Simpleksmetoden. Initiell basistabell Fase I for å skaffe initiell, brukbar løsning. Fase II: Iterativ prosess for å finne optimal løsning Pivotering
|
|
|
- Eivind Fredriksen
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Lekson 3
2 Smpleksmetoden generell metode for å løse LP utgangspunkt: LP på standardform Intell basstabell Fase I for å skaffe ntell, brukbar løsnng løse helpeproblem hvs optmale løsnng gr brukbar løsnng på det opprnnelge LP Fase II: Iteratv prosess for å fnne optmal løsnng Pvoterng Valg av nngående varabel Valg av utgående varabel Pvoterngsregler Ubegrensede LP Spesaltlfeller genstår MOD233 - Ger Hasle - Lekson 3 2
3 Generell metode for å løse LP Iteratv, hver terason kalles pvoterng Strateg starter med å fnne brukbar løsnng fnner hele tden ny løsnng med bedre obektvverd helt tl ngen forbedrng er mulg Fnner optmal løsnng hvs den fnnes Fnner ut under marsen om problemet er nkonsstent (ubrukbart) ubegrenset Intell løsnng Intell obektvverd ζ ζ ζ (1) (K) (1) (K) Optmal løsnng Optmal verd MOD233 - Ger Hasle - Lekson 3 3
4 Utgangspunkt: LP på standardform n ma c slk at = 1 n = 1 a b = 1,,m 0 = 1,,n MOD233 - Ger Hasle - Lekson 3 4
5 ζ = n = 1 c n+ = 1 n = b a = 1,,m Dette er den ntelle basstabell (nummer 0, etter 0-te terason) Smpleksmetoden modfserer basstabell teratvt søk etter optmal løsnng Flytt fra én brukbar bassløsnng tl en bedre brukbar bassløsnng Flytter en varabel ut av bass og en nn bass MOD233 - Ger Hasle - Lekson 3 5
6 ζ = ζ + Ν c = b a, Β Ν n avhengge varable, bassvarable m fr, uavhengge varable, kke-basske varable Indeksmengde for bassvarable etter k-te terason Indeksmengde for kke-basske varable Intelt: Β Ν Β = + + { n 1,, n m} Ν = { 1,, n} MOD233 - Ger Hasle - Lekson 3 6
7 I hver terason Smpleksmetoden går nøyaktg en varabel fra å være bassk tl å være kke-bassk går nøyaktg en varabel fra å være kke-bassk tl å være bassk Varabel som går nn bass kalles nngående varabel Varabel som går ut av bass kalles utgående varabel Et slkt bytte av varable kalles en pvoterng (tlsvarer terason) k-te basstabell (etter k-te terason (pvoterng)): ζ = ζ + Ν c = b a, Β Ν MOD233 - Ger Hasle - Lekson 3 7
8 ζ = ζ + Ν c = b a, Β Ν Inngående varabel etter k-te pvoterng velges slk at obektvet øker det vl s postv koeffsent obektvet = I Hvs slk kke fnnes, må v ha en optmal løsnng! Hvs det er flere postve koeffsenter, må v velge Flere mulge valgkrterer, f. eks. største postve koeffsent Ulke valgkrterer gr varanter av Smpleksmetoden { } I( k) Ν : c > 0 MOD233 - Ger Hasle - Lekson 3 8
9 ζ = ζ + Ν c = b a, Β Ν Valg av utgående varabel etter k-te pvoterng Anta at v har valgt nngående varabel = I k V vl øke verd på nngående varabel så mye som mulg = U Endrngen vl medføre endrng verden på bassvarablene Brukbar bassløsnng etter k-te pvoterng: ζ = ζ = b, B MOD233 - Ger Hasle - Lekson 3 9 ( )
10 Basstabell etter k-te terason ζ = ζ + Ν c = b a, Β Ν Tlhørende bassløsnng ζ = ζ = I = b, B Endrngen verd på nngående varabel vl medføre endrng verd på bassvarablene tlhørende bassløsnng, på følgende måte: = b a B I I MOD233 - Ger Hasle - Lekson 3 10
11 V må passe på brukbarhet av bassvarablene når v øker verd på nngående: = b a B I I = I Ikke alle bassvarable er krtske, kun de med postv a I = b a 0 B : a > 0 I I I Øker verd på nngående så mye som mulg, krtske verder: b =, B : a > 0 I I ai MOD233 - Ger Hasle - Lekson 3 11
12 V velger utgående varabel slk at v er garantert brukbarhet for alle bassvarablene når verd på nngående varabel økes tl utgåendes grenseverd = U b U ( k) B : ai > 0 mnmal a I Ekvvalent formulerng a I U ( k) B maksmal b Mulghet for valg blant flere kanddater Ulke valgkrterer gr varanter av Smpleksmetoden MOD233 - Ger Hasle - Lekson 3 12
13 = I k Velg nngående varabel ( ) med postv koeffsent obektfunkson (f.eks. maksverd) { } I( k) Ν : c > 0 = U Velg utgående varabel som skrer brukbarhet når nngående varabel økes mest mulg a I U ( k) B maksmal b Endrngen gr ny basstabell, prosessen kalles pvoterng Mulghet for valg av unngående og utgående blant flere kanddater (men slk at kravene oppfylles) Valgkrterer kalles pvoterngsregler Ulke valgkrterer gr varanter av Smpleksmetoden MOD233 - Ger Hasle - Lekson 3 13
14 Noen uavklarte tlfeller Intell løsnng, hva om en b < 0? Ved valg av utgående varabel pvoterng: a I U ( k) B maksmal b Hva om en b = 0? MOD233 - Ger Hasle - Lekson 3 14
15 ζ = Ν c = b a, Β Ν Anta at det fns mnst en b < (ellers har v brukbar ntell bassløsnng og v er gang) Strateg: Lag helpeproblem slk at: enkelt å fnne første brukbare bassløsnng optmal løsnng tl helpeproblem er brukbar løsnng for opprnnelg problem 0 MOD233 - Ger Hasle - Lekson 3 15
16 n = 1 n ma ζ = c slk at = 1 a b = 1,,m 0 = 1,, n Innfører ny varabel 0 0 Helpeproblem: ma ξ = slk at n = 1 0 a b = 1,,m 0 0 = 0,,n Opprnnelge problem har brukbar løsnng hvss helpeproblem har (optmal) løsnng med 0 = 0 MOD233 - Ger Hasle - Lekson 3 16
17 !"#! ξ = 0 = b + a n = 1 = b + a 0 n+ m m 0 m = 1 n n Vl pvotere med nngående I = 0, = 0 La p være slk at { } m ( ) b = mn b b < 0 p = 1 p Vl la utgående være p+ n, = U = p + n MOD233 - Ger Hasle - Lekson 3 17
