TALLSVAR. Det anbefales at de 9 deloppgavene merket med A, B, teller likt uansett variasjon i vanskelighetsgrad. Svarene er gitt i << >>.

Transkript

1 ECON13: EKSAMEN 14V TALLSVAR. Det anbefales at de 9 deloppgavene merket med A, B, teller lkt uansett varasjon vanskelghetsgrad. Svarene er gtt << >>. Oppgave 1 Innlednng. Rulett splles på en rekke kasnoer Europa. Rulett-hjulet er nndelt 37 lke store felter nummerert fra tl 36. Det er 18 røde felt, 18 svarte og et grønt felt med tallet. Et spll består å la en kule trlle nne hjulet nntl den havner et av de 37 feltene - slk at alle de 37 feltene har samme sannsynlghet. Utfallene fra forskjellge enkeltspll er uavhengge. En deltaker som satser penger et spll på en av flere mulge begvenheter, vnner et beløp hvs begvenheten nntreffer. Desto mndre sannsynlgheten er for at begvenheten skal nntreffe, desto større er gevnsten. Imdlertd, hvs kula havner det grønne -feltet, taper alle deltakere alt. Hele nnsatsen går tl huset. Sannsynlgheten for dette er 1/37. I denne oppgaven skal v kun se på den enkle strategen å satse på farge (rødt eller svart). Sannsynlgheten for rødt er (lk sannsynlgheten for svart), nemlg 18/37. For eksempel, hvs v satser 5 (euro) på rødt og kula havner et rødt felt, beholder v nnsatsen og får tllegg samme beløp (5 ) dvs. v ender opp med 5+5=1. Havner kula på svart eller -feltet, taper v nnsatsen og ender opp med 5 5 =. Trne er forsktg. Hun bestemmer seg på forhånd å splle for maksmum alt og satse 5 på rødt hver gang løpet av 4 spll. I tabell 1 er alle 16 mulge utfall av 4 spll med tlhørende sannsynlgheter angtt. I tabellen angr R at et spll resulterer rødt felt, mens T angr kke-rødt (dvs. svart- eller -felt). For eksempel utfall 13 (TRTT) betyr at det ble R (rødt) spll mens T (kke-rødt) nntraff spll 1, 3 og 4. V angr Trnes sluttbeholdnng etter 4 spll og er en stokastsk varabel som varerer mellom og 4.

2 Tabell 1. Mulge utfall av 4 spll. Startbeholdnng. Innsats pr. spll 5. Utfall Sannsynlghet Sluttbeholdnng V Utfall Sannsynlghet Sluttbeholdnng V 1 RRRR RTTR.6 RRRT TRTR.6 3 RRTR TTRR.6 4 RTRR RTTT TRRR TRTT RRTT.6 14 TTRT RTRT.6 15 TTTR TRRT.6 16 TTTT.7 Spørsmål. A. Forklar () hvorfor sannsynlgheten for utfall 13 (TRTT) er.66 (med 3 desmalers nøyaktghet) og () hvorfor Trnes sluttbeholdnng (V) blr 1 med dette utfallet (gtt at hun starter med ). <<Svar: () I et enkelt spll, p P( R) Uavhengghet gr 3 P(TRTT) p(1 p).66. () Utfallet TRTT gr sluttbeholdnng >> B. Defner begvenhetene, A = R første og fjerde spll, B = Mnst 3 R løpet av 4 spll. Fnn sannsynlghetene () PA ( ) () P( A B) () P ("R alle 4 spll" "mnst 3R") <<Svar: () P( A) P(utfall 1,3,4 eller 9) () A {1,3,4,9}, B {1,,3,4} A B {1,3,4 } og P( A B). 174 () P( B) P({1,,3,4,5} ).9 og (4R) B {1} P(4 R B) P({1}).56 P(4 R B).19 >> P( B) P( B).36 C. () La X være antall R som nntreffer 4 spll. Forklar hvorfor X er bnomsk fordelt.

3 3 () Sett opp en tabell som vser sannsynlghetsfordelngen tl sluttbeholdnngen V og beregn PV ( ). () Beregn E( V ) og var( V ). [Hnt. Merk at V 1X ] <<Svar: () Kravene for bnomske forsøk er oppfylt X ~ bn(4, p) der p () v P(V=v) der, f.eks. PV ( 1) 4 (.66).64. PV ( ) () E( V) E(1 X ) 1 E( X ) 1 4 p var( V) 1var( X ) 1 4 p(1 p) >> D. Trne syns 4-spll-strategen er kjedelg og bytter tl en 1-spll-strateg: Som før starter hun med (som hun er vllg tl å rskere) og satser 5 på rødt hvert spll. Hun spller så lenge hun har penger å satse men kke mer enn 1 spll. Hvs hun ender opp med før hun har splt 1 ganger, stopper hun å splle. Anta at Trne gjennomfører 1-spll-strategen. La V betegne sluttbeholdnngen Trne ender opp med, og K antall enkeltspll hun deltar. (Merk at K kan være forskjellg fra 1 ved at Trne ender opp med før hun har splt 1 ganger. Det kan vses at bare kan nntreffe spll nr. 4,6,8 eller 1, som du kke trenger å begrunne.) Det kan også vses (som du kke trenger å gjøre) at smultanfordelngen for V og K er gtt ved tabell. Tabell. Smultanfordelngen for V og K (dvs. P( K k V v) ), samt noe mellomregnng tl bruk nedenfor. ( f ( v) P( V v) ). k Sum Mellomregnng v 4 spll 6 spll 8 spll 1 spll f( v ) vf () v v f () v

4 Sum () Fnn PV ( ). () Hva er sannsynlgheten for at Trne får splle 1 spll under 1-spll-strategen? () Anta v vet at Trne endte opp med etter å ha prøvd 1-spll-strategen en gang, men kke hvor mange enkeltspll hun splte. Hva er sannsynlgheten for at hun bare splte 4 ganger? Begrunn svaret dtt. (v) Fnn E( V ) og var( V ) (relevant mellomregnng er angtt tabell ). <<Svar: () P( V ) P( V 3) P( V 7).344 () Drekte fra tabellen PK ( 1).8 P( K 4 V ) () P( K 4 V ).78 PV ( ) (v) Drekte fra tabellen, f ( v) P( V v) E( V ) vf ( v) ( ) var( V ) E V E( V ) v f ( v) E V (18.78) >> E. Trne beslutter å bruke 1-spll-strategen sn 3 dager (en gang hver dag). Hennes totale nnsats blr da 3 6. Sluttbeholdnngen etter 3 dager kan skrves W V1 V V3, der V angr sluttbeholdnngen for dag. () Beregn et tlnærmet 9% sprednngsntervall for W. () Beregn tlnærmet PW ( 6) med heltallskorreksjon. <<Svar: () Regel 5.19 gr at tlnærmet Regel 5.16 ) 3 ( V W ~ N E( W ), SD( W N E V ), 3 SD( ) N( 563.4, 8.36) et (tlnærmet) 9% sprednngsntervall er gtt ved E( W ) z SD( W ) (1. 645)(8.36) [47.9, 698.9] () heltallskorreksjon 6.5 EW ( ) P( W 6) 1 P( W 6) 1 P( W 6.5) 1 G SD( W ) G 1 G(.45)

5 5 (Noen vl kanskje nnse at W må være et multplum av 1. En bedre heltallskorreksjon vlle dermed være å bruke P( W 6) P( W 65). Hvs noen kommer med dette, burde de få ekstra uttellng.) >> Oppgave Innlednng. Sølvnnholdet (målt % ) er bestemt 11 mynter funnet på Kypros. Myntene stammer fra den bysantnske peroden (under kong Manuel I. Comnenus ( )). 4 av myntene stammer fra en gtt perode (perode 1) under kong Manuels regjerngstd, mens de resterende 7 er laget noen år senere (perode også under kong Manuel). V ønsker å fnne ut om dataene gr evdens for at sølvnnholdet mynter av denne typen generelt øket fra perode 1 tl perode. La X betegne sølvnnholdet ( %) mynt nr. fra perode 1 ( 1,,4 ). La Y betegne sølvnnholdet ( %) mynt nr. fra perode ( 1,,7 ). V antar X1, X,, X 4 er uavhengge og dentsk normalfordelte, med X ~ N( 1, ). Y1, Y,, Y 7 er uavhengge og dentsk normalfordelte, med Y ~ N(, ). Parametrene, 1,, antas ukjente. (Merk at v mplstt antar at X-ene og Y-ene har samme varans, mens at de kan ha forskjellg forventnng.) X-ene og Y-ene antas å være uavhengge av hverandre La X X, Y Y, S1 ( X X ), S ( Y Y ) Tlsvarende uttrykk med små bokstaver ndkerer observerte verder av dsse stokastske varablene. Data. Beskrvende størrelser. Perode 1 Perode Perode 1 Perode x y Antall observasjoner 4 7 y Gjennomsntt x Utvalgsvarans s1.5 s.1314

6 6 Spørsmål. A. V er nteressert en eventuell forskjell mellom 1 og. Sett 1. En naturlg estmator for er ˆ X Y. () Vs at ˆ er en forventnngsrett estmator for og beregn estmatet. () Fnn varansen tl ˆ uttrykt ved. <<Svar: () Sden (fra pensum) E( X ) 1 og E( Y ), får v E( ˆ ) E X Y E( X ) E( Y ) () X Y X Y >> var( ˆ ) var( ) var( ) var( ) B. V ønsker et 95% konfdensntervall for. Ingen av reglene Løvås er tlstrekkelg for dette, men fra generell statstkk har v følgende regel (som du kke trenger å begrunne) Regel I. Under modellen formulert nnlednngen gjelder at ˆ 1 W, der ˆ 3S1 3S, er eksakt t-fordelt med 9 ˆ 11 8 frhetsgrader uansett hva de ukjente verdene av 1,, er. () Bruk regel I tl å utlede et 95% konfdensntervall for. () Beregn det observerte konfdensntervallet ut fra data. <<Svar: () og.5% kvantlen t(9), t ˆ ˆ.5 8 ˆ ˆ.5 8 ˆ 11 ˆ ˆ 11 (.6) 8 (.6) 8.95 P t W t løs mhp P t t P ˆ () Observert: ˆ t ˆ.5 ˆ ˆ 8 obs t.5 obs (.6) [ 1.3,.18] >> obs C. V ønsker å teste H : 1 mot H1 : 1, som er det samme som å teste H : mot H :. 1

7 7 () Bruk regel I tl å konstruere en test med sgnfkansnvå 5% for H. () Gjennomfør testen og formuler en konklusjon. () Er p-verden for testen dn mndre enn 1%? [Hnt. Bruk t-kvantl-tabellen bak Løvås.] <<Svar: () Problemet er å teste H : mot H1 : der ˆ ˆ testobservatoren er T, og v skal åpenbart forkaste H ˆ 11 ˆ 11 for tlstrekkelg 8 8 små verder av T. Sden T ~ t(9) hvs, fnner v den krtske verden, k, av lgnngen P (forkast H ) P ( T k).5, som gr k t Altså vår 5% test: Forkast H hvs T ˆ obs.739 () Gjennomførng: Tobs.994. ˆ obs 8 8 Konklusjon: Forkast H. Det er sterk evdens data at det generelle sølvnnholdet har økt fra perode 1 tl. () Den krtske verden ved nvå 1% er, følge tabellen, -.81 som fortsatt gr forkastnng. Sden p-verden er det mnste nvået som gr forkastnng, og Tobs.81, må p-verden være mndre enn 1%. >> D. Den ukjente varansen,, kan estmeres på mange måter. En klasse av forventnngsrette estmatorer er, for eksempel, gtt ved ˆ c cs1 (1 c) S, der c er en vlkårlg valgt konstant mellom og 1. For å kunne velge blant alle dsse estmatorene kan v bruke følgende regel (som du kke trenger å begrunne) fra generell statstkk: Regel II Hvs U1, U,, U n er uavhengge og dentsk normalfordelte med n 1 U ~ N(, ), og hvs S ( U U), så gjelder generelt n 1 ( n1) S E n1 og 1 ( n1) S var ( n 1) () () () Bruk regel II tl å vse at Bruk regel II tl å fnne et uttrykk for varansen tl Bestem en c slk at varansen tl ˆc er forventnngsrett uansett hvlken c som blr valgt. ˆc blr mnst mulg. ˆc uttrykt ved c og.

8 8 <<Svar: Regel II medfører generelt at ( n 1) S ( n 1) S E( S ) E E ( n 1) n 1 n 1 n 1 og ( n 1) S ( n 1) S n 1 ( n 1) ( n 1) n var( S ) var var ( n1) E ˆ E cs (1 c) S c (1 c) (): c 1 () og () : 4 4 var ˆ c var cs1 (1 c) S c var( S1 ) (1 c) var( S ) c (1 c) c (1 c) c (1 c) 1 h( c), der h( c), med dervert, h( c) c som vser at mnmum varans oppnås for c 13(. dervert er negatv). >>