( ) 3 3 P a a a a. ( 3) ( 3) 3 ( 3) ( 3) b Px ( ) er delelig med x 3 dersom P( 3) 0. P( 3) 3a 3 0

Transkript

1 Løsiger til oppgvee i ok S kpittel 7 Eksmestreig Løsiger til oppgvee i ok Ute hjelpemidler Oppgve E P ( ) P ( ) ( ) ( ) ( ) P ( ) er delelig med dersom P( ) 0. P( ) 0 c Vi utfører polyomdivisjoe P( ) : ( ). ( ) : ( ) Altså er 0 P( ) ( )( ) ( )( )( ). Vi teger fortegslije, og ser dermed t P ( ) 0 for,,. Grfe til P ligger ltså uder -kse for,,. E P() Side P() 0, så vet vi t divisjoe P( ) : ( ) går opp: ( 4) : ( ) Vi ser t polyomdivisjoe gikk opp, og dermed vet vi t 4. Aschehoug Side v 70

2 Løsiger til oppgvee i ok For å fktorisere dregrdsutrykket k vi ruke c-formele og ullpuktmetode, c. Vi hr d 4c eller Vi k d fktorisere polyomet P med lieære fktorer: P ( ) 4 Oppgve E c d ( 6 8) : ( 4) I oppgve ft vi t P( ) ( 4)( ). Vi fktoriserer med ullpuktmetode, og løser derfor likige Fr c-formele får vi Altså er 4 ( ) 8 9 ( )( ). Det gir P( ) ( 4)( )( ). 6 8 ( 4)( )( ) ( 4)( ) Polyomet er delelig med dersom Q() 0. Q( ) E4 Vi lr P( ) 8. P ( ) er delelig med ( ) dersom P() 0. Aschehoug Side v 70

3 P() Dette etyr t polyomet er delelig med ( ) for lle verdier v. Løsiger til oppgvee i ok ( 8) : ( ) Dette etyr t 8 4 E5 Billettprise for vokse () er 00 kr, illettprise for r (y) er 50 kr, og illettprise for pesjoister (z) er 60 kr. Iformsjoe i oppgve gir oss d følgede likigssystem: I y z 80 II III 00 50y 60z 5000 y z Vi skl løse dette likigssystemet. Vi setter i utrykket for y fr likig III i i likig I og II: I y z 80 z z 80 z z II 00 50y 60z z 60z z 60z z z 500 Nå er I og II litt et likigssett med to likiger med to ukjete som vi løser ved å sette i utrykket for fr likig I i i likig II: 5z 500 II 5 40 z z zz 500 4z 00 z 5 Vi fier ved å sette verdie v z i i I: 40 z Aschehoug Side v 70

4 Løsiger til oppgvee i ok Til slutt fier vi verdie v y ved å sette verdiee v og z i i III: y z Løsige v likigssettet le 5 og y 40 og z 5 Det etyr t det er 5 vokse, 40 r og 5 pesjoister på koserte. E6 I II III y z y z 7 y z 9 Vi fier et uttrykk for z fr likig I som vi setter i i likig II og III. I z y II y z 7 y ( y ) 7 y y 7 y 40 III y z 9 y ( y ) 9 y y 6 9 5y 5 Nå er II og III litt et likigssett med to likiger med to ukjete som vi løser ved å fie et uttrykk for fr likig III som vi setter i i likig II. III 5 5y II y 40 (5 5 y) y y y y y 5 Til slutt setter vi verdiee for og y i igje i likig I. I z y 0 5 Løsige v likigssettet le 0 og y 5 og z E7 P ( ) III 5 5y P() (Dette viser t polyomdivisjoe i este oppgve må gå opp.) ( 6 8 4) : ( ) Aschehoug Side 4 v 70

5 Av polyomdivisjoe ser vi t P( ) ( ) ( 8). P ( ) ( ) ( 8) ( ) ( 4) ( ) ( ) ( ) c Vi ser t tellere i røke er lik P. ( ) ( ) ( 8) 8 ( 8) Løsiger til oppgvee i ok E8 Dersom divisjoe skl gå opp, må ( ) være e fktor i ( 8) : ( ) 8. Side fktore ( ) er lik ull år, må d også 8 være lik ull år Vi ser t dividede også lir 0 år. Dermed vet vi t divisjoe går opp. 8 Vi vil forekle, og d strter vi med å fktorisere evere. ( )( ) Fr oppgve vet vi t ( ) også er e fktor i tellere, så det vil være mulig å forekle røke. Vi strter fktoriserige v tellere med å utføre polyomdivisjoe fr oppgve. ( 8) : ( ) Aschehoug Side 5 v 70

6 Løsiger til oppgvee i ok Av divisjoe ser vi t 8 ( )( 8). 8 ( )( 8) 8 ( )( ) Vi sjekker om også ( ) k være e fktor i tellere ved å sette i. ( ) ( ) Vi ser t dette ikke er tilfelle, og det hr d ige hesikt å forsøke å fktorisere tellere videre i førstegrdsfktorer side forkortig likevel ikke vil være mulig. 8 8 c ( ) : ( ) Om divisjoe skl gå opp, må lle fktorer i divisor også være fktorer i dividede. Vi strter derfor med å fktorisere divisor ved hjelp v ullpuktsmetode. 0 4 ( ) Divisor k å skrives ( )( ). For t divisjoe skl gå opp, må dividede være delelig med åde ( ) og ( ). Det gir oss to likiger som k rukes til å fie de to ukjete, og. ( ) ( ) 0 og 0 7 og Vi setter de første i i de dre. ( 7) Så setter vi i i de første for å fie. 7 ( 7) og 6 E9 Av Lises kr rukte ksjefodet kr på å kjøpe ksjer i selskp A, y kr på ksjer i selskp B og z kr på ksjer i selskp C. D hr vi forklrt hv, y og z står for og de første likige i likigssystemet: y z Utyttet fr selskp A: 9 % 0,09 Utyttet fr selskp B: y% 0,0y Utyttet fr selskp C: z0 % 0,z Til smme er utyttet 900 kr som gir de dre likige i likigssystemet: Aschehoug Side 6 v 70

7 Løsiger til oppgvee i ok 0, 09 0, 0y 0,z y 0z Det t fodet rukte 4000 kr mer på ivesterigee i selskp A e i selskp B, gir oss de tredje likige i likigssystemet: y 4000 De tredje likige gir oss y uttrykt ved : y 4000 Når vi setter dette i i de første likige, k vi også fie z uttrykt ved : y z ( 4000) z z Nå hr vi åde y og z uttrykt ved, og år vi setter i i de dre likige, fier vi : 9 y 0z ( 4000) 0(4 000 ) y z Fodet ivesterte for Lise 4600 kr i selskp A, 600 kr i selskp B og 4800 kr i selskp C. Oppgve E0 De uedelige geometriske rekk hr kvotiet k, og kovergerer derfor år. Det første leddet i rekk er. Summe v rekk er dermed k Vi løser likige (Som kotroll ser vi t 4 5.) Aschehoug Side 7 v 70

8 4 0 ( ) ( ) 4 ( ) Vi fier fellesevere, og fktoriserer d 0 c Altså er Løsiger til oppgvee i ok med ullpuktmetode. 4 ( ) ( )( ). Dessute er 6 ( ). Nevere i likige er ull for og for. Altså må,. Vi multipliserer med fellesevere ( )( ) på egge sider v likige. ( )( ) ( )( ) ( 7 ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( 7 ) ( 6) Side, lir løsige v likige dermed 6. d l l 0 Her må 0 og 0. l l Løsige gir egtivt rgumet til logritmefuksjoe. l l 0 hr derfor løsige. Likige Oppgve E Aschehoug Side 8 v 70

9 Løsiger til oppgvee i ok s c Vi hr t s 0 0 og s 9 9. Dermed er s0 s d s s Oppgve E De ritmetiske rekk er gitt ved 58. Differse til rekk er d 5. Ledd r. 6 er dermed 6 60d Rekk er gitt ved 4 8. Vi ser t forholdet mellom et ledd og leddet for er kostt lik Rekk er derfor geometrisk. c Forholdet vi ft i oppgve er kvotiete til rekk. Kvotiete er ltså Side k er rekk koverget. 4 s 8 k 4 4 k. 4 E Dette er e edelig geometrisk rekke med ledd, k og, 0,...,, og vi ruker sumformele for e geometrisk rekke med ledd. k S k Dette er e uedelig geometrisk rekke med tilsvrede rekk i oppgve. Vi ser t k, og dermed kovergerer rekk. Aschehoug Side 9 v 70

10 Løsiger til oppgvee i ok c Vi ruker sumformele for e koverget geometrisk rekke: S k Dette etyr t summe er S. S S 0 5 E4 Rekk er ritmetisk, og vi hr t og 6. D lir differse mellom leddee gitt ved d 6. Det -te leddet i e ritmetisk rekke er gitt på forme d, og vi setter det -te leddet lik 00 og fier tll ledd i rekk: Summe v de første leddee i e ritmetisk rekke er gitt ved S , Vi hr t 4 og de rekursive smmehege: 8,. Vi hr d Vi vet t rekk skl være ritmetisk, og det etyr t vi hr d d d d 4 d d 8 d 4 D er d E5 I e ritmetisk rekke er differse mellom et ledd og det foregåede leddet kostt. Uttrykt med symoler skriver vi d. d d d 6 4 d d Rekk lir d 60 4 Ledd ummer i e ritmetisk rekke er gitt ved formele ( ) d. ( ) d ( ) Aschehoug Side 0 v 70

11 Løsiger til oppgvee i ok c (4) 4 S E6 Vi får oppgitt t det -te leddet i e geometrisk rekke er gitt ved Geerelt er det -te leddet i e geometrisk rekke gitt ved ( 0,). k. Formele vi hr fått oppgitt, hr dee strukture, og vi skjøer t og k 0,. Dermed er k, og rekk er koverget. Vi ruker sumformele for e koverget geometrisk rekke: S 0 k ( 0,), E ( ) ( ) () (4 ) 45 5 (5 ) 56 6 (6 ) (7 ) 78 8 (8 ) 89 9 (9 ) (0 ) 0 55 c 4 (4 ) 5 (5 ) (0 ) () Vi ser t summe v to o-trekttll er et kvdrttll åde for tilfellet 4 5 og for tilfellet 0. 4 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) Utledige ovefor viser t summe v to o-trekttll lltid er et kvdrttll. (Nærmere estemt er summe v to o-trekttll lik kvdrtet v det største v de to o-trekttllee.) Aschehoug Side v 70

12 Oppgve E8 c d f 4 ( ) 5 f ( ) g ( ) e Løsiger til oppgvee i ok Vi ruker kjereregele med ekspoetilfuksjoe e u som ytre fuksjo og u som kjere. g ( ) e u u e u 6e e h ( ) h( ) ( ) ( ) ( ) ( ) k( ) l e ( ) e ( ) e ( ) e e ( ) e ( ) k ( ) l l l l Oppgve E9 f ( ) l( ) 6 f( ) c d g( ) l( ) g( ) ( ) l( ) l( ) l( ) l( ) l( ) h ( ) e e e e e e 0 e ( ) 4e h( ) e k ( ) k( ) e ( ) e ( ) ( ) e ( ) ( ) e e ( ) e ( ) ( ) ( ) ( ) Aschehoug Side v 70

13 Løsiger til oppgvee i ok Oppgve E0 Vi ser t grfe til f hr et vedepukt for. Grfe krummer edover for, og oppover for. Altså er f( ) 0 for, og f( ) 0 for. Vedepuktet hr koorditee (, ). Vi ser t grfe til f syker for. Altså er f () 0. Oppgve E Vi fier ullpuktee ved å løse likige f( ) 0. e e 0 e e 0 ( ) 0 Fuksjoe hr ullpuktet. f f ( ) e e ( ) e e ( ) ( ) ( ) ( ) e e e e 0 c f ( ) ( ) e e e e e e ( ) 4 e 4e f ( ) 4 ( ) e 4e 6e 4e e ( ) ( ) d Vi hr fuet t f ( ) 0 og f ( ) 0. Det etyr t puktet, f ( ) er et upukt på grfe til f. Oppgve E Vi fier ullpuktee ved å løse likige f( ) 0. l( ) 0 0 l( ) Fuksjoe hr ullpuktee og 0. f ( ) l( ) l( ) l( ) l( ) c f ( ) l( ) l 0 Stigigstllet til tgete til grfe til f i puktet, f ( ) er. Aschehoug Side v 70

14 ( ) ( ) f( ) ( ) d ( ) 6 ( ) ( ) ( ) ( ) Løsiger til oppgvee i ok e Fuksjoe f ( ) l( ) er defiert for. I et evetuelt vedepukt på grfe til f er f( ) 0. 6 Likige ( ) 0 hr løsige 6, me i dette puktet er ikke f defiert. Grfe til f hr derfor ikke oe vedepukt. 6 Fr uttrykket f( ) ser vi t f( ) 0 i hele defiisjosmegde til f. ( ) Grfe til f krummer derfor oppover i hele defiisjosmegde. E f ( ) ( ) 6 ( ) 9 ( ) Vi vet å t divisjoe f ( ) : ( ) går opp: ( 6 9 4) : ( ) Vi fier de dre ullpuktee: c eller Vi ft ett ytt ullpukt: 4 Vi fier evetuelle topp- eller upukter ved å løse f( ) 0: f ( ) : 4 0 eller f ( ) ( )( ) Aschehoug Side 4 v 70

15 Løsiger til oppgvee i ok Av fortegslij ser vi t grfe hr et toppukt år, og et upukt år. f ( ) ( ) 6 ( ) 9 ( ) f Toppukt: (, 4) Bupukt: (, 0) ( ) ( ) 6 ( ) 9 ( ) c f ( ) Av fortegslij for f( ) ser vi t grfe til f hr et vedepukt for. f Vedepuktet er (, ). ( ) ( ) 6 ( ) 9 ( ) d Vi hr disse opplysigee: Nullpukter: og 4 Toppukt: (, 4) Bupukt: (, 0) Vedepukt: (, ). Før vi lger skisse, fier vi i tillegg skjærig med y-kse: f (0) E4 Tegigee v de fire grfee viser tydelige symptoter. Vi fier derfor først ut hv fuksjosuttrykket f( ) ærmer seg år vokser. Når vi lr vokse mot uedelig, vil e ærme seg 0. D ærmer f( ) seg Både grf, og 4 hr y = 75 som vrett symptote. Aschehoug Side 5 v 70

16 Løsiger til oppgvee i ok Når vi lr vokse mot mius uedelig, vil e li veldig stor, og f( ) vil ærme seg y Dee symptote fier vi re hos grf 4, og vi k derfor kokludere med t fuksjoe f tilhører grf 4. Når vi lr vokse mot uedelig i fuksjosuttrykket for g, ser vi t ( 5) e går mot 0. D ærmer g ( ) seg Det er re grf som hr vrett symptote lik y = 00, og derfor må fuksjoe g tilhøre grf. E5 I( ) p( ) (480 0, ) 480 0, O I K ( ) ( ) ( ) 480 0, ( ,05 ) 480 0, , 05 0, Vi løser først O( ) 0 O( ) 0, 60 0, , 60 0, 0, 00 Vi fktoriserer uttrykket for O( ) og lger fortegsskjem. O( ) 0,( 00) Av fortegslij ser vi t 00 gir et toppukt. Dette etyr t produksjo v 00 eheter gir det største overskuddet. E6 Vi ser t fuksjoe f hr ullpuktee, og. Vi k derfor fktorisere f( ) i førstegrdsfktoree: f ( ) ( ) ( ( )( ) ( )( )( ) Av de tre ullpuktee til f k vi velge eller for å fie k (dersom vi velger vil k flle ort i likige). Vi velger ullpuktet : Aschehoug Side 6 v 70

17 Løsiger til oppgvee i ok f k k 7 9 4k 0 () 0 4k 6 k 9 Oppgve E7 f ( ) 4 f er ltså et ullpukt for f. Vi deler derfor uttrykket for f med. 4 : Altså er f ( ) 4 ( )( ). De dre ullpuktee for f er og. f ( ) 4 I topp- og upuktee er f( ) 0. Fr c-formele får vi ( ) ( ) 4 ( 4) Dermed er f ( ) ( ). Vi teger fortegslije. 4 Av fortegslij ser vi t er et toppukt og er et upukt. 9 f ( ) ( ) ( ) 4 ( ) f Puktet, er et toppukt på grfe til f Puktet, er et upukt på grfe til f. 7 Aschehoug Side 7 v 70

18 Løsiger til oppgvee i ok c Tgete hr stigigstll 6. Altså er f( ) 6 i tgerigspuktet er et ullpukt. Altså er f () 0. ( ) ( ) 4 ( 0) 0 f Vi fier de mulige tgetee med ettpuktsformele y f ( ) f ( )( ) : y 6 y : y 0 6 ( ) y 6 Vi fier skjærigspuktet med drekse ved å sette 0 i i formele for tgete. De første tgete hr ltså positiv drekoordit i skjærigspuktet, mes de dre tgete hr egtiv drekoordit. Tgete vi er ute etter er ltså y6. E0 Nullpukt for fuksjoe f D er gitt ved ( ) 6 9, f f ( ) eller For å sjekke om det fis flere ullpukter, ruker vi c-formele for dregrdslikige: 4c Fuksjoe hr ltså to ullpukter, for 0,. ( er det doelt ullpukt.) For å fie evetuelle toppukter og upukter på grfe til f ser vi på f( ) , 4, c c eller Aschehoug Side 8 v 70

19 Løsiger til oppgvee i ok Vi fktoriserer f( ) og lger fortegsskjem. 4. Dette gir oss følgede fortegslije for de deriverte: Av fortegslij ser vi t grfe hr et toppukt for og et upukt for. Vi fier fuksjosverdiee til de to kritiske -verdiee: f og Toppukt:, 4 Bupukt:, 0 f () c For å fie evetuelle vedepukter på grfe til f ser vi på f( ) f Vedepukt:, d For å lge e skisse v grfe så treger m oe flere pukter. I tillegg til de puktee vi llerede hr fuet, hr vi reget ut oe flere. (Grfe er teget med GeoGer.) y Aschehoug Side 9 v 70

20 Løsiger til oppgvee i ok E f ( ), D f R f ( ) 0 ( ) Fortegsskjemet viser oss t vi hr et toppukt for 0 og et upukt for. f (0) f () 4 Toppuktet på grfe til f er (0,), og upuktet er,. f ( ) ( ) Fordi f () 0 og forteget til f ( ) er ulikt på hver side v, hr vi et vedepukt for. Aschehoug Side 0 v 70

21 Løsiger til oppgvee i ok f () Vedepuktet på grfe til f er,. c Fr oppgve og vet vi t (0, ), (, 0,) og (, 0,) er pukter på grfe til f. Vi ehøver et pr pukter til. f ( ) ( ) ( ) ( ) f () De fem puktee vi å hr, smme med iformsjoe fr fortegsskjemee i oppgve og, gir oss ok iformsjo til å lge e rimelig r skisse. E At f( ) 0, etyr t grfe til f veder de hule side ed. Vi efier oss d til vestre for vedepuktet D. At f( ) 0, etyr t grfe til f syker. Puktee B og C efier seg åde til vestre for D smtidig som de efier seg på de sykede dele v grfe. I puktee B og C er egge etigelsee oppfylt. E f ( ) c f ( ) f ( ) Aschehoug Side v 70

22 Løsiger til oppgvee i ok f () f () f () 4 c 4 4 ( 6) c 4 6 c 4 c f ( ) 4 6 Nullpuktee til f fier vi ved å løse likige f( ) eller ( 4) ( 4) Side f er e dregrdsfuksjo med et positivt tll for dregrdsleddet, vet vi t grfe lir e prel som hr et upukt der f( ) 0. f( ) Vi vet llerede t f () 4. Grfe til f hr et upukt i (, 4). Oppgve E4 Aschehoug Side v 70

23 Løsiger til oppgvee i ok K( ) 0, Ehetskostde er G( ) 0,0 60. Gresekostde er K( ) 0, Ehetskostde er mist år ehetskostde er lik gresekostde, G( ) K( ) , , , , Ehetskostde er mist år det produseres 500 eheter G(500) 0, De miste ehetskostde er 80 kr per ehet. Oppgve E5 K ( ) Ehetskostde er gitt ved G ( ). Ehetskostde ved produksjo v eheter per K() time er ltså. Dette er det smme som stigigstllet til lij gjeom origo som skjærer grfe til K for, ltså lij y,. Ehetskostde ved produksjo v eheter per time er derfor, kr per ehet. Gresekostde er gitt ved K ( ). Lij y0,40,45 tgerer grfe til K for. Stigigstllet for dee lij er derfor lik gresekostde for. Gresekostde ved produksjo v eheter per time er 0,40 kr per ehet. c Vi fier de miste ehetskostde ved å trekke tgete fr origo til grfe til K. Dee tgete er gitt ved y 0,84. De miste ehetskostde er derfor 0,84 kr per ehet. Tgete tgerer grfe til K for 8. Kostdsoptiml produksjosmegde er ltså 8 eheter per time. Oppgve E6 Aschehoug Side v 70

24 K( ) 0, 50 K(400) 0, I( ) 0,04 90 I(400) 0, Løsiger til oppgvee i ok Hvis produksjoe økes fr 400 til 40 eheter, vil kostde øke med c. 0 kr, og itekte vil øke med c. 74 kr. Itekte øker ltså mer e kostde. Det vil derfor løe seg for edrifte å øke produksjoe. c Overskuddet er størst år greseitekte er lik gresekostde, I( ) K( ). 0, , 50 0, Overskuddet er størst år det produseres 000 eheter. E7 NB! Oppgve er feilplssert og skl løses med hjelpemidler. Vi løser likigee i CAS: Vi ser t 0,5, = og c = Ved å sette i, og c får vi t K( ) 0,. Vi ruker CAS til å estemme I (00) og K (00) : Aschehoug Side 4 v 70

25 Løsiger til oppgvee i ok Vi ser t ved produksjo v 00 eheter er greseitekte c. kr/ehet og gresekostde 4 kr/ehet. Dette forteller oss t dersom m øker produksjoe fr 00 til 0 eheter, vil kostdee øke mer e itektee. Det etyr t edrifte ør produsere færre e 00 eheter per dg. c Overskuddet er størst år I( ) K( ) : E8 Bedrifte må produsere og selge 86 eheter per dg for t overskuddet skl li størst mulig. K ( ) Vi hr kostdsfuksjoe K( ), og ehetskostde er gitt ved G ( ). Vi ser videre t puktet A ligger på grfe til K. Videre ser vi t vi k fie fuksjosverdie til K ved å se på fuksjosverdie til f.eks.: y ( ) 4,46. Det etyr t ehetskostde ved produksjo v K(400) kr 4, kr kr 400 eheter lir G(400) 4, 46. (Ehetskostde 400 ehet 400 ehet ehet er også lik stigigstllet for e rett lije gjeom origo og puktet A. Dessute, side y ( ) også går gjeom A, kue vi rukt fuksjosverdie til y ( ).) Gresekostd er gitt ved K ( ). Vi k derfor fie gresekostde side stigigstllet til tgete i puktet A er lik gresekostde. Vi ser t tgete i A er gitt ved y ( ),06 960, og side tgete hr stigigstll,06, så er kr K(400),06 ehet. c Legg merke til t y ( ) 4,46 er e lije fr origo som går gjeom puktet A. Av lle de lijee vi k trekke fr origo til et pukt på grfe til K, er det é som hr midre stigigstll e lle de dre. Det er lij som tgerer grfe, og dette er lij y ( ),4. Kostdsoptiml produksjosmegde er derfor 000 eheter, og de miste ehetskostde er kr derfor,4. ehet Aschehoug Side 5 v 70

26 Oppgve E9 f ( ) c f ( ) f ( ) ( ) ( ) g( ) g( ) g( ) Løsiger til oppgvee i ok E lieær fuksjo øker eller miker like mye per tidsehet. E ekspoetilfuksjo øker eller miker med e like stor fktor per tidsehet. Oppgve E40 f () t f () 70 t f () 0 Vi deler f () med f () for å fie. f () 0 f () Dermed er Fuksjosuttrykket for f er ltså f( t) 405. Vekstfktore er 0,67. Dette svrer til e reduksjo på %. Verdie v f reduseres med c. % fr e tidsehet til de este. Oppgve E4 Etter timer hr tllet kterier dolet seg fire gger. 4 Atllet kterier er derfor f() t er e ekspoetilfuksjo. Vi k derfor skrive f ( t) e kt. Vi ser t k0 f (0) e Aschehoug Side 6 v 70 t. Kostte er ltså tll kterier i kteriekulture til å egye med, Dermed er f( t) e kt. c Atllet kterier doler seg hvert 0. miutt. Altså er f ( t 0) f ( t). d k( t0) kt e e e e kt0k kt 0k e 0k l 0,69 0,69 k 0,0 0

27 Løsiger til oppgvee i ok Oppgve E4 C f() t e t c d Side 0, vil uttrykket e t gå mot ull år t. D vil f () t gå mot 0 f() t går ltså mot C år t lir stor. Det etyr t y C er e vrett symptote for grfe til f. t t e e t t 0 e ( ) e t t t e e e C C C C f() t, og C er positive kostter, og uttrykket e t er lltid positivt. Dermed er f( t) 0 for lle verdier v t, som etyr t grfe til f lltid stiger. Uttrykket e t C 0 går mot ull år t. D vil f () t gå mot ( 0) f () t går ltså mot 0 år t lir stor. e Fr oppgve vet vi t f() t går mot e kostt verdi år t lir stor. Grfe til f lir ltså vrett år t lir stor. D vet vi t stigigstllet til grfe til f må gå mot 0. f () t må ltså gå mot 0 år t lir stor. 0. C C. (Det motstte er ikke ødvedigvis tilfellet. Fuksjoe f () t t vokser og lir vilkårlig stor år t lir stor. Me f () t går likevel mot 0.) Oppgve E4 C Fuksjosuttrykket for modelle er f() t. e t Bæreeve for øfler er 00 dyr. Etter lg tid går derfor tll dyr mot 00. Altså er C 00. Til å egye med er det 0 øfler på øy. Altså er f (0) 0. Det gir C C C f (0) 0 e Aschehoug Side 7 v 70

28 Løsiger til oppgvee i ok Etter 6 år er det 0 øfler på øy. Altså er f (6) 0. Det gir 00 9 e 9 e 6 6 9e e e 6 l, 40 0,40 Atll øfler på øy etter t år er gitt ved 00 f() t 0,40t 9e. Oppgve E44 C f() t e t C Vedepuktet for e logistisk fuksjo er år y. Vedepuktet er gitt ved (, ). Altså er C 64. Stigigstllet til vedetgete er 4 4 C. Altså er ,5. C 64 4 Til slutt fier vi fr likige f (). 64 0,5 e e e l 0 e e 0 Fuksjosuttrykket for fuksjoe er gitt ved 64 f() t 0,5t 0e. Oppgve E45 Aschehoug Side 8 v 70

29 Løsiger til oppgvee i ok f ( ) d er lik relet v området som er 0 vgreset v grfe til f, -kse og lijee 0 og. Området hr form som et trpes. Arelformele for trpes gir ( 8) 0. Altså er f ( ) d 0. 0 Området er stt smme v et trpes og et rektgel. Dermed er 8 (8 4) 4 f ( ) d f ( ) d f ( ) d f ( ) d Vi skl løse likige f ( ) d 6. Fr oppgve vet vi t 8. Området estår derfor v to trpeser og ett rektgel. Arelet v området vgreset v grfe til f, -kse og lijee 0 og er dermed ( 8) (8 4) 4 f ( ) d 4 ( 6) Oppgve E46 Skøyteløpere ådde toppfrte p etter 8,0 sekuder. Kreftee egyte å t slutt etter 4 sekuder. Aschehoug Side 9 v 70

30 Løsiger til oppgvee i ok c Arelet estår v tre områder: e trekt, et rektgel og et trpes. Arelet er dermed gitt ved p p 6 p p p 6 4 p 6 p p 8 0 p p Arelet uder frtsgrfe viser de totle distse skøyeløpere går. Skøyteløpere går til smme 500 m. Det gir likige 00 p p 500 p 5 Toppfrte til skøyteløpere vr 5 m/s. Oppgve E47 Ssylighete for t summe v tll øye lir er 6. Ssylighete for t summe v tll øye lir er 6. Ssylighete for t summe v tll øye lir 0 eller midre er dermed 6. Vi lr X stå for utetlige etter ett spill. Ssylighetsfordelige til X er dermed gitt ved k P( X k) Forvetigsverdie for utetlige er EX ( ) ,,5 0, 5 0, 05 0, 005, ,78 Deltkere må etle mist,78 kr for å være med på ett spill. Aschehoug Side 0 v 70

31 E48 00 Løsiger til oppgvee i ok etyr t summe v tll øye er 0. Dette oppås ved tilfellee (4, 6), (5, 5), (6, 4) 50 etyr t summe v tll øye er 7. Dette oppås ved tilfellee (, 6), (, 5), (, 4), (4, ), (5, ), (6,) P( X ) For t ksioet i det lge løp skl h et gjeomsittlig utytte på 5 kr per spill, må EX ( ) 5. 7 ( 00) ( 50) ( 00) 6( 50) Dette etyr t prise må være 0 kr dersom ksioet skl h et gjeomsittlig utytte på 5 kr per spill. E49 Vi vet t summe v ssylighetee for de mulige verdiee for de stokstiske vriele X er lik é: P(0) + P() + P() = Dette gir oss de første likige i likigssystemet: + + c = Forvetigsverdie E(X) er gitt ved: E( X ) P( X )... m P( X m) 0 c Dette gir oss de dre likige: c Vrise Vr(X) er gitt ved Vr( X ) ( ) P( X )... ( m ) P( X m). Vi setter i verdiee og får de tredje likige: 0 c 9 c c Aschehoug Side v 70

32 Løsiger til oppgvee i ok I: c II: c III: 9c Av I: c I i likig III: c 9c 8c c 8 Vi setter c i i likig II: Vi setter c og i i likig I: Likigssettet hr løsige 5, og c E timer, og 400 timer P( X 600) P Z P Z P( Z ) 0, Ssylighete for t e lyspære lyser færre e 600 timer, er c. 6 %. Vi må løse likige P( X ) 0,9. Side P( X ) P( X ), etyr dette t vi må løse likige P( X ) 0,, dvs. P( Z z) 0, Vi leser v i telle og ser t dette gir z.8. Dette gir 000, , Altså er ssylighete 90 % for t lyspær skl lyse mer e 488 timer. c Side 000, må grfe h et toppukt for 000, dvs. ete grf A eller grf C. Side 400, skl 68, % v relet uder grfe være i itervllet [600, 400]. Vi ser t dette stemmer est for grf C som ltså er de grfiske frmstillige som illustrerer X. Aschehoug Side v 70

33 E5 Løsiger til oppgvee i ok I de grfiske frmstilligee er høyde v e søyle lik ssylighete for t de stokstiske vriele vil få de verdie. Vi ser t fordeligee () og (4) hr positiv ssylighet for verdiee 0,,,...,0, mes fordeligee () og () også hr positive ssylighet for verdier større e 0. Det etyr t fordeligee () og (4) svrer til vrilee X og X. For å vgjøre hvilke v vrilee X og X som svrer til fordelige () og hvilke som svrer til fordelige (4), ser vi på forvetigsverdiee. Vi hr t E( X ) p 00,6 6 og E( X ) p 00,4 4 Det etyr t vi vil forvete t X får større verdier e X, så () er fordelige til X mes (4) er fordelige til X. Fordeligee () og () svrer til vrilee X og X 4. Me hvilke stokstisk vriel svrer de to fordeligee til? Forvetigsverdiee til vrilee er E( X ) p 000,06 6 og E( X 4) p 500, 5 Fordeligee () og () ser gske like ut. Me mes det for () er mest ssylig å få verdiee 4 og 5, er 5 og 6 de mest ssylige verdiee for (). Derfor svrer () til X (som hr forvetig 6), mes () svrer til X 4 (som hr forvetig 5). Vi fier PX ( 0) ved å legge smme P( X k) for k 0,,.... For fordeligee () og (4) ser vi v de grfiske frmstilligee t PX ( 0) er veldig lite, mes P( X k) 0 for k 0. For disse fordeligee er derfor PX ( 0) klrt midre e 0,0775. For fordelige () fier vi ved å lese v P( X k) for k 0,,, v de grfiske frmstillige t PX ( 0) 0,04 0,0 0,0 0,005 0,075. E tilsvrede vlesig for fordelig () gir t PX ( 0) 0,0 0,0 0,05 0,05, som er midre e 0,0775. Det etyr t PX ( 0) 0,0775 for fordelig (), dvs. for vriel X. c Stdrdvvikee for de iomiske vrilee er 4 SD( X ) p p 00,6 0,4 60,4,4 SD( X ) p p 000,060,94 60,94 5,64 SD( X ) p p 00,4 0,6 60,4,4 SD( X ) p p 500,0,9 50,9 4,5 Vi ser t X hr størst stdrdvvik. Aschehoug Side v 70

34 E5 Løsiger til oppgvee i ok Først treger vi e oversikt over på hvor mge måter to teriger k gi de ulike summee for tll øye. Adre terig Første terig X er utyttet til ksioet ved e spilleomgg. Dersom summe v tll øye lir 7, må ksioet etle ut 0 kr. Av telle ovefor ser vi t til smme 6 v 6 like ssylige utfll gir summe 7. Det gir 6 PX ( 0) 6 6 Dersom summe lir eller, må ksioet etle ut 00 kr. Telle viser t det re er é måte å få summe på og også re é måte å få summe på, ltså til smme to muligheter for sum eller. PX ( 00) 6 8 Atll muligheter for å få e e sum e, eller 7 er Ssylighete for t ksioet tjeer kr på e spilleomgg, lir d 8 7 P( X ) P( X ) c At ksioet i det lge løp vil tjee 5 kr per spill, vil si t EX ( ) 5. EX ( ) 5 P( X ) P( X ) P( X ) 5 7 ( 0) ( 00) Aschehoug Side 4 v 70

35 Løsiger til oppgvee i ok Med hjelpemidler E54 Vi lr være eergiiholdet i g fett, y være eergiiholdet i g krohydrter og z være eergiiholdet i g proteier. Dette gir likigssystemet I: 5 y 6z 00 II:,5 4,5y,z 70 III: 77z 500 Vi skriver i likigee i CAS og løser likigssystemet. I g fett er det,74 kj, i g krohydrter er det 7,76 kj, og i g proteier er det,8 kj. Oppgve E55 P( ) 7 6 Divisjoe P( ) : ( ) gir som rest dersom P( ). Vi løser likige P( ) med hesy på i GeoGer. Likige hr løsige. Q( ) 8 Divisjoe Q( ) : ( ) går opp dersom Q ( ) 0. Vi løser likige Q ( ) 0 med hesy på i GeoGer. Likige hr løsige. Aschehoug Side 5 v 70

36 Løsiger til oppgvee i ok Oppgve E56 Hvis u, v og w er tre ledd i e geometrisk rekke, etyr det t v w (dette forholdet er kvotiete til rekk). u v Vi løser dee likige med hesy på v i GeoGer, og får d v u w. Vi skriver i leddee v u, v og v w. Hvis, og er tre ledd i e ritmetisk rekke, etyr det t (dette er differse til rekk). Vi løser dee likige med hesy på v i GeoGer, og får d v u w. Fr oppgve vet vi dermed t u, v og w er tre ledd som følger etter hverdre i e geometrisk rekke. E57 Figure edefor viser de fem første piltllee. E opptellig v puktee i figure gir oss de fem første piltllee: 6, 4, 5, 9, 56 Vi ser t pilspisse i piltll ummer er trekttll ummer. Om vi ikke forutsetter t formele for trekttllee er kjet, k vi gå frm slik: På figure edefor hr vi teget pilspisse til piltll ummer med lå prikker. Itil dee pilspisse hr vi lgt e like stor rød pilspiss med firktede prikker. Om vi «retter opp» figure, får vi et rektgel, og vi k si t det illustrerer rektgeltll ummer 4, der redde er 4 og høyde er 5, med totlt 45 0 prikker. Atll prikker i de lå pilspisse lir d hlvprte v dette. I pilspisse på piltll ummer hr vi ltså Aschehoug Side 6 v 70

37 45 prikker. Formele for tll prikker i pilspisse på piltll ummer lir d ( )( ) S Løsiger til oppgvee i ok c Vi ser t rektglee i pilee ikke er som rektglee i det vi vligvis kller rektgeltllee, der de legste side er leger e de korteste. I de rektglee vi ser her, er hele tide de legste side leger e de korteste. E formel for tll prikker i disse rektglee lir d F ( ). ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) P S F ( ) ()( ) Oppgve E58 Vi setter termieløpet lik kr. Sluttverdie v det 0. og siste termieløpet er d. Sluttverdie v det 9. termieløpet er,04. Sluttverdie v det 8. termieløpet er,04. Det lir tilsvrede helt tilke til det første termieløpet, som hr sluttverdie Sluttverdie v termieløpee der de geometriske rekk 9 s0,04,04,04 Dee summe skl være lik sluttverdie v låeeløpet, 0 som er ,04. Vi defierer og løser 0 likige s ,04 i GeoGer. Termieløpet er 9 kr. 9,04. Aschehoug Side 7 v 70

38 Løsiger til oppgvee i ok c Vi teker t det tr år før sldoe på sprekotoe psserer kr. Sluttverdie v det siste iskuddet er 9 kr. Sluttverdie v det est siste iskuddet er 9,0 kr. Tilsvrede lir sluttverdie v det første iskuddet 9,0 kr. Summe v iskuddee der ltså de geometriske rekk 9 9,0 9,0 9,0 Dee summe er gitt ved k,0 s 9 k,0 I tillegg hr strtsldoe på kr stått i ke i år. Det smlede spreeløpet etter år er derfor, ,0 9,0 Spreeløpet skl være kr. Vi ruker GeoGer og løser likige, , ,0 Likige hr løsige,9. Spreeløpet psserer ltså kr om 4 år. Etter fire år er sldoe på sprekotoe s kr. Deretter er rete,5 %, og Sofie sprer 9 kr hvert år i ytterligere seks år. Sldoe på sprekotoe etter 0 år er derfor 6 6,05 s4, ,05 Ved ku å spre på sprekotoe hr Sofie kr etter 0 år. Hvis hu i stedet tr opp lå, hr hu kr ståede på kotoe til,5 % rete i 0 år , Ved å t opp lå hr Sofie kr på sprekotoe etter 0 år. E59 I dee oppgve etler Ktrie i kr 4 gger. Iskuddet det første året forretes flest gger, og summe v iskuddee der e geometrisk rekke med 0 000,05, k,05 og 4. Vi fier S 4 4 k, , ,. k, 05 4 Ktrie hdde c , kr på koto. desemer 00. Fr oppgve vet vi sldo. jur 0 (vi tr t m ikke får oe særlig reteitekt på e dg). Ktrie møter opp i ke og tr ut 8000 kr, og det resterede eløpet forreter seg ett klederår, før Ktrie igje tr ut 8000 kr. Dette skjer 4 år på rd, og så står det resterede eløpet ett klederår før vi gjør opp sttus. desemer 04. Vi ser på situsjoe..04, og vi hr d oversikte: Aschehoug Side 8 v 70

39 Løsiger til oppgvee i ok Vi ser t vi hr e geometrisk rekke, og vi hr 4 4, ,,0 8000,0 9899, , ,79,0 Ktrie hdde c. 6 76,79 kr på koto. desemer 00. E6 Vi teller tll prikker og ser t B 8, 5 teller opp tll prikker: B4 5. B, B 4. Vi teger det fjerde åttllet og Det er ok mest turlig å løse oppgve i CAS. Vi summerer de turlige tllee fr til 5, så de turlige tllee fr til 8. De rukes så i formele til Mthis. Vi ser t B5 T5 T c Dee oppgve k løses på flere måter, de rskeste er ok å ruke CAS, og vi får d e eksplisitt formel på forme B 4. Aschehoug Side 9 v 70

40 Løsiger til oppgvee i ok Altertivt husker vi t summe v de første trekttllee er gitt på forme Vi hr d B T T 86 ( ) 4 ( ) T ( ). E6 Vi vet t dimetere til de første hlvsirkele er gitt ved r, og t dimetere til de este hlvsirklee er hlvprte v dimetere til de foregåede. Vi vet t omkretse v e d hlvsirkel er gitt ved hlvprte v omkretse til e sirkel: Ohlvsirkel. Side O er legde v e hlvsirkelue, så etyr det t O er omkretse v hlvsirkel ummer. Vi hr d følgede utrykk for de første tre hlvsirkeluee: O O O d r r d r r d r 4 Side vi hr uedelig mge hlvsirkler, så lir summe v legdee v lle hlvsirklee e uedelig rekke: O O O... Dee rekk er også geometrisk, side det fis et tll k slik t hvert ledd i rekk er likt leddet for multiplisert med k. I dee oppgve er k. Side k, k vi ruke formele for summe v e uedelig geometrisk rekke: Aschehoug Side 40 v 70

41 Løsiger til oppgvee i ok S O r r k r r er formele for omkrets v e sirkel med dimeter r, og det etyr t summe v de uedelig mge hlvsirkeluee i dee oppgve gir omkretse til de første sirkele i oppgve. Dette etyr videre t side vi k teke på de første sirkele som eståede v to hlvsirkeluer, så hr vi følgede smmeheger: O O O O4... og O O O O og så videre. Geerelt k vi skrive dette som O O O O E6 Når vi hr et uitetslå, må summe v åverdiee v lle de frmtidige ietligee være lik det lået som lir utetlt. Summe v åverdiee der e geometrisk rekke med 6 74,54, k og 0.,, 6 74, , , , ,54, ,00 0,,,,,, Vi ser t opplysigee i oppgve psser med e rete på 0 %. I stedet for å verifisere t 0 % psser, k vi sette opp e likig med ret som de ukjete. Vi klrer ikke å løse de ved regig, me vi k løse de grfisk eller med CAS som vist edefor. (Blir det for vskelig å holde styr på lle pretesee, k vi ruke vekstfktore som de ukjete i stedet for ret, d det forekler likige etrktelig.) , 0 584,8 Etter 0 år med e årlig verdiøkig på % vil verdie v ksjee være 0 584,8 kr. Tidspuktet d ksjee hr dee verdie, smmefller med ietlige v det siste termieløpet på 6 74,54 kr. Hvis vi teker oss summe v sluttverdiee v lle termieløpee på dette tidspuktet, får vi e geometrisk rekke med 6 74,54, k, og 0. lir her det sist ietlte termieløpet. 6 74, ,54, 6 74,54, 6 74,54, 0, , , 5, Her kue vi h gjort regige mye eklere, for dette tllet må li det smme som sluttverdie v selve lået på slutte v det 0. året, ltså , ,5 Netto fortjeeste lir differse mellom sluttverdie v ksjee og summe v sluttverdiee v lle termieløpee. Aschehoug Side 4 v 70

42 Løsiger til oppgvee i ok 0 584, , 5 5 0,57 Netto fortjeeste etter 0 år vil være 5 0,57 kr. c For å fie sprerete setter vi først opp e likig med vekstfktore som de ukjete , ,54 k 6 74,54 k 6 74,54 k 0 584,8 0 k 6 74, ,8 k Dee likige løser vi med CAS i GeoGer. E vekstfktor på,7 tilsvrer e rete på,7 %. Spreret må være,7 % for t Lise skl h like mye peger i ke om 0 år som verdie v ksjee i oppgve. E64 For å fie rete må vi først t 5 486,9 kr og trekke fr iskuddet på 4000 kr som kkurt vr stt i. Så må vi trekke fr 0 98, kr, som vr sldoe ett år tidligere. Det vi står igje med d, tilsvrer ett års rete v 0 98, kr ,9 kr 4000 kr 0 98, kr 50,60 kr 50,60 kr 0,04,4 % 0 98, kr E rete på,4 % tilsvrer e vekstfktor lik,04. De tolv iskuddee med reter utgjør følgede geometriske rekke: , , , 04 Vi ruker sumformele for e geometrisk rekke for å fie summe. k,04 S 54 87, k,04 Like etter de. ietlige står det 54 87, kr på kotoe. c Vi fier de ye vekstfktore ,k k 8 k , , k, 045 Aschehoug Side 4 v 70

43 E vekstfktor på,045 tilsvrer e økig på,45 %. Løsiger til oppgvee i ok Rete må være,45 % for t det skl stå kr på kotoe åtte år etter siste ietlig. E65 Vi gir et pr eksempler på utregig v trekttllee: ( ) 4 0(0 ) 0 T() 6 T(0) 5 55 Telle edefor viser de første trekttllee T ( ) Avlesig fr telle gir oss svree edefor. T( 8) T(0) 55 T() T(8) 6 9 T( 8) T() T(8) Vi velger et pr dre komisjoer v m og : T(4 5) T(4) T(5) T(9) T(4) T(5) 45 (0 5) T( 9) T() T(9) T() T() T (9) 78 (6 45) De tre eksemplee k tyde på et møster: T( 8) T() T(8) 6 8 T(4 5) T(4) T(5) T( 9) T() T(9) 7 9 Det ser ut som om følgede regel gjelder: T( m ) T( m) T( ) m c T ( m ) T ( m) T ( ) ( m ) ( m ) m( m ) ( ) m m m m m m m m Vi hr å ekreftet t møstret vi oserverte i oppgve, gjelder geerelt. E66 Rekk edefor eskriver edetlige v lået: , , ,05 Dette er e geometrisk rekke med og k, , ,05 07 Det dre vdrget lir på kr, og det åttede vdrget lir på 07 kr. Aschehoug Side 4 v 70

44 Løsiger til oppgvee i ok 8 8 k,05 S k,05 I løpet v de 8 første vdrgee etler studete tilke i lt 4 7 kr. c S k k, ,05, , ,05 00,05, 05,5 lg,5 8,78 lg, 05 Vi ser v svret t studete må etle 8 ormle vdrg og et 9. restvdrg. Hele lået er edetlt idet det 9. vdrget lir etlt, og det skjer 9 år etter t studiet er vsluttet. d Vi må fie restgjeld etter t det 8. eløpet er etlt. 8 8 k,05 S k, Det siste vdrget lir på 8 04 kr. E67 ( ) ( ) eller 0 Løsige v dregrdslikige le gjort med et digitlt verktøy. Svret må være positivt , og de tre kvdrttllee er 00, og ( ) eller Aschehoug Side 44 v 70

45 Løsiger til oppgvee i ok Løsige v dregrdslikige le gjort med et digitlt verktøy. Svret må være positivt , og de to kvdrttllee er 69 og 96. E68 Vi ser t vi hr e geometrisk rekke med kvotiete S 0 k og Vi ser t lle leddee hr e felles struktur, og vi k eytte sumformele på et digitlt verktøy til å erege S : 0 S 0 0 S,0 k (,5 ),5 k S , , , lg500 00,6 lg,5 Vi må h med mist ledd for t summe skl overstige E69 De fire første leddee i rekk lir 4 8,,, k. Rekk er geometrisk med k. S ( ) 0,999 Aschehoug Side 45 v 70

46 Løsiger til oppgvee i ok ( ) 0,999 ( ) 0,999 ( ) 0,999 ( ) 0,00 lg( ) lg 0, 00 lg 0,00 7,04 lg( ) Vi må t med mist 8 ledd for t S 0,999. c Rekk kovergerer fordi S. d Dersom psiete fortsetter regelmessig med disse medisiee, vil megde rett etter t psiete hr ttt e tlett, ærme seg 0, 0,0, 667 0,0, 667 0,0, 667 Dette er e uedelig geometrisk rekke med kvotiete k 0,667, og første ledd er 0,. Side 0, 667, kovergerer rekk med summe 0, S 0,667 Megde stiliserer seg på,0 mg, og dee medisiehdlige k efles for psiete. Oppgve E7 00 f( ) 0,80 50 e 00 f (7) 64 0, e Når vidfrte er 7 m/s er effekte 64 W. 00 () e Når vidfrte er m/s er effekte 80 W. f 0,80 Vi teger grfe til f i GeoGer. Aschehoug Side 46 v 70

47 Løsiger til oppgvee i ok c d 0,80 0,80 0,80 50 e e e f( ) e ( 0,80) e 0,80 0,80 0,80 0,80 50 e 50 e 0, e f (7) 40 0, e 0, e f () 5, 7 0,80 50 e Hvis vidhstighete øker fr 7 m/s til 8 m/s, øker effekte med c. 40 W. Hvis vidhstighete øker fr m/s til m/s, øker effekte med c. 5,7 W. E7 Vi teger grfe i GeoGer: Vi teger lij y = 0,8 og ruker kommdoe Skjærig mellom to ojekt til å fie skjærigspuktet mellom grfee. Vi får puktet (46,4, 0,8). Vi ser t g() er større e 0,8 år > 46,4. Det etyr t deltrykket mist må være c. 46,5 mmhg for t metigsgrde skl være større e 0,8. c Vi skriver g ( ) og får opp uttrykket for økige i metigsgrde i lgerfeltet: Aschehoug Side 47 v 70

48 Løsiger til oppgvee i ok Vi ser t g ( ) vil være positiv for lle > 0. Det etyr t metigsgrde g ( ) øker år deltrykket øker. Vi teger grfe til g ( ), og ved å ruke kommdoe Ekstremlpukt fier vi t metigsgrde stiger mest år =,. Stigige vil vt år metigsgrde ærmer seg si mksverdi, me ltså fortstt være positiv. Oppgve E74 Slgsprise er gitt ved P( ) 0, c d E75 Itekte er dermed I( ) P( ) ( 0,5 500) 0,5 500 O I K. ( ) ( ) ( ) 0,5 500 ( ) 0, , Vi teger grfe til O og fier toppuktet. Toppuktet er gitt ved (460, ). Overskuddet er størst år det produseres 460 eheter. P(460) 0, Prise for vre er d 70 kr, og overskuddet er kr. Overskuddsfuksjoe er å O( ) 0,5 500 (0 ) 0,5 470 Overskuddet er størst år O( ) 470 0, ltså år 470. Kostde er d kr. Altså er K(470) O(460) 0, Overskuddet ved produksjo og slg v 460 eheter er kr. Vi skriver i verdiee i regerket i GeoGer, lger liste med pukter og velger regresjoslyse. Som regresjosmodell velger vi polyom v dre grd. Aschehoug Side 48 v 70

49 Løsiger til oppgvee i ok Vi får et dregrdsuttrykk som vi ruder v til K( ), I( ) p Overskuddet er størst år I( ) K( ). Vi løser dee likige i CAS år = 75. Vi ser t prise på vre må være kr for t overskuddet skl li størst mulig. Vi ereger overskuddet: Aschehoug Side 49 v 70

50 Løsiger til oppgvee i ok Vi ser t overskuddet lir kr. c Vi defierer tll solgte eheter som e fuksjo v prise: e( p) 00, p, og ruker CAS til å fie et uttrykk for Op ( ). Vi fier deretter mksimlpuktet til dee overskuddsfuksjoe ved å skrive O( p) 0 : E76 Vi ser t e pris på 0 kr vil gi det største overskuddet. Vi legger i telle som er gitt i oppgve, i regerkdele v GeoGer, mrkerer telle, høyreklikker og velger Lg, og så Liste med pukt. Deretter skriver vi RegLi[Liste] i iskrivigsfeltet, og fuksjoe lir d p( ) 0,4 9,68 0,4 9. Vi hr d I( ) p( ) ( 0,4 9) 0,4 9 De k m også fie i GeoGer ved å gge smme p() og. For å fie greseitektee og gresekostdee må vi derivere fuksjoee I og K og så sette i -verdie 000 i disse utrykkee. I GeoGer skriver vi Derivert[I] og Derivert[K] og vi fier d I( ) 0,448 9 og K( ) 0,06 5. Vi treger egetlig ikke disse Aschehoug Side 50 v 70

51 Løsiger til oppgvee i ok c utrykkee, det er ok å skrive i I (000) (gir 87,897) og K (000) (gir 95) i GeoGer. Side vi ser t I(000) K (000), vil det løe seg å øke produksjoe, dette fordi e økig i produksjo vil føre til e større økig i itekt e i kostdee. For å løse dee ulikhete så ser vi på det grfiske ildet og fier skjærige mellom de to grfee til I og K. Skjærige skjer for 45,98, det etyr t I( ) K ( ) frm til dee -verdie. Dette forteller oss t edrifte ør øke produksjoe v vrer frm til de produserer 45 eheter, og ved dee produksjoe hr de mksimert sitt overskudd. d Dee oppgve k vi løse som i oppgve c, eller vi k fie toppuktet v overskuddsfuksjoe som er gitt ved O( ) I( ) K( ) 0,4 9 0, , Figure viser grfe til overskuddsfuksjoe teget i GeoGer. Toppuktet er fuet ved å skrive Ekstremlpukt[O] i iskrivigsfeltet. Figure viser t overskuddet er størst år det produseres 45 eheter. (Vi k eve t det totle overskuddet d lir 47 86, kr, og prise per ehet k vi fie Aschehoug Side 5 v 70

52 Løsiger til oppgvee i ok ved å skrive p(f) i iskrivigsfeltet. Vi ser t det største overskuddet oppås ved e pris på 47,4 kr per ehet.) E77 K ( ) Vi hr kostdsfuksjoe K( ), og ehetskostde er gitt ved G ( ). Vi ser videre t puktet A ligger på grfe til K. Videre ser vi t vi k fie fuksjosverdie til K ved å se på fuksjosverdie til f.eks.: y ( ) 4,46. Det etyr t ehetskostde ved produksjo v K(400) kr 4, kr kr 400 eheter lir G(400) 4, 46. (Ehetskostde 400 ehet 400 ehet ehet er også lik stigigstllet for e rett lije gjeom origo og puktet A. Dessute, side y ( ) også går gjeom A, kue vi rukt fuksjosverdie til y ( ).) Gresekostd er gitt ved K ( ). Vi k derfor fie gresekostde side stigigstllet til tgete i puktet A er lik gresekostde. Vi ser t tgete i A er gitt ved y ( ),06 960, og side tgete hr stigigstll,06, så er kr K(400),06 ehet. c Legg merke til t y ( ) 4,46 er e lije fr origo som går gjeom puktet A. Av lle de lijee vi k trekke fr origo til et pukt på grfe til K, er det é som hr midre stigigstll e lle de dre. Det er lij som tgerer grfe, og dette er lij y ( ),4. Kostdsoptiml produksjosmegde er derfor 000 eheter, og de miste ehetskostde er kr derfor,4 ehet E78 E( p) p p 4 p p 4 p500 0, 5 I( ) p (500 0, 5 ) 500 0, 5 I( ) 500 0,5 K ( ) 0, Vi fier et uttrykk for overskuddet, O ( ). 0, O( ) I( ) K( ) 500 0,5 0, Aschehoug Side 5 v 70

53 Løsiger til oppgvee i ok Figure viser grfe til overskuddsfuksjoe teget i GeoGer. Toppuktet er fuet ved å skrive Ekstremlpukt[O] i iskrivigsfeltet. Figure viser t overskuddet er størst år det produseres 74 eheter. p500 0, , ,75 Det største overskuddet oppås ved e pris på 84,75 kr per ehet. c Figure edefor viser på y grfe til overskuddsfuksjoe, dee gge med ullpuktee iteget. Fordi tll produserte eheter må være et helt tll, ser vi v grfe t 400,95 må rudes opp og 5080,5 må rudes ed. (Ved produksjo v 508 eheter går edrifte med uderskudd.) Bedrifte går med overskudd år Lvere pris gir større slg, dvs. større mrkedsdel. Grfe viser t de største mrkedsdele (og dermed de miste prise) som k oppås smtidig som edrifte går med overskudd, er år det selges og produseres 5080 eheter v vre. p 500 0, De miste prise edrifte k sette smtidig som de går i lse, er 0 kr per ehet. 400 ( ) 000 e 500 K K( ) 000e E ( ) 400 Aschehoug Side 5 v 70

54 Løsiger til oppgvee i ok E79 Puktet 50, K(50) (50, 90) ligger på grfe til K. Det etyr t det koster 90 kr å produsere 50 eheter. Ehetskostde ved dee produksjosmegde er d 90 kr 9,40 kr er smtidig stigigstllet til de rette lij gjeom origo og puktet (50, 90). 50 Av lle de lijee vi k trekke fr origo til grfe til K, er det e som hr midre stigigstll e lle de dre. Det er lij som tgerer grfe. Vi fier ltså de produksjosmegde som gir lvest ehetskostd, ved å trekke tgete fr origo til grfe, og så fie stigigstllet til dee tgete. Vi ser t ehetskostde er lvest år produksjoe er 400 eheter, og totlkostde er 546,60 kr. Kostdsoptiml produksjosmegde er ltså 400 eheter. 546,60 kr De lveste ehetskostde er,60 kr c Gresekostde er K( ) 000 e 5 e K(00) 5e 0,60 Gresekostde er 0,60 kr per ehet. Det viser t totlkostde vil øke med 0,60 kr år produksjoe øker med e ehet fr 00. Aschehoug Side 54 v 70

55 Løsiger til oppgvee i ok d e Ehetskostde er mist år de er lik gresekostde. Av grfe ser vi t E( ) K( ) år 400. Ehetskostde er lik gresekostde år det produseres 400 eheter. 400 Overskuddet er gitt ved O( ) I( ) K( ) 50 0, e. E( ) K( ) år O(400) , e 656, 44 Når ehetskostde er lik gresekostde er overskuddet 656,40 kr. Ehetskostde er mist år de er lik gresekostde. Se grfe i oppgve og eregigee i oppgve. E80 Vi teger grfe i GeoGer ved å ruke kommdoe [<Fuksjo>,< Strt>,<Slutt>]. Aschehoug Side 55 v 70

56 Løsiger til oppgvee i ok Vi teger i lij og ruker kommdoe Skjærig mellom to ojekt til å fie skjærigspuktet mellom grfee. Vi får puktet A (, 4,06) oe som etyr t treigseffekte etter miutter er på 4,06 kj/mi. Deretter teger vi lij y 50 og ruker kommdoe Skjærig mellom to ojekt til å fie skjærigspuktet mellom grfee. Vi får puktet B (7,64, 50) oe som etyr t treigseffekte er på 50 kj/mi etter omtret 7 miutter og 40 sekuder. c For å fie det smlede eergiforruket til Mri i løpet v de første 0 miuttee må vi fie relet uder f( ) for [0,0]. Vi ruker kommdoe Itegrl[<Fuksjo>, <Strt>, <Slutt>] til å fie dette relet. Vi ser v grfe t relet er 40,5, oe som etyr t Mris smlede eergiforruk vr på 40,5 J de første 0 miuttee. Aschehoug Side 56 v 70

57 Løsiger til oppgvee i ok d For t det smlede eergiforruket skl li 00 kj, må relet uder grfe være 00. I GeoGer k vi teste ulike verdier for øvre grese for itervllet til. Vi ser t dersom 0 4,5, lir relet omtret 00. Dette etyr t Mri må tree i 4,5 miutter for t eergiforruket skl li på 00 kj. E8 Vi skriver i fuksjosuttrykket i CAS i GeoGer og reger ut f(0): Aschehoug Side 57 v 70

58 Vi ser t y-koordite til P er. Løsiger til oppgvee i ok I vedepuktet V er f( ) 0. Vi fier de ekskte -verdie (ifleksjospuktet) til vedepuktet i CAS: c Vi ser t y-koordite til vedepuktet V er. Vi ser t stigigstllet til tgete er k. 4 E8 Vi skriver i grfe i GeoGer. Se oppgve c. For å fie året hvor produksjoe er på 0 millirder ft, så fier vi skjærigspuktee mellom grfe til V og lij y = 0 med kommdoe Skjærig mellom to ojekt. Skjærigspuktee er c. (5,7,0) og (05,,0). Oljeproduksjoe vil være 0 millirder ft sommere i år 98 og tidlig i år 05, se oppgve c. c Produksjoe er størst år fuksjoe hr sitt toppukt. Vi fier dette ved å ruke kommdoe Ekstremlpuktet[V,70,90]. Toppuktet er c. (78,9,5,) Produksjoe er størst etter 78,9 år, mot slutte v år 008. Aschehoug Side 58 v 70

59 Løsiger til oppgvee i ok d For å fie de totle produksjoe v olje i periode må vi legge smme lle y-verdiee for fuksjoe V fr og med t 0 til og med t 84. Det etyr t vi må fie 84 Vt ( i ). Dette k i0 vi gjøre med CAS i GeoGer, og vi skriver Sum[Følge[V,t,0,84]]. Vi får d 84 Vt ( i ) 658,879. i0 E e mulighet er å tolke relet uder grfe mellom t 0 og t 84 som totl oljeproduksjo i periode. Side fuksjoe V lltid er over t-kse, k vi d skrive Itegrl[V,0,84], og vi får 84 Vt ( )dt 650, M k derimot rgumetere for t ved å ruke Itegrl[V,-0.5,84.5], så vil m få et øyktigere svr, side vi her får med oss hele det første og hele det siste året, se side 60 i læreok. Dette etyr t vi forveter t det lir produsert c. 659 millirder ft olje i åree fr og med 90 til og med 04. Kommetr: Ved ruk v følgede kommdo i GeoGer: Sum[V,t,0,84], klrer ikke GeoGer lltid å løse oppgve. For å erege summer må m kskje øke eregigstide i CAS. Som stdrd står de som 5 sekuder. De k økes, for eksempel til 60 sekuder. Du fier dette uder Istilliger, vsert og velg istilliger-cas. D kommer dette skjermildet opp: Aschehoug Side 59 v 70

60 Løsiger til oppgvee i ok Oppgve E8 6 f( ) 0,76 8, e I 0 er f 6 (6) 96 0,766 8,e I 0 vil oljefodet være på 96 millirder kroer. c d 0,76 0,76 0,76 0,76 0,76 0,76 8,e 8, e 8,e 6 8, e 6 8, e ( 0,76) e f( ) 0, e f (4) 5 0,764 8,e I år 000 vokser oljefodet ifølge modelle med 5 millirder kroer per år. 0,76 Ekspoetilfuksjoe e er positiv for lle verdier v. Av fuksjosuttrykket for f ( ) ser vi dermed t f( ) 0 for lle verdier v. Grfe til f vokser derfor for lle verdier v. Altså vil oljefodet ifølge modelle lltid vokse. Vi vet t grfe til e logistisk fuksjo hr et vedepukt der vekste er størst. I vedepuktet er f( ) 0. Vi løser likige i GeoGer, og får 9,67 0. Oljefodet hr størst vekst i 006. E84 f( ) 0,,45 e, der er tll år etter 006. (6) 44,45 e f 0, 6 Ifølge modelle solgte firm A 44 eheter i 0. Vi legger i telle som er gitt i oppgve, i regerkdele v GeoGer, mrkerer telle, høyreklikker og velger Lg, og så Liste med pukt. Deretter skriver vi RegLogist[Liste] i iskrivigsfeltet. D får vi følgede modell som viser tll solgte eheter per år for firm B: 7 g ( ),5 e 0,5 Aschehoug Side 60 v 70

61 Løsiger til oppgvee i ok c d e går rskt mot 0 år øker. Dermed går evere i fuksjosuttrykkee til åde f og g mot 0, dvs. mot, år øker, og d vil fuksjosverdie til egge fuksjoee gå mot det som står i tellere. Det etyr t slget til firm A vil ærme seg eheter i året, mes slget for firm B vil ærme seg 7 eheter per år. Firm A vil dermed i det lge løp selge flere eheter e firm B. Fr og med 006 til og med 05 vil si de ti første åree modellee gjelder for. De smlede importe og slget i disse ti åree k tolkes som et rel uder grfee mellom 0 og 0. Arelet uder grfe til f fier vi i GeoGer ved å skrive Itegrl[f,0,0]. Det lir helt tilsvrede for g. Det forvetes t firm A importerer og selger totlt 9 eheter, mes firm B importerer og selger totlt 5 eheter fr og med 006 til og med 05. (Her k det rgumeteres for t det er edre å itegrere fr 0,5 til 9,5 eller til og med å ruke sumformel istedefor itegrl, me itegrsjo fr 0 til 0 er godt ok som svr.) E85 98,0 ( ), 0, 0,06 e f 0,0 De som lir født i 00, lir født 8 år etter 0. Dermed er 8. f 98,0 (8) 8, ,0 8 0,06 e Forvetet levelder for dem som lir født i 00, lir ifølge modelle 8 år. Aschehoug Side 6 v 70

62 Løsiger til oppgvee i ok f( ) 84 98,0 84 0,0 0,06 e 0, ,06 e ,0 7 0,06 e 6 6 0,0 e 6 0,06 0, 0 l l, 6,6 l,6 8,75 0, 0 Figure edefor viser to ltertiver til utregige ovefor. Det er CAS eller grfisk løsig, her utført med GeoGer Ifølge modelle k yfødte i 0 forvete e levelder på 84 år. c f( ) 0,0 0,0 (98,0) ( 0,06 e ) 98,0 ( 0,06 e ) 0,0 ( 0,06 e ) 0,0 0,0 0,0 0 ( 0,06 e ) 98,0 0,06 ( 0,0) e 0,8 e ( 0,06 e ) ( 0,06 e ) 0,0 0,0 L oss lysere fuksjosuttrykket til de deriverte fuksjoe. e er positiv for lle verdier v usett hvilke verdi hr. Tellere er derfor lltid positiv. I evere legger vi til et positivt tll og kvdrerer, og evere er dermed også lltid positiv, og d må hele røke være positiv. Vi ser t for lle verdier v er f( ) 0. Ifølge modelle vil forvetet levelder i Norge stdig øke. 0,0 d Vi lyserer fuksjosuttrykket til f( ). e går mot 0 år går mot uedelig. Det etyr t hele evere vil gå mot, og d vil f( ) gå mot 98,0: 98,0. Aschehoug Side 6 v 70

63 Løsiger til oppgvee i ok Ifølge modelle vil forvetet levelder i Norge i det lge løp gå mot 98 år. Oppgve E86 N( t) 700 C e kt Vi fier kostte C fr likige N(0) 400. k0 700 C e C 400 C 00 Så fier vi k fr likige N(5) 600. k e 600 5k 00e 00 e 5k k e 5k l l k 0, 5 Vi løser likige Nt ( ) 650 i GeoGer. Likige hr løsige t 8,4. Det er 650 hrer i området etter c. 8 år. c Vi ser t grfe til N flter ut ved N 700 år t lir stor. Etter lg tid vil det ltså være 700 hrer i området. 0,t d N( t) e 00 e 0,t 0,t 00 e ( 0,) 66 e 0,t 0,5 N(5) 66e Fem år etter t tellige egyte, økte tll hrer med hrer per år. Oppgve E87 Aschehoug Side 6 v 70

64 Løsiger til oppgvee i ok c d 0,5 0,09 D ( ) 0 00 e 80 e Vi fier t D() og D(9) 5. De dre uk reger de med t det er deltkere, og de tiede uk reger de med t det er 5 deltkere. Vi fier skjærigspuktee mellom grfe til D og lij y 7. Grfe og lij skjærer hverdre for og 7. Det er ltså 7 deltkere i de. og de 8. uk. 0,5 0,09 Både e og e går mot ull år går mot uedelig. D ( ) ærmer seg derfor 0 år lir stor. Atll deltkere vil ltså stilisere seg på 0 hvis modelle gjelder i lg tid. Vi ser t grfe til D hr et toppukt, som vi fier med kommdoe Ekstremlpukt. Det er flest deltkere i de 7. uk. Det smlede tll deltkere i løpet v de 0 første ukee er gitt ved summe 9 D ( ) 0 Dee summe k tilærmes ved et itegrl, 9 0 D( ) D( ) d I løpet v de 0 første ukee vil det h delttt c. 860 deltkere på trimme. Oppgve E88 Itektee er gitt ved I( p) p p E( p) p ( 0,5 p 80) 0,5 p 80 p Kostdee er gitt ved k( p) K( ) K( E( p)) 8 E( p) 00 E( p) ( 0,5 p 80) 00 ( 0,5 p 80) , 5p 80 p p p 640 p p p 40 p 800 Aschehoug Side 64 v 70

65 Overskuddet er gitt ved O( p) I( p) k( p) 0,5 p 80 p p 40 p 800 0,5 p 80 p p 40 p 800,5 p 0 p 800 Overskuddet er størst år O( p) 5 p p 0 p 4 Overskuddet er størst år prise per ehet er 4 kr. c E(4) 0, Når overskuddet er størst, produseres det 68 eheter per uke. d e Vi teger grfe til g i GeoGer, smme med lij y 70. Så fier vi skjærigspuktet mellom grfe og lij. Med CAS løser vi likige g ( ) 70. Likige hr løsige 5. Etterspørsele er ltså 70 eheter i uke 5. De smlede produksjoe i løpet v de 6 ukee er gitt ved 6 6 g( ) g( ) d I løpet v det hlve året produseres det til smme c. 680 eheter. Oppgve E89 K ( ) 0, K ( ) 0,005 5 K (00) 0, Det koster c. 5 kr å øke produksjoe fr 00 til 0 eheter per dg. Løsiger til oppgvee i ok Aschehoug Side 65 v 70

66 Løsiger til oppgvee i ok Overskuddet er størst år greseitekte er lik gresekostde, I( ) K( ). Dette skjer år 00. Altså er I(00) K(00) 5. Itektsfuksjoe er ltså gitt ved I( ) 5. c d e Vi skriver i overskuddsfuksjoe O( ) I( ) K( ) 5 K( ) i GeoGer, og løser ulikhete O ( ) 0. Side produksjoe er positiv og heltllig, hr ulikhete løsige Bedrifte går med overskudd år det produseres mellom 40 og 55 eheter per dg. 0,005t Vi legger i fuksjoe At ( ) 80 e, og løser likige At ( ) 00. Likige hr løsige t 8. Bedrifte oppår e produksjo på 00 eheter på dg r A( t) A( t) dt t0 0 De smlede produksjoe de 8 første dgee er på c. 900 eheter. E90 Persoee lir trukket ut til kotroll uvhegig v hverdre. Ssylighete for t tre persoer som går etter hverdre lir trukket ut, er p 0,0 0, 000 0,0 %. X er iomisk fordelt med p 0,0 og 000. D er E( X ) p 000 0,0 00 SD( X ) p p 000 0,0 0,0 90 9, 49 c Vi lr p være ssylighete for å li stoppet i kotrolle. Vi vil teste ullhypotese H : p 0,0 0 mot de ltertive hypotese H : p 0,0. A P-verdie er ssylighete for t 0 eller flere persoer lir vlgt ut til kotroll hvis ullhypotese er s. For å fie P-verdie ruker vi ssylighetsklkultore i GeoGer og velger iomisk fordelig. Vi legger i 000 og p 0,0, og velger ikoet for høyresidig ssylighet. Vi fier t PX ( 0) 0,58 slik figure viser. P-verdie er 5,8 %. Med sigifiksivå 5 % eholder vi ullhypotese. Udersøkelse ekrefter ikke flyplsspersolets mistke om t det velges ut for mge persoer til sikkerhetskotrolle. Aschehoug Side 66 v 70

67 Oppgve E9 Vi ruker ssylighetsklkultore i GeoGer, og velger ormlfordelig med 0, og 0,0. Så fier vi P( X 0,6) P( X 0,6). Ssylighete er 5,9 % for t e tilfeldig vlgt krtog skl ieholde mer e 0,6 L. Vi fier P(0, X 0,4). 6, % v krtogee vil ieholde mellom 0, L og 0,4 L. Løsiger til oppgvee i ok c Nullhypotese er t krtogee ieholder 0, L juice, dvs. H 0 : 0,. De ltertive hypotese er t krtogee ieholder midre juice, dvs. H A : 0,. Gjeomsittet X v måligee er ormlfordelt med 0,0 EX ( ) og SD( X ) 0, P-verdie er ssylighete for t X vil li høyst lik 0,9 L, ltså PX ( 0,9), uder forutsetig t ullhypotese gjelder. P-verdie er tilærmet lik 0. Nullhypotese lir derfor forkstet. Forrukergruppe hr god gru til å hevde t det tppes for lite juice i krtogee. d Stdrdvviket er 0,0. Vi øsker å fie forvetigsverdie slik t PX ( 0,) 0,90. Dette k vi gjøre ved å prøve oss frm i ssylighetsklkultore i GeoGer. Vi ser t 0, gir PX ( 0,) 0,90. Forvetigsverdie for juicemegde må være 0,58 L. E9 Det t smme prosetdel ligger uder 7 cm som over 8 cm, etyr t disse to verdiee ligger like lgt fr. Det k vi si fordi grfe til e ormlfordeligsfuksjo lltid er symmetrisk omkrig lij. lir dermed gjeomsittet v de to verdiee cm Det totle relet uder e tetthetsfuksjo er lltid (00 %). Når 0 % v elevee er høyere e 8 cm, må 90 % v elevee være lvere e 8 cm. Vi løser dee oppgve ved å ruke smmehege mellom e stdrdormlfordelt stokstisk vriel Z og e hvilke som helst e ormlfordelt vriel X gitt ved X Z Vi kjeer, og dersom vi fier e kokret verdi z som tilsvrer e kokret verdi, k vi ruke formele til å fie. Vi ruker verdie 8 fordi vi vet fr oppgve t PX ( 8) 0,9. Vi øsker å fie e kokret verdi z som er slik t P( Z z) 0,9. Det gjør vi med dee kommdoe i GeoGer: IversNormlfordelig[ <Gjeomsitt>, <Stdrdvvik>, <Ssylighet> ] Aschehoug Side 67 v 70

68 E9 Løsiger til oppgvee i ok IversNormlfordelig[0,,0.9] gir oss verdie,855 i lgerfeltet, som etyr t PZ (, 855) 0,9. Vi hr å fuet verdie z,855 som svrer til verdie 8, og d hr vi lt vi treger for å erege. X Z 878, 855, 855 5,9,9 cm Vi lr X være tll persoer som røyker i et tilfeldig utvlg på 00 persoer. X er iomisk fordelt. Vi hr 00 delforsøk der hvert delforsøk er å fie ut om e tilfeldig vlgt perso røyker eller ikke. Før røykekmpje vr ssylighete for t persoe røykte 7 %. Nullhypotese er t ssylighete fortstt er 7 % også etter røykekmpje, og de ltertive hypotese er t ssylighete hr litt lvere e 7 % som e følge v kmpje. H : p 0,7 0 H p 0,7 A : Etter røykekmpje udersøker vi 00 tilfeldig vlgte persoer og fier t røyker. Vi vil fie ssylighete for t eller færre persoer i et utvlg på 00 røyker, gitt t p fremdeles er 0,7. Vi eytter ssylighetsklkultore i GeoGer og velger iomisk fordelig, legger i 00, p 0,7 og velger ikoet for vestresidig. Vi legger i og k lese v P ( ) 0,4 slik figure edefor viser. Testes P-verdi er, %. Med et sigifiksivå på 5 % må vi eholde ullhypotese. Det er e for stor ssylighet for t det lve tllet røykere vi oserverte, re skyldes Aschehoug Side 68 v 70