Fakultet for teknologi, kunst og design Teknologiske fag Eksamen i: Diskret matematikk

Transkript

1 Side 1 av 9 Fakultet for tekologi, kust og desig Tekologiske fag Eksame i: Diskret matematikk Målform: Bokmål Dato: 10. desember 018 Tid: 09:00 1:00 Atall sider (ikl. forside): Atall oppgaver: 6 Tillatte hjelpemidler: Forhådsgodkjet ordbok. Hådholdt kalkulator som ikke kommuiserer trådløst og som ikke ka rege symbolsk. Merkad: Kadidate må selv kotrollere at oppgavesettet er fullstedig. Ved evetuelle uklarheter i oppgavetekste skal du redegjøre for de forutsetiger du legger til gru for løsige. Besvarelse skal merkes med kadidatummer, ikke av. Bruk blå eller sort kulepe på iførigsarket. Faglig veileder: Eva Hadler Vihovde Utarbeidet av (faglærer): Kotrollert av (e av disse): Ae lærer Sesor Istituttleder/ Studieleder Istituttleders/ Studieleders uderskrift: Emekode: DAPE 1300

2 Side av 9 Oppgave 1 a) La P og Q være to utsagfuksjoer der P(x): x skal ta eksame. Q(x): x er syk. Skriv følgede utsag ved hjelp av P(x), Q(x), kvatorer og logiske operatorer: i) Ola skal ta eksame, me ha er syk. ii) Hvis Ola er syk så skal ha ikke ta eksame. iii) Det fies oe som er friske, me som likevel ikke skal ta eksame. iv) For alle er det slik at det er tilstrekkelig å være frisk for å kue ta eksame. v) Alle skal ta eksame, bare hvis de er friske. La A, B og C være vilkårlige megder. i) Teg Ve-diagram og skraver megde: ii) Fi e megdeformel med A, B og C for det skraverte området i Ve-diagrammet: Oppgave a) La Z være megde av alle hele tall. La f være defiert som fuksjoe f: Z Z der f(x) = x 3 i) Bestem verdimegde Vf til f. ii) Avgjør om f er e-til-e på Svaree må begrues.

3 Side 3 av 9 Vi utvider å defiisjosmegde og verdiområdet til å være de reelle tallee R slik at f å er defiert som fuksjoe f: R R, der f(x) = x 3 i) Hva blir verdimegde Vf til f å? ii) Avgjør om f å er e-til-e på iii) f har e ivers fuksjo f -1 som er slik at (f -1 f)(x) = f -1 (f(x)) = x. Hvorda ka vi vite at f har e ivers fuksjo? Bestem de iverse fuksjoe f -. c) Nedefor ser du grafe GR til e relasjo R på A, der A = {a, b, c, d} i) Skriv opp relasjoe R som e megde verdipar. ii) Bestem matrise MR til R. iii) Avgjør om R er refleksiv symmetrisk atisymmetrisk trasitiv iv) Avgjør om R er e ekvivalesrelasjo, e partiell ordig eller ige av delee. Svaret må begrues. Oppgave 3 Der hvor tallee blir store ka svaree agis som et produkt av faktorer. a) 10 bar fra et idrettslag skal fraktes til e turerig i e miibuss med 10 passasjerseter. På hvor mage ulike måter ka bara plasseres i miibusse? På avreisedage er det 4 bar som melder avbud. På hvor mage måter ka de 6 resterede bara plasseres i busse?

4 Side 4 av 9 c) 4 treere skal kjøre e ege persobil med 5 seter. Det er ku to som har førerkort og disse to skal bytte på kjørige. På hvor mage måter ka treere plasseres i bile? d) Idrettslaget har totalt 30 utøvere og 6 treere. Det skal velges et styre beståede av treere og utøvere. På hvor mage måter ka styre velges forutsatt at alle utøvere og treere stiller til valg? e) På hvor mage måter ka bokstavee i ordet KARAOKEBAR stokkes om? Oppgave 4 a) I varehadele idetifiseres de ulike produktee ved hjelp av e uiversal produktkode kalt UPC (Uiversal Product Code). De valigste type UPC har 1 siffer. Det første sifferet beteger e produktkategori, de fem este idetifiserer produsete, mes de følgede fem idetifiserer det kokrete produktet. Det siste sifferet, X1, er et kotrollsiffer. Dette er bestemt på følgede måte: 3X1 + X + 3X3 + X4 + 3X5 + X6 + 3X7 + X8 + 3X9 + X10 + 3X11 + X1 0 (mod 10) i) Hva må kotrollsifferet X1 være for X1 skal være e lovlig UPC? ii) Avgjør om er e lovlig UPC. Vis hvorda du har kommet frem til svaree. Koverter følgede biære tall til i) oktalt ii) hexadesimalt iii) desimalt (Du ka gjere skrive svaret som et potesuttrykk.) Oppgave 5 Gitt differesligige a = 5a 1 6a, der a 0 = 1 og a 1 = 0. a) Bestem a, a 3 og a 4. Bestem differesligiges karakteristiske polyom, og fi røttee r 1 og r. c) De geerelle løsige er gitt ved a = αr 1 + βr. Fi α og β og bruk dem til å bestemme formele for a. d) Reg ut a 3 og a 4 ved hjelp av formele for a. Sjekk om du får samme svar som du fikk uder pukt a).

5 Side 5 av 9 Oppgave 6 a) Nedefor ser du de første tre radee i Pascals trekat: i) Føy til de este tre radee i trekate. ii) Skriv opp trekate på ytt (iklusiv de radee du har føyd til), me å med tall istedefor biomialkoeffisieter. iii) (x + y) = x + xy + y. Skriv ut (x + y) 5 på tilsvarede form. iv) Hvilke koeffisiet skal stå fora x 4 y 8 i polyomet (x + y) 1 år det er skrevet ut på tilsvarede form som polyomee i pukt iii)? Nedefor ser du bilde av urettet graf. Avgjør om det fies e lukket eller åpe Euler-vei gjeom grafe, der alle katee passeres é, og ku é gag. Skriv opp veie hvis de fies. Svaree må begrues! SLUTT

6 Side 6 av 9 Vedlegg Defiisjoer og formler Logiske operatorer: (ikke), (og), (eller), (eksklusiv eller), (implikasjo) Noe ekvivaleser fra utsagslogikk: p ( q r) ( p q) ( p r) p ( q r) ( p q) ( p r) ( p q) p q ( p q) p q p q p q p q q p xp( x) xp( x) xp( x) xp( x) Noe megdeidetiteter: A ( B C) ( A B) ( A C) A ( B C) ( A B) ( A C) A B A B A B A B Kardialitet atallet elemeter i e uio: A B A B A B A B C A B C A B A C B C A B C Fuksjoer: I fuksjoe f : A B betyr A defiisjosmegde og B verdiområde. E fuksjo f : A B er e-til-e hvis a 1, a A og a1 a, medfører at f ( a1 ) f ( a). E fuksjo f : A B er på hvis ( b B) ( a A) slik at f ( a) b. Matriser De traspoerte til e matrise A beteges med i A byttes om. Første rad i A blir første koloe i Det betyr spesielt at hvis A er e m matrise, så blir T A og er de matrise vi får år radee og koloee T A, adre rad i A blir adre koloe i T A e m matrise. T A, osv. Heltallsdivisjo (divisjosalgoritme), div og mod: La a være et heltall og d et positivt heltall. Da fies etydige heltall q og r med a dq r. Operasjoee div og mod defieres ved at 0 r d slik at a div d q og a mod d r.

7 Side 7 av 9 Største felles divisor Største felles divisor (greatest commo divisor gcd) for to hele tall som ikke begge er 0, er det største heltallet som går opp i begge tallee. Miste felles multiplum Miste felles multiplum (least commo multiple lcm) for to positive heltall er det miste positive heltallet som begge går opp i. Formel gcd(a, og lcm(a,: Hvis gcd( a, er største felles divisor for a og b og lcm ( a, er miste felles multiplum for a og b, så er ab gcd( a, lcm( a, Moduloregig: La m være et positivt heltall. To heltall a og b kalles kogruete modulo m hvis m går opp i a b og det beteges med a b (mod m). 1) a b (mod m) hvis og bare hvis a mod m = b mod m ) a b (mod m) og c d (mod m), så er a c b d (mod m) og ac bd (mod m). Tverrsum La a være et positivt heltall. Tverrsumme til a er kogruet med a modulo 9. Summe av rekker: 1 k r 1 Geometrisk rekke: ar a, r 1 r 1 k 0 Aritmetisk rekke: La a være første ledd, b siste ledd og d differese mellom to og to ledd. Atall ledd b a ( a er gitt ved 1 og summe er lik d Biomialkoeffisieter:! ( 1) ( r 1) r r!( r)! r!, 1 0, 1, 1, r r 1 1, r r r 1 Biomialteoremet: ( a k k 1 a b a a b a b k0 k ab 1 b k 0 k

8 Side 8 av 9 Atall forskjellige utvalg på r stykker fra e samlig på stykker: Ordet ute tilbakeleggig: ( 1) ( r 1) Uordet ute tilbakeleggig: r Ordet med tilbakeleggig: r Uordet med tilbakeleggig: Det geerelle «pigeohole»-prisippet: r 1 r Hvis N objekter skal plasseres i k bokser, må mist N é boks ieholde mist k objekter. Differesligiger: De geerelle lieære homogee differesligige av orde med kostate koeffisieter er på forme a c a c a 1 1 der c 1 og c er kostater. Ligiges karakteristiske polyom er gitt ved: r c r c. 1 Hvis det karakteristiske polyomet har to forskjellige reelle løsiger r 1 og r, blir geerell løsig lik a r1 r der og er vilkårlige kostater. Hvis startbetigelsee a 0 og a1 er gitt, fier e og ved å løse et ligigssystem. Hvis det karakteristiske polyomet har ku é løsig r 0, blir geerell løsig lik a r0 r0 der og er vilkårlige kostater. Hvis startbetigelsee a 0 og a1 er gitt, fier e og ved å løse et ligigssystem. Relasjoer: E relasjo R på e megde A er e delmegde av produktmegde La R være e relasjo på e megde A. A A. R er refleksiv hvis ( a, a) R for alle a A. R er symmetrisk hvis ( a, R, så er ( b, a) R. R er atisymmetrisk hvis a b og ( a, R, så er ( b, a) R. R er trasitiv hvis ( a, R og ( b, c) R, så er ( a, c) R.

9 Side 9 av 9 E partisjo E samlig delmegder A 1, A, A 3,..., A av e megde A utgjør e partisjo av A hvis A A A... A 1 3 A og A i A j Ø for alle i j. Ekvivalesrelasjoer E relasjo R på e megde A er e ekvivalesrelasjo hvis de er refleksiv, symmetrisk og trasitiv. Ekvivalesklasser Hvis R er e ekvivalesrelasjo på e megde A og a A, så er ekvivalesklasse [a] til a defiert ved [ a] { b A ( a, R}. Eller med ord: [a] er lik megde av de b A som er relatert til a. Ekvivalesklassee til e relasjo utgjør e partisjo av A. Delvis- eller partiell ordig E relasjo R på e megde A er e delvis ordig hvis de er refleksiv, atisymmetrisk og trasitiv. Hvis dette er oppfylt, sier vi at A er e delvis ordet megde (med hesy på R ). Et elemet a A er et maksimalt elemet hvis det ikke fies oe b A ( b a ) slik at ( a, R. Det betyr at det er ikke oe elemet som kommer «etter» a i ordige. Tilsvarede er et elemet a A et miimalt elemet hvis det ikke fies oe b A ( b a ) slik at ( b, a ) R. Grafteori: Grade til et pukt. La a være et pukt (eg: vertex) i e urettet graf. Grade grad (a) til a er atallet kater kyttet til puktet. Grad-kat-setige: La G være e urettet graf med edelig mage kater. Da vil summe av gradee til puktee i G være dobbelt så stor som atallet kater. Eulers setig: E sammehegede urettet graf med mist to pukter har e lukket Euler-vei (e Euler-sykel) hvis og bare hvis alle puktee i grafe har partallsgrad. E sammehegede urettet graf har e åpe (ikke-lukket) Euler-vei hvis og bare hvis øyaktig to pukter i grafe har oddetallsgrad.