Løsningsforslag til øving 9 OPPGAVE 1 a)

Transkript

1 Høgskole i Gjøvik vd for ek, øk og ledelse aemaikk 5 Løsigsforslag il øvig 9 OPPGVE ) Bereger egeverdiee: de I) ) ) ) Egeverdier: og ) ) Bereger egevekoree: vi ivi ii) vi ed λ : ) ) v Velger s som gir s Da får vi egevekore: v s,s Kommear: For hver egeverdi er de uedelig mage egevekorer, i dee ilfelle alle vekorer parallelle med I praksis er de ok å velge u é av disse Vi skriver derfor ofe bare T v i sede for v s,s Beigelse s er ødvedig fordi ullvekor pr defiisjo ikke ka være e egevekor ) ) ed λ : v Egevekor: ) v, Diagoaliserer Har: D, hvor: D, [ v, v ], Da gjelder videre: D, hvor : D ) ) 9 9 erk! Som før ev, hvis v er e egevekor må også v ) være e egevekor ilke De er selvsag valgfri hvilke av egeverdiee vi døper hhv og, bare de kes il rikige egevekorer Feks kue vi like gjere sa D Vi får likevel samme svar: D og [ w, w] [v, v] 9 Side av

2 OPPGVE erk! Når vi skal berege egeverdier og egevekorer er de valgfri om vi bruker rekkefølge de I) eller de I ), og følgelig i I)v i eller i I )v i I dee ilfelle ka siseve form løe seg dersom vi vil ugå masse egaive all de I ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) 9 ) 9 ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) Egeverdier:,, Isa λ : ) ) ) z v rad eller ): z Velger: z De gir: Fra rad : Egevekor: v r, r 5 Isa : ad : Velger: z Gir: ad : Egevekor: v s, s Isa : ad : Velger: z Gir: ad : Egevekor: v, Egevekoree er pr def, og sår derfor vikelre på hveradre v i v j ) dersom v i v j Her: v v ), v v, v v ) Kommear: For e smmerisk marise T ) med reelle koeffisieer, er de allid mulig å fie e se egevekorer som sår vikelre på hveradre orogoale egevekorer) Hvis egeverdiee er forskjellige som i dee eksempele, skjer de auomaisk Dersom vi har sammefallede egeverdier, må vi gjøre e beviss valg I mage sammeheger er de e fordel med orogoale egevekorer, fordi disse da ka dae e orogoal aksekors Side av

3 OPPGVE Fra læreboka, side Proper ): i race ) aii i i Dvs: a a a ) Dessverre fies ige ilsvarede sarvei for å besemme egevekoree Egevekorer: i I) v i ed : ) ) ) z Velger z Gir : z, Egevekor: v s, s ed ) : ) ) ) Ku é fri parameer Feks z, gir, Egevekor: v, I dee ilfelle er de ikke mulig å fie lieær uavhegige egevekorer il egeverdie λ v vil være parallell med v uase valg av z ) Da ka vi ikke see opp e iveribel egevekormarise, og følgelig ikke D slik som i oppg er derfor ikke diagoaliserbar Kommear: )-mariser har geerel egeverdier røer) Dersom alle egeverdiee er forskjellige,, fier vi allid lieær uavhegige egevekorer arise er da diagoaliserbar Hvis oe av egeverdiee er sammefallede, feks, er ikke svare gi på forhåd I oe ilfeller ka vi likevel fie lieær uavhegige egevekorer, adre gager ikke som i dee eksemple) OPPGVE ) ) ) ) Egeverdier: j Nærmere besem: j * og j erk! Egeverdiee opprer som e kompleks-kojuger par, de samme må da gjelde egevekoree Side av

4 OPPG fors Isa : j j De er kaskje ikke så le å se a de o likigee fakisk er like, me prøv feks å gage rad med Fra rad : j gir j Egevekor: v j j ) Da må * v v Se i for på valig måe hvis du ikke er overbevis ) j Komplekskojugere egeverdier: j Fra før: abs ), arg ) a a 5 j j5 j j 5 Omskreve il polar form: e e Også vis idligere: e e Vikele 5 ugjør periode side 5 Jamfør oppg har vi 9 D 9 j 5 j De ber feks a e e, hvor 9 m j m 9 e e m ), og ilsvarede D Dermed har vi D 9 D og 9 D 9 D OPPGVE 5 Pla: z I dee ilfelle ser vi bare eer reelle egeverdier Projeksjo: u plae = v =v u v figure: De er bare vekorer som ligger i plae eller sår vikelre på plae som avbilder paralleller il seg selv, dvs gir rasformasjoer av pe v v ed adre ord: lle vekorer som ligger i plae, sam ormalvekore il plae ka bees som egevekorer Side av

