Innhold og forelesningsplan Eksempler på LP Begreper Løsning av enkelt eksempel Praktisk relevans Leksjon 2: Simpleksmetoden for løsning av LP

Transkript

1 Lekso 2

2 Mål for kurset teoretisk forståelse, gruleggede optimerig løsigsmetoder LP og utvidelser algoritmisk forståelse avedelser LP og utvidelser modellerig og løsig v.h.a. verktøy Ihold og forelesigspla Eksempler på LP Begreper Løsig av ekelt eksempel Praktisk relevas Lekso 2: Simpleksmetode for løsig av LP MoD233 - Geir Hasle - Lekso 2 2

3 ! "#$ Fabrikk for produkso av glassdører og viduer Forteeste for produktee ket 3 produksosalegg Alegg : dørrammer Alegg 2: vidusrammer Alegg 3: moterig Serier på f. eks. 00 eheter Ket behov for arbeidskraft Ket tilgag på arbeidskraft Hvorda skal vi produsere for å maksimere forteeste? MoD233 - Geir Hasle - Lekso 2 3

4 ! "#$ Timeverk/serie Timeverk/serie Kapasitet dør vidu timeverk Alegg (dørramme) - 4 Alegg 2 (vidusramme) Alegg 3 (moterig) Forteeste 3 kkr 5 kkr MoD233 - Geir Hasle - Lekso 2 4

5 ! "#$ x x 2 atall serier viduer atall serier dører Beslutigsvariable maksimer 3x + 5x 2 slik at x 4 2x 2 3x x 2 2, x x 8 Målfukso Føriger MoD233 - Geir Hasle - Lekso 2 5

6 % Programmerig plaleggig Beslutigsvariable x =,, Målfukso - lieær Obektfukso, obektiv Kostadsfukso Maksimerig eller miimerig ζ = c x + + c x =c x = MoD233 - Geir Hasle - Lekso 2 6

7 & '( Føriger (lieære) Beskrakiger Likheter, ulikheter ax + + a x= b a x = b = MoD233 - Geir Hasle - Lekso 2 7

8 ) ζ = = mi c x tils var er max c ( ζ) ( ) = = a x + + a x b a x + + a x b ( ) ( ) x ax + + a x b ax + + a x + s = b, s 0 Slakkvariabel MoD233 - Geir Hasle - Lekso 2 8

9 ) a x + + a x = b ax + + a x b a x + + a x b ( ) ( ) ( ) a x + + a x b a x + + a x b x ka erstattes med x = x + x, x +, x 0 Vilkårlig hvilke former som velges Øskelig med stadardform for LP MoD233 - Geir Hasle - Lekso 2 9

10 = max ζ = c x slik at = i i a x b i =,,m x 0 =,, atall beslutigsvariable m atall føriger MoD233 - Geir Hasle - Lekso 2 0

11 ) & ( Et spesifikt forslag til verdier på (alle) beslutigsvariablee kalles e løsig e løsig kalles brukbar / tillatt dersom de tilfredsstiller alle førigee e løsig kalles optimal dersom de er brukbar og oppår det øskete maksimum av obektfuksoe Hvis problemet ikke har e brukbar løsig sies problemet å være ubrukbart eller ikosistet hvis problemet har løsiger med vilkårlig stor verdi på obektivet, sies problemet å være ubegreset MoD233 - Geir Hasle - Lekso 2

12 $ Geerell metode for å løse LP Iterativ Strategi starter med brukbar løsig fier løsig med bedre obektivverdi helt til ige forbedrig er mulig Fier ut om problemet er ubrukbart ubegreset Fier optimal løsig hvis de fies Fudametalteorem for LP Beregigsmessig kompleksitet? MoD233 - Geir Hasle - Lekso 2 2

13 * $ x x, x Verdi av variabele i iteraso k Løsigsvektor i iteraso k Iitiell løsig Iitiell obektivverdi x x x ζ ζ ζ () (2) (K) () (2) (K) Optimal løsig Optimal verdi MoD233 - Geir Hasle - Lekso 2 3

14 +, - Produksosbedrift Ka produsere produkter Bruker råvarer Statisk bilde Megde råvarer på lager Markedspris/verdi for råvarer Produktpriser {,,} {,, m} b,, bm { } ρ,, ρm { } σ,, σ { } MoD233 - Geir Hasle - Lekso 2 4

15 , ' Produkt krever råvare i Produksossef vil maksimere forteeste Forteeste for produkt : a i m c = σ a ρ, =,, i i i= MoD233 - Geir Hasle - Lekso 2 5

16 , Alterativ til produkso: selge råvaree Hva er råvaree verdt? Miimere lagerbidigskostader Sette ehetspris på hver råvare Må være høyere e markedspris Tapt forteeste ved lagerhold wi, i =,, m w ρ, i =,, m Tilsvarede pris for produktee må ikke være lavere e markedsprise m w a σ, =,, i= i= MoD233 - Geir Hasle - Lekso 2 6 m i b w i i i i i

17 , Produksossefe max m m m x 0, =,, c x + c x slik at a x + + a x b a x + + a x b Kotrollere mi m m m m m y 0, i =,, m i b y + + b y slik at a y + + a y c a y + + a y c m Tvilligproblemer, duale problemer Nær sammeheg! MoD233 - Geir Hasle - Lekso 2 7

18 . Lieærprogrammerigsproblem (LP) Beslutigsvariable Målfukso (obektiv, obektfukso kostadsfukso) Føriger (beskrakiger) Slakkvariabel Stadardform for LP Løsig, brukbar (tillatt) løsig, optimal løsig Ikosistet (ubrukbart) problem, ubegreset problem Basistabell (a.k.a. basisliste) Basisvariable (avhegige variable) Ikke-basiske variable (uavhegige variable, frie variable) Løsigsvektor (med obektivverdi) Basisløsig Ressursallokerigsproblemet MoD233 - Geir Hasle - Lekso 2 8

19 $ &/( Geerell metode for å løse LP Iterativ Strategi starter med å fie brukbar løsig fier hele tide y løsig med bedre obektivverdi helt til ige forbedrig er mulig Fier optimal løsig hvis de fies Fier ut uder marse om problemet er ikosistet (ubrukbart) ubegreset Iitiell løsig Iitiell obektivverdi x x x ζ ζ ζ (0) () (K) (0) () (K) Optimal løsig Optimal verdi MoD233 - Geir Hasle - Lekso 2 9

20 $ &( Utgagspukt: LP på stadardform max c x slik at = = a x b i =,,m i i x 0 =,, MoD233 - Geir Hasle - Lekso 2 20

21 $ &( Itroduserer slakkvariable, av på obektivet ζ = = c x i i i = w = b a x i =,,m MoD233 - Geir Hasle - Lekso 2 2

22 $ &( Nye av på slakkvariable x w, i,,m = = + i i ( x ) ( ),, x, w,, w m = x,, x, x +,, x+ m MoD233 - Geir Hasle - Lekso 2 22

23 $ &0( Omskrivig gir at vårt LP blir: max ζ = c x slik at = + i i i = x = b a x i =,, m x 0 =,, MoD233 - Geir Hasle - Lekso 2 23

24 $ &( ζ = = c x + i i i = x = b a x i =,,m Dette er de iitielle basistabell (ummer 0, etter 0-te iteraso) Simpleksmetode modifiserer basistabell i iterativt søk etter optimal løsig Flytt fra é brukbar basisløsig til e bedre brukbar basisløsig Flytter e variabel ut av basis og e i i basis MoD233 - Geir Hasle - Lekso 2 24

25 $ &2( ζ = ζ + Ν c x x = b a x, i Β i i i Ν m avhegige variable, basisvariable fri, uavhegige variable, ikke-basiske variable Ideksmegde for basisvariable etter k-te iteraso Ideksmegde for ikke-basiske variable Iitielt: B N (0) Β = + + {,, m} (0) Ν = {,, } MoD233 - Geir Hasle - Lekso 2 25

26 $ &3( Basistabell etter k-te iteraso ζ = ζ + Ν c x x = b a x, i Β i i i Ν Tilhørede brukbare basisløsig etter k-te iteraso ζ = ζ i x = b, i B i MoD233 - Geir Hasle - Lekso 2 26

27 $ &4( I hver iteraso i Simpleksmetode går øyaktig e variabel fra å være basisk til å være ikke-basisk går øyaktig e variabel fra å være ikke-basisk til å være basisk Variabel som går i i basis kalles igåede variabel Variabel som går ut av basis kalles utgåede variabel Et slikt bytte av variable kalles e pivoterig (tilsvarer iteraso) k-te basistabell (etter k-te iteraso (pivoterig)): x x ζ = ζ + Ν c x x = b a x, i Β i i i Ν MoD233 - Geir Hasle - Lekso 2 27

28 $ &5( ζ = ζ + Ν c x x = b a x, i Β i i i Ν Igåede variabel etter k-te pivoterig velges slik at obektivet øker det vil si positiv koeffisiet i obektivet x = x I Hvis slik ikke fies, må basisløsig være optimal! Hvis det er flere positive koeffisieter i obektiv, må vi velge Flere mulige valgkriterier, f. eks. største positive koeffisiet Ulike valgkriterier gir variater av Simpleksmetode { } I( k) Ν : c > 0 MoD233 - Geir Hasle - Lekso 2 28

29 $ &/( 6 7 max ζ = 5x + 4x + 3x slik at ( 0, 0, 0,5,,8,0 ) (0) 2 3 x = 5 2x 3x x x = 4x x 2x x = 8 3x 4x 2x x, x, x, x, x, x max ζ = x4 x2 + x x = x4 x2 x slik at x = + 2x + 5x x = + x + x x x, x, x, x, x, x x = x x x ,0,0,0,,, MoD233 - Geir Hasle - Lekso 2 29 x 0 x 5 x5 0 : OK! () x 0 x

30 $ &( ζ = ζ + Ν c x = b a x, i Β i i i Ν x Valg av utgåede variabel etter k-te pivoterig Ata at vi har valgt igåede variabel x = x I k Vi vil øke verdi på igåede variabel så mye som mulig x = x U Edrige vil medføre edrig i verdie på basisvariablee Brukbar basisløsig etter k-te pivoterig: ζ = ζ x = b, i B i i MoD233 - Geir Hasle - Lekso 2 30 ( )

31 $ &( Basistabell etter k-te iteraso ζ = ζ + Ν c x = b a x, i Β i i i Ν x Tilhørede basisløsig ζ = ζ x = x I i x = b, i B i Edrige i verdi på igåede variabel vil medføre edrig i verdi på basisvariablee i tilhørede basisløsig, på følgede måte: x = b a x i B i i ii I MoD233 - Geir Hasle - Lekso 2 3

32 $ &( Vi må passe på brukbarhet av basisvariablee år vi øker verdi på igåede: x = b a x i B i i ii I x = x I Ikke alle basisvariable er kritiske, ku de med positiv a ii x = b a x 0 i B : a > 0 i i ii I ii Øker verdi på igåede så mye som mulig, kritiske verdier: b x =, i B : a > 0 i I ii aii MoD233 - Geir Hasle - Lekso 2 32

33 $ &0( Vi velger utgåede variabel slik at vi er garatert brukbarhet for alle basisvariablee år verdi på igåede variabel økes til utgåedes greseverdi x = x U b i U ( k) i B : aii > 0 miimal a ii Ekvivalet formulerig a ii U ( k) i B maksimal b i Mulighet for valg blat flere kadidater Ulike valgkriterier gir variater av Simpleksmetode MoD233 - Geir Hasle - Lekso 2 33

34 $ &( 7 max ζ = 5x + 4x + 3x slik at ( 0, 0, 0,5,,8,0 ) (0) 2 3 x = 5 2x 3x x x = 4x x 2x x = 8 3x 4x 2x x, x, x, x, x, x max ζ = x4 x2 + x x = x4 x2 x slik at x = + 2x + 5x x = + x + x x x, x, x, x, x, x x (0) x I =, (0) = a ii U ( k) i B maksimal b i a b (0) 4 (0) 4 = MoD233 - Geir Hasle - Lekso a b (0) 5 (0) 5 = 4 x (0) x U a b (0) 6 (0) 6 =, (0) = 4 4 = 3 8

35 $ &2( 8 x = x I k Velg igåede variabel ( ) med positiv koeffisiet i obektfukso (f.eks. maksverdi) { } I( k) Ν : c > 0 x = x U Velg utgåede variabel som sikrer brukbarhet år igåede variabel økes mest mulig a ii U ( k) i B maksimal b i Edrige gir y basistabell, prosesse kalles pivoterig Mulighet for valg av igåede og utgåede blat flere kadidater (me slik at kravee oppfylles) Valgkriterier kalles pivoterigsregler Ulike valgkriterier gir variater av Simpleksmetode MoD233 - Geir Hasle - Lekso 2 35

36 $ &3( Noe uavklarte tilfeller Iitiell løsig, hva om e b < (0) i 0? Ved valg av utgåede variabel i pivoterig: a ii U ( k) i B maksimal b i Hva om e b = i 0? MoD233 - Geir Hasle - Lekso 2 36

37 $ &4( 7 9 ζ = N (0) c (0) x x = b a x, i Β (0) (0) (0) i i i (0) Ν Ata at det fis mist e b < (ellers har vi brukbar iitiell basisløsig og vi er i gag ) Strategi: Lag helpeproblem slik at: (0) i ekelt å fie første brukbare basisløsig optimal løsig til helpeproblem er brukbar løsig for opprielig problem 0 MoD233 - Geir Hasle - Lekso 2 37

38 $ &5( 7 9 = max ζ = c x slik at = a x b i =,,m i i x 0 =,, Ifører y variabel x0 0 Helpeproblem: max ξ = x slik at = 0 a x x b i =,,m i 0 i x 0 = 0,, Origiale problem har brukbar løsig hviss helpeproblem har (optimal) løsig med x = 0 0 MoD233 - Geir Hasle - Lekso 2 38

39 $ &/( : ; max ξ = x slik at = 0 a x x b i =,,m i 0 i x 0 = 0,, ξ = 0 x x = b + x a x + 0 = x = b + x a x 0 + m m 0 m = MoD233 - Geir Hasle - Lekso 2 39

40 $ &( : ; ξ = 0 x x = b + x a x + 0 = x = b + x a x 0 + m m 0 m = Vil pivotere med igåede (0) x x I = 0, (0) = 0 La p være slik at { } m ( ) b = mi b b < 0 p i i= p Vil la utgåede være (0) p+, (0) x = x U = p + MoD233 - Geir Hasle - Lekso 2 40

41 $ &( : ; ξ = 0 x x = b + x a x + 0 = x = b + x a x + p p 0 p = x = b + x a x 0 + m m 0 m = Dette gir brukbar basisløsig! = + + x0 bp ap x x + p = MoD233 - Geir Hasle - Lekso 2 4 x = ( b b ) + ( a a ) x, i i p p i = i = +,, m i + p ξ = bp ap x x+ p =

42 $ &( : ; ξ = bp ap x x+ p = x0 = bp + ap x + x + p = x = ( b b ) + ( a a ) x, i = +,, m i + p i i p p i = Vi har brukbar basisløsig for helpeproblemet Fortsetter pivoterig som valig mot optimal løsig Optimal løsig på helpeproblemet gir brukbar løsig på det opprielige LP Bruker dee som iitiell løsig på opprielig LP MoD233 - Geir Hasle - Lekso 2 42

43 $ &0( <7<77 Det å løse helpeproblemet (om ødvedig) og derved fie brukbar løsig (eller vise ubrukbarhet) for det opprielige problem kalles Simpleksmetode Fase I Det å fortsette Simpleksmetode med de brukbare løsig fra Fase I mot optimal løsig kalles Simpleksmetode Fase II MoD233 - Geir Hasle - Lekso 2 43

44 $ &( = Ved valg av utgåede variabel skal brukbarhet sikres år igåede variabel økes mest mulig a ii U ( k) i B maksimal b i Hva om e i b = 0? Hva om alle ii 0? a < x = b a x 0 i B : a > 0 i i ii I ii Hviss alle ii 0 a er det ige begresiger på x I Problemet er da ubegreset! MoD233 - Geir Hasle - Lekso 2 44

45 $ &2( >;;? Hva om e i b = 0? Dette er tema i Lekso 3 MoD233 - Geir Hasle - Lekso 2 45

46 Simpleksmetode geerell metode for å løse LP utgagspukt: LP på stadardform Iitiell basistabell Fase I for å skaffe iitiell, brukbar løsig Fase II: Iterativ prosess for å fie optimal løsig Pivoterig Valg av igåede variabel Valg av utgåede variabel Pivoterigsregler Ubegresede LP Spesialtilfeller gestår MoD233 - Geir Hasle - Lekso 2 46