18 $% "#! ξ = 0 = b + a n = 1 = b + a n+ p p 0 p = 1 = b + a 0 n+ m m 0 m = 1 n n n Dette gr brukbar bassløsnng! = bp ap n + p = 1 n MOD233 - Ger Hasle - Lekson 3 18 n = ( b b ) + ( a a ), p p = 1 = n + 1,, m n + p n ξ = bp ap n+ p = 1
19 &!#! n ξ = bp ap n+ p = 1 n 0 = bp + ap + n + p = 1 n = ( b b ) + ( a a ), = n + 1,, m n + p p p = 1 V har brukbar bassløsnng for helpeproblemet Fortsetter pvoterng som vanlg mot optmal løsnng Optmal løsnng på helpeproblemet gr brukbar løsnng på det opprnnelge LP Bruker denne som ntell løsnng på opprnnelg LP MOD233 - Ger Hasle - Lekson 3 19
20 ' ' Det å løse helpeproblemet (om nødvendg) og derved fnne brukbar løsnng for det opprnnelge problem kalles Smpleksmetoden Fase I Det å fortsette Smpleksmetoden med den brukbare løsnng fra Fase I mot optmal løsnng kalles Smpleksmetoden Fase II MOD233 - Ger Hasle - Lekson 3 20
21 (!! Ved valg av utgående varabel skal brukbarhet skres når nngående varabel økes mest mulg a I U ( k) B maksmal b Hva om en b = 0? Hva om alle I 0? a < = b a 0 B : a > 0 I I I Hvss alle I 0 a er det ngen begrensnnger på I Problemet er da ubegrenset! MOD233 - Ger Hasle - Lekson 3 21
22 ) #!# * Hva om en b = 0? Det er tema for denne leksonen MOD233 - Ger Hasle - Lekson 3 22
23 "!! En basstabell ζ = ζ + Ν c = b a, Β Ν ses å være degenerert dersom Β = : b 0 MOD233 - Ger Hasle - Lekson 3 23
24 !! Kan skape problemer pvoterng, men kke nødvendgvs Eksempel (fra boka, kompakt basstabell) ζ = = = = 5 1 Ubegrenset problem, trenger kke beregne for valg av utgående! Degenerert basstabell MOD233 - Ger Hasle - Lekson 3 24
25 " En pvoterng ses å være degenerert dersom en av brøkene beregnng av utgående varabel er + a I U ( k) B maksmal b = b a 0 B : a > 0 I I I Degenerert pvoterng kan skape problemer! MOD233 - Ger Hasle - Lekson 3 25
26 ! +$,$ = 1 w 2 2 w = + 5w ζ = w ( 0,0,1,0,0, 3) a I U B maksmal ( 0) b 0 1 = = + Degenerert basstabell Utgående er w 2 Degenerert pvoterng V kan kke øke nngående Pvoterer lkevel! MOD233 - Ger Hasle - Lekson 3 26
27 ! +$, = w 2 2 = w + w (1) ζ = w 2 + w ( 0,0,1,0,0, 3) (1) Inngående er 1 Utgående er Samme løsnng! 3 MOD233 - Ger Hasle - Lekson 3 27
28 ! +$,- (2) ζ = w 2 w1 = 2 2 w = 2 2 w ( ) (2) 2, 2,0,0,0,6 Optmal løsnng! Degenerert pvoterng brakte oss vdere! Det er vanlg, men kke alltd tlfelle... MOD233 - Ger Hasle - Lekson 3 28
29 !. Degenererte pvoternger kan brnge oss tlbake tl en tdlgere basstabell Dette kalles syklsk pvoterng Smpleksmetoden vl da gå evg løkke Under vsse pvoterngsregler kan Smpleksmetoden g syklsk pvoterng Eksempel: nngående: største (postve) koeffsent utgående: mnste ndeks Syklsk pvoterng for et problem med optmal løsnng kan bare ske med problemer med mnst 6 varable og 3 førnger Se eksempel boka MOD233 - Ger Hasle - Lekson 3 29
30 /%$ / Hvs Smpleksmetoden kke termnerer, må den ha syklsk pvoterng Bevs: Tlstanden Smpleksmetoden er fullstendg bestemt av hvlke m varable som er basske (og hvlke n som er kke-basske) Det er et endelg antall mulge tlstander n + m n + m = m n MOD233 - Ger Hasle - Lekson 3 30
31 Vl kke øke verd på obektv (ford v kke kan øke verd på nngående) Hvs kke verd øker en pvoterng, må den være degenerert Hvs v har syklsk pvoterng, må alle pvoternger som nngår sykelen være degenererte Hvorfor? = b a 0 B : a > 0 I I I MOD233 - Ger Hasle - Lekson 3 31
32 Vanlg Syklsk pvoterng er uvanlg Mange verktøy tar kke hensyn tl syklng Det fns pvoterngsregler som garantert unngår syklsk pvoterng MOD233 - Ger Hasle - Lekson 3 32
33 ! 0 ",$- Spesfkk pvoterngsregel Garanterer at syklsk pvoterng kke sker Utgangspunkt: Syklsk pvoterng sker ford Strateg: Sørge for at Hvordan? b 0 b = MOD233 - Ger Hasle - Lekson
34 ! 0 ",- ζ = ζ + Ν c = b a, Β Ν Legge tl små, tlfeldge, uavhengge perturbasoner høyresdene basstabellen Kan gøres, men v velger annen løsnng: Legger tl fkserte, små tall hver førng, med ulk størrelsesorden MOD233 - Ger Hasle - Lekson 3 34
35 ! 0 ",- ζ = ζ + Ν = 1 + ε Β Ν b a, = m + ε m m m m Β Ν b a, 0 < ε << ε << ε << alle kons tan ter problemet m m 1 1 c V forutsetter: Ingen lneærkombnason av perturbasonene kan produsere tall samme størrelsesorden som data problemet Perturbason på ett nvå kan kke eskalere tl tall på høyere nvå MOD233 - Ger Hasle - Lekson 3 35
36 ! 0 ",1- Behandler perturbasonene som symbolske parametre (konstanter) Tar de med pvoterng Vl aldr få valg pvoterngen (vel...) Vl da aldr få degenerert basstabell Se eksempel læreboka ζ = ζ + Ν = b + ε a, Β Ν = b + ε a, Β m m m m m Ν 0 < ε << ε << ε << alle data problemet m m 1 1 c MOD233 - Ger Hasle - Lekson 3 36
37 " ζ = ζ + Ν = b + ε a, Β Ν = b + ε a, Β m m m m m Ν 0 < ε << ε << ε << alle data problemet m m 1 1 c Når perturbasoner av denne type behandles som parametre og tas med pvoterngen, ses pvoterngen å følge den lekskografske metode Valg av nngående varabel blr kke endret Valg av utgående vl alltd g entydg svar MOD233 - Ger Hasle - Lekson 3 37
38 /% ". Smpleksmetoden med den lekskografske metode gr aldr syklsk pvoterng Korollar: Smpleksmetoden med den lekskografske metode termnerer alltd MOD233 - Ger Hasle - Lekson 3 38
39 /%233,$- ζ = ζ + Ν = b + ε a, Β Ν = b + ε a, Β m m m m m Ν 0 < ε << ε << ε << alle data problemet m m 1 1 c Nok å vse at v aldr får degenerert basstabell Den ntelle basstabell er kke degenerert Hvordan ser basstabellen ut etter k pvoternger? Det er kun konstantleddene på høyresden som vl endre seg MOD233 - Ger Hasle - Lekson 3 39
