for Fbonacctallene Termnolog Lgnngen Propossjon kalles Bnets formel. Merknad Flere fakta kan deduseres fra Propossjon Etter noen forberedelser skal se på et eksempel: Propossjon Lemma V har: 1 + ) 1 ) 1. Bevs. V regner som følger: 1 + ) 1 ) ) ) Lemma V har: ) 1 ) 1. Bevs. V gjør følgende observasjoner. 1) Ut fra Eksempel er ) 1 ). Ved å gange begge sdene av denne lgnngen med 1, følger det at ) 1 ). 4

46 1 Induksjon og rekursjon ) V har: ) 1 + ) 1 + ) 1 ) 1 ) 1 ) Fra 1) ) deduserer v at ) 1 ). Propossjon La n være et naturlg tall. Da er u n+ u n u n+. Bevs. For å gjøre bevset lettere å lese, la x være 1+, og la y være 1. V gjør følgende observasjoner. 1) La m være et naturlg tall. Ut fra Propossjon er u m 1 x m y m ). Derfor er u m ) 1 x m y m ) 1 xm y m ) x m y m ) 1 x m x m y m + y m) 1 x m xy) m + y m). ) Ut fra Lemma er xy) m 1) m. 46

47 1.1 Bnets formel for Fbonacctallene Fra 1) ) deduserer v at u m 1 x m 1) m + y m). Dermed er og er u n+ 1 u n 1 x n 1) n + y n) x n+) 1) n+ + y n+)). V deduserer at u n+ u n 1 x n+) 1) n+ + y n+)) 1 x n 1) n + y n) 1 x n+) 1) n 1) + y n+) x n + 1) n y n) 1 x n+) + y n+) x n y n 1) n + 1) n) 1 x n+) + y n+) x n y n) Dermed er u n+ u n 1 x n+) + y n+) x n y n). Nå gjør v følgende observasjoner. 1) Ut fra Lemma er Derfor er 1 x n+) + y n+) x n y n) 1 x y xy) 1) 1. x n+) + y n+) x y x n x y y n) 1 x n+4 + y n+4 y x n+ x y n+) 1 x y ) x n+ y n+) ) Ut fra Lemma er Derfor er 1 x y ) 1. 1 x y ) x n+ y n+) 1 x n+ y n+). 47

48 1 Induksjon og rekursjon 3) Ut fra Propossjon er u n+ 1 x n+ y n+). V deduserer fra 1) 3) at 1 x n+) + y n+) x n y n) x n+. For å oppsummere bevset så langt, har v fastslått at u n+ u n 1 x n+) + y n+) x n y n) og at V deduserer at 1 x n+) + y n+) x n y n) x n+. u n+ u n u n+. Eksempel Når n, fastslår Propossjon at Eksempel Når n 3, fastslår Propossjon at 1. Eksempel Når n, fastslår Propossjon at Varanter av nduksjon Merknad Det fnnes mange varanter av nduksjon. Noen av dsse kalles noen ganger sterk nduksjon, men v skal kke benytte denne termnologen. Nå skal v se på de vktgste varantene for oss. Termnolog La c være et heltall slk at c 0. Anta at v har et gtt matematsk utsagn for hvert heltall større enn eller lkt et gtt heltall r. Anta dessuten at v ønsker å bevse utsagnet for hvert av dsse heltallene. Induksjon ser at v kan gjøre det på følgende måte: 1) Sjekk om utsagnet er sant for alle heltallene r, r + 1,..., r + c. 48

49 1.13 Varanter av nduksjon ) Hvs det antas at utsagnet har bltt bevst for alle heltallene m, m 1,..., m c, hvor m er et gtt heltall som er større enn eller lkt r + c, bevs at utsagnet er sant for heltallet m + 1. Merknad Induksjon som beskrevet Termnolog 1.4. er det samme som nduksjon som beskrevet Termnolog for c 0. Merknad Idéen bak nduksjon som beskrevet Termnolog er at Steg 1) og Steg ) gr oss følgende algortmen for å konstruere et bevs for utsagnet for et hvlket som helst heltall m større enn r: ) Steg 1) Termnolog fastslår at v kan bevse utsagnet for alle heltallene m slk at r m r + c; ) Steg ) Termnolog fastslår at v da kan bevse utsagnet når m r+c+1; ) Steg ) Termnolog fastslår at v da kan bevse utsagnet når m r+c+; v) Steg ) Termnolog fastslår at v da kan bevse utsagnet når m r+c+3; v) Slk fortsetter tl v når heltallet v er nteressert. Merknad Algortmen Merknad er det samme som algortmen Merknad for c 0. Propossjon La x være et heltall, og la n være et naturlg tall. Da er x n 1 x 1) x n 1 + x n + + x + 1 ). Bevs. Først sjekker v om propossjonen er sann når n 1 og når n. 1) Når n 1 er utsagnet at Dette er sant. ) Når n er utsagnet at Sden er dette sant. x 1 1 x 1) 1. x 1 x 1)x + 1). x + 1)x 1) x + x x 1 x 1, Anta nå at propossjonen har bltt bevst når n m og når n m 1, hvor m er et naturlg tall slk at m. Således har det bltt bevst at x m 1 x 1) x m 1 + x m + + x + 1 ) og at ) x m 1 1 x 1) x m 1) 1 + x m 1) + + x + 1. V gjør følgende observasjoner. 49

