ARBEIDSHEFTE I MATEMATIKK

Transkript

1 ARBEIDSHEFTE I MATEMATIKK Temahefte r Hvorda du reger med poteser Detaljerte forklariger Av Matthias Loretze mattegriseforlag.com

2 Opplsig: E potes er e forkortet skrivemåte for like faktorer. E potes består av et grutall (som ikke er lik ull og e ekspoet som sier hvor mage gager grutallet skal multipliseres med seg selv. Eksempel: Formel (defiisjo: a a a a... a stk. like faktorer a kalles for grutallet kalles for ekspoete. er lik et helt tall = { -, -, -, 0,,,, }. a er opphød i -te potes. a ka ikke være lik 0. Eksempel: E potes er altså e forkortet skrivemåte for et tall gaget med seg selv flere gager. For eksempel 0 gaget med seg selv 00 gager ka eklere skrives som 00 0 (også kalt for e googol. Det var faktisk et bar som fat opp ordet!

3 Eksempel: er opphød i femte potes a og gir like toerfaktorer Advarsel: Må ikke forveksles med toer addeder som sammelagt gir 0 i stedet for. Multiplikasjo er e forkortet skrivemåte for å skrive like addeder. 0 Eksempel:, 6, Oppgave: Skriv riktig tall/ordld i boksee uder. a = 0 og = gir = = gir at a = og =

4 a kalles for og kalles for Fasit: første lije seks bokser: 0,, 0, 0, 0, 000. Adre lije fem bokser: 0,, 0 000, 0,. Siste lije to bokser: grutall, ekspoet. Opplsig: Et tall opphød i første potes er lik tallet selv. Formel (defiisjo: a a Eksempel:,, ( ( 0, 0,, (, w w Oppgave: Skriv i riktig tall i boksee.,, 0 0, Fasit:,

5 Opplsig: Et tall opphød i ullte potes er alltid lik. Grutallet a ka ikke være ull. Null i ullte har ige meig. Formel (defiisjo: a 0 Eksempel: 0, 0, ( 0, ( 0, 0, ( 0, w 0 Oppgave: Skriv i riktig tall i boksee. 0, = 0, Fasit:, 0 Opplsig: E potes ka flttes fra evere til tellere (eller omvedt i e brøk bare du skifter forteg på ekspoete. Formel (defiisjo: a a Eller omvedt a a

6 6 Eksempel: Nedefor skal vi fltte ed i evere (se brøk i midte, samtidig som ekspoete - skifter forteg til. Et tall som ikke står i e ever ka betraktes som teller. 0 har blitt til ( Eksempel: Nedefor skal vi fltte evere forteget til ekspoete -. opp i tellere samtidig som vi skifter De e ekspoete er å (. Flttes opp i tellere.

7 7 Eksempel: Nedefor skal vi fltte som er lik skifter forteg på ekspoete til -. opp i tellere, samtidig som vi 0, Potese flttes opp i tellere og ekspoete skifter forteg til -. Et isolert tall ka betraktes som e teller, fordi. Oppgave: Skriv riktig svar i i boksee uder., 0, 0 0 Fasit: Første tre bokser:,, (rekkefølge ka edres. Fjerde boks:. Første brøk med boks (teller:. Første brøk med boks (ever:. Siste boks: 0. Merk: Formlee for poteser ovefor er defiisjoer. Nå skal vi se på regeregler for poteser som er avledet av defiisjoee. Defiisjoee er ok til å rege alle potes oppgavee. Behersker du regereglee, vil du rege fortere.

8 8 Formel (regeregel: m m a a a Eksempel: 7 7 fordi Sv like toerfaktorer (tre toerfaktorer pluss fire toerfaktorer. Oppgave: Vi skal løse de sammesatte potesoppgave uder tri for tri. Så hold motet oppe. Nedefor har vi satt ramme rudt faktorer som skal behadles seere i oppgave. Det som ikke har ramme beger vi med først. Rammee er e hjelp til deg år du skal løse deler av oppgave edefor.?? ( ( Opplsig: Vi multipliserer samme to poteser som har samme grutall ved å beholde grutallet og addere ekspoetee. Koselig oppgave Oppgave med rammer

