Matematikk for IT. Oblig 7 løsningsforslag. 16. oktober

Transkript

1 Matematikk for IT Oblig 7 løsigsforslag. oktober 7..8 a) Vi skal dae kodeord som består av sifree,,,, 7. odeordet er gldig dersom det ieholder et like atall (partall) -ere. Dee løses på samme måte som..: Vi ka lage et kodeord på siffer fra et kodeord på siffer på to måter:. Ved å sette til et siffer forskjellig fra til et gldig kodeord. Da vil det e kodeordet også være gldig. Setter vi derimot til til et gldig kodeord, får vi et odde atall -ere i det e kodeordet, og det er da ikke leger gldig. Atall kodeord som ka daes på dee måte, er 7 - fordi det er - gldige kodeord av legde, og vi ka dae 7 e av hvert av disse ved å sette til ett av sifree,,,, 5,,7 (sju ulike siffer).. Ved å sette til e -er til et ugldig kodeord av legde. Det kodeordet vi da får, vil ha et like atall -ere. Det fies i alt 8 - kodeord av legde. Av disse er - gldige kodeord. Atall ugldige kodeord av legde, er derfor Ved å sette til e -er til disse, ka vi lage e kodeord (8 - -) Totalt atall kodeord av legde, er summe av det vi får fra og, altså = 7- + (8 - -) = følgede differesligig 8 b) Startbetigelse: Et kodeord av legde vil kue være et av følgede siffer:,,,, 5,, 7. Derfor er 7.

2 .. b) Dee gir følgede karakteristiske ligig: Dvs: Løsige blir derfor A () 5 d) arakteristisk ligig: 5 følgede løsiger ( 5) ( 5) og Løsige blir derfor A B 8 f) og Løsige blir derfor A ) B ( ) (

3 .. b) x arakteristisk ligig: De karakteristiske ligige har følgede løsig: ( ) ( ) Dette gir følgede geerelle løsig på differesligige: A B Side uasett hva er, gir dette A B.. d) x arakteristisk ligig: : dvs. ( ) i Vi gjør om til ekspoetialform. Vi vet at det komplekse tallet ku har imagiærdel ige realdel. Vektore som represeterer det komplekse tallet peker derfor lags de imagiære akse. Av dette ser vi at vikele (altså 9 ), og vi ser også direkte at legde på vektore er r =. Dette gir følgede geerelle løsig på differesligige: ( Acos Bsi )

4 .. f) x arakteristisk ligig: Som vi ser er de karakteristiske ligige e tredjegradsligig. Dee løses ofte eklest ved først å gjette på e av løsigee. Det er lurt å prøve med, og først. Vi ser at er e løsig. Vi ka da gjeomføre e polomdivisjo for å fie hva som er igje av tredjegradsligige etter at vi har trukket ut faktore. Dette gjøres på følgede måte: ( ) : ( ) ( ) ( ( ) Det vi har fuet iebærer at ). Det betr at vi har følgede løsiger av de karaktereristiske ligige: Dette gir følgede geerelle løsig på differesligige: A B ( ) C Me side for alle, ka vi skrive dee som A B ( ) C.. a) for, arakteristisk ligig er: som har følgede løsig:

5 Dette gir følgede geerelle løsig på differesligige: A Vi bruker så iitialbetigelse til å fie A: A A = De partikulære (spesielle) løsige er derfor.. b) for,, 5 arakteristisk ligig er: som har følgede løsig: ( ) ( ) ( ) og Dette gir følgede geerelle løsig på differesligige: A B ( ) Vi bruker så iitialbetigelsee til å fie A og B: : A B( = A + B A = B ) 5

6 5 : 5 A B( ) 5 ( B) B altså 5 9 B B B A = B = = Når vi setter i dette for A og B i de geerelle løsige, fier vi følgede partikulære (spesielle) løsig: ( ).. c) for, arakteristisk ligig er: som har følgede løsig:, Dette gir følgede geerelle løsig på differesligige: A( ) B ( ) Vi bruker så iitialbetigelsee til å fie A og B: : = A A ( ) B( )

7 : ( ) B ( B B ) Når vi setter i dette for A og B i de geerelle løsige, fier vi følgede partikulære (spesielle) løsig: ( ) ( ) ( )( ).. d) for,, arakteristisk ligig er: som har følgede løsig: ( ) ( ) i i Ekspoetialform: r ta Dette gir følgede geerelle løsig: ( Acos Bsi ) Vi bruker så iitialbetigelsee til å fie A og B: : ( ) ( Acos Bsi ) 7

8 : = A ( cos B si ) ( B B B = ) Når vi setter i dette for A og B i de geerelle løsige, fier vi følgede partikulære (spesielle) løsig: ( ) cos.. a) for, Løser først tilhørede homogee ligig: som har karakteristisk ligig og følgelig løsig ( h) A( ) Vi må så fie e partikulær løsig til de ihomogee ligige. Vi må da forsøke å sette i e løsig som er på samme forme som høre side i ligige over. Vi forsøker da med Dette gir følgede uttrkk for : ) ( ) ( Setter vi uttrkket for og i i de opprielige ligige, får vi følgede: 8

