Kommentarer til oppgaver;

Transkript

1 Kapittel - Algebra Versjo: Rettet feil i 0, 1 og 70 og lagt i litt om GeoGebra-bruk Kommetarer til oppgaver; 0, 05, 10, 13, 15, 5, 9, 37, 5,, 5, 59, 1, 70, 7, 78, 80,81 0 a) Trykkfeil i D-koloe første rad, skal være 3. Møster rimelig opplagt, teller oppover, skifter retig og startsted for hver lije... Koloe B: 1,7,9,15,... Legger til og aehver gag. Ka dele opp: Ulike rader (1,3,5,7...): Aritmetisk følge: 1,9,17,... Like rader (,,,...): Aritmetisk følge: 7,15,3,... Altså: b 1 1 3, Ulike b 3 1 1, Like 1000(like): b Rade starter i A og avtar mot høyre: A B C D E c) Rad 50 (like) gir: Teller ed fra A mot høyre i rad 50: 1000,999,998,997 Altså i A-koloe på rad 50. (Kotroll: 9 (ulike) gir: Teller opp fra B mot høyre i rad 9: 993,99,995,99 51 (ulike) gir: Teller opp fra B mot høyre i rad 51: 1001,100,1003,100 ) 05 a) Møster: Hvert tall er summe av tallee over (skrått opp til høyre og vestre). (Må teke oss at oppstillige er rammet i av uller.) Jeg stiller opp i e mer rektagulær tabell: Ulve av 13 oppgaver.tex

2 Kapittel - Algebra \r Møsteret blir da mer: "Hvert tall er summe av tallet over til vestre og tallet over, eller uttrykt ved radummer og koloeummer r: p, r p 1, r1 p 1, r Tallee i Pascals trekat kalles biomiske koeffisieter og oteres 1 Da ka vi skrive: r 1 r r 7 betyr egetlig og ka reges ut med 7 Cr på lommereger. 31 (MATH,PRB,3:Cr), ute brøkstrek! c) 3 dje tall fra høyre er lik 3dje tall fra vestre, altså d) Summe av e diagoal er tallet rett uder siste tall i diagoale. Eksempelvis er summe av fire trekattall, markert med grøt i figure, lik tallet uder 10, altså 0. 3 (Geerelt er summe av trekattall: 1 koloe ! !31, da det siste tallet i summe ligger i 1 rad i 11! 1!31 Legg merke til at vi her kue brukt symmetriregele; r komme fra til : r til å 1 Bevis for symmetriregel: VS 1...r1 r! HS 1...r1 r! r! r!! r!r! 1...r1 r! r!! r! r!r! Se også oppgave 13!) 10 a) L L L L Ulve av 13 oppgaver.tex

3 Kapittel - Algebra Rekursivt: L 1 3 L L c) På lommereger: 3 ENTER As*0.88 ENTER 33. ENTER ENTER 0 ): lim L 0 GeoGebra (CAS eller kommadolije): IterasjoListe[x ,3,10] gir: {3, 33., 3.88, 35.9, 3.7,..., 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0} TI lommeregere har også støtte for rekursive defiisjoer: MODE, Seq (istedefor Fuc i fjerde lije) Y u()u(-1)*0.88 u(mi)3 Da ka vi rege ut: u(1) 3 u() 33. u(50) u(100) 0 u(1000) 0 Jeg har e viss tro på at slike "uttak av bestad" problemer ka bli e gjegager til eksame i R, så la oss aalysere dette, slik at dere ka impoere sesor: L 1 L 1 L L 1 k a L 3 L 1 k a k a a ka k L 1 L a ka k L 1 k a a ka k a k 3 L 1... L a ka k a...k a k 1 L 1 1 i1 ak i1 k 1 L 1 a k1 1 k 1 L k1 1 Altså summe av e geometrisk rekke med 1 ledd, med a som første ledd og kvotiet k, pluss leddet k 1 L 1. Vi har fuet et eksplisitt uttrykk for L! Hvis k 1 vil siste ledd gå mot 0 og de geometriske rekke mot a 8 I dee oppgave blir 0 1k 10.8 a 1k Ulve av 13 oppgaver.tex

