2P kapittel 5 Eksamenstrening

Transkript

1 P kpittel 5 Eksmenstrening Løsninger til oppgvene i ok Uten hjelpemidler E = = = = ( ) ( ) c d x x = 3 x x = 3 x x = 3 x = 3 x = 7x 1, 10 5,0 10 = 1, 5, = 6,0 10 = 6, ( ) ( 6) ( 1) = = = 3 = 3 = 3 = = e ( ) ( ) = = = = f g h i E ( 3) ( 3) = 1= 3 = = 3 = = ( ) + ( 4) = = = = ( ) 3 8 = = = = = ( ) + 1 ( 5) = = = = Vi finner vekstfktoren for hver v prisendringene. Først lir prisen stt ned med 30 %. 30 Vekstfktoren er 1 = 1 0,30 = 0, Så lir prisen stt ned med 0 %. 0 Vekstfktoren er 1 = 1 0, 0 = 0, Nå koster skiene: 5000 kr 0,70 0, 80 = 800 kr ( ) 3 8 Aschehoug Side 1 v 61

2 Smlet prisnedgng: 5000 kr 800 kr = 00 kr Det utgjør: 00 kr 100 % = 44 % 5000 kr 1400 kr 0,90 0,80 1, = 110 kr Løsninger til oppgvene i ok Vekstfktorene på 0,90 og 0,80 viser t prisen hr gått ned to gnger, først med 10 % og så med 0 %. Vekstfktoren på 1, viser t prisen hr gått opp én gng med 0 %. E3 Ny verdi = gmmel verdi. vekstfktor n I dg er ilen verdt kr. En reduksjon på 18 % svrer til en vekstfktor på 0,8. Vi skl finne verdien om fire år, ltså n = 4. 4 Verdien om fire år: kr 0,8 Vi skl finne verdien for fire år siden, ltså n = kr Verdien om fire år: kr 0,8 = 4 0,8 E4 c Endring Vekstfktor +5 % 1, 5 15 % 0,85 7,5 % 0, % 1,5 + % 1,0 75 % 0, % 40 Rtten er 40 %. D er vekstfktoren 1 = 1 0, 40 = 0, N= GV N = , 60 = 4800 D lir prisen på høstslget 4800 kr. Ny verdi = gmmel verdi. vekstfktor n I 010 vr det deltkere. En vekstfktor på 0 % svrer til en vekstfktor på 1,0. Vi skl finne ntll deltkere i 009, ltså er n = Antll deltkere i 009 vr: ,0 = = , 0 Vi skl finne ntll deltkere i 011, ltså er n = 1. 1 Antll deltkere i 011 vr ,0 = Økningen i ntll deltkere fr 009 til 011 vr: = Aschehoug Side v 61

3 E = 4, ,5 10 = = = = 0, = = 0,00 10 = = 1, = 1, ( 3) Løsninger til oppgvene i ok E = 3,5 10 0, = 5, = 5,3 10 0, = 3, = 3,4 10 = 3, ( ) ( 4) = = = ,000 5,5 10,5 3,5 10 8,0 10 = 3,5 8,0 10 = 8 10 =, =, E7 A: = = = = : = = = = = B Vi ser t røken B hr størst verdi. 15 Vekstfktoren er 1 = 0, Verdien vtr med 15 % per år, ltså er dette et eksempel på eksponentiell vekst. Ny verdi = gmmel verdi. vekstfktor n 10 Verdien etter 10 år er gitt ved regnestykket ,85. Regnestykke nr. 3 er det riktige. E8 De to 10 % prisøkningene i utikk B regnes v forskjellige priser og derfor lir det feil å si t dette er en prisøkning på 0 %. Eksempel: L oss si t vren koster 100 kr i de to utikkene. I utikk A kostet vren etter prisøkningen: 100 kr 1, 0 = 10 kr. I utikk B kostet vren etter de to prisøkningene: 100 kr 1,10 1,10 = 100 kr 1,10 = 11 kr. E9 Vi ser v grfen t det koster kr å produsere 50 stoler. D lir kostndene per stol kr : 50 = 800 kr. 4,46 10 =,46 0,0001 = 0, Aschehoug Side 3 v 61

4 E10 og c F C 17, ,8 Stig skl steke kk på 177 C. E11 1 Av grfen ser vi t høyden til vnnoverflten etter minutter er,5 dm. Det tr 5,8 minutter før høyden til vnnoverflten er 6,0 dm. 5,8 minutter = 5 minutter, og 0,8 60 sekunder = 5 minutter og 48 sekunder. E1 I tllfølgen 16, 1, 8, 4,..vtr hvert ledd med 4. Av grfen ser vi t stigningstllet er 4 og konstntleddet er 0. Dermed kn vi ruke formelen y = 4x+ 0 til å finne tll nummer x i tllfølgen. Aschehoug Side 4 v 61

5 E13 Ved å estille og etle turen 30 dger før vreise, får vi kr i vslg. Vi eregner vslget per dg slik: Løsninger til oppgvene i ok 1500 = 50. Vi får 50 kr i vslg per dg. 30 Ved å estille og etle turen 1 dger før vreise, får vi kr i vslg. Vi eregner vslget per dg slik: Stigningstllet for den rette linj er 50 kr/dg = 50. Vi får 50 kr i vslg per dg. 1 Vi ruker p(x) som symol for prisen x dger før vreise. px ( ) = 50x+ p(30) = = = = = En mtemtisk modell for prisen på reisene er gitt ved px ( ) = 50x Gyldighetsområdet er derfor x [ 14, 30]. 1 En firedel v ensinen på tnken er 56 L 14 L 4 =. 14 L D hr Lrsen kjørt 0 mil 0,7L/mil =. Full tnk er 56 L og Lrsen ruker 0,7 L/mil. En mtemtisk modell for hvor mye ensin Lrsen hr igjen på tnken er d x ( ) = 56 0,7x der x er ntll mil Lrsen hr kjørt etter t hn fylte tnken , 7x = 0 0,7x = x = = 80 0,7 Lrsen kn kjøre 80 mil før tnken er tom. x 0, 80. Gyldighetsområdet er derfor [ ] E14 1 Hvis innyggertllet i Fossefjell i dg er 9000 og synker med 150 per år, vil en mtemtisk modell som viser folketllet om x år, li F( x) = x Grfen C viser folketllet om x år etter denne modellen. For en il som kjøpes for kr og synker i verdi med 15 % per år, vil ilens verdi følge modellen Bx ( ) = ,85 x. Dette er en eksponentilfunksjon. Grfen F viser verdien v ilen x år etter t den le kjøpt. 3 Dersom siden i kvdrtet er x, kn relet uttrykkes ved funksjonen Ax ( ) = x. Grfen er en prel. Aschehoug Side 5 v 61

6 4 Grfen A viser relet v et kvdrt som funksjon v siden x i kvdrtet. I denne oppgven må x > 0. H x = x + x+. Grfen er en prel med toppunkt siden < 0. ( ) 4, 9 1 1, 8 H( x ) uttrykker llens høyde over kken etter x sekunder. H (0) = 1,8. Grfen E viser llens høyde over kken som funksjon v x. E15 Figur m 1 m m 3 m 4 m 5 m 6 Antll klosser m m1 = 10 5 = 5 m3 m = = 7 D må m m = og m 4 = = m m5 13 m m = og m 5 = = 37 = og m 6 = = 50 Vi ser t m 1 = 11 + = 5 D må m = + 3 = 10, m 3 = = 17, m 4 = = 6, m 5 = = 37, m 6 = = 50 En modell som viser hvor mnge klosser Sondre trenger for å lge m n er d gitt ved m= nn + ( n+ 1) = n+ n+ n m 0 = = 44 Aschehoug Side 6 v 61

7 E16 Løsninger til oppgvene i ok Siden ilens verdi synker med 10 % hvert år, ruker vi en eksponentiell modell. Lr vi x være ntll år etter t Stin kjøpte ilen, får vi x f( x ) = ,90 Siden ilens verdi hvert år synker med 10 %, vil det årlige verditpet li mindre og mindre etter hvert som ilens verdi lir mindre. Grfen for f vil derfor synke sktere og sktere når x øker. Dette stemmer re med grf C. E17 Stin: Du tjener 50 kr 5 = 50 kr Sondre: Når du hr spist opp hlvprten v dropsene, hr du spist 75 drops. Du spiser fem drops om dgen. Altså tr det 75 dger = 15 dger før du hr spist opp hlvprten v 5 dropsene. Sestin: Lengden skl være,0 cm større enn redden. Hvis redden er 3,0 cm, skl lengden være 5,0 cm. Arelet v tøystykket er 3,0 cm 5,0 cm = 15 cm. Stin: L x være ntll rmånd. Inntekten I( x ) kr gitt ved I( x) = 50x. Sondre: Antll drops i krukk vtr med 5 per dg. Etter x dger hr du igjen nx ( ) drops der nx ( ) = 150 5x. Sestin: Lengden og redden skl være i cm. Kller vi redden for, vil lengden være +. Arelet A ( ) i cm er d gitt ved A ( ) = +. c Stin: x må være et helt tll større enn eller lik null, x 0,. Sondre: Løser vi likningen 150 5x = 0, får vi x = 30. Krukk er ltså tom etter 30 dger. x 0,30. x må være et helt tll større eller lik null, og mindre enn eller lik 30, [ ] Sestin: Bredden kn ikke være negtiv, og den kn heller ikke være null. må være større enn null, 0,. Men det er egrenset hvor store tøystykker Sestin kn lge. Aschehoug Side 7 v 61

8 E18 Løsninger til oppgvene i ok Nedenfor er koordintsystemet med punktene tegnet v og en rett linje som psser med punktene er tegnet inn etter este evne. Vi ønsker å finne og i funksjonsuttrykket y = x + for den rette linj. Til hjelp hr vi merket v to punkter på linj. Punktet A = (0, 00) er skjæringspunktet med y-ksen, som forteller oss t konstntleddet = 00. Smmen med det ndre punktet, B = (10, 970), ser vi t økningen i y er 770 når økningen i x er 10. Stigningstllet for linj lir økning i y 770 = = = 77 økning i x 10 Funksjonsuttrykket for linj lir d y = 77x+ 00. Når det er 0 dl etnol i egeret, ser vi t vekten er 00 g, så derfor må vekten v egeret være 00 g. Stigningstllet forteller oss t når det fylles i én desiliter mer med etnol i egeret, øker vekten med 77 g, ltså t én desiliter etnol veier omtrent 77 g, og siden 1 liter inneholder 10 desiliter, veier én liter omtrent 770 g eller 0,77 kg. Aschehoug Side 8 v 61

9 E19 Av grfen ser vi t et 35 måneder gmmelt rn i gjennomsnitt kn c. 100 ord. c Linj går gjennom punktene (0, 300) og (50, 100). Stigningstllet for linj er = = Linj vi tegnet inn, skjærer Likningen for den rette linj lir d y = 60x x x 900 x 15 y ksen i 900. Altså er = 900. Av grfen ser vi også t modellen gjelder fr rnet er 15 måneder. Modellen ntr t rn i gjennomsnitt lærer 60 nye ord per måned fr de er 0 måneder til de er 50 måneder. Etter den lderen er det tvilsomt om rn d lærer 60 nye ord per måned. Grfen vil nok flte ut etter som rn lir eldre. Aschehoug Side 9 v 61

10 E0 Nedenfor hr vi tegnet figuren f 4. c f1 inneholder 6 perler, f inneholder 11 perler, f3 inneholder 16 perler. Antll perler øker med 5 for hver figur. Derfor vil f 4 inneholde 1 perler. Figuren f 5 vil inneholde 6 perler, og figuren f 6 vil inneholde 31 perler. n f n Vi kn d sette opp følgende modell for ntll perler i figuren f n : f = 6+ 5 ( n 1) = 6+ 5n 5= 5n+ 1 n f Det gir 36 = = 181. Det trengs 181 perler for å lge f 36. Vi kn sette opp 5n + 1 = n = = n = = 199,8 5 Med 1000 perler kn Siri lge f 199. E1 Summen v plsseringene hns er = , 4 9 = Gjennomsnittet v Aksel Lund Svindls plsseringer er 3,4. Vi skriver plsseringene i stigende rekkefølge: Det er 9 plsseringer.medinen er plssering nummer 5.Medinplssering er nummer 4. Aschehoug Side 10 v 61

11 Plssering Frekvens Kumultiv frekvens c Den kumultive frekvensen for tredjeplss er 4. Det etyr t Aksel Lund Svindl le nummer tre eller edre i fire v rennene. Løsninger til oppgvene i ok E c Timer Antll (frekvens) Kumultiv frekvens Kumultiv reltiv frekvens (%) % % % % % Vi skriver treningstidene i stigende rekkefølge: Det er til smmen 10 tider. Medinen ligger mellom tid nummer fem og tid nummer seks. Medinen er så gjennomsnittet v de to tidene på hver sin side v midtpunktet: + = Medinen v treningstidene er timer. Summen v jentenes treningstider er = = 3,5 Gjennomsnittet v treningstidene jentene rukte er 3,5 time. Seks treningstider er fr null til timer. Fire treningstider trekker gjennomsnittet opp. De typiske treningstiden er medinen. Første hlvdel v dtene er de som kommer før medinen, dvs Første kvrtil er medinen for disse fem treningstidene, så første kvrtil er 1 time. Andre hlvdel v dtene er de som kommer etter medinen, dvs Andre kvrtil er medinen for disse fem treningstidene, så ndre kvrtil er 6 timer. Vrisjonsredden er 9 timer 0 timer = 9 timer. Kvrtilredden er 6 timer 1 timer = 5 timer. Aschehoug Side 11 v 61

12 E3 Vi skriver ntll fmiliemedlemmer i hver fmilie i stigende rekkefølge: Løsninger til oppgvene i ok Det er 19 fmilier.medinen er plssering nummer 10.Medinen er 3 fmiliemedlemmer. Summen v ntll fmiliemedlemmer er = = 3 Gjennomsnittet v ntll medlemmer i en fmilie er 3. Vrisjonsredden er 7 fmiliemedlemmer 1 fmiliemedlem = 6 fmiliemedlemmer. Første hlvdel v dtene er de som kommer før medinen, dvs Første kvrtil er medinen for disse ni fmiliene, så første kvrtil er fmiliemedlemmer. Andre hlvdel v dtene er de som kommer etter medinen, dvs Andre kvrtil er medinen for disse ni fmiliene, så ndre kvrtil er 4 fmiliemedlemmer. Kvrtilredden er 4 fmiliemedlemmer fmiliemedlemmer = fmiliemedlemmer. E4 Krkter Antll elever Vrisjonsreddden er 6 1= 5 Fem elever fikk krkteren 4.Typetllet er 4. Vi skriver krkterene i stigende rekkefølge: Det er til smmen 0 elever. Medinen ligger mellom krkter nummer ti og krkter nummer 11. Medinen er så gjennomsnittet v de to tidene på hver sin side v midtpunktet: 3+ 4 = 3,5 Medinen er krkteren 3,5. Summen v ntll krkterene er = = 3, 4 Gjennomsnittskrkteren er 3,4. Aschehoug Side 1 v 61

13 E5 Årslønn ( i kr Midtpunkt x m Frekvens f 300, , , Sum = Gjennomsnittslønn er kr. E6 Lommepenger (kroner) Midtpunkt x m Frekvens f Løsninger til oppgvene i ok 0, , , , Sum = I gjennomsnitt får elevene 60 kr i lommepenger i uk. Medinen er midtpunktet i dtmterilet. Det er 100 elever i ved skolen. Medinen må d være gjennomsnittet v verdi nummer 50 og verdi nummer 51. Begge disse verdiene må ligge i klssen 300, 600. Medinen må derfor være mindre enn gjennomsnittet. E Klssemidtpunktet i 6,10 = = 8, dvs. A = 8. Summen v frekvensene er 400. D er B = 400 ( ) = 80 Summen v de reltive frekvensene er 1,00. D er C = 1,00 (0, , 0 + 0,15 + 0,15) = 0,10 Summen v produktene x r = 4, 0. D er D = 4, 0 (0, ,60 + 0,75 + 1, 5) = 1,0 m xm r = 4, 0. Det vil si t elevene i gjennomsnitt trener 4,0 timer per uke. c Medinen er midtpunktet i dtmterilet. Frekvensen er 400. Medinen må d være gjennomsnittet v verdi nummer 00 og verdi nummer 01. Siden B = 80, må egge disse verdiene må ligge i klssen,4. Medinen må derfor være mindre enn gjennomsnittet. xm f xm f Aschehoug Side 13 v 61

14 E8 Antll elever Frekvens Grdtllet Går 30 0,30 0, = 108 Sykler 40 0,40 0, = 144 Kjører uss 0 0,0 0, = 7 Kjører moped 10 0,10 0, = 36 Sum 100 1, E9 Gjennomsnittet er summen v lle frværsdgene delt på ntll elever: Gjennomsnitt = = = Gjennomsnittet er 5 dger per elev. Vi ordner dtene i stigende rekkefølge, og siden det er 0 oservsjoner, eregner vi medinen som gjennomsnittet v de to midterste Medinen = = Medinen er dger. Typetllet = 0, det vil si 0 dger. Medinen gir det este sentrlmålet for klssens frvær. De fleste elevene hr lite frvær. Noen få elever hr svært høyt frvær og idrr derfor til å heve gjennomsnittet. Aschehoug Side 14 v 61

15 E30 Antll meldinger Antll elever f Klssemidtpunkt x m f x m Løsninger til oppgvene i ok ,5 8, , ,5 148, , ,5 358 Sum Det er 0 elever i klssen, ltså et prtll. Medinen lir d gjennomsnittet v ntll meldinger som elev nr. 10 og 11 sendte. Begge disse elevene ligger i klssen Medinen ligger i klssen Gjennomsnitt: 990 meldinger = 49,5 meldinger. 0 E31 Tur Antll elever Grdtll for sektor Tur 1 (Roåt) = Tur (Sykkel) = Tur 3 (Høgfjell, kort løype) = Tur 4 (Høgfjell, lng løype) = Sum Aschehoug Side 15 v 61

16 Med hjelpemidler E3 5 3,5 x = 47 x x 5 47 = = 13,43 3,5 5 = = Med CAS: 13,43 1,68 3, 7 Vekstfktoren er 1+ = 1, Ny verdi = gmmel verdi. vekstfktor n Reidun setter inn kr. Vi skl finne verdien om fire år, ltså n = 4. 4 På kontoen etter fire år hr hun: ,037 = 57 80,9 c Hun hr d fått 57 80,9 kr , 00 kr = 7 80,9 kr d E33 Vi kn sette opp x = x = = x = = 1, 039 p 1+ = 1, p = 1, = 0, p = 0, = 3,9 Den ndre nken tilyr 3,9 % rente. Vi setter inn i formelen og får E= mc = 0,010 (3,0 10 ) = 9, Når en msse på 0,010 kg forsvinner fr en tomkjerne, lir det frigitt en energi på Vi omformer formelen og får 10 E 9, m = = = 1, 0 10 c 8 (3, 0 10 ) For å gi nok energi til en norsk husholdning i et år må det forsvinne eller 1, kg = 0,001g = 1,0 mg. 1, kg msse 14 9,0 10 J. Aschehoug Side 16 v 61

17 E34 1 Fr konstntleddet i funksjonsuttrykket ser vi t mormor stte inn kr på kontoen. Fr vekstfktoren i funksjonsuttrykket ser vi t den årlige renten er 4,5 %. 18 f (18) = ,045 = Etter 18 år er det kr på kontoen. Grfisk: Med CAS: Det tr 1,3 år før eløpet på kontoen psserer kr. c x = 1159,70 x x ,70 = = 1, = 5 = 1, ,03 Den årlige renten på denne kontoen er 3,0 %. Aschehoug Side 17 v 61

18 x x d Vi tegner grfen til funksjonen gx= ( ) , ,03. Med CAS: Vi ser t eløpene på de to kontoene vil til smmen pssere kr etter 15,4 år. E35 Når ntll milligrm ntiiotik som er igjen i kroppen reduseres med 11 % per time, er vekstfktoren 0,89. Mengden ntiiotik som er igjen i kroppen, reduseres med 11 % hver time, ltså er dette et eksempel på eksponentiell vekst. 1 Etter én time: 0 0,89 = 195,8 Etter en time er det igjen c. 196 mg ntiiotik i kroppen. 8 Etter åtte timer: 0 0,89 = 86, 6 Etter åtte timer er det igjen c. 87 mg ntiiotik i kroppen. 1 Hun tr den ndre tletten åtte timer etter den første tletten, dvs. hun hr igjen 86,6 mg ntiiotik i kroppen fr den første tletten , 6 = 306, 6 Rett etter t hun hr ttt sin ndre tlett, hr hun c. 307 mg ntiiotik i kroppen. Den tredje tletten tr hun seksten timer etter den første tletten. 16 Av den første tletten hun tok, hr hun igjen: 0 mg 0,89 = 34,1 mg. Av den ndre tletten hun tok, hr hun igjen 86,6 mg (se utregning ovenfor). 34,1+ 86, = 340, 7 Rett etter t hun hr ttt sin tredje tlett, hr hun c. 341 mg ntiiotik i kroppen. Aschehoug Side 18 v 61

19 c (I utregningene ovenfor hr vi forutstt t ntiiotiken i tletten lir ttt opp i kroppen med én gng. I virkeligheten vil jo dette t noe tid.) Mengden ntiiotik som er igjen i kroppen, vtr eksponentielt. E36 Vi regner ut kostndene slik: K( x) = Det gir K (60) = = Kostndene lir kr. K( x) x x 4000 Ex ( ) = = = + = 10 + x x x x x c x der x er ntll elever som deltr. d e Av grfen ser vi t enhetsprisen er 170 kr når det lir solgt 80 illetter. Av grfen ser vi t minst 134 elever må kjøpe illett for t rrngementet skl gå med overskudd når illettene selges for 150 kr per stk. Aschehoug Side 19 v 61

20 E37 Vi tegner opp grfen til I(x) og K(x) i det smme vinduet i GeoGer og mrkerer punktene (100,I(100)), (00,I(00)), (100,K(100)) og (00,K(00)). Vi ruker verktøyet Linje mellom punktene på grfen I og punktene på grfen til K. Vi får d opp likningene for linjene. Fr disse ser vi t stigningstllene er henholdvis 180 og , 00 er 130 Dette fører til t den gjennomsnittlige vekstfrten for K(x) i intervllet [ ] kr/enhet og den gjennomsnittlige vekstfrten for I(x) i intervllet [ 100, 00 ] er 180 kr/enhet. Med ndre ord kn vi si t kostnden øker med130 kr per enhet og inntekten med 180 kr per enhet når ntll enheter øker fr 100 til 00. På smme grf som vi tegnet i oppgve mrkerer vi punktene (150,I(150)) og (300,I(300)). Vi ruker verktøknppen Tngenter og finner tngenten til I(x) i de mrkerte punktene. Likningen for tngentene gir oss stigningstllet som tilsvrer den momentne vekstfrten i de mrkerte punktene. Den momentne vekstfrten i x = 150 er 60 kr/enhet og i x = 300 er 180 kr/enhet. Når det produseres 150 enheter, vil inntekten øke med c.180 kr hvis produksjonen øker med en enhet. Når det produseres 300 enheter, vil inntekten øke med c.60 kr hvis produksjonen øker med en enhet. Aschehoug Side 0 v 61

21 c Vi tegner grfene til I(x) og K(x) i det smme vinduet i GeoGer og ruker verktøyet Skjæring mellom to ojekt til å mrkere skjæringspunktene mellom grfene. Bedriften går med overskudd når inntektene er større enn kostndene. Dette leser vi ut fr grfen er når x 80, 30, det vil si når det produseres mellom 80 og 30 enheter. d Ox Ix Kx x x x x x x ( ) = ( ) ( ) = 0, (0, ) = 0, Aschehoug Side 1 v 61

22 e Vi tegner grfen til overskuddsfunksjonen fr oppgve d i GeoGer. Overskuddet er størst i toppunktet. I GeoGer skriver vi Ekstremlpunkt[O]. For t overskuddet skl li størst mulig må edriften produsere og selge 00 enheter. D er overskuddet 7 00 kr. E38 Tegner grfen til T(x) i GeoGer. Av grfen ser vi t det tr c. 6,5 minutter før temperturen er 160 C. 0,1 8 c T (8) = = 171,5 0,1 T () = = 86, 4 T(8) T() 171,5 86, 4 = = 14, 8 6 Den gjennomsnittlige vekstfrten for T(x) i intervllet [,8 ] er 14, C/min. d Vi legger inn punktet (8, T (8)). Vi tegner tngenten i punktet ved å skrive Tngent [150, T]. Stigningstllet til tngenten er 6,6. Momentn vekstfrt er 6,6 C/min når x = 8. Aschehoug Side v 61

23 E39 Hver dg produserer lgene 5 kg v giftstoffet. 16 Produksjonen øker med 16 %. Det gir vekstfktoren 1+ = 1, Mikroorgnismer ryter ned kg hver dg og denne mengden øker med 1,8 kg hver dg. D kn vi sette opp: Forndring = Produksjon Nedryting. Det gir x M( x) = 5 1,16 1,8x der x er ntll dger etter dg 0. Tegner grfen til M(x) i GeoGer. c Av grfen ser vi t mengden øker før det hr gått 3,7 dger og etter t det hr gått 8 dger. d Giftmengden minker mest i unnpunktet. I GeoGer skriver vi Ekstremlpunkt[ f ]. Vi ser t giftmengden minker mest etter 6 dger. E40 Tegner grfen til f(x) i GeoGer. Vi må finne topp og unnpunktet på grfen til f. I GeoGer skriver vi Ekstremlpunkt[ f ]. Aschehoug Side 3 v 61

24 Av grfen ser vi t giftmengden er lik 0 til å egynne med. Mengden øker de første 3,7 dgene. Så minker den frm til 8 dger, og deretter øker den igjen. Det er smme svret som i oppgve E39c. Det er mindre enn 4 kg gift i innsjøen før det hr gått dger og mellom 6 og 9,4 dger. E41 h (0) = 0,15 D treet le plntet, vr det 0,15 meter høyt. Tegner grfen til h(t) i GeoGer. c d e h() h(1) 1, 61 1, 07 = = 0,54 = 54 % 1 1 Treet hr vokst 54 % fr år 1 til år. Vi ser på grfen. Treet vokser i hele perioden, men veksten er vtgende omtrent frm til år fire. Treet vokser minst etter fire år. Deretter øker veksten igjen. Vi ruker digitlt verktøy eller leser v på grfen når treet er,5 meter høyt. Vi finner t treet er,5 meter høyt etter c. 6,4 år. Aschehoug Side 4 v 61

25 E4 Løsninger til oppgvene i ok Strt GeoGer og vis regnerk. Legg x-verdiene inn i kolonne A og T-verdiene i kolonne B. Klikk på Anlyser og velg Potens i rullegrdinmenyen under Regresjonsmodell. D ser det slik ut: 3 1,07 Vi ser t T( x) = 1, x er en pssende modell for tiden T som funksjon v distnsen x. Vi kopierer over grfen til grfikkvinduet i GeoGer. c Vi skriver inn (1097.5,T(1097,5)) i inntstingsfeltet i GeoGer og finner t T (1 097,5) = 60,994 Hn kommer snnsynligvis til å ruke omtrent 61 minutter på en hlvmrton. d Her er D 1 = 5 000, T 1 = 71,617 og D = 1 097,5. Vi skl finne T. Pete Riegels modell gir 1,06 T 1 097,5 = 71, T = 0, , 617 T = 59,853 Vi ser t hn etter denne modellen vil ruke omtrent 59,8 minutter. Smsvret med modellen vi fnt i oppgve 6, er r, for vviket er re omtrent 1,6 %. Aschehoug Side 5 v 61

26 E43 Grunnflten i esken er et kvdrt med side (50 x ) cm V x x x x x x x x Høyden er x cm. Siden x cm er høyden,må x > 0. Av uttrykket for lengden v siden ser vi t x < 5. Vi kn sette x 0, 5 Løsninger til oppgvene i ok. Høyden er x cm. 3 ( ) = (50 ) = (50 ) (50 ) = c Vi tegner grfen til V(x) i grfikkfeltet i GeoGer. E44 Volumet er størst i toppunktet på grfen. I GeoGer skriver vi Ekstremlpunkt[ V ]. Vi ser t det største volumet esken kn h er 9 59 cm 3 = 9,3 dm 3. Aschehoug Side 6 v 61

27 Punktene ligger ikke på en rett linje, så vi må h en funksjonstype med krum grf. Grfen ser ikke ut til å topp- eller unnpunkter.andre- og tredjegrdsfunksjoner er derfor lite ktuelle. Funksjonsverdien stiger mer og mer etter hvert som x-verdien øker. Grfen går ikke gjennom origo. D fller vlget på en eksponentilfunksjon. Strt GeoGer og vis regnerk. Legg x-verdiene inn i kolonne A og h(x) verdiene i kolonne B. Klikk på Anlyser og velg Eksponentiell i rullegrdinmenyen under Regresjonsmodell. D ser det slik ut: E45 Den este smmenhengen mellom høyden på plnten, h(x), og lderen på plnten x x er gitt ved: hx ( ) = 6,35 1,. Vi ruker regnerk i GeoGer. Legg x-verdiene inn i kolonne A og T(x) verdiene i kolonne B. Klikk på Anlyser og velg Lineær i rullegrdinmenyen under Regresjonsmodell. D ser det slik ut: Mrkus kommer frm til modellen T( x) = 0,79x+ 67,15. Vi ruker regnerk i GeoGer. Legg x-verdiene inn i kolonne A og T(x) verdiene i kolonne B. Klikk på Anlyser og velg Eksponentiell i rullegrdinmenyen under Regresjonsmodell. D ser det slik ut: Aschehoug Side 7 v 61

28 c d 1 Anit kommer frm til modellen T( x ) = 70,5 0,981 x. Funsjonsverdiene synker mer og mer etter hvert som x-verdiene øker. Eksponentilmodellen psser est med punktene i koordintsystemet og eskriver est temperturutviklingen I vnnet. 0 T (0) = 70,5 0,981 = 48 Temperturen i vnnet etter 0 minutter vr c. 48 C. Med CAS får vi E46 c Det tok c. 4 minutter (4 min. og 13 sek.) før temperturen vr 65 C. Funsjonsverdiene synker etter hvert som x-verdiene øker.grfen hr ikke topp-eller unnpunkt.andregrdsfunksjon er derfor ikke ktuell. Funksjonen må være h. Funsjonsverdiene stiger mer og mer etter hvert som x-verdiene øker. Etter som grfen ser ut til å gå gjennom origo, fller vlget på potensfunksjonen f. Grfen hr ett unnpunkt og ingen toppunkter. D er det en ndregrdsfunksjon som psser est. Funksjonen må være g. Aschehoug Side 8 v 61

29 E47 Løsninger til oppgvene i ok Strt GeoGer og vis regnerk. Legg x-verdiene inn i kolonne A og K(x) verdiene i kolonne B. Klikk på Anlyser og velg polynomfunksjon v grd i rullegrdinmenyene under Regresjonsmodell. D ser det slik ut: Det gir: K x x x ( ) = 0, , Ox x x O ( ) = 0, (50) = 0, = 3750 O O(350) O(50) = = = (350) = 0, = 6750 Den gjennomsnittlige vekstfrten for O(x) i intervllet [ ] 50, 350 er 30 kr/enhet. I gjennomsnitt øker overskuddet med 30 kr per enhet når ntll enheter øker fr 50 til 350. O (350) = 6750 O (450) = 0, = O(450) O(450) = = = Den gjennomsnittlige vekstfrten for O(x) i intervllet [ 350, 450 ] er 30 kr/enhet. I gjennomsnitt minker overskuddet med 30 kr per enhet når ntll enheter øker fr 350 til 450. Aschehoug Side 9 v 61

30 c Vi legger inn punktene (300, O(300)) og (400, O (400)). Vi tegner tngenten i punktene ved å skrive Tngent[300, O] og Tngent[400, O] i inntstingsfeltet. Vi ser t momentn vekstfrt for O(x) når x =300 er 30 kr/enhet. Når det produseres 300 enheter, vil overskuddet øke med 30 kr hvis produksjonen øker med en enhet. Vi ser t momentn vekstfrt for O(x) når x = 400 er 30 kr/enhet. Når det produseres 400 enheter, vil overskuddet minke med 30 kr hvis produksjonen øker med en enhet. d Overskuddet er størst i toppunktet på grfen. I GeoGer skriver vi Ekstremlpunkt[ O ]. Vi ser t den produksjonen som gir størst overskudd er 350 enheter. D er overskuddet 6750 kr. E48 Av grfen leser vi v t Henrik hr kjørt 0 mil når hn hr 40 L ensin på tnken. Grfen går gjennom punktene (0, 56) og (10, 48). Vi regner ut stigningstllet for den rette linj: y y = = 0,80 x x Det viser t ensinforruket er 0,80 L/mil. Aschehoug Side 30 v 61

31 c d Tnken på Henriks il rommer 56 L. Henrik kjører x mil og ilen forruker 0,80 L/mil. Antll liter ensin som er igjen på tnken når hn hr kjørt x mil er d gitt ved: V( x) = 56 0,80 x. V( x) ,80x 0 0,80x x 0,80 x 70 Gyldighetsområdet for V er d: x [0, 70]. E49 Hvis x = 5 lir FG = 5 og EF = 10. Arelet v det lå området lir d: = Vi må h x < 80 x < 40 Det gir t x 0, 40. c Alått område = AABCD AEFGH T( x) = x x= x d e T Vi løser likningen med CAS slik: (5) = = = 6350 E50 Det lå området er 3700 når x = 36,7. n Vi ruker smmenhengen: N= GV. Det gir = x x x = = 0, = = 0, 65 0,855 3 Aschehoug Side 31 v 61

32 p 1+ = 0, p = 1 0,855 = 0, p = 0, = 14,5 Den årlige prosentvise nedgngen er 14,5 %. Løsninger til oppgvene i ok Vi kn sette opp V( x ) = ,855 x, der x er ntll år etter t ilen vr ny. c d e Av grfen ser vi t verdien v Mgnes il er redusert til det hlve etter 4,4 år. Ved å nt t Mgnes il vtr med kr etter en lineær modell, kn vi sette opp Bx ( ) = x der x er nttll år etter t ilen vr ny. Vi setter opp Vx ( ) = Bx ( ) ,855 x = x Vi løser likningen med CAS slik f Etter 16,1 år er verdien v ilen lik etter de to modellene. (D ilen vr ny, vr verdien lik etter de to modellene.så er verdien lik igjen etter 16, år.) Verdien v ilen vtr mest de første årene slik t den eksponentielle modellen med en fst prosentvis nedgng gitt ved V(x) gir nok est uttrykk for verdiutviklingen. Etter noen år synker ikke ilens verdi like mye fordi prosenten regnes v en stdig lvere verdi. Aschehoug Side 3 v 61

33 E51 Funksjonen K( x) x Løsninger til oppgvene i ok = + er en linær funksjon. Vi ruker Geoger og viser regnerk. Vi legger distnsene inn i kolonne A kondisjonstllene i kolonne B. Vi mrkerer cellene, velger regresjonsnlyse, klikker på Anlyser og velger Lineær. D ser det slik ut: Av grfen ser vi t = 0,01 og = 10,9. Vi får d funksjonen K( x) = 0,01x 10,9 der K(x) er kondisjonstllet og x er løpt distnse I meter. K( x ) = 0, ,9 = 44,5 Et løp på 500 m svrer til kondisjonstllet 44,5. c For t en mnn i denne ldersgruppen skl være i middels god form, må kondisjonstllet minst være 3. Vi kn sette opp K( x) = 0, 01x 10,9 = 3 0, 01x = 10,9 + 3 = 4,9 4,9 x = = , 01 Innstt i CAS En mnn i ldersgruppen år må minst løpe 1941 m for å være i middels god form. For t en mnn i denne ldersgruppen skl være i svært r form, må kondisjonstllet minst være 46. Vi ruker CAS verktøy og får Hn må d løpe c. 574 m. Det er en økning på ( )m = 633 m. Aschehoug Side 33 v 61

34 E5 1 Vi ruker Geoger og viser regnerk. Vi legger ntll år etter 000 i kolonne A og ntll lg i kolonne B. Vi mrkerer cellene og ruker verktøyet Regresjonsnlyse. Vi ser ort fr punktene ( 5, 660 ) og ( 8, 963 ). og c Vi velger Regresjonsnlyse, klikker på Anlyser og velger Polynom,(grd ). D ser det slik ut: d Den modellen som psser est med ntll lg som i denne perioden er gitt ved f( x) = 30, 4x 60,9x+ 1 37,9 der f(x) er ntll lg og x er ntll år etter 000. Av grfen ser vi t modellen psser r med punktene i koordintsystemet. f (13) = 30, , ,9 = 3073,8 Etter modellen fullførte c lg stfetten i 013 som er en dårlig progose. Aschehoug Side 34 v 61

35 E53 Av tellen ser vi t prisen for en dimnt på 0,60 krt er 19 0 kr. Vi ruker Geoger og viser regnerk. Vi legger x krt i kolonne A og prisen (i tusen kroner) i kolonne B. Vi velger regresjonsnlyse, klikker på Anlyser og velger Eksponentiell. D ser det slik ut: Løsninger til oppgvene i ok c d Den eksponentilfunsjonen som psser est med verdiene i tellen, er gitt ved x Px ( ) = 0, ,50 P (0,50) = 0, = 11,30 Prisen for en dimnt på 0,50 krt lir c kr. 0,60 P (0, 60) = 0, = 19, Prisen for en dimnt på 0,60 krt lir c kr Prisøkningen lir: kr kr kr = kr % = 69,9 % Prisen øker med c. 70 % hvis dimnten øker i størrelse med 0,10 krt. Aschehoug Side 35 v 61

36 E54 Løsninger til oppgvene i ok Vi leser v noen utvlgte punkter fr figuren i oppgven og legger disse verdiene inn i regnerket i GeoGer. Vi velger regresjonsnlyse, klikker på Anlyser og velger Eksponentiell. D ser det slik ut: x Den funksjonen som psser est med grfen som er gitt i oppgven, er f( x ) = ,050. Vi skriver 0 inn i feltet for x = i regresjonsvinduet og får t Guri vil h kr i nken etter 0 år. Aschehoug Side 36 v 61

37 Vi kopierer grfen over i grfikkfeltet, tegner opp linjen y = og ruker verktøyet Skjæring mellom to ojekt. E55 Etter modellen vil eløpet i nken pssere kr etter 33 år. Tiden er lik vstnden dividert med frten ,50 10 m h 1 dg 1 år 6,0 10 = 6,0 10 s = 6,0 10 s = år = 19 år 50 m / s 3600 s 4 h 365 dg Forholdene mellom vstndene må være like i modellen og i virkeligheten. Avstndene i modellen til sol fr Sturn. Pluto og sentrum v Melkeveien kller vi x, y og z. 1 x 1,43 10 m = cm 1,50 10 m 1 1,43 10 x = 40 cm = 381cm = 3,81 m 11 1,50 10 Avstnden til sol fr Sturn er 3,81 m i modellen. 1 y 5,96 10 m = cm 1,50 10 m 1 5,96 10 y = 40 cm = 1589 cm = 15,9 m 11 1,50 10 Avstnden til sol fr Pluto er 15,9 m i modellen. 0 z 1, 0 10 m = cm 1,50 10 m 0 1, 0 10 z = 11 1,50 10 = = = cm 3, 0 10 cm 3,0 10 m 3,0 10 km Avstnden til sol fr sentrum v Melkeveien er 5 3, 0 10 km i modellen. Aschehoug Side 37 v 61

38 c Tnkegngen er som i oppgve. Avstnden fr sol til jord i den nye modellen er s. s 11 1,50 10 m = 0 5,0 m 1,0 10 m 11 1,50 10 s = = 0 1, ,0 m 6,5 10 m Avstnden fr sol til jord i den nye modellen er 9 6,5 10 m. E56 Når oservsjonene strter er det 1000 kterier i kteriekulturen. Siden ntll kterier doles hver sjette time, vil kteriekulturen li firedolet etter 4 timer. Antll kterier etter 4 timer lir d = Vi kn sette opp følgende modell som viser hvordn ntll kterier endrer seg i løpet v to døgn: 1 t ( 6 ) t ( ) t ,1 Bt = = =, der t er ntll timer som vrierer fr 0 til 48. c Vi vet t d oservsjonene strtet, vr det 1000 kterier, og etter seks timer vr det 000 kterier i kteriekulturen. D kn vi sette opp p = 000, der p etyr vekstfktoren p = = p = = 1,1 p 1+ = 1,1 100 p = 1, d Antll kterier øker med 1, % per time. Antll kterier etter 40 timer lir d ,1 = Vi kn også regne ut ntll kterier etter 40 timer ved å enytte modellen i oppgve Det gir B (40) = 1000 = Etter denne modellen vil det etter 40 h være kterier i kteriekulturen. Forskjellen i ntll kterier skyldes vrunding ved eregning v p i oppgve c. Vi vet t kterietllet fordoles hver sjette time. Vi ntr t kteriekulturen inneholder c terier etter 40 timer. Det vr d hlvprten så mnge kterier, dvs kterier for 6 timer siden. Det vil ltså være kterier i kteriekulturen etter c. 34 timer. Aschehoug Side 38 v 61

39 E57 Løsninger til oppgvene i ok Siden det er en lineær smmenheng mellom ntll kjørte kilometer, ser vi v de oppgitte dt t merutgiftene for hver kjørte 50 km er 15 kr. Merutgiftene ved å kjøre 300 km og ikke 150 km er derfor 3 15 kr = 375 kr. Leieprisen om fmilien kjører 300 km, er ltså 65 kr kr = 1000 kr. Vi lr x være ntll kjørte kilometer og y være leieprisen. Siden smmenhengen mellom x og y er oppgitt til å være lineær, kn vi skrive y = x +. = tilvekst i y 15,5 tilvekst i x = 50 = For å estemme tllet løser vi likningen 500 =, = = Den lineære modellen lir y =,5x c Tllet =,5 forteller oss t illeien koster,5 kr for hver kjørte kilometer. Tllet = 50 er en leievgift som ikke erøres v hvor lngt vi velger å kjøre. E58 og Vi legger inn tllene i tellen i regnerket i GeoGer, mrkerer cellene, ruker verktøyknppen Regresjonsnlyse, klikker på Anlyser og velger Lineær i rullegrdinmenyen. Vi får dette vinduet: Den lineære funksjonen som psser est med tllene i tellen lir y =,94x Vi kopierer grfen over til grfikkfeltet i GeoGer. Aschehoug Side 39 v 61

40 c Vi regner ut ved hjelp v modellen fr oppgve hvor mye doppir som er rukt når dimeteren er 38 mm. 38 =,94x + 101, 65,94x = 63, 65 x = 1,65 Dorullen inneholder ifølge modellen omtrent meter doppir. d På pkk står det t den inneholder 160 rk v lengde 0,14 m ,14 =, 4 Det svrer ltså til t dorullen inneholder omtrent meter doppir. Det er god overensstemmelse mellom modellen vår og det som er oppgitt på pkk. Vi kn ikke forlnge større presisjon i modellen når tllmterilet som rukes til å lge modellen, er oppgitt såpss lite nøyktig som tilfellet er for doppirlengdene, som utgjør x-verdiene våre. E59 1 Vi legger inn tllene i tellen i regnerket i GeoGer, mrkerer cellene, ruker verktøyknppen Regresjonsnlyse, klikker på Anlyser og velger Lineær i rullegrdinmenyen. Den lineære modellen som psser est med tllene i tellen er f( x) = 0,88x+ 4. Aschehoug Side 40 v 61

41 Vi velger Eksponentiell i rullegrdinmenyen. Den eksponentielle modellen som psser est med tllene i tellen er gitt ved f( x ) = 44 0,97 x. Vi ruker CAS og setter inn x = 35 Etter den lineære modellen vil c. 11 % være røykere i 00, mens etter den eksponentielle vil c. 16 % være røykere i 00. c Vi ruker CAS med x = 5 Av grfen ser vi t ndelen mnnlige røykere lir lvere enn 5 % når x = 4, dvs. i 07 i følge den lineære modellen og når x = 7, dvs. i 057 i følge den eksponentielle modellen. d Det er lite snnsynlig t den lineære modellen vil fortsette etter c. 030 ( x = 30). D lir prosenten negtiv. Den eksponentielle modellen viser t ndelen røykere minker. Grfen flter ut, men lir ldri null. Noen menn vil nok lltid røyke. Denne modellen er nok derfor mest snnsynlig. Aschehoug Side 41 v 61

42 E60 og Vi strter GeoGer og viser Regnerk. Vi legger nummer på månedene i kolonne A og ntll kilogrm pølser i kolonne B. Vi mrkerer cellene og velger Regresjonsnlyse. Vi klikker på Anlyser og velger Polynom (grd 3). D ser det slik ut: 3 Tredjegrdsmodellen er derfor f( x) = x + 10, 4x + 0,9x+ 14, 6 Vi kopierer grfen over i grfikkfeltet og setter riktig enhet på ksene. c Pølseslget i 01 vil være 0 % høyere enn i 011. Vi regner d ut pølseslget i 01 ved å multiplisere slget i 011 med vekstfktoren 1,0. Eksempel for jnur: 45 1, = 54 Tilsvrende eregning er utført for de neste månedene. Se tellen nedenfor. Måned Jnur Mrs Juni Juli August Desemer Antll kg pølser Aschehoug Side 4 v 61

43 Vi ruker regnerk og legger nummer på månedene i kolonne A og det nye ntll kilogrm pølser i kolonne B. Vi mrkerer cellene og velger Regresjonsnlyse. Vi klikker på Anlyser og velger Polynom (grd 3). D ser det slik ut: Vi finner t den funksjonen som psser est med punktene i koordintsystemet, er gitt ved gx x x x 3 ( ) = 1, + 1, 4 + 5,5 + 17, Vi kopierer grfen over i grfikkfeltet og setter riktig enhet på ksene. Vi tegner inn linjen y = 300. Av grfen ser vi t utikken selger mer enn 300 kg pølser per måned fr slutten v pril til egynnelsen v oktoer. Aschehoug Side 43 v 61

44 E61 c n Løsninger til oppgvene i ok For hvert nytt ledd legger vi til et kvdrt som er 1 større i lengde og redde enn det forrige. P = 1 1 P = 1+ = 1+ P = = osv. P = P + 3 = = 14 P P 3 = P + = + = = P + = + = P6 = P5 + 6 = = 91 nn ( + 1)(n+ 1) Pn = 6 n = 6 gir 6(6 + 1)( 6 + 1) P6 = = = Formelen i læreok er ltså riktig for P 6. nn ( + 1)(n+ 1) = Vi ruker digitlt verktøy og finner t n = 13,98. Hn kn lge P 13. Det nederste lget hr 13 = 169 okser. Vi enytter formelen for P n og finner P 13 13(13+ 1)( ) = = = = 181 Hn hr 181 okser til overs når hn er ferdig med pyrmiden Aschehoug Side 44 v 61

45 E6 1 Årstll Innyggertll Endring fr året før Prosentvis endring fr året før 15,4 % 15,1 % 15, % 15, % 15,5 % I en lineær modell vil innyggertllet minke med like mnge mennesker hvert år. Her ser vi tydelig t nedgngen i innyggertllet vtr med årene, og t den prosentvise endringen fr året før er tilnærmet konstnt. Hns og Grete ør derfor velge en eksponentiell modell. Vi legger inn tllene i tellen i regnerket i GeoGer, mrkerer cellene, ruker verktøyknppen Regresjonsnlyse, klikker på Anlyser og velger Eksponentiell i rullegrdinmenyen. Den eksponentielle modellen som psser est med tllene i tellen er f( x ) = 649,7 0,848 x. c 1 Vi ruker muligheten for å regne ut funksjonsverdien i regresjonsnlysevinduet: Innyggertllet vil ifølge modellen være omtrent 55 i 00. x Vi løser likningen 649, 7 0,848 = 100 med CAS slik Det gir x = 11,35. Det etyr t innyggertllet kryper under 100 i løpet v 016. d Vi regner ut folketllet i 00 etter den lineære modell til Hns: y (15) = = 466. Innyggertllet i kommunen kn ldri li mindre enn 0. Denne modellen kn derfor ikke rukes i de siste årene frm til 00. Aschehoug Side 45 v 61

46 E63 1 Vi lger en liste med punkter i regnerket i GeoGer. Vi legger dimeterne i kolonne A og volumene i kolonne B. Vi mrkerer cellene og velger Regresjonsnlyse. Løsninger til oppgvene i ok Vi klikker på Anlyser og velger Potens i rullegrdinmenyen. D ser det slik ut: Aschehoug Side 46 v 61

47 Vi kopierer grfen til grfikkfeltet og legger inn linj y = Vi ruker GeoGer kommndoen Skjæring mellom to ojekter og finner skjæringspunktet mellom linj og grfen til f. c En kule med volum på 1000 ml hr en dimeter på 1,4 cm. d Rdien er hlvprten v dimeteren, r =. Vi setter inn i formelen for volumet v kul og får 4 3 V = π r 3 4 d V = π d V = π π 3 V = d V = 0,5 d I oppgve fnt vi t volumet f( x ) til kuler med dimeteren x er gitt ved Resulttet i oppgve stemmer med formelen. f( x) 0,5 3,0 = x. E64 1 Vi lger en tell der ntll plsser øker med to for hver rd. Rdnummer Antll plsser per rd Vi ser t det er 0 plsser på rd 6 og 8 plsser på rd 10. Vi lr oss inspirere v figuren og tenker t det er røde og grønne seter i slen slik t de midterste 8 setene lltid er røde. Vi ser d t det er grønne seter på rd 1 (ett på hver side), 4 grønne seter på rd (to på hver side) og 6 grønne seter på rd 3 (tre på hver side). Antll grønne seter må være to gnger rdnummeret, mens de røde lltid er 8. Dette gir oss f( n) = 8+ n, der f( n ) er ntll plsser på rden som funksjon v rdnummeret n. Vi ser t denne funksjonen gir oss tellen ovenfor. Aschehoug Side 47 v 61

48 Vi lr gn ( ) = n være prisen per sete på rd n som funksjon v rdnummeret n. Vi ser t dette stemmer med opplysningene om 350 kr på rd 1, 340 kr på rd, og videre reduksjon på 10 kr per rd kover. Den smlede prisen til illettene på en rd må være produktet v ntll plsser og prisen per plss. Om vi kller den smlede prisen som funksjon v rdnummeret hn ( ), får vi c hn ( ) = f( n) gn ( ) = (8 + n) ( n) Videre ereiding v funksjonsuttrykket gir oss hn ( ) = (8 + n)( n) = n+ n 360 n 10n= n+ 70n 0n hn ( ) = 0n + 640n+ 880 Vi ser t hn ( ) er en ndregrdsfunksjon, og siden det står et negtivt tll forn ndregrdsleddet, vet vi t funksjonen hr et toppunkt. Vi tegner grfen for å finne dette. I GeoGer fins kommndoen Ekstremlpunkt for å finne topp- og unnpunkter for polynomfunksjoner. Vi skriver inn Ekstremlpunkt[h] og punktet A lir tegnet. Vi leser v koordintene og finner t illettene koster mest til smmen på rd 16. Den smlede prisen på rd 16 er 8000 kr. E65 Av figuren ser vi t siden redden er x og lengden er y,kn vi sette opp 4x+ y = 500 y = x+ 50 Arelet v rektnglet lir Ax ( ) = x y= x( x+ 50) = x + 50x Vi tegner til A(x) i GeoGer. I GeoGer fins kommndoen Ekstremlpunkt for å finne topp- og unnpunkter for polynomfunksjoner. Vi skriver inn Ekstremlpunkt[A] og punktet A lir tegnet. D ser det slik ut: Aschehoug Side 48 v 61

49 Av grfen ser vi t det området får størst mulig rel når x = 6,5 m. D er y = 6,5 m + 50 m = 15 m. E66 Vi legger de 0 plsseringene inn i kolonne A i regnerket i GeoGer. Så mrkerer vi de 0 plsseringene og klikker på Anlyse v en vriel. Av tellen ser vi t: Gjennomsnittsplsseringen hennes er 8,1 og medinplseringen er 3. Typetlllet er siden hun hr fått flest ndreplsser. Av tellen ser vi t første kvrtil er og ndre kvrtil er 14. Omtrent en firedel v plsseringene er. plss eller edre, og omtrent en firedel v plsseringene er 14. plss eller dårligere. Aschehoug Side 49 v 61

50 E67 Løsninger til oppgvene i ok Vi legger lle krkterene inn i regnerket i GeoGer og mrkerer cellene. Deretter klikker vi på Anlyse v en vriel og får et digrm som viser fordelingen v krkterene. Videre klikker vi på sttistikk-verktøyet og får opp denne tellen: Av tellen ser vi t: Medinen v krkterene er 3. c Gjennomsnittskrkteren er 3,3. d Vrisjonsredden er 6 1= 5. Første kvrtil er og tredje kvrtil er 4. D er kvrtilredden 4 =. Dtmterilet er ikke symmetrisk fordelt.det er forholdsvis mnge toere og treere i forhold til firere og femere.d er det est å ruke kvrtilredden som spredningsmål. Aschehoug Side 50 v 61

51 E68 Vi legger inn tllene i regnerket i GeoGer, klikker på Anlyse v en vriel og på sttistikkknppen. D får vi denne tellen: c d Av tellen ser vi t vrisjonsredden er 64 timer 10 timer = 54 timer Og medintiden er 30,5 timer Vi leser v tellen t gjennomsnittlig ntll timer forn TV-en er 31, 4 timer. Videre leser vi v tellen t stndrdvviket er 16,9 timer. For å finne gjennomsnittet utvider vi tellen ved å gnge midtpunktet med frekvensen. Timer per måned Midtpunkt Frekvens xm f x f m [10, [0, [30, [40, [50, [60, Sum ,5 Gjennomsnittet lir dermed: 60 = Dermed hr vi t disse 60 elevene så i gjennomsnitt 34,5 timer på TV i løpet v en måned. Aschehoug Side 51 v 61

52 e f Av tellen ser vi t 9 elever så minst 50 timer på TV. Det utgjør % = 15 %. 60 E69 Ktegorier Reltiv frekvens Grdtll Meget r = Litt r = Verken r eller dårlig = Litt dårlig = Veldig dårlig = Sum Aschehoug Side 5 v 61

53 E70 Vi legger de høydene inn i kolonne A i regnerket i GeoGer. Så mrkerer vi de plsseringene og klikker på verktøyknppen Anlyse v en vriel. Av tellen ser vi t gjennomsnittshøyden er 170,8 cm. Medinhøyden er 168 cm. Stndrdvviket er 7,8 cm Vrisjonsredden er 189 cm 160 cm = 9 cm. Første kvrtil er 166 cm og tredje kvrtil er 177 cm. Kvrtilredden er d 177 cm 166cm = 11 cm. Aschehoug Side 53 v 61

54 c Høyde Frekvens 160, , , , , ,190 1 Sum Aschehoug Side 54 v 61

55 E71 Prti Totlt Grdtll Ap = H = FrP = KrF = Sp = V = SV = MDG = Sum Aschehoug Side 55 v 61

56 E7 Lger en grfisk frmstilling v krkterene i de to klssene i Excel. Aschehoug Side 56 v 61

57 Vi legger de 0 krkterene i klsse A inn i kolonne A i regnerket i GeoGer. Så mrkerer vi de 0 plsseringene og klikker på «Anlyse v en vriel». Vi legger de 0 krkterene i klsse B inn i kolonne A i regnerket i GeoGer. Så mrkerer vi de 0 plsseringene og klikker på «Anlyse v en vriel». I tellen finner vi t gjennomsnittskrkteren i A er 4,0, medinkrkteren er 4 og stndrdvviket er 1,6. Videre ser vi t gjennomsnittskrkteren i B er 4,0, medinkrkteren er 4 og stndrdvviket er 0,79. Det er mindre spredning i krkterene i klsse B enn i klsse A. Gjennomsnittskrkteren er den smme, men stndrdvviket i B er mindre enn i A. Aschehoug Side 57 v 61

58 E73 Frtsgrense 50 km/h: Frtsgrense 80 km/h: Ved å legge smmen ntll iler i de to tellene finner vi t politiet kontrollerer 80 iler i egge frtssonene. Frtsgrense 50 km/h. 10 % eller mer over frtsgrensen vil si 55 km/h, eller fortere. Av tellen ser vi t det er 9 iler som kjører så fort % 36,3 % 80 = C. 36 % v ilene kjører 10 % eller mer over frtsgrensen der frtsgrensen er 50 km/h. Frtsgrense 80 km/h. 10 % eller mer over frtsgrensen vil her si 88 km/h, eller fortere. Av tellen ser vi t 8 iler hr en frt i intervllet 85, 90 km/h. Hvis vi ntr t frten til disse ilene fordelte seg jevnt utover dette intervllet, kn vi gå ut fr t c. 3 v disse ilene kjører i 88 km/h eller i 89 km/h. Til smmen er det d 8 iler som kjører 10 % eller mer over frtsgrensen % 10 % 80 = C. 10 % v ilene kjører 10 % eller mer over frtsgrensen der frtsgrensen er 80 km/h. Aschehoug Side 58 v 61

59 c d e Frt i km/h Midtpunkt x m Frekvens f [45,50 47, ,5 [50,55 5, [55,60 57,5 3 13,5 [60,65 6, ,5 [65,70 67,5 135 [70,75 7,5 1 7,5 Sum , = Gjennomsnittsfrten er c. 53 km/h i 50-sonen. Frt i km/h Midtpunkt Frekvens xm f x f m [70,75 7, ,5 [75,80 77, ,5 [80,85 8, ,5 [85,90 87, [90,95 9,5 0 0 [95, Sum ,5 649,5 = 81, Gjennomsnittsfrten er c. 81 km/h i 80-sonen. 3, % 6,8 % 50 = I 50-sonen er gjennomsnittsfrten c. 6,8 % over frtsgrensen. 1, % 1, 4 % 80 = I 80-sonen er gjennomsnittsfrten c. 1, 4 % over frtsgrensen. Av stolpedigrmmene ser vi t i 50-sonen svrer den høyeste stolpen til iler som hr en frt i intervllet [50,55 km/h, ltså over frtsgrensen. Slik er det ikke i 80-sonen, selv om det der er en liten gruppe som kjører mye for fort. I 50-sonen kjører c. 36 % v ilene, dvs. mer enn hver tredje il, 10 % eller mer over frtsgrensen. I 80-sonen kjører c. 10 % v ilene, dvs. hver tiende il, 10 % eller mer over frtsgrensen. Gjennomsnittsfrten i 50-sonen er c. 53 km/h, eller c. 6 % over frtsgrensen. I 80-sonen er gjennomsnittsfrten c. 81 km/h, eller c. 1,3 % over frtsgrensen. Konklusjonen lir d t ilførerne der frtsgrensen er 50 km/h, er de mest lovlydige. xm f Aschehoug Side 59 v 61

60 E74 c d Gjennomsnittstemperturen i C for de to stedene: Måned Phuket Antly Jnur 7,9 10 Ferur 8,7 10 Mrs 9,3 1,5 April 9,5 16 Mi 8,4 0 Juni 8,3 5 Juli 7,8 8 August 7,9 7,5 Septemer 7,3 5 Oktoer 7,4 0 Novemer 7,5 15 Desemer 7,6 1 Løsninger til oppgvene i ok Vi ruker GeoGer. I regnerket legger vi inn tllene for Phuket i kolonne A og tllene for Antly i kolonne B. Vi merker kolonne A og velger kommndoen Lg Liste. Verdiene for Phuket ligger nå i Liste1. Vi gjør det smme for kolonne B slik t verdiene for Antly ligger i Liste. 1 Kommndoen Gjennomsnitt[Liste1] gir gjennomsnittsverdien for Phuket. Vi finner gjennomsnittsverdien for Antly på tilsvrende måte. Resulttene lir: Gjennomsnittstempertur Phuket: 8,1 C Gjennomsnittstempertur Antly: 18, 4 C Kommndoen Stndrdvvik[Liste1] gir stndrdvviket for Phuket. Tilsvrende for Antly. Resulttene lir: Stndrdvvik Phuket: 0,69 C Stndrdvvik Antly: 6,5 C Vi ser t det er rukt veldig forskjellig skl på ndreksen. Ser mn på digrmmene uten å se på sklen på ndreksen, kn det virke som om temperturen vrierer like mye på de to stedene. I tellen i oppgve og i eregningene i oppgve vlgte vi å tolke digrmmene slik t gjennomsnittstemperturen for én måned er den temperturen vi leser v rett ovenfor nvnet på måneden. Smtidig viser digrmmene t temperturen endrer seg gjennom en måned. Dette kn skpe tvil om hvordn vi skl lese v/estemme gjennomsnittstemperturen. For å unngå feiltolkning måtte digrmmene i hvert fll htt smme skl lngs ndreksen. En nnen digrmtype hdde nok egnet seg edre, for eksempel et stolpedigrm. Vi velger å ruke Excel til å lge et stolpedigrm. Vi strter med å skrive inn tellen: Aschehoug Side 60 v 61