Eksamen høsten 2016 Løsninger

Transkript

1 DEL Uten hjelpemidler Hjelpemidler: vnlige skrivesker, psser, linjl med centimetermål og vinkelmåler Oppgve f x x x f ( x) = 4x 5 ( ) = 5 6 gx ( ) = xln x Vi deriverer med produktregel: g ( x) = ln x+ x = ln x+ x c x e hx ( ) = x 3 Vi deriverer med produkt- og kjerneregel: x x x x x e ( x 3) e e ( ( x 3) ) e (x 6 ) e (x 7) h ( x) = = = = ( x 3) ( x 3) ( x 3) ( x 3) Oppgve f( x) = ( x+ ) ( x ) Vi finner nullpunktene til f ved å løse likningen f( x ) = 0: x+ x = x+ = 0 x = 0 x= x= ( ) ( ) 0 Eventuelle topp- og unnpunkter finner vi lnt de stsjonære og kritiske punktene. f hr ingen kritiske punkter, så vi undersøker de stsjonære punktene ved å derivere og drøfte på fortegnslinje. Vi kn derivere ved å først løse opp prentesene, eller ved å ruke produkt- og kjerneregelen for derivsjon. Vi ruker her produkt- og kjerneregelen: f x = x+ x + x+ = ( x+ ) ( ( x ) + ( x+ ) ) = ( x+ )(x 4 + x+ ) = ( x+ )(3x 3) = 3( x+ )( x ) ( ) ( )( ) ( ) Aschehoug Side v

2 Fortegnslinj til f viser: x = er et mksimlpunkt med tilhørende mksimlverdi x = er et minimlpunkt med tilhørende minimlverdi Grfen til f hr følgelig toppunktet (, 0) og unnpunktet (, 4). f ( ) = ( + ) ( ) = 0. f () = (+ ) ( ) = 4 ( ) = 4. c Nøyktig tegning kreves ikke, men grfen må være gltt og stemme med det vi fnt i oppgve og. For å få en fin skisse kn det være en fordel å finne noen ekstr funksjonsverdier. For eksempel: f ( ) = ( + ) ( ) = 4 Oppgve 3 x+ 0 x 4 + x 5 x+ 5 x+ 0 ( x+ 5) x 4 = + ( x+ 5)( x 5) x+ 5 ( x 5) ( x+ 5) x = + ( x+ 5)( x 5) x+ 5 x 5 ( x+ 5) xx ( 5) ( x+ 5) = + ( x+ 5)( x 5) ( x+ 5)( x 5) ( x 5)( x+ 5) ( x+ 5) + xx ( 5) ( x+ 5) = ( x+ 5)( x 5) = x+ + x x x ( x+ 5)( x 5) x x xx 5 ( 5) x = = = ( x+ 5)( x 5) ( x+ 5)( x 5) x + 5 Aschehoug Side v

3 x+ 0 x 4 + = x 5 x+ 5 x+ 0 x+ 0 x 4 + = x x x Vi ser t uttrykket på venstre side i likningen nå tilsvrer uttrykket i oppgve. Likningen kn derfor omskrives: x = 0 x + 5 x = 0 Om likningen løses uten t mn ser muligheten for å omskrive med utgngspunkt i oppgve, kn løsningen tilsyneltende også li x = 5, men dette er ikke en løsning d det gir 0 i nevner på den opprinnelige likningen. Oppgve 4 3 x 3 = 3 3x = 6 = 3x = 4 x = 3x 4 (lg ) lg 0 x + x = Vi ser t dette er en ndregrdslikning som vi først løser med hensyn på lg x, deretter løser vi med hensyn på x: ± ± lg x = = lg x= lg x= ( ) 4 ( ) 3 0 = 0 0 = 0 x= x= 0 00 lg x lg x Oppgve 5 Retningsvektoren r l for linj l må være prllell med AB = [3 ( 3), 4 ( )] = [6, 6] = 6 [,] r = [,] er en v flere mulige, men den enkleste retningsvektoren for l. l En prmeterfrmstilling for l er d x= t 4 l: y = t + 5 Aschehoug Side 3 v

4 Når linj skjærer x-ksen, er y = 0: t + 5= 0 t = 5 Vi setter t inn i uttrykket for x: x= t 4= 5 4= 9 Skjæringspunktet med x-ksen er D( 9, 0). c E ligger på linj l Et ( 4, t+ 5) BAE = 90 AB AE = 0 AE = [ t 4 ( 3), t + 5 ( )] = [ t, t + 7] [,] [ t, t+ 7] = 0 t + t+ 7= 0 t = 6 t = 3 Vi setter t inn i E og får E( 7, ). Oppgve 6 Vi definerer følgende hendelser og snnsynligheter: A: mskin A PA ( ) = 3 B: mskin B PB ( ) = 3 D: defekt PD ( A ) = 4 % = 0, 04 D : ikke defekt PD ( B ) = % = 0, 0 Setningen om totl snnsynlighet gir PD ( ) = PA ( ) PD ( A) + PB ( ) PD ( B) = 0,04 + 0,0 = (0,04 + 0,0) = 0,06 = 0,0 = % Det er ltså % snnsynlighet for t nøkkelen er defekt. Byes setning gir PA ( ) PD ( A) PAD ( ) = PD ( ) 0,04 3 = = = 0, Snnsynligheten for t nøkkelen le produsert v mskin A, er ltså 3. Aschehoug Side 4 v

5 Oppgve 7 PCE er periferivinkelen til en 80 -vinkel, så PCE = 90. BC = BE, fordi de egge er rdius i sirkelen. Dette gjør t BCP er likeeint, og PCB = BPC = v. Dermed hr vi t ACE + 90 = PCB + 90 = v Følgelig er ACE = v. Vi vet t APC = v = ACE og ser t PAC = EAC. ACP og ACE hr d prvis like store vinkler, og følgelig er de formlike. BC = BE, fordi de egge er rdius i sirkelen. Dermed hr vi AE = AB BE = AB BC = c. BC = BP, fordi de egge er rdius i sirkelen. Dermed hr vi AP = AB + BP = AB + BC = c +. c Fr oppgve hr vi t ACP og ACE er formlike, og i formlike treknter er forholdet mellom lle smsvrende sider det smme. Det gir oss AP AC = AC AE c+ = c d Vi kryssmultipliserer i resulttet i oppgve og får c+ = c ( c+ )( c ) = c = = + c Oppgve 8 Vi undersøker først om (i) kn være grfen til f. (i) er stigende i hele definisjonsmengden og hr et vendepunkt i x = 0. D må f ( x ) 0 for lle x, noe som psser med (iii), men også f (0) = 0, noe som ikke psser med noen v grfene. Altså kn ikke (i) være grfen til f. Vi undersøker så om (ii) kn være grfen til f. (ii) hr et minimlpunkt for x = 0, så d må f (0) = 0. Dette stemmer med (i). Når f er stigende med et vendepunkt i x = 0, må f h et unnpunkt for x = 0. Dette psser med (iii). Vi undersøker til sist om (iii) kn være grfen til f. (iii) hr et unnpunkt for x = 0, og d må f h et nullpunkt. Dette psser med (i), men d forventer vi også t f ( x) 0 for lle x, noe som ikke psser med (ii). Det eneste lterntivet er ltså t (ii) er grfen til f, (i) er grfen til f og (iii) er grfen til f. Aschehoug Side 5 v

6 DEL Med hjelpemidler Alle hjelpemidler er tilltt, med unntk v Internett og ndre verktøy som tillter kommuniksjon. Oppgve Rekkefølgen på tllene er likegyldig, så vi hr et uordnet utvlg. 34 = , som vi finner slik i CAS: Antll måter å krysse v på er d ( ) Lottotrekningen skjer uten tilkelegging, så vi hr en hypergeometrisk snnsynlighetsfordeling: 7 7 ( )( ) P(Tore får nøyktig 5 rette) = 5 ( 34 7 ) Vi ruker snnsynlighetsklkultoren i GeoGer eller CAS: c Snnsynligheten er ltså 0,004 = 0,4 %. Det gjenstår nå totlt 30 tll, hvorv 3 vinnertll. Vi hr en ny hypergeometrisk snnsynlighetsfordeling: 3 7 ( )( ) P(Tore får 7 rette, gitt t de fire første er rette) = 3 ( ) Vi løser tilsvrende som i oppgve : Aschehoug Side 6 v

7 Snnsynligheten er ltså 0, ,05 % 4060 = = Oppgve Vi skriver likningene for sirklene inn i inntstingsfeltet eller i CAS i GeoGer. I egge tilfeller kommer de frm i lgerfeltet som under: Siden lle sirkler kn skrives på formen ( x x) + ( y y) = r der ( x, x ) er sentrum og r er rdius, «ser» vi t c hr sentrum S ( 5, 0) og rdius r = 80 = 4 5 c hr sentrum S (5, 0) og rdius r = 0 = 5 Vi kn også løse fullstendig i CAS: Aschehoug Side 7 v

8 Vi finner skjæringspunktene med CAS eller grfisk: Vi ser t skjæringspunktene er (3, 4) og (3, 4). c Fr oppgve og hr vi nå S ( 5, 0), S (5, 0) og A (3, 4). Dette gir AS = [ 5 3, 0 4] = [ 8, 4] AS = [5 3, 0 4] = [, 4] AS AS AS AS = 0 AS AS = [ 8, 4] [, 4] = 8 + ( 4) ( 4) = 6 6 = 0 Sirklene er ltså ortogonle. Aschehoug Side 8 v

9 Oppgve 3 PB = x BH er gitt v pytgorssetningen: BH = BC + CH = (5 x ) + Smmenhengen mellom strekning, frt og tid er gitt v s= vt t= s. Det gir v PB BH x (5 x) + tx ( ) = + = Bunnpunktet på tx ( ) gir korteste tid til hytt, og hvor Anne må velge punktet B. Vi finner unnpunktet med grftegner eller CAS: Med kommndoen Ekstremlpunkt[ <Funksjon>, <Strt>, <Slutt> ] finner vi unnpunktet (3,5,,53). B må ltså være 3,5 km fr P, og hun vil ruke,53 timer. Oppgve 4 Vi tegner med grftegner i GeoGer ved å ruke kommndoen Kurve[ <Uttrykk>, <Uttrykk>, <Prmetervriel>, <Strt>, <Slutt> ]: Aschehoug Side 9 v

10 Posisjonen når t = er gitt v r () : 3 r () = 3 + 3, = [,0] Posisjonen er d (, 0). Vi finner nefrten v () : vt () = r () t = [3t 3,] v() = [3 3, ] = [0, ] v() = v() = 0 + = Vi finner kselersjonen () : t () = v () t = [6 t,0] () = [6, 0] () = () = = 36 = 6 Merk I Eksmensveiledningen rukes egrepet frt om nefrt, som er en sklr. Tilsvrende rukes egrepet kselersjon om nekselersjon, som også er en sklr. c vt () er prllell med y-ksen når x-komponenten til frtsvektoren x () t = 0. Vi ruker uttrykket for frtsvektoren som vi fnt i oppgve c: 3t 3= 0 3t = 3 t = t = t = Vi ser t den ene t-verdien tilsvrer posisjonen i oppgve. Vi finner den ndre posisjonen: 3 r ( ) = ( ) 3 ( ) + 3, = [ 5, ] De ktuelle punktene er d (, 0) og (5, ). Aschehoug Side 0 v

11 Oppgve 5 Punktene som ligger i vstnd 5 fr origo ligger også på sirkelen med rdius 5 og sentrum i origo, og som hr likningen x + y =5. Vi er ltså ute etter skjæringspunktene mellom f og denne sirkelen. Vi løser likningssettet i CAS: Punktene på f som er i vstnd 5 til origo, er ltså (3, 4), ( 4, 3),, og, x-koordintene er dermed x= 4, x=, x=, x = 3 Vi legger spesielt merke til t oppgven er om ekskte verdier. En grfisk løsning i GeoGer vil ikke gi dette og er derfor ikke en fullgod løsning. Aschehoug Side v