9 ( ( ) ( ) ) Løser vi opp paretesee på vestre side, får vi: Samler vi så alle ledd med på vestre side og krever at det skal være lik ledd med på høre side, får vi Av dette ser vi at dvs. Samler vi så alle ledd med på vestre side og krever at det skal være lik ledd med på høre side, får vi Av dette får vi at år vi setter i at dvs. Samler vi så alle ledd kostatledd på vestre side og krever at det skal være lik kostatleddet på høre side, får vi Bruker vi å at og, får vi dvs. De partikulære løsige for de ihomogee ligige er derfor ( p) De geerelle løsige på de ihomogee ligige er derfor: 9

10 ( h) ( p) A ( ) Vi så betigelse for å fie kostate A: A( ) A Løsige blir derfor ( )..8 a) 5 5 Løser først de tilhørede homogee ligig: 5 som har følgede karakteristiske ligig: 5 som har følgede løsig: dvs. ( 5) ( 5) 5 og Dette gir følgede løsig på de tilhørede homogee differesligige: ( h) A B Vi må så fie e partikulær løsig til de ihomogee ligige. Vi må da forsøke å sette i e løsig som er på samme forme som høre side i ligige over. Vi forsøker da med og Setter vi dette i i ligige, fier vi: 5 5 Deler vi å alle ledd på begge sider med 5 5 får vi

11 dvs. 8 8 Løsige på differesligige er følgelig ( h) ( p) A B A B..8 d) Løser først de tilhørede homogee ligig. arakteristisk ligig for dee: ( ) ( ) De geerelle løsige på de tilhørede homogee ligige er derfor A B A B Vi må så fie e partikulær løsig til de ihomogee ligige. Side vi alt har B i løsige av de tilhørede homogee ligige ka vi ikke forsøke med som vi ormalt sett ville forsøkt med. Vi forsøker da å gage dee løsige med, altså med ( ) Vi setter derfor i dette, samt og ( ) ( i ligige, og får: ( ) ( ) ) ( ( ) ( )) ( ) ( ) Gager vi ut på vestre side får vi ( ( ) ) ( )

12 og videre Samler vi så ledd av samme grad på vestre side, får vi Sammeliger vi å ledd av samme grad på hver side av likhetsteget, fier vi følgede for -leddee: =, dvs. vi får ikke oe ifo fra dee ligige. For -leddee fier vi: dvs. = også her. Vi har da bare e ligig igje, og vi ka da ikke bestemme to kostater ved hjelp av e ligig. Når vi opplever dette, må vi forsøke å «oppgradere» løsige eda e gag ved å gage med. Dette blir litt stress Vi forsøker altså med: ) ( Vi setter i dette, samt og 8 ) ( ) ( i ligige og får: 8 Sammeholder vi å ledd av samme grad, får vi for : Dee ga = og altså ige iformasjo. Så tar vi leddee: altså igje =. -leddee gir: ) ( ) (

13 og edelig får vi lø for strevet:. Så har vi til slutt kostatleddee: 8 Setter vi å i at =, får vi altså. Altså får vi ( ) p Løsige blir derfor ( h) ( p) B A.. E bakteriekoloi består i utgagspuktet av bakterier. Atall bakterier tredobles hver time. a) Atall bakterier etter timer må være tre gager så mage som de var e time tidligere, altså Order vi ligige på valig måte, får vi Dee gjelder for alle og med startbetigelse b) arakteristisk ligig for differesligige i a) blir følgede karakteristiske rot:

14 Dette gir følgede løsig: A Vi bruker så iitialverdie A A = Løsige blir derfor til å bestemme A:.. E bitsekves består av -er og -ere. a) E differesligig for atall streger av legde som ikke ieholder tre -tall etter hveradre. Vi kaller atall streger av legde som oppfller dee betigelse for. Igje teker vi rekursivt : Hvorda ka vi dae e streg av legde ved hjelp av e streg av legde? Det er tre måter å gjøre dette på:. Vi ka sette til e -er til e gldig streg av legde. Å sette til e -er vil aldri gi e streg som brter med betigelse om maks to -ere etter hveradre. Atall streger av legde, er e streger.. Setter vi til e -er, får vi på dee måte. Vi ka sette til e -er til e gldig streg som eder på. Hvor mage streger av legde som eder på fies det? Det fies slike (fordi det bare er de første bitee som er frie ; bit r skal være, og bidrar derfor ikke til atallet).. Vi ka sette til e -er til e gldig streg som eder på. Hvor mage streger av legde som eder på fies det? Det fies slike (fordi det bare er de første bit som er frie ; bit r skal være, og bit r skal være, og ige av disse bidrar derfor til atallet). Alt i alt fier vi derfor at totalt sett ka vi dae e streg av legde ved å summere atallet fra, og over, og vi fier følgede differesligig:

15 Startbetigelsee vil være: E streg av legde, ka være eller. Dvs. være,, eller. Dvs... E streg av legde, ka 5