40 /%233,- ζ = ζ + r01 ε r0m εm Ν = b + r ε + + r ε a, Β Etter k pvoternger (k>1) ser basstabellen slk ut: ( k) m m 1 1 Ν = b + r ε + + r ε a, Β ( k) m m m1 1 mm m m m Ν 0 < ε << ε << ε < < alle data problemet m m 1 1 Ifølge forutsetnngene kan kke denne basstabellen være degenerert c MOD233 - Ger Hasle - Lekson 3 40
41 /%233,- ζ = ζ + r01 ε r0m εm Ν = b + r ε + + r ε a, Β ( k) m m 1 1 Ν = b + r ε + + r ε a, Β ( k) m m m1 1 mm m m m Ν 0 < ε << ε << ε < < alle data problemet m m 1 1 c V forutsatte: Ingen lneærkombnason av perturbasonene kan produsere tall samme størrelsesorden som data problemet Perturbason på ett nvå kan kke eskalere tl tall på høyere nvå Ifølge forutsetnngene kan kke denne basstabellen være degenerert MOD233 - Ger Hasle - Lekson 3 41
42 4 Ved flertydghet valg av nngående eller utgående varabel, velg alltd den varabel som har mnst ndeks MOD233 - Ger Hasle - Lekson 3 42
43 /% Smpleksmetoden med Blands pvoterngsregel termnerer alltd MOD233 - Ger Hasle - Lekson 3 43
44 /%2,$- Ad absurdum Antar syklsk pvoterng og vser at det fører tl selvmotsgelse Anta at løkka starter terason 0 og varer k terasoner med basstabeller: (1) ( k 1) (1) D, D,, D, D, D, Ser at en varabel er vnglete hvs den går nn og ut av bass sykelen La La t være den vnglete varabel som har størst ndeks D være den basstabell der t er utgående MOD233 - Ger Hasle - Lekson 3 44
45 /%2,- La s være nngående D ζ = ζ + Ν c = Β Ν b a, Vet at s N, t B MOD233 - Ger Hasle - Lekson 3 45
46 /%2,- La ( p) D være en basstabell sykelen der t er nngående: ( p 0) (p) ζ = ζ + Ν ( p ) c (p) (p) (p) (p) = Β ( p ) Ν b a, t N ( p) = ( p) t V husker at alle pvoternger en sykel er degenererte Har derfor: (p) ζ = ζ MOD233 - Ger Hasle - Lekson 3 46
47 /%2,1- Kan derfor omskrve ( p) D ζ = ζ + n+ m = 1 c (p) (p) (p) (p) = Β ( p) =Ν b a, (p) ( p) = Β der c 0, Obektvverden er konstant sykelen og kan uttrykkes: n+ m (p) (p) c, der c 0, (p) = 1 ζ = ζ + = Β MOD233 - Ger Hasle - Lekson 3 47
48 /%2,5- La oss returnere tl D ζ = ζ + Ν c = Β Ν b a, s N, t B Vl (på tross av mulg ubrukbarhet) øke Beholder de andre kke-basske lk 0, får løsnng: s = y > 0 = N s 0,, = s, b a y B ζ ζ = + c s y s MOD233 - Ger Hasle - Lekson 3 48
49 /%2,6- V har etablert at: n+ m ( p) ( p) c, der c 0, ( p) = 1 ζ = ζ + = Β Dette gr, for vår løsnng: ζ s = y > 0 = N s 0,, = b a y, B s ζ = ζ + c s y ( p) ( p) = ζ + s + s B c y c ( b a y) MOD233 - Ger Hasle - Lekson 3 49
50 /%2,7- Altså, ved å kombnere uttrykkene for obektvet: ζ = ζ + cs y = ζ + c y + c ( b a y) Dette gr: ( p) ( p) s s B c c c a y c b ( p) ( p) ( p) s s + s = B B Gelder for vlkårlg y! MOD233 - Ger Hasle - Lekson 3 50
51 /%2,8- Derfor må v ha: ( p) ( p) s s s B c c + c a = 0 V må ha: c > 0 nngående! s s t < t er den vnglete varabel med størst ndeks! Derfor c 0 ellers vlle Blands regel velge! ( p) s Da må B c ( p) as < 0 MOD233 - Ger Hasle - Lekson 3 51 s
52 /%2,9- B c ( p) as Derfor er < 0 Da må det fnnes ndeks slk at c a < ( p) r rs ( p) cr 0 0 r slk at B ( 0 ) r N ( p) Altså: r Da må r t er vnglete MOD233 - Ger Hasle - Lekson 3 52
53 /%2,$:- Har etablert at: r t ( p) r rs c a < 0 ( p) r N Vet at ts a > 0 t er utgående D ( p) t c > 0 t er nngående ( p) D Derfor må c a > 0 r < t ( p) t ts Etter Blands regel: cr ( p) 0 t er nngående ( p) D c a < 0 gr da ( p) r rs rs a > 0 MOD233 - Ger Hasle - Lekson 3 53
54 /%2,$$- I en syklsk pvoterng er alle løsnngene lke Alle vnglete varable må da ha verden 0 (sden de er 0 når de er kke-basske) Speselt er: r = 0 Da må r ζ = ζ + b = 0 Ν c = Β Ν b a, Sden rs a > 0 skulle r Selvmotsgelse! vært valgt som utgående D, kke t MOD233 - Ger Hasle - Lekson 3 54
55 /%2,$- V antok at Smpleksmetoden med Blands regel kunne g syklsk pvoterng Med denne antakelsen klarte v å produsere en selvmotsgelse Altså kan kke Smpleksmetoden med Blands regel g syklsk pvoterng! MOD233 - Ger Hasle - Lekson 3 55
56 " Fase I vser enten at problemet er nkonsstent eller gr brukbar bassløsnng Fase II vser enten at problemet er ubegrenset eller fnner optmal bassløsnng Det fns pvoterngsregler som garanterer termnerng MOD233 - Ger Hasle - Lekson 3 56
57 /%1 ' For et vlkårlg LP gelder følgende: Hvs problemet kke har optmal løsnng, er det enten nkonsstent eller ubegrenset Hvs problemet har en brukbar løsnng, så har det en brukbar bassløsnng Hvs problemet har en optmal løsnng, har det en optmal bassløsnng MOD233 - Ger Hasle - Lekson 3 57
58 a I U ( k) B maksmal b Sste spesaltlfelle - valg av utgående Degenerert basstabell, degenererert pvoterng Degenerert pvoterng kan g syklsk pvoterng Eneste tlfelle der Smpleksmetoden kke termnerer Det fns pvoterngsregler for å unngå sykler Den lekskografske metode Blands pvoterngregel b = 0? Fundamentalteoremet for lneærprogrammerng Geometrsk tolknng - se læreboka 2.5, 3.6 MOD233 - Ger Hasle - Lekson 3 58
i B maksimal b Fundamentalteoremet for lineærprogrammering Den leksikografiske metode Blands pivoteringregel MoD233 - Geir Hasle - Leksjon 4 2