9 9 Vi glor på faktoree i tellere ovefor som det ikke er ramme rudt. Faktorees rekkefølge er som kjet likegldig. Vi fltter derfor faktoree og like etter hveradre for å slå de samme. Se uder. Kommetar: boksee ovefor atder at det er produktet DU skal rege på i este oppgave. Når uttrkket er reget ut, setter vi det tilbake og velger ut et tt utrkk som du reger videre på. Så å rkker vi fremover. DIN oppgave: Reg ut uttrkket som ble atdet ovefor: Sett i riktig tall i boksee uder og bruk svaret videre: = Fasit: Tomme bokser (-:,,,, + (

10 0 N status: Utrkket du reger på får status ved at vi erstatter uttrkket utefor boksee med som du ettopp reget ut ovefor. Vi fjerer boksee og velger e oppgave som DU skal rege ut. Se uder. = Ntt uttrkk pluss at boksee er fjeret:? ( Ne bokser: Husk at det er utrkket utefor boksee som DU skal jobbe videre med.? ( (

11 Som betr at du skal rege på uttrkket uder i este oppgave.? For å rege ut potesbrøke ovefor treger du formele som vi gjegir edefor pluss oe iledede eksempler. Hold ut! Opplsig: E potes ka deles på e ae potes som har samme grutall ved å beholde grutallet og trekke ekspoetee fra hveradre. Formel: a a m a m Eksempel: Ekspoetee trekkes fra hveradre. Like faktorer i teller og ever forkortes. fordi To forkortiger

12 Eksempel: Som du husker: Alle tall, bortsett fra ull, opphød i ullte potes er lik. Et tall delt på seg selv er lik (dette er kjere i e forkortig opphød i ullte er lik (per defiisjo. 0 fordi Eksempel: Vi ka sette e hjelpe- eer her fordi gager fortsatt er. fordi (etter korkortig Her har vi brukt formele a a (for a = og =, får vi. DIN oppgave: Vi reger videre med oppgave vår (se ovefor der vi sluttet. Neste del ser du uder. Sett i riktig tall i de tomme boksee. = =

13 Fasit:, -, -,, (husk at like forteg gir pluss. Nå erstatter vi uttrkket utefor boksee med svaret på utregige ovefor, samtidig som vi fjerer boksee igje.? Side,, og boksee er fjeret, får vi følgede resultat ( Vi serverer oe e bokser for å lage e oppgave: Vi defierer e oppgave: ( (

14 Dette betr at det er uttrkket ( som blir este oppgave. For å rege ut dette uttrkket ka vi bruke potesregele uder. Opplsig: E potes hvor grutallet er produktet av to tall, reges ut ved å opphøe hver av faktoree i ekspoete. Formel: ( a b a b Eksempel: ( Ekspoete fordeler seg på faktoree og. Eksempel: Vi ka også ta svaret ovefor og rege oss tilbake til det opprielige uttrkket på vestre side av likhetsteget ovefor. (

15 Slik reger vi: ( ( ( ( Faktorees rekkefølge er likegldig. Tre like faktorer gir ekspoete Eksempel: Ekspoete fordeler seg på faktoree og. ( ( ( Vi beholder grutallet og summerer ekspoetee. DIN oppgave: Vi fortsetter å kokret på oppgave vår. Vi har kommet til uttrkket du ser uder. Sett riktig tall i boksee. ( = Fasit:,,,

16 6 Vi erstatter ( med det du reget ut rett ovefor: ( ( ( = Vi fjerer samtidig boksee. Vi får da følgede uttrkk: ( (? ( ( Vi defierer e oppgave:? Boksee atder at este oppgave blir å rege på. For å rege ut dette uttrkket treger vi formele uder pluss oe eksempler.

17 7 Opplsig: E potes hvor grutallet er e brøk, reger du ut ved å opphøe teller og ever hver for seg i ekspoete. Du får da to e poteser hvor grutallet til de ee er tellere og grutallet til de adre er evere. Formel: a b a b Eksempel: 7 Ekspoete har å fordelt seg på tellere og evere. Eksempel: Vi ka også gå motsatt vei. Nedefor har teller og ever de felles ekspoete. Hvis vi setter grutallet lik, får vi ku e potes med ekspoet. Grutallet er

18 8 DIN oppgave: Du fortsetter med este uttrkk i oppgave. Skriv riktig tall i boksee. = = Fasit: første brøk med bokser (teller:. Første brøk med bokser (ever:. Adre brøk med bokser (teller:. Adre brøk med bokser (ever:. Siste brøk med bokser (teller:. Siste brøk med bokser (ever: 8. Vi går videre med oppgave: Vi erstatter fjerer samtidig boksee. med det du reget ut ovefor og ( (? Da får vi dette uttrkket 8 ( (?

