Odd Heir John Engeseth Håvard Moe Ørnulf Borgan BOKMÅL. Særtrykk. Matematikk 1T

Transkript

1 Odd Heir Joh Egeseth Håvrd Moe Ørulf Borg BOKMÅL Særtrykk Mtemtikk T

2

3 Odd Heir Joh Egeseth Håvrd Moe Ørulf Borg BOKMÅL Mtemtikk T

4 Ihold Alger A Tllregig 7 B Tllmegder C Potesregig 0 D Store og små tll 9 E Bokstvuttrykk F Kvdrtsetigee 7 G Fktoriserig H Brøkregig 8 I -terøtter 8 J Rotregig 6 Smmedrg 66 Kpitteltest 67 Likiger A Førstegrdslikiger B Fr tekst til likig C Forhold D Adregrdslikiger E Nullpuktsfktoriserig F Formler G Logritmelikiger H Ekspoetillikiger I Poteslikiger J Prosetregig med vekstfktor Smmedrg Kpitteltest Fuksjoer A Koorditsystemet B Fuksjosegrepet C Lieære fuksjoer D Prktisk ruk v lieære fuksjoer E Lieær regresjo F Polyomfuksjoer G Ekspoetilfuksjoer H Rsjole fuksjoer I Potesfuksjoer J Rotfuksjoer K Komisjoer v fuksjoer Smmedrg Kpitteltest Likigssystemer og ulikheter A Lieære likigssystemer B Ikke-lieære likigssystemer C Førstegrdsulikheter D Adregrdsulikheter Smmedrg Kpitteltest

5 Derivsjo A Gjeomsittlig vekstfrt B Momet vekstfrt C Derivsjo D Derivsjosregler E Forteget for de deriverte F Fuksjosdrøftig G Prktisk ruk v derivsjo H Defiisjoe v de deriverte Smmedrg Kpitteltest 6 Geometri 6A Pytgorssetige 6B Formlikhet 6C Tges 6D Sius og osius 6E Ehetssirkele 6F Arelsetige 6G Siussetige 6H Cosiussetige Smmedrg Kpitteltest 7 Ssylighet 7A Ssylighet og reltiv frekves 7B Ssylighetsmodell 7C Uiforme ssylighetsmodeller 7D Addisjossetige 7E Produktsetige for uvhegige hedelser 7F Produktsetige for vhegige hedelser 7G Smmestte forsøk Smmedrg Kpitteltest 8 Eksmestreig Ute hjelpemidler Med hjelpemidler Fsit Register Norsk-egelsk ordliste GeoGer i T

6 6 Alger Alger

7 A Tllregig 7 A Tllregig 0 Negtive tll Positive tll Tllee på e tllije er ordet etter størrelse. Jo større et tll er, desto leger til høyre står det på tllij. For eksempel er et større tll e, det vil si >. De fire regertee SNAKKE MATTE De fire regertee omtles ofte som «legge smme, trekke fr, gge og dele». Hv er de tilsvrede fgordee i mtemtikk? Når vi legger til et positivt tll, flytter vi oss mot høyre på tllij. For eksempel er +. Når vi trekker fr et positivt tll, flytter vi oss mot vestre på tllij. For eksempel er. Å legge til et egtivt tll er det smme som å trekke fr det tilsvrede positive tllet. For eksempel er + ( ). Å trekke fr et egtivt tll er det smme som å legge til det tilsvrede positive tllet. For eksempel er ( ) +. NB! Addisjo og sutrksjo med egtive tll + ( y) y ( y) + y. 0 ( 0) + ( 0). ( ) + ( ). ( )

8 8 Alger Når vi gger to tll, lir svret positivt hvis egge tllee er positive eller egge tllee er egtive: 0 og ( ) ( ) 0 egtivt år det ee tllet er positivt og det dre tllet er egtivt: ( ) 0 og ( ) 0 Hver v multipliksjoee ovefor hr to fktorer. NB! Multipliksjo og divisjo med egtive tll Når vi gger, er forteget på svret vhegig v hvor mge egtive fktorer det er. Med,,,... miusteg lir svret egtivt. Ellers lir svret positivt. Tilsvrede regel gjelder år vi deler. Regestykker der svret er 8: Regestykker der svret er 8: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 8) ( ) ( ) ( ) 8 ( ) ( ) ( ) ( 6) : ( ) 6 : ( ) 6 6 Vi mier om t e røkstrek etyr det smme som et divisjosteg. Teller Never. 0 ( ) ( 0) ( ) ( 0) : ( ) d 0 : ( ). ( ) (,) d 6 NB! De fire regertee Addisjo: ledd + ledd sum Sutrksjo: ledd ledd differse Multipliksjo: fktor fktor produkt Divisjo: divided : divisor kvotiet

9 A Tllregig 9 Poteser etyr, og er et eksempel på e potes. I dee potese er grutllet og ekspoete. NB! E potes er et produkt der lle fktoree er like. Ekspoete sier hvor mge gger grutllet skl stå som fktor: fktorer Merk deg forskjelle på ( ) og : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 6 ( ) ( ) 6 Når vi skriver ( ), er grutllet. Svret er likevel positivt, for det er fire egtive fktorer. Når vi skriver, er grutllet. Miusteget er forteget til potese, ikke til grutllet. Svret er derfor egtivt. Når grutllet i e potes er egtivt, er det ekspoete som vgjør om potese er et positivt eller egtivt tll. Hvis ekspoete er et oddetll, lir forteget mius. Ellers lir forteget pluss: ( ) ( ) 8 ( ) 6 ( ).6 Skriv ed og reg ut e potes med som grutll og som ekspoet som ekspoet og som grutll

10 0 Alger.7 ( ) ( ) d.8 ( ) ( ) 8 8 d ( ) 8 Kvdrtrøtter NB! Kvdrtrote v et tll er det positive tllet som opphøyd i dre potes er lik : ( ) Legg merke til t åde og ( ) er lik, me t kvdrtrote v skl være et positivt tll. Derfor er. Det fis ikke oe tll på tllij som opphøyd i dre potes er lik. Vi sier t ikke er defiert. Derimot er kvdrtrote v 0 defiert: 0 0. Vi mier om kvdrttllee:,, 9, 6,, 6, 9,... Kvdrtrote v kvdrttllee er,,,,, 6, 7,... EKSEMPEL Skriv tllee i stigede rekkefølge. 9 ( ) ( ) 60, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 9 60 er et tll mellom 7 og 8, for 7 9 og 8 6., er et tll som ligger mellom 8 og 7, me ærmest 8. Det er fordi 8 og 7. Riktig rekkefølge er derfor ( ) 60, ( ) d 0 000