Lekso 4 ( k ) a ( k ) I ( k ) U ( k) B maksmal ( k ) b Sste spesaltlfelle - valg av utgåede Degeerert basstabell, degeererert pvoterg Degeerert pvoterg ka g syklsk pvoterg Eeste tlfelle der Smpleksmetode
Mål. MoD233 - Geir Hasle - Repetisjon 2
Repetson Mål teoretsk forståelse, grunnleggende optmerng løsnngsmetoder LP og utvdelser algortmsk forståelse anvendelser LP og utvdelser modellerng og løsnng v.h.a. verktøy Innhold og forelesnngsplan Eksempler
MoD233 - Geir Hasle - Leksjon 10 2
Leksjon 10 Anvendelser nettverksflyt Transportproblemet Htchcock-problemet Tlordnngsproblemet Korteste-ve problemet Nettverksflyt med øvre begrensnnger Maksmum-flyt problemet Teorem: Maksmum-flyt Mnmum-kutt
Korteste-vei problemet Nettverksflyt med øvre begrensninger Maksimum-flyt problemet Teorem: Maksimum-flyt Minimum-kutt
Lekson 11 Korteste-ve problemet Nettverksflyt med øvre begrensnnger Maksmum-flyt problemet Teorem: Maksmum-flyt Mnmum-kutt MoD233 - Ger Hasle - Lekson 11 2 Heltallsprogrammerng Tdsplanleggng (skedulerng,
Løsningsforslag øving 10 TMA4110 høsten 2018
Løsnngsforslag øvng TMA4 høsten 8 [ + + Projeksjonen av u på v er: u v v u v v v + ( 5) [ + u v v u [ 8/5 6/5 For å fnne ut om en matrse P representerer en projeksjon, må v sjekke om P P a) b) c) [ d)
Appendiks 1: Organisering av Riksdagsdata i SPSS. Sannerstedt- og Sjölins data er klargjort for logitanalyse i SPSS filen på følgende måte:
Appendks 1: Organserng av Rksdagsdata SPSS Sannerstedt- og Sjölns data er klargjort for logtanalyse SPSS flen på følgende måte: Enhet År SKJEBNE BASIS ANTALL FARGE 1 1972 1 0 47 1 0 2 1972 1 0 47 1 0 67
TMA4240/4245 Statistikk Eksamen august 2016
Norges teknsk-naturvtenskapelge unverstet Insttutt for matematske fag TMA44/445 Statstkk Eksamen august 6 Løsnngssksse Oppgave a) Ved kast av to ternnger er det 36 mulge utfall: (, ),..., (6, 6). La Y
TMA4265 Stokastiske prosesser
orges teknsk-naturvtenskapelge unverstet Insttutt for matematske fag TMA4265 Stokastske prosesser Våren 2004 Løsnngsforslag - Øvng 6 Oppgaver fra læreboka 4.56 X n Antallet hvte baller urna Trekk tlf.
Anvendelser. Kapittel 12. Minste kvadraters metode
Kapttel Anvendelser I dette kaptlet skal v se på forskjellge anvendelser av teknkke v har utvklet løpet av de sste ukene Avsnttene og eksemplene v skal se på er derfor forholdsvs uavhengge Mnste kvadraters
Dynamisk programmering. Hvilke problemer? Overlappende delproblemer. Optimalitetsprinsippet
Dynamsk programmerng Hvlke problemer? Metoden ble formalsert av Rchard Bellmann (RAND Corporaton) på -tallet. Har ngen tng med programmerng å gøre. Dynamsk er et ord som kan aldr brukes negatvt. Skal v
MA1301 Tallteori Høsten 2014
MA1301 Tallteor Høsten 014 Rchard Wllamson 3. desember 014 Innhold Forord 1 Induksjon og rekursjon 7 1.1 Naturlge tall og heltall............................ 7 1. Bevs.......................................
Forelesning 17 torsdag den 16. oktober
Forelesnng 17 torsdag den 16. oktober 4.12 Orden modulo et prmtall Defnsjon 4.12.1. La p være et prmtall. La x være et heltall slk at det kke er sant at x 0 Et naturlg tall t er ordenen tl a modulo p dersom
(iii) Når 5 er blitt trukket ut, er det tre igjen som kan blir trukket ut til den siste plassen, altså:
A-besvarelse ECON2130- Statstkk 1 vår 2009 Oppgave 1 A) () Antall kke-ordnede utvalg: () P(Arne nummer 1) = () Når 5 er bltt trukket ut, er det tre gjen som kan blr trukket ut tl den sste plassen, altså:
X ijk = µ+α i +β j +γ ij +ǫ ijk ; k = 1,2; j = 1,2,3; i = 1,2,3; i=1 γ ij = 3. i=1 α i = 3. j=1 β j = 3. j=1 γ ij = 0.
UNIVERSITETET I OSLO Det matematsk-naturvtenskapelge fakultet Eksamen : Eksamensdag: 7. jun 2013. Td for eksamen: 14.30 18.30. Oppgavesettet er på 8 sder. Vedlegg: Tllatte hjelpemdler: STK2120 LØSNINGSFORSLAG
IT1105 Algoritmer og datastrukturer
Løsnngsforslag, Eksamen IT1105 Algortmer og datastrukturer 1 jun 2004 0900-1300 Tllatte hjelpemdler: Godkjent kalkulator og matematsk formelsamlng Skrv svarene på oppgavearket Skrv studentnummer på alle
Oppgaver. Multiple regresjon. Forelesning 3 MET3592 Økonometri ved David Kreiberg Vår 2011
Forelesnng 3 MET359 Økonometr ved Davd Kreberg Vår 0 Oppgaver Alle oppgaver er merket ut fra vanskelghetsgrad på følgende måte: * Enkel ** Mddels vanskelg *** Vanskelg Multple regresjon Oppgave.* Ta utgangspunkt
Tillegg 7 7. Innledning til FY2045/TFY4250
FY1006/TFY4215 Tllegg 7 1 Dette notatet repeterer noen punkter fra Tllegg 2, og dekker detalj målng av degenererte egenverder samt mpulsrepresentasjonen av kvantemekankk. Tllegg 7 7. Innlednng tl FY2045/TFY4250
Oppgave 3, SØK400 våren 2002, v/d. Lund
Oppgave 3, SØK400 våren 00, v/d. Lnd En bonde bonde dyrker poteter. Hvs det blr mldvær, blr avlngen 0. Hvs det blr frost, blr avlngen. Naboen bonde, som vl være tsatt for samme vær, dyrker også poteter,
TALLSVAR. Det anbefales at de 9 deloppgavene merket med A, B, teller likt uansett variasjon i vanskelighetsgrad. Svarene er gitt i << >>.
ECON13: EKSAMEN 14V TALLSVAR. Det anbefales at de 9 deloppgavene merket med A, B, teller lkt uansett varasjon vanskelghetsgrad. Svarene er gtt >. Oppgave 1 Innlednng. Rulett splles på en rekke kasnoer
TALLSVAR. Det anbefales at de 9 deloppgavene merket med A, B, teller likt uansett variasjon i vanskelighetsgrad. Svarene er gitt i <<< >>>.