4 Kapittel - Algebra 13 Tetraedertallee Obs: Figure for 3 dje tetredertall er gal, skal være kuler midt på sidee i gruflate! a) Tegig viser at T 0 c) T i1 i eller: Tetraedertallee er summe av de første trekattallee, som vi tidligere har vist har 1 : 1, 3,, 10, 15, 1,... Vi har derfor tetraedertallee: 1,, 10, 0, 35, 5,... c) Se oppgave 05 med Pascals trekat! Ikke så ekelt å rege ut dee, da T er et tredjegradsuttrykk. Pascals trekat: Tetraedertallee går på skrå edover fra celle i tabelle med 3, r 0, så vi fier uttrykket for T ved å se systemet: T T 1 5 T 3... Altså høyere over og 1 midre uder i de biomiske koeffisiete: T ( Med symmetriregele r r T Se oppgave 05 for bevis av symmetriregel.) kue vi gjort mer direkte: Ka også bruke regresjo på lommereger: TI lommereger: Vet at det er et tredjegradsuttrykk, så vi treger pukter: 1,, 3, STOL1 1,, 10, 0STOL (Eller legge i med STAT, EDIT...) STAT, CALC, CubicReg L1, L gir: x x x 3. 7E. 1 som egetlig eksakt er: T GeoGebra (CAS eller kommadolije): RegPoly[{(1,1),(,),(3,10),(,0)},3] gir: 0.17x³0.5x² 0.333x Ulve av 13 oppgaver.tex

5 Kapittel - Algebra 15 Femkattallee Femkat-tallee: a), Vi får tabelle: : F : Differaser, d : Ved å se på differasee, 7, 10, 13,... ser vi at de er e aritmetisk følge: a a 1 d Ved å fortsette å legge til differaser får vi de første 8 femkattallee. Dette møsteret har vi egetlig allerede sett i a): F 1 5 F 1 d 1 F F d F 1 10 F 3 d 3... F F 1 d 1 Så vi får de rekursive formele: c) F 1 1 F F 1 d 1 eller F 1 1 F 1 F d F 1 1 F F F 1 3 F 1 1 F 1 F 3 1 d) Eksplisitt formel på forskjellige måter I Figurer: e), f) Figure i boke viser at F 3 Så vi geeraliserer til: F II Figurer: (Hustall-variat) g) Figure viser at F Kvadrattall " Taktall" ("Rett opp veggee" i femkattallee!) III Differaseformel: Hvis differasee er aritmetiske eller geometriske, ka vi bruke dee formele: Ulve av 13 oppgaver.tex

6 Kapittel - Algebra a a 1 1 i1 d i differaser! Ka fie a ved å starte med a 1 og legge til alle mellomliggede F F 1 1 i1 d i 1 1 d 1 d IV Regresjo på lommereger: Differasee er av første grad, så femkattallee er av adre grad, treger da 3 pukter: 1,, 3STOL1 1, 5, 1STOL (Eller legge i med STAT, EDIT...) STAT, CALC, QuadReg L1, L gir: Geogebra (CAS eller kommadolije): RegPoly[ { (1,1), (,5), (3,1) }, 3] gir: 1.5x² - 0.5x V Geerell tekikk Dee er det ikke så mage som ka så de er for spesielt iteresserte. Vi tar de år vi kommer til itegrasjo og differesialligiger. Bare gjegitt her som eksempel på e morsom tekikk: Vi har e regel som mier om derivasjo: diff, diff 3 3,... Obs: 3 er fakturell, ikke potes: 1, 3 1 Starter vi med differasee til d, altså d (adre orde differaser), har vi d 3 (kostater) Da blir differasee d 3 c (Da diff3 c 3 0 3, c er e kostat vi bestemmer seere.) Og videre blir femkattallee F 3 c d (Da diff 3 c d 3 c 0 3 c. c og d er kostater som vi bestemmer seere.) Vi bestemmer c og d med F c 1 d c d 1 F c d c d 5 3 To ligiger med to ukjete gir c 1 og d 0, så vi får: F For å illustrere bruk av lommereger år ma skal rege ut summe av rekker år ma magler Ulve av 13 oppgaver.tex

7 Kapittel - Algebra formler: te ledd i tilsvarede tallfølge: a 1 1! (Husk at! og at 0! 1 pr. defiisjo/kovesjo.) Y11/(X-1)! Bruker X som. LIST, OPS, 5:seq(Y1,X,1,50) {1, 1, 0.5, } LIST,5:sum(As) gir de første 50 leddee i følge: summerer disse 50 leddee: For å fie 100 i1 a i kue ma i prisippet brukt seq(y1,x,1,100), me det går ikke da fakultet av tall over 9 blir for store for lommeregere Vi ka derfor si at leddee etter 9 blir så små at 100 i1 a i 9 i1 a i e (Eulers tall!) Med GeoGebra CAS: a():1/(-1)! Følge[a(i),i,10] gir {1, 1, 0.5, 0.17, 0.0, 0.008, 0.001, 0, 0, 0} S():sum(a(i),i,1,) S(10) gir a) og : p 1 5 p p p osv. c) Lommereger: sum(seq(x ^,X,1,50))95 sum(seq(x^,x,1,100) (Vaskelig å fie geerell formel, me de er: p ) For spesielt iteresserte: De geerelle tekikke i oppgave 15 side 5 i dette dokumetet ka også brukes her: Vi har e regel som mier om derivasjo: diff, diff 3 3,... Obs: 3 er fakturell, ikke potes: 1, 3 1 Her er differasee kvadrattallee, så vi får: diffp 1 Vi må få på fakturell-form, så vi omformer litt: diffp Ved å bruke reglee baklegs får vi pyramidetallee: p c (c er e kostat vi bestemmer seere) Ulve av 13 oppgaver.tex

8 Kapittel - Algebra 37 Vi vet at p 1 1, så vi har e ligig for å bestemme c: c c 0 ): p Geogebra CAS: a(): ^ Følge[a(i),i,1,10] gir: {1,, 9, 1, 5, 3, 9,, 81, 100} S():Sum(a(i),i,1,) gir: S():(³3² ) / Faktoriserigskapp gir: 1 / ( 1) ( 1) Aritmetisk følge: p 1 0, d, 1 p p 1 d a) Plasser på 1 te rad: p Plasser totalt: S i1 p i p 1 p S a) a 5 5 a 1 a 5 5 a 1 a 5 I 11 a a 1 a a 1 a 11 1 II Hmm, vi har ligiger med 3 ukjet, må i tillegg bruke: a a 1 d 1 som gir: a 5 a 1 d og a 11 a 1 10d som isatt i I og II gir: a 1 d a 1 10d 1 Løsig: d og a 1 3 S a 1 a a 1 a 1 d 1 a 1 d 1 c) S i1 a 1 di 1 i1 (Me hvorfor, er da mye bedre...) 3 i 1 i1 i Ulve av 13 oppgaver.tex

9 Kapittel - Algebra 1 1 x1 xy 1... y1 Aritmetisk: a 1 1 x1 d a a 1 xy 1 1 x1 1xy x1 xyx1 a a 1 d x1xy 1 1 1y xyx1 xyy11yy1 y1 x1 xyx1 y1xyx1 y1xyx1 xyx1xyy11yy1 0 x 1 y1xyx1 Da blir også y 1 og all leddee blir 1. 1y xyx1 y1xyx1 0 x 1 (x 1 gir ull i ever) 5 a [l], k a a 1 k k Reer ut i 0 sekuder: S i1 a i a [l] k Hvis formele gjaldt videre, ville det være tomt år det har ret ut: S a k Akvariet ville i så fall ieholdt 7 liter i utgagspuktet! 7 [l] 59 År : : s : 1 5 Geometrisk: a 1 1, a 10 5 a 10 a 1 k 101 a 10 a 1 k 9 k Samlet utslipp: S 10 a 1 k 10 1 k (to) 1 a) Alt. 1: Nåverdi: 999 kr Alt. : Nåverdi: Geometrisk rekke: a 1, k S [kr] Alt 3: Nåverdi: Geometrisk rekke: a 1 99, k S [kr] (Løer seg fremdeles ikke...) c) Reger som om oppgave meer de to første alterativee i a): Ulve av 13 oppgaver.tex

10 Kapittel - Algebra 999 x x x [kr] 70 Oppgave utdyper et viktig poeg: Geometriske rekker kovergerer år: 1 k 1 eller år a 1 0 (som ka skje for visse verdier av x) a) x xx 3 xx 3... Geometrisk rekke: a 1 x, k x 3 1) x : a 1 0; S (Altså koverget.) ) k 1 x x x x x 1, 3) x 1, (Se 1) og )! ) 1) Tilsvarede a)... ) x 5 x5x x5x... x1 x1 Geometrisk rekke: a 1 x 5, k x, x 1 x1 Koverges hvis alle ledd er ull: x 5 0 x 5 Dessute år 1 k 1 1 x 1 x1 0 x 1 x xx1 xx1 0 x1 x1 x1 x1 0 x1 1 0 x,1 1, x 1 x1 x1 x 1, Kovergesområde: 5 1, (Feil i fasit...) S a 1 x5 x5 x x 5, x 5,1 1k 1 x 1 x x1 x1 S 0, x 5 c) k a a 1 3x1 x1, x 1 x 1 3 : S x 1, 1 3 : Koverges: 1 3x1 x1 1 x 0, (Tall-lijer) Kovergesområde: 0, (Tilfellet 1 3 dekkes av dette.) S a 1 1k x1 1 3x1 x1 x x1 x x1 x 7 Reger som om ma itar e tablett i starte av hvert døg og ser på totalt ivå etter itak av te tablett. (Viktig å presisere slike tig da oppgaver ofte er litt upresise her. I sies det: "...har 15 mg av det virksomme stoffet i kroppe.", som om ivået er kostat. Me ivået varierer gjeom et døg, poeget er hva maksverdie stabiliserer seg på!) a) Ulve av 13 oppgaver.tex

11 Kapittel - Algebra Får geometrisk rekke hvor summe må være uder grese (lag tabell!): k 1. 5k k k k Må altså bryte ed 15% i døget. Reger som om maksimalt, stabilt ivå er 15 mg rett etter itak av siste tablett: x : Virkestoff i e tablett gir: x x0. x x 15 x 100 mg a) Figur... Vi får: Rekursiv formel: : 1,, d : ikkeaktuelt M M 1 M 1 Hver gag vi legger til et hjøre får vi streker til foregåede hjører. To av disse blir sider i y magekat og må trekkes fra, samtidig blir e av foregåede sider e y diagoal, etto tilvekst av diagoaler blir altså: 1 1 c) M 3 Iduksjosbevis: I II M 3 Ok! Må vise at M M 1 M Ok! Iduksjosbevis ka brukes vi har gjettet at M 3. Har to metoder å fie dee formele på direkte: 3 Lommereger: Vi merker oss at differasee mellom ledd er 1 altså e aritmetisk rekke (første grads polyomuttrykk). Da blir M et adregradsuttrykk, som vi også ka fie på lommereger med:, 5, STOL1, 5, 9STOL QuadReg L1, L Hvilket gir: M Ved regig: Ulve av 13 oppgaver.tex

12 Kapittel - Algebra Geerell regel: a a 1 1 i1 d i, der d i er uttrykket for differasee til følge a. Regele sier egetlig: Vi ka starte med første ledd og legge til alle differasee opp til a, og da har vi i a! Hvis differase d i er e geometrisk eller aritmetisk følge er det derfor ekelt å fie et eksplisitt uttrykk for a! Her starter vi på så i dette tilfellet har vi e litt modifisert formel: M M 1 i d i (Utgagspukt alle mellomliggede differaser) Her har differasee formele: d 1 Summe av differaser blir: (Sum aritmetisk følge alltid atall ledd multiplisert med summe av første og siste ledd dividert på!) 1 i d i d d Så vi får: M M 1 1 i d i a) Det som står er: 1 i 3 1 i eller 1 i I II 1 : VS og HS blir 1, Ok! Atar det gjelder for, må da vise at: 1 1 i i 3 1 i (Ikke multipliser ut mer e ødvedig...) I II Ok! 1 : VS0 og HS0, Ok! Atar at det gjelder for, må da vise at: 1 i1i1 i i1i1 i1 i1 i1i (Ikke multipliser ut mer e ødvedig...) Ok! a) I 1 : VS a 1 HS a 1 Ok! Ulve av 13 oppgaver.tex

13 Kapittel - Algebra II Atar at S a 1a gjelder for, må da vise at S 1 1a 1a 1 S 1 S a 1 a 1a a 1 a 1a a 1 (Et lite triks for å utytte a 1 a 1 d...) a 1 a 1 da 1 a 1 a 1a 1 da 1 a 1 a 1 a 1 da 1 da 1 1a 11a 1 1a 1a 1 I 1 : VS a 1 HS a 1 Ok! II Må vise at: S 1 S a 1 a 1 k 1 k1 a 1 k 1 k1 a 1 k 1 1 k1 S 1 a 1 k 1 1 k1 k k a 1k k1 1 k1 Ok! a 1 a 1 k 1 k1 a 1 k 1k 1 k k1 a 1 k 11 Ok! Ulve av 13 oppgaver.tex