Nytt skoleår, nye bøker, nye muligheter!

Transkript

1 Nytt skoleår, nye øker, nye muligheter! Utstyret dere trenger, er som i fjor: Læreok lånes v skolen vinkelmåler, --9 og - -9-treknter, psser, lynt, viskelær, penn, A-rk til innføring og A klddeok. Og en god A-perm å smle stensiler og liknende i! I tillegg trenger dere en del progrm på PCen: Word, Excel, GeoGer og T-inspire. Hr dere tilgng på klkultor, er det knskje kjekt. Søker dere på nett csio+98+emultor vil der kunne få en -dgersversjon v en klkultor. Læreok i R er lg v smme forlg som grunnkursok: To sider teori og deretter oppgver. Innholdet i år er:. Komintorikk og sttistikk: Dette er en rein fortsettelse v det dere lærte i fjor, og ikke nnerledes enn det de lærer i smfunnsfgsmtemtikken S.. Bevis og evisføring: Her møter dere teoretisk mtemtikk. Hvordn kn en mtemtiker logisk evise t noe er snt eller usnt?. Vektorer: Et helt nnerledes kpittel enn dere er vnt til, og nyttig for fysikere og ingeniører.. Alger: Mer om likninger og flerledd uttrykk, ulikheter, logritmer og tllet e.. Grenseverdier og derivsjon: En fortsettelse v det dere lærte om derivsjon i fjor, dvs. t dere skl lære å finne stigningstllet til nesten lle funksjoner. Grenser er et spennende og strkt mtemtisk fenomen.. Funksjonsdrøfting: Bruk v derivsjon til å finne ut det meste om en grf.. Geometri: Om treknter og sirkler og geometriske steder, et spennende emne som stmmer fr de gmle grekerne. Dere skl også konstruere litt igjen. Litt fr grunnskolen: Tommy & Tigern, ind, side m R : Sttistikk og snnsynlighetsregning:. ugust. septemer Excel eller et hvilket som helst regnerk, er det viktigste hjelpemiddelet i sttistikk. En trfikkundersøkelse v ntll personer i en privtil kn illustreres slik: Reltiv Antll Frekvens Totltll frekvens, 8, 9, 8,, Sum, Her finner vi gjennomsnittlig ntll personer i ilene: Medinen, det midterste tllet, lir. Typetllet, oservsjonen som forekommer flest gnger, er. Vrisjonsredden, forskjellen mellom største og minste oservsjon, er.

2 Antll iler Regnerket lger fine digrm: Dette er først ei kke som viser reltiv frekvens, og deretter et linjedigrm, dvs. et vnlig koordintsystem, som viser utvikling fr få til mnge psssjerer. Antll personer i iler: % 8 % % % % Antll personer i iler: Knskje kn det være nyttig å repetere litt fr i fjor? Figuren viser et lykkehjul. Du snurrer lykkehjulet og ser hvilken frge det stopper på. ) Hvilke utfll hr dette forsøket, og hv lir utfllsrommet? ) Skriv opp en snnsynlighetsmo dell for forsøket. c) Hv er snnsynligheten for t lykkehjulet stopper på gul, rød eller ornsje? d) Hv er snnsynligheten for t lykkehjulet ikke stopper på lå eller grønn? I lotteriet til idrettslget Koll er det solgt lodd. Førstepremien er et videokmer. Eldrid hr kjøpt lodd. Hv er snnsynligheten for t hun: ) Vinner videokmeret ) Ikke vinner videokmeret Andrepremien i lotteriet er et fotopprt. Vinneren v ndrepremien trekkes ut etter vinneren v førstepremien. Hv er snnsynligheten for t Eldrid: c) Vinner åde videokmeret og fotopprtet d) Vinner videokmeret, men ikke fotopprtet C) En gruppe på elever skl til utlndet. Ti elever hr tysk som fg, og ni hr frnsk. Tre elever hr åde tysk og frnsk. En elev trekkes ut tilfeldig for å være reiseleder. Hv er snnsynligheten for t reiselederen hr: ) Både tysk og frnsk ) Minst ett v fgene tysk og frnsk c) Ingen v fgene tysk og frnsk

3 D) En fmilie hr to rn som ikke er tvillinger. ) Hv er snnsynligheten for t egge rn er gutter? ) Hv er snnsynligheten for t den eldste er en jente og den yngste en gutt? c) Hv er snnsynligheten for t det er en gutt og en jente? E) Du stokker en kortstokk godt og ser på de tre øverste kortene. Hv er snnsynligheten for t: ) Alle kortene er kløverkort ) Ingen v kortene er kløverkort c) Det øverste kortet er et kløverkort og de to ndre er sprkort d) Det er ett kløverkort og to sprkort (Fsit: A: : rød, lå, svrt, hvit, ornsje, grønn og gul U={rød, lå, svrt, hvit, ornsje, grønn, gul} : rød)=lå)=/=% svrt)=hvit)=/8=,% ornsje)=grønn)=gul)=/=8,% c: /=,% d: /=,% B: :, :,988 c:, d:,9 C: : /=% : /=8% c: /=% D: :, :, c:, E: :, :, c:, d:,) Oppgver Innhold Dto.,.,.,.. (U). (P). Multipliksjonsprinsippet: Når det skl skje flere ting i smme forsøk, ltså åde og, skl snnsynligheter multipliseres. Fkultet: Ofte skl vi multiplisere mnge tll som følger etter hverndre, for eksempel,,,,. Fkultet er snrveien, og klkultoren er en mester i fkultet!! TI-nspire: Dere finner opplæringshefte til TI-nspire i Fronter: Under Dokumenter i rommet for R. Progrmmet er enkelt i ruk. ) Klikk i hovedvinduet og velg Legg til klkultor ) Dere kn ruke tstturet omtrent som i MthCd, men dere kn også slå på en egen /8.,.8,.9,.,.,.. (U).,.,.. (U) klkultor som v og til er enklere å ruke. ) Skriv regnestykket inn og trykk <linjeskift>. Holder dere <ctrl> inne når dere trykker <lsk> vil utregning li i desimltll, ellers ekskt. ) Vårt eksempel:!<lsk> På Csio: - OPTN PROB x! - EXE. Permutsjoner: Hvor mnge måter kn vi ordne en rekkefølge? Vi skl plukke uten tilkelegging Ordn utvlg uten tilkelegging: Av i lt n skl vi plukke ut r og finne ntll n! kominsjoner: ( n r)! TI-nspire: n!/(n-r)!<lsk> eller snrveien: npr(n,r)<lsk>. Legg merke til t skjermildet endrer seg slik t røker ser ut som røker og potenser som potenser når dere trykker <lsk>. Csio hr en snrvei: n OPTN PROB npr r EXE. Antll kominsjoner: Denne gngen skl vi ikke t hensyn til rekkefølgen, og ikke legge tilke Uordn utvlg uten tilkelegging: Av i lt n skl vi plukke ut r og finne n! ntll kominsjoner: r!( n r)! TI-nspire: n!/(r!*(n-r)!)<lsk> eller snrveien: ncr(n,r)<lsk>. Csio hr en snrvei: n OPTN PROB ncr r EXE /8 /8 /8 /8

4 Oppgver Innhold Dto.8,.9,.,.. (U). (P).,.,.,..8 (U). Snnsynlighet ved opptelling: Stort sett ruker vi formelen m g, gunstige på mulige, og teller opp ntll gunstige og ntll mulige. Deretter forkorter vi røken så lngt det lr seg gjøre, eller gjør den om til desimltll eller prosent.. Beting snnsynlighet: P ( A er snnsynligheten for t A vil inntreffe, men re under forutsetning v t B hr inntruffet. lese som gitt. Uvhengige hendinger: Dersom A og B er uvhengige, vil A Derved følger det t P ( A A og B er vhengige! Dette er en viktig test. Mengdelær. igjen: eller snittet leses og, eller unionen leses eller. A Beting snnsynlighet: A Beting snnsynlighet: Vi hr stt en etingelse som fører til t ntll mulige re er en del v lle de mulige vi egentlig hr. Men stdig gjelder! Hvis vi setter opp en tell, ser vi dette: Sum /8 /8 Sum Hvis vi skl finne eting snnsynligheter fr skjemet, lir det slik fr tellen:.9,.,.,.,.. (U). (P).,.,.8.9 (U). (P).,.,.. (U). Produktsetning: Når hendingene er vhengige: A B Når hendingene er uvhengige: A Når A og B er disjunkte, ikke kn opptre smtidig: A Totl snnsynlighet: Husk t den lltid er og t den motstte hendelsen ofte er lettere å finne enn den vi er på jkt etter!. Byes setning: Dette er ikke verdens viktigste setning, men den fungerer greit for å regne ut eting snnsynlighet. A A og A B gir Byes setning: B A B P ( A! NB: Byes setning er svært viktig når dere kjenner og skl finne.8 Snnsynlighetsfordeling: Ei snnsynlighetsfordeling er en totleskrivelse v en situsjon, der summen lltid vil være eller %. /9 /9 /9

5 Oppgver Innhold Dto.,..9 Hypergeometrisk snnsynlighetsfordeling: Denne fordeling gjelder når vi ikke hr tilkelegging! Vi skl for eksempel velge ut elementer fr to delmengder v en mengde. Utvlget er uordn. Altså: En mengde med n elementer estår v ei gruppe med og en med elementer: n. Vi skl i lt velge ut r elementer, x v dem skl være v de og resten, r x fr de elementene. Snnsynligheten for t x skl være fr og resten fr er hypergeometrisk: x r x. Utfr denne skl du kunne sette opp snnsynligheten for å få rette i Lotto: n r Prøv! Formelen gjelder også dersom du hr flere enn to delmengder! /9 TI-nspire hr ingen egen hypergeometrisk fordeling. Men det er jo enkelt å skrive inn hele formelen: ncr(,x)*ncr(,r-x)/ncr(n,r)<lsk>. Og det er jo ingen ting i veien for å føye til flere fktorer i teller. Og TI-nspire kn summere opp ei fordeling. Finn summetegnet fr <lsk>. og ruk det slik: Forts.: Excel kn hypergeometrisk fordeling! Og det fine med Excel er t du enkelt og greit kn sette opp mnge tilsvrende utregninger, for eksempel en full oversikt over ei fordeling, i en tell: Formler Sett inn funksjon Sttistisk Hypgeom.fordeling: Utvlg_s Så mnge du skl plukke ut v den ene delmengden, for eksempel rette i lotto. Utvlgsstørrelse så mnge du totlt skl plukke ut, tll i lotto. Suksesser så mnge det fins i lt i denne delmengden, tll i lotto. Populsjonsstørrelse den totle populsjonen, i lotto. Det går n å skrive inn formelen direkte i Excel: =HYPGEOM.FORDELING(;;;). Uttrykket ovfor lir slik i Excel: =HYPGEOM.FORDELING(x;r;;n). /9.,.8. Binomisk snnsynlighetsfordeling: Denne fordeling gjelder også uordn utvlg, men med tilkelegging. Bi- etyr, og en inomisk fordeling gjelder når det re fins to mulige utfll. Forsøkene skl være uvhengige (tilkelegging), og snnsynligheten for utfllet er p. Den ndre snnsynligheten lir dermed p. Binomisk snnsynlighet for x v de n er d: n x nx X x) p ( p). Med denne kn dere lett sette opp snnsynligheten for å få x, eller rette i fotlltipping dersom lle utfll er like snnsynlige. (Slik er det ikke lltid i fotll, sjøl om det v og til kn virke sånn ) /9 TI-nspire er flink med inomisk fordeling og en del ndre som vi ikke skl møte. - Fordelinger Binomisk Pdf: I vinduer får du eskjed om å tste inn Ant. tester, n, Suksesssnns., p og X-verdi. Men det går n å skrive direkte: inompdf(n,p,x)<lsk>. Legg også merke til - Fordelinger Binomisk Cdf: Her kn du summere deler v ei fordeling, der x går fr en nedre grense til en øvre: inomcdf(n,p,x,x )<lsk>. Sttistikkverktøy finner du ellers fr i TI-nspire. Legg også merke til t du sjøl kn summere ved hjelp v summetegnet som du finner fr : Skl du summere formelen ovfor fr x til x, lir det slik: Excel hr også verktøyet: =BINOM.FORDELING(;;/;USANN) snnsynligheten for å få sekser i kst med terning, ltså. USANN etyr t den ikke skl summeres. =BINOM.FORDELING(;;/;SANN) er summert, dvs. snnsynligheten for eller sekser!

6 Oppgver Innhold Dto.9,.,.,.,.,.,..,. (U).8,.9 (P). Pscls tlltreknt: Pscls tlltreknt stmmer egentlig fr kvdrtsetningene og tilsvrende kuikksetninger og høgere grd. Men det fins mnge ndre smmenhenger den kn rukes i. egynnelsen ser slik ut, prøv å fortsette den sjøl! Brukt på femtepotenssetning: ) ( /9 Forts.: Dette er også koeffisientene i inomilformelen:.,.,.. Smmenstte eksempler: Her møter dere ei større oppgve som tr for seg mnge v teknikkene dere hr lært i kpitlet. Det er viktig å se smmenhenger når dere lærer noe, knskje spesielt i mtemtikk der lt ygger på noe dere hr lært tidligere! Prøv dere på oppgvene! /9 Smmendrg v kpitlet - side (Bok R): Dette er stoff som psser på en huskelpp for kpittel. Test deg selv - side (Bok R): Utfør testen på egen hnd en stille ettermiddg. Deretter retter du utfr løsningene på side -. Klrer du hlvprten, hr du såvidt klrt en er! En tredel gir deg ståkrkter og fire femdeler er en er! Øvingsoppgvene til kpitlet - side - 9 (Bok R): Fsit side 8-9. Innføring til kpitlet:.9,. og. Kn dere prøve å levere digitlt i Fronter? /9 Prøve i kpitlet:

7 Tommy & Tigern, ind, side, nederst. septemer Thor & Hns