ECON30: EKSAMEN 05 VÅR - UTSATT PRØVE TALLSVAR. Det anbefales at de 9 deloppgavene merket med A, B, teller lkt uansett varasjon vanskelghetsgrad. Svarene er gtt
C(s) + 2 H 2 (g) CH 4 (g) f H m = -74,85 kj/mol ( angir standardtilstand, m angir molar størrelse)
Fyskk / ermodynamkk Våren 2001 5. ermokjem 5.1. ermokjem I termokjemen ser v på de energendrnger som fnner sted kjemske reaksjoner. Hver reaktant og hvert produkt som nngår en kjemsk reaksjon kan beskrves
i kjemiske forbindelser 5. Hydrogen har oksidasjonstall Oksygen har oksidsjonstall -2
Repetsjon 4 (16.09.06) Regler for oksdasjonstall 1. Oksdasjonstall for alle fre element er 0 (O, N, C 60 ). Oksdasjonstall for enkle monoatomske on er lk ladnngen tl onet (Na + : +1, Cl - : -1, Mg + :
Forelesning nr.3 INF 1411 Elektroniske systemer. Parallelle og parallell-serielle kretser Kirchhoffs strømlov
Forelesnng nr.3 INF 4 Elektronske systemer Parallelle og parallell-serelle kretser Krchhoffs strømlov Dagens temaer Parallelle kretser Kretser med parallelle og serelle ster Effekt parallelle kretser Krchhoffs
Veiledning til obligatorisk oppgave i ECON 3610/4610 høsten N. Vi skal bestemme den fordeling av denne gitte arbeidsstyrken som
Jon sle; oktober 07 Ogave a. elednng tl oblgatorsk ogave ECO 60/60 høsten 07 har nå at samlet arbedskraftmengde er gtt lk, slk at ressurskravet er. skal bestemme den fordelng av denne gtte arbedsstyrken
Løsningsforslag ST2301 Øving 8
Løsnngsforslag ST301 Øvng 8 Kapttel 4 Exercse 1 For tre alleler, fnn et sett med genfrekvenser for to populasjoner, som gr flere heterozygoter enn forventa utfra Hardy-Wenberg-andeler for mnst én av de
Forelesning 4 og 5 MET3592 Økonometri ved David Kreiberg Vår 2011
Løsnnger lle oppgaver er merket ut fra vanskelghetsgrad på følgende måte: * Enkel ** Mddels vanskelg *** Vanskelg Hypotesetestng testng av enkelthypoteser Oppgave 1.* Når v tester enkelthypoteser ved hjelp
Seleksjon og uttak av alderspensjon fra Folketrygden
ato: 07.01.2008 aksbehandler: DH Seleksjon og uttak av alderspensjon fra Folketrygden Dette notatet presenterer en enkel framstllng av problemet med seleksjon mot uttakstdpunkt av alderspensjon av folketrygden.
Forelesning nr.3 INF 1411 Elektroniske systemer
Forelesnng nr.3 INF 4 Elektronske systemer 009 04 Parallelle og parallell-serelle kretser Krchhoffs strømlov 30.0.04 INF 4 Dagens temaer Parallelle kretser Kretser med parallelle og serelle ster Effekt
EKSAMEN I FAG SIF5040 NUMERISKE METODER Tirsdag 15. mai 2001 Tid: 09:00 14:00
Norges teknsk naturvtenskapelge unverstet Insttutt for matematske fag Sde 1 av 9 Faglg kontakt under eksamen: Enar Rønqust, tlf. 73 59 35 47 EKSAMEN I FAG SIF5040 NUMERISKE METODER Trsdag 15. ma 2001 Td:
Illustrasjon av regel 5.19 om sentralgrenseteoremet og litt om heltallskorreksjon (som i eksempel 5.18).
Econ 2130 HG mars 2012 Supplement tl forelesnngen 19. mars Illustrasjon av regel 5.19 om sentralgrenseteoremet og ltt om heltallskorreksjon (som eksempel 5.18). Regel 5.19 ser at summer, Y = X1+ X2 + +
ØVINGER 2017 Løsninger til oppgaver
ØVINGER 017 Løsnnger tl oppgaver Øvng 1 7.1. Med utgangspunkt de n 5 observasjonsparene (x 1, y 1 ), (x, y ),..., (x 5, y 5 ) beregner v først mddelverdene x 1 5 Estmert kovarans blr x 3. ȳ 1 5 s XY 1
Dynamisk programmering. Hvilke problemer? Overlappende delproblemer. Optimalitetsprinsippet
Dynamsk programmerng Metoden ble formalsert av Rchard Bellmann (RAND Corporaton på -tallet. Programmerng betydnngen planlegge, ta beslutnnger. (Har kke noe med kode eller å skrve kode å gøre. Dynamsk for
Alle deloppgaver teller likt i vurderingen av besvarelsen.
STK H-26 Løsnngsforslag Alle deloppgaver teller lkt vurderngen av besvarelsen. Oppgave a) De normalfordelte: x og sd for hver gruppe. De skjevfordelte og de ekstremt skjevfordelte: Medan og kvartler for
STK desember 2007
Løsnngsfrslag tl eksamen STK0 5. desember 2007 Oppgave a V antar at slaktevektene tl kalkunene fra Vrgna er bserverte verder av stkastske varabler X, X 2, X, X 4 sm er uavhengge g Nµ, σ 2 -frdelte, g at
De normalfordelte: x og sd for hver gruppe. De skjevfordelte og de ekstremt skjevfordelte: Median og kvartiler for hver gruppe.
STK H-26 Løsnngsforslag Alle deloppgaver teller lkt vurderngen av besvarelsen. Oppgave I et tlfeldg utvalg på normalvektge personer, og overvektge personer, måles konsentrasjonen av 2 ulke protener blodet.
Eksamen i emne SIB8005 TRAFIKKREGULERING GRUNNKURS
Sde 1 av 5 NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET Fakultet for bygg- og mljøteknkk INSTITUTT FOR SAMFERDSELSTEKNIKK Faglg kontakt under eksamen: Navn Arvd Aakre Telefon 73 59 46 64 (drekte) / 73
Adaptivt lokalsøk for boolske optimeringsproblemer
Adaptvt lokalsøk for boolske optmerngsproblemer Lars Magnus Hvattum Høgskolen Molde Lars.M.Hvattum@hmolde.no Arne Løkketangen Høgskolen Molde Arne.Lokketangen@hmolde.no Fred Glover Leeds School of Busness,
Alternerende rekker og absolutt konvergens
Alternerende rekker og absolutt konvergens Forelest: 0. Sept, 2004 Sst forelesnng så v på rekker der alle termene var postve. Mange av de kraftgste metodene er utvklet for akkurat den typen rekker. I denne
Sparing gir mulighet for å forskyve forbruk over tid; spesielt kan ujevne inntekter transformeres til jevnere forbruk.
ECON 0 Forbruker, bedrft og marked Forelesnngsnotater 09.0.07 Nls-Henrk von der Fehr FORBRUK OG SPARING Innlednng I denne delen skal v anvende det generelle modellapparatet for konsumentens tlpasnng tl
TMA4265 Stokastiske prosesser
Norges teknsk-naturvtenskapelge unverstet Insttutt for matematske fag TMA65 Stokastske prosesser Våren Løsnngsforslag - Øvng Oppgaver fra læreboka.6 P er dobbelt stokastsk P j j La en slk kjede være rredusbel,
Statistikk og økonomi, våren 2017
Statstkk og økonom, våren 7 Oblgatorsk oppgave Løsnngsforslag Oppgave Anta at forbruket av ntrogen norsk landbruk årene 987 99 var følgende målt tonn: 987: 9 87 988: 8 989: 8 99: 8 99: 79 99: 87 99: 9
Automatisk koplingspåsats Komfort Bruksanvisning
Bruksanvsnng System 2000 Art. Nr.: 0661 xx /0671 xx Innholdsfortegnelse 1. rmasjon om farer 2. Funksjon 2.1. Funksjonsprnspp 2.2. Regstrerngsområde versjon med 1,10 m lnse 2.3. Regstrerngsområde versjon
DEN NORSKE AKTUARFORENING
DEN NORSKE AKTUARFORENING _ MCft% Fnansdepartementet Postboks 8008 Dep 0030 OSLO Dato: 03.04.2009 Deres ref: 08/654 FM TME Horngsuttalelse NOU 2008:20 om skadeforskrngsselskapenes vrksomhet. Den Norske
Tema for forelesningen var Carnot-sykel (Carnot-maskin) og entropibegrepet.
