Integrasjon. October 14, Department of Mathematical Sciences, NTNU, Norway. Integrasjon

Transkript

1 Deprtmet of Mthemticl Scieces, NTNU, Norwy Octoer 14, 2014

2 Forelesig , 5.1, 5.2 Summer Arel uder grfe til e fuksjo som greseverdi til e summe

3 Sigm otsjo L m og være heltll og m og l f være e fuksjo defiert på heltllee m, m + 1,.... D med otsjoe meer vi f (i) i=m

4 Sigm otsjo L m og være heltll og m og l f være e fuksjo defiert på heltllee m, m + 1,.... D med otsjoe f (i) i=m meer vi f (i) = f (m) + f (m + 1) + + f () i=m

5 Sigm otsjo L m og være heltll og m og l f være e fuksjo defiert på heltllee m, m + 1,.... D med otsjoe meer vi f (i) i=m f (i) = f (m) + f (m + 1) + + f () i=m m lower limit, upper limit of summtio.

6 Sigm otsjo L m og være heltll og m og l f være e fuksjo defiert på heltllee m, m + 1,.... D med otsjoe meer vi f (i) i=m f (i) = f (m) + f (m + 1) + + f () i=m m lower limit, upper limit of summtio. Eksempel 1 5 i 2 = = 55 i=1

7 Sigm otsjo L m og være heltll og m og l f være e fuksjo defiert på heltllee m, m + 1,.... D med otsjoe meer vi f (i) i=m f (i) = f (m) + f (m + 1) + + f () i=m m lower limit, upper limit of summtio. Eksempel 1 Eksempel 2 5 i 2 = = 55 i=1 3 k= 2 1 k + 7

8 Sigm otsjo L m og være heltll og m og l f være e fuksjo defiert på heltllee m, m + 1,.... D med otsjoe meer vi f (i) i=m f (i) = f (m) + f (m + 1) + + f () i=m m lower limit, upper limit of summtio. Eksempel 1 Eksempel 2 5 i 2 = = 55 i=1 3 k= 2 1 k + 7 = 1 5 +

9 Sigm otsjo L m og være heltll og m og l f være e fuksjo defiert på heltllee m, m + 1,.... D med otsjoe meer vi f (i) i=m f (i) = f (m) + f (m + 1) + + f () i=m m lower limit, upper limit of summtio. Eksempel 1 Eksempel 2 5 i 2 = = 55 i=1 3 k= 2 1 k + 7 =

14 Egeskper med summer i=m (A f (i) + B g(i)) = A i=m f (i) + B g(i) i=m

15 Egeskper med summer i=m (A f (i) + B g(i)) = A i=m f (i) + B g(i) i=m m+ f (j) = f (m) + f (m + 1) + + f (m + ) j=m

16 Egeskper med summer i=m (A f (i) + B g(i)) = A i=m f (i) + B g(i) i=m m+ f (j) = f (m) + f (m + 1) + + f (m + ) j=m = f (i + m) i=0 Eksempel 3 Skriv 17 j=3 1 + j 2 i forme f (i). Hvis vi setter i=1 j = i + 2, d for j = 3 lir det i = 1 og for j = 17 lir det i = 15, so j=3 1 + j 2 = i=1 1 + (i + 2) 2

17 Lukkede former for summer 1 1 i=1

18 Lukkede former for summer 1 1 = i=1

19 Lukkede former for summer 1 1 = = i=1

20 Lukkede former for summer 1 1 = = i=1 2 Bevis S = i=1 i = = ( + 1) 2 S = ( 1) + S = + ( 1) + ( 2) S = ( + 1) + ( + 1) + ( + 1) ( + 1) + ( + 1)

21 Lukkede former for summer 1 i 2 = ( + 1)(2 + 1) = i=1 6

22 Lukkede former for summer 1 i 2 = ( + 1)(2 + 1) = i=1 6 2 i=1 r i 1 = 1 + r + r 2 + r r 1 = r 1 r 1 hvis r 1. Eksempel 4 (6k 2 4k + 3), 1 m <. k=m+1

