av Erik Bédos, Matematisk Institutt, UiO, 25. mai 2007.

Transkript

1 Om den diskree Fourier ransformen av Erik Bédos, Maemaisk Insiu, UiO,. mai 7. Vi lar H beegne indreproduk romme som besår av alle koninuerlige komplekse funksjoner definer på inervalle [, π] med indreproduke < f, g > = π ó ô f( ) g( ) d. π õ Den assosiere normen på H er da gi ved f = π π ó ô f( ) f( ) d = õ π ó π ô ô ô õ f( ) d. For hver hel all k definerer vi funksjonen e k i H ved e k ( ) = e ( i k ) = cos( k ) + i sin( k ), π. Som vi har se idligere er mengden {e k k hel all} oronormal i H. For hver naurlig all n seer vi W n = Span ({e -n,..., e -,, e,..., e n }) og lar F n beegne den orogonale projeksjonen av H på W n. Når f er i H har vi da a F n ( f) = < f, e -n > e -n < f, e - > e - + < f, > + < f, e > e < f, e n > e n, med andre ord a n F n ( f) = k S = -n c k e k, der c k := < f, e k > = π ó π ô ô f( ) e k ( ) d. ô õ

2 Koeffisienene c k kalles Fourier-koeffisienene il f. Sudie av f ved hjelp av F n ( f) er en del av de maemaiske fele som kalles Fourier-analyse av noen og harmonisk analyse av andre. E par vikige resulaer som kan nevnes her er følgende : - Når man lar n vokse mo uendelig kan man vise (bl.a. i emne MAT ved UiO) a F n ( f) konvergerer mo f i normen assosier med indreproduke i H. - Den svenske maemaikeren L. Carleson (som fikk Abel-prisen i ) vise i 9 a F n ( f) konvergerer punkvis mo f "nesen overal". - Dersom f er deriverbar med koninuerlig deriver, borse fra evenuel i endelig mange punker, og f( ) = f( π), kan man vise a F n ( f) konvergerer uniform mo f på [, π]. For å illusrere disse konvergensresulaene velger vi en reell funksjon f, slik a vi skal kunne skissere dens graf. De er enkel å sjekke a F n ( f) blir da også en reell funksjon for alle n. For en valg n kan de ofe være vanskelig og/eller idkrevende å beregne F n ( f), i alle fall for hånd. Med en programpakke som Maple går dee som regel fin dersom n ikke er uansendig sor og inegralene som inngår i beregningen av Fourier-koeffisienene ikke byr på unge numeriske ufordringer. La oss førs velge f( ) = og n = : > f:=->^: 'f()'=f(); f( ) = Vi beregner Fourier-koeffisienene, dereer F ( f) og egner så dens graf sammen med grafen il F ( f) : > n:=: k:='k': for k from -n o n do c[k]:=evalf(/(*pi))*evalf(in(f()*exp(-i*k*), =..*Pi)): end do: > k:='k': F:= -> value(sum(evalf(c[k]*exp(i*k*)),k=-n..n)): > plo([f(),f()],=..*pi,color=[red,blue]);

3 Approksimasjonen blir markan bedre når vi velger n = (oppsee i Maple blir esseniel lik den vi så for n =, så vi dropper å vise de). Her er grafene il F f ( ) og il f :

4 Vi ser a F n ( f) ikke vil konvergere mo f i punkene og π, men får e slags innrykk av a F n ( f) - f blir forholsdvis lien selv, når verdien av n er såpass lav som. Ser man på "pene" funksjoner som også er "periodiske" (dvs. slik a f () = f ( π)) blir man for overbevis a konvergensen blir uniform, slik vi har nevn ovenfor de skal være da. Vi velger f.eks. f( ) = ( π - ). Med N =, m.a.o. n =, får vi :

5 8 Seer vi N =, m.a.o. n =, får vi :

6 8 Vi ser il slu på f( ) = π - (som er ikke deriverbar i = π). Med N = 7, m.a.o. n =, får vi en brukbar approksimasjon, men knekkpunke skaper li problemer :

7 ... Al dee er vel og bra. Så hvorfor renger man å innføre den diskree Fourier ransformen?! E vikig momen i prakiske anvendelser er a funksjoner som regel ikke er angi med en eksplisi formel. Man vil ofe kun kjenne en rekke av funksjonens verdier, som ofes oppnådd i forbindelse med en serie av målinger. De mes vanlige ilfelle er a man har forea N (jevn fordele) målinger i punkene =, = π N,..., j = j π N,..., N - = (N - ) π N. Dermed har man ilgjengelig verdiene av f i disse punkene; la oss si disse er f( ) = z, f( ) = z,..., f( j ) = z j,..., f( N - ) = z N -.