FORELESNING I ERMOYNMIKK ONSG 29.03.00 ema for forelesnngen var arnot-sykel (arnot-maskn) og entropbegrepet. En arnot-maskn produserer arbed ved at varme overføres fra et sted med en øy temperatur ( )
Investering under usikkerhet Risiko og avkastning Høy risiko. Risikokostnad prosjekt Snøskuffe. Presisering av risikobegrepet
Investerng under uskkerhet Rsko og avkastnng Høy rsko Lav rsko Presserng av rskobegreet Realnvesterng Fnansnvesterng Rsko for enkeltaksjer og ortefølje-sammenheng Fnansnvesterng Realnvesterng John-Erk
Eksamen ECON 2200, Sensorveiledning Våren Deriver følgende funksjoner. Deriver med hensyn på begge argumenter i e) og f).
Eksamen ECON 00, Sensorvelednng Våren 0 Oppgave (8 poeng ) Derver følgende funksjoner. Derver med hensyn på begge argumenter e) og f). (Ett poeng per dervasjon, dvs, poeng e og f) a) f( x) = 3x x + ln
EKSAMEN Løsningsforslag
. desember 6 EKSAMEN Løsnngsorslag Emnekode: ITD Emnenavn: Matematkk ørste deleksamen Dato:. desember 6 Hjelpemdler: - To A-ark med valgrtt nnold på begge sder. - Formelete. - Kalkulator som deles ut samtdg
Vekst i skjermet virksomhet: Er dette et problem? Trend mot større andel sysselsetting i skjermet
Forelesnng NO kapttel 4 Skjermet og konkurranseutsatt vrksomhet Det grunnleggende formål med eksport: Mulggjøre mport Samfunnsøkonomsk balanse mellom eksport og mportkonkurrerende: Samme valutanntjenng/besparelse
Statens vegvesen. Vegpakke Salten fase 1 - Nye takst- og rabattordninger. Utvidet garanti for bompengeselskapets lån.
Fauske kommune Torggt. 21/11 Postboks 93 8201 FAUSKE. r 1'1(;,. ',rw) J lf)!ùl/~~q _! -~ k"ch' t ~ j OlS S~kÖ)Ch. F t6 (o/3_~ - f' D - tf /5Cr8 l Behandlende enhet Regon nord Sa ksbeha nd er/ n nva gsn
EKSAMEN Ny og utsatt Løsningsforslag
. jun 0 EKSAMEN Ny og utsatt Løsnngsorslag Emnekode: ITD50 Dato:. jun 0 Emne: Matematkk, deleksamen Eksamenstd: 09.00.00 Hjelpemdler: To A-ark med valgrtt nnhold på begge sder. Formelhete. Kalkulator er
Løsningskisse for oppgaver til uke 15 ( april)
HG Aprl 01 Løsnngsksse for oppgaver tl uke 15 (10.-13. aprl) Innledende merknad. Flere oppgaver denne uka er øvelser bruk av den vktge regel 5.0, som er sentral dette kurset, og som det forventes at studentene
Balanserte søketrær. AVL-trær. AVL-trær. AVL-trær høyde AVL AVL. AVL-trær (Adelson-Velskii og Landis, 1962) Splay-trær (Sleator og Tarjan, 1985)
alanserte søketrær VL-trær Et bnært tre er et VL-tre hvs ølgende holder: VL-trær delson-velsk og Lands, 96 play-trær leator og Tarjan, 98. orskjellen høyde mellom det høyre og det venstre deltreet er maksmalt,
Notater. Marie Lillehammer. Usikkerhetsanalyse for utslipp av farlige stoffer 2009/30. Notater
009/30 Notater Mare Lllehammer Notater Uskkerhetsanalyse or utslpp av arlge stoer vdelng or IT og metode/seksjon or statstske metoder og standarder Innhold 1. Bakgrunn og ormål.... Metode....1 Fastsettelse
Fleksibelt arbeidsliv. Befolkningsundersøkelse utført for Manpower September 2015
Fleksbelt arbedslv Befolknngsundersøkelse utført for Manpower September 015 Antall dager med hjemmekontor Spørsmål: Omtrent hvor mange dager jobber du hjemmefra løpet av en gjennomsnttsmåned (n=63) Prosent
må det justeres for i avkastningsberegningene. se nærmere nedenfor om valg av beregningsmetoder.
40 Metoder for å måle avkastnng Totalavkastnngen tl Statens petroleumsfond blr målt med stor nøyaktghet. En vktg forutsetnng er at det alltd beregnes kvaltetsskret markedsverd av fondet når det kommer
NOEN SANNSYNLIGHETER I BRIDGE Av Hans-Wilhelm Mørch.
NOEN SANNSYNLIGHETER I BRIGE A Hans-Wlhelm Mørch. SANNSYNLIGHETER FOR HVORAN TRUMFEN(ELLER ANRE SORTER) ER FORELT Anta at du mangler n kort trumffargen. Ha er sannsynlgheten for at est har a a dem? La
UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT
Utsatt eksamen : ECON130 Statstkk 1 UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT Eksamensdag: 15.0.015 Sensur kunngjøres senest: 0.07.015 Td for eksamen: kl. 09:00 1:00 Oppgavesettet er på 4 sder Tllatte hjelpemdler:
Samfunnsøkonomi andre avdeling, mikroøkonomi, Diderik Lund, 18. mars 2002
Samfunnsøkonom andre avdelng, mkroøkonom, Dderk Lund, 8. mars 00 Markeder under uskkerhet Uskkerhet vktg mange (de fleste? markeder Uskkerhet omkrng framtdge prser og leverngsskkerhet (f.eks. om leverandør
DET KONGELIGE FISKERI- OG KYSTDEPARTEMENT. prisbestemmelsen
DET KONGELIGE FISKERI- OG KYSTDEPARTEMENT Fskebãtredernes forbund Postboks 67 6001 ALESUND Deres ref Var ref Dato 200600063- /BSS Leverngsplkt for torsketrálere - prsbestemmelsen V vser tl Deres brev av
Norske CO 2 -avgifter - differensiert eller uniform skatt?