23 Kp 5.2. Areler som grevseverdier v summer L f være e ikke-egtiv kotiuerlig fuksjo. Arele uder grfe y = f (x) og mellom de vertikle lijee x = og x =, der <. Del itervllet [, ] i suitervller l Summe = x 0 < x 1 < x 2 < < x 1 < x = x i = x i x i 1, i = 1, 2, 3,..., ). S = f (x 1 ) x 1 + f (x 2 ) x f (x ) x

24 Kp 5.2. Areler som grevseverdier v summer L f være e ikke-egtiv kotiuerlig fuksjo. Arele uder grfe y = f (x) og mellom de vertikle lijee x = og x =, der <. Del itervllet [, ] i suitervller l Summe = x 0 < x 1 < x 2 < < x 1 < x = x i = x i x i 1, i = 1, 2, 3,..., ). S = f (x 1 ) x 1 + f (x 2 ) x f (x ) x = er e tilærmelse v rele uder grfe y = f (x) og A = lim S. i=1 f (x i ) x i

25 Kp 5.2. Areler som grevseverdier v summer L f være e ikke-egtiv kotiuerlig fuksjo. Arele uder grfe y = f (x) og mellom de vertikle lijee x = og x =, der <. Del itervllet [, ] i suitervller l Summe = x 0 < x 1 < x 2 < < x 1 < x = x i = x i x i 1, i = 1, 2, 3,..., ). S = f (x 1 ) x 1 + f (x 2 ) x f (x ) x = er e tilærmelse v rele uder grfe y = f (x) og A = lim S. (Show tutor i Mple) Merk: Noe gger ruker m i=1 f (x i ) x i x i = x =, x i = + i x = + i ( ), 0 i.

26 Eksempel 1 Fi rele til område uder lije y = x + 1, over x-kse og mellom lijee x = 0 og x = 2.

27 Eksempel 1 Fi rele til område uder lije y = x + 1, over x-kse og mellom lijee x = 0 og x = Figure : Approksimsjo v rele.

28 Eksempel 1 Fi rele til område uder lije y = x + 1, over x-kse og mellom lijee x = 0 og x = Figure : Approksimsjo v rele. x 0 = 0, x 1 = 2, x 2 = 4,..., x = 2 = 2. y = x + 1, y 0 = 1, y 1 = 2 + 1, y 2 = 4 + 1,..., y = 2 + 1

29 Eksempel 1 S = i=1 ( 2i + 1) 2 = 2 [ 2 i + 1] = 2 [ 2 i=1 i=1 i=1 i + 1] i=1 = 2 [ 2 ( + 1) + ] 2 = A = lim S = lim ( ) = = 4

30 Eksempel 2 Fi rele til område uder grfe til y = x 2, og lijee y = 0, x = 0 og x =, med > 0.

31 Eksempel 2 Fi rele til område uder grfe til y = x 2, og lijee y = 0, x = 0 og x =, med > Figure : Approksimsjo v rele.

32 Eksempel 2 Fi rele til område uder grfe til y = x 2, og lijee y = 0, x = 0 og x =, med > Figure : Approksimsjo v rele. y = x 2, x 0 = 0, x 1 =, x 2 = 2,..., x = =. y 0 = 0, y 1 = 2 2, y 2 = 42 2,..., y = 2

33 Eksempel 2 S = i=1 = 3 3 ( i )2 i=1 i 2 = 3 ( + 1)(2 + 1) 3 6 A = lim S = lim ( 3 ( + 1)(2 + 1) 6 2 ) = 3 3

34 Eksempel 4 Idetifiser greseverdie som e rel og evluer de. Løsig: itervller hr redde 1 L = lim i=1 i 2 L = lim (1 i i=1 ) 1 og deler opp itervllet [0, 1] vi hr x i = i 1, y i = 1 x i = f (x i ), x = 1, S = x i=1 f (x i ), f (x) = 1 x rele uder grfe y = 1 x og mellom lijee y = 0, x = 0 og x = 1.