5 OPPG 5 fors) hp diagoaliserig må vi fie lieær uavhegige egevekorer Vi velger førs vilkårlige ikke-parallelle vekorer fra plae z Feks mes, z gir v,, z gir v De sise lieær uavhegige egevekore må bli ormalvekore, dvs Ved projeksjo: v v, v v og v v Egeverdiee er alså, v v v v Jamfør oppg : Projeksjosmarise: D p vha kalkulaor) OPPGVE X Saus pr i dag: u %, hvor allee agir markedsadelee i % il hhv avis X og Y Y Fordelige eer år: 9 5 u u % er overgagsmarise ) 9 Kor forklarig: vis X miser % = ) og sier dermed igje med 9% 9) av sie opprielige aboeer, me får il gjegjeld % ) av Y's aboeer Tilsvarede vil Y beholde 9% 9) av "ege lesere" og får % ) av X's lesere ao: X 9X Y, Y X 9Y ar de samme uviklige hver år framover, da har vi eer år: u u u Vi søker fordelige eer "uedelig" lag id u lim u Fier egeverdiee il : 9 9 )9 ) D 9 Egevekoree: v v [ v, v ] Side 5 av

6 OPPG fors leraiv Egevekoree er lieær uavhegige Vi ka derfor see u kv kv U i fra defiisjoe v v ka vi see u u kv kv k v k v Dee leder videre il a u u k λ v k λ v Dvs: u lim k k k Vi ka besemme k, me de er ikke ødvedig) Edelig markedsfordelig: avis X: % % ), avis Y: % 5 % ) erk! ed og er de edelige fordelige ee og alee besem av egevekore v leraiv Bruker samme prisipp som i oppg b: u u D u 5 5 % ) 5 OPPGVE Overgagsmarise 5 foreller oss følgede: 5 5 % av dree i gruppe i) dør før de blir år gamle Dermed er de bare 5 % 5) som overføres fra gruppe i) il grp ii) eer e ed -årsperiode Tilsvarede vil 5 % av dra i grp ii) dø før de blir år, reserede 5 % 5) overføres il grp iii) eer ed -årsperiode Hver dr i grp ii) føder i gjeomsi e hudr i løpe av -årsperiode, mes dree i grp iii) føder hudr i si Disse "føde" må selvsag have i grp i) Eer periode år): Eer perioder år): u u u u aall hudr) c) Egeverdiee il : 5 5 ) , 5 j5, 5 j5 e: Dvs:, mes Jamfør oppg, aleraiv, behøver vi derfor bare fie egevekore ilhørede λ 5 5 a b c 5 5 a b c a b c v Side av

7 OPPG c) fors Edelig fordelig: u k v kv k aall dr), som prosevis ilsvarer: % 9 ed adre ord: De edelige fordelige er igje direke besem av v som gir forholde ::, % % eller prosevis: i) % %, ii) %, iii) 9% ) ) ) leraiv kue vi ha rege u a u D u 9 5 aall dr), me da måe vi førs ha fue alle egevekoree og dereer bla iverer egevekormarise som er ) og kompleks Tugvi! ) Kommear: På lag sik forblir aall dr kosa fordi de domierede egeverdie λ De førse periodee vil aall dr i hver gruppe variere me fram og ilbake fordi o av egeverdiee er komplekse Se pk Dersom vi hadde ha λ og,, ville populasjoe voks over alle greser, me de prosevise forholde mellom gruppee ville forsa vær edig besem av ilhørede egevekor v Dersom alle λ j, ville populasjoe dødd u eer e aall geerasjoer OPPGVE ) ) ) ) ) ) På smbolsk form: hvor : d) d Vi forear e "dekoplig" av likigssee vha egeverdiee og egevekoree vi fa i oppg De oppår vi med subsiusjoe z og dermed z ), hvor z er midleridige "hjelpevariabler" Nærmere besem: z gir -koordiaee il, dvs i forhold il e basis besåede av egevekoree ) De gir: z z z z z z z Dz z z z z Vi sier igje med homogee difflikiger: z z, z z og z z ed løsig: z ) Ce, z ) Ce og z) C e Ci ubeseme kosaer ) Vi øsker løsiger mhp ), og forear derfor "ilbakesubsiusjoe" z Dee ka vi aleraiv urkke som e re vekoraddisjo, side v, v, v z De gir: z ) v, v, v z z v zv zv Ce v Ce v C e v z Isa verdiee vi fa i oppg, får vi de geerelle løsige: C e C e C e Dvs: ) ) ) Ce Ce C e Ce C e Ce Ce C e Side av

8 i ) OPPG fors) I dee ilfelle er iiialbeigelsee gi, og vi ka derfor besemme kosaee C i Isa i de geerelle løsige og de oppgie iibeigelsee får vi: ) C ) C kalkulaor C, C C ) C De gir de spesielle løsige: ) e e, ) e e e, ) e e e 5 5 ) -5 - ) ) id s) erk! lle resposee dør u med ide fordi vi ikke har oe re pådrag Sseme faller il ro Side av