11 A Tllregig.0 Skriv tllee i stigede rekkefølge. 6 ( ), Regerekkefølge Hv får du som svr på regestykket +? Hvis du får, hr du reget riktig. Hvis du får 0, hr du feiltolket uttrykket. Det k ikke være mer e ett riktig svr på et regestykke. Derfor hr vi regler som estemmer rekkefølge vi skl utføre utregigee i. NB! Regerekkefølge Preteser Poteser og kvdrtrøtter Multipliksjo og divisjo Addisjo og sutrksjo Ettersom multipliksjo skl utføres før ddisjo, får vi + + Hvis det står preteser rudt ddisjoe i regestykket ovefor, skl de utføres først, for preteser skl reges ut før multipliksjo. I så fll får vi ( + ) 0. EKSEMPEL Reg ut 8 + ( 7) : ( 7) : ( ) : : Preteser Poteser Gge og dele Legge smme og trekke fr ( )

12 Alger. 6 : 9 0, ( ). Oversett til regestykker og reg ut. Ti multiplisert med summe v fem og seks. Kvdrtrote v produktet v to, fire og åtte. Kvdrtet v mius tre.. Alert hr lært seg et mtemtikktriks: Tek på et tll og legg til fem. Multipliser det du får, med tre. Trekk så fr femte. Til slutt trekker du fr det doelte v tllet du tekte på. Hv får du d? Kie strter med tllet og Mri strter med tllet 7. Udersøk ved hoderegig hv Kie og Mri eder opp med. Sett opp Mris utregig som ett regestykke. Reg ut uttrykket du stte opp i oppgve.

13 A Tllregig Digitle verktøy Digitle verktøy er progrmmert til å følge de vedttte regerekkefølge. Du må være øye med hv du skriver i, for verktøyet gjør re det du gir det eskjed om! Du må gjøre deg kjet med det digitle verktøyet du ruker. Poteser skriver du ved å ruke mellom grutllet og ekspoete eller ved å ruke e «ml» for poteser: Mge digitle verktøy hr også e ml for kvdrtrot: Som et eksempel reger vi ut kvdrtrote v,. Skjermildet edefor viser resulttet med Mirosoft Mthemtis. I GeoGer, og på oe dre digitle verktøy, ruker du kommdoe sqrt( ). Sqrt er forkortelse for squre root, som er det egelske ordet for kvdrtrot. gir ekskt verdi: gir tilærmet verdi: Legg merke til t vi i mge digitle verktøy må ruke desimlpuktum i stedet for desimlkomm.. Løs oppgve. ved å ruke digitlt verktøy. Merk! I dette kpitlet skl oppgvee løses ute hjelpemidler, med midre oppgvetekste sier oe et.

14 Alger FLERE OPPGAVER ( 9) d ( 9) e 9 : ( ).7 Kvikksølv smelter ved 9 C og koker ved 7 C. Hvor stor er temperturforskjelle mellom smeltepuktet og kokepuktet?.8 Skriv tllee i stigede rekkefølge. ( ) (6 8) 7 8 d ( ) ( ).0 ( ) + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). Oversett til regestykker og reg ut. Trekk kvdrtet v 0 fr produktet v og 6. Divider differse mellom femte og tre med kvdrtrote v sekste. Multipliser summe v og med produktet v de smme tllee.. Udersøk om regestykket er riktig. Hvis ikke, sett preteser slik t det lir riktig Skriv tllee i stigede rekkefølge. ( ) 6 80, ( ) 8,7 0,9 99 ( ). T for deg dee lgoritme (oppskrifte): Tek på et tll. Trekk så fr tre multiplisert med tllet som er é midre e tllet du tekte på. Legg til det doelte v tllet du tekte på. Trekk til slutt fr kvdrtrote v i. Utfør lgoritme for oe tilfeldige tll. Hv eder du opp med? Frk teker på tllet. Sett opp lgoritme for Frks tll i ett regestykke, som du så reger ut.. + ( ) ( ( ) )

15 B Tllmegder B Tllmegder Vi skl her se ærmere på ulike typer tll. 0 Tllee som er mrkert på tllij ovefor, er hele tll. Symolet for heltll er. De positive heltllee kller vi turlige tll. Symolet for turlige tll er. Det fis uedelig mge hele tll, me også uedelig mge turlige tll. Og selig er det også uedelig mge tll mellom to hele tll på tllij! Mellom og er det for eksempel uedelig mge desimltll der det re står tretll etter komm:,,, osv. Disse tllee k vi skrive som røker: osv. Tr vi med uedelig mge tretll etter komm, skriver vi,.... Også dette tllet k vi skrive som røk:, Tll som k skrives som e røk med hele tll i teller og ever, kller vi rsjole tll. Symolet for rsjole tll er. Legg merke til t de hele tllee også er rsjole tll, for de k skrives som røker der evere er. Me mellom og er det også uedelig mge tll som ikke k skrives som røker med hele tll i teller og ever. Disse tllee kller vi irrsjole tll., og π er eksempler på irrsjole tll. 0 Tster du på et digitlt verktøy, får du kskje, 6. Me dette er re e tilærmet verdi for. Vi skriver, 6 Irrsjole tll er like «virkelige» som de rsjole tllee: I et kvdrt der sidee er m, er digolee i følge pytgorssetige m. Det k vi ruke til å plssere på tllij. Se figure.,

16 6 Alger Felles v på rsjole og irrsjole tll er reelle tll. Et tll på tllij er ete rsjolt eller irrsjolt. Alle tll på tllij er derfor reelle tll. Symolet for megde v reelle tll er. Om et tll er med i e megde eller ikke, uttrykker vi ved hjelp v symolee og. Vi tr 7 som eksempel. Det er åde helt, rsjolt og reelt, me ikke turlig. Vi k derfor skrive: 7, 7, 7 og 7!. ( leser vi som er elemet i eller tilhører.).6 Sett i eller i de tomme rutee. 8, d e 7 π 7 f, Itervller Et smmehegede utsitt v tllij kller vi et itervll. Alle itervller ieholder uedelig mge reelle tll. 0 På figure er tllee fr og med til og med mrkert. Dette klles et lukket itervll, og vi skriver det slik: [, ]. Hvis edepuktee og ikke er med i itervllet, skriver vi,. Dette klles et åpet itervll og estår v tllee fr til, det vil si tllee som ligger mellom og. Figure edefor viser hvord vi k mrkere dette itervllet på e tllije. 0 Hvis re ett v edepuktee hører med til itervllet, sier vi t det er hlvåpet: Tllee fr og med til skriver vi slik: [, Tllee fr til og med skriver vi slik:, ]

17 B Tllmegder 7 Et itervll k også være uegreset oppover eller edover. I stedet for det mglede edepuktet setter vi d e pil: Tllee som er større e, skriver vi slik:, Tllee som er midre e, skriver vi slik:,, 6 0, Legg spesielt merke til t [,, mes,..7 Sett i eller i de tomme rutee. 9 [ 0,9 ],, d 9, [ 0,9 ] e π, f 0,.8 Skriv med itervllteg. Tllee fr til 8. Tllee fr til og med 8. Tllee fr og med til og med 8. d Tllee som er større e. e Tllee som er midre e eller lik 8.

18 8 Alger.9 Forklr med ord hvilke tll itervllee ieholder, og mrker dem på e tllije. [, ] [,, EKSEMPEL Skriv med ulikhetsteg., y [, Tllet er større e. Vi k derfor skrive >. Tllet y k være et tll fr og med til. D er y større e eller lik og smtidig midre e. Vi k derfor skrive y og y <. Me det lir mer oversiktlig år vi skriver det som e doeltulikhet: y <.0 Skriv med ulikhetsteg., y [, z [, ]. Hvilket utsg uttrykker det smme? [, ], < [, < d, ] < < e [, f, 6 < g, ] 7 > h, 8 NB! Oppsummerig : De turlige tllee : De hele tllee : De rsjole tllee : De reelle tllee Lukket itervll: [, ] etyr Åpet itervll:, etyr < <

19 B Tllmegder 9 FLERE OPPGAVER. Hvilke v tllee er rsjole tll? d 7. Fyll i eller i de tomme rutee., π d 6. Fyll i eller i de tomme rutee.,7,,9, d [,]. Skriv som itervller. Tllee mellom og 7 Tllee som er midre e 7.6 Skriv disse itervllee med ord og mrker dem på e tllije:,, [,0.7 Skriv med itervllteg. Tllee som er større e, me midre e eller lik. De egtive tllee. De reelle tllee..8 Fyll i eller i de tomme rutee., d ( ) 6,6].9 Skriv med ulikhetsteg. Mrker tllmegdee på e tllije.,, [, 6 d,.0 Du skl i dee oppgve t for deg periodiske desimltll. Tllet q,... er et periodisk desimltll med periode lik. Vis først t 0q q. Bruk resulttet til å vise t q. Tllet r,... er et periodisk desimltll med periode lik. Reg ut 00r r. Bruk resulttet til å vise t r.

20 0 Alger C Potesregig Vi multipliserer to (eller flere) poteser med smme grutll ved å eholde grutllet og legge smme ekspoetee. NB! p q p + q Vi eviser regele slik: p+ q fktorer p q p fktorer q fktorer p+ q EKSEMPEL Reg ut y y 8. Her er det to ulike grutll: og y Vi sorterer, og ruker regele p q p + q for hvert grutll. y y 8 8 y y y + y 8 y 8 Vi dividerer to poteser med smme grutll ved å eholde grutllet og trekke de siste ekspoete fr de første. NB! p p q p : q q EKSEMPEL Reg ut y y

21 C Potesregig Når grutllet i e potes er et produkt, opphøyer vi hver v fktoree i ekspoete. NB! ( ) p p p Tilsvrede regel gjelder år produktet hr tre eller flere fktorer. EKSEMPEL 6 Reg ut (). () Merk! () er ikke lik.. ( y) (8) (y) d () Når grutllet i e potes er e røk, opphøyer vi tellere og evere i ekspoete. NB! p p p EKSEMPEL 7 y y y y 6y ( ) Legg merke til pretese rudt produktet y.. y 6 d y

22 Alger Når e potes skl opphøyes i e y ekspoet, opphøyer vi grutllet i produktet v ekspoetee. NB! ( ) p q p q Vi eviser regele slik: q fktorer p q p p p ( ) q ledd p+ p+ + p p q EKSEMPEL 8 Reg ut ( ). ( ) 0 NB! ( ) EKSEMPEL 9 Reg ut ( ). Grutllet er et produkt v og. Vi ruker derfor først t ( ) p p p. p Deretter k vi ruke t q p q ( ) ( ) ( ) ( ) 6 ( ) ( ) d y NB! De fem potesreglee p q p + q p p q q ( ) ( ) p p p p p p p q p q

23 C Potesregig EKSEMPEL 0 Reg ut Her er ige v grutllee like, me vi k skrive dem om: 6 k skrives som. 9 k skrives som. 8 k skrives som. 6 9 ( ) ( ) EKSEMPEL Vis t k omformes til 9. Vi ruker potesregele ( ) 9 ( ) p q p q klegs.

24 Alger. 9 ( ) 9 6 d Vis t k omformes til. Vis t 9 k omformes til. SNAKKE MATTE Forklr med ege ord hv de fem regereglee for poteser sier. Negtive ekspoeter Vi skl å defiere poteser der ekspoete k være egtiv. Skl det h oe hesikt å skrive for eksempel, må dee skrivemåte få et ihold som gjør t regereglee for poteser fortstt gjelder. Vi tr for oss divisjoe :. p q p q Bruker vi t :, får vi :. Me skriver vi divisjoe som e røk, får vi :. Altså ør vi l ety. Vi defierer derfor: NB! for 0 Hv om ekspoete er 0? Vi tr for oss divisjoe :. Bruker vi t p : q p q, får vi : 0 Me skriver vi divisjoe som e røk, får vi : Skl p : q p q gjelde år ekspoetee er like, må ltså 0 være lik. Vi vedtr derfor: NB! 0 for 0

25 C Potesregig Dette etyr t lle tll opphøyd i 0 er lik. Det eeste utket er 0 0, som ikke hr oe meig. 0 Av defiisjoe på 0 0 følger t ( ). For eksempel er og. Vi k å omforme uttrykk v type ved å «flytte» poteser mellom teller og ever, hvis vi smtidig skifter forteg på ekspoetee: EKSEMPEL. Reg ut 8 ( ) eller slik: ( ) 8 ( ) EKSEMPEL Skriv tllee i stigede rekkefølge. 8 0 ( ) 8 0 0, 0, ( ) 0,0 ( ) Riktig rekkefølge er derfor ( ) 8 0

26 6 Alger ( ) 8 ( ) d.8 Skriv tllee i stigede rekkefølge. 0, 6 0 EKSEMPEL Reg ut 9. 9 ( ) p p p ( ) p q p q p q p + q Foreklig v uttrykk ved hjelp v potesreglee er først og fremst ktuelt til delprøve ute hjelpemidler ved eksme. Det k likevel være greit å vite t uttrykket i eksempel også k reges ut med et CAS-verktøy. CAS står for Computer Alger System. Med CAS-verktøy k du også rege med okstver, og ikke re med tll. CAS-verktøy klles også «symolehdlede verktøy». Vi åper CAS-dele i GeoGer, skriver i uttrykket og klikker på :

27 C Potesregig 7 FLERE OPPGAVER.9 6 : 7 d () e ( ) f.0 0 π 0 ( ) 0. 8 () () 7 d () e f 0 0. : 6 8 d 6 9 e f ( ). Skriv så ekelt som mulig. y y ( ) 6 ( ). A B C D E F G H I J,,, 0, 0 0,,,,, På tllij hr vi mrkert 0 pukter A J. Avgjør hvilket pukt hvert v tllee edefor tilsvrer. 0 ( ). Skriv så ekelt som mulig. Kotroller svret med et CAS-verktøy. (y ) (y ) ( )

28 8 Alger.6 () + 8 () d 0 ( ) e ( ) f ( ).7 ( ) (( ) ).8 Skriv så ekelt som mulig. Kotroller svret med et CAS-verktøy. ( ) ,.9 A B C D E F G H I J 6 ( 6) ( ) 0 På tllij hr vi mrkert 0 pukter A J. Avgjør for hvert v tllee edefor hvilket pukt det tilsvrer., 0 0 0, 0,8.60 Skriv så ekelt som mulig. d ( ) ( ).6 Bruk relevte potesregler klegs til å vise t 8 0 0, Bruk regereglee for poteser til å vgjøre hvilket tll som er størst v 6 og..6 Vis t 000 ( ) ( ) 0 er lik for lle verdier v uttt 0.