Norske CO 2 -avgfter - dfferensert eller unform skatt? av Sven Egl Ueland Masteroppgave Masteroppgaven er levert for å fullføre graden Master samfunnsøkonom Unverstetet Bergen, Insttutt for økonom Oktober
Alderseffekter i NVEs kostnadsnormer. - evaluering og analyser
Alderseffekter NVEs kostnadsnormer - evaluerng og analyser 2009 20 06 20 10 20 10 20 10 21 2011 20 10 20 10 20 10 20 10 20 10 20 10 20 10 20 10 20 10 R A P P O R T 20 10 20 10 20 10 20 10 20 10 20 10 20
4 Energibalanse. TKT4124 Mekanikk 3, høst Energibalanse
4 Energbalanse Innhold: Potensell energ Konservatve krefter Konserverng av energ Vrtuelt arbed for deformerbare legemer Vrtuelle forskvnngers prnspp Vrtuelle krefters prnspp Ltteratur: Irgens, Fasthetslære,
TALLSVAR. Det anbefales at de 9 deloppgavene merket med A, B, teller likt uansett variasjon i vanskelighetsgrad. Svarene er gitt i <<< >>>.
ECON: EKSAMEN 6 VÅR - UTSATT PRØVE TALLSVAR. Det anbefales at de 9 deloppgavene merket med A, B, teller lkt uansett varasjon vanskelghetsgrad. Svarene er gtt
NÆRINGSSTRUKTUR OG INTERNASJONAL HANDEL
NÆRINGSSTRUKTUR OG INTERNASJONAL HANDEL Norman & Orvedal, kap. 1-5 Bævre & Vsle Generell lkevekt En lten, åpen økonom Nærngsstruktur Skjermet versus konkurranseutsatt vrksomhet Handel og komparatve fortrnn
EKSAMEN ny og utsatt løsningsforslag
8.. EKSAMEN n og utsatt løsnngsorslag Emnekode: ITD Dato:. jun Hjelpemdler: - To A-ark med valgrtt nnhold på begge sder. Emnenavn: Matematkk ørste deleksamen Eksamenstd: 9.. Faglærer: Chrstan F Hede -
Arbeid og potensiell energi
Arbed og potensell energ 4.3.5 Mdtveseksamen: 6.3. Pensum: Kap. boken flere lærer på data-lab YS-MEK 4.3.5 Konservatve krefter: v kan fnne en potensalfunksjon slk at: d d energbevarng vertkal kast: mg
Generell likevekt med skjermet og konkurranseutsatt sektor 1
1 Jon Vsle; februar 2018 ECON 3735 vår 2018 Forelesnngsnotat #1 Generell lkevekt med skjermet og konkurranseutsatt sektor 1 V betrakter en økonom med to sektorer; en skjermet sektor («-sektor») som produserer
Magnetisk nivåregulering. Prosjektoppgave i faget TTK 4150 Ulineære systemer. Gruppe 4: Rune Haugom Pål-Jørgen Kyllesø Jon Kåre Solås Frode Efteland
Magnetsk nvåregulerng Prosjektoppgave faget TTK 45 Ulneære systemer Gruppe 4: Rune Haugom Pål-Jørgen Kyllesø Jon Kåre Solås Frode Efteland Innholdsfortegnelse Innholdsfortegnelse... Innlednng... Oppgave
Bruksanvisning. Romtemperaturregulator med klokke 0389..
Bruksanvsnng Romtemperaturregulator med klokke 0389.. Innholdsfortegnelse Normalvsnng på dsplayet...3 Grunnleggende betjenng av romtemperaturregulatoren...3 Overskt over dsplayvsnnger og taster...3 Om
Fast valutakurs, selvstendig rentepolitikk og frie kapitalbevegelser er ikke forenlig på samme tid
Makroøkonom Publserngsoppgave Uke 48 November 29. 2009, Rev - Jan Erk Skog Fast valutakurs, selvstendg rentepoltkk og fre kaptalbevegelser er kke forenlg på samme td I utsagnet Fast valutakurs, selvstendg
Randi Eggen, SVV Torunn Moltumyr, SVV Terje Giæver. Notat_fartspåvirkn_landeveg_SINTEFrapp.doc PROSJEKTNR. DATO SAKSBEARBEIDER/FORFATTER ANTALL SIDER
NOTAT GJELDER SINTEF Teknolog og samfunn Transportskkerhet og -nformatkk Postadresse: 7465 Trondhem Besøksadresse: Klæbuveen 153 Telefon: 73 59 46 60 Telefaks: 73 59 46 56 Foretaksregsteret: NO 948 007
Bruksanvisning. For brukeren. Bruksanvisning. eloblock. Elektrisk veggmontert varmeapparat
Bruksanvsnng For brukeren Bruksanvsnng eloblock Elektrsk veggmontert varmeapparat NO Innhold Innhold 1 Merknader om dokumentasjon...3 1.1 Følge andre gjeldende dokumenter...3 1.2 Ta vare på dokumenter...3
Innholdsfortegnelse. Innledning. I. Teorigrunnlag, s. 5
Innholdsfortegnelse Innlednng I. Teorgrunnlag, s. 5 a) Nyklasssk nytteteor, s. 5 b) Utvdet nyttebegrep, s. 6 c) Lneære utgftssystemer, s. 7 d) Mellom-menneskelg påvrknng, s. 8 e) Modernserng og bostedspåvrknng,
Sluttrapport. utprøvingen av
Fagenhet vderegående opplærng Sluttrapport utprøvngen av Gjennomgående dokumenterng fag- og yrkesopplærngen Februar 2012 Det å ha lett tlgjengelg dokumentasjon er en verd seg selv. Dokumentasjon gr ungedommene
Innhold og forelesningsplan Eksempler på LP Begreper Løsning av enkelt eksempel Praktisk relevans Leksjon 2: Simpleksmetoden for løsning av LP
Lekso 2 Mål for kurset teoretisk forståelse, gruleggede optimerig løsigsmetoder LP og utvidelser algoritmisk forståelse avedelser LP og utvidelser modellerig og løsig v.h.a. verktøy Ihold og forelesigspla
STK1000 Innføring i anvendt statistikk Eksamensdag: Tirsdag 12. desember 2017
Eksamen : STK000 Innførng anvendt statstkk Eksamensdag: Trsdag 2. desember 207 Alle deloppgaver teller lkt vurderngen av besvarelsen. Lkke tl! Dette er et løsnngsforslag. Studenter som har kommet frem
Del A: Diskret optimering og heuristiske metoder Leksjon 3
Del A: Dskret optmerng og heurstske metoder Leksjon 3 Sjefsforsker Ger Hasle SINTEF Anvendt matematkk, Oslo!"# Eksempler på DOP Alternatve formulernger Defnsjon nabolag, -operator Lokalsøk Defnsjon lokalt
Notater. Bjørn Gabrielsen, Magnar Lillegård, Berit Otnes, Brith Sundby, Dag Abrahamsen, Pål Strand (Hdir)
2009/48 Notater Bjørn Gabrelsen, Magnar Lllegård, Bert Otnes, Brth Sundby, Dag Abrahamsen, Pål Strand (Hdr) Notater Indvdbasert statstkk for pleeog omsorgstjenesten kommunene (IPLOS) Foreløpge resultater
Bente Halvorsen, Bodil M. Larsen og Runa Nesbakken
2005/8 Rapporter Reports Bente Halvorsen, Bodl M. Larsen og Runa Nesbakken Prs- og nntektsfølsomet ulke usoldnngers etterspørsel etter elektrstet, fyrngsoler og ved Statstsk sentralbyrå Statstcs Norway