35 Eksempel 4 Idetifiser greseverdie som e rel og evluer de. Løsig: S = i=1 L = lim i=1 (1 i ) 1 = 1 [ i=1 1 1 i 2 i=1 i] = 1 ( + 1) [ ] 2 S = = lim S = 1 2

36 Forelesig : Det estemte itegrlet og egeskper ved det estemte itegrlet (lieritet, itegrler v jeve og odde fuksjoer) Middelverdisetig for itegrler Fudmetlteorem med vedelser og eksempler

37 Det estemte itegrlet Vi tr t f er defiert på et lukket itervll [, ] og er kotiuerlig på itervllet, til å egie med tr vi t f 0.

38 Det estemte itegrlet Vi tr t f er defiert på et lukket itervll [, ] og er kotiuerlig på itervllet, til å egie med tr vi t f 0. Gitt et itervll [, ] e prtisjo v [, ] er e megde som estår v pukter til [.]: slik t P = {x 0, x 1,..., x 1, x } = x 0 < x 1 < < x 1 < x =.

39 Det estemte itegrlet Vi tr t f er defiert på et lukket itervll [, ] og er kotiuerlig på itervllet, til å egie med tr vi t f 0. Gitt et itervll [, ] e prtisjo v [, ] er e megde som estår v pukter til [.]: slik t P = {x 0, x 1,..., x 1, x } = x 0 < x 1 < < x 1 < x =. og vi lr x i = x i x i 1 for i = 1,...,.

40 Det estemte itegrlet Vi tr t f er defiert på et lukket itervll [, ] og er kotiuerlig på itervllet, til å egie med tr vi t f 0. Gitt et itervll [, ] e prtisjo v [, ] er e megde som estår v pukter til [.]: slik t P = {x 0, x 1,..., x 1, x } = x 0 < x 1 < < x 1 < x =. og vi lr x i = x i x i 1 for i = 1,...,. f er kotiuerlig på hver suitervll [x i 1, x i ] d ekstremlverdisetig (kp. 1.4) grterer t det fies l i [x i 1, x i ] og u i [x i 1, x i ] slik t f (l i ) f (x) f (u i ), x [x i 1, x i ]

41 Det estemte itegrlet Vi tr t f er defiert på et lukket itervll [, ] og er kotiuerlig på itervllet, til å egie med tr vi t f 0. Gitt et itervll [, ] e prtisjo v [, ] er e megde som estår v pukter til [.]: slik t P = {x 0, x 1,..., x 1, x } = x 0 < x 1 < < x 1 < x =. og vi lr x i = x i x i 1 for i = 1,...,. f er kotiuerlig på hver suitervll [x i 1, x i ] d ekstremlverdisetig (kp. 1.4) grterer t det fies l i [x i 1, x i ] og u i [x i 1, x i ] slik t f (l i ) f (x) f (u i ), x [x i 1, x i ] d rele A i uder grfe til f på itervllet [x i 1, x i ] tilfredstiller f (l i ) x i A i f (u i ) x i

42 Husk: Teorem 8, kp 1.4: ekstremlverdisetig (Mi-mx) Hvis f er kotiuerlig på [x i 1, x i ] fies det tll l i og u i slik t for lle x [x i 1, x i ] m M miimumverdi mximumverdi m = f (l i ) f (x) f (u i ) = M. 8 M 6 4 f(x) 2 p 0 q 2 m x

43 Riem summer Nedre Riem sum for fuksjoe f og prtisjoe P L(f, P) = i=1 f (l i ) x i Ovre Riem sum for fuksjoe f og prtisjoe P U(f, P) = i=1 f (u i ) x i Eksempel 1: Fi ovre og edre Riem sum for f (x) = 1 x på itervllet [1, 2] med e prtisjo i fire suitervller v smme legde. Eksempel 2: Fi ovre og edre Riem sum for f (x) = x 2 på itervllet [0, ] med e prtisjo i suitervller v smme legde.

44 Det estemte itegrlet Vi vil å t fiere og fiere prtisjoer slik t, i itervllet [x i 1, x i ], lir vvike mellom rele A i uder grfe til f og relee til rektglee f (l i ) x i og f (u i ) x i midre og midre.