29 D Store og små tll 9 D Store og små tll Når vi reger med svært store eller svært små tll, får vi ruk for poteser med 0 som grutll tierpoteser: Positiv ekspoet Negtiv ekspoet , , , , ,00 uller 0 uller Stdrdform Når et positivt tll er skrevet som et produkt der de ee fktore er e tierpotes og de dre et tll fr og med til 0, sier vi t tllet er skrevet på stdrdform. NB! Stdrdform 0, der og [,0 EKSEMPEL Skriv på stdrdform , , ,8 0 0,0068 6,8 0,00 6, ,8 0 plsser mot vestre 0,0068 6,8 0 plsser mot høyre.6 Hvilke v tllee er skrevet på stdrdform? 0, 0,8 0, 0 d Skriv på stdrdform , d 0,0

30 0 Alger.66 Skriv som vlige tll. 0 9,8 0,99 0 d,00 0 EKSEMPEL 6 Reg ut og skriv svret på stdrdform , , ( ) 0 0, 0 Vi skriver tllee på stdrdform. Vi sorterer og reger ut tll og tierpoteser hver for seg..67 Skriv svret på stdrdform., , 0, Skriv svret på stdrdform , , , Når du reger med tll på stdrdform på digitle verktøy, vil skrivemåte vriere. Vi lister opp oe vriter, som lle etyr :.E9.E * Reg ut med digitlt verktøy. Skriv svret på stdrdform ,00 0, ,8 0, 0 ( ),66 0,

31 D Store og små tll Prefikser Eergi måles i joule (J) og msse i grm (g). Hv etyr det så t det dglige eergiforruket ditt er omtret MJ, og t du ør få i deg mist 7, µg vitmi D dglig? M står for meg og µ står for mikro. De er eksempler på det vi kller prefikser. Telle edefor gir e oversikt over oe prefikser du ør kjee til. T ter illio G gig millird M meg millio k kilo tuse h hekto 0 00 hudre d dek 0 0 ti d desi 0 0, tidel eti 0 0,0 hudredel m milli 0 0,00 tusedel µ mikro 0 6 0, milliodel o 0 9 0, millirddel p piko 0 0, illiodel

32 Alger EKSEMPEL 7 Hvor mge J er MJ? Hvor mge g er 7, µg? Telle forteller oss t M er 0 6. Altså er MJ 0 6 J J. Telle forteller oss t µ er 0 6. Altså er 7, µg 7, 0 6 g 0, g. Det dglige eergiforruket ditt er omtret J, og du ør få i deg mist 0, g vitmi D dglig. Vi ruker prefikser for å ugå å skrive tll med så mge sifre. Prktisk, ikke st? EKSEMPEL 8 Hvor mge GJ er J? Telle forteller oss t G (gig) er 0 9. Altså er J, 0 9 J, GJ..70 Skriv eklere ved hjelp v et pssede prefiks J 000 g 0,00 s d W.7 E moiltelefo hr et mie på GB. Hvor mge MB er det?.7 Elektrisk effekt måles i wtt (W). Hvor mge W er 7, MW? Skriv svret som vlig tll og på stdrdform. Hvor mge MW er, 0 8 W? Hvor mge mw er 6,8 0 W? EKSEMPEL 9 Veie om I kjemi er det prktisk å gi msse per mol v et stoff. Ett mol er omtret 6,0 0 prtikler. Hvor mye veier 7, millirder gulltomer år gulltomer veier 97 g per mol? Vi reger først ut vekte per gulltom: 97 g,7 0 g/tom 6,0 0 tomer Så fier vi ut hvor mye 7, millirder gulltomer veier: 9 7, 0 tomer,7 0 g/tom, 0 g T med ekstr desimler i mellomsvr, og rud v til slutt. 7, millirder gulltomer veier så lite som, 0 g, pg.

33 D Store og små tll.7 Kri hr dietes, og må få tilført isuli jevlig. I hver dose er det omtret 0 6 isulieheter. Hormoet isuli veier 76 g per mol, og ett mol er omtret 6,0 0 eheter. Hvor mye veier isuliet i é dose? Gi svret med mg som ehet. SNAKKE MATTE Igu får SMS fr mmm med tekste: «K du kjøpe med kilo poteter på vei hjem fr skole?» Hv er det egetlig mmm er om? FLERE OPPGAVER.7 Skriv som vlige tll d, Skriv på stdrdform ,008 d 0 6

34 Alger.76 Skriv tllee i stigede rekkefølge , , Skriv svree på stdrdform ,00 0, ,00 d Skriv eklere med et pssede prefiks. 000 J Hz 0, m d m.79 I 0 produserte Norge 8, 0 0 L olje. Bruk digitlt verktøy til å fie ut omtret hvor mye olje Norge produserte i løpet v tre uker i Skriv på stdrdform. 0, ,8 0 d 0, Reg ut, og skriv svret på stdrdform. Kotroller t du får det smme med digitlt verktøy., , 0 0, 0, , 0 0,00 0 ( ).8 E kterie hr legde 0 mm. Oppgi legde v kterie i m og i µm. Hvor mge kterier må legges etter hverdre for t de smlede legde skl li mm m.8 Lysfrte i tomt rom er omtret,0 0 8 m/s. Avstde lyset tilkelegger på ett år kller vi et lysår. Avstde fr sol til stjere Proim Ceturi er, lysår. I dee oppgve skl du ruke digitlt verktøy til utregigee. Hvor lgt er et lysår? Hvor stor er vstde mellom sol og Proim Ceturi?.8 I 0 produserte Norge 8, 0 0 L olje. Bruk digitlt verktøy til å fie ut omtret hvor mye olje Norge produserte i løpet v e skoletime på miutter i 0.

35 E Bokstvuttrykk E Bokstvuttrykk Vi k re trekke smme ledd v smme type. Derfor er + 7, mes + ikke k trekkes smme. Når vi reger med okstvuttrykk, må vi ofte løse opp preteser. I de foridelse mier vi om oe yttige regler: NB! + ( + ) + + ( + ) ( + ) + ( + )( + d) + d + + d SNAKKE MATTE Forklr med ege ord hv reglee for oppløsig v preteser sier. EKSEMPEL 0 Reg ut ( ) ( )( + 6). ( ) ( )( + 6) 6 ( + 6 6) Legg merke til t vi må sette e pretes Vi trekker smme ledd v smme type. EKSEMPEL Reg ut ( + )( + ). ( + )( + ) ( ) ( ) + + Du k også gjøre slik: ( + )( + ) (8 + )( + ) Ikke multipliser egge pretesee med!

36 6 Alger FLERE OPPGAVER d d d d.86 + (0 ) (0 ) (0 ) d (0 ).87 9 (y + ) y(y ) + 0y y (y ) d (y + ) y.88 (y + )(y + ) (y + )(y ) (y )(y ) d ( y)( y + ).89 Kotroller svret med et CAS-verktøy. + 7 ( ) ( ) d (d + 8)(d ).90 Still opp som regestykker, og reg ut. Summe v og 6. Produktet v og. Kvdrtet v..9 Kotroller svret med et CAS-verktøy. ( ) ( + )( ) (y y ) y( + y) ( z) (z )( + z) + z.9 ( m)(m + ) ( )( + ) ( s)(s + )(8 + s).9 Gitt disse uttrykkee: + og. Bestem summe, differse og produktet v uttrykkee. Fi kvdrtet v hvert v uttrykkee..9 Når du reger med okstvuttrykk, ruker du ofte disse reglee: ( + ) + ( + )( + d) + d + + d Begru reglee ut fr figuree til høyre. Lg e eget figur og egru ut fr figure t regele ( ) er rett. d

37 F Kvdrtsetigee 7 F Kvdrtsetigee Første og dre kvdrtsetig Vi lr og være to vilkårlige tll. Summe v dem er d +, og differse mellom dem er. Kvdrtet v summe er Kvdrtet v differse er ( + ) ( + )( + ) ( ) ( )( ) NB! Første kvdrtsetig Adre kvdrtsetig ( + ) + + ( ) + EKSEMPEL Reg ut ( + 7) ved hjelp v første kvdrtsetig. ( + 7) EKSEMPEL Reg ut ( y ) ved hjelp v dre kvdrtsetig. ( ) y ( ) y + y y + y ( ).9 Reg ut ved hjelp v første eller dre kvdrtsetig. ( + ) ( ) ( + ) d ( 8).96 Reg ut ved hjelp v første eller dre kvdrtsetig. ( ) ( ) ( + ) d ( + y )

38 8 Alger EKSEMPEL Bruk figure til å gi et geometrisk evis for første kvdrtsetig. Figure er et kvdrt med side +, og hr derfor relet ( + ). De stiplede lijee deler figure i i fire områder: Kvdrt med side Arel: To rektgler med sider og Arel: Kvdrt med side Arel: Legger vi smme relet v de fire områdee får vi + +, som også er et uttrykk for relet v figure. Og d hr vi vist t ( + ) + +, som ettopp er første kvdrtsetig..97 Bruk figure til å gi et geometrisk evis for dre kvdrtsetig. SNAKKE MATTE Første kvdrtsetig k vi formulere slik: Kvdrtet v summe v to tll er kvdrtet v det første tllet, pluss det doelte produktet v tllee, pluss kvdrtet v det dre tllet. Formuler dre kvdrtsetig med ord.

39 F Kvdrtsetigee 9 Tredje kvdrtsetig I dee siste kvdrtsetige skl vi ikke kvdrere. Her skl vi multiplisere summe + med differse. ( + )( ) + NB! Tredje kvdrtsetig (kojugtsetige) ( + )( ) EKSEMPEL Reg ut ved hjelp v tredje kvdrtsetig. ( + 7)( 7) ( + y )( y ) ( + 7)( 7) 7 9 ( + y )( y ) () (y ) y 6.98 Reg ut ved hjelp v tredje kvdrtsetig. ( + )( ) ( + )( ) ( )( + ).99 Reg ut ved hjelp v tredje kvdrtsetig. ( + )( ) ( + y )( y ) + SNAKKE MATTE Forklr hv dee figurserie viser.

40 0 Alger FLERE OPPGAVER.00 Reg ut ved hjelp v kvdrtsetigee. ( + y) ( + ) ( ) d ( + )( ).0 Reg ut ved hjelp v kvdrtsetigee. ( + 9) ( + ) ( ) d ( + )( ).0 Reg ut ved hjelp v kvdrtsetigee. ( 9) ( + ) (m ) d (8 )(8 + ).0 Reg ut ved hjelp v kvdrtsetigee. ( + 8) ( ) ( ) d ( + 7)( 7).0 Kotroller svret med et CAS-verktøy. ( + 8) 6 ( ) ( + ) d ( + )( ).0 Reg ut kvdrtet v summe v og. Reg ut kvdrtet v differse mellom og..06 Reg ut ved hjelp v kvdrtsetigee. ( + 9) ( ) + d +.07 Kotroller svret med et CAS-verktøy. ( + ) ( ) ( + ) d ( + ) ( + )( ).08 Ae hr fuet e kjpp måte å multiplisere to heltll år det ee er større e det dre: Trekk fr kvdrtet v tllet midt mellom heltllee. For eksempel er Forklr hvorfor metode virker..09 Bruk. kvdrtsetig til å estemme Bjre hr kkurt så mge drops t h k legge dem i et kvdrtisk -gitter. H vil omorgisere dropsee sie til et rektgulært gitter. Legde skl være like mye leger e som redde er kortere e. Vis t Bjre lltid vil h et tll drops til overs som er et kvdrttll etter e slik omorgiserig.

41 G Fktoriserig G Fktoriserig Å fktorisere et tll eller et uttrykk vil si å skrive det som et produkt v to eller flere fktorer. Det vil du h ytte v ved røkregig og likigsløsig. Hvord fktoriserer vi så for eksempel tllet? Svret er t det vheger v smmehege. k skrives som, 6 eller, lt etter hv vi hr ruk for. er et eksempel på det vi kller primtllfktoriserig, og lir reget som de fullstedige fktoriserige v. Vi mier om t primtll er turlige tll større e som re er delelige med seg selv og :,,, 7,,, 7, 9,... Et turlig tll k primtllfktoriseres på re é måte (ortsett fr rekkefølge på fktoree). EKSEMPEL 6 Fktoriser 0 y. 0 y y y y. Fktoriser. 6 y y d 99 Felles fktor Uttrykkee + og + er ikke fktorisert, for de estår v to ledd. og hr ige felles fktor. og hr som felles fktor, og k derfor fktoriseres ved å sette utefor e pretes: + + ( + ). Når et uttrykk er fktorisert, k pluss eller mius re forekomme ie i e pretes. Pretese er d e fktor. NB! Felles fktor + d ( + d) For lettere å se hv som er felles fktor, k det være lurt å fktorisere hvert ledd først.

42 Alger EKSEMPEL 7 Fktoriser. ( ) ( ) Merk! Du k lltid kotrollere e fktoriserig ved å multiplisere fktoree og se om du får tilke uttrykket du strtet med: ( ) EKSEMPEL 8 Fktoriser + ved å sette utefor e pretes. + ( + ) Merk! Når du setter et egtivt tll utefor e pretes, må du psse på t fortegee ie i pretese lir riktige.. Fktoriser d 8d + 8d. Fktoriser y 6y 6 d 9 9 SNAKKE MATTE Stemmer det? Alltid oe gger ldri Forklr! Uttrykkee og hr smme verdi. er felles fktor for leddee i et polyom.

43 G Fktoriserig Kvdrtsetigee klegs Av og til k vi fktorisere flerleddede uttrykk ved hjelp v kvdrtsetigee. Me det krever litt treig å se det. EKSEMPEL 9 Fktoriser om mulig uttrykkee ved hjelp v kvdrtsetigee Uttrykkee hr e form som mier om det vi får ved kvdrtsetigee med og : er kvdrtet v. er kvdrtet v. 0 er det doelte produktet v og. psser med første kvdrtsetig: ( + ) psser med dre kvdrtsetig: 0 + ( ) psser med tredje kvdrtsetig: ( + )( ), og psser ikke med oe v kvdrtsetigee.. Fktoriser om mulig uttrykkee ved hjelp v kvdrtsetigee d 6. Fktoriser om mulig uttrykkee ved hjelp v kvdrtsetigee. + + d EKSEMPEL 0 Fktoriser uttrykkee. 9 6 ( + ) er kvdrtet v og 6 er kvdrtet v 8. Tredje kvdrtsetig gir derfor 9 6 () 8 ( + 8)( 8). Her svrer + til og 6 til i uttrykket. Tredje kvdrtsetig gir derfor ( + ) 6 ( + ) 6 (( + ) + 6)( ( + ) 6) ( + + 6)( + 6) ( + 8)( ) Her er felles fktor. Vi setter først utefor e pretes. Deretter ruker vi tredje kvdrtsetig. 8 ( 6) ( ) ( + )( )

44 Alger.6 Fktoriser uttrykkee. 9 9 d ( + ) 6 Fullstedig kvdrt I de tilfellee vi k fktorisere et uttrykk ved å ruke første eller dre kvdrtsetig klegs, hr vi det vi kller et fullstedig kvdrt. NB! Uttrykket + k + er et fullstedig kvdrt hvis I så fll er + k + k +. k er et fullstedig kvdrt, for er ikke et fullstedig kvdrt, for er et fullstedig kvdrt, for Hvilke v uttrykkee er et fullstedig kvdrt? d + NB! Av k + k lger vi et fullstedig kvdrt ved å legge til. k For t verdie v uttrykket ikke skl edre seg, må vi også trekke fr. k k k k + k + k + + Neste eksempel viser hvord vi går frm for å fktorisere uttrykk som ikke er fullstedige kvdrter.

45 G Fktoriserig EKSEMPEL Fktoriser om mulig uttrykkee ( + ) ( + ) (( + ) + )(( + ) ) ( + )( + ) 6 Legger til og trekker fr Første kvdrtsetig klegs Tredje kvdrtsetig klegs ( + ) + ( + ) + Uttrykket k ikke fktoriseres, for e sum v to kvdrter k ikke fktoriseres. Merk! Det er re år vi får e differse mellom to kvdrter t vi k ruke tredje kvdrtsetig til å fktorisere..8 Hv mgler for t uttrykkee skl li et fullstedig kvdrt? d +.9 Fktoriser om mulig uttrykkee SNAKKE MATTE Når vi ygger ut et uttrykk til fullstedig kvdrt hr vi e huskeregel: hlvere, kvdrere, ddere Forklr med ege ord hv dee regele forteller.

46 6 Alger EKSEMPEL Fktoriser uttrykkee i eksempel ved hjelp v digitlt verktøy. Vi åper CAS-dele i GeoGer, skriver i uttrykkee og klikker på. Det gir Altså hr vi også digitlt fuet ut t ( + )( + ) og t ikke k fktoriseres. FLERE OPPGAVER.0 Fktoriser d 9. Fktoriser d πr + πrh. Fktoriser. 7y + 6 d. Fktoriser dersom det er mulig y 7 6 d +. Figure viser et kvdrt med side S som det er skåret ort et kvdrt med side s fr. Fi et uttrykk for relet v det skrverte området på fktorisert form. S s s. Udersøk om kvdrtet er fullstedig. Fktoriser i så fll uttrykket. Kotroller med et CAS-verktøy S

47 G Fktoriserig 7.6 Fktoriser dersom det er mulig d Fktoriser uttrykkee. Kotroller med et CAS-verktøy. 9 0 d Figure viser to sirkler med felles setrum. r R Fi et uttrykk for relet v det skrverte området på fktorisert form..9 I uttrykket ( + m) + er m og kostter, mes k vriere. Forklr t de miste verdie uttrykket k h, er. For hvilke verdi v hr uttrykket si miste verdi? T for deg uttrykket Skriv om uttrykket slik t det ieholder et fullstedig kvdrt. Fi de miste verdie uttrykket k h. For hvilke verdi v hr uttrykket si miste verdi?.0 Bestem slik t uttrykket lir et fullstedig kvdrt. + + y y +

48 8 Alger H Brøkregig Utvidig og forkortig Å utvide e røk vil si å multiplisere teller og ever med smme tll. EKSEMPEL Utvid røke slik t evere lir 0. Utvid røke + 7 slik t evere lir 6. Ettersom 0, multipliserer vi med i teller og ever. 6 0 Ettersom 6, multipliserer vi med i teller og ever. + 7 ( + 7) + Legg merke til pretese rudt Det motstte v å utvide er å forkorte. Å forkorte e røk vil ltså si å dividere teller og ever med smme tll. For t vi skl kue forkorte e røk, må teller og ever h mist é felles fktor. EKSEMPEL Forkort røke så mye som mulig Utvid røke slik t evere lir 0. Utvid røke slik t evere lir. Utvid røke + slik t evere lir.. Fktoriser og forkort så mye som mulig. 8 0 d y 8y

49 H Brøkregig 9 EKSEMPEL Forkort om mulig røkee. 9 + Vi fktoriserer evere. D ser vi t er felles fktor for tellere og evere. ( ) 9 ( ) Når «lt» er forkortet, står fktore igje i tellere, fordi ( ) Teller og ever hr ige felles fktor, så det er ikke mulig å forkorte. Merk! Det vi k gjøre med røke i eksempel ovefor, er å skrive de som e sum v to røker: EKSEMPEL Skriv så ekelt som mulig. 6 Vi fktoriserer tellere ved hjelp v dre kvdrtsetig og evere ved hjelp v tredje kvdrtsetig. D ser vi t er felles fktor ( )( ) + 6 ( )( ) + Vi k også løse oppgve i eksemplet ovefor digitlt. I CAS-dele i GeoGer skriver vi i uttrykket og klikker på.. Forkort røkee dersom det er mulig y + d 8

50 0 Alger. Forkort røkee. Kotroller svret med et CAS-verktøy d NB! Når vi utvider eller forkorter e røk, edrer ikke røke verdi. Addisjo og sutrksjo Når vi skl trekke smme røker, må vi sørge for t de får lik ever. Det miste tllet som lle evere går opp i, kller vi fellesevere. Når vi hr fuet fellesevere, må vi utvide lle røkee slik t de får dee evere. EKSEMPEL 7 Reg ut +. 6 Nevere er her, 6 og. Fellesevere er derfor Utvider med fktore som mgler i evere Setter på felles røkstrek 6 9 Trekker smme 6 Forkorter med EKSEMPEL 8 Reg ut Vi fktoriserer evere for lettere å se fellesevere: + 8 ( + ) Fellesevere er ( + ). 6 + ( + ) + ( 6) 8 ( ) ( + ) + + ( ) ( + ) + ( ) ( + ) Utvider Legg merke til pretese rudt år vi setter på felles røkstrek.

51 H Brøkregig EKSEMPEL 9 Trekk smme og skriv svret så ekelt som mulig Vi fktoriserer evere: 9 ( + ) ( ) + 6 ( + ) Fellesevere er ( + ) ( ). + ( ) 9 6 ( + )( ) ( + ) ( ) 8 + ( )( ) ( + )( ) 8 ( ) ( + )( ) + ( + )( ) Utvider Pretes rudt år vi trekker smme til é røk ( + ) ( + )( ) Fktoriserer og forkorter Oppgve i eksemplet ovefor k også løses digitlt. Vi åper CAS-dele i GeoGer, skriver i uttrykket og klikker på d

52 Alger.7 Kotroller svret med et CAS-verktøy Multipliksjo Når vi multipliserer røker, multipliserer vi tellere og evere hver for seg. Vi fier ikke fellesever først. EKSEMPEL 0 Reg ut Fktoriser og forkort før du gger ut. EKSEMPEL + Reg ut ( + ) 8 ( + ) + 6 Legg merke til pretese rudt +. EKSEMPEL Reg ut ( 6) 0 ( 0) ( ) ( + ) ( ) ( ) ( ) + Tredje kvdrtsetig klegs

53 H Brøkregig d Divisjo Når vi skl dividere med e røk, multipliserer vi med de omvedte røke: De omvedte røke v t er t. t De omvedte røke v et tll t er, for t t. EKSEMPEL 0 Reg ut :. + Fktoriser og forkort før du gger ut. 0 + ( + ) ( + ) ( + ) + : EKSEMPEL 6 Reg ut : ( + 8). 6 :( + 8) ( 8+ ) ( 8 ) ( + 8)

54 Alger : : : d 6 :. 6 : ( ) : : Brudde røk E røk der teller eller ever eller egge er e røk, kller vi e rudde røk., og er eksempler på rude røker. For å gjøre det tydelig hv som er teller og ever i rude røker, må hovedrøkstreke gjøres litt legre e de dre røkstrekee. NB! Brudde røk Hovedrøkstrek d Småevere EKSEMPEL Skriv som vlig røk ved å skrive hovedrøkstreke som divisjosteg. utvide med fellesevere for småevere. :

55 H Brøkregig. Skriv som vlig røk. 7 d 0 FLERE OPPGAVER. Skriv tllee i stigede rekkefølge: 7. Forkort røkee y y d +. Forkort røkee hvis det er mulig d Forkort røkee hvis det er mulig d : d : d 8 : 8.9 Trekk smme d d + d d 6

56 6 Alger.0 Trekk smme d Skriv så ekelt som mulig. y d y. Skriv tllee i stigede rekkefølge: 0,. Forkort røkee hvis det er mulig d +. Forkort røkee hvis det er mulig. + 8 y + 0y y d +. : ( + ) : 6 7 d kg smågodt koster 8 kr. Hv koster kg smågodt?

57 H Brøkregig : d + 6 : +.9 Trekk smme Trekk smme Gjør røkee urude. 7 + d e +.6 Et mtemtikktriks lyder slik: Tek på et tll. Multipliser tllet med sju, legg til tolv og trekk fr tllet selv. Til slutt dividerer du med seks. Si meg hv du hr kommet frm til, så skl jeg si deg hvilket tll du tekte på! L være tllet det tekes på. Formuler prosedyre i trikset som e røk, som du så forkorter. Kommeter..6 Skriv så ekelt som mulig. y y 8 y y.6 Fi deretter e tilærmet verdi ved hjelp v et digitlt verktøy Reg ut ed oe røker etter møster v oppgve. Kommeter. ( )

58 8 Alger I -terøtter Fr før er du kjet med kvdrtrøtter. Vi vil å utvide rotegrepet. NB! -terote v et tll er det tllet som opphøyd i -te potes er lik : ( ) Hvis er et prtll, er er lik. det positive tllet som opphøyd i -te potes Når, sier vi kvdrtrot (ikke drerot), og vi skriver (ikke ). Når, sier vi kuikkrot eller tredjerot, og vi skriver. Kvdrtrøtter, fjerderøtter, sjetterøtter, og så videre er lltid positive. Adre -terøtter k være egtive. 6 6, fordi 6 6 og er et positivt tll. 6 6 gir ikke meig, for det fis ikke oe reelt tll som opphøyd i sjette potes er lik 6. 6, fordi ( ) 6. For t du skl kue fie -terote v et tll ute å ruke digitle verktøy, må tllet kue skrives som e potes med som ekspoet..6 Reg ut hvis mulig d EKSEMPEL 6 Skriv tllee i stigede rekkefølge. 8 0, 00 6, fordi. 6, fordi 6. 8, fordi ( ) 8. 0,00 0,, fordi 0, 0,00. er et tll mellom og, fordi og 6. Riktig rekkefølge er derfor 6 8 0,00

59 I -terøtter 9.66 Skriv tllee i stigede rekkefølge Noe digitle verktøy hr e ml for -terot:. Adre ruker e kommdo. Skjermildet viser hvord du fier sjetterote v i GeoGer..67 Reg ut med digitlt verktøy , d 7 Poteser med rsjole ekspoeter (røkekspoeter) Vi vil t potesreglee du lærte i uderkpittel C også skl gjelde år ekspoetee er røker. Me hv skl for eksempel 8 ety? Bruker vi potesregele ( p ) q p q, k vi rege slik: Nå hr du ettopp lært t 8 er det tllet som er opphøyd i tredje potes er lik 8. Utregige viser derfor t 8 er det smme som 8. Geerelt vedtr vi følgede år er et positivt heltll og er et positivt reelt tll: NB! t Vi ruker potesreglee og defiisjoe ovefor til å omforme potese på to måter: t t ( ) t t t t t ( ) t