50 1 Induksjon og rekursjon 1) V har: ) Fra antakelsen at x + 1) x m 1) x x m 1 1 ) x m+1 x + x m 1 x m + x x m+1 1. x m 1 x 1) x m 1 + x m + + x + 1 ) m 1 ) x 1) x, og antakelsen at ) x m 1 1 x 1) x m 1) 1 + x m 1) + + x + 1 x 1) x m + x m x + 1 ) m ) x 1) x, 0 0 følger det at x + 1) x m 1) x x m 1 1 ) m 1 ) m ) x + 1)x 1) x xx 1) x x 1) x 1) x + 1) x m m 1 ) x x 0 x ) + m ) x 1) x + m 1 0 m 1 m ) x 1) x m ) ) x 1) x + 1 m 0 x ) x ) x 0 m 1 0 m 1 ) x x 1) x m + x m x + 1 ) x )) m 0 x )) m 1 x )) )) x Fra 1) ) deduserer v at x m+1 1 x 1) x m + x m x + x + 1 ). 0

51 1.13 Varanter av nduksjon Dermed er propossjonen sann når n er det naturlge tallet m + 1. Ved nduksjon konkluderer v at propossjonen er sann når n er et hvlket som helst naturlg tall slk at n. Eksempel La x være et heltall. Når n 3, fastslår Propossjon at Når for eksempel x, fastslår den at x 3 1 x 1) x + x + 1 ) ). Eksempel La x være et heltall. Når n, fastslår Propossjon at Når for eksempel x 3, fastslår den at x 1 x 1) x 4 + x 3 + x + x + 1 ) ). Merknad Det er lett å bevse Propossjon uten å benytte nduksjon. V kan regne som følger: x 1) x n 1 + x n + + x + 1 ) x x n 1 + x n + + x + 1 ) x n 1 + x n + + x + 1 ) x n + x n x + x ) x n 1 + x n + + x + 1 ) x n 1. Dette er et helt gyldg bevs! V benyttet lgnende algebraske manpulasjoner bevset v ga for Poenget med bevset v ga for Propossjon er å forklare hvordan en gjennomfører et bevs som benytter varanten av nduksjon hvor c 1 og r 1 Termnolog Merknad Den vktgste delen av bevset for Propossjon er lgnngen x + 1) x m 1) x x m 1 1 ) m 1 ) m ) x + 1)x 1) x xx 1) x. Det er her v benytter både antakelsen at og antakelsen at x m 1 x 1) x m 1 1 x 1) m 1 0 m 0 0 x ) x ). 0 1

52 1 Induksjon og rekursjon Merknad Kanskje ser det ut som Observasjon 1) bevset for Propossjon har bltt tatt ut av løse luften. Det er sant at v må være ltt kreatv for å fnne lgnngen denne observasjonen, og å skjønne at den har noe å s. V kan se på lgnngen Observasjon 1) på følgende måte. V ønsker å bevse propossjonen når n m + 1. Da må v jobbe med uttrykket x m+1 1. I tllegg har v antatt at propossjonen er sann når n m og n m 1, altså at x m 1 x 1) m 1 0 x ) og at x m 1 1 x 1) m 0 x ). Hvs v fnner en lgnng med x m+1 på en sde, og hvor både x m 1 og x m 1 1 dukker opp på den andre sden, kan v benytte begge antakelsene for å s noe om x m+1. Det er ngen generell oppskrft for å fnne en slk lgnng, men Observasjon 1) klarte v det. Merknad Hvs manpulasjonene med summetegn bevset for Propossjon ser ltt forvrrende ut, følg rådet gtt Merknad Skrv for eksempel m x som og skrv som x m + x m x + x, m 1 0 x x m 1 + x m + + x + 1. Merknad La oss se hvordan algortmen Merknad ser ut for Propossjon V benytter varanten av nduksjon hvor c 1 og r 1. V begynner med å sjekke om propossjonen er sann for alle de naturlge tallene r, r + 1,..., r + c, det vl s når n 1 og når n. V sjekker altså at x 1 1 x 1 og at x 1 x 1)x + 1). Så argumenterer v som bevset for Propossjon , ved å erstatte m med. V gjør altså følgende observasjoner.