8 La oss ana videre a N er odd og skrive N = n + der n er e naurlig all. Ideen er å forsøke å besemme koeffisiener d -n,..., d -, d, d,..., d n slik a n de "rigonomeriske polynome" g := k S d k e k ar de samme verdiene som f i alle j -ene. = -n Dee gir å løse følgende likningsysem med N lineære likninger i de N ukjene d -n,..., d n : n (*) k S d k e k ( j ) = f( j ), j =,,..., N -, = -n alså n æ è (*) k S e = -n I j k π N ö ø dk = z j, j =,,..., N -. Koeffisienmarisen il dee syseme er den komplekse N x N marisen F N := [e æ è I j k π N ö ø ] der j N - og -n k n. Marisen F N kalles ofe for en Fourier marise. Vi kan angi denne marisen på formen F N = [ v -n... v... v n ] der kolonnevekoren v k er gi ved v k T = [ e æ è I k π N ö ø... e æ è I j k π N ö ø... e æ è I ( N - ) k πö N ø ]. Innfører vi ω N : = e æ è I π N ö ø kan vi enkel beskrive disse ved ( j k) T k ( k) (( N - ) k) F N = [ ω N ] og vk = [ ωn ωn... ωn ].

9 De er en morsom oppgave i kompleks arimeikk å sjekke a mengden { v k k = -n,..., n } er orogonal i C^N (med hensyn på sandard indreproduke i C N ). Videre er de enkel å se a normen il hver v k er lik N. Dee beyr a NxN-marisen U N := N F N er en uniær marise. Spesiel er U N inveribel, med (-) U N = UN *. (-) De følger da a F N er inveribel med F N = N U N * = N F N*. Siden koeffisienmarisen F N il syseme (*) er inveribel kan vi konkludere a (*) har en enydig løsning. (-) Bruker vi a F N = N F N * får vi, eer en lien mellomregning, a løsningen il (*) er gi ved d k = N - ( j k) N j S z j ω N, k = -n,..., n. = Sekvensen {d -n,..., d,..., d n } besem ved formelen ovenfor kalles den diskree Fourier ransformen n il sekvensen {z,..., z N - }. De assosiere rigonomeriske polynome G n ( f) := k S d k e k vil da kunne brukes = -n som en ersaning for F n ( f) og de vil også gi oss en approksimasjon av f (så lenge f ikke er en funksjon med en alfor vill oppførsel). Vi ar med noen kommenarer : - Dersom N, og dermed n, er veldig sor vil de være arbeidskrevende å beregne alle d k -ene, selv med en krafig daamaskin. - Ofe vil man nøye seg med å beregne d k -ene for relaiv lave verdier av k og kue u de høyere frekvensene i urykke for G n ( f). Disse høye frekvensene vil i mange siuasjoner ikke være av sor beydning for resulae (de er f.eks. de som gjøres ved digialisering av lyd i mp-formae). Dee vil også kunne være lur å gjøre dersom målingene for verdiene av f er behefe med små feil (som kan skyldes usikkerhe i målingene eller forsyrrelser). Disse feilene gir nemlig ofe uslag kun i de høye frekvensene, og feilene blir "glae u" (eller "filrer bor") ved a man bare bruker relaive lave frekvenser. - Dersom man virkelig ønsker å få med seg også de høye frekvensene finnes de en effekiv algorime il å gjøre

10 dee, som kalles den "raske" Fourier ransformen. For å kunne implemenere denne må man førs ilpasse de vi har gjor når N er odd il ilfelle der N er på formen N = m. Vi lar dee ligge da vår poeng med dee noae er kun å illusrere hvordan den diskree Fourier ransformen oppsår i en naurlig sammenheng. - Oppsee vi har gi gjelder for funksjoner definer på [, π]. Ved å reskalere kan de le adaperes il å gjelde for funksjoner definer på e vilkårlig inervall [a, b]. Vi illusrerer il slu poenge med den diskree Fourier ransformen på de o førse eksemplene som vi så på i begynnelsen av noae. > f:=->^: 'f()'=f(); f( ) = La oss si a vi bare kjenner verdiene av f i de 7 punkene j π, j =,...,. Ved å følge oppsee angi ovenfor 7 har vi da a : > N:=7; n:=(n-)/; omega[n]:=exp(i**pi/n); N := 7 n := ω 7 := e æ è 7 I π ö ø > j:='j': for j from o N- do z[j]:=evalf(f(j**pi/n)); end do; z :=. z :=.8899 z :=.7798 z := 7.79 z := z :=.98 z := 9.7 Vi kan nå beregne den diskree Fourier ransformen il denne sekvensen :

11 > j:='j':k:='k': for k from -n o n do d[k]:=value(sum(evalf(z[j]*conjugae(omega[n])^(j*k)), j =.. N-)/N); end do; d - := I d - := I d - := I d :=.789 d := I d := I d := I Dereer kan vi beregne G ( f) og egne dens graf sammen med grafen il f : > k:='k': G:= -> Sum(d[k]*exp(I*k*),k=-n..n): plo([f(),g()],=..*pi,color=[red,green]);

12 Ikke så imponerende kanskje, men de var de heller ikke med F ( f). Legger vi grafen il F ( f) il dee bilde får vi : >

13 Vi ser a hverken F ( f) (i blå) ellr G ( f) (i grøn) gir så veldig gode approksimasjoner av f. Vi ser også a disse o er noe forskjellige. Går vi opp il n = (dvs N = ) blir approksimasjonen med G ( f) en god del bedre (borse fra i endepunkene), slik de også var med F ( f). Her er disse grafene, med F ( f) i blå og G ( f) i grøn, beregne på samme måe som ovenfor : >

14 La oss nå se hva som skjer når vi bruker N = målepunker (som gir n = ), men bruker bare frekvensene opp il i urykke for G ( f), dvs. a vi kuer u alle frekvensene med k : > N:=; n:=(n-)/; omega[n]:=exp(i**pi/n); N := n := ω := e æ è I π ö ø > j:='j': for j from o N- do z[j]:=evalf(f(j**pi/n)): end do: > j:='j':k:='k': for k from - o do d[k]:=value(sum(evalf(z[j]*conjugae(omega[n])^(j*k)), j =.. N-)/N): end do:

15 > k:='k': g:= -> Sum(d[k]*exp(I*k*),k=-..): plo([f(),g()],=..*pi,color=[red,brown]); Vi får da en smule bedre approksimasjon enn de vi fikk med G ( f). Legger vi nemlig grafen il G ( f) ( i grøn) inn i bilde ovenfor får vi :

16 La oss nå se på en graf som fremkommer av grafen il f( ) = ( π - ) ved a de er lag il en del forsyrrelser.

17 8 La oss enke a vi har "sample" verdiene av denne funksjonen med N = og dermed har ilgjengelig følgende måleverdier : z :=.8 z :=.89 z :=.7979 z := z :=.999 z :=.78 z := z 7 := z 8 := 8.77 z 9 := z :=

18 z := z := 9.79 z := 9.8 z := z := z := 8.99 z 7 := 8.7 z 8 := z 9 := 7.98 z :=.78 z :=.79 z :=.9877 z :=.979 z :=.798 Vi beregner den diskree Fourier ransformen av denne sekvensen : > N=;n:=(N-)/; omega[n]:=exp(i**pi/n); = n := ω := e æ è I π ö ø > j:='j':k:='k': for k from -n o n do d[k]:=value(sum(evalf(z[j]*conjugae(omega[n])^(j*k)), j =.. N-)/N): end do: Bruker vi alle ilgjengelige frekvenser (opp il ) får vi følgende approksimasjon : > k:='k': G:= -> Sum(d[k]*exp(I*k*),k=-n..n): plo([f(),g()],=..*pi,color=[red,green]);

19 8 I forhold il den "opprinnelige" funskjonen blir ikke dee så vers : > plo([*(*pi-),g()], =..*Pi, color=[red, green]);

20 8 Vi kan nå konsaere a de er mulig å "glae u" noe av forsyrrelsene ved å velge å droppe de høye frekvensene og bare benye de lave frekvensene, her opp il : > k:='k': g:= -> Sum(d[k]*exp(I*k*),k=-..): plo([*(*pi-),g()],=..*pi,color=[red,green]);

21 8 >

22