Formelsamling i matematikk - R2. Vektorer. Innskuddssetningen: Skalarprodukt: Lengde: Normale: Parallelle: P, Q og R på linje: Formelsamling R2

Transkript

1 Formelsamlig R Formelsamlig i matematikk - R (Uder arbeid...) Ulve.09.0 Vær sill å rapportere evetuelle feil! Her vil jeg prøve å få samlet alle formler jeg meer dere ka ha ytte av både på eksame og i fremtidige studier. Jeg vil merke formler som er i utkate av læreplae med ***. Jeg vil også hevise til oppgaver i læreverket som eksemplifiserer spesielle formler. Vektorer Iskuddssetige: Fie koordiater til pukt ved å gå fra Origo O 0, 0 lags kjete pukt og vektorer: OP OA AB...ZP x, y P x, y Skalarprodukt: u v u v cos x u x v y u y v z u z v Legde: u u u x u y u z u Normale: alt!) u v u v 0 (Ekvivales forutsetter at vi defierer: 0 står ormalt på Parallelle: uv u kv (eller u v 0 ) P, Q og R på lije: PQQR PQ kqr (eller PQQR 0) Ulve av 8 formler_r.tex

2 Formelsamlig R Projeksjoe av u på v : p u cos uv v p p e uv v v v uv v v Vikel: cos uv u v Vektorprodukt: w u v e x e y e z x u y u z u y u z v z u y v,x u z v z u x v, x u y v y u x v x v y v z v Legde av vektorproduktet: Reges eklest ut med: w u v u v Areal av trekat og parallellogram utspet av u og v Areal parallellogram u v u v u v (Trekat blir selvfølgelig halvparte av dette.) (Gjelder også i plaet selvom vektorproduktet ikke er defiert, da uttrykket uder rotteget er defiert uasett!) Avstad fra et pukt P til e lije l i plaet: Lag e ormalvektor. (Bytt x og y koordiat og bytt forteg på e av dem!) Hvis A er et pukt på lije har vi: AP AP cos Avstade vi søker: d AP cos AP cos AP Avstad fra et pukt P til e lije l i rommet: Metode over virker ikke, da det er uedelig mage ormalvektorer til e lije i rommet. Pukt A på lije og retigsvektor r : d Areal utspet av AP og r r AP r r AP r AP r (Ka også brukes i plaet da arealformele (rotteget) gjelder i plaet også selvom ikke vektorproduktet er defiert.) r Ulve av 8 formler_r.tex

3 Formelsamlig R Ligig for pla: Gitt pukt i plaet Ax a, y a, z a, ormalvektor a, b, c og Px, y, z et fritt pukt i plaet AP x x a, y y a, zz a AP må stå ormalt på for alle P: AP 0 x x a, y y a, zz a a, b, c 0 ax ax a by by a czcz a 0 ax bx cy ax a by a cz a 0 Eller ax bx cy d 0 der d ax a by a cz a Ligig for pla, gitt tre pukter A,B,C: Lag AB og AC. Fi e ormalvektor a, b, c som AB AC. Parameterfremstillig for pla som ieholder puktet P x p, y p, z p og vektoree u og v. Vektorligig: x, y, z x p, y p, z p su tv Parameterfremstillig: x x p sx u tx v y y p sy u ty v z z p sz u tz v Avstad fra pukt til pla Metode er helt aalog med projeksjosformele for avstade fra et pukt til e lije i plaet: d AP eller d axpbypczpd a b c Volum av parallellepiped utspet av u, v og w: V u v w Firkatet pyramide blir e tredjedel av dette. Trekatet pyramide blir e sjettedel av dette. A, B, C og D i samme pla: AB AC AD 0 (Utspeer et flatt parallellepiped med volum 0...) Parallelle pla: To pla oger parallelle hvis ormalvektoree er parallelle: k Vikele mellom to pla: Fier vikele v mellom ormalvektoree til plaee. 0 v 90 : v er vikele mellom plaee 90 v 80 : 80 v er vikele mellom plaee Ulve av 8 formler_r.tex

4 Formelsamlig R Vikele mellom pla og lije: Fier vikele mellom ormalvektor til pla og retigsvektor til lije. 90 : 90 er vikele mellom plaet og lije 90 : 90 er vikele mellom plaet og lije Avstade mellom to lijer l og m: Med P og Q på hver si lije, er avstade projeksjoe av PQ på e ormalvektor til lijee: d PQr lr m r l r m Viktig: Mage av avstadsformlee har tall-verditeg som i oppgaver ka gi ligiger av type: at b c Pass på ikke å miste løsiger ved å gjøre følgede omformulerig: at b c at b c at b c Kurver i rommet: Vektorligig: Vektor fra origo til et pukt på lije gjeom Ax a, y a, z a og Bx b, y b, z b OP OA tab x, y x a, y a, z a tx b x a, y b y a, z b z a Parameterfremstillig: x x a x b x a t y y a y b y a t z z a z b z a t Parameterfremstillige x xt y yt z zt og vektorfuksjoe rt xt, yt, zt represeterer det samme, koordiatee til et pukt P x, y som beveger seg lags e kurve. De deriverte av posisjosvektore r t x t, y t, z t ka brukes til flere tig: Fie hastighetsvektore vt r t, år vi har e fysisk gjestad som beveger seg og t er tide Fie baefarte vt x t y t z t Fie e tagetvektor r t til e kurve som fuksjo av t. Ulve av 8 formler_r.tex

5 Formelsamlig R Deriverer vi e gag til, får vi akselerajosvektore i et pukt på kurve: at r t x t, y t, z t Kuleflate: x x S y y S zz S R Volum av kulesegmet: V Rh Algebra Tre typer følger/rekker: Aritmetiske a a d S a a Rekursiv defiisjo: a a d Sjekk: Er differase mellom alle ledd kostat? d a a a 3 a a a 3...? Geometriske a a k k S a S a år, hvis k k k k Rekursiv defiisjo: a a k Sjekk: Er forholdet mellom to påfølgede ledd kostat? k a a a 3 a a a 3...? "Adre", eksempelvis: - Harmoisk følge: a. Tilsvarede rekke divergerer, selvom følge er koverget! Eks: Er koverget? Nei, fordi de bare er 3 6 midre e de harmoiske, og de øker over alle greser. (Sammeligigskriteriet.) - Trekattallee, som er summe av første heltallee: a i Pascals trekat. - Tetraedertallee, som er summe av første trekattall: a 6 i Pascals trekat. 3 - Kvadrattallee, som er summe av første oddetall: a i - Pyramidetallee, som er summe av de første kvadrattallee: a (Se leger ed uder lommereger eller GeoGebra.) Differaser er ofte yttige selv om følge ikke er aritmetisk, så la oss geeralisere litt: Vi ser på a : 0,, 6,, 0, 30,,... Ulve av 8 formler_r.tex

6 Formelsamlig R Differaser av differaser: a... Differaser: a d i a a Følge: a a i d i : Sum: A A i a i : (Obs: Summefølgee A litt forskjøvet i forhold til de valige rekke S i a i A A for å få kosekvest system med differaser.) Differasee er e lieær fuksjo (første grad) Differasee av differasee er e kostat fuksjo (0te grad) Grade syker med e per differase, altså må a være e adregradsfuksjo av! Vi ser også at summefølge A har a som differasefølge og derfor må være e tredjegradsfuksjo av. Dermed er også S i a i e tredjegradsfuksjo. (Kjeer vi e A ka vi fie de valige rekkesumme ut fra: A A i a i A S S A A.) Vi må altså bestemme a, b og c i a a b c eller a, b, c, d i S a 3 b c d Nok med tre pukter på fuksjosgrafe:, 0,,,3, 6 for å fie a med regresjo: Ti-8x-kalkulatorer: {,,3} STOL Liste med uavhegig variabel {0,,6} STOL Liste med avhegig variabel a STAT, CALC, 5:QuadReg L,L eller i GeoGebra: L{(,0),(,),(3,6)} a(x)regpoly[l,] Vi får: a Mer formelt har vi: A A A a Da har vi at rekke: a a a 3...a A A A 3 A...A A A A da alle ledd utatt A og A forekommer to gager med motsatt forteg og derfor kaselleres! Sagt på e ae måte: S i a i A A, hvis A oppfyller kravet A A A a (Som mier om: a b fxdx Fb Fa og F x fx!) Summerig av rekker (år vi har fuksjosuttrykk): S i a i, der a : a(i): ()/ Sum(a(i),i,,50) gir 00 i GeoGebra Sum(a(i),i,,) gir Fie eksplisitt defiisjo år vi har rekursiv defiisjo: Rekke har differaser som er kvadrattall, altså rekursiv defiisjo Ulve av 8 formler_r.tex

7 Formelsamlig R a a, a eller a a, a Differaser: d a a Formele a a i d i gir da i GeoGebra CAS: d():()^ a():sum(d(i),i,,-) gir Praktiske oppgaver: "Tabell-oppgaver": Oppgaver med akkumulerig av peger, medisi, dopigmidler, tilførsel av gift o.s.v. Noe avtar med k i hver tidsehet og e y dose d tilføres i hver tidsehet. Hvor mye akkumuleres over tid? Rekursivt: a a k d, a d Lag tabell: 3... d dk dk dk 3... dk d dk dk... dk d dk d... dk dk d Akkumulert sum (siste koloe): a d dk dk dk, geometrisk rekke med a d, k og ledd slik at: a d k k. E variat er år vi har e startverdi a istedefor d, eksempelvis e dyrebestad der det skytes e fast kvote hvert år (d egativ) og vekstfaktore i bestade er k (ut fra fødte/døde): a a, a a k d a ak ak ak 3 ak... ak d dk dk dk 3... dk d dk dk... dk 3 d dk d... dk dk d Altså e geometrisk rekke (d dk dk dk ) og et ledd ak, så vi får: a d k ak k Variat av geometrisk rekke: Ulve av 8 formler_r.tex

8 Formelsamlig R Valig geometrisk: E variat: Også her er tabell lurt: S a ak ak...ak ak ak...ak ak...ak... ak Radvis: a k k a k k a ak k k S a ak ak...ak S a ak 3ak...ak ak k k a k k a k k k k k k k k k a k k k k a Økoomiske beregiger: ak a k k k k k k Stort sett ligiger med geometriske rekker: Teg figurer/tabell som vist over og fi a, k og atall ledd,! Iduksjosbevis: Eksempel: Vise at summe av tall i følge a er S : a, S OK! til : Må vise at S hvis vi atar at S S S a OK! Trigoometri Teg sirkler år dere arbeider med sius, cosius og tages ligiger! Husk at ligiger med si x/ cosx/ ta x har to løsiger i hvert omløp, mes si x, cosx, ta x har løsiger i hvert omløp. si x: x x (Symmetrisk om x-akse) cosx: x x (eller (Symmetrisk om y-akse) ta x: x x (Symmetrisk om origo) Eksakte trigoometriske verdier v si v cosv ta v Vi må kue sius, cosius og tages for 0, 30, 5, 60 og 90 grader i hodet. (Skader ikke å kjee til 5, 8, 7 og 75 også :-) Ulve av 8 formler_r.tex

9 Formelsamlig R Absolutt vikelmål: v 80vrad vrad v 80 (v bare måltall her) Ulve av 8 formler_r.tex

10 Formelsamlig R Trigoometriske omformiger De formlee vi bør kjee til er disse: Sammeheg: Hvorfor: I: si x cos x Trekat med hypoteus,pythagoras ta x cos si x x, ta x cos x " si x cosx " cos x si x " ta x ta x " si x si x cos x cosx " tax ta x " si x ta x ta x cosx ta x II: cosu v cosucosv si u si v III: siu v si u cosv cosusi v IV: tau v ta uta v ta u ta v V: cosv cos v si v cos v si v VI: si v si v cosv ta v ta v ta v VII: cosv VIII: si v VVII: cosv cos v cos v Defiisjossirkele Trekat: Sider,ta x og ta x " I II og divisjo med cosucosv II med u v og deretter I (se.) III med u v IV med u v cos v V løst m.h.p. cosv cos v V løst m.h.p. si v cos v cosv Ka også formuleres slik: (formel for halve vikel) cos x cos x cos v VVIII: cosv si v si cos v v si v Ka også formuleres slik: (formel for halve vikel) si x cos x cos v Ulve av 8 formler_r.tex

11 Formelsamlig R Fuksjoer Derivasjo: f x lim x0 f x lim x0 fxxfx x x r rx r l x x (e x e x a x a x l a si x cosx cosx si x ta x cos x ta x Geerelle derivasjosregler: afx bgx af x bg x fax b afax b (Vha. kjereregel) uv u v uv u v u vuv v f x f u g x der u gx Periodiske fuksjoer a sicx b coscx d ka gjøres om til: a b sicx d, der ta b a eller a b coscx d, der ta a b oger i kvadrate til puktet a, b. oger i kvadrate til puktet b, a. Kostruksjo av fx A sicx L A sicx L ut fra avlesigee: T, f max, f mi og faseforskyvig( c ): Amplitude: A fmaxf mi Likevektslije: L fmaxf mi Omløpshastighete: c Les av periode:t T c Faseforskyvig: c Les av faseforskyvig: c (Hvis forskyviger vaskelig å lese av, ka ma lese av hvor fx d (krysig av likevektslije, evetuelt fx f mi eller fx 3 f max ), og rege ut: cx 0 cx evetuelt cx 3 eller cx 3.) Ulve av 8 formler_r.tex

12 Formelsamlig R Modellerig og regresjo: Fuksjostype: Lommereger (TI): GeoGebra (pre-release): fx ax b LiReg L,L RegPoly[L,] fx ax bx c QuadReg L,L RegPoly[L,] fx ax 3 bx cx d CubicReg L,L RegPoly[L,3] fx ax bx 3 cx dx e QuartReg L,L RegPoly[L,] fx a b l x LReg L,L RegLog[L] fx ae bx ExpReg L,L RegEksp[L] fx ax b PwrReg L,L RegPot[L] fx LA sicx SiReg L,L RegSi[L] fx a abe cx Logistic L,L RegLogist[L] Ulve av 8 formler_r.tex

13 Formelsamlig R Itegraler Defiisjo av ubestemt itegral: Fx fxdx F x fx Defiisjo av bestemt itegral (rektagler): b fx dx limx0 a i fx i x, der x i a i x, x ba Utregig i praksis: Fudametalteoremet i aalyse (fuksjoslære): a b fx Fb Fa der F x fx Areal uder kurve avgreset av x-akse, fx, x a og x b: A a b fx dx Uder x-akse: A a b fxdx Mellom fx og gx: A a b fx gx dx, fx gx år a x b Volum: V a b Ax dx, der Ax er formele for arealet av e sittflate i romlegemet ormalt på x-akse. Spesialtilfelle: Omdreiigslegeme: Ax fx som gir: V a b fx dx Tilærmig: A i fx i x, der x i a i x, x ba 0.5 i a fxdx, der a f og f er relativt stor ift. x. 0.5 Gjeomsittsverdi: b ba fx dx a Ubestemte itegraler: (Alle skal selvfølgelig i tillegg ha: "C"!) Ulve av 8 formler_r.tex

14 Formelsamlig R fx k x r x x e x a x l x si x cosx ta x fxdx kx xr, r r l x e x ax l a x l x x cosx si x lcosx fx fxdx a xb a l x b ta x ta x x cos x cosx dx x si x cosx dx x... si x si x Geerelle formler og metoder: afx bgx dx afxdx bgxdx fax bdx Faxb a Delvis itegrasjo: C der F u fu. u v uv uv Variabelskifte: fuu xdx fudu, der du u xdx Delbrøk: a A xbxc xb B xc (A og B fies ved å løse ligigssystem.) Familier av fuksjostyper: Polyom x, x,... Ekspoetial 5 x, e 3x,... Logaritmer logx, lx,... Trigoometri six, cosx, tax,... Hvis vi har forskjellige familier represetert i itegralet (som produkt) ligger det a til delvis itegrasjo! Eksempler: x cosxdx, x lxdx, e x sixdx,... Valg av u og v: Velg v lik e fuksjo som blir eklere etter derivasjo, eksempelvis x, x,... som blir e grad lavere hver gag eller lx, som blir x x som ofte ka forkortes bort mot e ae x. Hvis det er samme type fuksjo, eller sammesatte fuksjoer, ligger det a til variabelskifte. Eksempler: cos x sixdx, tax cos x dx,... Ulve av 8 formler_r.tex

15 Formelsamlig R Valg av u: Let etter e del av uttrykket som er de deriverte av e ae del av uttrykket: cos x sixdx : Her er six omtret de deriverte av cosx (bortsett fra forteg), altså: u cosx du du six dx dx six Setter i u og dx (ikke rør reste): u six du six u du u3 3 C cos3 x 3 C Delvis itegrasjo: Valg av u og v: Velg v lik e fuksjo som blir eklere etter derivasjo, eksempelvis x, x,... som blir e grad lavere hver gag eller lx, som har x x som derivert, og x ka ofte forkortes bort mot e ae x i x. Tre viktige eksempler: Eksempel : Polyomfuksjoer (x ) blir eklere ved derivasjo og er derfor kadidater for v: I x sixdx u six u cosx, v x v I cosxx cosxdx x cosx cosxdx x cosx six C Eksempel Logaritmefuksjoer blir eklere ved derivasjo og er derfor kadidater for v: I x 3 lxdx u x 3 u x, v l x v x I x l x x x dx x l x x3 dx x l x x C x l x x 6 C Eksempel 3: Ekspoetialfuksjoer og trigoometriske fuksjoer "gjetar seg" og vi må derfor gjøre delvis itegrasjo i "to ruder": I e x si xxdx u e x u e x, v si x v cosx ) I e x si x e x cosxdx e x si x I ) I e x cosx e x si xdx e x cosx e x si xdx e x cosx I I e x si x e x cosx I I e x si x e x cosx I ex si x ex cosx C Ulve av 8 formler_r.tex

16 Formelsamlig R Differesialligiger Eksakte DL: (6.) Differesialligiger som ka løses direkte ved itegrerig: y fx y fxdx Separable: (6.3) Differesialligiger som ka omformes til: fyy gx Itegrasjo og kjereregel gir løsig: fyy dx gxdx fydy gxdx Fy Gx C, der F y fy og G x gx Itegrerede faktor: (6.) Lieære differesialligiger på forme: y pxy qx IF e pxdx e Px, der P x px Multiplikasjosregel gir igje: y e Px ye Px px qxe Px ye Px qxe Px ye Px qxe Px dx y e Px qxe Px dx Bruk av derivasjosreglee for produkt og brøk: xy y fx xy fx xy fxdx y x fxdx xy y fx xy y x fx x y x fx x y x fx x dx (Hvis ma har y på høyre side: xy y fxy, ka også yxy fx x y fx være aktuell.) y Med heltallig går også: xy y fx x y x y fxx x y fxx y x fxx dx Ulve av 8 formler_r.tex

17 Formelsamlig R xy y fx x y x y x fx x x y x fx x x y x fx x x dx (Hvis ikke er heltall, bruk itegrerede faktor eller se Cauchy/Euler leger ed.) Adre ordes differesialligiger Stadardtilfellet med kostate koeffisieter y ay b 0 har løsige: y Ce r x De r x hvis r arb 0 har to løsiger r og r. y Cx De r x hvis r arb 0 bare har e løsig r. y e x C six Dcosx hvis r arb 0 har komplekse løsiger i. (Obs: i opptrer alltid i par (i), så hvis det er komplekse løsiger, så er begge løsigee komplekse! Vi ka ikke få e reell og e kompleks løsig!) Reduksjo av orde år y leddet magler Eksempel med tredjeordes lieær ligig: y y y 0 Når y magler ka vi skifte til u y og får e y ligig av adre orde: u u u 0 Eksempel: y y 0 u y gir: u u 0 som er førsteordes og separabel: u du dx u x D u xd Tilbake til y: y xd y xd dx l x D E l x C C Ligiger med poteser av y y 3xy x 0 er ulieær og våre metoder hittil takler ikke dette. Me, det er e aegradsligig i y, så vi har: y xy x 0 y x y x som gir oss to løsiger: y xdx x C y xdx x D Ulve av 8 formler_r.tex

18 Formelsamlig R Diverse triks med variabelskifte: Iføre yy y u, u y yy x xy y x xy u x xu u xu x IF e xdx e ue x xe x ue x xe x dx C e x u Ce x y Ce x Flere triks (Ikke i lærepla, me ka kaskje dukke opp variater av dette på eksame?) (Ka også være verdt å ta vare på hvis ma skal studere matematikk på uiversitetet, da ikke alle disse triksee er evt i stadardverkee.) ***Beroulli s ligig: y pxy qxy Multiplikasjo med y gir: y y px y qx Vi gjør et variabelskifte: u y som har u y y og får derfor: u px u qx som ka løses med itegrerede faktor. (Poeget er at vi har klart å fjere y fra høyre side i de lieære ligige!) Eksempel: y xy y 3 Multipliserer med y y 3 y 3 y xy u xu som løses med itegrerede faktor. ***Cauchy/Euler ligige: xy fxy gx Variabelskifte: x e u u l x du dx x y dy dx som gir: dy du du dx dy du x y u x Ka da gjøre om til: xy u x fxy gx eller y u fe u y ge u Har skiftet ut x med u. Ulve av 8 formler_r.tex

19 Formelsamlig R ***Homogee i x og y (Her betyr "homoge" oe aet e at differesialligige har 0 på høyre side...) y fx, y der alle ledd har samme samlede potes av x og y slik at vi ka gjøre om til y fv ved å iføre v y x etter å ha dividert alle ledd med e passede x. Da har vi: y vx og y xv v og får derfor: xv v fv fvv dv x dx Eksempel: y xy x y y x y x xv v v v, v y x, y xv v xv v vv3 v3 v dv v v v x dx v 3 v dv x dx vv3 l v l x D x y l y x l x l E (Ikke eksplisitt, me ligig for løsigskurve.) x y l Cy x y l Cy (Ka altså løse som x fy) ***Løse med hesy på y og derivere y fx, y blir da y gx, y, y som ikke ieholder y og derfor ka reduseres til e y førsteordes ligig: u gx, u, u med u y og u y Dee ka være eklere å løse e de opprielige. ***Løse med hesy på y og derivere Får da y gx, y, y, y. Hvis dette skal ha oe hesikt må x eller y falle bort i derivasjoe. Hvis y faller bort får vi u x, u, u med u y som y variabel. Hvis x faller bort får vi u y, u, u u y med u y og y du dx du dy dy dx u y u ***Skifte fra x til y som uavhegig variabel Ulve av 8 formler_r.tex

20 Formelsamlig R Eksempel: y xy dx x y x dy y x y Løsig: x Ce y y (Ligig i x og y.) ***Reduksjo av orde år vi kjeer e spesiell løsig Dee metode er også de mest kjete for å takle adreordes differesialligiger som ikke har kostate koeffisieter! y pxy qxy 0 Hvis vi kjeer e spesiell løsig y 0 (som vi ser er løsig eller skjøer er løsig ut fra et praktisk eksempel), så ka vi iføre y u y 0 og ka da skifte til variabele u : u y 0 y 0 pxy 0 u 0 som er e ligig ute u og derfor ka reduseres til e første ordes ligig: y 0 v y 0 pxy 0 v 0 der v u og y u y 0 ***Iførig av u y i ulieære adreordes ligiger Hvis vi har ledd med y y ogy ka vi skifte til variabele u y, der u y y (Ka evetuelt lage e slik ligig ved å multiplisere med y.) Eksempel: y y y 0 u u 0 Dette trikset fuker best hvis x eller y ikke forekommer, me ofte ka ma få itegraler av type y fx dx som er vaskelige å løse år ma går tilbake til y fra u... ***Autoom ligig - x magler fy, y, y 0 Ifører y u og y du dx du dy dy dx u y u Da får vi fy, u, u u y 0, som er førsteordes med y som uavhegig variabel. Ulve av 8 formler_r.tex