19 9 Vi fortsetter uder med oppgave og legger til oe e bokser. ( ( Vi defierer e oppgave:? 8 Boksee atder at este oppgave blir å rege på For å rege ut dette uttrkket, ka vi bruke formele uder. ( (. Opplsig: Hvis grutallet til e potes selv er e potes har vi e dobbelt potes. De reger vi ut ved å beholde det ierste grutallet (a og opphøer det i produktet av de ierste (m og de tterste ( ekspoete. Formel: ( a m a m a m Kommetar: er grutallet til de tterste potese med ekspoet, a er grutallet til de ierste potese med ekspoet m.

20 0 Eksempel: Vi må gage samme de idre ekspoete med de tre ekspoete. ( 6 6 Ekspoete 6 og grutallet viser at må gages med seg selv 6 gager (6 faktorer. Husk på forskjelle mellom faktorer og addeder (addeder har plussteg i mellom: For eks Eksempel: ( ( ( Ved multiplikasjo (gagig vil like forteg gi pluss. Her er mius gaget med mius lik pluss. DIN oppgave: Du fortsetter på oppgave vår uder ved å bruke formele ovefor. ( (? Sett i riktig tall i boksee uder. ( ( Fasit:,,,,, 6

21 Oppgave fortsetter: Vi erstatter ( ( med det du reget ut ovefor og fjerer samtidig boksee. ( ( = 6 8 DIN oppgave: Du fullfører oppgave uder. Sett i riktig tall i boksee. 6 8 = 6 8 = Fasit:,,, 7 Opplsig: Oppgave vi har holdt på med hele veie ovefor har du å reget ut. ( =

22 Uder skal vi lære om oe som heter stadardform. Me først litt om ulikheter. Opplsig: Ulikhete 7 > 6 sier at 7 er større e 6. Og at 6 er midre e 7. Ulikhetsteg < ka huskes som gapet på e krokodille som alltid retter gapet mot det største offeret (tall. Det stakkars lille 6-tallet sur krokodille rgge til. Et ulikhetsteg ka også sus slik at 6 < 7. Dvs. at 6 er midre e Opplsig: Et tall er skrevet på stadardform hvis det er skrevet som et produkt av et helt tall a (mellom og 0 multiplisert med e tierpotes. Tallet a ka også være lik. Formel: Stadardform a 0 der a 0 og er et helt tall Tallet a er større eller lik og midre e 0.

23 Eksempel: Hvorda skriver vi 00 på stadardform? To like tierfaktorer gir 0 opphød i adre potes ( a, a Dvs. 00 skrevet på stadardform er lik hudre 0. Eksempel: Hvorda skriver vi 000 på stadardform? ( a, Tre like tierfaktorer gir 0 opphød i tredje potes a 0 0 Dvs. 000 skrevet påstadardform er lik 0

24 Eksempel: Vi skriver ut ormalforme 0 og ser hva det blir ,0000 (a = og = - Vi bruker formele a a (a = 0, = er det samme som,0. Fire delt på betr å fltte kommaet plasser (hudretuse har uller etter ettallet mot vestre (mot vestre fordi vi deler. Dvs. 0,0000 skrevet på stadardform er 0. Eksempel: Vi skal rege ut ormalforme til 000. Etter de hele dele av tallet ka vi sette et komma. 000 = 000,0 =, 0 Vi fltter kommaet plasser mot vestre og gager samtidig med Dette gir oss at 000 skrevet på stadardform er lik, Kommetar: Tallet, gaget med potese ti opphød i femte fltter faktisk kommaet plasser mot høre igje. Derfor ka vi sette likhetsteg mellom etthudreogtvetretuse og potese (ormalforme, 0.