Auksjoner og miljø: Privat informasjon og kollektive goder. Eirik Romstad Handelshøyskolen Norges miljø- og biovitenskapelige universitet
Auksjoner og mljø: Prvat nformasjon og kollektve goder Erk Romstad Handelshøyskolen Auksjoner for endra forvaltnng Habtatvern for bologsk mangfold Styresmaktene lyser ut spesfserte forvaltnngskontrakter
Kapittel og Appendix A, Bævre og Vislie (2007): Næringsstruktur, internasjonal handel og vekst
1 Frelesnng 9 Kapttel.6-3.1 g Appendx A, Bævre g Vsle (007: Nærngsstruktur, nternasjnal handel g vekst Egenskaper ved betngete etterspørselsfunksjner Hmgentet Kstnadsfunksjnen er hmgen av grad 1 faktrprsene,
UNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematsk-naturvtenskapelge fakultet Eksamen : STK1000 Innførng anvendt statstkk Eksamensdag: Trsdag 12. desember 2017 Td for eksamen: 14.30 18.30 Oppgavesettet er på 5 sder Tllatte
Trykkløse rørsystemer
Trykkløse rørsystemer har kabel- og avløpsrørsystemer PVC, PP og PE med komplette delespektre. PE benyttes trykkrør som utslppslednnger, som lednng dårlge masser (myr) og ved høy overdeknng og/eller høy
NA Dok. 52 Angivelse av måleusikkerhet ved kalibreringer
Sde: av 7 orsk akkredterng Dok.d.: VII..5 A Dok. 5: Angvelse av måleuskkerhet ved kalbrernger Utarbedet av: Saeed Behdad Godkjent av: ICL Versjon:.00 Mandatory/Krav Gjelder fra: 09.05.008 Sdenr: av 7 A
Spinntur 2017 Rotasjonsbevegelse
Spnntur 2017 Rotasjonsbevegelse August Geelmuyden Unverstetet Oslo Teor I. Defnsjon og bevarng Newtons andre lov konstaterer at summen av kreftene F = F som vrker på et legeme med masse m er lk legemets
TMA4300 Mod. stat. metoder
TMA4300 Mod stat metoder Norges teknsk-naturvtenskapelge unverstet Insttutt for matematske fag Løsnngsforslag - Eksamen jun 2007 Oppgave Pseudokode for å evaluere θ: Generer uavhengge realsasjoner x,,x
Tillegg nr 1 til Grunnprospekt datert 27. mai 2015 i henhold til EU's Kommisjonsforordning nr 809/2004
Tllegg nr 1 l Grunnprospek daer 27. ma 2015 henhold l EU's Kommsjonsforordnng nr 809/2004 Tlreelegger Oslo, 25. jun 2015 Uarbede samarbed med DNB Markes 1 av 7 Ord med sor forboksav som benyes llegg l
Dimensjonerende flom for Mjøsa
!!? N V E Dmensjonerende flom for Mjøsa Dynamsk rutng gjennom Mjøsa og Vorma Bjarne Krokl e* DMENSJONERENDE FLOM FOR MJØSA Dynamsk rutng gjennom Mjosa og Vorma Norges vassdrags- og energdrektorat 2000
Analyse av strukturerte spareprodukt
NORGES HANDELSHØYSKOLE Bergen, Høst 2007 Analyse av strukturerte spareprodukt Et Knderegg for banknærngen? av Ger Magne Bøe Veleder: Professor Petter Bjerksund Utrednng fordypnngs-/spesalområdet: Fnansell
FOLKETELLINGEN 1. NOVEMBER 1960. Tellingsresultater Tilbakegående tall - Prognoser SARPSBORG 0102 STATISTISK SENTRALBYRÅ - OSLO
FOLETELLINGEN. NOVEBER 0 Tellngsresultater Tlbakegående tall - Prognoser SARPSBORG 00 STATISTIS SENTRALBYRÅ - OSLO ERNADER TIL ART OG TABELLER I seren "Tellngsresultater - Tlbakegående tall - Prognoser"
Forelesning 19 og 20 Regresjon og korrelasjons (II)
STAT111 Statstkk Metoder Yushu.L@ub.o Forelesg 19 og 0 Regresjo og korrelasjos (II) 1. Kofdestervall (CI) og predksjostervall (PI) I uka 14, brukte v leær regresjo for å fage leær sammehege mellom Y og
Hvordan får man data og modell til å passe sammen?
Hvordan får man data og modell tl å passe sammen? Ekstremverd-analyse Målet er å estmere T-års-ekstremen (flommen). T-års-ekstremen er slk at etter T år vl det forventnng være én overskrdelse av T-års-ekstremen.
Makroøkonomi - B1. Innledning. Begrep. Mundells trilemma 1 går ut på følgende:
Makroøkonom Innlednng Mundells trlemma 1 går ut på følgende: Fast valutakurs, selvstendg rentepoltkk og fre kaptalbevegelser er kke forenlg på samme td Av de tre faktorene er hypotesen at v kun kan velge
Rapportere kraftsystemdata i Fosweb
Rapportere kraftsystemdata Fosweb Brukervelednng Sst oppdatert 03.04.2019 Rapportere kraftsystemdata Fosweb Innholdsoverskt Om denne brukervelednngen Introduksjon tl Fosweb Organserng av Fosweb Organserng
Forelesning nr.3 INF 1410
Forelesnng nr. INF 40 009 Node og mesh-analyse 6.0.009 INF 40 Oerskt dagens temaer Bakgrunn Nodeanalyse og motasjon Meshanalyse 009 Supernode Bruksområder og supermesh for node- og meshanalyse 6.0.009
Arbeidpartiets stortingsgruppe, tilkn),ttet informasjons- og kommunikasjonsavdelingen. Trainee-perioden varer i tre måneder, så det er vel
TRÅNEE TRANEE Som tranee for Arbederpartets stortngsgruppe har Brgt Skarsten har.net mdt smørøyet. 23-årngen har tatt ett års pause fra studene statsvtenskap ved Unverstetet Oslo, ford hun har påtatt seg
1653B/1654B. Installasjonstest på et IT anlegg i drift
65B/654B Installasjonstest på et IT anlegg drft Utførng av testene Spennngsmålnger Testeren kan brkes som et ac voltmeter hvor spennng og frekvens kan vses samtdg ved å sette rotasjonsbryteren tl V. Alle
2007/30. Notater. Nina Hagesæther. Notater. Bruk av applikasjonen Struktur. Stabsavdeling/Seksjon for statistiske metoder og standarder
007/30 Notater Nna Hagesæter Notater Bruk av applkasjonen Struktur Stabsavdelng/Seksjon for statstske metoder og standarder Innold 1. Innlednng... 1.1 Hva er Struktur, og va kan applkasjonen brukes tl?...
HR92. 2. Kort veiledning. 1. Leveringsomfang
2. Kort velednng 2443 Radatortermostaten HR92 er eu.bacsertfsert.. Leverngsomfang HR92 Trådløs Elektronsk Radatortermostat I paknngen med radatortermostaten fnner du: 2 3 4 Honeywell HR92 er en trådløs
UNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematsk-naturvtenskapelge fakultet Deleksamen MAT-INF Modellerng og beregnnger. Eksamensdag: Onsdag 7. oktober 29. Td for eksamen: 5: 7:. Oppgavesettet er på 6 sder. Vedlegg: