2.1 Polynomdivisjon. Oppgave 2.10
|
|
|
- Mia Lund
- 8 år siden
- Visninger:
Transkript
1 . Polyomdivisjo Oppgave. ( 5 + ) : = + + ( + ):( ) = + + c) ( + 5 ) : = d) = + + = ( ):( ) + + +
2 Oppgave. ( + 5+ ):( ) = + ( 5 ): = c) ( 8 66 ): ( 5) = + + 8
3 d) : = Oppgave. + + : + = : + + = + + c) ( + ) 6 : ( ) + = +
4 d) e) f) ( ):( ) = ( 5 ):( ) = + + = = ( ) ( ) : ( + ) + = ( + ) ( ) = + + +
5 Oppgave : = + 6+ P() = + + = + 8+ = 5 6+ P() = r = + ( ): P() + = + + = + = P r c) + 6 : = () () = P = + = + 8 = P = r
6 .8 Flere likiger med flere ukjete Oppgave.8 I + y+ z = II y + z = I z = y III + y + z = 5 Ii i II y+ y = y+ 6y = + 7 y = IV = 7y Ii i III + y+ y = 5 + y y = 5 V 5+ 7 y = IV i i V 5 7 y + 7 y = 5 5y + 7 y = 8y = 8 y = IV = 7 = = Iz= = 9 = =, y= og z= Oppgave.8 I+ y+ z= 6 II + y z = I = 6y z III y z = Ii i II 6 y z + y z = y 6z+ y z = y+ 7z = 9 9 y IV z = 7 Ii i III 6 yz y z = 8 6y9z y z = V 7y+ z = 8 IV i i V 9 y 7 7 y + = 8 7 7y y y =5 5 y = = 9 9+ IV z = = = = I= 6 = = 5 = 5, y= og z= = 8 7 9y+ 8 6y = 56
7 Oppgave.8 I+ y+ z= II + 5y + z = 5 I z = y III + y + 5z = 6 Ii i II + 5y+ y = 5 + 5y+ y = 5 + 5y = 5 IV y = Ii i III + y+ 5 y = 6 + y y = 6 V + y = IV i i V + = + = = IV y = = 8 = Iz= = Det må være sjokolader av type og, og av type.
8 Oppgave.8 I = 6 II + + = III = 8 6 IV = I = 6 Ii i II = = V = I i i III = VI = + + = = 8 Ii i IV = = 6 VII + + = 6 VI i i V = 5 + VIII 6 =6 + 7 = VI i i VII + + = = = IX = 7 IX i i VIII 6 =6 ( 7 ) =6 8 =6 7 = = 7 IX = = = VI = = = I = 6 = 6 + = =, =, = og =
9 Oppgave.8 Type : gram Type : gram Type : Type : gram gram Eske Eske Eske Eske I = II = III = 5 IV = 5 Type veier 5g, type veier 8g, type veier g og type veier 5g.
10 .7 Isettigsmetode Oppgave.7 I + y = II 5 + y = I y = settes i i II 5+ = 5+ 6 = I y = = + = 7 = og y = 7 = Oppgave.7 I + 5y = 7 II + y = 5 75y 75y I= settes i i II + y = 5 ( 7 5y) + y = 5 5y+ y = y = y = 75 I = = = og y = I + y = II + y = y y I= settes i i II + y = ( y) + y = 6y+ 9y = 7y = 7 y = I = = = og y =
11 c) I + y = II y = y y I= settes i i II y = ( y) y = 9y y = y = 9 y = I = = 5 = 5 og y = d) I + 5y = 5 I + 5y = 5 9 II y = II y = 9 II = 9 + y settes i i I 9 + y + 5y = y + 5y = 5 y = y = II = 9+ = 5 = 5 og y = Oppgave.7 dl skummet melk blades med ydl helmelk I+ y= II, +,9 y =,5 I= ysettes i i II, y+,9 y= 5,y+,9 y= 5,8y = y =, 7,8 I =, 7 = 6, 6,dl skummet melk blades med, 7 dl helmelk.
12 Oppgave.7 + y = y = = og y = + y = + y = = og y = c) + y = 7 = 5 =, og y = =, y = 5 d),+ y =,, + y =, = og y = =,6 5
13 .6 Rasjoale likiger Oppgave.6 + = + = Fellesever = Betigelser: og ( ) + = ( ) ( ) ( ) ( ) + ( ) = ( ) ( ) + = = = Dette strider mot betigelsee. Derfor: Likige har ige løsig. = = Fellesever = Betigelser: og ( ) = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = ( ) = = + = c) + = + = Betigelser: ( ) ( ) Fellesever = + og + = ( + ) ( ) + + ( ) ( + ) ( ) ( ) + ( + ) ( ) ( + ) ( + ) ( ) ( + ) ( ) = + + = + + = 5= 5 = Svaret strider mot betigelsee, slik at Likige har ige løsig.
14 Oppgave Fellesever = + + = + = Betigelser: og 8 + = ( + ) + + ( + ) ( + ) + ( + ) ( + ) 8 = ( ) + ± ± ± + 8= = = = = = eller = ( ) 9 9 Fellesever = = = Betigelser: og 9 = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 9 = ± ± 6 ± + 6= 9 = = = = = Ulovlig verdi eller = =
15 c) Nullpukter = og = ( + ) ( ) 8 8 Fellesever + = + = ( + ) ( ) Betigelser: og 8 + = ( + ) ( ) + + ( + ) ( ) ( + ) ( + ) ( ) ( + ) ( ) 8 + ( + ) ( ) ( ) = ( ) ( ) + 8= ± 7 7± + = + + = = = = Ulovlig verdi eller = = d) Nullpukter = og = 5 ( + ) ( 5) 5 5 Fellesever + = + = ( + ) ( 5) + 5 Betigelser: og = ( + ) ( 5) ( + ) ( 5) ( + ) ( 5) 5 + ( + ) ( 5) ( + ) = ( + ) ( 5) ( 5) ( ) ( ) = ± ± + = = = = = Ulovlig verdi eller = 5 Ulovlig verdi Ige løsig. 5 6 ± 6 =
16 Oppgave.6 + = = V. S = = = HS. = + = + = = VS. = HS. og da er = e løsig.
17 Nullpukter = og= ( ) ( + + Fellesever + = + = ( ) ( + ) + Betigelser: og ) + = + ( ) ( + ) + + ( ) ( + ) ( ) ( + ) ( ) ( + ) = ( ) ( + ) ( + ) + ( ) ( + ) ( ) + = = = er e løsig, derfor ka vi utføre polyomdivisjoe: + : = = + + = = eller + + = ± ± ± = eller = = = =, = og = De adre løsigee er = og =.
18 .5 Forkortig av rasjoale uttrykk Oppgave.5 Sjekker om tellere P = + blir lik ull for = : P = + = + = () Tellere ieholder faktore ( ) og ka derfor forkortes: + = Nullpukter = og = ( + ) ( ) ( ) = + Sjekker om tellere 6 blir lik ul P( ) = + 6 = 8 6 = Tellere ieholder faktore P = + ( + ) l for =: og ka derfor forkortes: = og = + + = + 6 Nullpukter ( ) ( ) ( + ) = c) Sjekker om tellere P = + 5 blir li P () = + 5 = + = Tellere ieholder faktore ( ) k ull for = : og ka derfor forkortes: + 5 = Nullpukter = og=7 ( ) ( + 7) ( ) = + 7 d) Sjekker om tellere 6 blir lik ull for som er ullpuktet til P () Tellere ieholder ikke faktore P = + = = + = + = ( ) Me alle ledd i både teller og ever ka deles med. Derfor: evere.,og brøke ka derfor ikke forkortes med = + ( ) = +
19 Oppgave.5 Sjekker om tellere P = + blir lik ull for = : P () ( ) ( ) Tellere er da delelig med : + + : = + + = + = + = + + = + + Sjekker om tellere P = blir lik ul ( ) ( + ) P( ) = = = Tellere er da delelig med : l for =: : + = = + + +
20 c) d) Sjekker om tellere P = 9 blir lik ull for = som er ullpukte P( ) = 9 = 8+ 8= 9 Tellere er ikke delelig med ( + ) og derfor: ka ikke forkortes. + 6 Sjekker om evere blir lik ul P = ( + ) P( ) = = + + = Nevere er da delelig med : l for =: t til evere : + = = ( + ) + ( + + ) = + + Oppgave.5 Brøke + 5+ a + ka forkortes år tellere blir lik ull for = : a = + a = a = 6 Brøke ka forkortes år a = 6.
21 Oppgave =.kvadratsetig (kojugatsetige) brukt på evere Sjekker om tellere = + blir lik ull for P( ) = + = 8+ + = P = + = + = () 8 8 ( ) P =± : ( Tellere er da delelig med + me ikke med : + + : + = ) + + = = + ( ) ( + ) + ( + ) ( ) = +
22 Nullpukter for tellere = og = + + ( + ) ( + ) = + + Sjekker om evere P blir lik ull for ( ) ( ) ( + ) = + = P( ) = + = + + =6 P( ) = + = = Nevere er delelig med. + : + = + og/eller =: + + ( + ) ( + ) = + ( ) + = + Oppgave a + 6+ a = + Nullpuktee til evere = og = For å kue forkorte bøke må tellere bli lik ull for = og/eller = : P = + + = + + = () 6 a a = P() 6 a 6 a + + = + + = a =9 a = For at brøke skal kue forkortes, må a= 9 eller a=
23 . Tredjegradslikiger Oppgave = P = P( ) = + + 6= = er e løsig av likige. + 6= + + 6= Fordi, vil 6 være delelig med : : + = P = = = + = eller 5 ± 5 6 5± = eller = = =, = og 5+ 6 = = Oppgave. P = + P ( ) er e faktor i () = + = = er e faktor i P. P() =
24 er e faktor i P() P = + Når er e faktor i,er deleli + : = P = = + +5 Ige ullpukter = c) P ( )( ) ( ) g med - : = + = = = eller ± = = eller = = 5 ± Umulig = Oppgave. = + a+ = er e løsig av likige 8. Det betyr at a + + 8= 88 a+ 8= a =8 a =
25 Likige blir: 8 + = ( ) Vi vet at = - er e løsig, derfor er polyomet delelig med + : + 8 : + = = + + = ± ± + = eller = = = eller = Oppgave = har løsigee =, = eller = + = = har løsige c) + = har løsigee =, = eller = 5
26 . Faktoriserig av polyomer Oppgave. + = ( ) ( ) Fier og som ullpuktee til uttrykket: ± ± = = + = + = ( )( ) = og = ± ± = = = = + = = c) + 6 9= ( ) ( ) ± ± ± = = = 6 6 = og = = + d) + 8+ = ( )( ) ± ± = = Ige ullpukter Ka ikke faktoriseres + + =
27 Oppgave. = ( ) = ( ) ( ) Faktoriserigsformele brukt på adregradspolyomet 6 ± ± ± = = = = = = + + = ( + ) = ( ) ( ) Faktoriserigsformele brukt på adregradspolyomet ± ± = = 6 + = + Ige ullpukter c) + = ( + ) = ( ) ( ) Faktoriserigsformele brukt på adregradspolyomet ± ± = = = = + = = d) + = ( 5+ 6) = ( ) ( ) Faktoriserigsformele brukt på adregradspolyomet 5 ± 5 6 5± 5± = = = = = + =
28 Oppgave. ( ) er e faktor i P P() = P () 6 = + + = + + 6= ( ) er e faktor i P = Når ( ) er e faktor i P, betyr det at P er delelig med ( ) : = ( ) ( ) + + 6= = 5± 5 6 5± 5± = = = = og = + + 6= ( )( + )( + ) Oppgave. P = + 6 P () = + = + 8 =
29 Når P() =, betyr det at P er delelig med ( ) + = : ( ) ( ) ± 8 8 8± = = = = + = ( ) 6 + = + + = + + = ( )( + ) Oppgave. ( + ) er e faktor i P P( ) = P( ) = + = = er e faktor i + P = +
30 Når ( + ) er e faktor i P, betyr det at P er delelig med ( + ) + : + = ( + = = + ± 5 ± = = + = Ige ullpukter )
31 . Reste ved e polyomdivisjo Oppgave. P = + og = P = + = + = () + = + ( ): + + P = + = P 5 7 og () 5 7 = + = 8+ 7= + = + 9+ ( 5 7 ): c) P = + = og P( ) = + =7 8 = : + =
32 d) = + og = P P( ) = + = + + = Divisjoe går opp! : + + = + OBS! Trekker ed to siste ledd. Oppgave. P = + og = P () = + = + = Side P() =, vil divisjo med ( ) gå opp. P = + + og = P( ) = + + =8 + = Side P( ), vil divisjo med ( + ) ìkke gå opp. c) P = + og P = + = + () 6 6 Side P() =, vil divisjo med ( ) gå opp. = = d) P = + 8 og = P( ) = + 8 = = Side P( ), vil divisjo med ( + ) ikke gå opp. Oppgave. P = + 6 og = P () = + = + Side P(), er ikke ( ) e faktor i P. =
33 P = + 6 og P () 6 8 = + = + = Side P() =,er ( ) e faktor i P. = c) P = + og P() = + = 8 = + 6 = Side P() =,er ( ) e faktor i P. d) P = + + og P () = + + = 6 Side P(),er ( ) ikke e faktor i P. = + 8+ = Oppgave. ( = ) = + og = eller P P () = + = + = P( ) = + = + 8+ = 5 ( ) er e faktor i P, mes ( + ) ikke er det. c) ( er =) = + og = ell P P () = + = + = P( ) = + =8+ 8+ = Både ( ) og ( + ) er faktorer i P. ( =) = + + og = eller P P () = + + = + + = P( ) = + + =6 + = Verke ( ) eller ( + ) er faktorer i P. d) P = + + og ( = eller = ) P = + + = + + = () P( ) = + + = = 6 ( ) er faktorer i P, mes + ikke er det.
34 Oppgave. ( + a ):( ) = + og = P a Når divisjoe skal gå opp, betyr det at P() =. Dette gir likige: + a = a = + a = For at divisjoe skal gå opp, må a =. ( + + :( + 5) P = + + a = og 5 a = = a = a = a= = For at divisjoe skal gå opp, må a =. c) ( + a + a+ ):( + ) P = + a + a+ = og + a + a + = 8+ a a+ = For at divisjoe skal gå opp, må a =. a= a = d) ( a + a + ):( + ) og P = a + a + = a + a + = a a+= = Divisjoe går ikke opp for oe verdier av a. e) ( 5+ 6 ):( P = + = a 5 6 og ( 5) ± ( 5) 6 5± a 5a+ 6 = a = = a For at divisjoe skal gå opp, må a = eller a =. = eller a =
35 . Polyomdivisjo Oppgave. ( 5 + ) : = + + ( + ):( ) = + + c) ( + 5 ) : = d) = + + = ( ):( ) + + +
36 Oppgave. ( + 5+ ):( ) = + ( 5 ): = c) ( 8 66 ): ( 5) = + + 8
37 d) : = Oppgave. + + : + = : + + = + + c) ( + ) 6 : ( ) + = +
38 d) e) f) ( ):( ) = ( 5 ):( ) = + + = = ( ) ( ) : ( + ) + = ( + ) ( ) = + + +
39 Oppgave : = + 6+ P() = + + = + 8+ = 5 6+ P() = r = + ( ): P() + = + + = + = P r c) + 6 : = () () = P = + = + 8 = P = r
40 .9 Kovergete rekker Oppgave.9 5 Gitt de uedelige rekka: Geometrisk rekke med kvotiet k = = 65 5 (( 5) ) ( 5) 5 5 s = 65 = 65 = = ( 5 ) s Rekka kovergerer og har summe. Gitt de uedelige rekka: Aritmetisk rekke med a = og d = ( ( ) ) + + ( ) s = = = s Rekka divergerer. c) Gitt de uedelige rekka:,,... Geometrisk rekke med kv otiet k =,,, s = = =,,,, s Rekka divergerer. d) Gitt de uedelige rekka: +,9 +, Geometrisk rekke med kv otiet k =,9,9,9 s = = =,9 =,9,9,,9 s Rekka kovergerer og har summe.
41 Oppgave.9 5 Gitt de uedelige rekka: Geometrisk rekke med kvotiet k = = k, Rekka kovergerer. Summe blir: s = =, 5 Gitt de uedelige rekka: +,5 +, Geometrisk rekke med kvotiet k = =,5 k, Rekka divergerer. c) 9 9 Gitt de uedelige rekka: 9 + 8, 7, Geometrisk rekke med kvotiet k = = k, Rekka kovergerer. Summe blir: s = = = d) Gitt de uedelige rekka: +,, +... Geometrisk rekke med kvotiet k = =, k, Rekka divergerer. Oppgave.9 Beløpee blir ei geometrisk rekke med a = og k =,99 a =, Det.beløpet er 895 kr. s,99 = 6 Det første året får Heidi totalt 6 kr.,99 c) k, koverget rekke s = = = Heidi får totalt kr.,99, d) Hvis måedsbeløpet hadde økt med %, ville rekka blitt diverget da k =,. Da ville Heidi fått 'uedelig' mye peger totalt.
42 Oppgave.9 Gitt de uedelige rekka: Geometrisk rekke med kvotiet k = 8 6 k, Rekka kovergerer. Summe blir: s = = = Hele kvadratet har sidekater med legde. Arealet av hele kvadratet er dermed = Vi deler så kvadratet som forklart i oppgave. Arealet av rutee med tall på er til samme Dee summe er arealet av hele kvadratet bortsett fra ruta ederst til vestre. Summe er dermed arealet av de lille ruta ederst til vestre. Nå fortsetter vi oppdelige av kvadratet. Ved å dele lege ok, ka vi få arealet av ruta ederst til vestre så ær ull vi bare vil bare ved å dele mage ok gager. Vi ka dermed få summe så ær vi vil bare ved å ta med ok ledd. Summe av de uedelige rekke er dermed. Oppgave.9 Gitt de uedelige rekka: Geometrisk rekke med kvotiet k = k, Rekka kovergerer. Summe blir: s = = =
43 De mørkeste rutee har samlet areal = La S være summe av dee rekke. Me de rutee som ligger uder de mørke rutee har samlet areal Samlet areal av disse er dermed også S. De rutee som ligger over de mørke rutee har også samlet areal Dee summe blir også S. Alle rutee til samme utgjør hele kvadratet, som har arealet. Dermed må S + S + S = S = S =
44 .7 Logistisk vekst Oppgave.7 f () = = =,5 +,5e,5 Folketallet på Fatasia er i dag millioer. f () =,5 +,5e 5, Om år vil folketallet på Fatasia være 5, millioer. c) d),5,5,5 = + e = e =,5 5,5,5, e =, +,5e 5 l,,5= l, = 8, Om 8, år vil folketallet på Fatasia være 5 millioer.,5 Oppgave.7 f () = = = Reistamme er å på dyr., e f () = 8 Om år vil reistamme være på 8 dyr., e c)
45 d),,, e e e 5 = 5 = =,,6, e = l,6,= l,6 = 5, Om 5, år vil reistamme være på 5 dyr., Oppgave.7 N f =, + ae og f N har verdie 6.,, e ae N f() =, 66 =, 66 + a=,,66 + ae a=,66, 56 c) d) 6 f () =,5, +, 56e Modelle stemmer bra år det faktiske atallet var, mill. 6 f (7) = 5,, 7 +, 56e Modelle stemmer bra år det faktiske atallet var 5, mill. 6 e) 6, 6,,6 =,6 +,56e =,,6 e =, l,5 +, 56e, 56 l,5 =, Atallet passerte,6 millioer i begyelse av februar.,
46 .8 Auitetslå Oppgave.8 Reter: 8 kr,9 = 6 kr Det første året: Avdrag: 7 kr 6 kr = 59 kr Restlå: 8 kr 59 kr = 5 kr Reter: 5 kr, 9 = 59 kr Det adre året: Avdrag: 7 kr 59 kr = 598 kr Restlå: 5 kr 598 kr = 6559 kr Det tredje året: Reter: 6559 kr,9 = 587, kr Avdrag: 6559 kr Totalt betaler Hege: 7 kr kr + 587, kr =, kr Oppgave.8 s (,6 ) (,6 ) 99 kr = kr Lået til Kut er på, mill kr.,6 Oppgave.8 T T s = = =, 57, 57 ( ) (,57 ) ((,57 ) ),57,57 T,57, 57 ( ) 68 = T =, 57 T 898, 77,57,57 Termibeløpee er 898,77 kr. Totalt betaler familie: 898,77 kr = 5 96, kr
47 Oppgave.8 5 T T s = = =, 8,8 5 ( ) (,8 ) 5 ((,8 ) ) 5,8,8 T,8 5,8 ( ) 6 = T =, 8 T 59, 9,8 5,8 Termibeløpee er 5 9, 9 kr. Totalt betaler Frida: 59, 9 kr 5 = 556, 5 kr
48 .6 Geometriske rekker Oppgave.6 Gitt e geometrisk rekke med a =, k = og = s = = = Gitt e geometrisk rekke med a =, k = og = s = = =,998 5 c) a Gitt e geometrisk rekke med a =, a = og = 5 k = = =, a s 5 5,, = 7,,, Oppgave.6 Gitt de geometrisk rekka a =, k = = og = 6 s = = = 6 9 Gitt de geometrisk rekka a = 8, k = = og = 6 8 s = 8 = 8 = 5 c) Gitt de geometrisk rekka ,8 + 7,6 a =, k = =, og = 5 s 6 5, = = 7,6,
49 d) Gitt de geometrisk rekka a = 5, k = = 5 a = 6 5 = 6 = = 8 = = 7 = s = 5 = 5 = 75 e) 9 Gitt de geometrisk rekka 5 + 5, , 5 a = 5, k =, 5 og = s, 5 = 5 65,, 5 Oppgave.6 Omsetige blir ei geometrisk rekke med a = mill kr og k =,7. Omsetige om ti år: mill kr, 7 9, mill kr, 7 Samlet omsetig i tiårsperiode: mill kr 76mill kr, 7 Oppgave.6 Utslippet blir ei geometrisk rekke med a = 6 to og k =,95. Utslipp om år: 6 to,95,9 to,95 Samlet utslipp i tyveårsperiode: 6 to 6 to,95
50 Oppgave.6 Beløp r. 5 6 kr 5 år kr år kr år kr år kr år kr år Iskuddee blir ei geometrisk rekke med a = og k =,5. 6, 5 s6 = 6 Otto ka ta ut 6 kr., 5 Oppgave.65 Iskuddee blir ei geometrisk rekke med a =5, k =, og ledd. s, = 5 67,76 Mari hadde da 67,76 kr i bake.,,, s = 5 5 = 5 =, =,, lg 5, = 5 lg, = lg5 lg, = lg 5 =, lg, Etter år vil Mari ha 5 kr i bake. Oppgave.66 Iskuddee blir ei geometrisk rekke med k =,5 og a =5,5. s, 5 =, Ole har da kr i bake., 5
51 .5 Serielå Oppgave.5 kr Årlige avdrag: 5 = kr Termibeløp.året: kr +, 8 kr = 56 kr Termibeløp.året: kr +, 8 6 kr = 58 kr Termibeløp.året: kr +, 8 kr = 9 6 kr Termibeløp.året: kr +,8 8 kr = 6 kr Termibeløp 5.året: kr +, 8 kr = kr Sum termibeløp: 56 kr + 58 kr + 96 kr + 6 kr + kr = 8 kr Frida betaler i rete de 5 åree: 8 kr kr = 8 kr Oppgave.5 Låebeløp: 55 kr = kr Termibeløp.året: 55 kr +,6 kr = 5 kr Termibeløp.året: 55 kr +,6 5 kr = 88 kr c) Restlå like før termi r. i : r = + i 55 = 55i+ 55 = 55 55i i ( i) Termirete er da gitt ved:,6 r =, = 79 5i i ti = i = 89 5i Termibeløpet for termi i blir: t = 89 5i i d) Siste termibeløp: t = 89 5 = 585 ( ) s = = 89 Til samme betalte familie 89 kr. e) Totale reteutgifter: 89 kr kr = 79 kr
52 Oppgave.5 kr Årlige avdrag: = kr Termibeløp.året: kr +, 57 kr = 8 kr Termibeløp.året: kr +, 57 6 kr = 6 kr Restlå like før termi r. i : r = + i = i+ = i i ( i) Termirete er da gitt ved:,57 r =,57 = 768 8i i t = i = 68 8i i Termibeløpet for termi i blir: t = 68 8i i c) Siste termibeløp: t = 68 8 = 8 s = = 6 Til samme betalte familie 6 kr. d) Totale reteutgifter: 6 kr kr = 6 kr
53 . Aritmetiske rekker Oppgave. Gitt a =, d = 5 og = ( 6) + a = a + ( ) d = = + 5 = 6 s = = 5 Gitt a =, d = og = ( ) + a = a + ( ) d = + 9 ( ) = 87 = s = = 695 c) Gitt a = 5, a = og = d) ( 5 7) + d = a a = 5 = 5 a = = = 7 s = Gitt a = 5, a = og = 5 = 5 d a a = = = a5 = = 5 98 = 8 s5 = ( + ( 8) ) 5 5 = 5 Oppgave. Gitt de aritmetiske rekka: a = og d = ( ) ( + 8) + = 8 + = 8 = = s = = 5 a = + = + =
54 Gitt de aritmetiske rekka: a = og d = ( ) + = 5 + = 5 ( 5) 6 + = 5 = 6 s6 = a = + = + = = 95 c) Gitt de aritmetiske rekka: a = og d = og = s + = = 55 a = + = + = Atall ledd (=) er for stort for lommeregere d) Gitt de aritmetiske rekka: a = og d = ( ) + = + = + = = s = a = + = + = ( ) = 55 Oppgave. Gitt de aritmetiske rekka: a = og d = og = 9999 Summe av de aturlige tallee som er midre e : = 9995
55 Gitt de aritmetiske rekka: a = og d = 9999 = = + = = 5 Summe av oddetallee som er midre e : = 5 c) Summe av alle partall midre e = Summe av alle aturlige tall midre e Summe av alle oddetall midre e Summe av alle partall midre e = = 995 Oppgave. Gitt de aritmetiske rekka: a = og d = a = + = + = s ( ) + = = = Oppgave. Gitt a = og d = 7 a = + 7= + 7 7= 76 ( ( 7 6) ) + s = = ( ) = ± ± ± 75 = = = 7 Det er ledd i rekka. 7 = = 9,
56 Oppgave.5 Gitt a = og d = a = + = + = ( ( 98) ) + + s = = ( + 98) = 98 ± 98 ( ) 98 ± 99 ± + = = = 6, 6, 98 6, Etter 6 uker har hu passert kroer utbetalt. Oppgave.6 Gitt a = mill kr og d = 5mill kr a = + 5 = = s a = = = = 675 Samlet omsetig i periode 8 7 blir 675 millioer kroer. Oppgave.7 s ( ( )) ( ) ( ( ) d) a + a a + a + d a + a + d a + = = = = s = a ( ) d ( ) ( ) + = a + d s = a + d
57 . Rekker Oppgave. Gitt rekka: s s s s = = 8 = = = = 58 = = 77 Oppgave. = a a = = a = = a = = 7 a = = a5 = 5 = a6 = 6 = 6 s 6 = = 5 s = 59 Oppgave. a = a = = a = = 8 a = = 8 s5 = = a = = a5 = 5 = 5
58 s 5 = 8 Oppgave. Gitt rekka: s = s = + = s = + + = s = = Tellere i s er e midre e evere og evere er lik. s = = = c) A = = A = A = A = A = A = A = s = A = s = A = s = A = = = = s
59 . Geometriske følger Oppgave. a = 5 og k = a = 5 = a = = De fem første leddee i tallfølge er 5,,,,8. a = = a5 = = 8 a = 6 og k = a = 6 = 8 a = 8 = a = = a 5 = = De fem første leddee i tallfølge er 6,8,,,. c) 5 ( ) ( ) ( ) a = 8 og k = a = 8 =5 a =5 = 6 a = 6 = a 6 = = De fem første leddee i tallfølge er 8, 5,6,,6. Oppgave. Gitt de geometriske tallfølge:,,9,7,... ai 9 7 k = = = = = 9 ai Gitt de geometriske tallfølge: 65, 5, 5, 5,... ai k = = = = = ai
60 c) Gitt de geometriske tallfølge:,,,,,... ai ai k = = = = = = Oppgave. Gitt de geometriske tallfølge:,,9,7,... k = a = = a = = = Gitt de geometriske tallfølge: 65, 5,5, 5,... k = 5 a 9 = 65 a = 65 = 65 = Gitt de geometriske tallfølge:,,,,, k = a = a = = = 5 56 Oppgave Gitt tallfølge: 9, 6,,, 8 6 a 9 8 a 6 a a 5 ai = = = = = = = = = kostat a 9 a 6 a a a i Tallfølge er geometrisk med kvotiet k =.
61 Gitt tallfølge:,9, 6,, a 9 a 6 a a5 ai = = = = = = = kostat a a 9 a 6 a a i Tallfølge er ikke geometrisk. c) Gitt tallfølge:,,,, a a a = = = = = = = = a a a a a 5 ai = = = = = kostat a i Tallfølge er geometrisk med kvotiet k =. Oppgave. % rete per år k =, 98 Saldo i : a98 =, = 658, 6 millioer % rete per år k =, Saldo i : a =,,
62 . Tallfølger Oppgave. a = 5 = 5 = a = 5 = = 8 a = 5 a = 5 = = 8 a5 = 5 5 = 5 = a = 5 = 5 = a6 = 5 6 = = 8 De seks første leddee i følge er,8,,8,,8. Oppgave. a = = a = a = = 8 = = = 5 = 5 = 6 = 7 = 7 = 98 a5 a = = 8 a6 a7 a De sju første leddee i følge er,8,8,,5,7,98. Oppgave. a = a = + = 5 ai = ai + oga = a = + = 7 a5 = 5+ = 9 a = 7+ = De fem første leddee i følge er,7,,5,9. Oppgave. a = 6 a i = ai og a = 6 a = 6 = 8 a = 8= 5 a = = a = = De fem første leddee i følge er 6,8,,,.
63 Oppgave. a = og d = 5 a a a a 5 = + 5 =7 = 7+ 5= = + 5= = + 5= 8 De fem første leddee er, 7,,,8. a = og d = a a a a 5 = + = = + = = + = 8 = 8 + = 6 De fem første leddee er,,,8,6. Oppgave.5 5,,7,,... d = 6 og a = = = 6 8,6, 7,,... d = 7 og a = 8+ 7 = = 98 7 Oppgave.6 a d a ( ) = og = = + = + = + 98 Beløpet i uke er gitt ved a = Ukepeger om to år: a = + 98 = 6 kr Oppgave.7
64 a5 = og d = a = a + d a = a d a = = 6 = 5 5 a a ( ) d a ( ) = + = + = + = 7 c) a = 5 7 = 5 = = = 8 Leddet 5 er ummer 8 i tallfølge.
65 .6 Ekspoetialregresjo Oppgave.6 f = e,9 y miutter år etter Modelle passer bra. c),9 76 % f() = e 76 5% 65 6 I vil hver ordma prate i mobiltelefo vel 7 miutter per år. Dette tilsvarer ca. 5% av tide. d) timer = 6 = 6 miutter 6,9,9 l 6 6 e = 6 e =,9= l =,9 I følge modelle vil hver ordma årlig sakke timer i telefoe i.
66 Oppgave.6 T =,56 e,56 T() = e 55 Etter miutter viser geigertellere 55. c),56,56 l e e = =, 56 = l =,7, 56 Etter,7 timer viser geigertellere. Oppgave.6 B = 59e,79,79,79 e ( e ) =,8 Vekstfaktore er,8 Befolkige økte,8% per år i dee periode.,79 56 c) B(56) = 59e 696 Modelle gir for høyt folketall side det var vel 6,5 milliarder meesker på jorda..6.,79 7 d) B(7) = 59e 89 Folketallet vil i følge modelle bli vel 8,9 milliarder i.
67 .5 Ekspoetialfuksjoer Oppgave.5 y e e e =,7 =, =,7 Oppgave.5 y f = e + Når øker over alle greser, ærmer f seg verdie. Oppgave.5,6 5 f(5) = 8 e I 9 var kosetrasjoe av CO ppm.,6 5 f(5) = 8 e 56 Modelle gir for lav kosetrasjoe av CO i.
68 c),6 5 d) f(5) = 8 e 8 I vil kosetrasjoe av CO i følge modelle bli 8 ppm. e),6,6 l 7 e e = =,6 = l =,9,6 I følge modelle vil kosetrasjoe av CO være ppm på slutte av 7. Oppgave.5, 5 B(5) = e 7 Etter 5 timer er bakterietallet ca. 7. c) Grafisk løst: Det er 5 bakterier etter 8 timer. Ved regig: l 5 e = e = t = t =, Det er 5 bakterier etter vel 8 timer.,t,t 5 5, l 5 8, 5
69 . Likiger og l Oppgave. 5e = 5 e = l e = l = l e e e e e e = = = = l e = l e l = ll = l = c) = 6 = 8 l = l8 l = l8 l l = = l l = l 8 = l d) 5 = 5 5 = 5 5 = l5 5 l l5= l = l5 = l Oppgave. ± e e + = e e + = e = ± = e = eller e = l e = l eller l e = l = l eller = e + e = 7 e + = 7 e ( e ) + = 7e ( e ) 7e e + = e 7 ± 7 7± = = e = eller e = l e = l eller l e = l = l eller = l
70 Oppgave. l 9 = l = 9 l = = e l + l l = 5 l + l l = 5 l = = e = e 5l = 5 c) l + = l l + = l + = = 7 = 6 = d) ( ) ( ) ( ) l + l + = l l + = l l + = l Umulig pga l l og l l = ( ) ( + ) = ( ) ± ± + = + = = = = eller = 6 ± = Oppgave. l 6l + 8 = l 6l + 8 = l =8 l = = e 6 ± 6 8 6± 6± ( l ) 6l + 8 = l = = = l = eller l = = e eller = e
71 . De aturlige logaritme Oppgave. Svaret ærmer seg,78888 Oppgave. l e = fordi e = e l e = fordi e = e c),5,5,5 l e =,5 fordi e = e Oppgave. l l = l l = l l 8 l = l 8 + l l + l = l + l l l = l + l l l = l
72 . Likiger og lg Oppgave. lg,5, =,5 lg, = lg,5 lg, = lg,5 =, lg, lg = 5 = lg = lg lg = lg =,8 lg : c), =, =, lg, = lg, lg, = lg, lg, =,6 lg, : d),96 = 8,96 =,8 lg,96 = lg,8 lg,96 = lg,8 lg,8 = 5, 7 lg,96 Oppgave. = lg = lg lg + lg = lg lg + lg = lg lg = = = = lg lg lg lg lg lg lg lg lg,58 5 = lg 5 = lg lg 5 + lg = lg + lg lg 5 + lg = lg + lg lg lg = lg lg 5 lg lg 5 ( lg lg ) = lg lg 5 =, 6 lg lg c),, =,, = lg, = lg,, lg, = lg, + lg, lg, = lg, + lg, lg, lg, = lg, lg, lg, = lg, lg, = 9,9 lg, lg,
73 d),75,85 =,75,85 = lg,85 = lg,,75 lg,85 = lg, + lg,75 lg,85 = lg, + lg,75 lg,85 lg,75 = lg, lg,85 lg,75 = lg, lg, =, 6 lg,85 lg,75 Oppgave. 5 A = 5,5 = 5,5 = lg,5 lg, 5 = lg,5 lg, 5 = lg,5 = 8, lg, 5 Beløpet har vokst til 5 kr etter 8, år.,5 =,5 = lg, lg,5 = lg, lg,5= lg, =, lg, 5 Beløpet har vokst til kr etter, år. c) Med % rete har Bjørs kr etter år vokst til B =,., A = B, 5 =,, 5 =,5 =,, lg,5 = lg,, lg,5 = lg, + lg, lg, 5 = lg, + lg, lg, 5 lg, = lg, ( lg, 5 lg, ) = lg, lg, = 9, lg, 5 lg, Etter 9, år har Ae og Bjør like mye peger i bake. Oppgave. 6lg+ = lg 6lg lg= lg= lg= = =
74 7lg = lg+ 8 7lg lg= 8+ 5lg= lg= = = c) lg lg = lg lg = lg = = = d) lg + lg + 8 = lg + lg =8 lg =8 lg = = = Oppgave. lg lg + = lg lg = lg = lg = = = ± ± lg lg + = lg = = lg = eller lg = = = eller = = c) lg lg lg lg = = = = ± ± 5 ± 5 = = = = eller = d) lg 6 lg lg 6 lg = + = + = + + = Umulig pga lg på høyre side ± 6 ± 5 ± 5 = = = = eller =
75 . Briggske logaritmer Oppgave. lg = fordi = 5 lg = 5 fordi = c) lg = 8 fordi = d) lg, = fordi = = =, e) 6 lg, = 6 fordi = = =, f) lg = 9 fordi = Oppgave ,8 -,6 -, -,,,,6,8 y, lg, fordi,7 lg 5,7 fordi 5
76 Oppgave., y,8,6,, -, , -,6 -,8 - -, -, -,6 lg 6,78 Oppgave. lg + lg = ( lg + lg ) + ( lg lg ) = lg + lg + lg lg = lg 8 + = ( ) + ( ) = + lg lg lg lg lg 8 lg lg lg lg lg = lg lg + lg lg = lg + lg c) lg y + lg y = lg + lg y + lg + lg y = lg + lg y+ lg + lg y = lg + lg y d) y y ( y ) ( y ) ( y ) lg + lg + lg = lg lg + lg lg + lg lg y = lg lg y+ lg y lg + lg y lg =
77 . Polyomdivisjo Oppgave. ( 5 + ) : = + + ( + ):( ) = + + c) ( + 5 ) : = d) = + + = ( ):( ) + + +
78 Oppgave. ( + 5+ ):( ) = + ( 5 ): = c) ( 8 66 ): ( 5) = + + 8
79 d) : = Oppgave. + + : + = : + + = + + c) ( + ) 6 : ( ) + = +
80 d) e) f) ( ):( ) = ( 5 ):( ) = + + = = ( ) ( ) : ( + ) + = ( + ) ( ) = + + +
81 Oppgave : = + 6+ P() = + + = + 8+ = 5 6+ P() = r = + ( ): P() + = + + = + = P r c) + 6 : = () () = P = + = + 8 = P = r
82 .8 Logistisk regresjo Oppgave.8 Casio gir her galt svar, - uvisst av hvilke gru. Teas gir det riktige svaret. 9,7 Folketallet t år etter 98 er gitt ved f( t) = +, 87,5t e,5t c) t e y 9,7 Ifølge modelle vil folketallet etter lag tid ærme seg 9,7 millioer. d) 9,7 y = 6,9 I vil folketallet ifølge modelle bli 6,9 millioer.,5 +, 87e e) 9,7,5t 9,7,5t e e,5t +,87e l,86,5 9,7 5 = 5 +, 87 = 5 =,86,87,5t = l,86 t = 8,5 I midte av 998 vil folketallet være 5 millioer. Oppgave.8 Atall fjellrever t år etter 99 er gitt ved 95 y = + 7,,6t e
83 ,6t c) t e y 95 Ifølge modelle vil atall fjellrever etter lag tid ærme seg 95. d) 95 y = 5 I vil atall fjellrever ifølge modelle være 5.,6 + 7,e e) 95,6t 95,6t e e,6t + 7,e l,5, = , = 75 =,5 7,,6t = l,5 t = 6 Atall fjellrever vil ifølge modelle være 75 i 6. Oppgave.8 Også her gir Casio helt galt svar. Rett svar er: Når Peder er år gammel er has høyde gitt ved: 8 f = +,7,65 e
84 ,65t c) t e y 8 Ifølge modelle vil Peder bli 8cm høy. d) 8 f (6) = 78 På si 6-årsdag vil Peder etter modelle være 78cm høy.,656 +,7e e) 8,65t 8,65t e e,65t +,7e l,6, = 79 +, 7 = 79 =, 6,7,65t = l,6 t = 7, Peder vil i følge modelle være 8 cm høy år ha er 7 år.
S2 kapittel 1 Rekker Løsninger til innlæringsoppgavene
Løsiger til ilærigsoppgavee kapittel Rekker Løsiger til ilærigsoppgavee a Vi ser at differase mellom hvert ledd er 4, så vi får det este leddet ved å legge til 4 Det este leddet blir altså 6 + 4 = 0 b
FØLGER, REKKER OG GJENNOMSNITT
FØLGER, REKKER OG GJENNOMSNITT Espe B. Lagelad realfagshjoret.wordpress.com espebl@hotmail.com 9.mars 06 Iledig E tallfølge er e serie med tall som kommer etter hveradre i e bestemt rekkefølge. Kvadrattallee
Kommentarer til oppgaver;
Kapittel - Algebra Versjo: 11.09.1 - Rettet feil i 0, 1 og 70 og lagt i litt om GeoGebra-bruk Kommetarer til oppgaver; 0, 05, 10, 13, 15, 5, 9, 37, 5,, 5, 59, 1, 70, 7, 78, 80,81 0 a) Trykkfeil i D-koloe
S2 kapittel 1 Rekker Løsninger til kapitteltesten i læreboka
S kapittel Rekker Løsiger til kapittelteste i læreboka A a Det femte og sjette eiffeltallet ser slik ut: b De fire første leddee er det bare å telle opp:,5,9,4 For å komme til este ledd, legger vi til,
Algebra S2, Prøve 2 løsning
Algebra S, Prøve løsig Del Tid: 90 mi Hjelpemidler: Skrivesaker Oppgave I rekkee edefor får du oppgitt a og e rekursiv formel for a. Du skal. skrive opp de fire første leddee og avgjøre om rekka er aritmetisk,
Eksamen REA3028 S2, Våren 2011
Eksame REA08 S, Våre 0 Del Tid: timer Hjelpemidler: Valige skrivesaker, passer, lijal med cetimetermål og vikelmåler er tillatt. Oppgave (8 poeg) a) Deriver fuksjoee ) f 5 f 6 5 ) g g ) h l 9 9 6 4 h l
Terminprøve R2 Høsten 2014 Løsning
Termiprøve R Høste 04 Løsig Del Tid: 3 timer Hjelpemidler: Skrivesaker Oppgave (6 poeg) E flate i rommet er gitt ved likige: x 4x y 6y z 8z 0 0 a) Vis at puktet P3, 5, ligger på flate Puktet P3, 5, ligger
1 Algebra løsninger S2
S, Algebra Algebra løsiger S Ihold. Tallfølger.... Tallrekker... 5. Uedelige geometriske rekker... 8.4 Faktoriserig... 49 Polyomdivisjo... 5.5 Likiger... 65 Tredjegradslikiger... 65 Likiger med rasjoale
1 Algebra. Innhold. Algebra S2
Algebra S Algebra Ihold Kompetasemål Algebra, S.... Tallfølger... 3 Formler som beskriver tallfølger... 5 Aritmetiske tallfølger... 9 Geometriske tallfølger... 0. Tallrekker... Aritmetiske rekker... 3
Eksamen S2, Høsten 2013
Eksame S, Høste 013 Tid: timer Hjelpemidler: Valige skrivesaker, passer, lijal med cetimetermål og vikelmåler. Oppgave 1 (4 poeg) Deriver fuksjoee 1 x a) fx b) gx 5x 1 5 c) hx x e x 3 Oppgave (5 poeg)
2 Algebra R2 Oppgaver
2 Algebra R2 Oppgaver 2 Tallfølger 2 22 Tallrekker 8 23 Uedelige geometriske rekker 5 24 Iduksjosbevis 20 25 Eksamesoppgaver 2 Øvigsoppgaver Stei Aaese og Olav Kristese/NDLA Eksamesoppgavee er hetet fra
Løsning eksamen S2 våren 2010
Løsig eksame S våre 010 Oppgave 1 a) 1) f( ) l 1 f ( ) l l l l ( l 1) ) g ( ) 3e g( ) 3e 3e 6e b) Rekke er geometrisk med Rekke kovergerer. Summe er a1 1 1 s 1 k 1 1 1 1 1 k og oppfller dermed kravet 1
2T kapittel 3 Modellering og bevis Utvalgte løsninger oppgavesamlingen
T kapittel 3 Modellerig og bevis Utvalgte løsiger oppgavesamlige 301 a Sitthøyde i 1910 blir 170,0 171, 4 170,7. I 1970 blir de 177,1 179, 4 178,3. b Med som atall år etter 1900 og y som sitthøyde i cetimeter
Eksamen R2, Høsten 2010
Eksame R, Høste 00 Del Tid: timer Hjelpemidler: Valige skrivesaker, passer, lijal med cetimetermål og vikelmåler er tillatt. Oppgave (6 poeg) a) Deriver fuksjoee ) f l f ( ) l l (l ) ) g( ) si cos f si
S2 kapittel 1 Rekker Utvalgte løsninger oppgavesamlingen
Utvlgte løsiger oppgvesmlige S kpittel Rekker Utvlgte løsiger oppgvesmlige 0 Vi k prøve med differsemetode Differsee mellom leddee utover er 4,6,8, så det er rimelig t differse mellom femte og fjerde ledd
2 Algebra. Innhold. Algebra R2
Algebra Ihold. Tallfølger... 3 Formler som beskriver tallfølger... 5 Aritmetiske tallfølger... 9 Geometriske tallfølger... 0. Tallrekker... Aritmetiske rekker... 3 Geometriske rekker... 6 Praktiske problemer
Eksempeloppgave 2014. REA3028 Matematikk S2 Eksempel på eksamen våren 2015 etter ny ordning. Ny eksamensordning. Del 1: 3 timer (uten hjelpemidler)
Eksempeloppgave 2014 REA3028 Matematikk S2 Eksempel på eksame våre 2015 etter y ordig Ny eksamesordig Del 1: 3 timer (ute hjelpemidler) Del 2: 2 timer (med hjelpemidler) Mistekrav til digitale verktøy
Mer om utvalgsundersøkelser
Mer om utvalgsudersøkelser I uderkapittel 3.6 i læreboka gir vi e kort iførig i takegage ved utvalgsudersøkelser. Vi gir her e grudigere framstillig av temaet. Populasjo og utvalg Ved e utvalgsudersøkelse
1 Algebra oppgaver S2
1 Algebra oppgaver S Ihold 11 Tallfølger 1 Tallrekker 9 13 Uedelige geometriske rekker 17 14 Faktoriserig Polyomdivisjo 3 15 Likiger 6 Tredjegradslikiger 6 Likiger med rasjoale uttrykk 7 Likigssett 8 Øvigsoppgaver
Fagdag 2-3mx 24.09.07
Fagdag 2-3mx 24.09.07 Jeg beklager at jeg ikke har fuet oe ye morsomme spill vi ka studere, til gjegjeld skal dere slippe prøve/test dee gage. Istruks: Vi arbeider som valig med 3 persoer på hver gruppe.
Differensligninger Forelesningsnotat i Diskret matematikk Differensligninger
Differesligiger Forelesigsotat i Diskret matematikk 017 Differesligiger I kapittel lærte vi om følger og rekker. Vi studerte både aritmetiske og geometriske følger og rekker. Noe følger og rekker er imidlertid
Avsnitt 8.1 i læreboka Differensligninger
Diskret Matematikk Fredag 6. ovember 015 Avsitt 8.1 i læreboka Differesligiger I kapittel lærte vi om følger og rekker. Vi studerte både aritmetiske og geometriske følger og rekker. Noe følger og rekker
Vi skal hovedsakelig ikke bestemme summen men om rekken konvergerer. det vil si om summen til rekken er et bestemt tall
Kapittel 8 Oppsummerig-Rekker Rekker er summe til edelig eller uedelig mage ledd i e tallfølge. Potesrekker ka beyttes til å uttrykke vaskelige fuksjoer om et pukt. Ma ka skreddesy potesfuksjoer ved hjelp
Eksamen REA3028 S2, Våren 2012
Eksame REA08 S, Våre 0 Del Tid: timer Hjelpemidler: Valige skrivesaker, passer, lijal med cetimetermål og vikelmåler er tillatt. Oppgave (4 poeg) a) Deriver fuksjoee ) f f ) g e 4 4 4 g e e 4 g e e g e
Eksamen REA3028 S2, Våren 2010
Eksame REA308 S, Våre 010 Del 1 Tid: timer Hjelpemidler: Valige skrivesaker, passer, lijal med cetimetermål og vikelmåler er tillatt. Oppgave 1 (6 poeg) a) Deriver fuksjoee: 1) f x x lx f x x lx x x f
ARBEIDSHEFTE I MATEMATIKK
ARBEIDSHEFTE I MATEMATIKK Temahefte r Hvorda du reger med poteser Detaljerte forklariger Av Matthias Loretze mattegriseforlag.com Opplsig: E potes er e forkortet skrivemåte for like faktorer. E potes består
Plan for fagdag 3. Plan: Litt om differanse- og summefølger. Sammenhengen a n a 1 n 1 i 1
Pla for fagdag 3 R2-18.11.10 Pla: Litt om differase- og summefølger. Sammehege a a 1 1 i 1 d i. Geometriske resoemet. Arbeidsoppgaver. Differase- og summefølger Regresjo med lommereger Differaser er ofte
Utvidet løsningsforslag Eksamen i TMA4100 Matematikk 1, 16/12 2008
Utvidet løsigsforslag Eksame i TMA4 Matematikk, 6/ 8 Oppgave i) Vi gjør substitusjoe u = si θ og får π/ [ u si θ cos θ dθ = u du = E ae løsigsmetode er π/ si θ cos θ dθ = π/ ] si θ dθ = 4 = 4 ( ( ) ( ))
Terminprøve R2 Høsten 2014
Termiprøve R Høste 04 Del Tid: 3 timer Hjelpemidler: Skrivesaker Oppgave (6 poeg) E flate i rommet er gitt ved likige: x 4x y 6y z 8z 0 0 a) Vis at puktet P3, 5, ligger på flate b) Vis at dette er e kuleflate
8 + 2 n n 4. 3n 4 7 = 8 3.
Seksjo 4. Oppgave (). Fi greseverdiee: 8 a) 4 + 4 7 b) 4 +7 5 c) + 7 4 ( ) d) 5 4 44 + 5 4 e) 5 + si() e +6 5 Løsig. Vi vil bruke samme metode som i Eksempel 4..5 fra boke i disse oppgavee. Når vi skal
MA1102 Grunnkurs i analyse II Vår 2014
Norges tekiskaturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag MA Grukurs i aalyse II Vår 4 Løsigsforslag Øvig 6..5g Ser på forholdet a + /a som er ( + )!4 + ( + ) + ( ) 4( + )! 4( + ) =!4 ( +
Matematikk for IT. Oblig 7 løsningsforslag. 16. oktober
Matematikk for IT Oblig 7 løsigsforslag. oktober 7..8 a) Vi skal dae kodeord som består av sifree,,,, 7. odeordet er gldig dersom det ieholder et like atall (partall) -ere. Dee løses på samme måte som..:
Kapittel 10 fra læreboka Grafer
Forelesigsotat i Diskret matematikk torsdag 6. oktober 017 Kapittel 10 fra læreboka Grafer (utdrag) E graf er e samlig pukter (oder) og kater mellom puktee (eg. odes, vertex, edge). E graf kalles rettet
Løsning R2-eksamen høsten 2016
Løsig R-eksame høste 016 Tid: 3 timer Hjelpemidler: Valige skrivesaker, lijal med cetimetermål og vikelmåler er tillatt. Oppgave 1 (4 poeg) Deriver fuksjoee a) ( ) 3cos f( x) 3 six 6six f x x b) gx ( )
Løsning eksamen R1 våren 2010
Løsig eksame R våre 00 Oppgave a) ) f ( ) l f ( ) ' l l l l f ( ) (l ) ) g( ) 4e g( ) 4 e ( ) 4 e ( ) g( ) 4( ) e b) ( ) 4 4 6 P ) P() 4 4 6 8 6 8 6 0 Divisjo med ( ) går opp. 4 4 6 : ( ) 8 4 4 8 6 8 6
EKSAMEN Løsningsforslag
..4 EKSAMEN Løsigsforslag Emekode: ITF75 Dato: 6. desember Eme: Matematikk for IT Eksamestid: kl 9. til kl. Hjelpemidler: To A4-ark med valgfritt ihold på begge sider. Kalkulator er ikke tillatt. Faglærer:
Ukeoppgaver i BtG207 Statistikk, uke 4 : Binomisk fordeling. 1
Ukeoppgaver i BtG20 Statistikk, uke 4 : Biomisk fordelig. 1 Høgskole i Gjøvik Avdelig for tekologi, økoomi og ledelse. Statistikk Ukeoppgaver uke 4 Biomisk fordelig. Oppgave 1 La de stokastiske variable
Eksamen REA3028 S2, Våren 2010
Eksame REA308 S, Våre 010 Del 1 Tid: timer Hjelpemidler: Valige skrivesaker, passer, lijal med cetimetermål og vikelmåler er tillatt. Oppgave 1 (6 poeg) a) Deriver fuksjoee: 1) f xx lx ) gx 3 e x b) Gitt
Eksamen REA3028 S2, Våren 2012
Eksame REA3028 S2, Våre 2012 Del 1 Tid: 2 timer Hjelpemidler: Valige skrivesaker, passer, lijal med cetimetermål og vikelmåler er tillatt. Oppgave 1 (24 poeg) a) Deriver fuksjoee 1) 3 f x x 2x 3 2) 2 2
LØSNING: Eksamen 17. des. 2015
LØSNING: Eksame 17. des. 2015 MAT100 Matematikk, 2015 Oppgave 1: økoomi a I optimum av T Rx er dt Rx 0 1 som gir d Ix Kx 0 2 dix dix dkx dkx 0 3 4 dvs. greseitekt gresekostad, q.e.d. 5 b Gresekostad ekstrakostade
Ma Analyse II Øving 5
Ma0 - Aalyse II Øvig 5 Øistei Søvik.0.0 Oppgaver 9. Determie whether the give sequece is (a) bouded (above or below), (b) positive or egative (ultimately), (c) icreasig, decreasig, or alteratig, ad (d)
TMA4100 Matematikk 1 Høst 2014
Norges tekisk aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag TMA400 Matematikk Høst 04 Løsigsforslag Øvig 3 Review Exercises, side 454 Vi starter med å tege e figur av e skål med va: z A(z)
Fasit til utvalgte oppgaver MAT1110, uka 18/5-21/5
Fasit til utvalgte oppgaver MAT0, uka 8/5-2/5 Øyvid Rya (oyvidry@i.uio.o) May 28, 200 Oppgave 2.4. Rekke er betiget koverget, side + divergerer, mes de altererede rekke kovergerer etter teste for altererede
Høgskolen i Telemark Avdeling for estetiske fag, folkekultur og lærerutdanning BOKMÅL 16. mai 2008
Høgskole i Telemark Avdelig for estetiske fag, folkekultur og lærerutdaig BOKMÅL 6. mai 008 EKSAMEN I MATEMATIKK Modul 5 studiepoeg Tid: 5 timer Oppgavesettet er på 8 sider (ikludert formelsamlig). Hjelpemidler:
Løsningsforslag til prøveeksamen i MAT1110, våren 2012
Løsigsforslag til prøveeksame i MAT, våre Oppgave : Vi har A = 3 III+I I+II 3 ( )II 3 3 Legg merke til at A er de utvidede matrise til ligigssystemet. Vi ser at søyle 3 og 4 i de reduserte trappeforme
AVDELING FOR INGENIØRUTDANNING EKSAMENSOPPGAVE
AVDELING FOR INGENIØRUTDANNING EKSAMENSOPPGAVE Eme: Diskret matematikk Gruppe(r): Emekode: FO 019A Dato: 12.12.200 Faglig veileder: Ulf Uttersrud Eksamestid: 9-14 Eksamesoppgave består av: Atall sider
Påliteligheten til en stikkprøve
Pålitelighete til e stikkprøve Om origiale... 1 Beskrivelse... 2 Oppgaver... 4 Løsigsforslag... 4 Didaktisk bakgru... 5 Om origiale "Zuverlässigkeit eier Stichprobe" på http://www.mathe-olie.at/galerie/wstat2/stichprobe/dee
LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I FAG TMA4245 STATISTIKK 6.august 2004
Norges tekisk aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag Side av 0 LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I FAG TMA4245 STATISTIKK 6.august 2004 Oppgave Midtveiseksame a) X er e stokastisk variabel
Algebra R2, Prøve 1 løsning
Algebra R, Prøve løsig Del Tid: 70 mi Hjelpemidler: Skrivesaker Oppgave E rekke er gi ved a og a Du skal ) udersøke hva slags rekke de er Vi fier de førse leddee: a a a a, 6, 3 0, 4 4 3 4 De ser u som
«Uncertainty of the Uncertainty» Del 5 av 6
«Ucertaity of the Ucertaity» Del 5 av 6 v/rue Øverlad, Traior Elsikkerhet AS Dette er femte del i artikkelserie om «Ucertaity of the Ucertaity». Jeg skal vise deg utledig av «Ucertaity of the Ucertaity»-formele:
MA1101 Grunnkurs Analyse I Høst 2017
Norges tekisk aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag MA0 Grukurs Aalyse I Høst 07 Løsigsforslag Øvig..b) Vi skriver om 7 = 4 4 7 Korollar.. gir at 7 4 er irrasjoal (side vi vet 7 4 er
LØSNINGSFORSLAG TIL ØVING NR. 4, HØST 2009
NTNU Nrges tekisk-aturviteskapelige uiversitet Fakultet fr aturviteskap g teklgi Istitutt fr materialteklgi TMT411 KJEMI LØSNINGSFORSLAG TIL ØVING NR. 4, HØST 009 OGAVE 1 a) V = 50 ml, c = 0.150 M m KMO4
Kapittel 8: Estimering
Kaittel 8: Estimerig Estimerig hadler kort sagt om hvorda å aslå verdie å arametre som,, og dersom disse er ukjete. like arametre sier oss oe om oulasjoe vi studerer (dvs om alle måliger av feomeet som
Oppgaver fra boka: X 2 X n 1
MOT30 Statistiske metoder, høste 00 Løsiger til regeøvig r 3 (s ) Oppgaver fra boka: 94 (99:7) X,, X uif N(µ, σ ) og X,, X uif N(µ, σ ) og alle variable er uavhegige Atar videre at σ = σ = σ og ukjet Kodesitervall
e n . Videre er det en alternerende følge, da annenhvert ledd er positivt og negativt. Vi ser også at n a n = lim n e n = 0. lim n n 1 n 3n 2 = lim
TMA400 Høst 206 Norges tekisk aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag Løsigsforslag Øvig 9 9..8 Vi er gitt følge { ( ) } {a }. e De første leddee i følge er a e, a 2 2 e 2, a e, a 4 4
TMA4100 Høst Løsningsforslag Øving 2. Norges teknisknaturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag
TMA400 Høst 206 Norges tekiskaturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag Løsigsforslag Øvig 2 2..0: Vi bruker eisjoe for ikke-vertikale tagetlijer sie 97 i læreboke). Tagetlije gjeom et pukt
2. Bestem nullpunktene til g.
Høgskole i Telemark Avdelig for estetiske fag, folkekultur og lærerutdaig BOKMÅL 0. desember 007 EKSAMEN I MATEMATIKK Modul 5 studiepoeg Tid: 5 timer Oppgavesettet er på 9 sider (ikludert formelsamlig).
MAKE MAKE Arkitekter AS Maridalsveien Oslo Tlf Org.nr
en omfatter 1 Perspektiv I en omfatter 2 Perspektiv II en omfatter 3 Perspektiv III en omfatter 4 Perspektiv IV en omfatter 5 Perspektiv V en omfatter 6 Perspektiv VI en omfatter 7 Perspektiv VII en omfatter
ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2010. Noen viktige sannsynlighetsmodeller. Binomisk modell. Kp. 3 Diskrete tilfeldige variable
ÅMA Saslighetsregig med statistikk, våre K. 3 Diskrete tilfeldige variable Noe viktige saslighetsmodeller Noe viktige saslighetsmodeller ( Sas.modell : å betr det klasse/te sas.fordelig.) Biomisk modell
Totalt Antall kandidater oppmeldt 1513 Antall møtt til eksamen 1421 Antall bestått 1128 Antall stryk 247 Antall avbrutt 46 % stryk og avbrutt 21%
TMA4100 Høste 2007 Norges tekisk aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag Kommetarer til eksame Dette dokumetet er e oppsummerig av erfarigee fra sesure av eksame i TMA4100 Matematikk
Rapport mai 2013 MØBEL- OG INTERIØRBRANSJENE 2012
apport mai 013 ØBE- G ITEIØBSJEE 01 1 3 IHD 01 Iledig 01 Iledig 0 øbelhadele 03 Boligtekstilbrasje 0 Servise- og kjøkkeutstyrbrasje 05 Belysigsutstyr 06 Butikkhadele med iredigsartikler 07 Spesialbutikker
x n = 1 + x + x 2 + x 3 + x x n + = 1 1 x
Potesrekker Forelest: 29. Sept, 2004 Vi lærte fra de geometriske rekkee at x = 1 + x + x 2 + x 3 + x 4 + + x + = 1 1 x så lege x < 1. For uttrykket til høyre er ikke oe aet e sum-formele for geometriske
Obligatorisk oppgave nr. 3 i Diskret matematikk
3. obligatoriske oppgave i Diskret matematikk høste 08. Obligatorisk oppgave r. 3 i Diskret matematikk Ileverigsfrist. ovember 08 Oppgave er frivillig og tregs ikke leveres, me hvis dere leverer de ie
Eksamen REA3024 Matematikk R2. Nynorsk/Bokmål
Eksame 6.05.010 REA304 Matematikk R Nyorsk/Bokmål Bokmål Eksamesiformasjo Eksamestid: Hjelpemidler på Del 1: Hjelpemidler på Del : Vedlegg: Framgagsmåte: Veiledig om vurderige: 5 timer: Del 1 skal leveres
Sinus S2 > Følger og rekker. 01 Sinus S2 kap1 teoridel.indd :31:27
8 Sius S > Følger og rekker 0 Sius S kp teoridel.idd 8 05-04-0 5:3:7 Følger og rekker MÅL for opplærige er t eleve skl kue fie møstre i tllfølger og bruke dem til å summere edelige ritmetiske og geometriske
OM TAYLOR POLYNOMER. f x K f a x K a. f ' a = lim x/ a. f ' a z
OM TAYLOR POLYNOMER I dette otatet, som utfyller avsitt 6. i Gullikses bok, skal vi se på Taylor polyomer og illustrere hvorfor disse er yttige. Det å berege Taylor polyomer for håd er i prisippet ikke
konjugert Reaksjonslikning for syre-basereaksjonen mellom vann og ammoniakk: base konjugert syre Et proton er et hydrogenatom som
Syrer og r Det fies flere defiisjoer på hva r og r er. Vi skal bruke defiisjoe til Brøsted: E Brøsted er e proto door. E Brøsted er e proto akseptor. 1s 1 Et proto er et hydrogeatom som har mistet sitt
MA1102 Grunnkurs i analyse II Vår 2019
Norges tekisk aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag MA0 Grukurs i aalyse II Vår 09 9 Vi har rekke Dette er e geometrisk rekke som beskrevet på side 50 i læreboka, med x (side ) Spesielt
Eksamen R2, Våren 2010
Eksame R, Våre 010 Del 1 Tid: timer Hjelpemidler: Valige skrivesaker, passer, lijal med cetimetermål og vikelmåler er tillatt. Oppgave 1 a) Deriver fuksjoe gitt ved f x x cos 3 x b) Bestem itegralee 1)
Econ 2130 uke 15 (HG) Poissonfordelingen og innføring i estimering
Eco 130 uke 15 (HG) Poissofordelige og iførig i estimerig 1 Poissofordelige (i) Tilærmig til biomialfordelige. Regel. ( Poissotilærmelse ) Ata Y ~ bi(, p) E( Y ) = p og var( Y ) = p(1 p). Hvis er stor
Løsning eksamen R2 våren 2010
Løsig eksame R våre 010 Oppgave 1 a) f( x) x cos3x f ( x) x cos 3x x cos 3x x cos 3x x si 3x 3x xcos 3x 3x si 3x b) 1) v v u v u 1 u x x 1 x 5 x 5 x 5xe dx 5x e 5 e dx xe e dx 5 5 1 5 5 x x x x xe e C
TMA4245 Statistikk Eksamen mai 2017
TMA445 Statistikk Eksame mai 07 Norges tekisk-aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag Løsigsskisse Oppgave a Når vi reger ut disse tre sasylighetee må ma huske på at de mulige verdiee
IN3030 Uke 12, v2019. Eric Jul PSE, Inst. for informatikk
IN3030 Uke 12, v2019 Eric Jul PSE, Ist. for iformatikk 1 Hva skal vi se på i Uke 12 Review Radix sort Oblig 4 Text Program Parallellizig 2 Oblig 4 Radix sort Parallelliser Radix-sorterig med fra 1 5 sifre
ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2010 Kp. 6, del 5
ÅMA110 Sasylighetsregig med statistikk, våre 2010 Kp. 6, del 5 Bjør H. Auestad Istitutt for matematikk og aturviteskap Uiversitetet i Stavager 12. april Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetestig del 4 1/ 59
Der oppgaveteksten ikke sier noe annet, kan du fritt velge framgangsmåte.
Eksame 20.05.2009 REA3028 Matematikk S2 Nyorsk/Bokmål Bokmål Eksamesiformasjo Eksamestid: Hjelpemidler på Del 1: Hjelpemidler på Del 2: Bruk av kilder: Vedlegg: Framgagsmåte: Veiledig om vurderige: 5 timer:
Løsningsforslag for andre obligatoriske oppgave i STK1100 Våren 2007 Av Ingunn Fride Tvete og Ørnulf Borgan
Løsigsforslag for adre obligatoriske oppgave i STK11 Våre 27 Av Igu Fride Tvete (ift@math..uio.o) og Ørulf Borga (borga@math.uio.o). NB! Feil ka forekomme. NB! Sed gjere e mail hvis du fier e feil! Oppgave
Dersom vi skriver denne reaksjonslikningen ved bruk av kjemiske tegn: side av likningen har vi ett hydrogen mens vi har to på høyre side.
Støkiometri (megdeforhold) Det er særs viktig i kjemie å vite om megdeforhold om stoffer. -E hodepie tablett er bra mot hodesmerter, ti passer dårlig. -E sukkerbit i kaffe fugerer, 100 er slitsomt. -100
Eksamen 20.05.2009. REA3024 Matematikk R2. Nynorsk/Bokmål
Eksame 20052009 REA3024 Matematikk R2 Nyorsk/Bokmål Nyorsk Eksamesiformasjo Eksamestid: Hjelpemiddel på Del 1: Hjelpemiddel på Del 2: Bruk av kjelder: Vedlegg: Framgagsmåte: Rettleiig om vurderiga: 5 timar:
Øvinger uke 46 løsninger
Øviger uke 6 løsiger Oppgave Verdie av determiate er avgjørede for atall løsiger. ed e parameter i oppgave løer det seg å bestemme determiate først og fie ut for hvilke parameterverdier determiate er ull.
Løsningsforslag R2 Eksamen 04.06.2012. Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik
Løsigsforslag R2 Eksame 6 Vår 04.06.202 Nebuchadezzar Matematikk.et Øistei Søvik Sammedrag De fleste forlagee som gir ut lærebøker til de videregåede skole, gir ut løsigsforslag til tidligere gitte eksameer.
Høgskolen i Telemark Avdeling for estetiske fag, folkekultur og lærerutdanning BOKMÅL 12. desember 2008
Høgskole i Telemark Avdelig for estetiske fag, folkekultur og lærerutdaig BOKMÅL. desember 8 EKSAMEN I MATEMATIKK, Utsatt røve Modul 5 studieoeg Tid: 5 timer Ogavesettet er å sider (ikludert formelsamlig).
E K S A M E N : FAG: Matematikk 1 MA-154 LÆRER: MORTEN BREKKE. Klasse(r): Alle Dato: 1. des 11 Eksamenstid, fra-til: 0900-1400
UNIVERSITETET I AGDER Grimstad E K S A M E N : FAG: Matematikk MA-54 LÆRER: MORTEN BREKKE Klasse(r): Alle Dato:. des Eksamestid, fra-til: 0900-400 Eksamesoppgave består av følgede iklusive forside Atall
OPPGAVE 4 LØSNINGSFORSLAG OPPGAVE 5 LØSNINGSFORSLAG UTVIKLING AV REKURSIV FORMEL FOR FIGURTALL SOM GIR ANDREGRADSFUNKSJONER
OPPGAVE 4 LØSNINGSFORSLAG Tallfølge i f) rektageltallee. Her er de eksplisitte formele R = ( +1) eller R = +. Dette er e adregradsfuksjo. I figurtallsammeheg forutsetter vi at de legste side er (øyaktig)
Institutt for økonomi og administrasjon
Fakultet for samfusfag Istitutt for økoomi og admiistraso Ivesterig og fiasierig Bokmål Dato: Madag. desember 3 Tid: 4 timer / kl. 9-3 Atall sider (ikl. forside): 5 + sider vedlegg Atall oppgaver: 4 Tillatte
f(x) = x 2 x 2 f 0 (x) = 2x + 2x 3 x g(x) f(x) = f 0 (x) = g(x) xg0 (x) g(x) 2 f(x; y) = (xy + 1) 2 f 0 x = 2(xy + 1)y f 0 y = 2(xy + 1)x
Ogave a) f() = f 0 () = + 3 ) f() = g() f 0 () = g() g0 () g() c) f(; y) = (y + ) f 0 = (y + )y f 0 y = (y + ) d) f(; y) = ( y + ) ( y ) f 0 = ( y + ) r y ( y ) + ( y + ) ( y ) r y = ( y + )( r y y ) ((
Prøveeksamen i Fysikk/kjemi Løsning Prøve 7
Program for Elektro og Datatekikk/ AFT Prøveeksame i Fysikk/kjemi Løsig Prøve 7 Oppgave 1 a) Det skal settes av på fem forbidelser. i) N2O4 : Diitrogetetraoksid (Forbidelse mellom to ikke-metaller) ii)
Kapittel 9: Mer kombinatorikk
MAT00 Disret Matemati Forelesig : Mer ombiatori Roger Atose Istitutt for iformati, Uiversitetet i Oslo Kapittel 9: Mer ombiatori 5. april 009 (Sist oppdatert: 009-04-5 00:06) MAT00 Disret Matemati 5. april
Kap. 9: Inferens om én populasjon. Egenskaper ved t-fordelingen. ST0202 Statistikk for samfunnsvitere. I Kapittel 8 brukte vi observatoren
2 Kap. 9: Iferes om é populasjo I Kapittel 8 brukte vi observatore z = x μ σ/ for å trekke koklusjoer om μ. Dette krever kjet σ (urealistisk). ST0202 Statistikk for samfusvitere Bo Lidqvist Istitutt for
s = k k=1 dx x A n = n = lim = lim 2 arctan ( x = π arctan ( n (2k 1)!, s n = k=1
TMA400 Høst 06 Norges tekisk aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag Løsigsforslag Øvig 0 9.3.30 Me vil fia det miste itervallet som me ka vera sikker på at summe s k k + 4 ligg i. Om
Eksamen REA3028 Matematikk S2. Nynorsk/Bokmål
Eksame 9.11.013 REA308 Matematikk S Nyorsk/Bokmål Nyorsk Eksamesiformasjo Eksamestid: Hjelpemiddel på Del 1: Hjelpemiddel på Del : 5 timar: Del 1 skal leverast i etter timar. Del skal leverast i seiast
MA 1410: Analyse Uke 48, aasvaldl/ma1410 H01. Høgskolen i Agder Avdeling for realfag Institutt for matematiske fag
MA 40: Aalyse Uke 48, 00 http://home.hia.o/ aasvaldl/ma40 H0 Høgskole i Agder Avdelig for realfag Istitutt for matematiske fag Oppgave 8.7:. Vi har f(x) = cosh(x) = ex +e x. f(0) =. Derivasjo gir f (x)
Eksamen INF3350/INF4350 H2006 Løsningsforslag
Eksame INF3350/INF4350 H2006 Løsigsforslag Oppgave. Score (eller bit score) S' er e statistisk idikator på hvor sigifikat e match er. Høyere bit score svarer til høyere sigifikas. Idikatore er uavhegig
LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I FAG TMA4240 STATISTIKK 5.august 2004
Norges tekisk aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag Side av 0 LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I FAG TMA4240 STATISTIKK 5.august 2004 Oppgave Foruresig X er e stokastisk variabel som agir
MA1102 Grunnkurs i analyse II Vår 2014
Norges tekiskaturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag MA Grukurs i aalyse II Vår 4 Løsigsforslag Øvig..4 f ) Skriver om, og får Reger ut ved L'Hopitals regel at cos/) cos/)) = /. cos/)
Tallsystemer. Læringsmål. Posisjonstallsystemer. Potensregning en kort repetisjon 123 = = 7B 16. Forstå posisjonstallsystemer
Forstå posisjostallsystemer Lærigsmål Tallsystemer Kue biærtall og heksadesimale tall Kue kovertere mellom ulike tallsystemer: Ti 3 = = 7B 6 (Kapittel 6 + 7.-7.3) Kue ekel regig med biærtall addisjo multiplikasjo
Kulas posisjon etter 0, 1, 2, 3 og 4 sekund
Total rullelegde i løpet av ett sekud: L Total rullelegde i løpet av to sekud: 4 L Total rullelegde i løpet av tre sekud: 9 L Total rullelegde i løpet av fire sekud: 6 L SYSTEM HER? Kulas posisjo etter
ECON240 Statistikk og økonometri
ECON240 Statistikk og økoometri Arild Aakvik, Istitutt for økoomi 1 Mellomregig MKM Model: Y i = a i + bx i + e i MKM-estimator for b: b = = Xi Y i 1 Xi Yi Xi 1 ( X i ) 2 (Xi X)(Y i Ȳi) (Xi X) 2 hvor vi
H 1 : µ 1 µ 2 > 0. t = ( x 1 x 2 ) (µ 1 µ 2 ) s p. s 2 p = s2 1 (n 1 1) + s 2 2 (n 2 1) n 1 + n 2 2
TMA4245 Statistikk Norges tekisk-aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag Øvig ummer b4 Løsigsskisse Oppgave 1 Vi øsker å fie ut om et ytt serum ka stase leukemi. 5 mus får serumet, 4
STK1100: Kombinatorikk
1100: ombiatorikk auar 2009 Ørulf orga Matematisk istitutt Uiversitetet i Oslo 1 Uiform sasylighetsmodell: t stokastisk forsøk har N utfall Det er de mulige utfallee for forsøket i atar at de N utfallee