2P kapittel 2 Funksjoner
|
|
- Tobias Rønning
- 6 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Løsninger til oppgvene i ok P kpittel Funksjoner Løsninger til oppgvene i ok.1 D f = [ 1, 6,5] V = [ 1,4] f V f. D f Vnnstnden kl. 16 er gitt i punktet A på figuren. Vnnstnden vr c. 190 cm. Aschehoug Side 1 v 4
2 Løsninger til oppgvene i ok c Høyeste vnnstnd vr på c. 80 cm. Den inntrff c. kl og kl Lveste vnnstnd vr på c. 40 cm. Den inntrff c. kl og kl Aschehoug Side v 4
3 Løsninger til oppgvene i ok d Vnnstnden vr 180 cm kl , og e Verdimengden er hvilke verdier Ht () kn h, og lir i denne figuren V = [40, 80]..3 H Vnnstnden i Hmmerfest kl er 100 cm. Aschehoug Side 3 v 4
4 Løsninger til oppgvene i ok 95 cm. Forskjellen i vnnstnden lir 195 cm 100 cm = c Vnnstndene i Bodø og Hmmerfest er like kl. 0.00, 08.15, og Aschehoug Side 4 v 4
5 Løsninger til oppgvene i ok d Høyeste vnnstnd i Bodø er kl og kl Dette er en tidsforskjell på 1 timer og 15 min. Høyeste vnnstnd i Hmmerfest er kl og kl Dette er en tidsforskjell på 1 timer og 30 min. e Verdimengden for Hmmerfest er V H = [55, 80] og for Bodø V B = [40, 80]. Dette viser t forskjellen i tidevnnshøyden i Hmmerfest er større enn i Bodø..4 Aschehoug Side 5 v 4
6 Løsninger til oppgvene i ok f ( 1) = 7,5 f () = 3, 0 c Grfen skjærer y-ksen i (0, 6). d Grfen skjærer x-ksen i (4, 0). e Nullpunktet finner vi der grfen skjærer x-ksen, dvs. t nullpunktet er 4. f Vi tegner linj y =,5 i GeoGer og mrkerer skjæringspunktet der grfen krysser linj, se figuren. Vi leser v punktet C som hr koordintene (,3,,5). x hr d verdien,33. g Verdimengden er de verdiene f(x) kn h, V f = [ 1,5, 9]..5 c f og g er egge lineære funksjoner. Stigningstllet er negtivt. D synker grfen mot høyre. d Skjæringspunktet mellom grfene er (3, 1, 5). e f skjærer y-ksen i (0,3). g skjærer y-ksen i (0, 3). f f skjærer x-ksen i (6, 0). g skjærer x-ksen i (, 0) er fste utgifter per måned, og 0,60 er prisen per kwh. Aschehoug Side 6 v 4
7 Løsninger til oppgvene i ok c Vi tster inn S(480) i GeoGer og får t el-utgiftene lir på 588 kr ved et forruk på 480 kwh. Alterntivt regner vi ut S (480) = , = 588. d Vi tegner linj y = 500 inn i GeoGer, mrkerer punktet der grfen krysser linj (punkt D på figuren), og finner x-verdien til dette punktet. Vi finner t forruket kn være mksimlt på 333,3 kwh..7 Alterntivt kn vi løse følgende likning: S(x) = , 60x = 500 0, 60x = x = 0,60 x = 333,3 60 er ntll liter ensin igjen på tnken når vi strter å måle, og 0,8 er hvor mnge liter ensin ilen ruker per mil. Aschehoug Side 7 v 4
8 Løsninger til oppgvene i ok c Vi skriver B(5) i GeoGer og får t etter 5 mil er det 40 liter igjen på tnken. d B (3) = 60 0,8 3 = 34, 4 Etter t ilen hr kjørt 3 mil, er det 34,4 liter ensin igjen på tnken. e Vi leser v grfen t nullpunktet er 75. Etter 75 mil er det ikke mer ensin igjen på tnken, så ilen kn mksimlt kjøre 75 mil. f Verdimengden er de verdiene B(x) kn h, her V B = [0, 60]. g Vi tegner linj y = 1 inn i GeoGer, mrkerer punktet der grfen krysser linj, og finner x-verdien til dette punktet (mrkert med A på figuren). Vi finner t når ensintnken hr 1 liter igjen, hr ilen kjørt 60 mil..8 Alterntivt kn vi løse følgende likning: Bx ( ) = ,8x = 1 0,8x = ,8x = x = 0,8 x = 60 S (30) = 0, , = 19,8 Stopplengden er 19,8 meter. 1 Vi leser v figuren t hvis stopplengden er 45 m, er frten 50 km/h. Vi leser v figuren t hvis stopplengden er 90 m, er frten 75 km/h. c Vi ser t stopplengden øker rskere enn frten. I oppgven doles stopplengden når frten øker med 50 %. Aschehoug Side 8 v 4
9 .9 Vi tegner grfen til funksjonen inn i GeoGer og mrkerer toppunktet A. Løsninger til oppgvene i ok Det største relet er Ax ( ) = 100 cm. x hr d verdien 10 som gir t egge sidene i rektnglet hr lengde 10 cm. Området hr d en kvdrtisk form..10 c h (0) = 0, ,0 =,0 Dette etyr t kulestøteren strter kstet v kul, 0 m over kken. Vi regner ut for hånd: h (4) = 0, ,0 = 0, ,0 = 0,80 + 6, 0 = 5, 40 Kul er 5, 40 m over kken når x = 4. d Vi leser v y-verdien til toppunktet (mrkert med d på figuren). Største høyde er 7, m. Aschehoug Side 9 v 4
10 Løsninger til oppgvene i ok e Lengden v kulestøtet v vstnden lngs x-ksen er mrkert med punktet e i figuren. Lengden er m. Aschehoug Side 10 v 4
11 Løsninger til oppgvene i ok.11 c V(1) V(0) 9, 5 0 = = 9, Gjennomsnittlig vekstfrt i intervllet [0, 1] er 9,5 liter/minutt. V V (7) = 0, = 4, = 45,5 (8) = 0, = = 48 V(8) V(7) 48 45,5 = =, Gjennomsnittlig vekstfrt i intervllet [7, 8] er,5 liter/minutt. V = + = + = (10) 0, V(10) V(0) 50 0 = = Gjennomsnittlig vekstfrt i intervllet [0,10] er 5 liter/minutt..1 Vi leser v grfen temperturen 37 C ved t = 5 og temperturen 31 C ved t = 10. Temperturen synker med 6 C fr t = 5 til t = 10. I dette tidsrommet synker temperturen med 1, C/min. y y = = = 1, t t Gjennomsnittlig vekstfrt er 1, C/min = = 15, Gjennomsnittlig vekstfrt er c. 16 C/time. De første tre timene synker temperturen gjennomsnittlig med 16 C/time. I intervllet [3, 5] er vekstfrten større. Vi ser dette fordi kurven flter ut og stigningstllet er mindre negtivt. f = + = (0) 0, , f (0) = 0, , = 5 Svrene forteller t rusflsk hr temperturen 45 C ved strten v vkjølingen, og etter 0 min hr rusflsk temperturen 5 C. f(0) f(0) 5 45 = = Gjennomsnittlig vekstfrt er 1 C/min. De første 0 min synker temperturen med gjennomsnittlig 1 C/min. Aschehoug Side 11 v 4
12 .15 1 f (0) = 0, = f (4) = 0, = f(4) f(0) = = f (4) = 0, = f (8) = 0, = f(8) f(4) ( ) = = f(8) f(0) 3 = = Det siste svret forteller t f( x ) hr smme verdi for x = 0 og x = Vi plotter grfen i GeoGer. Løsninger til oppgvene i ok Vi finner nullpunktene 3 og 67 (mrkert med 1 og på figuren). Bedriften må produsere og selge mer enn enheter og mindre enn 68 enheter. Alterntiv skrivemåte: Bedriften får overskudd når < x < 68. Vi finner toppunktet (35, 105) (mrkert med på figuren). Overskuddet er størst når edriften produserer og selger 35 enheter. Overskuddet er d 105 kr. c Vi tegner linj y = 1000 i GeoGer og mrkerer krysning med grfen (mrkert med c1 og c). For t overskuddet skl li 1000 kr, må edriften produsere enten 30 eller 40 enheter. d 1 O(35) O(0) = = Gjennomsnittlig vekstfrt er 15 kr/enhet. O(40) O(35) = = Gjennomsnittlig vekstfrt er 5 kr/enhet. I intervllet [0, 35] øker overskuddet i gjennomsnitt med 15 kr for hver enhet produksjonen øker med. Aschehoug Side 1 v 4
13 Løsninger til oppgvene i ok I intervllet [35, 40] minker overskuddet i gjennomsnitt med 5 kr for hver enhet produksjonen øker med. Aschehoug Side 13 v 4
14 Løsninger til oppgvene i ok.17 3 F(0) = F = = (10) = = c d Vi finner unnpunktet på grfen (mrkert med c på figuren). Folketllet vr lvest i det åttende året, dvs. i 008. Folketllet vr d på innyggere. 3 F() = = F(8) = = F(1) = = F(8) F() = = Gjennomsnittlig vekstfrt er 500 innyggere/år. F(1) F(8) = = Gjennomsnittlig vekstfrt er 150 innyggere/år. I intervllet [, 8] minker innyggertllet gjennomsnittlig med 500 personer per år. I intervllet [8,1] stiger innyggertllet gjennomsnittlig med 150 personer per år. Aschehoug Side 14 v 4
15 Løsninger til oppgvene i ok.18 f (5) = 0, = 100 Snødyden den 5. mrs vr 100 cm. c Vi finner unnpunktet (15, 60) på grfen (mrkert med c på figuren). Snødyden vr lvest den 15. mrs. Snødyden vr d 60 cm. d Vi tegner linj y = 70 inn i GeoGer og finner skjæring med grfen til f (mrkert med d1 og d på figuren). Snødyden vr 70 cm den 10. mrs og den 0. mrs..19 O (50) = 0, = 3750 Overskuddet ved 50 produserte enheter er 3750 kr. Aschehoug Side 15 v 4
16 Løsninger til oppgvene i ok c Vi finner nullpunktene ved hjelp v GeoGer (mrkert med c1 og c på figuren). Nullpunktene er 00 og 500. Når ntll produserte enheter er 00 eller 500, er overskuddet null. d For å få overskudd må edriften produsere mer enn 00 enheter og mindre enn 500 enheter. Alterntiv skrivemåte: Bedriften får overskudd når 00 < x < 500. e Vi tegner linj y = 3750 inn i GeoGer og finner skjæring med grfen til O (mrkert med e1 og e på figuren). Bedriften får et overskudd på 3750 kr for 50 og 450 produserte enheter. f Vi finner toppunktet til grfen (350, 6750) (mrkert med f på figuren). Størst overskudd er ved 350 produserte enheter. Overskuddet er d 6750 kr. O(50) O(00) g = = Gjennomsnittlig vekstfrt er 75 kr/enhet. I intervllet [00, 50] øker overskuddet med gjennomsnittlig 75 kr per enhet..0 Vi tegner grfen til overskuddsfunksjonen. Aschehoug Side 16 v 4
17 Løsninger til oppgvene i ok Vi finner nullpunktene til grfen 55,5 og 198 (mrkert med 1 og på figuren). For å få overskudd må edriften produsere mer enn 55 enheter og mindre enn 199 enheter. Alterntiv skrivemåte: Bedriften får overskudd når 55 < x < 199. c Vi tegner linj y = 4000 og finner skjæring med grfen til O (mrkert med c1 og c på figuren). Bedriften får et overskudd på over 4000 kr når den produserer mer enn 110 enheter og mindre enn 167 enheter. Alterntiv skrivemåte: Bedriften får et overskudd over 4000 kr når 110 < x < 167. d Vi finner toppunktet på grfen (140, 4840) (mrkert med d på figuren). Størst overskudd er for 140 produserte enheter. Overskuddet er d 4840 kr..1 3 T (5) = 0, = 400 Det tr 400 sekunder (6 min og 40 s) å fylle eholderen til 5 dm. c Vi tegner linj y = 0 60 = 100 (må gjøre om til sekunder) og finner skjæring med grfen til T (mrkert med c på figuren). Vnnhøyden etter 0 min er 10 dm. T(10) T(0) d = = Gjennomsnittlig vekstfrt er 10 s/dm. I intervllet [0,10] øker tiden det tr å fylle eholderen, med gjennomsnittlig 10 s per dm. Aschehoug Side 17 v 4
18 Løsninger til oppgvene i ok. Vi tegner grfen i GeoGer og finner toppunktet (3,1, 39,1) (mrkert med på figuren). Høyeste tempertur oppnås etter 3,1 timer (3 timer og 6 min). Temperturen er d 39,1 C. Vi finner t C (5) = 35,8 (mrkert med på figuren). V C = [35,8, 39,1] c Vi regner ut verdiene vi trenger: 3 V (0) = 0, , = 37 3 V (1) = 0, , = 37,5 3 V () = 0,14 + 0, = 38,5 3 V (3) = 0, , = 39,1.3 Vi regner ut gjennomsnittlig vekstfrt i intervllene. V(1) V(0) 37,5 37 = = 0, V() V(1) 38,5 37,5 = = 1, V(3) V() 39,1 38,5 = = 0,6 3 1 Gjennomsnittlig vekstfrt i [0, 1] er 0,5 grder/time. Gjennomsnittlig vekstfrt i [1, ] er 1,0 grder/time. Gjennomsnittlig vekstfrt i [, 3] er 0,6 grder/time. Svrene forteller oss t kroppstemperturen øker med o 0,5 C/h den første timen, o 1, 0 C/h o den ndre timen og 0,6 C/h den tredje timen. Størst temperturendring er i løpet v den ndre timen etter vksineringen. 0 K (0) = ,035 = 5000 Amund stte inn 5000 kr inn på kontoen. Vekstfktoren er 1,035. Renten nken gir, er 3,5 %. Aschehoug Side 18 v 4
19 Løsninger til oppgvene i ok c d 018 er 4 år ettter 014, dvs. x = 4. 4 K (4) = ,035 = 5737,6 I egynnelsen v 018 står det 5737,6 kr på kontoen til Amund. Grfisk mrkerer vi punktet på grfen i GeoGer (kn skrive ( 4, K (4)) for å få opp punktet mrkert med d på figuren). Vi leser v t Amund hr 5737,6 kr på kontoen i egynnelsen v 018. e Vi tegner linj y = 7000 og finner skjæring med grfen til K (mrkert med e på figuren). I løpet v år 10 (03) psserer eløpet på Amunds konto 7000 kr..4 c 0 V (0) = ,85 = Bilen kostet kr. Vekstfrten er 0,85. Bilen vtr 15 % i verdi per år. Vi tegner linj y = og finner skjæring med grfen til V (mrkert med c på figuren). Aschehoug Side 19 v 4
20 Løsninger til oppgvene i ok d.5 c Det tr 5 år før verdien v ilen hr sunket til kr. V(5) V(0) = = Gjennomsnittlig vekstfrt er kr/år. I intervllet [0,5] synker verdien v ilen med gjennomsnittlig kr per år. 0 A (0) = 860 0,94 = 860 I 013 hdde edriften 860 nstte. Vekstfrten er 0,94. Antll nstte le redusert med 6 % per år. Vi tegner linj y = 670 og finner skjæring med grfen til A (mrkert med c på figuren). Det tr c. 4 år før ntll nstte hr sunket til c 0,664 T (50) = 18, 6 50 = 49,8 Det tr 50 sekunder (4 min og 10 s) å løtkoke et egg på 50 grm. 0,664 T (55) = 18, 6 55 = 66,1 Det tr 66 sekunder (4 min og 6 s) å løtkoke et egg på 55 grm. T(55) T(50) = 16,3 Det tr c. 16 sekunder lenger å koke et egg på 55 grm enn et egg på 50 grm. Aschehoug Side 0 v 4
21 Løsninger til oppgvene i ok V(55) V(50) 16,3 d = = 3, Gjennomsnittlig vekstfrt er 3,3 s/g. I intervllet [50, 55] øker tiden det tr for å løtkoke et egg, med gjennomsnittlig 3,3 s per grm..7 5 Vi tegner funksjonen F( x) = 5500 x. Vi tegner linj y = 60 og finner skjæring med grfen til F. Vekstfktoren er 1,05. Folketllet økte med,5 % per år..8 6 Vi tegner grfen til funksjonen Ut ( ) = 600 t. Vi tegner linj y = 6 og finner skjæring med grfen til U. Vekstfktoren er 0,85. Slget v ntll enheter snk med 15 % per dg..9 Aschehoug Side 1 v 4
22 Løsninger til oppgvene i ok v (10) = = 50, 4 Frten til steinen etter 10 m er 50,4 km/h. Aschehoug Side v 4
23 Løsninger til oppgvene i ok c Vi tegner linj y = 80 og finner skjæring med grfen til v (mrkert med c på figuren). Når frten til steinen er 80 km/h, hr steinen flt 5, m (30) 65 1,10 71,5 f = = Stoffskiftet til fisken er 71,5 mg O per kg per time. Vi tegner linj y = 04 og finner skjæring med grfen til f. Hvtemperturen når stoffskiftet er 04 mg O per kg per time, er 1 C. Aschehoug Side 3 v 4
24 Løsninger til oppgvene i ok.31 Vi tegner linj y = 45 og finner skjæring med grfen til N. Antll dyr le større enn 45 i løpet v det femte året, dvs. i ,4 f (3) = 1,3 3 =,0 Omsetningen det tredje året vil være,0 mill. kr. c Vi tegner linj y = 3 og finner skjæring med grfen til f. Bedriften vil oppnå en omsetning på 3 mill. kr i egynnelsen v år 8. f(3) f(0),0 0 = = 0, f(8) f(3),99,0 = = 0, Gjennomsnittlig vekstfrt i [0, 3] er 0,67 mill. kr/år. Gjennomsnittlig vekstfrt i [3, 8] er 0,19 mill. kr/år. Det første tre årene øker omsetningen med 0,67 mill.kr. per år, mens de fem neste vr omsetningen på 0,19 mill. kr per år. Aschehoug Side 4 v 4
25 Løsninger til oppgvene i ok.33 gx= ( ) 100 1,05 x Vi tegner egge funksjonene inn i GeoGer. Vi finner skjæringen mellom grfene til f og g (mrkert med på figuren). I egynnelsen v år 13 (07) vil Crmine hr mer enn Corneli på kontoen. c Vi tegner funksjonen y = g 100 inn i GeoGer (mrkert med rødt på figuren) og finner skjæringen mellom grfene til f og y (mrkert med c på figuren). I egynnelsen v år 8 (0) vil Corneli hr mindre enn 100 kr mer enn Crmine på kontoen..34 Vi tegner linj y = 8 og finner skjæring med grfen til h. Treet oppnådde en høyde på 8 meter i egynnelsen v det åttende året. Aschehoug Side 5 v 4
26 Løsninger til oppgvene i ok c h h = = 0,8 (1) 1,5 1 1,5 = = 0,8 (6) 1,5 6 6, 9 h(6) h(1) 6, 9 1, 5 = = 0, Gjennomsnittlig vekstfrt er 0,96 m/år. Det første fem årene vokser treet med c. 1 meter per år. 0,8 h(5) = 1,5 5 = 5, 44 h(6) h(5) 6, 9 5, 44 = = 0,156 h(5) 5, 44 Treet le c.16 % høyere i løpet v det femte året etter t det le plntet..35 0,63 f (800) = = 0, 68 Restfunktigheten er 68, % når omdreiningsfrten er 800 omdreininger per minutt. c Vi tegner linj y = 0,5 og finner skjæring med grfen til f (mrkert med c på figuren). Når restfuktigheten er 50 %, er omdreiningsfrten 1310 omdreininger per minutt. d Høyeste og lveste restfuktighet er mrkert med d1 og d på figuren:.36 f f 0,63 (500) = = 0,917 = = 0,63 (1500) , 459 Høyeste restfuktighet er 91,7 %, og lveste restfuktighet er 45,9 %. Aschehoug Side 6 v 4
27 Løsninger til oppgvene i ok O(1) = 0, =,034 1 O(3) = 0, = 0,973 3 O(3) O(1) 0,973,034 = = 0, Gjennomsnittlig vekstfrt er 0,531 mill. kr/år. O(6) = 0, = 1, O(9) = 0, =,976 9 O(9) O(6), 976 1, 557 = = 0, Gjennomsnittlig vekstfrt er 0,473 mill. kr/år. Omsetningen snk med 0,531 millioner kroner per år fr 014 til 016. Omsetningen steg med 0,473 millioner kroner per år fr 018 til c O (0) = 5 1,03 = 3 0+ Omsetningen i 013 vr på 3 millioner kroner. 0 4 O (4) = 5 1, 03 = 4,96 4+ Omsetningen i 017 vr på c. 4,96 millioner kroner. 4 4 O(4) O(0) 4,96 3 = = 0, O(8) = 5 1, 03 = 5,93 8+ O(8) O(4) 5,93 4,96 = = 0, Aschehoug Side 7 v 4
28 Løsninger til oppgvene i ok Gjennomsnittlig vekstfrt i intervllet [0, 4] er 0,49 mill. kr/år, og i intervllet [4, 8] er den 0,4 mill. kr/år. d Vi tegner linj y = 6 og finner skjæring med grfen til O (mrkert med c på figuren). Etter 8,3 år (pril 01) psserer edriften en omsetning på 6 millioner kroner. e Funksjonen O er smmenstt v to type funksjoner. 5 1, 03 t 4 er en eksponentilfunksjon, og er en røkfunksjon. t +.38 S() = = ,18 10 S(10) = 7,5 1, 74 = I 005 le det solgt 1380 elektriske iler, og i 013 le det solgt elektriske iler..39 S(0) = = 1080 S(7) = = 3355 S(7) S(0) = = Gjennomsnittlig vekstfrt er 35 iler/år. Fr 003 til 010 økte slget v eliler med gjennomsnittlig 35 iler per år. 1,18 8 S(8) = 7,5 1, 74 = ,18 10 S(10) = 7,5 1, 74 = S(10) S(8) = = 6914, Gjennomsnittlig vekstfrt er 6914 iler/år. Fr 011 til 013 økte slget v eliler med gjennomsnittlig 6914 iler per år P () = 10 Aschehoug Side 8 v 4
29 Løsninger til oppgvene i ok Hvis turen er km lng, er prisen 10 kr. P (8) = = 16 Hvis turen er 8 km lng, er prisen 16 kr. c Vi tegner linj y = 180 og finner skjæring med grfen til P (mrkert med c på figuren). Vi kn kjøre 5 km for 180 kr. Aschehoug Side 9 v 4
30 Løsninger til oppgvene i ok.41 y y1 1,7 = = 1,7 x x1 1 Momentn vekstfrt i punkt P er 1,7..4 y y1 1, = = 1, x x1 1 I punktet A er momentn vekstfrt 1,. y y1 0, 4 = = 0, 4 x x1 1 I punktet B er momentn vekstfrt 0,4..43 y y = = 10 x x1 3 1 For x = 3 er den momentne vekstfrten 10 mm/dg. y y = = 7 x x For x = 1 er den momentne vekstfrten 7 mm/dg. Den momentne vekstfrten er størst for x = 7, ltså dg Tngenten i A er uttrykt ved funksjonen y = 7, x+ 93,. Momentn vekstfrt for x = 1 er 7, mm/dg. Svret forteller t kkurt 1 dger etter plnting er plnten i ferd med å vokse 7, mm per dg. Aschehoug Side 30 v 4
31 Løsninger til oppgvene i ok.45 Tngenten i punktet er gitt ved y = 36x Momentn vekstfrt 5. mrs er 36 esøkende/dg. Tngenten i punktet er gitt ved y = 54x Momentn vekstfrt 0. mrs er 54 esøkende/dg. Svrene forteller t 5. mrs vtr ntll esøkende i lpinkken med 36 personer per dg, og 0. mrs øker ntll esøkende i lpinkken med 54 personer per dg..46 y y1 1, 8 1 = = 0, 4 x x1 4 Stigningstllet til tngenten er 0,4. Den momentne vekstfrten når x =, er lik stigningstllet til tngenten, dvs. 0,4..47 Vi tegner grfen og tngenten for 7 x =. Tngenten i punktet A er gitt ved y = 3x+ 4,5. Momentn vekstfrt etter 7 minutter er 3 L/min. Svret forteller t etter kkurt 7 minutter øker vnnvolumet i tnken med 3 liter per minutt. Aschehoug Side 31 v 4
32 Løsninger til oppgvene i ok.48 c 4 f (4) = 7 0,9 4 = 15,3 Temperturen kl er 15,3 C. Vi tegner inn tngentene til tidspunktene og 0.00 (mrkert på figuren med c1 og c). Stigningstllet til tngentene er, 5 og 1, 61. Momentn vekstfrt er,5 grder/time. Momentn vekstfrt er 1,61 grder/time. Svrene forteller t kl synker temperturen med,5 C/time og kl synker temperturen med 1,61 C/time..49 s (35) = 0, , 7 35 = 9,1 Vi tegner tngenten for v = 35 og finner stiningstllet til tngenten, som er 1, 4. Momentn vekstfrt er 1,4 m/(km/h). Aschehoug Side 3 v 4
33 Løsninger til oppgvene i ok Svrene forteller t for 35 km/h så er stopplengden litt over 9 meter. I tillegg øker stopplengden med 1, 4 meter for hver km/h vi øker frten med..50 V (19) = = 17 V () = = = 60 Mellom kl. 19 til kl. renner det ut 60 liter vnn. c Vi tegner linj y = 100 og finner skjæring med grfen (mrkert med c på figuren). Vi ser t grfen til V ligger over grfen til y helt frm til skjæringspunktet. Det er mer enn 100 liter 0,35 h = 0,35 h 60 min/h = 1 min..51 vnn i tnken fr kl til kl. 0.1 ( ) c 0,8 0,75 f (0) = = 4000 Fødselsvekten til gutten vr 4000 grm. Vi tegner linj y = 4000 og finner skjæring med grfen (mrkert med på figuren). Gutten psserer fødselsvekten etter 3, uker. Aschehoug Side 33 v 4
34 Løsninger til oppgvene i ok d Vi finner unnpunktet på grfen (mrkert med c på figuren). Gutten er lettest i slutten v den første uk (0,9 uker) og veier d c grm..5 Totlprisen for rrngementet lir Px ( ) = x, der 3000 er prisen for loklet og 150 per deltker. For å finne prisen per deltker må vi dele på ntll deltkere, som er x : 3000 Ex ( ) = x Vi tegner grfen og linj y = 00 og finner skjæring med grfen (mrkert med på figuren). Det må minst melde seg på 60 deltkere for t prisen per deltker skl li lvere enn 00 kr. Aschehoug Side 34 v 4
35 Løsninger til oppgvene i ok.53 Vi tegner grfen, mrkerer punktene og tegner tngenten i de punktene. (x-ksen på grfen er forskjøvet opp slik t vi kn lettere skille mellom punktene.) Vi leser v den momentne vekstfrten i GeoGer. For x = 0 er den momentne vekstfrten 0,3 kr/døgn. For x = 0 er den momentne vekstfrten 0, 5 kr/døgn. For x = 50 er den momentne vekstfrten 0,14 kr/døgn. Svrene forteller t personen vil vt i vekt med 0,3 kg første døgnet, 0,5 kg det 0. døgnet, og 0,14 kg det 50. døgnet. Vekten vil vt mest i egynnelsen v kuren..54 Vi skisserer en tngent i punktet [, 1] og leser v to punkter på tngenten: 1,8 1 0,8 = = 0,4 4 Den momentne vekstfrten når x =, er 0,4..55 Merk t vi hr skjøvet på ksene slik t vi lettere kn se grfen. i kr Aschehoug Side 35 v 4
36 Løsninger til oppgvene i ok Vi mrkerer punktet for x = 90, tegner tngenten og finner stigningstllet. Den momentne vekstfrten når x = 90 er 8, 4 enheter/kr. Svret forteller t når prisen er på 90 kr, vil slget v vren synke med 8 enheter per krone prisen øker..56 Vi gjør om klokkeslett til desimltll først og setter deretter inn i funksjonen. V (18) = ,5 18 = 147 V (18,75) = ,75 = = 15 Det hr rent ut 15 liter vnn mellom kl og kl Aschehoug Side 36 v 4
37 Løsninger til oppgvene i ok Vi tegner linj y = 50 og finner skjæring med grfen (mrkert med 1 og på figuren). Vi leser v x-koordintene til punktene som er x = 5 for 1 og c. x = 16 for. Temperturen i vnnet vr høyere enn 50 C i tidsrommet 5 til 16 minutter. c.58 Temperturen i kjøleskpet må være den temperturen vnnet vil få etter lng tid. Vi kn enten lese v grfen hv funksjonen nærmer seg ettersom x lir stor, eller vi kn sette inn store verdier for x inn i den siste funksjonen. Vi ser t temperturen nærmer seg 4 C. d (16) = 7, = 14, 0 Dimeteren til sirkelen etter 16 år er 14 mm. c Vi tegner linj y = 35 og finner skjæring med grfen (mrkert med c på figuren). Det er 37 år siden isen forsvnt. d d(1) = 7, = 0 d(16) d(1) 14 0 = = 3, Gjennomsnittlig vekstfrt er 3,5 mm/år. I løpet v de 4 første årene lven vokser, øker dimeteren med gjennomsnittlig 3,5 mm per år. e Vi mrkerer punktet ved t = 16, tegner tngenten og finner stigningtllet til tngenten. Momentn vekstfrt når t = 16, er 1,75 mm/år. Etter 16 år øker dimeteren til sirkelen med lv med 1,75 mm per år. Aschehoug Side 37 v 4
38 Løsninger til oppgvene i ok.59 c 1,6 h (5) = 0, ,5 = 8,1 Treet vr litt over 8 meter høyt etter 5 år. 1,6 h(0) = 0, ,5= 1,5 1,6 h() = 0,5 + 1,5= 3,0 1,6 h(4) = 0, ,5 = 6,09 h() h(0) 3, 0 1,5 = = 0,76 0 h(4) h() 6,09 3,0 = = 1,54 4 Gjennomsnittlig vekstfrt i [0, ] er 0,76 m/år. Gjennomsnittlig vekstfrt i [, 4] er 1,54 m/år. De første to årene vokser treet gjennomsnittlig med 0,76 m per år. De to neste årene vokser treet med gjennomsnittlig 1,54 meter per år. d Vi mrkerer punktet for x = og x = 4, tegner tngentene og finner stigningtllet til tngentene (mrkert med d1 og d på figuren). Momentn vekstfrt for x = er 1,1 m/år, og for x = 4 er den 1,84 m/år. Etter år vokser treet med 1,1 meter per år, og etter 4 år vokser treet med 1,84 meter per år. Aschehoug Side 38 v 4
39 .60 Løsninger til oppgvene i ok Vi tegner grfen, mrkerer punktene ved t = 100 og t = 300, tegner tngentene og finner stigningstllet til tngentene. Volumet minker med Volumet øker med 3 3 cm /min. 3 1cm /min D (0) = = ,88 Det le stt ut 15 dyr. Her kn vi sette inn store verdier for t og se hvilken verdi Dt () ser ut til å gå mot, lterntivt kn vi lese v grfen til D. Vi ser v figuren over t ntll dyr vil stilisere seg på 300 dyr. c Vi mrkerer punktene for t = 10, t = 4, og t = 36, tegner tngentene og finner stigningstllet til tngentene. Ved t = 10 er momentn vekstfrt 5,1 dyr/år. Ved t = 4 er momentn vekstfrt 9,6 dyr/år. Ved t = 36 er momentn vekstfrt 5, dyr/år. Etter 10 år vokser estnden med 5,1 dyr per år, etter 4 år vokser estnden rskere med 9,6 dyr per år, og etter 36 år vokser estnden sktere igjen med 5, dyr per år. Aschehoug Side 39 v 4
40 Løsninger til oppgvene i ok.6 v ( 3 ) v ( 4 ) (3) = ,85 = 7, 0 (4) = ,85 = 33,5 Frten etter 3 sekunder er 7,0 m/s, og etter 4 sekunder er frten 33,5 m/s. c Vi mrkerer punktene for t = 3 og t = 4, tegner tngentene og finner stigningstllet til tngentene. Momentn vekstfrt etter 3 s er 7,0 m/s, og etter 4 s er den 5,9 m/s. Etter 3 sekunder øker frten med med m/s 5,9 s ( 5,9 m/s ) =. Kpitteltest Del 1 Uten hjelpemidler Oppgve 1 m/s 7,0 s ( 7,0 m/s ) =, og etter 4 sekunder øker frten Vi leser v grfen: 1 Når frostvæsken utgjør 0 %, er frysepunktet 10 C. Når frostvæsken utgjør 40 %, er frysepunktet 5 C. 3 Når frostvæsken utgjør 70 %, er frysepunktet 49 C. For et frysepunkt på 30 C må konsentrsjonen være c. 45 % eller 9 %. c Bunnpunktet til grfen er (60, 55). Dette punktet viser konsentrsjonen v frostvæske (60 %) som vi må h for å få den lveste mulig temperturen ( 54 C ). d For t frysepunktet skl ligge lvere enn 30 C, må konsentrsjonen være i intervllet 45, 9 %. Aschehoug Side 40 v 4
41 Oppgve Løsninger til oppgvene i ok Vi leser v y-verdien når t = 3. Kul hr kommet 1,5 meter etter 3 sekunder. Vi leser v x-verdien når st ( ) = 0,5. Kul er 0,5 meter fr utgngspunktet etter 0,6 sekunder og 5,4 sekunder. c D s = [0, 6] V = [0,1,5] d e s Toppunktet er (3,1,5). Toppunktet eskriver når kul er lengst fr utgngspunktet. s(3) s(0) 1,5 0 = = 0, s(6) s(3) 0 1,5 = = 0, Gjennomsnittlig vekstfrt i intervllet [0, 3] er 0,5 m/s. Gjennomsnittlig vekstfrt i intervllet [3, 6] er 0,5 m/s. De første 3 sekundene øker vstnden fr utgngsposisjonen med gjennomsnittlig 0,5 meter per sekund, dvs. t kul triller vekk fr strtpunktet. De neste 3 sekundene minker vstnden til utgngsposisjonen med gjennomsnittlig 0,5 meter per sekund, dvs. t kul triller nedover mot strtpunktet igjen. Del Med hjelpemidler Oppgve 3 Vi tegner grfen i GeoGer. Grfen viser åpningen. Høyden (mrkert med C på figuren) er 0 cm. Bredden på åpningen er vstnden for y = 0, dvs. vstnden fr A til B lngs x-ksen på figuren. xb xa = 50 ( 50) = = 100 Avstnden på åpningen ved kken er 100 cm. f ( 5) = 0, 088 ( 5) + 0 = 165 f (5) = 0, = 165 Svrene forteller t 5 cm til høyre og venstre side v midten v åpningen er høyden 165 cm. Aschehoug Side 41 v 4
42 Løsninger til oppgvene i ok c Vi tegner linj y = 185 og finner skjæringspunktene med grfen (mrkert med D og E på figuren). Vi regner ut redden v åpningen: xe xd = 0 ( 0) = = 40 Åpningen 185 cm over kken er på 40 cm. Oppgve L (5) = ,5 0,90 = 41,3 Lengden er 41,3 cm. 10 L (10) = ,5 0,90 = 65,3 Lengden er 65,3 cm. c L(10) L(5) 65,3 41, = = 4, Gjennomsnittlig vekstfrt er 4,8 cm/år. Lengden v fisken øker med gjennomsnittlig 4,8 cm per år fr fisken er 5 år til den er 10 år gmmel. d Vi kn se på figuren t ettersom x øker, går lengden mot 100 cm. Alterntivt så kn vi sette inn en stdig større verdi for x i funksjonen og se hv Lx ( ) går mot. e Vi tegner linj y = 5 og finner skjæring med grfen (mrkert med e på figuren). Når fisken er 5 cm lng, er den nesten 7 år (6,9 år). Vi tegner tngenten i punktet e og finner stigningtllet til tngenten. Den momentne vekstfrten er 5,1 cm/år. Når fisken er 7 år, vokser den med 5,1 cm per år. f Vi tegner linj y = 40 og linj y = 60, og finner skjæring med grfen (mrkert med f1 og f på figuren). Vi leser v x -koordintene til punktene. Alderen for fisk som norml fnges, er i intervllet 4,80, 8,65, dvs. fr litt under 5 år til litt over 8 og et hlvt år. Aschehoug Side 4 v 4
Påbygging kapittel 4 Funksjoner 2 Løsninger til oppgavene i læreboka
Påygging kpittel 4 Funksjoner Løsninger til oppgvene i læreok 4.1 D f = [ 1, 6,5] V = [ 1,4] f V f 4. D f Vnnstnden kl. 16 er gitt i punktet A på figuren. Vnnstnden vr c. 190 cm. Aschehoug www.lokus.no
DetaljerS1 kapittel 6 Derivasjon Løsninger til oppgavene i boka
S kpittel 6 Derivsjon Løsninger til oppgvene i ok 6. c y x y x = = = = y x 4 5 9 4 y 5 6 x 4 = = = = y x y x = = = = 7 ( 5) 6 ( ) 8 6. f( x ) f( x ) 5 7 x x ( ) 4 = = = = 6. T( x) = 0,x +,0 T T = + = (0)
Detaljer1P kapittel 3 Funksjoner
Løsninger til oppgvene i ok 1P kpittel 3 Funksjoner Løsninger til oppgvene i ok 3.1 Origo hr koordintene (0, 0). Vi finner koordintene til punktene ved å lese v punktets verdi på x-ksen og y-ksen. A =
Detaljer1T kapittel 3 Funksjoner Løsninger til oppgavene i læreboka
1T kpittel 3 Funksjoner Løsninger til oppgvene i læreok Oppgve 3.1 Origo er skjæringspunktet mellom førsteksen og ndreksen. Koordintene til origo er ltså (0, 0). Førstekoordinten til punktet A er 15, og
DetaljerDEL 1 Uten hjelpemidler
DEL 1 Uten hjelpemidler Hjelpemidler: vnlige skrivesker, psser, linjl med entimetermål og vinkelmåler Oppgve 1 Vrisjonsredden er differnsen mellom største og minste verdi. Største verdi vr 20 poeng. Minste
DetaljerDEL 1 Uten hjelpemidler
DEL 1 Uten hjelpemidler Hjelpemidler: vnlige skrivesker, psser, linjl med entimetermål og vinkelmåler Oppgve 1 Vrisjonsredden er differnsen mellom største og minste verdi. Største verdi vr 20 poeng. Minste
DetaljerEksempeloppgaver 2014 Løsninger
DEL 1 Uten hjelpemidler Hjelpemidler: vnlige skrivesker, psser, linjl med centimetermål og vinkelmåler Oppgve 1 19 millirder 9 10 = 19 10 = 1,9 10 0,089 10 = 8,9 10 10 = 8,9 10 Oppgve 6 6 8 Prosentvis
DetaljerS1 kapittel 4 Logaritmer Løsninger til oppgavene i boka
Løsninger til oppgvene i ok S kpittel 4 Logritmer Løsninger til oppgvene i ok 4. Vi leser v fr tllet 4 på y-ksen og ser t vi får den tilhørende verdien,6 på -ksen. lg 4,6 Vi leser v fr tllet,5 på y-ksen
DetaljerDEL 1 Uten hjelpemidler
DEL 1 Uten hjelpemidler Hjelpemidler: vnlige skrivesker, psser, linjl med centimetermål og vinkelmåler Oppgve 1 45,1 0, 451 45,1 % 100 5 4 5 0 0 % 5 4 5 100 Oppgve Vinkelsummen i en treknt er 180. Vi regner
DetaljerPåbygging kapittel 2 Funksjoner 1 Løsninger til oppgavene i boka
Påygging kpittel 2 Funksjoner 1 Løsninger til oppgvene i ok 2.1 Origo hr koordintene (0, 0). Vi finner koordintene til punktene ved å lese v punktets verdi på x-ksen og y-ksen. A = (125,10) B = (0, 12,5)
DetaljerFasit. Grunnbok. Kapittel 4. Bokmål
Fsit Grunnok Kpittel 4 Bokmål Kpittel 4 Kvdrtiske funksjoner ndregrdsfunksjoner 4.1 Stigningstll Skjæring -kse Skjæring y-kse 4 ( 2, 0) (0, 8) 1 (1, 0) (0, 1) 1 (9, 0) (0, 3) 3 4.5 y = + = 0, y =, y =
DetaljerEksamen høsten 2015 Løsninger
DEL 1 Uten hjelpemidler Hjelpemidler: vnlige skrivesker, psser, linjl med entimetermål og vinkelmåler Oppgve 1, 4 4 = = 6 0, 4 4 Du kn innt mksimlt 6 g slt per dg. 00 0,8 0,8, 4 100 = = Én porsjon pizz
DetaljerEksamen høsten 2015 Løsninger
DEL 1 Uten hjelpemidler Hjelpemidler: vnlige skrivesker, psser, linjl med centimetermål og vinkelmåler Oppgve 1 30 Vekstfktoren er 1 1 0,30 0, 70. 100 N GV N V G 80 800 V 400 0,70 7 Vren kostet 400 kr
DetaljerS1 kapittel 8 Eksamenstrening Løsninger til oppgavene i læreboka
S1 kpittel 8 Eksmenstrening Løsninger til oppgvene i læreok E1 995 995 5 + 5 (995 5) (995 + 5) + 5 990 1000 + 5 990 000 + 5 990 05 E E (61+ 9) 51 49) (51+ 49) 61 9 (61 9) 51 49 ( 100 100 11 1997 00 199
DetaljerEksamen våren 2018 Løsninger
DEL 1 Uten hjelpemidler Hjelpemidler: vnlige skrivesker, psser, linjl med centimetermål og vinkelmåler Oppgve 1 5x+ y = 4 x+ 4y = 6 Vi multipliserer likningen 5x+ y = 4 med på egge sider og får 10x+ 4y
DetaljerDEL 1 Uten hjelpemidler
DEL 1 Uten hjelpemidler Hjelpemidler: vnlige skrivesker, psser, linjl med centimetermål og vinkelmåler Oppgve 1 10 % v 60 er 0,1 60 = 6. Prisen øker d med 6 kr. Vren vil derfor koste 60 kr + 6 kr = 70
DetaljerTall i arbeid Påbygging terminprøve våren 2013
Tll i rei Påygging terminprøve våren 2013 DEL 1 Uten hjelpemiler Hjelpemiler: vnlige skrivesker, psser, linjl me entimetermål og vinkelmåler Oppgve 1 Skriv tllene på stnrform. 1 0,000 00015 2 19,6 millirer
DetaljerS2 kapittel 5 Vekstmodeller. Løsninger til oppgavene i boka Vi løser oppgaven i CAS i GeoGebra.
Løsninger til oppgvene i ok S kpittel 5 Vekstmodeller Løsninger til oppgvene i ok 5. Vi løser oppgven i CAS i GeoGer. Veksten er lineær på formen y = x +. Vi ser t stigningstllet lir 59, og t konstntleddet
DetaljerMer øving til kapittel 2
Mer øving til kpittel 2 KAPITTEL 2 GEOMETRI OG MÅLING Oppgve 1 Oppgve 2 Oppgve 3 Anne hr vært på ferie til sine esteforeldre fr 28. juni til 9. ugust. Hvor mnge dger hr hun vært på ferie? Fr hun kom hjem
DetaljerDEL 1 Uten hjelpemidler
DEL 1 Uten hjelpemidler Hjelpemidler: vnlige skrivesker, psser, linjl med entimetermål og vinkelmåler Oppgve 1 f( ) + f + ( ) 4 g ( ) ln( ) 1 g ( ) h ( ) ( 1) h ( ) ( 1) 4 1 ( 1) Oppgve er en fktor i P
DetaljerYF kapittel 10 Eksamenstrening Løsninger til oppgavene i læreboka
YF kpittel 10 Eksmenstrening Løsninger til oppgvene i læreok Uten hjelpemidler Oppgve E1 5 + 5 + 6 11 5 + 4 (5 + ) 5 + 4 7 10 6 + 8 d + ( + 1) 5 + 4 5 + 16 5 + 10 5 4 + 4 4 + 8 1 + + + + + + + + 49 49
Detaljer2P kapittel 5 Eksamenstrening
P kpittel 5 Eksmenstrening Løsninger til oppgvene i ok Uten hjelpemidler E1 3 4 0 3+ 4+ 0 7 = = = = 5 5 5 ( ) ( ) c d 7 5 3 3 3 3 6 4 3 6 4 3 3x x = 3 x x = 3 x x = 3 x = 3 x = 7x 1, 10 5,0 10 = 1, 5,0
DetaljerDEL 1 Uten hjelpemidler
DEL 1 Uten hjelpemidler Hjelpemidler: vnlige skrivesker, psser, linjl med entimetermål og vinkelmåler Oppgve 1 Melk: 2 14,95 2 15 30 Potet: 2,5 8,95 2,5 9 22,5 Ost: 0,5 89,95 0,5 90 45 Skinke: 0, 2 199
DetaljerTerminprøve Matematikk Påbygging høsten 2014
Terminprøve høsten 2014 Terminprøve Mtemtikk Påygging høsten 2014 DEL 1 Uten hjelpemidler Hjelpemidler: vnlige skrivesker, psser, linjl med entimetermål og vinkelmåler Oppgve 1 Regn ut 3 3 3 4 1 3 3 2
DetaljerFag: Matematikk 1T-Y for yrkesfag for elever og privatisterr. Eksamensdato: 16. januar 2012
Loklt gittt eksmen Eksmen Fg: Mtemtikk 1T-Y for yrkesfg for elever og privtisterr Fgkode: MAT1006 Eksmensdto: 16. jnur 2012 Antll sider i oppgven: 7 inklusiv forside og opplysningsside Del 1: oppgve 1-5
Detaljer1T kapittel 6 Geometri Løsninger til oppgavene i læreboka
T kpittel 6 Geometri Løsninger til oppgvene i læreok Oppgve 6. Vi ruker pytgorssetningen. h 5 + 6 h 5 + 36 h 6 h ± 6 Hypotenusen er 6. Vi ruker pytgorssetningen. h, 4 + 6,7 h h 5, 076 + 45, 04 50, 047
DetaljerEksamen våren 2016 Løsninger
DEL Uten hjelpemidler Hjelpemidler: vnlige skrivesker, psser, linjl med centimetermål og vinkelmåler Oppgve,8,8 (,8 ) 3,6 3, 6 3, 6,5 5, (5, ) Oppgve 3, 5 Vi ser på tllinj t,5 tilsvrer punkt F. Vi ser
DetaljerDEL 1 Uten hjelpemidler
Eksmen høsten 013 Løsninger Eksmen høsten 013 Løsninger DEL 1 Uten hjelpemidler Hjelpemidler: vnlige skrivesker, psser, linjl med centimetermål og vinkelmåler Oppgve 1 150 sider Vi finner først hvor mnge
DetaljerTall i arbeid Påbygging kapittel 3 Funksjoner Løsninger til innlæringsoppgavene
Tall i arbeid Påbygging kapittel 3 Funksjoner Løsninger til innlæringsoppgavene 3.1 a Origo er skjæringspunktet mellom x-aksen og y-aksen. Koordinatene til origo er altså. (0, 0) b Førstekoordinaten til
DetaljerEksamen høsten 2016 Løsninger
DEL 1 Uten hjelpemidler Hjelpemidler: vnlige skrivesker, psser, linjl med centimetermål og vinkelmåler Oppgve 1 1: 5x y : x y 9 Fr likning : y x+ 9 Innstt i likning 1 gir det 5x (x+ 9) 5x 4x 18 9x 18 x
DetaljerYF kapittel 8 Rom Løsninger til oppgavene i læreboka
YF kpittel 8 Rom Løsninger til oppgvene i læreok Oppgve 809 Vi skl gå ett hkk mot venstre, og deler derfor med 10. 40 dl = (40 :10) L = 4 L Vi skl gå to hkk mot venstre, og deler derfor med 10 10 = 100.
DetaljerTall i arbeid Påbygging terminprøve våren 2014
Terminprøve våren 014 Tll i rei Påygging terminprøve våren 014 DEL 1 Uten hjelpemiler Hjelpemiler: vnlige skrivesker, psser, linjl me entimetermål og vinkelmåler Oppgve 1 1 Skriv tllet Skriv tllet 6 3,15
DetaljerE K S A M E N. Matematikk 3MX. Elevar/Elever Privatistar/Privatister. AA6524/AA6526 8. desember 2004 UTDANNINGSDIREKTORATET
E K S A M E N UTDANNINGSDIREKTORATET Mtemtikk 3MX Elevr/Elever Privtistr/Privtister AA654/AA656 8. desember 004 Vidregånde kurs II / Videregående kurs II Studieretning for llmenne, økonomiske og dministrtive
DetaljerDEL 1 Uten hjelpemidler
DEL 1 Uten hjelpemidler Hjelpemidler: vnlige skrivesker, psser, linjl med centimetermål og vinkelmåler Oppgve 1 4,5 % 3,6 % 0,9 % Økningen hr vært på 0,9 prosentpoeng. 0,9 % 100 % 5 % 3, 6 % Økningen hr
DetaljerEksamen høsten 2016 Løsninger
DEL Uten hjelpemidler Hjelpemidler: vnlige skrivesker, psser, linjl med centimetermål og vinkelmåler Oppgve f x x x f ( x) = 4x 5 ( ) = 5 6 gx ( ) = xln x Vi deriverer med produktregel: g ( x) = ln x+
Detaljer9 Potenser. Logaritmer
9 Potenser. Logritmer Foret utregingene nedenfor: 5 5 c 6 7 d e 5 f g h i Regn ut og gjør svrene så enkle som mulige: c y y d e f g h i j y y + y + y + + y Prisen på en motorsg vr kr 56 i 99. Vi regner
DetaljerMer øving til kapittel 3
Mer øving til kpittel 3 KAPITTEL 3 FUNKSJONER Oppgve 1 Tegn et koordintsystem og merk v punktene (1, 5) d (3, 2) ( 2, 3) e ( 3, 5) (4, 0) f (0, 4) Oppgve 2 Hvilke koordintpr hr de ulike punktene i koordintsystemet?
DetaljerIntegralregning. Mål. for opplæringen er at eleven skal kunne
8 Integrlregning Mål for opplæringen er t eleven skl kunne gjøre rede for definisjonen v estemt integrl som grense for en sum og uestemt integrl som ntiderivert eregne integrler v de sentrle funksjonene
DetaljerYF kapittel 6 Lengder og vinkler Løsninger til oppgavene i læreboka
YF kpittel 6 Lengder og vinkler Løsninger til oppgvene i læreok Oppgve 601 Vi skl gå ett hkk mot høyre, og gnger derfor med 10. 14 cm 14 10 mm 140 mm c Vi skl gå to hkk mot høyre, og gnger derfor med 10
Detaljer1 Algebra. 1 Skriv disse uttrykkene så enkelt som mulig: a) 2(a + 3) (3 + 3a) b) 2(1 a) + a(2 + a) c) 1 + 2(1 3a) + 5a d) 4a 3ab 2(a 5b) + 3(ab 2b)
Alger Skriv disse uttrykkene så enkelt som mulig c 5 d 5 Multipliser ut og gjør svrene så enkle som mulige c c c c d e f g h 5 i Regn ut 5 Regn ut og vis frmgngsmåten 5 c Regn ut og vis frmgngsmåten 5
Detaljer1T kapittel 8 Eksamenstrening Løsninger til oppgavene i læreboka
T kpittel 8 Eksmenstrening Løsninger til oppgvene i lærebok Uten hjelpemidler E b c E b c Vi gnger vnlige tll med vnlige tll og tierpotenser med tierpotenser. Til slutt omformer vi svret så vi får et tll
DetaljerFag: Matematikk 1T-Y for elever og privatister. Antall sider i oppgaven: 8 inklusiv forside og opplysningsside
Loklt gitt eksmen 2012 Eksmen Fg: Mtemtikk 1T-Y for elever og privtister Fgkode: MAT1006 Eksmensdto: 25. mi Antll sider i oppgven: 8 inklusiv forside og opplysningsside Eksmenstid: Hjelpemidler under eksmen:
DetaljerTall i arbeid Påbygging Kapittel 3 Funksjoner Løsninger til innlæringsoppgavene
Tall i arbeid Påbygging Kapittel 3 Funksjoner Løsninger til innlæringsoppgavene 3.1 a Koordinatene til origo er (0, 0). b Vi leser av førstekoordinaten langs x-aksen og andrekoordinaten langs y-aksen for
DetaljerPraktiske opplysninger til rektor. Fag: MATEMATIKK 1TY for yrkesfag Fagkode: MAT1006 Eksamensdato: Antall forberedelsesdager: Ingen
Loklt gitt eksmen 2013 Prktiske opplysninger til rektor Fg: MATEMATIKK 1TY for yrkesfg Fgkode: MAT1006 Eksmensdto: 30.5.2013 Antll foreredelsesdger: Ingen Forhold som skolen må være oppmerksom på: Eksmenen
DetaljerOPPLÆRINGSREGION NORD. Skriftlig eksamen. MAT1001 Matematikk 1P-Y HØSTEN 2011. Privatister. Yrkesfag. Alle yrkesfaglige utdanningsprogrammer
OPPLÆRINGSREGION NORD LK06 Finnmrk fylkeskommune Troms fylkeskommune Nordlnd fylkeskommune Nord-Trøndelg fylkeskommune Sør-Trøndelg fylkeskommune Møre og Romsdl fylke Skriftlig eksmen MAT1001 Mtemtikk
Detaljer2P kapittel 1 Tall og algebra Løsninger til oppgavene i læreboka
P kpittel 1 Tll og lger Løsninger til oppgvene i læreok Oppgve 1.1 ( ) Oppgve 1. 8 = 8 8 = = = 00 ( ) = ( ) ( ) ( ) ( ) = 1 ( ) = =() = 7 Oppgve 1. 81 = 9 9 = 9 81= = 1= = = ( ) ( ) = = Oppgve 1. 8 = 1
DetaljerS1 kapittel 5 Funksjoner Løsninger til oppgavene i boka
S1 kapittel 5 Funksjoner Løsninger til oppgavene i boka 5.1 a f( x) = 4x+ 0 I GeoGebra skriver vi f(x)=funksjon[-4x+0,-5,5]. Grafen viser at [ 0, 40] V =. f b gx ( ) =,5x+ 10 I GeoGebra skriver vi f(x)=funksjon[,5x+10,-10,4].
Detaljer1 c 6. 1 c 2. b Olav får 1500 kr. Trine får 3000 kr. c 4 Oppgave 39 165,50 kr 6 Oppgave 40 a 0 b 28 c 9 d F.eks. 15 8 e
Fsit Fsit I gng igjen Oppgve 0 Oppgve > < > < Oppgve 9 Oppgve 6 6 Oppgve = < < < Oppgve 6 0 0 0 0 Oppgve 7 6 6 6 Oppgve 0,7 000 Oppgve 9 0,09 700 0,79 7 Oppgve 0 0, 0, 0, 0, Oppgve 0,07 0,7,,7 Oppgve Oppgve
Detaljer1P kapittel 5 Funksjoner Utvalgte løsninger oppgavesamlingen
1P kapittel 5 Funksjoner Utvalgte løsninger oppgavesamlingen 50 a Vi ser at grafen har et toppunkt i (11, 380). Det var altså flest besøkende 11. juni. Antall besøkende var da 380. b Vi ser at grafen har
DetaljerS1 kapittel 1 Algebra Løsninger til oppgavene i læreboka
Løsninger til oppgvene i ok S kpittel Alger Løsninger til oppgvene i læreok. 8 ( ) 5 9. e = = 9 = = 8 5 = = 0 = 0 0 0 = 000 =. e Ashehoug www.lokus.no Sie v Løsninger til oppgvene i ok..5..7 = = + 5 =
DetaljerR1 kapittel 1 Algebra
Løsninger til oppgvene i ok R1 kpittel 1 Alger Løsninger til oppgvene i ok Oppgve 1.1 1 8 4 ( ) 15 5 (4 ) 7 1 7 ( ) d ( )( ) ( 4)( ) ( ) ( 4) ( )( 1) Oppgve 1. 49 7 ( 7)( 7) 5 5 5 5 1y 75 (4y 5) ( y) 5
DetaljerYF kapittel 7 Flate Løsninger til oppgavene i læreboka
YF kpittel 7 Flte Løsninger til oppgvene i læreok Oppgve 701 Vinkel C er en rett vinkel. Altså er C = 90. c AB er motstående side til den rette vinkelen i treknten. Derfor er AB ypotenus. AC er osliggende
DetaljerDEL 1 Uten hjelpemidler
DEL Uten hjelpemidler Hjelpemidler: vnlige skrivesker, psser, linjl med entimetermål og vinkelmåler Oppgve f = + f ( ) = 6 ( ) 3 g = ( ) e g = + = + ( ) e e e ( ) h = 3 ( ) ln( ) 3 h ( ) = 3 = 3 3 Oppgve
DetaljerTerminprøve Matematikk for 1P 1NA høsten 2014
Terminprøve Mtemtikk for 1P 1NA høsten 2014 DEL 1 Vrer 1,5 time Uten hjelpemidler Hjelpemidler: vnlige skrivesker, psser, linjl med entimetermål og vinkelmåler. Forsøk på lle oppgvene selv om du er usikker
DetaljerMer øving til kapittel 1
Mer øving til kpittel 1 KAPITTEL 1 TALL OG TALLREGNING Oppgve 1 Finn svret ve hoeregning. Velg to v oppgvene og forklr hvilken strtegi u hr rukt. 27 + 38 e 160 70 i 130 4 35 + 75 f 19 5 j 6 7,5 58 + 42
Detaljer1P kapittel 8 Eksamenstrening
Løsninger til oppgvene i ok 1P kpittel 8 Eksmenstrening Løsninger til oppgvene i ok Uten hjelpemidler E1 Vi ytter ut 7,60 kr med 8 kr og 104 euro med euro. Det gir: 8 kr 4 300 kr. For fire overnttinger
DetaljerFasit. Oppgavebok. Kapittel 6. Bokmål
Fsit Oppgveok Kpittel 6 Bokmål Kpittel 6 Oppgver uten ruk v hjelpemidler 6.1 965 d 178 848 76 e 47 c 10,6 f 45 6. 1, km d 40 d 100 cm e 1 000 000 mg c 155 min f 0 dm 6. 5 4 5 c 8 e 1 8 d 11 10 f 6 6.4
DetaljerIntegrasjon Skoleprosjekt MAT4010
Integrsjon Skoleprosjekt MAT4010 Tiin K. Kristinslund, Julin F. Rossnes og Torstein Hermnsen 19. mrs 2014 1 Innhold 1 Innledning 3 2 Integrsjon 3 3 Anlysens fundmentlteorem 7 4 Refernser 10 2 1 Innledning
DetaljerSTATISTIKK, KOMBINATORIKK OG SANNSYNLIGHET
Mer øving til kpittel 4 STATISTIKK, KOMBINATORIKK OG SANNSYNLIGHET Oppgve 1 Under ser du resulttet v ntll kinoesøk for en klsse de siste to måneder: 1, 3, 5, 4, 2, 7, 1, 1, 4, 5, 3, 3, 4, 0, 1, 3, 6, 5,
DetaljerFasit. Grunnbok. Kapittel 2. Bokmål
Fsit 9 Grunnbok Kpittel Bokmål Kpittel Lineære funksjoner rette linjer. ƒ(x) = 4x + 5 ƒ() = 3 ƒ(4) = ƒ(6) = 9.6 ƒ(x) = -x b ƒ(x) = x b ƒ(x) = (x + ) 3 ƒ() = ƒ(4) = 8 ƒ(6) = 4 ƒ(x) = x 4 ƒ() = - ƒ(4) =
DetaljerR1 kapittel 6 Vektorer. Løsninger til oppgavene i boka Løsninger til oppgavene i boka
R1 kpittel 6 Vektorer Løsninger til oppgvene i ok Løsninger til oppgvene i ok 6.1 Tilfellene, e og f er vektorstørrelser fordi de hr retning. Tilfellene, og d er sklrer fordi de ikke hr retning. 6. d e
DetaljerKapittel 4 Tall og algebra Mer øving
Kpittel 4 Tll og lger Mer øving Oppgve 1 d Oppgve 2 Se på uttrykket A = g h. Hv forteller de ulike okstvene? Se på uttrykket A = 2π. Hv står de ulike symolene for? Forklr hv vi mener med en vriel og en
DetaljerS2 kapittel 3 Derivasjon Løsninger til kapitteltesten i læreboka
S kapittel 3 Derivasjon Løsninger til kapitteltesten i læreoka 3.A a h () t = 0,5 t = 0,5t Vannhøyden øker stadig raskere. c h (3) =,5 h (5) =,5 Etter 3 minutter øker vannhøyden med,5 cm per minutt. Etter
DetaljerFlere utfordringer til kapittel 1
Flere utfordringer til kpittel 1 KAPITTEL 1 TALL OG TALLREGNING Oppgve 1 Forklr forskjellen på rsjonle og irrsjonle tll. Hv kjennetegner dem? Hvordn kn vi se t et tll er rsjonlt eller irrsjonlt? Skriv
DetaljerÅrsprøve 2014 10. trinn Del 2
2 Årsprøve 2014 10. trinn Del 2 Informsjon for del 2 Prøvetid: Hjelpemidler på del 2: Vedlegg: Andre opplysninger: Fremgngsmåte og forklring: Veiledning om vurderingen: 5 timer totlt Del 2 skl du levere
DetaljerJuleprøve trinn Del 1. Navn: Del 1 Aschehoug JULEPRØVE trinn. Informasjon for del 1
Juleprøve 2015 10. Del 1 Nvn: Informsjon for del 1 Prøvetid Hjelpemidler i del 1 Andre opplysninger Frmgngsmåte og forklring 5 timer totlt Del 1 og del 2 lir delt ut smtidig. Del 1 skl leveres inn seinest
DetaljerEksamen R2, Va ren 2014, løsning
Eksmen R, V ren 04, løsning Tid: timer Hjelpemidler: Vnlige skrivesker, psser, linjl med centimetermål og vinkelmåler er tilltt. Oppgve ( poeng) Deriver funksjonene ) f sin Vi bruker kjerneregelen på sin,
Detaljer... JULEPRØVE 9. trinn...
.... JULEPRØVE 9. trinn.... Nvn: Gruppe: DELPRØVE 1 uten hjelpemidler ( 37 poeng) På denne delprøven kn du re ruke skrivesker, psser og linjl. Alle oppgvene i del 1 skl føres rett på rket. I noen oppgver
Detaljer... JULEPRØVE
Ashehoug JULEPRØVE 2014 9. trinn.... JULEPRØVE 2014.... Nvn: Gruppe: DELPRØVE 1 uten hjelpemidler ( 37 poeng) På denne delprøven kn du re ruke skrivesker, psser og linjl. Alle oppgvene i del 1 skl føres
Detaljer1T kapittel 4 Likningssystemer og ulikheter
T kapittel 4 Likningssystemer og ulikheter Løsninger til oppgavene i oka Oppgave 4. a Vi tegner grafene til y = og y = + 3 i samme koordinatsystem. Skjæringspunktet mellom grafene har koordinatene (, ).
DetaljerR1 kapittel 8 Eksamenstrening
Løsninger til oppgvene i ok R kpittel 8 Eksmenstrening Løsninger til oppgvene i ok Uten hjelpemidler Oppgve E Hvis er et nullpunkt for De mulige nullpunktene for P, er konstntleddet 8 delelig med. P er
DetaljerBasisoppgaver til 2P kap. 1 Tall og algebra
Bsisoppgver til P kp. Tll og lger. Potenser. Nye potenser. Store og små tll. Stnrform. Tllsystemer. Femtllsystemet. Totllsystemet.7 Prosentregning me vekstfktor.8 Renteregning Ashehoug www.lokus.no Ashehoug
Detaljer1 Mandag 1. mars 2010
Mndg. mrs Fundmentlteoremet sier t integrsjon og derivsjon er motstte opersjoner. Vi hr de siste ukene sett hvordn vi på ulike måter kn derivere funksjoner i flere vrible. Nå er turen kommet til den motstte
DetaljerFasit. Oppgavebok. Kapittel 5. Bokmål
Fsit Oppgvebok 8 Kpittel 5 Bokmål KAPITTEL 5 5.1 8, 10, 1 b Antll pinner i en figur er figurnummeret gnget med. 5. 14, 17, 0 b gnger figurnummeret pluss. c 14, 17, 0, 5. Figur 1 4 5 Antll pinner 5 8 11
Detaljer2x 3 4/x dx. 2 5 x 3 + LF: Vi utfører polynomdivisjon. 2x + 1 dx = + C = 5x8/ ln 2x C 4. πx 2 e 3x3 dx = π
Innlevering ELFE KJFE MAFE Mtemtikk HIOA Obligtorisk innlevering 5 Innleveringsfrist Mndg 6. oktober 5 før forelesningen : Antll oppgver: Løsningsforslg Finn de ubestemte integrlene ) x 4/x dx LF: x 4/x
DetaljerFasit. Funksjoner Vg1T. Innhold
Fasit Innhold 4.1 Funksjonsbegrepet... 4. Lineære funksjoner... 6 4.3 Andre funksjoner... 15 Andregradsfunksjoner... 15 Polynomfunksjoner... 18 Rasjonale funksjoner... 19 Potensfunksjoner og eksponentialfunksjoner...
Detaljer1T kapittel 2 Likninger
Løsninger til oppgvene i ok T kpittel Likninger Løsninger til oppgvene i ok. 6+ 8 6 8 + 5 5 5 6 VS 6 8 HS 6 ( 6) + 8 6 + 8 8 Sien VS HS når 6, er 6 en løsning på likningen. ( + ) 6 + 6 6 VS HS ( + ) 5
DetaljerYF kapittel 1 Tall Løsninger til oppgavene i læreboka
YF kpittel 1 Tll Løsninger til oppgvene i læreok Oppgve 10,, 0, 1,, 5,,, 0 Oppgve 10 Tllet 5 står til høyre for tllet på tllinj. Altså er 5>. Tllet 5 står til venstre for tllet 1 på tllinj. Altså er 5
DetaljerDEL 1 Uten hjelpemidler
DEL 1 Uten hjelpemidler Hjelpemidler: vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler Oppgave 1 Variasjonsredden: 6 C ( 6 C) = 6 C+ 6 C= 12 C Gjennomsnittet: 2 C+ 0 C + ( 4 C) + (
Detaljer1 Tall og variabler. Oppgave Regn ut uten lommeregner. Oppgave Sett inn symbolet eller i de tomme rutene. a) 9 N b) π Q c) 3 R
Tll og vribler. TALL OG TALLREGNING Oppgve.0 Sett inn smbolet eller i de tomme rutene. ) N π Q R Oppgve. Sett inn smbolet eller i de tomme rutene. { } { π } ), 0,,,,,,, Oppgve. Skriv disse mengdene på
Detaljer( ) ( ) DEL 1 Uten hjelpemidler. x x x x. Oppgave 1. Vi deriverer med produktregel: Vi deriverer kjerneregelen: Vi velger u = x 3 som kjerne.
DEL 1 Uten hjelpemidler Hjelpemidler: vnlige skrivesker, psser, linjl med centimetermål og vinkelmåler Oppgve 1 3 ( ) = 5 + 4 f f = ( ) 6 5 b c g ( ) = e Vi deriverer med produktregel: g ( ) = e + e =
DetaljerMATEMATIKKPRØVE 11. FEBRUAR.
MATEMATIKKPRØVE 11. FEBRUAR. Nvn: Klsse: DELPRØVE 1 uten lommeregner og p (41 poeng) Alle oppgvene i del 1 skl føres rett på rket. I noen oppgver er det en regnerute. Her skl du føre oppgven oversiktlig
Detaljer2P kapittel 2 Modellering Løsninger til innlæringsoppgavene
P kapittel Modellering Løsninger til innlæringsoppgavene.1 a c d e y = 4x+ 1 Stigningstallet er 4. Konstantleddet er 1. Linja skjærer altså y-aksen i punktet (0,1). y = 3x 4 Stigningstallet er 3. Konstantleddet
Detaljer1P kapittel 2 Algebra
1P kapittel Algera Løsninger til oppgavene i oka.1 a a+ a a 5+ 4 9 c 8c 6c c d d d 0d 0. a + + 5+ 4+ 10 c 5 9 4 d 4 7. a 7 5+ + 8 5+ 8+ 7 + + 10 5y+ + y + 5y+ y 4 4y c 8y 8y + 8y 8y 4+ 0y 4.4 7r+ 10h+
Detaljer1P kapittel 4 Lengder og vinkler
Løsninger til oppgvene i ok 1P kpittel 4 Lengder og vinkler Løsninger til oppgvene i ok Oppgve 4.1 6 MW 6 1 000 000 W 6 000 000 W 7,5 MW 7,5 1 000 000 W 7 500 000 W c 8 000 000 W 8 1 000 000 W 8 MW d 14
DetaljerOppgave 1 Diagrammet nedenfor viser hvordan karakteren var fordelt på en norskprøve.
Mtemtikk for ungomstrinnet KAPITTEL 5 STATISTIKK OG SANNSYNLIGHET MER ØVING Oppgve 1 Digrmmet neenfor viser hvorn krkteren vr forelt på en norskprøve. 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 Hvor mnge fikk krkteren 4?
DetaljerSem 1 ECON 1410 Halvor Teslo
Løsningsforslg til seminr i ECON : Internsjonl økonomi.seminruke V ) Den økonomien vi her står ovenfor produserer re to goder, tø og vin. Altså vil lterntivkostnden for den ene vren nødvendigvis måles
DetaljerDELPRØVE 2 (35 poeng)
DELPRØVE 2 (35 poeng) På denne delprøven er lle hjelpemidler tilltt. Alle oppgvene i del 2 skl føres på eget rk. Før svrene oversiktlig, slik t det går tydelig frm hvordn du hr løst oppgvene. Bruk penn.
DetaljerFlere utfordringer til kapittel 3
KAPITTEL 3 FUNKSJONER Oppgave 1 a c Oppgave 2 Hvor mange punkter trenger vi for å skissere/definere en rett linje i et koordinatsystem? Vi har sammenhengen f(x) = 5x + 20. Hva kan vi lese ut av denne sammenhengen?
DetaljerBrøkregning og likninger med teskje
Brøkregning og likninger med teskje Dette heftet gir en uformell trinn for trinn gjennomgng v grunnleggende regler for brøkregning og likninger. Dette er sto som vi i FYS 000 egentlig forventer t dere
DetaljerNavn: Klasse: Ekstrahefte 2. Brøk
Nvn: Klsse: Ekstrhefte Brøk Brøk Oppg. ) Finn største felles fktor (sff) for teller og nevner ved å fktorisere. Bruk dette til å forkorte røken. 0 6 ) Finn minste felles multiplum (mfm) for nevnerne ved
Detaljer2P kapittel 2 Modellering Utvalgte løsninger oppgavesamlingen
P kapittel Modellering Utvalgte løsninger oppgavesamlingen 01 a Av tabellen ser vi at y minker like mye hver gang x øker med 1. Tallene passer derfor med en lineær funksjon. b Hver gang x øker med 1, minker
Detaljera 5 (2 + 8) d 5 (2 + 8) 4 g b 3 5 (2 + 8) e h 3 ( ) j Begrunn hvorfor du ikke får samme svar på oppgave b og g.
Mtemtikk for ungomstrinnet KAPITTEL 4 TALL OG ALGEBRA MER ØVING Oppgve 1 Oppgve 2 Se på uttrykket A = g h. Hv forteller e ulike okstvene? Se på uttrykket O = 2π. Hv står e ulike symolene for? Forklr hv
Detaljer1 Geometri KATEGORI 1. 1.1 Vinkelsummen i mangekanter. 1.2 Vinkler i formlike figurer
Oppgver 1 Geometri KTGORI 1 1.1 Vinkelsummen i mngeknter Oppgve 1.110 ) I en treknt er to v vinklene 65 og 5. Finn den tredje vinkelen. b) I en firknt er tre v vinklene 0, 50 og 150. Finn den fjerde vinkelen.
DetaljerDEL 1 Uten hjelpemidler
DEL 1 Uten hjelpemidler Hjelpemidler: vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler Oppgave 1 15 L 150 dl Til sammen 150 dl med dl i hvert glass gir: 150 glass 75 glass Oppgave Vi
Detaljer5: Algebra. Oppgaver Innhold Dato
5: Alger Pln resten v året: - Kpittel 6: Ferur - Kpittel 7: Ferur/mrs - Kpittel 8: Mrs - Repetisjon: April/mi - Eventuell offentlig eksmen: Mi - Økter, prøver, prosjekter: Mi - juni For mnge er egrepet
DetaljerEffektivitet og fordeling
Effektivitet og fordeling Vi skl svre på spørsmål som dette: Hv etyr det t noe er smfunnsøkonomisk effektivt? Er det forskjell på smfunnsøkonomisk og edriftsøkonomisk effektivitet? Er det en motsetning
Detaljer1T kapittel 1 Algebra Løsninger til oppgavene i læreboka
T kpittel Alger Løsninger til oppgvene i læreok Oppgve. 0 8 ( 0) + 0 + ( 0) 0 8 Oppgve. 7 ( ) + + ( ) 7 Oppgve. ( ) + Oppgve. 0 ( ) 0 ( 0) ( ) 0 ( 0) : ( ) 0 : ( ) Oppgve. ( ) ( ) ( ) (,) ( ) (,) 9 Oppgve.
DetaljerR1 kapittel 7 Sannsynlighet. Kapitteltest. Oppgave 1. Oppgave 2. Oppgave 3. Del 1 Uten hjelpemidler. Løsninger til oppgavene i boka
Løsninger til oppgvene i ok R1 kpittel 7 Snnsynlighet Løsninger til oppgvene i ok Kpitteltest Del 1 Uten hjelpemidler Oppgve 1 De fem lppene kn ordnes i rekkefølge på 5! = 15 = forskjellige måter. Vi kn
Detaljer3.7 Pythagoras på mange måter
Oppgve 3.18 Vis t det er mulig å multiplisere og dividere linjestykker som vist i figur 3.. Bruk formlikhet. 3.7 Pythgors på mnge måter Grekeren Pythgors le født på Smos 569 og døde. år 500 f. Kr. Setningen
Detaljer