60 60 Alger Hvis t og er hele tll, og og er positive, hr vi geerelt: NB! t ( ) t t t Videre er. t t EKSEMPEL 7 Skriv tllee i stigede rekkefølge ( ) Å opphøye i er det smme som å t kvdrtrote ( ) ( ) 7 9 Altertiv: 8 ( ) Riktig rekkefølge er derfor ( ) Skriv tllee i stigede rekkefølge. ( ) ( ) Skriv så ekelt som mulig. ( ) ( ) ( y ) d 8 FLERE OPPGAVER.70 Bruk digitlt verktøy re år det er ødvedig d 0 e 0 f 7 g 7 ( ) h 7

61 I -terøtter 6.7 Skriv rotuttrykkee som poteser og potesee som rotuttrykk. 7 d e f g 7 h 6.7 Skriv så ekelt som mulig. 6 ( ) ( ) d.7 A B C D E F G H I J På tllij hr vi mrkert 0 pukter, A J. Avgjør for hvert v tllee edefor hvilket pukt det tilsvrer. ( ) Skriv så ekelt som mulig. ( ) ( ) d ( ).7 A B C D E F G H I J 0 På tllij hr vi mrkert 0 pukter, A J. Avgjør for hvert v tllee edefor hvilket pukt det tilsvrer. 0,, Fi to hele tll og slik t er lik 8 d.77 Vis t 9.

62 6 Alger J Rotregig Vi utleder to regeregler du treger år du reger med rotuttrykk. -terote v et produkt: ( ) -terote v e røk: NB! EKSEMPEL 8 Vis t k omformes til..78 Vis t 0 k omformes til. Vis t k omformes til. Vis t 8 k omformes til 7. d Vis t k omformes til. e Skriv 0 så ekelt som mulig. EKSEMPEL 9 Skriv uttrykket 8 så ekelt som mulig. 6 y y 6 6 y y y d 0 0 0

63 J Rotregig 6 EKSEMPEL 0 Reg ut ( + 8) ved å ruke første kvdrtsetig. forekle uttrykket ie i pretese ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( + ) ( ) ( ) ( ) Skriv så ekelt som mulig. ( 8) + 8 ( ) ( 8 + )( 8 )

64 6 Alger EKSEMPEL Skriv så ekelt som mulig ( 8 ) 6 Vi omformer rotuttrykkee til poteser. 8 6 ( ) + 6 p q p + q Fellesevere for ekspoetee er 6. 6 Merk! Det gir ofte eklest regig om du gjør rotuttrykkee om til poteser. FLERE OPPGAVER.8 Skriv så ekelt som mulig Skriv så ekelt som mulig. d Skriv så ekelt som mulig. 9 8 d 6 6 8

65 J Rotregig 6.8 Skriv så ekelt som mulig. ( ) 7 d + ( ).8 Skriv så ekelt som mulig. Kotroller svret med et CAS-verktøy. ( )( ) d 6.86 Skriv så ekelt som mulig. 9 6 d Skriv så ekelt som mulig. ( ) 6 d ( ).88 Skriv så ekelt som mulig. Kotroller svret med et CAS-verktøy. + ( + 8)( 8) + ( )( ).89 Skriv så ekelt som mulig d 6.90 Skriv så ekelt som mulig L m og være turlige tll. Vis t m+ m ( )( ) er et helt tll. Bruk lt et resulttet i oppgve til å forekle uttrykket Det skl ikke være rotuttrykk i evere på svret..

66 66 Alger SAMMENDRAG Regerekkefølge Preteser poteser og kvdrtrøtter multipliksjo og divisjo ddisjo og sutrksjo Reelle tll Tllij estår v uedelig mge reelle tll,. Et itervll er et smmehegede utsitt v tllij: [, ] ieholder lle reelle tll fr og med til og med., ieholder lle reelle tll mellom og. Poteser 0 t fktorer ( ) t Defiisjoer t p q p+ q p q p q : p p q ( ) Regeregler p p p p q p q ( ) Stdrdform 0, der og [,0 Kvdrtsetigee ( + ) + + ( ) + ( + )( ) Fullstedig kvdrt + k + k + k k k k + Brøk d + + d d -terøtter ( ) d d : d d

67 Kpitteltest 67 KAPITTELTEST Del Ute hjelpemidler Oppgve + 7 ( ) + : 9 ( ) 8 d ,008 Oppgve Skriv så ekelt som mulig. ( ) ( + ) Oppgve Skriv så ekelt som mulig. ( ) 8 7 Oppgve Skriv så ekelt som mulig. ( ) Oppgve T for deg disse tllee: ,7 0 7 Hvilke tll er rsjole? Skriv tllee etter stigede verdi. 0 Del Med hjelpemidler Oppgve 6 E lserpuls estår v fotoer som hr eergie, 0 9 J. Hvor mge fotoer er det i e lserpuls som hr totleergie,0 J? Oppgve 7 Mrkus hr e kvdrtisk metllplte med side y. I hvert hjøre skjærer h ort et kvdrtisk stykke med side. Se figure. y Fi et fktorisert uttrykk som gir relet v det som er igje v plte. y

68 Odd Heir hr i e årrekke vært lærer, læreokforftter og kursholder i mtemtikk for videregåede skole. H hr hovedfg i geofysikk og uderviser til dglig i mtemtikk ved Oslo Hdelsgymsium. Håvrd Moe hr red relfglig utdig og hr skrevet læreøker i mtemtikk i flere år. H er lærer ved Sdessjøe videregåede skole og uderviser i mtemtikk, fysikk og kjemi. Joh Egeseth hr red udervisigsprksis og uderviser til dglig ved Elvekke videregåede skole. H hr hovedfg i fysikk og hr vært forftter v mtemtikkøker for videregåede skole i mge år. Ørulf Borg er professor ved Mtemtisk istitutt, Uiversitetet i Oslo, der h forsker og uderviser om sttistiske metoder. H hr vært læreokforftter i mge år og hr gitt e rekke kurs og foredrg for lærere i videregåede skole. Mtemtikk T Mtemtikk T følger læreple Mtemtikk T (0). Mtemtikk T estår v læreok, lærerressurs med Læreres digitlok ikludert, smt digitle elevressurser. De digitle ressursee fier du på Lokus.o. Læreok Læreok ieholder teori, eksempler og ilærigsoppgver, smt differesierte oppgver til hvert uderkpittel. Til slutt i ok fier du et eksmestreigskpittel med ldede oppgver. Digitl lærerressurs På de omfttede lærerressurse fier du lt et prøver, løsiger, Twig-filmer og Læreres digitlok. Digitle elevressurser Læreverket hr e elevressurs som er fritt tilgjegelig. Her fier du lt et iterktive oppgver, løsiger, ilærigsressurser og verktøyopplærig. Bm: Ny: