TALLSVAR. Det anbefales at de 9 deloppgavene merket med A, B, teller likt uansett variasjon i vanskelighetsgrad. Svarene er gitt i <<< >>>.

Transkript

1 ECON: EKSAMEN 6 VÅR - UTSATT PRØVE TALLSVAR. Det anbefales at de 9 deloppgavene merket med A, B, teller lkt uansett varasjon vanskelghetsgrad. Svarene er gtt <<<. Oppgave En konferanse om aksjer hadde en av dagene to parallelle sesjoner rett etter lunsj, som nnebar at de to sesjonene gkk samtdg og at deltakerne måtte velge hvlken de vlle delta på. Ingen kunne få med seg begge sesjonene. Den ene sesjonen drede seg om portefølje-admnstrasjon og hadde 4% av deltakerne på konferansen, mens temaet for den andre var grafske metoder og hadde 5% av deltakerne. Senere om kvelden var det en fellessesjon med tttel «Er Random-walk-modellen død?». 8% av konferansens deltakere deltok på denne. V trekker en deltaker rent tlfeldg slk at alle deltakerne på konferansen har samme sjanse for å bl trukket. La Pf, Gr, Rw ndkere begvenhetene at den uttrukne deltakeren deltok henholdsvs på sesjonen om portefølje-admnstrasjon (kalt portefølje-sesjonen), på sesjonen om grafske metoder (kalt grafkk-sesjonen) og på sesjonen om random-walk-modellen (kalt random-walk-sesjonen). Følgende tre tng antas om dsse tre begvenhetene: () Pf og Gr er dsjunkte, () Pf og Rw er stokastsk uavhengge, () 85% av dem som deltok på grafkk-sesjonen deltok også på random-walksesjonen. Dsse tre antakelsene gjelder hele oppgaven. A.. Hva er sannsynlgheten for at den uttrukne deltakeren deltok på mnst en av portefølje-sesjonen og grafkk-sesjonen?. Hva er sannsynlgheten for at den uttrukne deltakeren deltok på mnst en av portefølje-sesjonen og random-walk-sesjonen? <<< Svar:. Dsjunksjonen () gr P( Pf Gr) P( Pf ) P( Gr) Uavhenggheten () gr Random-walk-modellen er en type modell som av og tl er brukt for å analysere aksjemarkeder.

2 P( Pf Rw) P( Pf ) P( Rw) P( Pf Rw) P( Pf ) P( Rw) P( Pf ) P( Rw).4.8 (.4)(.8).88 B.. Er Gr og Rw uavhengge begvenheter? Begrunn svaret dtt.. Hva er sannsynlgheten for at den uttrukne deltakeren deltok på mnst en av grafkk-sesjonen og random-walk-sesjonen? <<< Svar:. P( Rw).8 er forskjellg fra P( Rw Gr).85, som mplserer avhengghet.. Fnner P( Rw Gr) P( Gr) P( Rw Gr) (.5)(.85).45, hvorav P( Gr Rw) P( Gr) P( Rw) P( Gr Rw) C. La X være antall sesjoner blant de tre (portefølje-, grafkk- og random-walk-sesjonen) som den uttrukne deltakeren deltok på.. Vs at PX ( ) Sett opp sannsynlghetsfordelngen for X når du får oppgtt (som du kke trenger å vse her) at PX ( ).45.. Beregn E( X ) og var( X ). <<< Svar:. V har ( X ) ( Pf Rw) ( Gr Rw), som er en dsjunkt unon. Dermed P( X ) P( Pf Rw) P( Gr Rw) (.4)(.8) (.5)(.85).745. Sden P( X ) P( X ) P( X ).45 P( X ).745 P( X ).79, blr PX ( ).79.. Dermed fordelngen for X: x P(X=x) EX ( ) EX ( ) var( X ) E( X ) E( X ).9 (.7).

3 D. Konferansen hadde deltakere alt. Av dsse deltok 8 på portefølje-sesjonen, på grafkk-sesjonen og 6 på random-walk-sesjonen. Hvor mange som deltok både på portefølje-sesjonen og på random-walk-sesjonen var kke kjent. Heller kke hvor mange som deltok på både random-walk- og grafkk-sesjonen eller hvor mange som kun deltok på random-walk-sesjonen. Anslå de tre ukjente antallene ved å bruke antakelsene nnlednngen, dvs. anslå hvor mange som deltok på både random-walk- og portefølje-sesjonen, hvor mange som deltok på både random-walk- og grafkk-sesjonen og hvor mange som kun deltok på random-walk-sesjonen. [Hnt. Bruk for eksempel forventet antall de tre kategorene.] <<< Svar: V bruker sannsynlghetene, P( Pf Rw) (.4)(.8). og P( Gr Rw) (.5)(.85).45 Hvs U, U er antallet av Pf Rw og antallet av Gr Rw henholdsvs blant deltakerne, og U er antall som kun deltok på random-walk-sesjonen, fnner v E( U ) P( Pf Rw). 64, E( U ) P( Gr Rw) E( U ) 6 E( U ) E( U ) (sden U U U 6) Dette kan bl.a. begrunnes ved å vse tl at U, U begge er hypergeometrsk fordelte der sannsynlghetene er andeler populasjonen av konferansedeltakere. E.. Sksser et Venn-dagram over begvenhetene Pf, Gr og Rw.. Venn-dagrammet deler utfallsrommet 6 dsjunkte deler. For eksempel, to av dsse delene er Gr Rw og Gr Rw, som tlsammen blr Gr. Skrv nn dagrammet sannsynlghetene for alle de 6 dsjunkte delene.. Forklar hvorfor PX ( ).45 som angtt punkt C.. ovenfor. <<< Svar:. og.:

4 4 Utfallsrommet. Begvenheten ( X ) nntreffer hvs og bare hvs den uttrukne deltakeren havner utenfor de tre srklene, som har sannsynlghet - ( )=.45. Oppgave Dataene er hentet fra et eksperment (98 England) for å undersøke effekten av et svakt stmulerende stoff som koffen på ytelsen ved en enkel fyssk oppgave. Den fysske oppgaven ekspermentet var å tromme med en fnger på bordet så fort man kunne og der hastgheten ble målt som antall slag pr. mnutt. Ekspermentet besto først å trene mannlge college studenter en td å tromme med fngeren uten at studentene hadde nntatt noen stmulerende mdler. Gjennomsnttlg ytelse for studentene ved denne nnledende trenngen var 45 slag pr. mnutt. Deretter ble studentene ved loddtreknng nndelt grupper på hver. Alle studentene måtte drkke en kopp kaffe. Gruppe hadde fått ml koffen koppen, gruppe hadde fått ml. koffen koppen mens gruppe fkk ml koffen koppen. Ingen av studentene vsste hvlken gruppe de tlhørte. Etter t mnutter ble studentene bedt om å tromme med fngeren og hastgheten ble regstrert. Det vste seg at gjennomsnttshastgheten blant dem som hadde fått ml koffen kke var sgnfkant forskjellg fra 45 slag pr. mnutt, noe som gav øket evdens for at en eventuell sgnfkant endrng hastghet blant dem som fkk koffen skyltes koffenen først og fremst.

5 5 I denne oppgaven skal v kun se på gruppe som hadde fått ml koffen (og gnorere gruppe ) og undersøke om tallene gr grunnlag for å konkludere at koffen ( ml) øker ytelsen. Hastghetene, x, x,, x for gruppe, er gtt tabell : Tabell Antall slag pr. mnutt for studenter som fkk ml koffen koppen For å lette regnngen oppgaven, oppgs x 464 og x La X betegne den stokastske varabelen bak målngen x for,,,. V antar at X, X,, X uavhengge og dentsk normalfordelte med forventnng EX ( ) og varans, var( X ). V ønsker blant annet å teste H H : 45 mot : 45. A. V antar dette punktet for enkelthets skyld at varansen tl X er kjent lk 5 (dvs. 5 ).. En test består å forkaste H hvs X 46, der X X. Beregn sgnfkansnvået for denne testen.. Beregn p-verden basert på dataene tabell og en test som består å forkaste H hvs X blr stor nok.. Formuler en konklusjon basert på resultatet delpunkt. <<< Svar:.: Nvået er gtt ved P 45(forkast H) P 45( X 46) P 45 Z G(.4) Nvå 7.9%.: Observert Xobs P-verden blr ˆ P45 X X obs P45 X 46.4 G G(.98) : En p-verd på.4% gr forkastnng på.5% som som oftest betraktes som tlstrekkelg evdens for å forkaste H. B. V antar kke lenger at varansen,, er kjent. Dette betyr at er ukjent og må estmeres hvs den nngår testen.. Sett opp en test for H med sgnfkansnvå 5% basert på X, X,, X.. Gjennomfør testen basert på data tabell og formuler en konklusjon.

6 6 <<< Svar: : T-test sden X ene er ud og normalfordelte N(, ) med, ukjente. X eksakt Testobservator T 45 ~ t (9) fordelt hvs 45. 5%-kvantlen t(9)- S fordelngen er.8 som blr krtsk verd for T. Forkast H hvs T.8.. Fnner 9Sobs x x 6768 (46.4) 8.4 Sobs hvorav T obs.4 som gr forkastnng av H på 5%. Sterk evdens for at koffen vrker. C. V ønsker et 9% konfdensntervall for øknngen forventet hastghet, 45.. Begrunn følgende regel: Hvs [ AB, ] er et konfdensntervall for, er [ A45, B 45] et konfdensntervall for 45.. Sett opp og beregn et 9% konfdensntervall for 45 basert på data tabell når varansen er ukjent. <<< Svar:. Åpenbart P( A B) P A B 45 P A 45 B 45 X. Basert på at W ~ t(9)-fordelt for alle og.8 er 5% kvantlen t(9), S S får v P(.8 W.8).9, som gr 9% konf.ntervallet X.8 for 4.667, eller observert [45., 47.6] Og for øknngen følge punkt.: [.,.6] Oppgave Anne har hatt en bl noen år og er nteressert å fnne ut hvor mange lter bensn blen bruker pr. ml ved landeveskjørng. Hun har foretatt tre målnger gtt tabell : norsk ml = klometer

7 7 Tabell Antall ml kjørt ( x ) 6. Lter bensn brukt ( y ) La den stokastske varabelen Y representere antall lter bensn brukt på en kjøretur på x ml der x antas kke-stokastsk (,, ). V antar dessuten at Y, Y, Y er stokastsk uavhengge med forventnng og varans, E( Y ) x og var( Y ) x,,,, der og er ukjente parametre.. Forklar hvorfor kan tolkes som forventet antall lter blen bruker pr ml.. Vs at estmatorene ˆ og begge er forventnngsrette, der ˆ Y Y Y Y Y Y, x x x x x x. Fnn uttrykk for var( ˆ ) og var( ) og bestem hvlken av dem som er mnst (for x -ene tabell ). v. Estmer ut fra målngene tabell ved å bruke den beste av de to estmatorene. <<< Svar: : Forventet antall lter pr ml blr E( Y x ) E( Y ) x ( x ) x : : ˆ Y E( Y ) x E( ) E x x x Y EY x E( ) E x x x ˆ var( ) var( ).8 Y x x x x 48. var( Y) x var( ). 9 x 9 x 9 x som vser at ˆ har mnst varans. v: Estmat ˆ y 4.4 obs.88 x 48.