25 Husk! Et tall er skrevet på stadardform hvis det er skrevet som et helt tall a (mellom og 0, 0 multiplisert med e tierpotes. Tallet a ka også være lik (det vil være tilfellet hvis tallet vi skal skrive på ormalform er e såkalt dekadisk ehet slik som: 0, 00, 000, 0 000, osv.. Me da får vi e re tierpotes: For eks. valigvis overflødig Ettallet blir Oppgave: Skriv riktig tall i boksee uder , = 0 = 0 Fasit: første lije: (,6,, (7,89, -, adre lije: (,6, (7,89,, -, 6,

26 6 Opplsig: Ofte blir tall forst med eheter som meter, kilogram, sekuder osv. For eks., m, kg, 60s. Ma kaller disse uttrkkee for størrelser. E størrelse består av måltall og ehet (beevig. Formel: kr kr Størrelse måltall ehet Eksempel: 0kr + kr = kr, 0m: = m, 0mm 0 00mm m 7cm 9mm 7cm 9mm 70mm9mm 70mm9mm Her har vi brukt omregigsfaktore cm = 0mm. Svaret blir 6mm. Kommetar: Det siste lille eksempelet ovefor viser at år vi reger med ulike eheter (her: cm og mm, så må de ee ehete gjøres om til de adre ved å bruke e omregigsfaktor. For eks. cm = 0mm. Vi blader ikke hester og kuer. Oppgave: Bruk omregigsfaktore cm = 0mm ved å erstatte cm med (=0mm. Skriv riktig tall og ehet i boksee uder. 0 mm,cm 7mm, cm 7mm, 7mm, 0 7 mm Fasit: 0 mm, mm, 6 (ehete mm i teller og ever forkortes

27 7 Kommetar: Når vi deler størrelser med like eheter med hveradre forkortes ehete, slik at det ku er måltallee som deles. Resultatet kalles et forholdstall (her: forholdstallet 6. Forholdstallet mellom og 7 er 6 i de rekkefølge. For eks. forholdet mellom to sider kue være:,cm:7mm = 6, side,cm = mm. Opplsig: Et kvadrat har fire rette vikler og alle sidee er like lage. Arealet av et kvadrat er lik side gager side. Et kvadrat med sidekat m har arealet m ( kvadratmeter. Kvadratmeter er et eksempel på e arealehet. Opplsig: E terig har seks kvadratiske sideflater som står vikelrett på hveradre. Volumet til e terig fier vi ved å rege ut legde gager bredde m ( kubikkmeter. gager høde. E terig med sidekat m har volumet Kubikkmeter er et eksempel på e volumehet (romehet. Dette illustrerer også hva som mees med at rommet har dimesjoer. m Arealet er kvadratmeter m Volumet er kubikkmeter m m m Oppgave: Skriv i riktig tall med ehet i de fem svarboksee uder. Arealet er 6 kvadratmeter Volumet er 8 kubikkmeter Fasit: Kvadrat: m, m. Terig (kube: m, m, m.

28 8 Opplsig: For å måle legder bruker vi lieære eheter som for eks. mm (millimeter, cm (cetimeter eller m (meter. For å kue rege mellom lieære eheter ka vi sette måltallee i i skjemaet uder. Eksempel: Vi skal plassere størrelse 77,m i i skjemaet. Måltallet 77, er satt i i skjemaet uder. Det er viktig å vite hvor kommaet skal stå i skjemaet. Da må vi teke fra høre mot vestre. Side det er ehete meter det er sakk om her, teker vi oss kommaet der meterbokse beger. Lieære eheter (kommaet må flttes plass for å omrege til este ehet, dvs. faktor = 0 mil km 00m 0m m dm cm mm 7 7 Kommaet tekes der meterbokse beger Komma Eksempel: Vi skal plassere måltallet 77, for størrelse 77,m i i skjemaet. Kommaet må stå mellom m og dm. De ledige plassee ka flles med ull. Lieære eheter (kommaet må flttes plass for å omrege til este ehet, dvs. faktor = 0 mil km 00m 0m m dm cm mm Komma For å se hvorfor størrelse 77,m = 0,77mil, fltter du kommaet til milbokse. 77,m = 0,77mil (ca. 0,7mil 77,m = 7,7km (ca. 7,mil 77,m = 77dm

29 9 77,m = 770,0cm (dvs. 77 0cm 77,m = 7700,0mm (dvs mm Kommetar: Vi må for eks. gage med 0 for å komme fra ehete mm til ehete cm (fordi 0mm = cm osv. fra med mm til mil på skjemaet. Vi har ikke av på eheter som svarer 0m og 00m (mellom m og km. Oppgave: Vi har e legde på 6,9m. Sett riktig beevig i boksee uder. 0,069 0,69 6,9 69, 69, 69 Fasit: mil, km, m, dm, cm, mm. For å komme fra meter til mil må du fltte kommaet plasser mot vestre. Opplsig: For å måle areal bruker vi arealeheter som for eks. mm (kvadratmillimeter, cm (kvadratcetimeter eller m (kvadratmeter. For å kue rege mellom arealeheter ka vi sette måltallet i i skjemaet uder. Kommaet tekes å stå til høre for ehete som brukes. Arealeheter (kommaet må flttes plasser for å omrege til este ehet. Faktore er altså00 i stedet for 0 m dm cm mm

30 0 Merk: Det er to bokser uder hver ehet, fordi vi må fltte kommaet to plasser mot vestre eller høre for å komme til ærmeste ehet. For eks.,7dm = 7cm (fra dm til cm må vi fltte kommaet to plasser mot høre. Eksempel: Vi skal plassere størrelse 8,6 cm i i skjemaet. Kommaet må stå mellom cm og mm. De hele dele av størrelse er 8 cm. De ledige plassee ka flles med ull. Arealeheter (kommaet må flttes plasser for å omrege til este ehet, dvs. faktor = 00 m dm cm mm Komma For å se at 8,6cm = 0,86m må du fltte kommaet til m bokse. 8,6cm 8,6cm 8,6cm 8,6cm 0,86m,86dm 8,6cm 8 60,0mm ( dvs. 860mm Oppgave: Vi har et areal på 0 8,9 cm. Sett riktig beevig i boksee uder. 0,89 0, Fasit : dm, m, mm Merk: ( = 0 890,0

31 Opplsig: For å måle volum bruker vi volumeheter. For eks. mm (kubikkmillimeter, cm (kubikkcetimeter eller m (kubikkmeter. For å kue rege mellom volumeheter ka vi sette måltallet i i skjemaet uder. Kommaet må stå til høre for ehete som brukes. Eksempel: Vi skal plassere størrelse 987,68 cm i i skjemaet. Kommaet må stå mellom cm og mm. De hele dele av størrelse er 987. De ledige plassee ka flles med ull. Volumeheter (kommaet må flttes plasser for å omrege til este ehet, dvs. faktor = 000 m dm cm mm Komma For å se at 987,68 cm = 0,98768 m må du fltte kommaet til m bokse. Merk: Det er tre bokser uder hver ehet, fordi vi må fltte kommaet tre plasser mot vestre eller høre for å komme til ærmeste ehet. For eks. 9,7dm = 970,0cm (fra dm til cm må vi fltte kommaet tre plasser mot høre. Merk: E kubikkdesimeter er lik e liter: dm = l (l melkekartog er ca.dm. E melketerig på dm = l. Terige rommer liter og er 0cm ( dm i alle retiger (legde, bredde og høde er de tre romlige dimesjoee. l melk dm Volumet er kubikkdesi meter = liter dm dm

32 Kommetar: Volumet er lik legde gager bredde gager høde. Volum terig = dm dmdm dm Tre like faktorer gir potese desimeter opphød i tredje. Oppgave: Vi har et volum 987,68 cm Sett i riktig beevig i boksee uder. 0, , , Fasit: m, dm, cm, mm Oppgave: Hvor mage liter er 987,68 cm? Agi svaret med e desimal etter kommaet. Fasit: 9,9 l

33 Opplsig: Når vi har to størrelser med ulik beevig, ka vi gå veie via, for å uttrkke e beevig ved hjelp av e ae. At kr = $ (dollar er et eksempel på dette. Via betr da at kr = 6$. Vi ka også gå motsatt vei og si at $ = 6 kr. Eksempel: E haglpatro er ladet med 6g hagl. 000 hagl veier 9g. Hvor mage hagl er det i e patro? Løsig: Haglpatro 6g 9 g Tilsvarer 000 hagl 9 g 000hagl Ved hjelp av likige (likhetsteg er ikke pt, 9 g 000hagl ka vi gå via g. Og år vi vet hvor mage hagl g er, er det bare å multiplisere med 6 for å fie hvor mage hagl 6g er oppgave vår.

34 9 g 000hagl Vi deler begge sider av likige med 9 For å vite hvor mage hagler g er, må vi dele likige på begge sider med 9. 9g 000hagl 9 9 Her har vi delt begge sider av likige med 9. På vestre side forkorter vi 9 i teller og ever og får: 9g 000hagl 9 9 Da vet vi sart hvor mage hagl g er. Et gram hagl er omtret 0 hagl. For å fie hvor mage hagler 6g er, må vi gage begge sider med 6. g 000hagl 9 Vi gager begge sider av likige med 6

35 000hagl 6g 6 9 Her har vi gaget med 6 på begge sider. Vi reger ut vestre side: 6 g 6g (atall gram hagl i e patro Vi reger ut atall hagl på høre side: 000hagl 6 9,hagl 9 Svar: Dvs. det er 9 stk hagler i patro. Oppgave: Vi fortsetter med dataee fra oppgave ovefor. Vi stiller oss spørsmålet: Hvor mage hagl ka det lages av kg bl? Skriv svaret på stadardform (ormalform. Løsig: Vi setter opp uttrkket vi reget ut ovefor. g 000hagl 9 Side kg = 000g, må vi fie ut hvor mage hagl tuse gram er

36 6 For å fie hvor mage hagl det er i kg = 000g må vi gage med 000 på begge sider av likige: g 000hagl 9 Her har vi gaget begge sider av likige med hagl 000g Vi reger ut vestre side for å få tuse gram: 000g (kg Vi reger ut høre side for å rege ut atall hagl: 0869,679 hagl I praksis går vi ed til ærmeste hele hagl. Dvs. kg hagl tilsvarer hagl: kg hagl = hagl Me hvorda skriver vi tallet på stadardform (ormalform? Vi repeterer formele for stadardform: Stadardform a 0 der a 0 og er et helt tall Tallet a er større eller lik og midre e 0.

37 7 Husk at a skal ligge mellom og 0 (a = får vi hvis vi har e re tierpotes, som for eks , og da sløfer vi valigvis. Vi skriver tallet med komma etter de hele dele av tallet, slik: 0 869, ,0 Nå fltter vi kommaet plasser mot vestre for å få et tall mellom og 0.,0869 Kommaet er flttet hit er blitt delt med (å fltte kommaet plasser mot vestre betr å dele tallet med Legg merke til at det er uller etter. Resultatet er tallet,0869 som opplagt er et aet tall e det vi startet med. For å få tilbake det opprielige tallet, gager vi,0869 med 0. Svar på stadardform: Det er,08690 hagl per kg. Kommetar: Det er lett å se størrelsesordee på et tall år det er skrevet på stadardform. Tallet,08690 viser at størrelsesordee er tituse fordi Tallet,0869 viser at det dreier seg om ca. gager tituse. Oppgave: Vi fortsetter med dataee fra oppgave ovefor. Vi stiller spørsmålet: Hvor me veier et hagl ( veie via? Skriv svaret på stadardform.

38 8 Løsig: Vi bruker det vi fat ovefor kg = hagl Vi sur likige for å få atall hagl på vestre side hagl 000g Vi må dele likige med på begge sider for å fie hvor me hagl veier hagl 000g Her har vi delt begge sider med Vi forkorter teller og ever i brøke til vestre med hagl 000g Forkortige gir (et tall delt på seg selv er lik, og gager hagl er lik hagl. hagl 000g Vestre side: hagl

39 9 Høre side utreget: 0, g For å skrive tallet på stadardform må vi fltte kommaet to plasser mot høre, slik at vi får ca 9,g: 9,g Å fltte kommaet plasser mot høre er det samme som å gage med Det betr at vi må dele 9,g med 00 for å få det opprielige tallet (ca. 0,09. Hvis vi gager 9,g med potese 0, som er det samme som å dele på 00 00, får vi svaret på stadardform. Svar: hagl veier 9, 0 g