45 Det estemte itegrlet Vi vil å t fiere og fiere prtisjoer slik t, i itervllet [x i 1, x i ], lir vvike mellom rele A i uder grfe til f og relee til rektglee f (l i ) x i og f (u i ) x i midre og midre. For e hver utvlgt prtisjo P vi hr L(f, P) U(f, P) og d (v kompletthete v de reelle tll) må det fies mist et tll I slik t L(f, P) I U(f, P).

46 Det estemte itegrlet Vi vil å t fiere og fiere prtisjoer slik t, i itervllet [x i 1, x i ], lir vvike mellom rele A i uder grfe til f og relee til rektglee f (l i ) x i og f (u i ) x i midre og midre. For e hver utvlgt prtisjo P vi hr L(f, P) U(f, P) og d (v kompletthete v de reelle tll) må det fies mist et tll I slik t L(f, P) I U(f, P). Defiisjo At t det fies øyktig et tll I slik t for e hver prtisjo P v itervllet [, ] vi hr L(f, P) I U(f, P) d sier vi t f er itegrerr og t I er det estemte itegrlet til f i [, ].

47 Det estemte itegrlet Vi vil å t fiere og fiere prtisjoer slik t, i itervllet [x i 1, x i ], lir vvike mellom rele A i uder grfe til f og relee til rektglee f (l i ) x i og f (u i ) x i midre og midre. For e hver utvlgt prtisjo P vi hr L(f, P) U(f, P) og d (v kompletthete v de reelle tll) må det fies mist et tll I slik t L(f, P) I U(f, P). Defiisjo At t det fies øyktig et tll I slik t for e hver prtisjo P v itervllet [, ] vi hr L(f, P) I U(f, P) d sier vi t f er itegrerr og t I er det estemte itegrlet til f i [, ]. Vi skriver I = f (x) dx

48 Eksempel 3 Vis t f (x) = x 2 er itegrerr på itervllet [0, ] der > 0, fi 0 x 2 dx. Løsig Vi ser på greseversider for v edre og ovre Riem summer for f over [0, ] d lim ) = (( ) 3 lim = lim ) = ( + 1)(2 + 1) 3 lim = L(f, P ) 3 3 U(f, P ). Merk å t for e hver P (usett hvor fi de er) fies det stor ok slik t P er fiere e P, dette etyr t L(f, P) L(f, P ) 3 3 U(f, P ) U(f, P), og d er 3 3 det estemte itegrlet v f på [0, ], 0 x 2 dx = 3 3.

49 Vi hr egreset oss til å teke på ikke egtive fuksjoer me lt k geerliseres til fuksjoer som ikke er positive eller som skifter froteg på [, ].

50 Vi hr egreset oss til å teke på ikke egtive fuksjoer me lt k geerliseres til fuksjoer som ikke er positive eller som skifter froteg på [, ]. For ikke positive fuksjoer, rektglee til ovre og edre Riem summer får egtive reler.

51 Vi hr egreset oss til å teke på ikke egtive fuksjoer me lt k geerliseres til fuksjoer som ikke er positive eller som skifter froteg på [, ]. For ikke positive fuksjoer, rektglee til ovre og edre Riem summer får egtive reler. For fuksjoer som skifter forteg lt fugerer som før me det løer seg å fie der fuskjoe sjkærer x-kse, og dele [, ] i suitervller der f er ete ikke egtiv eller ikke positiv, og så joe seprt med de foskjellige delee v f.

52 Vi hr egreset oss til å teke på ikke egtive fuksjoer me lt k geerliseres til fuksjoer som ikke er positive eller som skifter froteg på [, ]. For ikke positive fuksjoer, rektglee til ovre og edre Riem summer får egtive reler. For fuksjoer som skifter forteg lt fugerer som før me det løer seg å fie der fuskjoe sjkærer x-kse, og dele [, ] i suitervller der f er ete ikke egtiv eller ikke positiv, og så joe seprt med de foskjellige delee v f. Teorem 2 Alle kotiuerlige fuksjoer på [, ] er itegrerre.

53 Egeskper med det estemte itegrlet f (x)dx = 0

54 Egeskper med det estemte itegrlet f (x)dx = 0 f (x)dx = f (x)dx

55 Egeskper med det estemte itegrlet f (x)dx = 0 f (x)dx = f (x)dx (Af (x) + Bg(x)) dx = A f (x)dx + B g(x)dx

56 Egeskper med det estemte itegrlet f (x)dx = 0 f (x)dx = f (x)dx (Af (x) + Bg(x)) dx = A f (x)dx + B g(x)dx f (x)dx + c f (x)dx = c f (x)dx

57 Egeskper med det estemte itegrlet Hvis og f (x) g(x) på [, ] d f (x)dx g(x)dx

58 Egeskper med det estemte itegrlet Hvis og f (x) g(x) på [, ] d f (x)dx g(x)dx f (x)dx f (x) dx

59 Egeskper med det estemte itegrlet Hvis og f (x) g(x) på [, ] d f (x)dx g(x)dx f (x)dx f (x) dx For odde fuksjoer (dvs fuksjoer slik t f ( x) = f (x)) vi hr f (x)dx = 0

60 Egeskper med det estemte itegrlet Hvis og f (x) g(x) på [, ] d f (x)dx g(x)dx f (x)dx f (x) dx For odde fuksjoer (dvs fuksjoer slik t f ( x) = f (x)) vi hr f (x)dx = 0 For like fuksjoer (dvs f (x) = f ( x)) f (x)dx = 2 f (x)dx 0

61 Forelesig : ,6.1 Egeskper med det estemte itegrlet. Alyses fudmetlteorem Sustitusjo Arelet mellom to kurver ved ruk v itegrlet

62 Egeskper med det estemte itegrlet For odde fuksjoer (dvs fuksjoer slik t f ( x) = f (x)) vi hr f (x)dx = 0

63 Egeskper med det estemte itegrlet For odde fuksjoer (dvs fuksjoer slik t f ( x) = f (x)) vi hr f (x)dx = 0 For like fuksjoer (dvs f (x) = f ( x)) f (x)dx = 2 f (x)dx 0

64 Middelverdisetig for itegrler L f være kotiuerlig på [, ] d fies det et pukt c (, ) slik t f (x)dx = ( )f (c)

65 Fudmetlteoremet: del I L f være kotiuerlig på et itervll I som iholder puktet. Betrkt F (x) = x f (t)dt d er F deriverr på itervllet I og F (x) = f (x)

66 Fudmetlteoremet: del I L f være kotiuerlig på et itervll I som iholder puktet. Betrkt F (x) = x f (t)dt d er F deriverr på itervllet I og F (x) = f (x) Bevis F (x) = F (x + h) F (x) lim h 0 h = 1 lim h 0 h ( x+h f (t)dt = lim h f (c) h = lim f (c) c x = f (x) h 0 1 c = c(h) x 1 x+h f (t)dt) = lim h 0 h x f (t)dt

67 Fudmetlteoremet: del II L f være kotiuerlig på et itervll som iholder puktet. L G være e fuksjo slik t G (x) = f (x) (tideriverte til f ) d f (x)dx = G() G()

68 Fudmetlteoremet: del II L f være kotiuerlig på et itervll som iholder puktet. L G være e fuksjo slik t G (x) = f (x) (tideriverte til f ) d f (x)dx = G() G() Bevis Side G (x) = f (x) d lso d dx x f (t)dt = f (x) d må det vre x f (t)dt = G(x) + C og så f (t)dt = 0 = G() + C, C = G() f (t)dt = G() + C = G() G()

69 Eksempler 1 Fi verdie v itegrlet 2 1 (x 2 3x + 2)dx. Side d dx ( 1 3 x x 2 + 2x) = x 2 3x + 2 ved fudmetlteoremet del 2 vi hr 2 (x 2 3x+2)dx = ( x x 2 + 2x) 2 1 = ( ) = Fi rele uder kurve y = si(x), over y = 0 fr x = 0 til x = π. A = 0 π si(x) dx = cos(x) π 0 = ( 1 (1)) = 2. 3 Fi sittverdi v f (x) = e x + cos(x) på itevllet [ π 2, 0]. f = 1 0 ( π 2 ) 0 π 2 (e x +cos(x)) dx = 2 π ( e x + si(x)) 0 π 2 = 2 π e π 2

70 Sustitusjo for estemte itegrler Husk kjæreregel d dt f (g(t)) = f (g(t)) g (t) ved fudmetlteoremet (del 2) vi får f (g(t)) g (t) dt = f (g()) f (g()) hvis A = g() og B = g() vi k skrive f (g(t)) g (t) dt = f (B) f (A) = A B f (u) du

71 Eksempler Oppgve 45 Fi 0 π cos(x)dx. Løsig Vi skl ruke t 1 + cos(x) = 2 cos 2 ( x 2 ) og f (g(x)) g (x) dx = f (g()) f (g()). Ved hjelp v 1 + cos(x) = 2 cos 2 ( x ) vi får 2 π cos(x)dx = 2 l 0 π π 2 cos( x 2 ) dx, g(x) = x 2, g (x) = 1 2, f (u) = cos(u), f (u) = si(u) 1 + cos(x)dx = π 2 cos( x 2 )1 2 dx = 2 2 = 2 2(f (g( π 2 )) f (g(0))) = 2 2(si( π 4 ) si(0)) 0 π 2 f (g(x)) g (x) dx =

72 Oppgve 45 Fi 0 π cos(x)dx = 2 0 π 2 cos( x 2 ) dx, Løsig Vi k ruke sustitusjo på e litt e måte ved å defiere A = g() og B = g() og så ruke Som før tr vi f (g(x)) g (x) dt = f (B) f (A) = A B f (u) du. g(x) = x 2, g (x) = 1 2, f (u) = cos(u), f (u) = si(u) d A = 0 2 = 0 og B = π 4 vi ruker formele i rekkefølge dette gir π 2 f (g(x)) g (x) dt = cos( x 2 ) 1 2 dx = π 4 A B f (u) du = f (B) f (A) cos(u) du = 2 2(si( π ) si(0)) = 2. 4

73 Eksempler Oppgve 18 Fi det uestemte itegrlet dx e x + e x Løsig Dette etyr t vi skl fie de tideriverte v fukjoe og legge til e kostt. Ved hjelp v fudmetlteorem del 1 de tideriverte er x dt F (x) = e t + e t, og Vi å ruker sustitusjo for å fie F (u) og Vi prøver med dx e x = F (x) + C. + e x u F (u) = f (g(x)) g (x) dx = f (g(u)) f (g()). g(x) = e x, g (x) = e x, f (y) = 1 y 2 + 1, u dx F (u) = e x + e x = u f (g(x)) g u (x) dx = og dx e x + e x = rct(ex ) + C f (y) = rct(y) e x dx (e 2x + 1) = rct(eu ) rct(e ),

74 Eksempler, litt erledes ruk v sustitusjo Oppgve 18 Fi det uestemte itegrlet dx e x + e x Løsig Dette etyr t vi skl fie de tideriverte v fukjoe og legge til e kostt. Ved hjelp v fudmetlteorem del 1 de tideriverte er x dt F (x) = e t + e t, og dx e x = F (x) + C. + e x Vi å ruker sustitusjo for å fie F (u) og vi ruker som før g(x) = e x, g (x) = e x, f (y) = 1 y 2 + 1, og ved å defiere A = g() = e og U = g(u) = e u og så ruke f (y) = rct(y) u dx F (u) = e x + e x = u e x dx ((e x ) 2 + 1) = u f (g(x)) g U (x) dx = f (y) dy = f (U) f (A). A og så U 1 F (u) = A y dy = rct(u) rct(a) = rct(eu ) rct(e ), dx e x + e x = rct(ex ) + C

75 Arele mellom to kurver Eksempel 2 Fi rele v område omriget v kurvee y = x 2 2x og y = 4 x 2. Eksempel 3 Fi rele v område som ligger mellom kurve y = si(x) og y = cos(x) fr x = 0 til x = 2π. Eksempel 4 Fi rele v område som ligger på høyre side v prele x = y 2 12 og til vestre for lije y = x